Adam Nowaczyk. Zrozumieć Tarskiego

Transkrypt

1 Przegląd Filozoficzny Nowa Seria R. 23: 2014, Nr 3 (91), ISSN Tego nie można przeoczyć Zrozumieć Tarskiego Słowa kluczowe: A. Tarski, semantyczna teoria prawdy, języki sformalizowane, nauki dedukcyjne, znaczenie, przekład, spełnianie, metateoria, meta-metateoria, prosta teoria typów, kategorie semantyczne, języki skończonego rzędu 1. Artykuł ten przedstawia szczegółową interpretację monografii Alfreda Tarskiego Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, opublikowanej w roku Taka szczegółowa interpretacja wydaje się niezbędna, aby rozstrzygnąć związane z tą pracą kontrowersje. Wiadomo, że mimo starań autora, aby podjęte w niej zagadnienie i jego rozwiązanie przedstawić ściśle i w miarę możliwości przystępnie, wspomnianą monografię interpretowano na wiele sposobów. Niektóre jej interpretacje tworzono, aby dzieło Tarskiego poddać krytyce, inne zaś aby je bronić lub poprawić. Zdarzało się, że owe interpretacje wynikały z selektywnej lub nieuważnej lektury. Lecz zanim przystąpimy do zamierzonej interpretacji, warto zauważyć, że już wcześniej był Tarski autorem rozprawy Podstawowe pojęcia metodologii nauk dedukcyjnych 2, opublikowanej w języku niemieckim w roku Mówiąc o metodologii nauk dedukcyjnych miał Tarski na myśli dociekania, które Dawid Hilbert określał mianem metamatematyki. Przedmiotem tych dociekań były sformalizowane teorie matematyczne. Jednakże Tarski zauwa- 1 Korzystam tu z wyboru pism znakomicie opracowanego przez Jana Zygmunta, mianowicie: A. Tarski, Pisma logiczno-fi lozofi czne, Tom 1: Prawda, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Cytując omawianą monografię wskazuję w nawiasie numery stron z tego wydania. Monografia Tarskiego ukazała się wkrótce w przekładzie na niemiecki pt. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (1935) i znacznie później na angielski pt. The Concept of Truth in Formalized Languages (1956). 2 A. Tarski, Pisma logiczno-fi lozofi czne, Tom 2: Metalogika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001, s

2 10 żył, iż dociekania te odnosiły się do poszczególnych teorii matematycznych z osobna, co wymagało dostosowywania używanego aparatu pojęciowego do konkretnej teorii. Postanowił zatem stworzyć ogólną teorię dowolnych teorii sformalizowanych. Za pojęcia pierwotne tej teorii obrał pojęcie zdania i pojęcie konsekwencji, charakteryzując je odpowiednimi aksjomatami. Okazało się, że za pomocą tych dwóch pojęć można zdefiniować dziesiątki pojęć wtórnych charakteryzujących różne aspekty teorii sformalizowanych, nazywanych przezeń systemami dedukcyjnymi. Wspomniana rozprawa to dzieło o nieprzemijającym znaczeniu, natomiast pojęcie prawdy się w nim nie pojawiło. Oczywiście nie mogło się tam pojawić jako pojęcie wtórne, czyli zdefiniowane za pomocą pierwotnych. Jednakże Tarski mógł je wprowadzić jako dodatkowe pojęcie pierwotne, scharakteryzowane odpowiednimi aksjomatami 3. Z tej możliwości autor nie skorzystał. Postanowił pokazać, jak można skonstruować równoważnościową definicję pojęcia prawdy dla poszczególnych języków z osobna, rezygnując z ogólności charakterystycznej dla jego teorii systemów dedukcyjnych. Tarski był z wykształcenia i zainteresowań logikiem i matematykiem. Lecz chociaż utrzymywał ożywione kontakty z warszawskimi i wiedeńskimi filozofami, to zapewne nie podjąłby zadania polegającego na poszukiwaniu ścisłej definicji prawdy, gdyby nie dostrzegał potrzeby tego pojęcia na terenie metamatematyki. Skłoniło go do tego spostrzeżenie, że w dociekaniach w zakresie metamatematyki pojawiają się terminy o znaczeniu odpowiadającym potocznemu słowu prawda. Były to terminy takie jak słuszność (Richtigkeit) oraz ważność (Gültigkeit) 4. Używano ich w sensie intuicyjnym, a ponieważ pełniły w dociekaniach metamatematycznych rolę istotną, Tarski postanowił je zdefiniować za pomocą terminów niebudzących zastrzeżeń. Wyjaśnia to, dlaczego jego dociekania koncentrują się zgodnie z tytułem omawianej monografii na pojęciu prawdy w językach nauk dedukcyjnych. Tarski zauważył, że pojęcie prawdy trafnie, chociaż nieściśle, starali się objaśnić filozofowie. Dlatego liczył na to, że jego publikacją zainteresują się również, a nawet przede wszystkim, teoretycy poznania, czemu dał wyraz pisząc o swojej pracy, że: 3 Mógł posłużyć się aksjomatem: zbiór zdań prawdziwych jest systemem dedukcyjnym niesprzecznym i zupełnym, ponieważ pojęcia systemu dedukcyjnego, niesprzeczności i zupełności zostały już wcześniej zdefiniowane. Takich systemów jest oczywiście wiele, ale ich wspólną częścią są konsekwencje pustego zbioru zdań. Byłaby to bardzo ogólna teoria prawdy, w której można udowodnić wszystkie zasady metalogiki, w szczególności te, których dowodzi w omawianej tu monografii. 4 Tym ostatnim posłużył się Kurt Gödel w rozprawie, w której dowodził pełności systemu logiki elementarnej (rachunku funkcyjnego). Brak ścisłej definicji tego pojęcia Tarski potraktował jako niedostatek.

3 Zrozumieć Tarskiego 11 Centralne jej zagadnienie konstrukcja definicji zdania prawdziwego i ugruntowanie podstaw teorii prawdy należy do zakresu teorii poznania i zaliczane nawet bywa do naczelnych problematów tej gałęzi filozofii. Toteż liczę na to, że pracą tą zainteresują się przede wszystkim teoretycy poznania, że nie zrażając się uciążliwym miejscami aparatem pojęć i metod, nie stosowanym dotąd w uprawianej przez nich dziedzinie wiedzy zanalizują oni krytycznie zawarte w tej pracy wyniki i zdołają je spożytkować w dalszych dociekaniach z tego zakresu (s. 157). Te nadzieje autora się spełniły, chociaż nie zawsze tak, jak by sobie tego życzył. Od dziesiątków lat do jego monografii nawiązują prawie wszystkie publikacje podejmujące problemy filozoficzne związane z pojęciem prawdy. Natomiast wśród metodologów nauk dedukcyjnych nie spotkała się ona z uznaniem, w przeciwieństwie do późniejszych prac Tarskiego, w których posługuje się on pojęciem prawdy zrelatywizowanym do modelu języka, czyli do jednej z wielu możliwych jego interpretacji. Skutkiem tego, ta nowa, czyli teoriomodelowa teoria prawdy ma charakter ogólny, a ponadto stosuje się do obszernej klasy języków sformalizowanych. W teorii przedstawionej w omawianej tu monografii brak takiej ogólności; pojęcie prawdy odnosi się tu zawsze do konkretnego języka przy jego określonej interpretacji. Ów brak ogólności skłania wielu komentatorów do traktowania jej jako pierwszego i jeszcze niedoskonałego kroku w kierunku teoriomodelowej teorii prawdy jako produktu finalnego, a tym samym do interpretowania jej z perspektywy tejże teorii. W istocie mamy tu do czynienia z dwoma różnymi, aczkolwiek podobnymi teoriami prawdy, lecz ich podobieństwo sprowadza się do tego, że w obu Tarski posługuje się pojęciem spełniania. Teoriomodelowe pojęcie prawdy w tej postaci, w jakiej się je przedstawia współcześnie w prawie każdym zaawansowanym podręczniku logiki, pojawiło się dopiero w roku 1957 w rozprawie Tarskiego, której współautorem był jego uczeń Robert Vaught 5. Pisząc omawianą tu monografię autor ścisłym pojęciem modelu jeszcze nie dysponował. Jednakże nigdy nie traktował swojego dzieła jako nie w pełni udanego, lecz jako dzieło wartościowe w kształcie zastanym. Świadczy o tym fakt, że przedstawioną w nim teorię prawdy starał się propagować jeszcze w roku , kiedy teoria modeli już się w pełni ukonstytuowała. 2. Przedmiotem naszej interpretacji będzie tu wyłącznie monografia z roku 1933, ponieważ to właśnie ona jest dla większości filozofów źródłem inspira- 5 Nosi ona tytuł Arithmetical extensions of relational systems, ponieważ model języka utożsamia się tu właśnie z systemem relacyjnym. 6 W artykule Truth and Proof opublikowanym w Scientific American. Przekład polski Prawda i dowód jest dostępny w cytowanym wyborze pism na s

