Analiza mediacji i moderacji. X - predyktor M - mediator Y - zmienna zależna. Dr Paweł Kleka /50. Trochę historii.
|
|
- Edward Piotrowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza mediacji i moderacji Dr Paweł Kleka X - predyktor M - mediator Y - zmienna zależna 3/50 Trochę historii Mediacja 4/50
2 Mediacja całkowita Analiza wielkości efektu pośredniego wg Barona i Kennego Jeśli c jest istotne Oraz a b jest istotne To jeśli c nie jest istotne To M jest mediatorem 5/50 Wariancja w modelu mediacji c - efekt pośredni (direct) d - efekt bezpośredni (indirect) c+d - efekt całkowity (total) 7/50 Jeśli c jest nadal istotne? to mediacja może być częściowa Jak to sprawdzić? Najczęściej stwierdza się mediacje częściowe Do oszacowania częściowości służy obliczenie stosunku efektu pośredniego do efektu całkowitego Stosunek ten to wariancja uwzględniona (VAF) Konieczny test istotności statystycznej, np: Sobela (duże próby, n > 250) Aroiana (duże próby, z poprawką na cor( X~ M)) Goodmana (małe próby, n < 50) Jak policzyć wynik takiego testu bez R? Google::Test Sobel 6/50 8/50
3 Krytyka klasycznej analizy mediacji CMA - causal mediation analysis Iloczyn rozkładów normalnych nie jest normalny. Krytyka poprzednich rozwiązań: - kontrola wpływu M nie oznacza, że M działa w stały sposób Rozwiązanie: - zamiast usuwać wariancję Y ~ M wyznacza się jej rozkład dla wszystkich wartości M Zalety: - - dowolne modele zależności (nie tylko liniowe) istotność w oparciu o 95% przedział ufności w oparciu o bootstrap 9/50 11/50 Błędy w stosowaniu analizy mediacji Drzewo decyzyjne (Zhang i in., 2010) zakłada się związek przyczynowo - skutkowy wszystkie zależności MUSZĄ być liniowe 10/50 12/50
4 Kiedy możemy spodziewać się obecności moderatora? Analiza reszt wykazuje heteroskedastyczność, np. po sprawdzenia testem White'a Jej obecność wskazuje na istnienie potencjalnnego moderatora lub co najmniej zmiennej kategorianej, którą należy dołączyć do modelu. Moderacja 15/50 Model moderacji Heteroskedastyczność występuje, gdy składniki losowe modelu mają różne wariancje często spotykana w przypadku modeli opartych na danych przekrojowych i przekrojowo-czasowych przyczyną są głównie różnice w zmienności DV w zależności od stanu IV uwzględnionych (lub nie) w modelu 14/50 16/50
5 Etapy analizy moderacji 1. centracja predyktorów 2. wyznaczenie składnika interakcyjnego 3. hierarchiczna analiza regresji 4. analizy (liczba mnoga!) regresji w podgrupach Literatura 17/50 Różnice między mediacją a moderacją Mediator Moderator Zależności na tyle silne, że można założyć jej istnienie z dużą dozą pewności i poświecić się dociekaniom dlaczego ona występuje. Poszukiwanie mediatorów jest istotnym elementem budowania teorii psychologicznej. Zależność słaba, która czasami występuje, a czasami zanika Identyfikacja moderatorów pozwala określić warunki, w których jakaś zależność występuje i odróżnić je od warunków, w których zależność zanika (nawet jeżeli nie rozumiemy dlaczego tak się dzieje ;-) Baron, R. M., Kenny, D. A. (1986). The moderator-mediator variable distinction in social psychological research: conceptual, strategic, and statistical considerations. Journal of Personality and Social Psychology, 51(6), Sobel, M. E. (1982). Asymptotic confidence intervals for indirect effects in structural equation models. Sociological Methodology 13: Pearl, J. (1994). A probabilistic calculus of actions. W: Lopez de Mantaras, R.; Poole, D., (red.), s Uncertainty in Artificial Intelligence 10. San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. Zhao, X., Lynch Jr, J. G., Chen, Q. (2010). Reconsidering Baron and Kenny: Myths and truths about mediation analysis. Journal of consumer research, 37(2), /50 20/50
