PROBLEM: KLASTROWANIE DANYCH I DRZEWA FILOGENETYCZNE METODY:
|
|
- Kamil Olszewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 G : PROBLEM: KLASTROWANIE DANYCH I DRZEWA FILOGENETYCZNE METODY: MACIERZ EKSPRESJI KLASTROWANIE HIERARCHICZNE KLASTROWANIE K-ŚREDNICH METODA KLIK ODLEGŁOŚCIOWA REKONSTRUKCJA DRZEWA FILOGENETYCZNEGO MACIERZE ADDYTYWNE REKONSTRUKCJA DRZEWA POPRZEZ KLASTROWANIE METODA NAJWIĘKSZEJ OSZCZĘDNOŚCI : PARSYMONIA Klastrowanie danych ( analiza skupisk) Znaleźć taką cechę w zebranych danych, która pozwoli je rozdzielić w rozłączne grupy - klastery. Takim problemem jest potrzeba określenia funkcji nowo odkrytego genu. Samo porównywanie sekwencji zazwyczaj nie wystarcza. Funkcjonalności około 40% genów ich nie udaje się określić jedynie poprzez porównanie sekwencji. Nowa technika: mikromacierz ekspresji, pozwala oceniać aktywność genu w różnych warunkach ( np. jest choroba lub jej nie ma), w różnych chwilach czasu i w różnych tkankach. Poziom ekspresji gen jest oceniany poprzez ilość mrna związanego z danym genem (gen jest aktywny jeśli zachodzi transkrypcja; im więcej mrna tym wyższa jest aktywność genu). 1
2 Eksperymenty z mikromacierzami kontrola próba Pobieramy mrna Syntezujemy cdna farbujemy go fosforem Mieszamy Hybrydyzujemy Gen jest bardziej aktywny w kontroli niż próbce Gen jest bardziej aktywny w próbce niż w kontroli Aktywność obu grup genów jest identyczna Nie wykryto aktywności żadnego z grup genów Skanujemy Analizujemy obraz Macierz ekspresji genów I ij to poziom ekspresji genu i w eksperymencie j Wiersz i to wzorzec ekspresji genu i Zadanie: wyszukać w I pary genów o podobnych wzorcach 2
3 Macierz odległości ekspresji genów Warunki poprawnego grupowania: jednorodność : geny z tej samej grupy, każdy z każdym, mają wzorce bardzo podobne separacja : geny z różnych grup, każdy z każdym, różnią się znacząco OK Nie OK Techniki klastrowania 20 1 Hierarchiczna : dane organizujemy w drzewa binarne (np.: dendrogram) Optymalizacyjna : szukamy średniego wektora najlepiej reprezentującego klaster Grafowe : klikowe klastery tworzą kliki w grafie odległości z progiem 3
4 Klastrowanie hierarchiczne Technika organizowania danych w drzewo: geny to liście krawędzie mają długość Długość ścieżki pomiędzy liśćmi koreluje z wynikiem z macierzy odległości d 2 krok: 1 krok: Start: Klastrowanie hierarchiczne 20 3 Różne możliwości zdefiniowania odległości do nowego węzła 4
5 Klastrowanie hierarchiczne 20 4 Klastrowanie hierarchiczne 20 5 Michel Eisen i współpracownicy, i ich drzewo klastrowania 8600 genów w 13 chwilach czasowych Macierz odległości to macierz korelacji: Eisen M B et al. PNAS 1998;95:
6 Klastrowanie k-średnich 20 8 Klastrowanie K-średnich : popularna metoda grupowania danych wokół K punktów zbioru X. Definicja odległością punktu v od zbioru punktów X={ x1,x2,, xk } nazywamy d( v,{ x, x2,... xk}) min x : x, x,... d( v, x ) 1 i 1 2 xk i Definicja Błąd kwadratowy średni ( błąd deformacji) zbioru punktów V ={v1,v2, vn} od zbioru punktów X={ x1,x2,, xn } nazywamy 1 2 d({ v1, v2,..., vn},{ x1, x2,... xk}) d ( vi,{ x1, x2,... xk}) n i 1,.. n Problem: Dla zadanego zbioru n punktów z m-wymiarowej przestrzeni oraz danej wartości K zbudować zbiór X składający się K punktów (centrów klastrowania) takich, dla których błąd kwadratowy średni jest minimalny. Klastrowanie K- średnich
