Metody statystyczne w lokalizacji genów

Transkrypt

1 Metody statystyczne w lokalizacji genów Instytut Matematyki Uniwersytet Wrocławski Zakopane, 06/09/2016

2 Plan Lokalizacja genów

3 Plan Lokalizacja genów Wielokrotne testowanie

4 Plan Lokalizacja genów Wielokrotne testowanie Kryteria wyboru modelu

5 Plan Lokalizacja genów Wielokrotne testowanie Kryteria wyboru modelu Zmodyfikowane wersje Bayesowskiego Kryterium Informacyjnego

6 Plan Lokalizacja genów Wielokrotne testowanie Kryteria wyboru modelu Zmodyfikowane wersje Bayesowskiego Kryterium Informacyjnego (Sorted L-one penalized estimation)

7 Plan Lokalizacja genów Wielokrotne testowanie Kryteria wyboru modelu Zmodyfikowane wersje Bayesowskiego Kryterium Informacyjnego (Sorted L-one penalized estimation) Symulacje komputerowe

8 Struktura DNA

9 Zmienność genetyczna w populacjach ludzkich Około 99,9% informacji genetycznej jest dokładnie taka sama u wszystkich ludzi Polimorfizm to różnica w strukturze DNA, która wystȩpuje u co najmniej 1% populacji Polimorfizm Pojedynczego Nukelotydu (Single Nucleotide Polymorphism, SNP) - polimorfizm w pojedynczej bazie nukleotydowej: Typowy SNP: pozycja w której - 85% populacji ma Cytozynȩ (C) - 15% ma Tyminȩ (T) Zwykle w danym lokusie wystȩpujȩ tylko dwie formy SNPa trzy genotypy : AA, Aa, aa

10 Główny cel GŁÓWNY CEL: identyfikacja mutacji które wpływaja na badana cechȩ

11 Główny cel GŁÓWNY CEL: identyfikacja mutacji które wpływaja na badana cechȩ Przykład - identyfikacja pacjentów korzystnie reaguja cych na terapiȩ

12 Główny cel GŁÓWNY CEL: identyfikacja mutacji które wpływaja na badana cechȩ Przykład - identyfikacja pacjentów korzystnie reaguja cych na terapiȩ Y - cecha ilościowa

13 Główny cel GŁÓWNY CEL: identyfikacja mutacji które wpływaja na badana cechȩ Przykład - identyfikacja pacjentów korzystnie reaguja cych na terapiȩ Y - cecha ilościowa Przykłady: zmiana ciśnienia krwi, poziomu cholesterolu

14 Struktura danych Y = (Y 1,, Y n ) T - wektor wartości cechy dla n pacjentów

15 Struktura danych Y = (Y 1,, Y n ) T - wektor wartości cechy dla n pacjentów T = (T 1,, T n ) T, T i {0, 1} - wskaźnik terapii

16 Struktura danych Y = (Y 1,, Y n ) T - wektor wartości cechy dla n pacjentów T = (T 1,, T n ) T, T i {0, 1} - wskaźnik terapii G n m - macierz genotypów

17 Struktura danych Y = (Y 1,, Y n ) T - wektor wartości cechy dla n pacjentów T = (T 1,, T n ) T, T i {0, 1} - wskaźnik terapii G n m - macierz genotypów Zwykle n k 100 lub k 1000, m k 100, 000

18 Struktura danych Y = (Y 1,, Y n ) T - wektor wartości cechy dla n pacjentów T = (T 1,, T n ) T, T i {0, 1} - wskaźnik terapii G n m - macierz genotypów Zwykle n k 100 lub k 1000, m k 100, 000 Typowe kodowanie oddziaływań addytywnych 0 gdy G ij = AA Z ij = 1 gdy G ij = Aa 2 gdy G ij = aa