6 Dane o uczniach o nazwie student d[1:5,1:9] fight attachment work score late coed smorale gender income Analiza mediacji w R Zmienne, które będą nas interesować to: 1. score - wynik z matematyki 2. income - dochody w rodzinie 3. pared - poziom wykształcenia rodziców (wyższy) 23/50 Analiza klasyczna Model do sprawdzenia Wczytujemy dane d <- mediation::student Użycie :: pozwala wywałać instrukcję lub dane z dowolnego pakietu nie wczytując go całego do pamięci. 1. Y = wynik z matematyki (score) 2. M = wykształcenie rodziców (pared) 3. X = dochód (income) dim(d) [1] /50 24/50
7 Test Sobela - regresje Poprawki do testu Sobela wynik <- with(d, sobel(pred=income, med=pared, out=score)) wynik[1:3] $`Mod1: Y~X` (Intercept) e-83 pred e-13 $`Mod2: Y~X+M` (Intercept) e-85 pred e-08 med e-03 $`Mod3: M~X` (Intercept) e-03 pred e-18 25/50 a b test Sobela z = b2 s 2 a+ a 2 s 2 b poprawka na korelacje X ~ M Aroian a z = poprawka na małe próby Goodman a z = a b b2 s 2 a+ a 2 s 2 b+ s 2 a s 2 b a b + b2 s 2 a a 2 s 2 b s 2 a s 2 b a <- wynik$`mod3: M~X`[2,1]; b <- wynik$`mod2: Y~X+M`[3,1] sa <- wynik$`mod3: M~X`[2,2]; sb <- wynik$`mod2: Y~X+M`[3,2] (z.aroian <- (a*b)/sqrt(b^2*sa^2 + a^2*sb^2 + sa^2 * sb^2)) [1] round(2*(1-pnorm(z.aroian)),5) [1] (VAF <- wynik$indirect.effect/wynik$`mod1: Y~X`[2,1]) [1] p-value testu Aroiana procent mediacji 27/50 Test Sobela - wynik $Indirect.Effect [1] $SE [1] $z.value [1] $N [1] 500 Jeszcze p value Analiza Causal Mediation Analysis round(2*(1-pnorm(wynik$z.value)),5) # wartość p odczytana z dystrybuanty rozkładu normalnego [1] /50
8 Pakiet mediation 1. Określamy modele dla Y i dla M 2. Obliczamy przyczynowy test mediacji wynik.cma <- mediate(a, bc, treat ="income", mediator = "pared", data=d, sims=50, boot = T) a <- lm(formula = pared ~ income, data=d) bc <- lm(formula = score ~ income + pared, data=d) 29/50 31/50 Wyszukiwanie wartości odstających Wyniki CMA car::outliertest(model = bc) summary(wynik.cma) No Studentized residuals with Bonferonni p < 0.05 Largest rstudent : rstudent unadjusted p-value Bonferonni p /50 Causal Mediation Analysis Nonparametric Bootstrap Confidence Intervals with the Percentile Method Estimate 95% CI Lower 95% CI Upper p-value ACME <2e-16 *** ADE <2e-16 *** Total Effect <2e-16 *** Prop. Mediated <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Sample Size Used: 500 Simulations: 50 32/50
9 Interakcja między węglowodanami i tłuszczami w diecie oraz jej wpływ na wagę summary(int) nr_ob waga weglowodany tluszcze Min. : 1.00 Min. : Min. :115.0 Min. : st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.: Median :14.50 Median : Median :162.5 Median : Mean :14.50 Mean : Mean :165.9 Mean : rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: Max. :28.00 Max. : Max. :235.0 Max. : ACME - Averge Causual Mediation Effect - efekt pośredni ADE - Average Direct Effect - efekt bezpośredni Total effect - efekt całkowity 33/50 35/50 model1 <- lm(waga~weglowodany+tluszcze, data = int) model2 <- lm(waga~weglowodany+tluszcze+weglowodany:tluszcze, data = int) summary(model1)$coef; summary(model2)$coef (Intercept) e-06 weglowodany e-03 tluszcze e-12 Przykład analizy moderacji (Intercept) weglowodany tluszcze weglowodany:tluszcze /50
10 Tworzenie czynnika interakcyjnego int$zweglowodany <- scale(int$weglowodany, center = T, scale = F) int$ztluszcze <- scale(int$tluszcze, center = T, scale=f) int$interakcja <- int$ztluszcze*int$zweglowodany head(int) nr_ob waga weglowodany tluszcze Zweglowodany Ztluszcze interakcja Skoro wszystko ważne to analiza hierarchiczna model1 <- lm(waga ~ weglowodany, data = int) model2 <- lm(waga ~ weglowodany + tluszcze, data = int) model3 <- lm(waga ~ weglowodany + tluszcze + interakcja, data = int) 37/50 39/50 Budowa modelu summary(model)$coef Analiza istotności wprowadzania kolejnego czynnika do modelu (Intercept) e-06 weglowodany e-03 tluszcze e-12 interakcja e-02 anova(model1,model2,model3) Analysis of Variance Table Model 1: waga ~ weglowodany Model 2: waga ~ weglowodany + tluszcze Model 3: waga ~ weglowodany + tluszcze + interakcja Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) e-12 *** * --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 38/50 40/50