7 Algorytm Lloyda ( heurystyczne klastrowanie k-średnich Algorytm Lloyda ( heurystyczne klastrowanie k-średnich
8 Algorytm Lloyda ( heurystyczne klastrowanie k-średnich Algorytm Lloyda ( heurystyczne klastrowanie k-średnich 8
9 Algorytm Lloyda ( heurystyczne klastrowanie k-średnich 214 Jak dobrać K? 216 Jeśli K rośnie to błąd kwadratowy średni maleje (jest zerem gdy K=n, ale wówczas klastrowanie jest bezużyteczne) Strategia: Zwiększaj K dopóki błąd kwadratowy średni ma malejące przyrosty 9
10 Techniki klastrowania 217 Hierarchiczna : dane organizujemy w drzewa binarne (np.: dendrogram) Optymalizacyjna : szukamy średniego wektora najlepiej reprezentującego klaster Grafowe : klikowe klastery tworzą kliki w grafie odległości z progiem Grafy klikowe 218 Definicje: Grafem zupełnym nazywamy graf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. Grafem klikowym nazywamy graf, w którym każda składowa spójna jest grafem zupełnym. Podzbiór V zbioru wierzchołków V grafu G= (V, E) tworzy podgraf zupełny jeśli dowolne dwa wierzchołki z V są połączone krawędzią w G. Kliką w grafie nazywamy maksymalny podgraf zupełny, to znaczy podgraf zupełny, który nie jest zawarty w innym podgrafie. Przykład: 1) Jeden graf o trzech składowych. Każda składowa jest grafem zupełnym. 2) Graf o 7 wierzchołkach, który posiada 4 kliki: {1,2,6,7},{2,3}, {5,6}, {3,4,5}. 10
11 Grafy klikowe 219 Zauważmy, że każdy podział n elementów na K klastrów może być reprezentowany jako graf klikowy o n wierzchołkach i K klikach. Usunięcie dwóch krawędzi przekształca badany graf w graf klikowy Problem NP trudny. Są metody heurystyczne rozwiązania go. CAST to praktyczny i szybki algorytm Grafy klikowe 220 Od macierzy odległości do grafu odleglości Wierzchołkami grafu są badane geny (u nas g1, g2..g10) Ustal próg dla odległości θ Jeśli odległość dwóch wierzchołków jest mniejsza od θ to rysuj krawędź Zazwyczaj uzyskany tak graf nie jest klikowy 11
12 Grafy klikowe 221 Ale można go przekształcić w klikowy dodając lub usuwając krawędzie. X X CAST : Claster Affinity Search Technique *** Ewolucja i analiza DNA : zagadka wielkiej pandy niedźwiedź czy szop? 1870 problem postawił Armand David Analiza cech behawioralnych i morfologicznych kształt niedźwiedzia, ale nie hibernuje nie ryczy jak niedźwiedź a beczy jak szop 1985 problem rozwiązał Steven O Brian ze współpracownikami opierając się na badaniach DNA 12
13 Drzewo ewolucyjne człowieka : Zuckerman i Pauling pracą Evolutionary Divergence and Convergence in Proteins dali początek wykorzystania DNA do rekonstrukcji drzewa filogenetycznego. Obecnie badania DNA są podstawą badań ewolucyjnych W tym samym czasie, gdy Steven O Brien rozwiązał kontrowersje wokół pochodzenia wielkiej pandy, Rebecca Cann, Mark Stoneking i Allan Wilson skonstruowali drzewo ewolucji człowieka. Nowa kontrowersja - hipoteza o afrykańskim pochodzeniu naszego gatunku. Gatunek nasz ma wspólnego przodka, który to żył w Afryce ok. 200,000 lat temu. Temporal and Geographical Distribution of Hominid Populations Redrawn