ODPOWIEDZI + szczegółowe rozwiązania zadań otwartych

Transkrypt

1 MATURA POSTAWOWA nr NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut OPOWIEZI + szczegółowe rozwiązania zadań otwartych Szczegółowych rozwiązań zadań zamkniętych będzie można szukać na 1. Liczba 10 jest równa A. 10 B Jeśli liczba a jest o 0% mniejsza od liczby b, to zachodzi równość A. 5a = 4b B. 6a = 5b. 4a = 5b. 5a = 6b. ena pewnego produktu uległa czterem 15 procentowym obniżkom. ałkowita obniżka wynosi A. około 48% B. około 51%. około 5%. 60% 4. Wskaż równanie prawdziwe A = 5 5 B. 6 =. 7 = 1. 7 / 8 1 = 0,5 5. Sumę liczb log i log 4 można zapisać jako A. log 18 B. log. log 6. log 8

2 6. Mediana liczb całkowitych spełniających nierówność 1 x < 4 wynosi A. 0 B. 1. 1,5. 7. Łączna ilość wszystkich pierwiastków równań x 16 x 8 A. 0 B = 0 oraz x = 4 wynosi 8. Wyrażenie x 8 jest równe A. (x )(x + x + 4) B. (x + )(x x + 4). (x )(x x 4). (x + )(x x + 4) 9. ane są wielomiany P(x) = x 4 x + 5x i Q(x) = x 4 x + x. Stopień wielomianu W(x) = 1 P(x) Q(x) jest równy A. 1 B la jakiego parametru m miejsce zerowe funkcji f(x) = (mx ) wynosi 4? A. B lub Funkcja kwadratowa spełnia warunek f( ) = f(5). Równanie osi symetrii wykresu tej funkcji to A. x = 1 1 B. x = 1. x =. x = 1 1. Przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi prosta y = x + 7? A. I, II i III B. II, III i IV. I, II i IV.. I, IIl i IV 1. Poniższy wykres przedstawia wykresy funkcji f(x) i g(x). Który wzór prawidłowo wyraża funkcję g(x) względem f(x)? A. g(x) = f(x 4) B. g(x) = f(x 4) +. g(x) = f(x + 4). g(x) = f(x + 4) +

3 14. W trójkącie prostokątnym AB z wierzchołka poprowadzono wysokość jak na rysunku poniżej Wskaż poprawną relację, pomiędzy długościami poszczególnych odcinków. A A. A = B = AB B B B. B = A = AB A B. A AB = A A = B. AB = B = AB A B B B 15. la trójkąta z zadania 14 prawdą jest, że A. sin A = A B. sin B = B. cos B = B. tg A = A 16. Wskaż równanie nieprawdziwe. A. sin 40 + cos 50 = cos 50 B. 1 sin 40 = cos 40. cos 40 = tg 40 sin 40. cos 70 = sin ługości krótszych łuków AB i B są sobie równe. Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku oraz ABO = 55. Kąt ostry Ama miarę A O A. A = B O B. A = 65. A 68. A = Punkt S = (, 016) jest środkiem okręgu, który ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu x =. Równanie tego okręgu ma postać A. (x ) + (y + 016) = B. (x + ) + (y 016) =. (x ) + (y + 016) = 18. (x + ) + (y 016) = Obwód rombu o polu i kącie ostrym 0 wynosi A. 4 B

4 0. W ciągu arytmetycznym (a n ) dla n 1, a 4 = 1 oraz a + a 9 = 1. Różnica tego ciągu jest równa A. B Przekątna ściany sześcianu wynosi. Przekątna tej bryły jest równa: A. 6. B Graniastosłup trójkątny prawidłowy i ostrosłup czworokątny prawidłowy mają równe krawędzie podstaw i objętości. Stosunek wysokości graniastosłupa do wysokości ostrosłupa wynosi A. B Prawdopodobieństwo zdarzenia X wynosi 40%. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia Y wynosi 0%. Prawdopodobieństwo, że dojdzie do co najmniej jednego ze zdarzeń X lub Y wynosi 90%. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia X i Y jednocześnie? A. około 1%. B. 0%. 0%. około 8% 4. Poniższa tabela prezentuje wartości osiągane przez funkcję h(x) w całej swojej dziedzinie. x h(x) Odchylenie standardowe wartości osiąganych przez funkcje h(x) wynosi A. B Szymon wyjeżdża na tygodniowe wakacje. Każdy z tygodni planuje spędzić w innej miejscowości nadmorskiej. Zadecydował, że każde następne miasto ma być bardziej wysunięte na wschód niż poprzednie. Wyboru dokona spośród takich miast jak: Rewal, Niechorze, Mielno, Łeba i Sopot. Na ile sposobów Szymon może zaplanować wakacje? A. 8 B Nie trzeba znać położenia miast!