19 Fikcyjny przykład - obniżenie cśnienia krwi Trait Treatment

20 Grupa kontrolna Mean Trait Value genotypes

21 Grupa zabiegowa Mean Trait Value genotypes

22 Wpływ leku Difference in Mean Trait values genotypes

23 Gene-Treatment Interaction mean_trait genotypes

24 Model statystyczny m m Y i = β 0 + β 1 T i + ν j Z ij + γ j Z ij T i + ϵ i, ϵ i N(0, σϵ 2 ) j=1 j=1

25 Model statystyczny m m Y i = β 0 + β 1 T i + ν j Z ij + γ j Z ij T i + ϵ i, ϵ i N(0, σϵ 2 ) j=1 j=1 Y n 1 = X n p β p 1 + ϵ n 1

26 Model statystyczny m m Y i = β 0 + β 1 T i + ν j Z ij + γ j Z ij T i + ϵ i, ϵ i N(0, σϵ 2 ) j=1 j=1 Y n 1 = X n p β p 1 + ϵ n 1 p = m + 2, X = [1 T Z ZT ], β = [β 0, β 1, ν, γ] T

27 Model statystyczny m m Y i = β 0 + β 1 T i + ν j Z ij + γ j Z ij T i + ϵ i, ϵ i N(0, σϵ 2 ) j=1 j=1 Y n 1 = X n p β p 1 + ϵ n 1 p = m + 2, X = [1 T Z ZT ], β = [β 0, β 1, ν, γ] T a) Identyfikacja istotnych genów - wybór modelu statystycznego b) Predykcja: przewidywanie indywidualnej odpowiedzi na terapȩ

28 Indywidualne testy Prosta regresja liniowa Y i = β 0 + β j X ij + ϵ i, ϵ i N(0, σ 2 ϵ )

29 Indywidualne testy Prosta regresja liniowa Y i = β 0 + β j X ij + ϵ i, ϵ i N(0, σ 2 ϵ ) ˆβ j : estymator liczony metoda najmniejszych kwadratów β j ˆβ j N(β j, σ 2 j )

30 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0

31 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c

32 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c)

33 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c) c = Φ 1 ( 1 α 2 )

34 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c) c = Φ 1 ( 1 α 2 H 0 przyjȩta H 0 odrzucona H 0 prawdziwa U V p 0 H 0 fałszywa T S p 1 W R p )

35 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c) c = Φ 1 ( 1 α 2 H 0 przyjȩta H 0 odrzucona H 0 prawdziwa U V p 0 H 0 fałszywa T S p 1 W R p F W ER = P (V > 0), F DR = E ( ) V R 1 )

36 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c) c = Φ 1 ( 1 α 2 H 0 przyjȩta H 0 odrzucona H 0 prawdziwa U V p 0 H 0 fałszywa T S p 1 W R p F W ER = P (V > 0), F DR = E ( ) V R 1 E(V ) = αp 0 )

37 Wielokrotne testowanie (1) H 0j : β j = 0 vs β j 0 Odrzucamy H 0j gdy z j = ˆβ j σ j > c Poziom istotności: α = P H0j ( z j > c) c = Φ 1 ( 1 α 2 H 0 przyjȩta H 0 odrzucona H 0 prawdziwa U V p 0 H 0 fałszywa T S p 1 W R p F W ER = P (V > 0), F DR = E ( ) V R 1 E(V ) = αp 0 α = 005, p 0 = 2000 E(V ) = 100 )

38 Procedury wielokrotnego testowania Korekta Bonferroniego: Stosujemy poziom istotności α p

39 Procedury wielokrotnego testowania Korekta Bonferroniego: Stosujemy poziom istotności α p p 0 p 0 F W ER = P { z j > c} P ({ z j > c} = p 0 α/p < α j=1 j=1

40 Procedury wielokrotnego testowania Korekta Bonferroniego: Stosujemy poziom istotności α p p 0 p 0 F W ER = P { z j > c} P ({ z j > c} = p 0 α/p < α j=1 j=1 ) Odrzucamy H 0j gdy z j Φ (1 1 α 2p = 2 log p(1 + o p )