from Stringer (2003) (w oparciu o mtdna ze skamielin) 224 Out-of-Africa versus the multiregional hypothesis Broadly speaking, there are two competing hypotheses on the origin of modern humans: the Out-of-Africa hypothesis and the multiregional hypothesis. Both agree that Homo erectus originated in Africa and expanded to Eurasia about one million years ago, but they differ in explaining the origin of modern humans (Homo sapiens sapiens). The first hypothesis proposes that a second migration out of Africa happened about 100,000 years ago, in which anatomically modern humans of African origin conquered the world by completely replacing archaic human populations (Homo sapiens; Model A). The multiregional hypothesis states that independent multiple origins (Model D) or shared multiregional evolution with continuous gene flow between continental populations (Model C) occurred in the million years since Homo erectus came out of Africa (the trellis theory). A compromised version of the Out-of-Africa hypothesis emphasizes the African origin of most human populations but allows for the possibility of minor local contributions (Model B) Nature Publishing Group Jin, L. & Su, B. Natives or immigrants: modern human origin in east Asia. Nature Reviews Genetics 1, 127 (2000). All rights reserved. 13
14 Drzewo ewolucyjne człowieka 225 Drzewo ewolucyjne człowieka
15 Drzewa ewolucyjne : teoria 227 Jak drzewa ewolucyjne są budowane z sekwencji DNA? liście reprezentują aktualnie istniejące gatunki wewnętrzne wierzchołki reprezentują wspólnych przodków korzeń reprezentuje najstarszego ewolucyjnie przodka. W szczególności, konstruujemy ważone drzewa binarne: wszystkie wewnętrzne wierzchołki mają stopień 3, liście stopień 1, przy czym Zazwyczaj krawędzie mają wagę Czasem i wierzchołki mają wagę (tzw. zegar molekularny) Bazowe pojęcia: drzewa swobodne a drzewa ukorzenione 228 Drzewa to specjalna klasa grafów: Spójne drzewo o n wierzchołkach ma n-1 krawędzi. Drzewo nie ma cykli Istnieje dokładnie jedna ścieżka łącząca dwa dowolne wierzchołki drzewa. Liście to wierzchołki o stopniu 1 Drzewa mogą być dwojakiego rodzaju: ukorzenione albo swobodne.. Wyróżniony wierzchołek To samo drzewo w reprezentacji od wyróżnionego wierzchołka nie jest binarne Pień drzewa ukorzenionego wskazuje na wspólnego przodka. W drzewie swobodnym wspólny przodek jest nieznany. 15
16 Rekonstrukcja drzewa bazująca na odległościach 229 Drzewo binarne o sześciu liściach ma cztery węzły wewnętrzne. Mając drzewo ważone możemy dla każdej pary liści obliczyć odległość pomiędzy nimi. Zatem: każde drzewo T ważone wyznacza macierz d i,j (T) odległości pomiędzy wierzchołkami i oraz j. Z drugiej strony: w oparciu o badania n gatunków mamy macierz n x n odległości pomiędzy nimi D i,j. Zadanie: Znaleźć takie drzewo T ważone dla którego d i,j (T) = D i,j dla dowolnych wierzchołków i oraz j. Drzewo dla przypadku n =3 230 Od macierzy D(i,j) do drzewa binarnego nieukorzenionego (swobodnego) T ważonego, takiego gdzie waga krawędzi d(i,j) = D(i,j) 3 równania liniowe o 3 niewiadomych 16