11 Bety wystandaryzowane Czyli odpowiedź na pytanie o proporcje QuantPsyc::lm.beta(model3) table(int$ktluszcze); table(int$kweglowodany) niskie wysokie weglowodany tluszcze interakcja niskie wysokie /50 43/50 Podział wg mediany Szereg analiz regresji int$kweglowodany <- factor( ifelse(int$weglowodany > median(int$weglowodany), 1, 0), levels = 0:1, labels = c("niskie", "wysokie")) int$ktluszcze <- factor( ifelse(int$tluszcze > median(int$tluszcze), 1, 0), levels = 0:1, labels = c("niskie", "wysokie")) head(int[,5:9]) model4a <- lm(waga~weglowodany, data=int[int$ktluszcze=="niskie",]) model4b <- lm(waga~weglowodany, data=int[int$ktluszcze=="wysokie",]) model4c <- lm(waga~tluszcze, data=int[int$kweglowodany=="niskie",]) model4d <- lm(waga~tluszcze, data=int[int$kweglowodany=="wysokie",]) Zweglowodany Ztluszcze interakcja Kweglowodany Ktluszcze niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie niskie 42/50 44/50
12 summary(model4a)$coef; summary(model4b)$coef; summary(model4c)$coef; summary(model4d)$coef (Intercept) weglowodany ggplot(int, aes(x=tluszcze, y=waga, colour=kweglowodany, group=kweglowodany)) + geom_point() + geom_smooth(method="lm", se=f, size=2) + theme_bw() (Intercept) e-01 weglowodany e-06 (Intercept) e-06 tluszcze e-07 (Intercept) e-04 tluszcze e-07 45/50 47/50 Rysunki Plot twist :-) ggplot(int, aes(x=weglowodany, y=waga, colour=ktluszcze, group=ktluszcze)) + geom_point() + geom_smooth(method="lm", se=f, size=2) + theme_bw() qplot(int$weglowodany,int$tluszcze, size=int$waga) 46/50 48/50
Regresja liniowa w R Piotr J. Sobczyk
Regresja liniowa w R Piotr J. Sobczyk Uwaga Poniższe notatki mają charakter roboczy. Mogą zawierać błędy. Za przesłanie mi informacji zwrotnej o zauważonych usterkach serdecznie dziękuję. Weźmy dane dotyczące
Bardziej szczegółowoRegresja logistyczna. Regresja logistyczna. Wymagania. Przykłady DV
Regresja logistyczna analiza relacji między zbiorem zmiennych niezależnych (ilościowych i dychotomicznych) a dychotomiczną zmienną zależną wyniki wyrażone są w prawdopodobieństwie przynależności do danej
Bardziej szczegółowoRegresja logistyczna. Regresja logistyczna. Przykłady DV. Wymagania
Regresja logistyczna analiza relacji między zbiorem zmiennych niezależnych (ilościowych i dychotomicznych) a dychotomiczną zmienną zależną wyniki wyrażone są w prawdopodobieństwie przynależności do danej
Bardziej szczegółowoNowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: 2000 największych spółek światowych z 2004 (Forbes Magazine)
Bardziej szczegółowoProjekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: Eksploracja (mining) Problemy: Jedna zmienna 2000 najwi ększych
Bardziej szczegółowoEfekty trzeciej zmiennej
Efekty trzeciej zmiennej Efekt trzeciej zmiennej - rodzaje Moderacja (interakcja) Mediacja (pośredniczenie) Supresja (ujawnianie ukrytego związku) Zakłócenie (confounding) MEDIACJA JAK TO SIĘ DZIEJE? MECHANIZM
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13)
Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) dr Mariusz Grządziel semestr letni 2012 Przykład wprowadzajacy W zbiorze danych homedata (z pakietu R-owskiego UsingR) można znaleźć ceny
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoPRÓBA ZIDENTYFIKOWANIA ZMIENNEJ POŚREDNICZĄCEJ W RELACJI POMIĘDZY ZARZĄDZANIEM WIEDZĄ A EFEKTYWNOŚCIĄ FUNKCJONOWANIA MŚP
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2016 Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 93 Nr kol. 1957 Krzysztof RZOSTEK KGHM Polska Miedź S.A. Anna MICHNA Politechnika Śląska Wydział Organizacji i Zarządzania
Bardziej szczegółowoPAKIETY STATYSTYCZNE
. Wykład wstępny PAKIETY STATYSTYCZNE 2. SAS, wprowadzenie - środowisko Windows, Linux 3. SAS, elementy analizy danych edycja danych 4. SAS, elementy analizy danych regresja liniowa, regresja nieliniowa