41 Procedury wielokrotnego testowania Korekta Bonferroniego: Stosujemy poziom istotności α p p 0 p 0 F W ER = P { z j > c} P ({ z j > c} = p 0 α/p < α j=1 j=1 ) Odrzucamy H 0j gdy z j Φ (1 1 α 2p = 2 log p(1 + o p ) Procedura Benjaminiego-Hochberga (1) z (1) z (2) z (p) (2) Ustal najwiȩksze j takie, że Nazwij ten indeks j SU z (j) Φ 1 (1 α j ), α j = α j 2p, (1) (3) Odrzuć H (j) wtedy i tylko wtedu gdy j j SU

42 Korekta Bonferroniego y * Sorted y Bonferroni level k

43 Korekta Benjaminiego-Hochberga y * Sorted y BH level k

44 Kontrola FDR (Benjamini,Hochberg, JRSSB 1995) Jeżeli z 1,, z p sa niezależne to BH kontroluje FDR na poziomie

45 Kontrola FDR (Benjamini,Hochberg, JRSSB 1995) Jeżeli z 1,, z p sa niezależne to BH kontroluje FDR na poziomie [ ] V FDR = E = α p 0 R 1 p (2)

46 Kontrola FDR (Benjamini,Hochberg, JRSSB 1995) Jeżeli z 1,, z p sa niezależne to BH kontroluje FDR na poziomie [ ] V FDR = E = α p 0 R 1 p (2) (Benjamini, Yekutieli, Ann Statist 2001) Jeżeli statystyki testowe sa "dodatnio skorelowane"to BH kontroluje FDR na poziomie α p 0 p Niezależnie od stopnia i rodzaju zależności miȩdzy statystykami testowymi FDR jest kontrolowane jeżeli z (j) porównujemy z ) Φ (1 1 jα 2p p i=1 1 i

47 Asymptotyczna optymalność gdy testy sa niezależne τ = p p 0 p - procent hipotez alternatywnych (rzadkość) τ 0 gdy p

48 Asymptotyczna optymalność gdy testy sa niezależne τ = p p 0 p - procent hipotez alternatywnych (rzadkość) τ 0 gdy p Abramovich, Benjamini, Donoho and Johnstone, AnnStatist estymacja β z wykorzystaniem BH jest asymptotycznie optymalna (minimalizacja ˆβ β )

49 Asymptotyczna optymalność gdy testy sa niezależne τ = p p 0 p - procent hipotez alternatywnych (rzadkość) τ 0 gdy p Abramovich, Benjamini, Donoho and Johnstone, AnnStatist estymacja β z wykorzystaniem BH jest asymptotycznie optymalna (minimalizacja ˆβ β ) Bogdan, Chakrabarti, Frommlet, Ghosh, AnnStatist minimalizacja średniego kosztu, γ 0 - koszt błȩdu I rodzaju (fałszywego odkrycia), γ A - koszt błȩdu II rodzaju (pominiȩcie istotnego składnika)

50 Asymptotyczna optymalność gdy testy sa niezależne τ = p p 0 p - procent hipotez alternatywnych (rzadkość) τ 0 gdy p Abramovich, Benjamini, Donoho and Johnstone, AnnStatist estymacja β z wykorzystaniem BH jest asymptotycznie optymalna (minimalizacja ˆβ β ) Bogdan, Chakrabarti, Frommlet, Ghosh, AnnStatist minimalizacja średniego kosztu, γ 0 - koszt błȩdu I rodzaju (fałszywego odkrycia), γ A - koszt błȩdu II rodzaju (pominiȩcie istotnego składnika) Korekta Bonferroniego jest asymptotycznie optymalna gdy τ 1 p (p p 0 = const,ekstremalna rzadkość)

51 Asymptotyczna optymalność gdy testy sa niezależne τ = p p 0 p - procent hipotez alternatywnych (rzadkość) τ 0 gdy p Abramovich, Benjamini, Donoho and Johnstone, AnnStatist estymacja β z wykorzystaniem BH jest asymptotycznie optymalna (minimalizacja ˆβ β ) Bogdan, Chakrabarti, Frommlet, Ghosh, AnnStatist minimalizacja średniego kosztu, γ 0 - koszt błȩdu I rodzaju (fałszywego odkrycia), γ A - koszt błȩdu II rodzaju (pominiȩcie istotnego składnika) Korekta Bonferroniego jest asymptotycznie optymalna gdy τ 1 p (p p 0 = const,ekstremalna rzadkość) BH jest asymptotycznie optymalna gdy τ 0 i τp C (0, ]