4 12 cji, a także przedmiotem krytyk i kontrowersji 7. A ponieważ autor korzystał w niej z pojęć i metod natury ściśle matematycznej, proponował filozofom zapoznanie się z nimi, pisząc: Rad będę, jeśli praca niniejsza przekona czytelnika, że środki powyższe stanowią już w chwili obecnej niezbędny aparat pomocniczy nawet przy rozważaniu zagadnień o charakterze czysto filozoficznym (s. 16). Niestety, znaczna część filozofów z rady tej nie skorzystała, skutkiem czego pojawiło się wiele niestarannych, a nawet błędnych interpretacji. Swoją monografię rozpoczyna Tarski od słów: Praca niniejsza poświęcona jest niemal całkowicie jednemu tylko zagadnieniu: problematowi defi nicji prawdy; istota jego polega na tym, by mając na uwadze ten lub inny język skonstruować merytorycznie trafną i formalnie poprawną definicję terminu zdanie prawdziwe. Zagadnienie to, zaliczane do klasycznych problematów filozofii, nastręcza nie byle jakie trudności: mimo że potoczne, zastane znaczenie terminu wydaje się dość wyraźne i przejrzyste... (s. 14) Następnie autor zaznacza, że:...w całej tej pracy chodzi mi wyłącznie o uchwycenie tych intuicji, które tkwią w tzw. klasycznym rozumieniu prawdziwości, tj. tego rodzaju rozumieniu, według którego prawdziwe to tyle, co zgodne z rzeczywistością... (s. 15) Tarski przytacza dwie wypowiedzi, które to klasyczne pojęcie prawdy charakteryzują. (1) Jest fałszem powiedzieć o tym, co jest, że nie jest, lub o tym, co nie jest, że jest; jest prawdą powiedzieć o tym, co jest, że jest, lub o tym, co nie jest, że nie jest. (2) Zdanie prawdziwe jest to zdanie, które wyraża, że tak a tak się rzeczy mają, i rzeczy mają się tak właśnie. (s. 18) 7 Krytyczne komentarze odnoszące się do teorii prawdy Tarskiego pojawiły się z chwilą opublikowania jego monografii w języku niemieckim i pojawiają się do dziś. Kwestionuje się głównie walory eksplanacyjne tej teorii i jej filozoficzną doniosłość. Najobszerniejszą kolekcję takich komentarzy przedstawia Jan Woleński w monografii Epistemologia: poznanie, prawda, wiedza, realizm, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005, rozdz. IX; również wcześniej w Metamatematyce a epistemologii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, rozdz. VIII. Pojawiające się w owych komentarzach zarzuty autor stara się odeprzeć. Ja nie podejmuję się ich analizy, ponieważ rozsadziłoby to ramy artykułu. Ponadto sądzę, że część z nich nie zasługuje na uwagę.

5 Zrozumieć Tarskiego 13 Pierwsza to wypowiedź Arystotelesa, druga zaś to jego własne sformułowanie wzorowane na pewnych wypowiedziach Kotarbińskiego. Tarski odwołuje się explicite do sformułowania (2), starając się je wyeksplikować. Przyznaje, że jest ono niedoskonałe pod względem poprawności formalnej, ale:...sens intuicyjny i ogólna intencja tego wysłowienia wydają się dość przejrzyste i zrozumiałe; zadaniem definicji semantycznej [pojęcia prawdy] byłoby właśnie sprecyzowanie tej intencji i ujęcie jej w poprawną formę (s. 18). Występujący w (2) termin wyraża nie jest tu najbardziej stosowny. W przekładzie angielskim występuje tu mówi (says), ale naszym zdaniem najwłaściwszy byłby tu termin znaczy. Wydaje się, że eksplikacją wypowiedzi (2) mógłby być schemat: (2 ) Zdanie x jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy x znaczy, że p, i p. Jednakże taką równoważność można uznać za niepoprawną merytorycznie, ponieważ wynika z niej, że aby zdanie śnieg pada nie było prawdziwe, wystarczy, aby nie znaczyło ono, że śnieg pada. A przecież zdanie śnieg pada mogłoby znaczyć coś innego, na przykład że wiatr wieje, i być zdaniem prawdziwym. Aby tej konsekwencji uniknąć, należałoby schematowi (2 ) nadać postać implikacji: (2 ) Jeżeli zdanie x znaczy, że p, to x jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy p. Taka implikacja może budzić pewne zastrzeżenia z uwagi na nieekstensjonalny zwrot znaczy, że, ale jest merytorycznie trafna i zapewne taki powinien być sens wypowiedzi (2). Natomiast Tarski jako eksplikację (2) zaproponował inny schemat: (S) x jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p, w którym za zmienną p można podstawić dowolne zdanie, a za x nazwę tego zdania. Posługując się cudzysłowowymi nazwami zdań, można z tego schematu uzyskać zdanie:

6 14 śnieg pada jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada 8 (s. 18). Wzmianka o tym, co zdanie śnieg pada znaczy, już się tu nie pojawia. Pojęcie znaczenia, które zostało tu pominięte, jest pojęciem semantycznym, związanym znaczeniowo z pojęciem prawdy 9. A pewne pojęcie semantyczne w postaci powiedzieć o występuje również w cytowanej wypowiedzi Arystotelesa. Ich pominięcie w podstawieniach schematu (S) może zatem budzić wątpliwość, czy pojęcie prawdy, które postanowił zdefiniować Tarski, jest rzeczywiście klasycznym pojęciem prawdy. Wątpliwość tę można oddalić, kiedy się zauważy, że w jego teorii prawdy jednak pojawiają się pewne pojęcia semantyczne, w tym również pojecie znaczenia, w pewnym znaczeniu tego słowa. Teza, że zdania mogą być prawdziwe niezależnie od tego, co one znaczą, jest oczywiście nie do przyjęcia, zatem pewni interpretatorzy monografii Tarskiego utrzymują, że tu i we wszystkich innych kontekstach miał on na myśli zdania wyposażone w określone znaczenie 10. Wówczas tezy, że zdania mogą być prawdziwe niezależnie od tego, co one znaczą, nie można Tarskiemu przypisać. Jednakże faktem jest, że autor posługiwał się wielokrotnie terminami znaczenie, równoznaczność i przekład, nie próbując ich wyeksplikować. Kwestia, co się za nimi kryje, czyli jakim pojęciem równoznaczności bądź przekładu posługiwał się Tarski, wymaga oczywiście wyjaśnienia, którego udzielimy poniżej. 3. Wpierw jednak powinniśmy zająć się postawionym przez Tarskiego pytaniem, czy można zdefiniować pojęcie zdania prawdziwego dla zdań języka potocznego. Tarski utrzymuje, że nie jest to możliwe ze względu na uniwersalizm tego języka, który pozwala w nim sformułować antynomię zwaną tradycyjnie antynomią kłamcy. Możliwość takiej antynomii bierze się stąd, że 8 Tym właśnie przykładem posłużył się Tarski. Natomiast Tadeusz Kotarbiński w swojej recenzji zaważył, że sugeruje on, iż zdanie śnieg pada jest prawdziwe tylko w piątki, jeżeli śnieg pada tylko w piątki. Pod wpływem tej uwagi Tarski zmienił przykład na śnieg jest biały lub jego przekład na angielski. Przykład ten stał się tak popularny, że ilekroć wpiszemy do wyszukiwarki snow is white, trafimy na strony traktujące o Tarskim i pojęciu prawdy. 9 Wszak powszechnie zakłada się, że zdania o tym samym znaczeniu są oba prawdziwe bądź oba fałszywe. 10 Tak utrzymuje Jan Woleński, ale zauważa, że pojęcie znaczenia nie zostało przez Tarskiego wykorzystane w jego definicji pojęcia prawdy. Dlatego zarzut, iż Tarskiego definicja pojęcia prawdy opiera się na niejasnym pojęciu znaczenia, uważa za chybiony. Natomiast utrzymuje, że Tarski istotnie posługiwał się niejasnym pojęciem znaczenia, ale nie można mu z tego tytułu robić zarzutu, ponieważ nikomu nie udało się tego pojęcia zadowalająco zdefiniować. Vide: J. Woleński Epistemologia, dz. cyt., s. 277.

7 Zrozumieć Tarskiego 15 predykat prawdziwy orzeka się o zdaniach, w których on sam występuje. Jednakże abstrahując od zagrożenia antynomią kłamcy Tarski rozważa możliwą postać definicji prawdy dla języka potocznego z wykorzystaniem nazw cudzysłowowych. Zakładając, że każdemu zdaniu odpowiada jego nazwa cudzysłowowa, rozważa definicję postaci: dla dowolnego x x jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego p x jest identyczne z p i przy tym p (s. 23). Autor bierze tu pod uwagę dwie interpretacje nazw cudzysłowowych. Przy pierwszej jest ona jednostkową nazwą wyrażenia, które występuje między znakami cudzysłowu. Wówczas p jest nazwą litery p, a powyższa definicja pozbawiona jest ogólności i jawnie niedorzeczna z intuicyjnego punktu widzenia. W drugiej interpretacji cudzysłów jest funktorem nazwotwórczym o argumencie zdaniowym, który pozwala zdaniu podstawionemu za zmienną p przyporządkować jego nazwę. Tu Tarski dowodzi, że takie użycie cudzysłowu pozwala sformułować pewną antynomię. W szczegóły tej argumentacji wnikać nie będziemy. Istotne jest dla nas tylko to, że pod jej wpływem postanowił w swojej definicji zdania prawdziwego nie posługiwać się nazwami cudzysłowowymi zdań, lecz tylko strukturalnoopisowymi, czyli przedstawiającymi zdanie jako ciąg znaków prostych. 4. Powróćmy do kwestii, czy Tarski poszukując definicji zdania prawdziwego miał na myśli zdania wyposażone w określone znaczenie. Zdaje się za tym przemawiać szereg komentarzy poprzedzających sformułowanie tej definicji. Rezygnując z prób zdefiniowania pojęcia prawdziwości dla zdań języka potocznego, autor informuje, że będzie rozważał wyłącznie kwestię prawdziwości zdań języków sformalizowanych. Tu pojawia się uchodząca za nader tajemniczą następująca ich charakterystyka: Mógłbym je scharakteryzować nader ogólnikowo jako tego rodzaju (sztucznie skonstruowane) języki, w których sens każdego wyrażenia jest jednoznacznie wyznaczony przez jego kształt (s. 31). Stwierdzenie, że sens każdego wyrażenia jest jednoznacznie wyznaczony przez jego kształt, należy zapewne rozumieć następująco: każdemu wyrażeniu danego kształtu odpowiada dokładnie jedno znaczenie. Jest to po prostu odrzucenie wieloznaczności. Autor chciał tu zapewne powiedzieć, że języki sformalizowane to takie, w których wyrażeniom danego kształtu można przypisać jedno i tylko jedno znaczenie. Tu oczywiście pojawia się pytanie, jak tego dokonać.

8 16 Bezpośrednio po owej tajemniczej wypowiedzi następuje inna i pełniejsza charakterystyka języków sformalizowanych. Autor wyjaśnia, że składa się na nią opis znaków, z których tworzy się wyrażenia złożone, wyróżnienie wyrażeń, które są zdaniami, reguł, które pozwalają opisać operację konsekwencji, oraz zdań będących zdaniami pierwotnymi, czyli aksjomatami języka. Te ostatnie mają zarazem być aksjomatami sformułowanej w nim teorii. Jest to charakterystyka czysto strukturalna, czyli jak mówi Tarski morfologiczna. Po tej charakterystyce, która ma charakter ogólny, następuje ścisły i nadzwyczaj skrupulatny opis konkretnego języka sformalizowanego, który w dociekaniach Tarskiego pełni rolę królika doświadczalnego. Poprzedza go jednakże komentarz, w którym ponownie mówi się o znaczeniach jakoby przysługujących językom sformalizowanym. Zbyteczne jest może dodawać, że nie interesują tu nas wcale języki i nauki formalne w pewnym specyficznym znaczeniu tego wyrazu, a mianowicie tego rodzaju nauki, iż występującym w nich znakom i wyrażeniom nie przypisuje się żadnego intuicyjnego sensu; w odniesieniu do takich nauk postawione tu zagadnienie traci wszelką rację bytu i przestaje być po prostu zrozumiałe. Znakom występującym w tych językach, których dotyczą niniejsze rozważania, przypisujemy zawsze całkiem konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie; wyrażenia, które nazywamy zdaniami, pozostają zdaniami i po przełożeniu zawartych w nich znaków na język potoczny; zdania, wyróżnione jako aksjomaty, wydają nam się intuicyjnie prawdziwe; przy wyborze reguł wnioskowania kierujemy się właśnie intencją, by reguły te, zastosowane do zdań prawdziwych, prowadziły zawsze do zdań prawdziwych (s. 33). Cytat ów wymaga krytycznej analizy. Wszak języki, których dotyczą niniejsze rozważania to języki sformalizowane, czyli scharakteryzowane w sposób strukturalny. Kiedy zaś autor mówi, że znakom występującym w tych językach przypisujemy (...) całkiem konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie, to mówi o znaczeniach, które należy im przypisać, aby zagadnienie prawdziwości zdań miało sens. I tu ponownie pojawia się pytanie: w jaki sposób? Tym razem autor sam na nie odpowiada: przez przełożenie na język potoczny, a zarazem sygnalizuje, co ów przekład ma zachowywać. Otóż przekładem zdań, którym przypiszemy prawdziwość, mają być zdania, które wydają się nam intuicyjnie prawdziwe. Ponadto definiując relację konsekwencji między zdaniami języka sformalizowanego, powinniśmy zadbać o to, aby odwzorować relację wynikania między ich przekładami. Później okazuje się, że owym językiem potocznym ma być język niesformalizowanej metateorii. Aby zilustrować swoją metodę definiowania pojęcia zdania prawdziwego w językach sformalizowanych, Tarski posłużył się nadzwyczaj prostym językiem, który nazwał językiem algebry klas. Nazywając go w ten sposób, zasugerował pewną jego interpretację, ponieważ algebra klas to fragment szeroko