Bardziej szczegółowoRegresja ważona. Co, gdy nie ma stałej wariancji? Tu prawdziwe σ 2 =1 (dużo powtórzeń, więc wariancje są dobrze oszacowane) PAR Wykład 5 1/8
Dobry chrześcijanin powinien wystrzegać się matematyków i tych wszystkich, którzy tworzą puste proroctwa. Istnieje niebezpieczeństwo, że matematycy zawarli przymierze z diabłem, aby zgubić duszę człowieka
Bardziej szczegółowoKORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y. 2. Współczynnik korelacji Pearsona
KORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y 2. Współczynnik korelacji Pearsona 3. Siła i kierunek związku między zmiennymi 4. Korelacja ma sens, tylko wtedy, gdy związek między zmiennymi
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa wprowadzenie
Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem
Bardziej szczegółowoWykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów regresji z wykorzystaniem metody bootstrap. Wrocław, 22.03.2017r Wybór najlepszej procedury - podsumowanie Co nas interesuje przed przeprowadzeniem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS wersja 9.2 i 9.3 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Spis treści Wprowadzenie... 6 1. Podstawowe informacje o systemie SAS... 9 1.1. Informacje ogólne... 9 1.2. Analityka...
Bardziej szczegółowoĆwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z7
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 21-11-2016 Na podstawie zbioru danych cps_small.dat z książki Principles of Econometrics oszacowany
Bardziej szczegółowoZadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1
Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów
Bardziej szczegółowoJeżeli A wpływa na B, a B wpływa na C, to A wpływa na C czyli o efektach łącznych
modelowanie strukturalne Jeżeli A wpływa na B, a B wpływa na C, to A wpływa na C czyli o efektach łącznych Monika Książek Szkoła Główna Handlowa W poprzednim artykule wykorzystaliśmy możliwości, jakie
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Regresja liniowa Korelacja Modelowanie Analiza modelu Wnioskowanie Korelacja 3 Korelacja R: charakteryzuje
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoModel regresji wielokrotnej Wykład 14 ( ) Przykład ceny domów w Chicago
Model regresji wielokrotnej Wykład 14 (4.06.2007) Przykład ceny domów w Chicago Poniżej są przedstawione dane dotyczące cen domów w Chicago (źródło: Sen, A., Srivastava, M., Regression Analysis, Springer,
Bardziej szczegółowoPermutacyjna metoda oceny istotności regresji
Permutacyjna metoda oceny istotności regresji (bez założenia normalności) f
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoModele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Konrad Miziński, nr albumu 233703 31 maja 2015 Zadanie 1 Wartości oczekiwane µ 1 i µ 2 oszacowano wg wzorów: { µ1 = 0.43925 µ = X
Bardziej szczegółowoProjekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy ANALIZA PORÓWNAŃ WIELOKROTNYCH GDY WARIANCJE SĄ NIERÓWNE lsales.bim
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji Piotr J. Sobczyk 19 November 2016
Analiza wariancji Piotr J. Sobczyk 19 November 2016 Zacznijmy zajęcia od klasycznego przykładu czyli testu Studenta dla dwóch prób. x 1,i N(µ 1, σ 2 ), i = 1,..., n 1 x 2,i N(µ 2, σ 2 ), i = 1,..., n 2
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. Etapy analizy regresji. Założenia regresji. Kodowanie zmiennych jakościowych
Etapy analizy regresji Regresja liniowa 1. zaproponowanie modelu, 2. sprawdzenie założeń dotyczących zmiennych, 3. wyszukanie wartości odstających, wpływających i dźwigni, 4. oszacowanie istotności modelu
Bardziej szczegółowoWykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych
Wykład 12 (21.05.07): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w dąbrowie,
Bardziej szczegółowoRegresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski
Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowo1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe
Zjazd 7. SGGW, dn. 28.11.10 r. Matematyka i statystyka matematyczna Tematy 1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe nna Rajfura 1 Zagadnienia Przykład porównania wielu obiektów w
Bardziej szczegółowoOgólny model liniowy
Ogólny model liniowy Twórcy Autor statystyki testowej Wyprowadził wzór na gęstość rozkładu statystyki testowej Ronald Aylmer Fisher ( 1890-1962 ) angielski genetyk George W. Snedecor (1881-1974) amerykański
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoTesty dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych
Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 18 maja 2009 Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego)
Bardziej szczegółowoS t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski
S t a t y s t y k a, część 3 Michał Żmihorski Porównanie średnich -test T Założenia: Zmienne ciągłe (masa, temperatura) Dwie grupy (populacje) Rozkład normalny* Równe wariancje (homoscedasticity) w grupach
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)
Wkład 1: Prosta regresja liniowa Statstczn model regresji liniowej Dane dla prostej regresji liniowej Przedział ufności i test parametrów Przedział ufności dla średniej odpowiedzi Interwał prognoz (dla
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
prostej Stosowana Wykład I 5 Października 2011 1 / 29 prostej Przykład Dane trees - wyniki pomiarów objętości (Volume), średnicy (Girth) i wysokości (Height) pni drzew. Interesuje nas zależność (o ile
Bardziej szczegółowoMetodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje
Metodologia badań psychologicznych Lucyna Golińska SPOŁECZNA AKADEMIA NAUK Wykład 12. Korelacje Korelacja Korelacja występuje wtedy gdy dwie różne miary dotyczące tych samych osób, zdarzeń lub obiektów
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań z R:
Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoTemat zajęć: ANALIZA DANYCH ZBIORU EKSPORT. Część I: analiza regresji
Temat zajęć: ANALIZA DANYCH ZBIORU EKSPORT Część I: analiza regresji Krok 1. Pod adresem http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/adb/eksport.txt znajdziesz zbiór danych do analizy. Zapisz plik na dysku w dowolnej
Bardziej szczegółowo30 sierpnia 2018 r. Dr hab. Mariola Łaguna, prof. KUL Instytut Psychologii Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II
Dr hab. Mariola Łaguna, prof. KUL Instytut Psychologii Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II 30 sierpnia 2018 r. Opinia o pracy doktorskiej mgr. Mateusza Hauka Czynniki warunkujące zadowolenie z
Bardziej szczegółowo5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE Model klasyczny Gulliksena Wynik otrzymany i prawdziwy Błąd pomiaru Rzetelność pomiaru testem Standardowy błąd pomiaru Błąd estymacji wyniku prawdziwego Teoria Odpowiadania
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoRozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
28 marca 2012 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa - wst ep Przypuśćmy, że chcemy porównać wieksz a (niż dwie) liczbe grup. Aby porównać średnie w kilku grupach, można przeprowadzić analize wariancji.
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoPrzykłady Ryzyko względne a iloraz szans ANOVA ZMAD. Stanisław Jaworski: ZMAD. Uniwersytet Medyczny
ZMAD Stanisław Jaworski proporcja Stosunek do aborcji (1) Z pewnej ściśle określonej populacji kobiet wylosowano 950 osób. Każdą kobietę zapytano, czy jest za utrzymaniem obecnej ustawy antyaborcyjnej.
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ
WYKŁAD 3 BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ Było: Przykład. Z dziesięciu poletek doświadczalnych zerano plony ulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji - weryfikacja założeń
Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.