52 Badania symulacyjne (Frommlet, Ruhaltinger, Twarog and Bogdan, 2011, CSDA) Próba POPRES rzeczywistych genomów z dbgap SNPów dla 649 osobników pochodzenia europejskiego

53 Badania symulacyjne (Frommlet, Ruhaltinger, Twarog and Bogdan, 2011, CSDA) Próba POPRES rzeczywistych genomów z dbgap SNPów dla 649 osobników pochodzenia europejskiego k = 40 przyczynowych niezależnych SNPów

54 Badania symulacyjne (Frommlet, Ruhaltinger, Twarog and Bogdan, 2011, CSDA) Próba POPRES rzeczywistych genomów z dbgap SNPów dla 649 osobników pochodzenia europejskiego k = 40 przyczynowych niezależnych SNPów 1000 replikacji z modelu addytywnego M Y = X M β M + ϵ, ϵ i (0, 1)

55 Badania symulacyjne (Frommlet, Ruhaltinger, Twarog and Bogdan, 2011, CSDA) Próba POPRES rzeczywistych genomów z dbgap SNPów dla 649 osobników pochodzenia europejskiego k = 40 przyczynowych niezależnych SNPów 1000 replikacji z modelu addytywnego M Y = X M β M + ϵ, ϵ i (0, 1) β j równomiernie rozłożone na odcinku [027, 066]

56 Power mbic2 mbic1 BH Bonf Power Heritability

57 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx

58 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx Y = β 0 + k i=1 β ix i + ϵ

59 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx Y = β 0 + k i=1 β ix i + ϵ Ĉov(Y, X 1 ) = β 1 ˆV arx1 + k i=2 β iĉov(x 1, X i ) + Ĉov(X 1, ϵ)

60 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx Y = β 0 + k i=1 β ix i + ϵ Ĉov(Y, X 1 ) = β 1 ˆV arx1 + k i=2 β iĉov(x 1, X i ) + Ĉov(X 1, ϵ) Załóżmy, że dla i > 1, Ĉov(X 1, X i ) N(0, σ 2 c )

61 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx Y = β 0 + k i=1 β ix i + ϵ Ĉov(Y, X 1 ) = β 1 ˆV arx1 + k i=2 β iĉov(x 1, X i ) + Ĉov(X 1, ϵ) Załóżmy, że dla i > 1, Ĉov(X 1, X i ) N(0, σ 2 c ) E k i=2 β iĉov(x 1, X i ) = 0

62 Problem z testami pojedynczymi ˆβ X Ĉov(Y,X) ˆV arx Y = β 0 + k i=1 β ix i + ϵ Ĉov(Y, X 1 ) = β 1 ˆV arx1 + k i=2 β iĉov(x 1, X i ) + Ĉov(X 1, ϵ) Załóżmy, że dla i > 1, Ĉov(X 1, X i ) N(0, σ 2 c ) E k i=2 β iĉov(x 1, X i ) = 0 V ar( k i=2 β iĉov(x 1, X i )) k i=2 β2 i σ2 c

63 Informacyjne kryteria wyboru modelu (1) Cel: Estymacja β w modelu Y = X n p β + ϵ, ϵ N(0, σ 2 I n n ), p >> n

64 Informacyjne kryteria wyboru modelu (1) Cel: Estymacja β w modelu Y = X n p β + ϵ, ϵ N(0, σ 2 I n n ), p >> n Zadanie wykonalne przy założeniu,że liczba niezerowych elementów β 0 = k << n (założenie rzadkości)

65 Informacyjne kryteria wyboru modelu (1) Cel: Estymacja β w modelu Y = X n p β + ϵ, ϵ N(0, σ 2 I n n ), p >> n Zadanie wykonalne przy założeniu,że liczba niezerowych elementów β 0 = k << n (założenie rzadkości) Kryteria wyboru modelu: minimalizujemy Y Xβ 2 + pen(k)