9 Zrozumieć Tarskiego 17 rozumianej logiki będącej fragmentem niesformalizowanej metateorii. Tę algebrę traktuje autor jako teorię zinterpretowaną w określony sposób, mianowicie jako traktującą o klasach indywiduów. Nie oznacza to jeszcze przypisania sformalizowanemu językowi algebry klas interpretacji ściśle określonej. Nie wskazują jej również dalsze wyjaśnienia, w których autor stara się ową interpretację objaśnić w sposób nieformalny, wyjaśniając, że występujący w omawianym języku predykat I jest znakiem inkluzji równoznacznym z potocznym jest zawarte w. W tej nieformalnej charakterystyce znajdujemy również istotne, choć dalece niepełne, informacje z zakresu składni. Jako znaki stałe wymienia się symbole: N, A, Π oraz I. Trzy pierwsze każe autor interpretować kolejno jako znak negacji, alternatywy (którą nazywa sumą logiczną) i kwantyfikatora ogólnego. Jako zmienne, których powinno być nieskończenie wiele, wskazuje wyrażenia postaci: x, x, x itd. Przykłady wyrażeń złożonych to między innymi: NIx x, Πx Ix x, Πx Πx AIx x Ix x 11. Aby uniknąć nawiasów, Tarski zastosował tu wymyśloną przez Łukasiewicza tzw. notację polską, w której funktor zawsze poprzedza swoje argumenty. Powyższa charakterystyka języka algebry klas jest oczywiście niepełna nawet pod względem syntaktycznym. Naszym zdaniem, pojawiła się ona wyłącznie z powodów dydaktycznych. Dzięki temu, że autor posłużył się tu nazwami cudzysłowowymi, czytelnik dowiaduje się, jak wyglądają wyrażenia języka algebry klas, czego nie mógłby się dowiedzieć z ich późniejszej oficjalnej prezentacji w częściowo sformalizowanym metajęzyku. Tam Tarski, aby ustrzec się antynomii, unika nazw cudzysłowowych, stosując wyłącznie nazwy strukturalnoopisowe, w których nie pojawiają się wyszczególnione powyżej znaki, lecz tylko ich nazwy. Zatem gdyby nie powyższe skromne informacje o sformalizowanym języku algebry klas, czytelnik nie mógłby się dowiedzieć, do czego owe nazwy się odnoszą, czyli jak wyglądają wyrażenia języka sformalizowanego, który autor ma na myśli. 5. Tu pożyteczne byłoby spostrzeżenie natury ogólnej. Zachodzi istotna różnica w naszym naturalnym podejściu do języka przedmiotowego, którym jest tutaj język algebry klas, i do jego metajęzyka. Sformalizowany język przedmiotowy jest językiem, który konstruujemy przypisując mu pewne własności stosownie do celu, któremu ma służyć. Natomiast metajęzyk to język, w którym go opisujemy i ewentualnie interpretujemy. Jest to język, którego używamy, zatem jego wyrażeniom faktycznie mówiąc słowami Tarskiego przypisujemy zawsze konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie. Wszak 11 Możemy zauważyć, że pierwsze to funkcja zdaniowa z dwoma zmiennymi wolnymi, dwa pozostałe to zdania, wśród nich drugie to zdanie ewidentnie fałszywe. Jednakże pojęcia, którymi się tu posłużyliśmy, nie zostały jeszcze przez Tarskiego zdefiniowane.

10 18 każdy, kto posługuje się pewnym językiem, w komunikacji lub dociekaniach teoretycznych, milcząco zakłada, że wyrażenia tego języka mają określone znaczenie i są dlań zrozumiałe (przynajmniej dopóki ten ktoś nie dojdzie do wniosku, że jest inaczej). Jest to założenie o charakterze heurystycznym, które jednakże nie gwarantuje, że nasze przekonanie, iż rozumiemy to, co mówimy, nie jest złudzeniem 12. Powiedzenie Tarskiego, że wyrażeniom przypisujemy konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie powinno zatem odnosić się pierwotnie do metajęzyka i dopiero wtórnie za pośrednictwem jakiegoś przekładu do języka przedmiotowego. Pytanie, co ów przekład odwzorowuje, jest dla interpretacji teorii prawdy Tarskiego nader istotne, zatem powinniśmy je poniżej rozważyć. Należy ponadto zauważyć, że w omawianej monografii sformalizowany język algebry klas nie jest traktowany jako fragment metajęzyka. Gdyby tak było, to musielibyśmy przyznać, że również jego wyrażeniom przypisujemy całkiem konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie, nie korzystając z żadnego przekładu. Lecz wówczas pojawiłoby się pytanie, w jaki sposób moglibyśmy taką zdolność rozumienia osiągnąć, skoro jest to język sztucznie skonstruowany? Zapewne za pomocą przekładu na jakiś język już dla nas zrozumiały. Co prawda Tarski nie wykluczał, iż sformalizowany język algebry klas mógłby być częścią metajęzyka, a niektórzy komentatorzy takie rozwiązanie traktują jako lepsze, a nawet jedynie poprawne, ponieważ uwalnia nas ono od posługiwania się pojęciem przekładu, co ich zdaniem polegałoby na transmisji znaczeń w niejasnym tego słowa znaczeniu. 6. Teraz powinniśmy przyjrzeć się dokładniej metajęzykowi, w którym Tarski konstruuje definicję zdania prawdziwego w języku algebry klas, który odtąd będziemy oznaczać skrótem J AK. Ów metajęzyk to w istocie potężna metateoria, obejmująca logikę w bardzo szerokim tego słowa znaczeniu 13. Poza tym, co obecnie nazywamy stałymi logicznymi, występują w niej liczne terminy matematyczne i teoriomnogościowe. Autor nazywa je wszystkie ogólnologicznymi. Inną kategorię terminów stanowią tu nazwy o charakterze strukturalnoopisowym. Te mają się odnosić do znaków i wyrażeń scharakteryzowanego już wcześniej, lecz tylko pobieżnie, sformalizowanego języka J AK. Autor wyjaśnia, że wprowadzone przezeń symbole ng, sm, qu, in. v k są kolejno nazwami znaków N, A, Π, I oraz k-tej zmiennej. Jednakże 12 Zdarza się, że filozofowie zarzucają innym filozofom, iż ich wypowiedzi są pozbawione znaczenia, co może oznaczać, że ci drudzy sami nie rozumieją tego, co mówią. 13 Tarski odsyła czytelnika do systemu przedstawionego w dziele Whiteheada i Russella Principia Mathematica, który wówczas uchodził za system logiki. Faktycznie korzysta z jego poprawionej wersji zwanej prostą teorią typów. Obecnie tę teorię uważa się za pewną wersję teorii mnogości.