17 Addytywna macierz odłeglości 231 TWIERDZENIE: Swobodne drzewo binarne o n liściach ma 2n-3 krawędzi Dopasowanie drzewa do zadanej macierzy odległości wymaga rozwiązania układu n(n-1)/2 równań liniowych o 2n-3 zmiennych Definicja: Macierz odległości D(i,j) nazywamy addytywną jeśli istnieje takie binarne i swobodne drzewo T, że odległości w tym drzewie d(i,j) są uzgodnione z macierzą odległości, D(i,j)=d(i,j) 232 d(a,c) =4 D(A,C) = 4 D jest nieaddytywna, gdy nie istnieje takie T 17
18 Rekonstrukcja drzewa z macierzy addytywnej 233 Odszukaj sąsiadujące liście i, j, to jest liście które mają tego samego ojca k Usuń wiersze oraz kolumny i-te oraz j-te Dopisz nowy wiersz oraz kolumnę odpowiadającą wierzchołkowi k gdzie odległość do dowolnego wierzchołka m jest obliczana jako Tego wierzchołka w D póki co nie było, bo jest to wierzchołek wewnętrzny Jak znaleźć sąsiadujące liście? najbliżsi sąsiedzi w D nie muszą być sąsiadującymi liści w drzewie D(j,k)=12 a D(i,j)=13 czy D(k,l)= Strzyżenie wiszących krawędzi Jak znaleźć sąsiadujące liście bazując na D? 234 Iteracyjnie stosujemy proces strzyżenia krawędzi wiszących Krawędzie wiszące to krawędzie prowadzące do liści drzewa. Macierz D: Strzyżenie krawędzi wiszących to skrócenie wszystkich tych krawędzi o d. Zdegenerowana trójka to zbiór trzech elementów i, j, k w D takich, że D(i,j) +D(j,k) =D(i,k). 18
19 Strzyżenie wiszących krawędzi 235 Po usunięciu B: Kolejna iteracja: strzyżenie o 3 wyszukiwanie zdegenerowanej trojki Uwaga: tak naprawdę to kolejne iteracje to przede wszystkim wyszukiwanie zdegenerowanych trójek punków. Dopiero, gdy takiej trójki nie mamy, to zaczynamy strzyżenie. Rekonstrukcja drzewa
20 Algorytm konstrukcji drzewa z macierzy odległości 237 zakończenie obliczenia przygotowanie zmiennych do dalszego przetwarzania Wyszukiwanie zdegenerowanej trójki, poprawienie macierzy odległości wywołanie rekurencyjne obliczenia Rekonstrukcja drzewa Test czy aktualna D jest addytywna A co jeśli D jest nieaddytywna? 238 Jeśli D nie jest addytywna ( tak jest zazwyczaj) to szukamy T, które najlepiej przybliża D to znaczy takiego T dla którego błąd kwadratowy jest najmniejszy. Problem NP-trudny 20
21 Przypomnienie: klastrowanie hierarchiczne 23 9 Drzewa ewolucyjne i klastrowanie hierarchiczne 240 UPGMA (Unweighted Pair Group Method with Arithmetic Mean) 21
22 Drzewa ewolucyjne i klastrowanie hierarchiczne UPGMA zaczyna generowanie poprzez zbudowanie drzewa postaci: 241 Uwaga: z UPGMA nigdy nie powstanie drzewo o takiej strukturze które to wyciąga w górę tak, aby zachodziło: Następnie dobudowuje kolejną gałąź Kolejno powstaje tego typu struktura: drzewo ultrametryczne Odległość od pnia do każdego liścia jest taka sama Drzewa ewolucyjne i klastrowanie hierarchiczne
23 X Nie Metody dyskretne rekonstrukcji drzewa ewolucyjnego 243 Dane jest n sekwencji DNA o długości m każda. Mamy zatem macierz dopasowania w rozmiarze n x m. Species A Species B Species C Species D Species E ATGGCTATTCTTATAGTACG ATCGCTAGTCTTATATTACA TTCACTAGACCTGTGGTCCA TTGACCAGACCTGTGGTCCG TTGACCAGTTCTCTAGTTCG Można ją przetransformować na macierz odległości, ale nigdy w drugą stronę. Informacja o dopasowaniu jest bezpowrotnie tracona przy tej transformacji n x m macierz dopasowania tran ma sfor transformacji mac ja powrotnej n x n macierz odległości Lepsza technika: algorytm rekonstrukcji drzewa bazujący na symbolach umożliwia badanie ewolucji dla każdego znaku. Parsymonia w rekonstrukcji drzewa filogenetycznego 244 Parsymonia (oszczędność): kryterium optymalizacyjne - szukamy takiego drzewa, które wyznacza najmniejszą liczbę zdarzeń ewolucyjnych ( podstawienia, zamiany, itp.) Przykład: Szukaj najprostszego wyjaśnienia dla danych { ATCG, ATCC, ACGG} Brzytwa Ockhama 23