Bardziej szczegółowoR ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W SELEKCJI
INFORMATYKA W SELEKCJI INFORMATYKA W SELEKCJI - zagadnienia 1. Dane w pracy hodowlanej praca z dużym zbiorem danych (Excel) 2. Podstawy pracy z relacyjną bazą danych w programie MS Access 3. Systemy statystyczne
Bardziej szczegółowoNarzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski
Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowo2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne
PLAN SPOTKAŃ ĆWICZEŃ: Data Grupa 2a Grupa 4a Grupa 2b Grupa 4b 2008-02-19 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-02-26 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-03-04 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-11 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-18 wolne
Bardziej szczegółowoAnalizy wariancji ANOVA (analysis of variance)
ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza
Bardziej szczegółowoZJAZD 4. gdzie E(x) jest wartością oczekiwaną x
ZJAZD 4 KORELACJA, BADANIE NIEZALEŻNOŚCI, ANALIZA REGRESJI Analiza korelacji i regresji jest działem statystyki zajmującym się badaniem zależności i związków pomiędzy rozkładami dwu lub więcej badanych
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoparametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,
诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów
Bardziej szczegółowo(LMP-Liniowy model prawdopodobieństwa)
OGÓLNY MODEL REGRESJI BINARNEJ (LMP-Liniowy model prawdopodobieństwa) Dla k3 y α α α α + x + x + x 2 2 3 3 + α x x α x x + α x x + α x x + ε + x 4 2 5 3 6 2 3 7 2 3 Zał.: Wszystkie zmienne interakcyjne
Bardziej szczegółowoANOVA podstawy analizy wariancji
ANOVA podstawy analizy wariancji Marcin Kolankowski 11 marca 2009 Do czego służy analiza wariancji Analiza wariancji (ang. ANalysis Of VAriance - ANOVA) służy do wykrywania różnic pomiędzy średnimi w wielu
Bardziej szczegółowoANALIZA WIELOPOZIOMOWA JAKO NARZĘDZIE WSPARCIA POLITYK PUBLICZNYCH
ANALIZA WIELOPOZIOMOWA JAKO NARZĘDZIE WSPARCIA POLITYK PUBLICZNYCH - Adrian Gorgosz - Paulina Tupalska ANALIZA WIELOPOZIOMOWA (AW) Multilevel Analysis Obecna od lat 80. Popularna i coraz częściej stosowana
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoe) Oszacuj parametry modelu za pomocą MNK. Zapisz postać modelu po oszacowaniu wraz z błędami szacunku.
Zajęcia 4. Estymacja i weryfikacja modelu model potęgowy Wersja rozszerzona W pliku Funkcja produkcji.xls zostały przygotowane przykładowe dane o produkcji, kapitale i zatrudnieniu dla 27 przedsiębiorstw
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoREGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 5 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ MODEL REGRESJI LINIOWEJ Analiza regresji
Bardziej szczegółowoSpis treści. Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów. Wstęp Wprowadzenie...
Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów Wstęp... 13 1. Wprowadzenie... 19 1.1. Statystyka opisowa.................................. 21 1.2. Wnioskowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności zjawisk. dr Marta Kuc-Czarnecka
Analiza współzależności zjawisk dr Marta Kuc-Czarnecka Wprowadzenie Prawidłowości statystyczne mają swoje przyczyny, w związku z tym dla poznania całokształtu badanego zjawiska potrzebna jest analiza z
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH
Wykład 1 Prosta regresja liniowa - model i estymacja parametrów. Regresja z wieloma zmiennymi - analiza, diagnostyka i interpretacja wyników. Literatura pomocnicza J. Koronacki i J. Ćwik Statystyczne systemy
Bardziej szczegółowoInżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 STATYSTYKA
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
23 kwietnia 2014 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; Korelacja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3. Populacje i próby danych
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 Populacje i próby danych POPULACJA I PRÓBA DANYCH POPULACJA population Obserwacje dla wszystkich osobników danego gatunku / rasy PRÓBA DANYCH sample Obserwacje dotyczące
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoS YLABUS MODUŁU (PRZEDMIOTU) I nformacje ogólne. Nie dotyczy
S YLABUS MODUŁU (PRZEDMIOTU) I nformacje ogólne Nazwa modułu: Moduł B - Statystyka z elementami matematyki Rodzaj modułu/przedmiotu Wydział PUM Kierunek studiów Specjalność Poziom studiów Forma studiów
Bardziej szczegółowo