11 Zrozumieć Tarskiego 19 tej informacji nie może wyrazić w języku metateorii, w której żadne nazwy cudzysłowowe nie występują. Symbole ng, sm, qu, in, v k są w niej wyrażeniami pierwotnymi, scharakteryzowanymi za pomocą odpowiednich aksjomatów. Można z nich tworzyć nazwy wyrażeń złożonych, posługując się znakiem konkatenacji, który również jest tu wyrażeniem pierwotnym, scharakteryzowanym za pomocą innych aksjomatów. Konkatenacja to operacja składania wyrażeń przez napisanie jednego tuż za drugim. Stąd wyrażenie ((ng in) v 1 )v 2 może być nazwą wyrażenia NIx x Jednakże nazwy takie nie mają w metateorii ustalonego odniesienia, zatem język, o którym mówi Tarski, może być dowolnym językiem sformalizowanym, izomorficznym z tym, który wcześniej przedstawiał ad oculos posługując się nazwami cudzysłowowymi. Z taką sytuacją mamy oczywiście do czynienia zawsze, ilekroć wyrażenia pewnej teorii charakteryzujemy wyłącznie za pomocą aksjomatów i definicji; przedmiot teorii jest wówczas wskazany co najwyżej z dokładnością do izomorfizmu. Nazwy wyrażeń złożonych tworzone za pomocą znaku konkatenacji są z reguły bardzo skomplikowane i trudno czytelne, dlatego Tarski posługuje się ich umownymi skrótami. Tutaj z tych skrótów nie będziemy korzystać, posługując się nieco innymi. Na przykład strukturalnoopisową nazwą wyrażenia Px Ix x jest (((qu v 1 ) in)) v 1 ) v 1, ale ponieważ operacja konkatenacji jest łączna, można w niej pominąć nawiasy, pisząc: qu v 1 in v 1 v 1. Tu zastosujemy dalsze uproszczenie zapisu, usuwając znaki konkatenacji. Wówczas nazwą wyrażenia Πx Ix x będzie quv 1 inv 1 v 1, co te dwa wyrażenia wyraźnie do siebie upodobni, czyniąc je łatwo czytelnymi. Wyrażenie, którego nazwą jest quv 1 inv 1 v 1, jest zdaniem, co pozwala postawić kwestię jego prawdziwości. Jednakże definicja zdania prawdziwego, do której Tarski zmierza, wymaga wielu pojęć pomocniczych z gatunku ogólnologicznych, a ponadto uprzedniego zdefiniowania długiego szeregu pojęć z zakresu składni, zwanej tu morfologią języka, między innymi pojęć: funkcji zdaniowej, zmiennej wolnej, zmiennej związanej, zdania (czyli funkcji zdaniowej bez zmiennych wolnych), operacji konsekwencji, a także aksjomatu i tezy (czyli zdania będącego konsekwencją aksjomatów). Czytelnika, który chciałby się z nimi zapoznać, odsyłamy do oryginału (s ). Definicje tych pojęć są skomplikowane ze względu na to, że są, jak tego wymaga składnia, strukturalne, czyli morfologiczne. Ponieważ pojęcia te odnoszą się wyłącznie do wyrażeń języka J AK, pojawia się pytanie, czy nie zachodzi tu ukryta relatywizacja do tego języka. Oznaczałoby to, że wyrażenie J AK jest nazwą indywiduową konkretnego języka. Wyrażenie to ma oczywiście pewien sens intuicyjny, ale jeśli tylko taki, to definicje wyrażeń w rodzaju funkcja zdaniowa języka J AK nie mieściłyby się w czystej składni, czyli nie mogłyby być jak sobie tego życzył Tarski morfologiczne. Zatem należy raczej założyć, że to defini-

12 20 cje wskazanych powyżej pojęć syntaktycznych stanowią łącznie jednoznaczną charakterystykę sformalizowanego języka J AK. Wówczas definicja tego języka powinna mieć postać następującej deskrypcji jednostkowej: J AK to ten język, w którym funkcją zdaniową, zmienną wolną, zmienną związaną, operacją konsekwencji, aksjomatem i tezą są odpowiednio:... W miejscu kropek powinny tu wystąpić kolejno strukturalne charakterystyki wskazanych tu pojęć sformułowane przez Tarskiego. Jeżeli nazwa jednostkowa J AK jest terminem składni, to wyrażenia takie jak x jest funkcją zdaniową języka J AK nie powinny budzić zastrzeżeń. Tarski założył, że pojęcia aksjomatu i tezy zawarte są w konstytutywnej charakterystyce języka J AK, ponieważ, jego zdaniem, w naukach dedukcyjnych:...język zrasta się z nauką w jedną całość tak, że zamiast mówić o tym lub innym sformalizowanym języku, mówi się o języku tej lub innej sformalizowanej nauki dedukcyjnej (s. 32). Z tym założeniem trudno się zgodzić, ponieważ w tym samym języku sformalizowanym można wyrazić wiele teorii, wiążąc z nim różne interpretacje. Warto natomiast zauważyć, że przyjęte przez Tarskiego definicje konsekwencji i aksjomatu języka nie są arbitralne; konsekwencja jest tu odwzorowaniem intuicyjnego pojęcia wynikania logicznego odpowiadającego logice funkcjonującej w metateorii, a aksjomaty są odpowiednikami pewnych zdań w niej uznanych, czyli traktowanych jako prawdziwe. 7. Definicja zdania prawdziwego, którą Tarski zaproponował jako merytorycznie trafną, to definicja semantyczna. Jednakże brał on pod uwagę również definicję o charakterze czysto strukturalnym. W takiej definicji zbiór zdań prawdziwych danego języka byłby utożsamiony ze zbiorem jego tez. To rozwiązanie autor odrzucił zauważając, że:...pojęcie tezy w odniesieniu do niektórych nauk dedukcyjnych nosi dość przypadkowy charakter, związany głównie z historycznym rozwojem nauki; trudno niekiedy wskazać obiektywne względy, dla których w tym lub innym kierunku zwężamy lub rozszerzmy zakres tego pojęcia (s. 59, przyp. 40). Ponadto, zdaniem Tarskiego:...żadna zgodna z intuicją definicja zdania prawdziwego nie powinna pociągać za sobą konsekwencji sprzecznych z zasadą wyłączonego środka (s. 58).

13 Zrozumieć Tarskiego 21 Tymczasem w większości teorii sformalizowanych jest tak, że z dwóch zdań, z których jedno jest negacją drugiego, żadne nie jest tezą, a wówczas:...zakresy obu rozważanych pojęć nie pokrywają się; wszystkie tezy są niewątpliwie z intuicyjnego punktu widzenia zdaniami prawdziwymi (...), ale definicja zdania prawdziwego, której szukamy, musi obejmować nadto zdania nie będące tezami (s. 59). Pewne teorie sformalizowane są jednakże zupełne, czyli każde zdanie bądź jego negacja jest w nich tezą. Zasada wyłączonego środka jest wówczas spełniona, zatem w odniesieniu do takich języków można by posłużyć się definicją strukturalną postaci: zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest tezą 14. Jeżeli zbiór tez jest niesprzeczny, to takie pojęcie zdania prawdziwego pokrywałoby się zakresowo z pojęciem zdefiniowanym sposobem semantycznym, ale ich treść byłaby różna. To pierwsze byłoby niewątpliwie pojęciem syntaktycznym, bo takim jest pojęcie tezy, drugie zaś semantycznym. Jednakże Tarski oznajmia, że również swoją semantyczną definicję zdania prawdziwego zamierza sformułować w morfologii języka J AK, a przecież morfologia to właśnie składnia. To oświadczenie wywołuje u wielu czytelników konsternację, ponieważ są oni słusznie przekonani, że pojęcia prawdy nie można zdefiniować odwołując się wyłącznie do kształtu i uporządkowania symboli. Jednakże również Tarski ma tu rację, ponieważ kluczowe w jego definicji zdania prawdziwego w języku J AK pojęcie zawierania się klas zaliczył do ogólnologicznych, te zaś traktował jako pojęcia pomocnicze składni. Już we wstępie do swojej monografii Tarski zauważył: Zagadnienie zdefiniowania tego lub innego pojęcia nie jest należycie postawione, dopóki nie ustali się listy terminów, przy pomocy których pragnie się żądaną definicję zbudować; jeśli przy tym definicja ma odpowiadać swemu właściwemu zadaniu, to sens terminów objętych tą listą nie powinien budzić żadnych wątpliwości (s. 14). Owymi terminami niebudzącymi żadnych wątpliwości są właśnie terminy należące do składni oraz wszystkie terminy ogólnologiczne. Po tym wyjaśnieniu następuje deklaracja:...w każdym razie nie zamierzam użyć w tej konstrukcji żadnego pojęcia natury semantycznej, o ile uprzednio nie uda mi się go sprowadzić do innych pojęć (s. 14). 14 W innym miejscu (s. 147) Tarski zauważa, że każdy język sformalizowany można uczynić w pewnym sensie zupełnym, jeśli w metateorii przyjmie się regułę wnioskowania zwaną regułą indukcji nieskończonej. To pozwoliłoby posłużyć się strukturalną definicją prawdy w odniesieniu do dowolnych języków sformalizowanych. Jeżeli Tarski przyznaje priorytet definicji semantycznej, to zapewne dlatego, że reguła indukcji nieskończonej jest nieefektywna.