66 Informacyjne kryteria wyboru modelu (2) Bayesowskie Kryterium Informacyjne, BIC : pen(k) = σ 2 k log n

67 Informacyjne kryteria wyboru modelu (2) Bayesowskie Kryterium Informacyjne, BIC : pen(k) = σ 2 k log n BIC nie jest zgodne gdy p n (Bogdan et al (2008, QREI))

68 Informacyjne kryteria wyboru modelu (2) Bayesowskie Kryterium Informacyjne, BIC : pen(k) = σ 2 k log n BIC nie jest zgodne gdy p n (Bogdan et al (2008, QREI)) Risk Inflation Criterion [RIC, Foster and George (1994)] pen(k) = 2σ 2 k log p - "korekta Bonferroniego"

69 Informacyjne kryteria wyboru modelu (2) Bayesowskie Kryterium Informacyjne, BIC : pen(k) = σ 2 k log n BIC nie jest zgodne gdy p n (Bogdan et al (2008, QREI)) Risk Inflation Criterion [RIC, Foster and George (1994)] pen(k) = 2σ 2 k log p - "korekta Bonferroniego" BHRIC (Abramovich et al (2006), Foster and Stine (1999), Birge and Massart (2001)) pen(k) = 2σ 2 k i=1 log(p/i) - "korekta BH"

70 Informacyjne kryteria wyboru modelu (2) Bayesowskie Kryterium Informacyjne, BIC : pen(k) = σ 2 k log n BIC nie jest zgodne gdy p n (Bogdan et al (2008, QREI)) Risk Inflation Criterion [RIC, Foster and George (1994)] pen(k) = 2σ 2 k log p - "korekta Bonferroniego" BHRIC (Abramovich et al (2006), Foster and Stine (1999), Birge and Massart (2001)) pen(k) = 2σ 2 k i=1 log(p/i) - "korekta BH" Bogdan et al (Genetics, 2004), Żak-Szatkowska and Bogdan (CSDA,2011) mbic1, mbic2 - RIC i mric + kara σ 2 k log n

71 Wypukła relaksacja - LASSO, (Tibshirani, JRSSB 1995) LASSO to rozwia zanie problemu optymalizacji wypukłej { 1 argmin b y Xb λ L b 1 }, (LASSO) gdzie λ L > 0 jest parametrem wygładzaja cym

72 Wypukła relaksacja - LASSO, (Tibshirani, JRSSB 1995) LASSO to rozwia zanie problemu optymalizacji wypukłej { 1 argmin b y Xb λ L b 1 }, (LASSO) gdzie λ L > 0 jest parametrem wygładzaja cym Trudność - wybór λ L

73 Wypukła relaksacja - LASSO, (Tibshirani, JRSSB 1995) LASSO to rozwia zanie problemu optymalizacji wypukłej { 1 argmin b y Xb λ L b 1 }, (LASSO) gdzie λ L > 0 jest parametrem wygładzaja cym Trudność - wybór λ L λ L = 2 log p n - korekta Bonferroniego

74 Wypukła relaksacja - LASSO, (Tibshirani, JRSSB 1995) LASSO to rozwia zanie problemu optymalizacji wypukłej { 1 argmin b y Xb λ L b 1 }, (LASSO) gdzie λ L > 0 jest parametrem wygładzaja cym Trudność - wybór λ L 2 log p n λ L = - korekta Bonferroniego walidacja krzyżowa - optymalizacja własności predykcyjnych

75 (Sorted L-One Penalized Estimation, Bogdan, van den Berg, Sabatti, Su and Candés (AOAS, 2015)) to rozwia zanie problemu wypukłego 1 argmin b y Xb p σ λ i b (i), i=1 () gdzie b (1) b (p) i λ 1 λ p 0

76 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p

77 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi

78 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi Interesuja ce własności predykcyjne

79 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi Interesuja ce własności predykcyjne Ogólnodostȩpne pakiety na CRAN

80 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi Interesuja ce własności predykcyjne Ogólnodostȩpne pakiety na CRAN i) - Bogdan et al 2015, autor E Patterson