24 Problem małej parsymonii inaczej 245 Znaki naszego drzewa to brwi i usta. Każdy z nich może być w dwóch stanach. Dobierz etykiety węzłów wewnętrznych tak by wynik parsymonii był najmniejszy. Rekonstrukcja drzewa ewolucyjne oparta na symbolach 246 Dwie klasy problemów: małej parsymonii : zakładamy, że struktura drzewa jest dana wielkiej parsymonii : struktura drzewa jest dowolna. 24
25 Mała parsymonia w rekonstrukcji drzewa filogenetycznego 247 Znaki w łańcuchach są niezależne od siebie (???) zatem problem malej parsymonii może być rozwiązawany dla każdej pozycji oddzielnie Parsymonia w rekonstrukcji drzewa filogenetycznego 248 Punktacja zgodna z tablicą małej parsymonii Punktacja zgodna z przykładową tablicą ważonej małej parsymonii 25
26 Algorytm Sankoffa 249 Każdy wierzchołek v z drzewa T wyznacza poddrzewo o korzeniu: wierzchołków osiągalnych z v. Etykieta v ma zbierać własności dzieci wierzchołka v. (v) s t s t (u) (w) s t Algorytm dynamiczny Niech s t (v) to wynik parsymonii dla poddrzewa v uzyskany przy założeniu, ze w v umieszczono znak t, czyli st ( v) mini { A, T, C, G} { si ( u) dit} mini { A, T, C, G} { si ( w) dit} Warunek początkowy s t 0 ( v) dla v t dla v t Algorytm Sankoffa 250 A C T G 26
27 251 A T G C? A C A T G C? A C 27
28 253 9, 7, 8, 9 7, 2, 2, 8 A: + 0,3, 4, 9 + 0,3, 4, 9 min{9,10,12,18} + min{7, 5, 6, 17} = 14 T: + 3, 0, 2, 4 + 3, 0, 2, 4 min{12, 7, 10,13} + min{10, 2, 4, 12} = 9 G: + 4, 2, 0, 4 + 4, 2, 0, 4 min{ 13, 9, 8, 13} + min{11, 4, 2, 12} = 10 C: + 9, 4, 4, 0 + 9, 4, 4, 0 min{18, 11,12, 9} + min{19, 6, 6, 8} = 15 T T T Ojciec dostaje wektor: { 14,9,10,15} A, T, G, C Algorytm Fitcha Idąc od dołu góry przydziel każdemu wierzchołkowi zestaw etykiet: jeśli część wspólna jest niepusta 254 w przeciwnym przypadku Idąc do dołu z góry wybierz wspólny stan dla ojca i jego potomka jeśli taki jest. W przeciwnym wypadku wylosuj jeden i zapłać karę Przykład 1 28
29 255 Przykład 2 Algorytm Sankoffa versus algorytm Fitcha 256 Macierz punktacji s i (v) - od Sankoffa, jest równoważne S (v) - od Fitch a. 29
30 Problem wielkiej parsymonii 257 Problem NP-zupełny Przykłady drzew o 4 liściach Ilość drzew ukorzenionych o n liściach : T(n) dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,. to Zamiana najbliższych sąsiadow w problemie wielkiej parsymonii Najbliżsi sąsiedzi w przestrzeni drzew 258 Każda krawędź pozwala na trzy różne połączenia czterech poddrzew A, B, C i D 30
31 Problem przeszukiwania przestrzeni drzew 259 Wszystkie drzewa swobodne o pięciu liściach. Drzewa sąsiadujące (poprzez transformację zamiany najbliższych sąsiadów ) są połączone krawędzią Algorytm zachłanny Monte Carlo przeszukuje przestrzeń drzew 31
Filogeneza: problem konstrukcji grafu (drzewa) zależności pomiędzy gatunkami.