14 22 Ta zapowiedź jest oczywiście podyktowana obawą przed antynomiami, do których prowadzi nieskrępowane posługiwanie się pojęciami semantycznymi. Pierwszym pojęciem semantycznym, który autor wprowadza za pomocą definicji, jest pojęcie spełniania. Jego sens intuicyjny znany jest każdemu z lekcji matematyki, na których mówiło się o spełnianiu przez konkretne liczby równań lub nierówności. Tu mówi się o spełnianiu funkcji zdaniowych zawierających zmienne wolne przez przedmioty będące ciągami klas indywiduów. Czym są indywidua i ich klasy, wyjaśnia założona w metateorii teoria typów, w której zakłada się, że indywiduów jest nieskończenie wiele 15. Nie ulega wątpliwości, że Tarski, mówiąc o klasach indywiduów, ma na myśli dowolne podzbiory owego nieskończonego zbioru indywiduów. Ponieważ funkcje zdaniowe mogą zawierać dowolną liczbę zmiennych wolnych, w ogólnej definicji spełniania dla języka J AK Tarski posłużył się nieskończonymi ciągami klas indywiduów. Przyjął konwencję, że jeśli f jest takim ciągiem, to jego kolejnymi wyrazami są f 1, f 2, f 3,..., f k,... To pozwoliło mu zdefiniować pojęcie spełniania metodą rekurencji, poczynając od funkcji zdaniowych najprostszych. Definicję taką można sformułować następująco: (D 1) f spełnia x wtedy i tylko wtedy, gdy f jest nieskończonym ciągiem klas indywiduów, x funkcją zdaniową języka J AK, a ponadto: (1) Jeżeli x = inv k v l, to f spełnia x wtedy i tylko wtedy, gdy f k f l. (2) Jeżeli y jest funkcją zdaniową, a x = ngy, to f spełnia x wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że f spełnia y. (3) Jeżeli y i z są funkcjami zdaniowymi, a x = smyz, to f spełnia x wtedy i tylko wtedy, gdy f spełnia y lub f spełnia z. (4) Jeżeli y jest funkcją zdaniową, a x = quv i y, to f spełnia x wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej klasy indywiduów a, ciąg f(i/a) spełnia y 16. Przedstawiona tu definicja spełniania różni się w szczegółach od oryginału tj. DEFINICJI 22 (s. 67), jednakże podobnie jak ona, jest definicją indukcyjną. Formuła (1) to tzw. warunek wyjściowy; trzy pozostałe to tzw. warunki indukcyjne To założenie nie ma odpowiednika wśród tez sformalizowanego języka J AK, zapewne dlatego, że na skutek jego ubóstwa nie można jej w nim wyrazić. Dałoby się to zrobić wzbogacając go o znak identyczności, co pozwoliłoby sformułować w nim aksjomat nieskończoności o treści następującej: dla dowolnej klasy a istnieje taka klasa b, że a b b a i b a. 16 Wyrażenie f(i/a) oznacza tu ciąg, który tym tylko różni się od f, że wyraz f i zastąpiono w nim klasą a. 17 Tarski wymaga, aby wszystkie definicje wprowadzanych pojęć miały postać definicji normalnych, czyli równoważnościowych. Dlatego definicje indukcyjne przekształca w normalne. Tutaj je pomijamy.

15 Zrozumieć Tarskiego 23 Komentując definicję spełniania, Tarski zauważa, że z pomocą tego pojęcia można również zdefiniować pojęcie oznaczania (denotowania). Warto to odnotować, ponieważ spotyka się zarzut, iż definiując pojęcie prawdy Tarski założył, że predykat in denotuje relację inkluzji, nie wyjaśniając, na czym to polega. Oznaczałoby to, że posłużył się pojęciem semantycznym, którego nie zdefiniował. Zarzut ten jest chybiony, ponieważ pojęcie to istotnie można zdefiniować w metateorii za pomocą pojęcia spełniania, na przykład w sposób następujący: in denotuje w języku J AK relację R wtedy i tylko wtedy, gdy: dowolny ciąg f spełnia inv k v l wtedy i tylko wtedy, gdy R(f k, f l ). Można to również wyrazić następująco: Denotacja in to taka relacja R, że dla dowolnego ciągu f, f k i f l spełniają inv k v l wtedy i tylko wtedy, gdy R(f k, f l ) 18. Zdania to funkcje zdaniowe, pozbawione zmiennych wolnych, zatem na ciągi, które miałyby je spełniać, nie nakłada się żadnych odnoszących się do nich warunków. Wynika stąd, że kiedy x jest zdaniem, to jeśli spełnia je pewien ciąg f, to spełnia je każdy ciąg. Z kolei jeśli pewien ciąg f nie spełnia zdania x, to nie spełnia go również żaden inny ciąg. Te okoliczności pozwalają Tarskiemu zdefiniować pojęcie zdania prawdziwego w sformalizowanym języku algebry klas następująco: (D 2) x jest zdaniem prawdziwym języka J AK wtedy i tylko wtedy, gdy każdy nieskończony ciąg klas spełnia x 19. Korzystając z tej definicji, definicji spełniania oraz wcześniejszych definicji pojęć syntaktycznych (zmiennej wolnej, zdania i konsekwencji) Tarski dowodzi 20 dwóch podstawowych zasad metalogicznych charakteryzujących pojęcie zdania prawdziwego w J AK. Są nimi: zasada sprzeczności (dla dowolnego zdania x, albo x nie jest zdaniem prawdziwym, albo ngx nie jest zdaniem prawdziwym), zasada wyłączonego środka (dla dowolnego zdania x, x jest zdaniem prawdziwym lub ngx jest zdaniem prawdziwym). Dowodzi również tezy, iż konsekwencje zdań prawdziwych są zdaniami prawdziwymi, a ponadto, że każdy aksjomat jest zdaniem prawdziwym. Jednakże w tym ostatnim przypadku dowód odwołuje się nie tylko do wspomnianych definicji. Na przykład, aby dowieść, że będące aksjomatem zdanie quv i inv i v i jest zdaniem prawdziwym języka J AK, trzeba powołać się również na tezę metateorii: dla dowolnej klasy a, a a, zakładając milcząco, że tezy metateorii są w intuicyjnym tego słowa znaczeniu prawdziwe. 18 Z obowiązującej w metateorii zasady ekstensjonalności wynika, że taka relacja R jest tylko jedna. 19 W oryginale brzmi ona nieco inaczej i nosi nazwę DEFINICJA 23 (s. 69). 20 Dowody te nie są proste, dlatego autor przedstawia jedynie ich szkice, nie chcąc obciążać pracy materiałem o charakterze ściśle dedukcyjnym (s. 73).

16 24 8. Definicja (D 2) jest oczywiście formalnie poprawną definicją zdania prawdziwego w języku J AK. Jednakże Tarski oczekuje, aby była ona również zgodnie z wyrażonym na wstępnie postulatem merytorycznie trafna, co ma polegać na tym, że spełnia ona UMOWĘ P (s. 60). Ta zaś głosi, że definicja (D 2) jest trafna, jeżeli pociąga za sobą wszystkie zdania dające się uzyskać ze schematu: (S) x jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p przez zastąpienie symbolu x nazwą strukturalnoopisową dowolnego zdania języka J AK, zaś symbolu p wyrażeniem stanowiącym jego przekład na metajęzyk. Pojęcie przekładu pełni tu rolę istotną, bowiem pod schemat (S) podpadają wszystkie równoważności, w których x jest dowolnym zdaniem języka J AK, a p dowolnym zdaniem metajęzyka. Pojęcie przekładu ma zatem oddzielić podstawienia właściwe od niewłaściwych. Tarski wielokrotnie posługiwał się terminem przekład, ale go nie zdefiniował. Ponadto zamiast o przekładzie często mówił o równoznaczności. Stąd zapewne wzięła się opinia, że w UMOWIE P posługuje się nieokreślonym pojęciem znaczenia, nie wyjaśniając nawet, kiedy dwa zdania są równoznaczne. Jest to przekonanie bezpodstawne. Tarski posługiwał się terminami przekład i równoznaczność zamiennie, ale wiązał z nimi sens ściśle określony. Ponadto wiedział, gdzie i w jaki sposób można je zdefiniować. Świadczy o tym następujący przypis: Gdybyśmy poddali metajęzyk i uprawianą na jej gruncie metanaukę procesowi formalizacji, dokładne ustalenie sensu różnych wyrażeń występujących w umowie P, takich jak poprawna formalnie defi nicja danego symbolu, nazwa strukturalnoopisowa danego wyrażenia rozważanego języka, przekład danego zdania (rozważanego języka) na metajęzyk [podkr. A.N.] nie sprawiłoby większych kłopotów; przy nieznacznej modyfikacji wysłowienia umowa sama zyskałaby wówczas charakter normalnej definicji z zakresu meta- -metanauki (przyp. 41, s. 61). Przekład, o którym mowa w UMOWIE P, to relacja między zdaniami języka przedmiotowego J AK i jego metajęzyka, zatem istotnie można go zdefiniować tylko w meta-metanauce. Jednakże nawet nie formalizując metanauki, można się domyśleć, jakiego rodzaju przekład autor miał na myśli i jakie są jego własności. Pomocny w tym jest wskazany przez Tarskiego przykład:...każdemu zdaniu należącemu do języka algebry klas odpowiada w metajęzyku z jednej strony pewna nazwa jednostkowa typu strukturalnoopisowego, z drugiej strony pewne zdanie równoznaczne [podkr. A.N.] ze zdaniem danym; tak np. zdaniu Πx Πx AIx x Ix x

17 Zrozumieć Tarskiego 25 odpowiadają nazwa quv 1 quv 2 sminv 1 v 2 inv 2 v 1 21 oraz zdanie dla dowolnych klas a i b a b lub b a (s. 59). Przykład ten wskazuje, iż przekład (równoznaczność) zdania polega tu na zastąpieniu zmiennych x i x zmiennymi a i b, predykatu I znakiem, oraz stałych logicznych Π i A ich odpowiednikami w metajęzyku. Zatem sugeruje on, że przekład polega na prostym odwzorowaniu struktury logicznej zdań języka J AK na zdania metajęzyka. Jednakże trafność definicji (D 2) wymaga, aby definicja ta pociągała za sobą równoważność: (R) quv 1 quv 2 sminv 1 v 2 inv 2 v 1 jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej klasy b i dla dowolnej klasy a, b a b lub a b. Równoważność ta faktycznie wynika z definicji spełniania i z definicji zdania prawdziwego, co można wykazać posługując się dowodem indukcyjnym, który przedstawia się następująco: 1. Ciąg klas f spełnia inv 1 v 2 wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 f Ciąg klas f spełnia inv 2 v 1 wtedy i tylko wtedy, gdy f 2 f Ciąg klas f spełnia sminv 1 v 2 inv 2 v 1 wtedy i tylko wtedy, gdy f spełnia inv 1 v 2 lub f spełnia inv 2 v 1, czyli gdy f 1 f 2 lub f 2 f Ciąg klas f spełnia quv 2 sminv 1 v 2 inv 2 v 1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej klasy a, f 1 a lub a f Ciąg klas f spełnia quv 1 quv 2 sminv 1 v 2 inv 2 v 1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej klasy b i dla dowolnej klasy a, b a lub a b. Ponieważ w funkcji zdaniowej quv 1 quv 2 sminv 1 v 2 inv 2 v 1 wszystkie zmienne są związane, spełnia ją każdy ciąg klas bądź żaden, a jeśli każdy, to w szczególności ten, w którym dla dowolnej klasy b i dla dowolnej klasy a, b Ì a lub a b. Zatem z definicji (D 1) i (D 2) rzeczywiście wynika równoważność (R), jak tego wymaga UMOWA P. Spróbujmy pojęcie przekładu języka J AK na metajęzyk scharakteryzować ogólnie, rezygnując z jego formalizacji. Z tego powodu jako nazwami wyrażeń metajęzyka musimy posłużyć się nazwami cudzysłowowymi, zaś jako zmiennymi reprezentującymi funkcje zdaniowe metajęzyka greckimi literami j i y. Natomiast zmienne nazwowe metajęzyka takie jak f k i f l odnoszą się do klas indywiduów, ale tylko ze względu na określone wartościowanie f, którym może być dowolny nieskończony ciąg klas. Zatem pojęcie przekładu powinno być zrelatywizowane do ciągu f. Jego definicja indukcyjna będzie następująca: 21 W oryginale ta nazwa ma inną postać.

18 26 (D 3) Jeżeli f jest nieskończonym ciągiem klas, to: (1) Przekładem inv k v l ze względu na f jest f k f l. (2) Jeżeli φ jest przekładem x ze względu na f, to przekładem ngx ze względu na f jest nie jest tak, że φ. (3) Jeżeli φ jest przekładem x ze względu na f i y jest przekładem y ze względu na f, to przekładem smxy jest φ lub ψ. (4) Jeżeli j jest przekładem x ze względu na f, to przekładem quv i x ze względu na f jest dla dowolnego a, φ. Widać, że tak scharakteryzowany przekład jest po prostu przekładem ekstensjonalnym, który zachowuje denotacje wyrażeń stałych i wartości logiczne zdań. Przekładem zdań języka J AK prawdziwych według definicji (D 3) są tu intuicyjnie prawdziwe zdania metajęzyka (w szczególności tezy metateorii). Ponadto przekład ten zachowuje wszystkie własności logiczne zdań i związki logiczne między zdaniami. Zatem przekładem tautologii języka J AK są tautologie metajęzyka, a pojęciu konsekwencji zdefiniowanemu w sposób strukturalny dla języka J AK odpowiada intuicyjne pojęcie wynikania między zdaniami metajęzyka. Jak widać, terminy przekład i równoznaczność mają tu sens jasno określony, aczkolwiek sformułowanie ich ścisłej definicji wymagałoby jak zauważył Tarski uprzedniego sformalizowania metateorii. Zatem pomawianie go, że zakłada jakieś niejasne pojęcie znaczenia i dowodząc trafności swojej definicji zdania prawdziwego języka J AK takowym się posługuje, jest nieuzasadnione 22. Zauważmy, że nasza nieformalna definicja przekładu dotyczy nie tylko zdań, lecz dowolnych funkcji zdaniowych języka J AK. Dzięki temu można dostrzec związek między spełnianiem a przekładem, który daje się wyrazić w meta-metajęzyku. Otóż posługując się literą j jako zmienną reprezentującą zdania metajęzyka, można wykazać, że: Jeżeli ciąg f spełnia funkcję zdaniową x wtedy i tylko wtedy, gdy φ, to przekładem funkcji zdaniowej x ze względu na f jest φ. Oczywiście zachodzi również implikacja odwrotna, a to oznacza, że na gruncie meta-metateorii formuły ciąg f spełnia funkcję zdaniową x wtedy i tylko wtedy, gdy φ oraz przekładem funkcji zdaniowej x ze względu na f jest φ 22 Sam również sądziłem, że Tarski posługiwał się niejasnym pojęciem znaczenia, czemu dałem wyraz między innymi, w tekście Co naprawdę powiedział Tarski o prawdzie w roku 1933?, w: J.J. Jadacki (red.), Alfred Tarski: dedukcja i semantyka, Wydawnictwo Naukowe Semper 2003, s