81 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi Interesuja ce własności predykcyjne Ogólnodostȩpne pakiety na CRAN i) - Bogdan et al 2015, autor E Patterson ii) grp - grupowe (wybór grup predykatorów), [Brzyski et al (arxiv, 2015)], autor - A Gossman

82 Kontrola FDR Gdy X i X j = 0 dla i j, to cia g λ i := Φ 1 (1 i q ) 2p pozwala na kontrolȩ FDR na poziomie qp 0 /p Heurystyczne procedury wyboru cia gu λ kontroluja cego FDR gdy regresory sa niezależnymi zmiennymi losowymi Interesuja ce własności predykcyjne Ogólnodostȩpne pakiety na CRAN i) - Bogdan et al 2015, autor E Patterson ii) grp - grupowe (wybór grup predykatorów), [Brzyski et al (arxiv, 2015)], autor - A Gossman iii) gene - aplikacja do badań asocjacyjnych, [Brzyski et al (przyjȩte do druku w Genetics)], autor - P Sobczyk

83 Symulacje w kontekście genetycznym n = p = 5000, niezależne SNPy

84 Symulacje w kontekście genetycznym n = p = 5000, niezależne SNPy Scenariusz 1: Y = Xβ + z - idealny model

85 Symulacje w kontekście genetycznym n = p = 5000, niezależne SNPy Scenariusz 1: Y = Xβ + z - idealny model Scenariusz 2: Nieliniowość - efekty dominancji: z ij = { 1 for aa, AA 1 for aa, (3) y = [X, Z][β X, β Z] + ϵ Szukamy tylko efektów addytywnych

86 Symulacje w kontekście genetycznym n = p = 5000, niezależne SNPy Scenariusz 1: Y = Xβ + z - idealny model Scenariusz 2: Nieliniowość - efekty dominancji: z ij = { 1 for aa, AA 1 for aa, (3) y = [X, Z][β X, β Z] + ϵ Szukamy tylko efektów addytywnych Scenariusze 3 i 4: Błȩdy z rozkładu Laplace a lub z pewnym odsetkiem obserwacji odstaja cych

87 Model idealny λ(i) (a) i λ G q=005 λ MC q=005 FDR (b) λ G λ MC Marginal tests number of relevant features Power (c) λ G λ MC Marginal tests number of relevant features

88 Odstȩpstwa od założeń λ G Marginal tests FDR Nonlinearity Laplace errors Outliers FDR number of relevant features number of relevant features Power Nonlinearity Laplace errors Outliers Power number of relevant features number of relevant features

89 Własności predykcyjne 1 Su and Candes (Ann Statist, 2016) - asymptotyczna optymalność gdy zmienne sa ortogonalne lub niezależne gausowskie 2 Nowak and Figuereido (AISTATS, 2016) - skupianie skorelowanych predykatorów i optymalna predykcja dla skorelowanych gaussowskich planów eksperymentu

90 Własności predykcyjne FDR (a) number of relevant features Power (b) number of relevant features percentage mse of µ (c) debiased, q=01 LASSO, cv LASSO debiased, α= number of relevant features

91 Predykcja - ukryte zmienne X n p = F n 20 C 20 p + ϵ 1 Y = F β + ϵ Tablica : Procentowy bła d predykcji p n adaptive lasso q =

92 Analiza danych rzeczywistych rs rs5883 FullBH UnivBH BICf BICb g mc LASSObonf LASSOcv rs rs rs v_c9_ rs rs5801 rs rs11988 rs v_c16_ rs rs v_c2_ v_c1_ rs5802 No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes Selection

93 Współpracownicy 1 Polska - M Żak-Szatkowska, P Biecek (UW), D Brzyski (UJ), P Sobczyk (PWr), P Szulc (PWr) 2 Vienna University, Medical University of Vienna - A Futschik, A Baierl, F Frommlet, F Koenig 3 TU Muenchen - C Czado, V Erhart 4 Stanford - EJ Candes, C Sabatti, W Su, E Van den Berg, E Patterson, C Peterson 5 Tulane University - A Gossman