5 ZAANIA OTWARTE 5. ( pkt) hcąc pomnożyć nierówność przez wyrażenie o nieznanym znaku, trzeba zadbać o to, aby kierunek nierówności się nie zmienił. Rozwiąż nierówność 1 0. x 1. Założenie x. Mnożymy nierówność przez wyrażenie x podniesione do kwadratu. Wówczas mamy pewność, że wyrażenie jest dodatnie i kierunek nierówności się nie zmieni. ( x) 1( x) 0 x ( x) 1( x) 0. Mnożymy, redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy: x + x 0 x( x + ) 0 x = 0 lub x + = 0 x = 0 lub x = nie spełnia założenia 4. Rysujemy parabolę, mając na uwadze, że przy x jest minus, dlatego ramiona są w dół. 0 + nie spełnia założenia x 5. Z uwagi na taką a nie inny znak nierówność naszym rozwiązaniem jest ten przedział x-sów, dla których parabola jest nad osią, lub na tej osi. Rozwiązanie: x < 0; ) 6. ( pkt) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita przy dzieleniu przez 8 daje resztę 5, to jej potrojony kwadrat przy dzieleniu prze 8 daje resztę. 1. Liczba całkowita, która przy dzieleniu przez 8 daje resztę 5 to: k = 8n + 5, nε. Potrojony kwadrat tej liczby to: k = (8n + 5) = (64n + 80n + 5) = 19n + 40n Wyciągam liczbę 8 z dwóch pierwszych składników przed nawias. Liczbę 75 rozbijam na dwa składniki, tak aby jeden z nich był możliwie największą wielokrotnością liczby 8: k = 8(4n + 0n) + 75 = 8(4n + 0n) Ponownie wyciągam liczbę 8 przed nawias ze wszystkich składników oprócz k = 8[4n + 0n + 9] +, to kończy dowód Składnik na żółtym tle jest liczbą całkowitą podzielną przez 8. Liczba jest składnikiem, który stanowi resztę z dzielenia przez 8.

6 7. ( pkt) W trójkącie AB obrano punkty. Punkt E dzielący bok AB w stosunku :4 ( AE < EB ) oraz punkt dzielący bok A w stosunku :5 ( A < ). Udowodnij, że stosunek pola trójkąta AE do pola trójkąta AB wynosi A E B 1. Wprowadzam oznaczenia wyrażające stosunki :5 i :4, przy czym AE < EB i A <.. la lepszej przejrzystości pokazuje rysunki poniżej, dzięki którym łatwiej napisać wzory na pole trójkątów AE i AB. 5 y h 1 y 5 y 7 y h y A x E 4 x B A x E 4 x B. Obliczam stosunek P AE P AB = 4. Obliczam stosunek h 1 h. A x h 1 E x + 4 x h B 5y h1 7y h = 5h 1 7h. Widać, że brakuje jeszcze stosunku h 1 h. wysokości h 1 i h są wzajemnie równoległe, zatem: h 1 x = h 7x po przekształceniu: h 1 h = 7 5. Podstawiam P AE = 5 h 1 = 5 = 15 P AB 7 h ( pkt) Funkcja kwadratowa y = ax + 4x jest rosnąca w przedziale ( ; > i malejąca w przedziale < ; ). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale < 1 1 ; >. Trzeba zaważyć, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to p =, czyli b = a Podstawiam b = 4, wtedy: 4 = skąd wyznaczam: a = a Wyznaczoną wartość a podstawiam do wzoru funkcji kwadratowej : f(x) = x + 4x Możemy wykonać rysunek pomocniczy: wartość najmniejsza 1 f(1 )=1 <1 1 4 > 1 4 ; (,q) Wartość najmniejsza w przedziale < 1 1 ; > to: f (1 1 ) = ( ) + 4 =

7 9. ( pkt) ane są funkcje g(x) = 9x + 1 i h(x) = x + x. Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = g(x) h(x). Podstawiam i przyrównuje do zera, pamiętając o zmianie znaków lub o nawiasie. f(x) = g(x) h(x) = 9x + 1 (x + x) 9x + 1 x x = 0 Grupuje: 9x x x + 1 = 0 Wyciągam przed nawias: x (x 1) 1(x 1) = 0 Zielony nawias rozpisuje ze wzoru: (x 1)(x 1) = 0 Przyrównuje nawiasy do zera: ( x 1)( x + 1)(x 1) = 0 x 1 = 0 lub x + 1 = 0 lub x 1 = 0 x = lub x = lub x = ( pkt) Adam ma z matematyki następujące oceny: 1,, 4, 4, 5, 6. Nauczyciel dając szansę na poprawę jedynki powiedział Adamowi: Losujesz jednocześnie dwie z sześciu swoich ocen. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych ocen nie jest podzielny przez? Rozwiąż zadanie, które dostał Adam. Liczba nie jest podzielna przez, wtedy gdy suma cyfr tworzących tą liczbę nie jest podzielna przez. Poniższa tabela, prezentuje wszystkie możliwe przypadki, dla zdarzenia zdefiniowanego w treści zadania. W polach niebieskich jest jedna z dwóch wylosowanych ocen, zaś w polu czerwonym druga. Wszystkie pozostałe liczby są wynikiem mnożenia liczby z pola niebieskiego, przez liczbę z pola czerwonego. W polach żółtych znajdują się liczby niepodzielne przez. Główna przekątna jest wykreślona, ponieważ nie można razy wylosować tego samego elementu (nie mylić z wartością elementu, gdyż można wylosować różne elementy o tej samej wartości np. 4 i 4) X X X X X X Ilość wszystkich możliwych wyników (ilość białych i żółtych pól): Ω = = 0 Ilość zdarzeń zdefiniowanych w treści zadania (ilość żółtych pól) : Prawdopodobieństwo: A = 10 P(A) = A Ω = 1

8 1. (4 pkt) sin α + sinα +cos α = 0 i tg α > 0. Oblicz 6 + cos α. Wynik przedstaw w postaci a c, gdzie a, b i c to liczby całkowite. b sin α + sinα +cos α = 0 Wyznaczam sin α sin α = 1 /: sin α = 1 Przekształcamy wzór na jedynkę trygonometryczną: cos α+sin α = 1 cos α = 1 sin α Nie ma informacji, że kąt α jest ostry. Rozważamy przypadki. cos α 1 = 1 sin α oraz cos α = 1 sin α cos α 1 nie spełnia warunku tg α > 0, gdyż tg α = Wybieramy tylko rozwiązanie ujemne: cos α = 1 sin α sin α (ujemny) cos α (dodatni). cos α = 1 ( 1 ) = = = 6 Podstawiam obliczony cos α do polecenia z treści zadania: 6 + cos α = 6 6 = 6 6 = 6. (4 pkt) O punktach A = (, a), B = (6, a) i = (b, ) wiadomo że: pierwsze współrzędne kolejno punktów A, B, stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego drugie współrzędne kolejno punktów A, B, stanowią kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego Wyznacz a i b. Oblicz długość odcinka A. 1. Liczby, 6, b w podanej kolejności mają tworzyć ciąg geometryczny. Stosuje wzór na środkowy wyraz ciągu geometrycznego a n = a n 1 a n+1 6 = b b = 6 = 6. Liczby a, a, w podanej kolejności mają tworzyć ciąg arytmetyczny. Stosuje wzór na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego a n = a n 1 + a n+1 a = a + a( ) = /: ( ) a = = + + = 4 + = +. Obliczamy drugą współrzędną punktu A a = ( + ) = + 4. Poniżej wszystkie współrzędne punktów A, B,. A = (, + ), B = (6, + ), = ( 6, ) 5. Obliczam długość odcinka A ze wzoru na długość odcinka 6. A = [ ( 6 )] + [ + ( )] = = 170

9 . (5 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest krótsza o 1 od wysokości bryły i tworzy z krawędzią boczną kąt alfa, taki że cos α = 0,5. Uzasadnij, że długość krawędzi podstawy wynosi Tworzymy rysunek wraz z oznaczeniami. Wyróżniamy trójkąty prostokątne. Zaczynamy od tego po lewej stronie, na którym zaznaczamy kąt jaki tworzy krawędź podstawy z krawędzią boczną. x H=a+1 x 0, 5a. Wykorzystujemy informację, że cos α = 0,5. Na rysunku widzimy, że cos α = 0,5a x, zatem: 0,5 = 0,5a x skąd otrzymujemy x = a a > 0 / h. W tym trójkącie dążymy do tego, aby długość każdego boku była uzależniona od a. Wówczas korzystając z tw. Pitagorasa otrzymamy równanie z jedną niewiadomą a, którą trzeba wyznaczyć. H = a + 1, x = a Podstawa tego trójkąta prostokątnego ma długość równą wysokości trójkąta równobocznego h = a = a 4.Korzystam z tw. Pitagorasa: x = H + ( h) (a) = (a + 1) + ( a ) 4a = a + a a / 1a = a + 6a + + a 8a 6a = 0 = 1, = a 1 = 6 lub a 16 = a 1 = 8 < 0 lub a = + 8 a 1 nie spełnia warunku a > 0. Jedynym rozwiązaniem jest a = + 8 Za całkowicie poprawne rozwiązania zadań, uwzględniające inny tok rozumowania niż podany w schemacie punktowania, przyznaje się maksymalną liczbę punktów.