181 Filogeneza: problem konstrukcji grafu (drzewa) zależności pomiędzy gatunkami. 3. D T(D) poprzez algorytm łączenia sąsiadów 182 D D* : macierz łącząca sąsiadów n Niech TotDist i = k=1 D i,k Definiujemy
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoBioinformatyka Laboratorium, 30h. Michał Bereta
Bioinformatyka Laboratorium, 30h Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl 1 Filogenetyka molekularna wykorzystuje informację zawartą w sekwencjach aminokwasów lub nukleotydów do kontrukcji drzew
Bardziej szczegółowoKonstruowanie drzew filogenetycznych. Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Konstruowanie drzew filogenetycznych Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Drzewa filogenetyczne ukorzenione i nieukorzenione binarność konstrukcji topologia (sposób rozgałęziana
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOINFORMATYKI WYKŁAD 5 ANALIZA FILOGENETYCZNA
PODSTAWY BIOINFORMATYKI WYKŁAD 5 ANALIZA FILOGENETYCZNA ANALIZA FILOGENETYCZNA 1. Wstęp - filogenetyka 2. Struktura drzewa filogenetycznego 3. Metody konstrukcji drzewa 4. Etapy konstrukcji drzewa filogenetycznego
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoGenomika Porównawcza. Agnieszka Rakowska Instytut Informatyki i Matematyki Komputerowej Uniwersytet Jagiellooski
Genomika Porównawcza Agnieszka Rakowska Instytut Informatyki i Matematyki Komputerowej Uniwersytet Jagiellooski 1 Plan prezentacji 1. Rodzaje i budowa drzew filogenetycznych 2. Metody ukorzeniania drzewa
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoData Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu
Data Mining Wykład 9 Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster Plan wykładu Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Sformułowanie problemu
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOINFORMATYKI 6 ANALIZA FILOGENETYCZNA
PODSTAWY BIOINFORMATYKI 6 ANALIZA FILOGENETYCZNA ANALIZA FILOGENETYCZNA 1. Wstęp - filogenetyka 2. Struktura drzewa filogenetycznego 3. Metody konstrukcji drzewa - przykłady 4. Etapy konstrukcji drzewa
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
LGORTM I STRUKTUR DNH Temat 6: Drzewa ST, VL Wykładowca: dr inż. bigniew TRPT e-mail: bigniew.tarapata@isi.wat.edu.pl http://www.tarapata.strefa.pl/p_algorytmy_i_struktury_danych/ Współautorami wykładu
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoKompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,
1 Kwantyzacja wektorowa Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 28.04.2006 Kwantyzacja wektorowa: dane dzielone na bloki (wektory), każdy blok kwantyzowany jako jeden element danych. Ogólny
Bardziej szczegółowoWykład 3. Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy
Wykład 3 Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy Dynamiczne struktury danych Lista jest to liniowo uporządkowany zbiór elementów, z których dowolny element
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoIndukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3
Indukowane Reguły Decyzyjne I Wykład 3 IRD Wykład 3 Plan Powtórka Grafy Drzewa klasyfikacyjne Testy wstęp Klasyfikacja obiektów z wykorzystaniem drzewa Reguły decyzyjne generowane przez drzewo 2 Powtórzenie
Bardziej szczegółowoDrzewa filogenetyczne jako matematyczny model relacji pokrewieństwa. dr inż. Damian Bogdanowicz
Drzewa filogenetyczne jako matematyczny model relacji pokrewieństwa dr inż. Damian Bogdanowicz Sprawa R. Schmidt a z Lafayette Podczas rutynowych badań u pielęgniarki Janet Allen stwierdzono obecność wirusa
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoProgramowanie obiektowe
Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2015 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2015 1 / 21 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowo7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie
7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoAlgorytmy kombinatoryczne w bioinformatyce
lgorytmy kombinatoryczne w bioinformatyce wykład 7: drzewa filogenetyczne prof. dr hab. inż. Marta Kasprzak Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska rzewa filogenetyczne rzewa filogenetyczne odzwierciedlają
Bardziej szczegółowoPrzypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru.