19 Zrozumieć Tarskiego 27 są równoważne 23. To pozwalałoby zdefiniować pojęcie spełniania za pomocą pojęcia przekładu. Byłoby to jednak jak mówią Amerykanie putting the cart before the horse. Jest wszak oczywiste, że pojęcie spełniania jest w porządku logicznym wcześniejsze od pojęcia przekładu, ponieważ zostało zdefiniowane w metajęzyku bez korzystania z pojęć specyficznych meta-metajęzyka. Natomiast w porządku heurystycznym jest zapewne odwrotnie. Zauważmy, co napisał Tarski, zanim sformułował ścisłą definicję spełniania: Bierzemy pod uwagę schemat: ciąg f spełnia funkcję zdaniową x wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ciągiem nieskończonym klas i gdy p. Mając daną funkcję zdaniową z zakresu algebry klas, zastępujemy w tym schemacie symbol x przez nazwę indywidualną (strukturalnoopisową) tej funkcji wyrażoną w terminach metajęzyka, zaś symbol p przez wyrażenie, które uzyskujemy z rozważanej funkcji przekładając ją na metajęzyk [podkr. A.N.] i równocześnie zastępując w niej wszystkie zmienne wolne v k, v l itd. odpowiednimi symbolami f k, f l itd. (s. 66). Zatem wszystko przemawia za tym, że autor miał tu ma myśli przekład, który staraliśmy się scharakteryzować definicją (D 3). Być może posłużył się nim tylko w celu dydaktycznym, ale bardziej prawdopodobne jest, że sam się tym pojęciem inspirował poszukując adekwatnej definicji pojęcia spełniania, a później z niego explicite skorzystał wyjaśniając, na czym polega trafność definicji zdania prawdziwego. Pokazaliśmy, jak pojęcie spełniania wiąże się z pojęciem przekładu, i ustaliliśmy, że jest to przekład ekstensjonalny, który zachowuje wartość logiczną zdań. Prowadzi to do wniosku, że zdanie języka przedmiotowego jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy można je przełożyć na metajęzyk i jego przekład jest zdaniem PRAWDZIWYM. Mówiąc tak, nie popadamy w błędne koło, bowiem terminy prawdziwe i PRAWDZIWE są różne; pierwszy należy do metajęzyka, drugi do meta-metajęzyka, w którym, po uprzedniej jego formalizacji, może być metodą Tarskiego zdefiniowany. Dopóki tego nie dokonamy, musimy posługiwać się intuicyjnym pojęciem prawdziwości zdań metajęzyka i pojęcie to będzie stanowiło heurystyczny wzorzec dla definicji zdania prawdziwego. Jest to naturalne, skoro pojęcie zdania prawdziwego ma z zamierzenia być zgodne z jego intuicyjnym użyciem i sugestiami zawartymi w wypowiedziach licznego grona filozofów, poczynając od Arystotelesa. Zatem stawianie Tarskiemu zarzutu, iż definiując pojęcie zdania prawdziwego jakieś pojęcie 23 Równoważności pojęć spełniania i przekładu dowodzi Andrzej Grzegorczyk w podręczniku Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa 1961, s. 22` i n. Autor posługuje się terminem tłumaczenie i pojęciem spełniania zrelatywizowanym do modelu języka. Dowód przeprowadza na gruncie meta-metateorii, którą nazywa meta-metalogiką.

20 28 prawdy zakłada, jest nie na miejscu. Wszak dowodząc merytorycznej trafności swojej definicji zdania prawdziwego, musiał ją z czymś porównać. 9. Tu powinniśmy przejść do przedstawionych przez Tarskiego wskazówek, jak jego teorię prawdy, zilustrowaną przykładem prostego języka J AK, zastosować do bogatszych języków sformalizowanych. Autor ma tu na uwadze języki, które można scharakteryzować jako języki rachunku predykatów dowolnego skończonego rzędu. Występujące w tych językach zmienne i stałe dzieli na rodzaje, które nazywa kategoriami semantycznymi. Kategorie te tworzą strukturę hierarchiczną, wyznaczoną przez przypisanie im określonego rzędu. Pojęcie to Tarski definiuje indukcyjnie, przyjmując jako warunek wyjściowy: (1) Do kategorii rzędu pierwszego należą nazwy indywiduów i zmienne reprezentujące indywidua. Tu należy zauważyć, że wyrażenia dowolnych kategorii rzędów wyższych to zawsze jedno- lub wieloargumentowe predykaty, zatem wyrażenia reprezentujące klasy bądź relacje. To pozwala sformułować warunek indukcyjny następująco: (2) Wyrażeniami należącymi do kategorii rzędu n + 1 są takie zmienne lub stałe, które występując w najprostszych (elementarnych) funkcjach zdaniowych, mają jako argumenty wyrażenia należące do kategorii co najwyżej rzędu n, a przynajmniej jeden z nich należy do kategorii rzędu n. Aby tak bogaty sformalizowany język rachunku predykatów przełożyć na metateorię i w ten sposób zapewnić mu określoną interpretację, w języku metateorii muszą występować odpowiedniki wszystkich wyrażeń stałych tegoż języka sformalizowanego. Tu Tarski zakłada, że istnieje jednoznaczne przyporządkowanie kategoriom semantycznym wyrażeń typów przedmiotów. Ma na uwadze prostą teorię typów, zaproponowaną przez Leona Chwistka jako alternatywę dla pierwotnej (rozgałęzionej) teorii typów Whiteheada i Russella. Typy tworzą tu strukturę hierarchiczną analogiczną do hierarchii kategorii semantycznych wyrażeń, zatem wyrażeniom kategorii rzędu n odpowiadają przedmioty należące do typu rzędu n. Zdefiniowanie pojęcia spełniania napotyka wówczas trudności związane z tym, że w tej samej funkcji zdaniowej mogą występować zmienne należące do różnych kategorii, a nawet do kategorii różnego rzędu. Można tu spotkać na przykład funkcję zdaniową Rxy, w której zmienne x i y są rzędu n, natomiast zmienna R jest rzędu n + 1. Ogólnie rzecz biorąc, w omawianych językach sformalizowanych mogą pojawić się elementarne funkcje zdaniowe, w których występuje dowolna skończona liczba zmiennych należących do różnych kategorii semantycznych. Dlatego trzeba założyć, że w każdej kategorii semantycznej mamy nieskończenie wiele zmiennych. Trudność, którą Tarski dostrzega i stara się ją przezwyciężyć, polega na tym, że nie można tu, jak wcześniej, mówić o spełnianiu funkcji