Spis treści 1 Drzewa 1.1 Drzewa binarne 1.1.1 Zadanie 1.1.2 Drzewo BST (Binary Search Tree) 1.1.2.1 Zadanie 1 1.1.2.2 Zadanie 2 1.1.2.3 Zadanie 3 1.1.2.4 Usuwanie węzła w drzewie BST 1.1.2.5 Zadanie 4
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010
Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Wykład 6. Struktury danych
Podstawy Informatyki Wykład 6 Struktury danych Stałe i zmienne Podstawowymi obiektami występującymi w programie są stałe i zmienne. Ich znaczenie jest takie samo jak w matematyce. Stałe i zmienne muszą
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 12 i 13; 25 stycznia 2006) 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych
Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 2 i 3; 25 stycznia 2006) Spis treści 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych 82 8. Metoda UPGMA......................... 82 8.2 Metoda
Bardziej szczegółowoCo to są drzewa decyzji
Drzewa decyzji Co to są drzewa decyzji Drzewa decyzji to skierowane grafy acykliczne Pozwalają na zapis reguł w postaci strukturalnej Przyspieszają działanie systemów regułowych poprzez zawężanie przestrzeni
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne
Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoDefinicja pliku kratowego
Pliki kratowe Definicja pliku kratowego Plik kratowy (ang grid file) jest strukturą wspierająca realizację zapytań wielowymiarowych Uporządkowanie rekordów, zawierających dane wielowymiarowe w pliku kratowym,
Bardziej szczegółowoEksploracja danych. Grupowanie. Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne. Grupowanie wykład 1
Grupowanie Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Grupowanie wykład 1 Sformułowanie problemu Dany jest zbiór obiektów (rekordów). Znajdź naturalne pogrupowanie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoProgramowanie obiektowe
Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2014 1 / 24 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoAcknowledgement. Drzewa filogenetyczne
Wykład 8 Drzewa Filogenetyczne Lokalizacja genów Some figures from: Acknowledgement M. Zvelebil, J.O. Baum, Introduction to Bioinformatics, Garland Science 2008 Tradycyjne drzewa pokrewieństwa Drzewa oparte
Bardziej szczegółowoWysokość drzewa Głębokość węzła
Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.
Bardziej szczegółowoMETODY INŻYNIERII WIEDZY
METODY INŻYNIERII WIEDZY Metoda K Najbliższych Sąsiadów K-Nearest Neighbours (KNN) ĆWICZENIA Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoMETODY INŻYNIERII WIEDZY
METODY INŻYNIERII WIEDZY Metoda K Najbliższych Sąsiadów K-Nearest Neighbours (KNN) ĆWICZENIA Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 3. DRZEWA DECYZYJNE. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 3. DRZEWA DECYZYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska BUDOWA DRZEW DECYZYJNYCH Drzewa decyzyjne są metodą indukcyjnego
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinające
KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoTypy danych. 2. Dane liczbowe 2.1. Liczby całkowite ze znakiem i bez znaku: 32768, -165, ; 2.2. Liczby rzeczywiste stało i zmienno pozycyjne:
Strona 1 z 17 Typy danych 1. Dane tekstowe rozmaite słowa zapisane w różnych alfabetach: Rozwój metod badawczych pozwala na przesunięcie granicy poznawania otaczającego coraz dalej w głąb materii: 2. Dane
Bardziej szczegółowoAlgorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych
Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Piotr Dalka Przykładowe algorytmy decyzyjne Sztuczne sieci neuronowe Algorytm k najbliższych sąsiadów Kaskada klasyfikatorów AdaBoost Naiwny
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowo