BADANIE KOMPATYBILNOŚCI POMIĘDZY MODELAMI MANSONA-COFFINA-BASQUINA I RAMBERGA-OSGOODA NA PODSTAWIE WYBRANYCH MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH

Transkrypt

1 ADAM NIESŁONY, ANDRZEJ KUREK BADANIE KOMPATYBILNOŚCI POMIĘDZY MODELAMI MANSONA-COFFINA-BASQUINA I RAMBERGA-OSGOODA NA PODSTAWIE WYBRANYCH MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH A STUDY OF COMPATIBILITY BETWEEN TWO CLASSICAL FATIGUE CURVE MODELS BY SOME SELECTED CONSTRUCTIONAL MATERIALS Streszczenie Abstract Artykuł zawiera próbę klasyikacji wybranych materiałów konstrukcyjnych ze względu na odstępstwo rzeczywistych własności tych materiałów od założeń teoretycznych modeli Mansona-Coina-Basquina (MCB) oraz Ramberga-Osgooda (RO) wykorzystywanych w opisie odkształceniowych charakterystyk zmęczeniowych. Użyto trzy sposoby wyznaczania zmęczeniowych stałych materiałowych występujących w modelach MCB i RO: metodę konwencjonalną, numeryczną oraz niedawno opracowaną metodę 3D, które pozwalają na wyznaczenie współczynnika wytrzymałości cyklicznej K', wykładnika cyklicznego umocnienia n', współczynnika i wykładnika zmęczeniowego odkształcenia plastycznego ε' i c oraz współczynnika i wykładnika wytrzymałości zmęczeniowej σ' i b. Spośród materiałów konstrukcyjnych wybrano 5 grup i wskazano, które z nich można opisać modelami MCB i RO z zadawalającą dokładnością. Słowa kluczowe: charakterystyki zmęczeniowe, wytrzymałość zmęczeniowa, charakterystyka materiału The paper contains a proposal or the classiication o some selected constructional materials considering departure o the actual properties o the materials rom assumptions o the models ormulated by Manson- -Coin-Basquin (MCB) and Ramberg-Osgood (RO), applied in a description o strain atigue characteristics. Three methods or determination o atigue material constants occurring in the MCB and RO models, namely, the conventional, numerical and 3D methods, were used. They allow us to determine the model parameters. The compatibility between the parameters derived rom the aorementioned models was checked by evaluating the atigue results or ive groups o selected constructional materials. Keywords: atigue curves, material characterisation, cyclic strength, strain-lie curve Dr hab. inż. Adam Niesłony, mgr inż. Andrzej Kurek, Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika Opolska.

2 54 Oznaczenia E moduł Younga ε a,t, ε a,e, ε a,p odpowiednio: całkowita amplituda odkształcenia oraz jej część sprężysta i plastyczna K', K' conv, K * współczynnik wytrzymałości cyklicznej otrzymany metodą 3D, konwencjonalną i numeryczną n', n' conv, n * wykładnik cyklicznego umocnienia otrzymany metodą 3D, konwencjonalną i numeryczną N liczba cykli do zniszczenia p ni, p Ki (i = 1, 2) współczynniki wykorzystane do porównania parametrów zmęczeniowych otrzymanych różnymi metodami P 0 punkt wykorzystywany do ustalenia prostej podczas aproksymacji metodą 3D R wektor kierunkowy, do którego prosta ustalona w metodzie 3D jest równoległa r współczynnik wskazujący odstępstwo od warunków kompatybilności l, m, n kosinusy kierunkowe wektora jednostkowego R x, y, z współrzędne punktów eksperymentalnych w przestrzeni 3D x 0, y 0, z 0 współrzędne punktu P 0 σ', b współczynnik i wykładnik wytrzymałości zmęczeniowej ε', c współczynnik i wykładnik zmęczeniowego odkształcenia plastycznego amplituda naprężenia σ a 1. Wstęp Wyznaczanie trwałości zmęczeniowej konstrukcji jest procesem złożonym, w którym należy uwzględnić czynniki wpływające w decydujący sposób na jej trwałość. Proces taki powinien uwzględniać: kształt konstrukcji, własności materiału, konigurację i charakter obciążenia, stan konstrukcji i czynniki zewnętrzne. Algorytmy obliczeniowe uwzględniające powyższe czynniki można podzielić ze względu na parametr decydujący o zmęczeniu na algorytmy: naprężeniowe, odkształceniowe i energetyczne. Dwie ostatnie grupy wykorzystują odkształceniowe charakterystyki zmęczeniowe lub wybrane stałe w nich występujące, dlatego bardzo ważne jest, aby były one wyznaczone poprawnie. Dane służące do sporządzania odkształceniowych wykresów zmęczeniowych [1 8] i wykresów cyklicznego odkształcenia [8 11] uzyskuje się, przeprowadzając badania eksperymentalne w prostych stanach obciążenia, zakładając stałą, kontrolowaną amplitudę odkształcenia. Dla każdej testowanej próbki otrzymuje się trzy wielkości: amplitudę naprężenia σ a i odkształcenia ε a oraz liczbę cykli do inicjacji pęknięcia zmęczeniowego lub całkowitego złomu N. Zakłada się, że wartość amplitudy naprężenia σ a jest rejestrowana w stanie ustabilizowanym, w którym nie obserwuje się eektów umocnienia lub osłabienia cyklicznego materiału. Ze względu na niestabilność większości nowoczesnych materiałów konstrukcyjnych arbitralnie przyjmuje się, że stan ustabilizowany występuje dla liczby cykli 0,5N [2]. Wyznaczając

3 charakterystykę zmęczeniową dla jednego materiału, wykonuje się testy zmęczeniowe wielokrotnie przy różnych wartościach amplitudy odkształcenia ε a. Odpowiednia obróbka wyników pozwala na opisanie własności zmęczeniowych wzorem proponowanym przez Mansona-Coina-Basquina (MCB) dla wykresu (ε a N ) [8] 55 b c ε =ε +ε =,,, ( 2N ) +ε ( 2N at ae a p ) (1) E gdzie: ε a,t amplituda odkształcenia całkowitego wyrażona sumą amplitud odkształcenia sprężystego ε a,e i plastycznego ε a,p, 2N liczba nawrotów obciążenia (półcykli), E moduł Younga, σ', b współczynnik i wykładnik wytrzymałości zmęczeniowej, ε', c współczynnik i wykładnik zmęczeniowego odkształcenia plastycznego. Ponadto powszechnie stosowany jest model proponowany przez Basquina dla wykresu (σ a N ) [5] ( 2N ) a b σ =σ (2) oraz proponowany przez Ramberga-Osgooda (RO) dla krzywej cyklicznego umocnienia (σ a ε a ) [9] 1 σa σa ε =ε +ε = + at, ae, a, p E K (3) gdzie: σ a amplituda naprężenia, K' współczynnik wytrzymałości cyklicznej, n' wykładnik cyklicznego umocnienia. Wzory (1) i (2) stosowne są podczas wyznaczania liczby cykli obciążenia do inicjacji pęknięcia zmęczeniowego. Wzór (3) znajduje szerokie zastosowanie podczas wyznaczania naprężeń i odkształceń sprężysto-plastycznych, uwzględniając zachowanie się materiału przy obciążeniu cyklicznym. Należy zauważyć, że wzory (1) i (3) deiniują amplitudę odkształcenia całkowitego ε a,t jako sumę amplitudy odkształcenia plastycznego ε a,p i amplitudy odkształcenia sprężystego ε a,e. Różnica pomiędzy wzorami polega na wyrażeniu amplitud składowych jako unkcji MCB MCB liczby cykli ε, ( N ) oraz ε, ( N ) dla wzoru (1) i unkcji amplitudy naprężenia ae ap RO RO ε ( σ ) oraz ε ( σ ) dla wzoru (3). Poprzez przyrównanie wyrażeń opisujących część ae, a ap, a sprężystą amplitudy odkształcenia z modelów MCB oraz RO otrzymuje się następujące równania

4 56 ε =ε MCB RO ae, ae, b σa ( 2N ) = E E log log 2 log ( σ ) + ( N ) b = ( σa) (4) Podobnie, porównując część plastyczną amplitudy odkształcenia, otrzymujemy ε =ε MC RO ap, ap, 1 σ c a ( 2N ) K =ε 1 log ( σ ) log ( K ) log ( ) log ( 2N a = ε + ) c n (5) Podstawiając za log(σ a ) w równaniu (5) odpowiednie wyrażenie z równania (4), otrzymujemy log log 2 log log ( σ ) + ( N ) b c ( K ) = ( ε ) (6) W równaniu (6) występują zarówno parametry materiałowe, jak i liczba cykli do zniszczenia N. Równość ta wyprowadzona przez przyrównanie części sprężystej (4) i plastycznej (5) amplitudy odkształcenia powinna być zachowana dla dowolnej wartości liczby cykli N. Należy więc przyjąć, że składnik równania zawierający liczbę cykli N 0, 5,..., ) powinien być równy zeru, co prowadzi do następującego warunku 1 log ( 2N ) b c = 0 0 tylko wtedy gdy 1 b c 0 = (7) Otrzymujemy w ten sposób wzór na wykładnik cyklicznego umocnienia wyrażony przez wykładniki wytrzymałości zmęczeniowej b i zmęczeniowego odkształcenia plastycznego c b = = comp (8) c Korzystając z wzorów (6) i (8), otrzymujemy równanie postaci log 1 1 log log = ( ε ) K ( ) ( K ) = ( ε ) (9)

5 które prowadzi do wzoru na współczynnik K postaci K = b = K c ( ε ) comp 57 (10) W literaturze można spotkać się z określeniem równań kompatybilności charakterystyk MCB i RO dotyczącym równań (8) i (10). Pozwalają one na określenie stałych występujących w modelu Ramgberga-Osgooda na postawie modelu Mansona-Coina-Basquina. Zauważa się, że dla wielu materiałów konstrukcyjnych modele MCB i RO opisują niedostatecznie dokładnie rzeczywiste zachowanie się materiałów podczas obciążenia cyklicznego. Często także związki (8) i (10) dają wyniki odbiegające od oczekiwanych, co przejawia się niedostatecznie dobrym dopasowaniem charakterystyk do punktów eksperymentalnych. Wynika to z ograniczeń teoretycznych modeli MCB i RO. Głównym celem artykułu jest wskazanie grupy materiałów konstrukcyjnych, które można eektywnie opisywać rozpatrywanymi modelami i uczulić na ewentualne zagrożenia przy stosowaniu tych modeli dla materiałów, które nie zachowują równań kompatybilności. 2. Metody estymacji zmęczeniowych stałych materiałowych występujących w modelach MCB i RO 2.1. Metoda konwencjonalna Podczas wyznaczania stałych materiałowych występujących w równaniach (1) i (3) metodą konwencjonalną stosuje się regresję punktów prostą o równaniu Y = Bˆ + AX ˆ (11) metodą najmniejszych kwadratów [7, 12]. Estymatory  i ˆB określają w sposób jawny lub jako proste unkcje szukane stałe materiałowe. W celu przeprowadzenia regresji dane eksperymentalne na wstępie poddaje się linearyzacji, logarytmując ich wartości. Podobnie logarytmując odpowiednie równania, otrzymujemy ich zlinearyzowane postacie, co przedstawiono w tabeli 1. Cześć sprężystą i plastyczną amplitudy odkształcenia całkowitego obliczamy za pomocą amplitudy naprężenia i modułu Younga σ E a ε = ae, (12) ε =ε ε (13) a, p at, ae, Ponieważ otrzymuje się w ten sposób trzy równania (tabela 1), aby wyznaczyć sześć parametrów charakteryzujących własności zmęczeniowe materiału, należy wykonać niezależnie trzy regresje liniowe. Procedura ta nie zapewnia zachowania równań kompatybilności (8) i (10) modeli MCB i RO.

6 58 Równania wykorzystywane podczas wyznaczania stałych materiałowych metodą konwencjonalną Postać pierwotna E ( N ) b ε = 2 Y = log + ae, ( N ) 2 ap, Równanie Postać zlinearyzowana Y = Bˆ + AX ˆ X Y E bx log(2 ) c ε =ε Y = log( ε ) + cx log(2 ) ( a, p) σ = K ε log a ( ) Tabela 1 N ε ae, log( ) log( ε ) N ap, Y = K + nx log( ε ) ap, log( σ ) a 2.2. Metoda numeryczna Metodę tę stosuje się głównie do modelu RO i polega ona na rozwiązaniu zadania optymalizacyjnego unkcji dwóch zmiennych K i. Parametrem decydującym o jakości dopasowania modelu do punktów eksperymentalnych jest suma kwadratów różnic pomiędzy krzywą modelową a wartościami w kierunku zmiennej niezależnej, czyli naprężenia. Do przeprowadzenia optymalizacji wykorzystano nieliniowy algorytm optymalizacji wielu zmiennych, który unkcjonuje w środowisku programistycznym Maltab pod nazwą minsearch [13]. Metoda numeryczna nie zapewnia zachowania równań kompatybilności (8) i (10), ale odznacza się bardzo dobrym dopasowaniem krzywej cyklicznego umocnienia do wyników eksperymentalnych. Wyznaczone w ten sposób stałe materiałowe oznaczono przez K * i n *. Model opisu przyjmuje wtedy postać 1 * σ n a σa ε = + at, * E K (14) 2.3. Metoda 3D Metoda 3D polega na aproksymacji punktów eksperymentalnych linią prostą w przestrzeni o współrzędnych [log(ε a,p ), log(σ a ), log(n )]. Do ustalenia tej prostej wykorzystuje się punkt P 0 leżący na tej prostej i wektor kierunkowy, do którego ustalana prosta jest równoległa P 0 (x 0, y 0, z 0 ) (15) R(l, m, n), (16) gdzie l, m i n są kosinusami kierunkowymi wektora jednostkowego [12]. W rezultacie sześć szukanych współczynników występujących w wzorach (1) (3) wyznacza się bezpośrednio z następujących wzorów

7 m l m =, c =, b=, l n n K = 10, ε = 10, σ = 10 ( y0 x0 ) ( x0 z0c) ( y0 z0b) 59 (17) Należy pamiętać, że linearyzację danych prezentowanych w przestrzeni zrealizowano, logarytmując odpowiednie wielkości ( ap, ) ( a) ( ) x = log ε, y = log σ, z = log N (18) Główną zaletą metody 3D jest zachowanie równań kompatybilności (8) i (10). Oznacza to, że współczynniki wyznaczone tą metodą są zgodne z założeniami teoretycznymi będącymi podstawą do wyprowadzenia wzorów (1) i (3) według modeli MCB i RO. Szczegóły dotyczące wyznaczania zmęczeniowych stałych materiałowych metodą 3D można znaleźć m.in. w [14]. 3. Klasyikacja materiałów Podczas klasyikacji materiałów konstrukcyjnych ze względu na założenia teoretyczne modeli charakterystyk zmęczeniowych wykorzystano wyniki badań zmęczeniowych dostępne w literaturze [9]. Do rozważań wybrano 26 stopów aluminium, 10 stopów tytanu i 44 stopy stali wysoko- i niskostopowych. Szczegóły dotyczące wybranych materiałów zamieszczono w tabeli 2. Zestawienie grup materiałów wykorzystanych do badań Tabela 2 Nazwa grupy Stopy aluminium Stopy tytanu Stale niskostopowe Stale wysokostopowe Stale niestopowe Liczba badanych stopów W celu porównania zmęczeniowych stałych materiałowych otrzymywanych opisanymi wyżej metodami zdeiniowano odpowiednie współczynniki. Do porównania stałych materiałowych K * i n * otrzymanych metodą numeryczną ze stałymi K i otrzymanymi za pomocą metod 3D zdeiniowano następujące współczynniki p n1 * n = (19) n p K1 * K = n ( ε ) * (20)

8 60 gdzie: n *, K * otrzymano metodą numeryczną, n,, ε otrzymano z zachowaniem równań kompatybilności (8) i (10) metodą 3D. Podobnie zdeiniowano współczynniki p n2 i p K2, które pozwalają na porównanie stałych otrzymanych metodą konwencjonalną i 3D p K 2 p n2 = conv ( ε ) K conv = n conv (21) (22) gdzie conv i K conv wyznaczono metodą konwencjonalną. Współczynniki wyrażone wzorami (19) (22) przyjmują wartość 1 dla materiałów wykazujących własności cykliczne odpowiadające założeniom teoretycznym modeli MCB i RO. Wartości większe lub mniejsze od jedności otrzymuje się wtedy, gdy części sprężysta MCB RO MCB RO i plastyczna modeli nie są sobie równe, czyli ε ε oraz ε ε. ae, ae, ap, ap, W celu klasyikacji wybranych materiałów zastosowano również współczynnik wskazujący odstępstwo od warunków kompatybilności r = p + p i = (23) 2 2 (1 ) (1 ), 1, 2 Ki ni Współczynnik r wyznacza długość promienia okręgu o środku w punkcie (1, 1), na obwodzie którego znajdują się punkty o współrzędnych p K1,2 i p n1,2. W celu klasyikacji założono dwie wartości promienia r = 0,05 i r = 0,1. Punkty leżące na okręgach o tych promieniach różnią się od punktu (1, 1) o odpowiednio 5% i 10%. Wybrano takie promienie, ponieważ wyniki obliczeń otrzymane dla stali niestopowych, dla których badane modele były ormułowane, zarówno dla metody konwencjonalnej, jak i numerycznej, znajdują się wewnątrz tych okręgów. Wyznaczono charakterystyki dla wybranych materiałów trzema omawianymi wcześniej metodami. Otrzymane stałe materiałowe wykorzystano do obliczenia współczynników opisanych wzorami (19) (22). Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono wyniki obliczeń w ormie wykresów wykonanych dla każdej z wyszczególnionych grup materiałowych. Punkty na wykresach odpowiadają poszczególnym materiałom z danej grupy, a ich położenie ustalone przez współczynniki p K1,2 i p n1,2 wskazuje na własności materiału. Jeżeli położenie punktu pokrywa się z współrzędnymi (1, 1) (punkt przecięcia linii ciągłych na wykresach) oznacza to, że materiał ten zachowuje założenia teoretyczne modeli MCB i RO. Im dalej punkt jest położony od tych współrzędnych, tym trudniej prawidłowo opisać rozpatrywanymi modelami własności zmęczeniowe materiału. W celu ułatwienia porównania wyników dla poszczególnych grup materiałowych zachowano na wykresach te same zakresy zmian parametrów p K1,2 i p n1,2.

9 a) b) 61 c) d) e) Rys. 1. Zależność pomiędzy stałymi otrzymanymi metodą numeryczną a otrzymanymi z wykorzystaniem metody 3D dla: a) stopów aluminium, b) stopów tytanu, c) stali niskostopowych, d) stali wysokostopowych i e) stali niestopowych Fig. 1. Relations between the constants obtained with the numerical method and the 3D method or: a) aluminium alloys, b) titanium alloys, c) low-alloy steels, d) high-alloy steels, e) unalloyed steels

10 62 a) b) c) d) e) Rys. 2. Zależność pomiędzy stałymi otrzymanymi metodą konwencjonalną a otrzymanymi z wykorzystaniem metody 3D dla: a) stopów aluminium, b) stopów tytanu, c) stali niskostopowych, d) stali wysokostopowych i e) stali niestopowych Fig. 2. Relations between the constants obtained with the conventional method and the 3D method or: a) aluminum alloys, b) titanium alloys, c) low-alloy steels, d) high-alloy steels, e) unalloyed steels

11 Z rysunków 1a) i 2a) można zauważyć, że z wyjątkiem dwóch stopów aluminium pozostałe 24 znacząco odbiegają od oczekiwanego położenia (1, 1). Oznacza to, że własności cykliczne tej grupy materiałów często odbiegają od założeń teoretycznych modeli wykorzystywanych do ich opisu. Dla tytanu oraz stali wysoko- i niskostopowych tylko nieliczne punkty na wykresach z rysunków 1 i 2 leżą obok współrzędnych (1, 1). Należy sądzić, że podobnie jak dla stopów aluminium, także i dla tych grup materiałów napotykamy na trudności w poprawnym opisie analizowanymi modelami. Wynik zgodny z oczekiwaniami otrzymano jedynie dla grupy stali niestopowych, gdzie pary współczynników p K1,2 i p n1,2 tworzą zwartą chmurę w okolicy punktu (1, 1) Wnioski Zmęczeniowe stałe materiałowe wyznaczone trzema różnymi metodami różnią się co do wartości. Zaobserwowano bardzo wyraźną tendencję do zaniżania stałych materiałowych i K przez metody konwencjonalną i numeryczną dla stopów aluminium w porównaniu z metodą 3D. Zauważono również, iż tendencja ta jest większa dla wykładnika cyklicznego umocnienia. Podobne, choć mniej znaczące różnice dotyczące stałych zaobserwowano dla grupy stopów tytanu. W przypadku tej grupy również stała wydaje się być bardziej podatna na zastosowaną metodę wyznaczania stałych. Stałe K i otrzymane metodą numeryczną są zaniżone proporcjonalnie. Metody numeryczna i konwencjonalna dla niektórych stali wysokostopowych również wykazują tendencje do zaniżania nieznacznie wykładników wytrzymałości cyklicznej i cyklicznego umocnienia. W tym jednak przypadku różnice są proporcjonalne. Metoda 3D [14] wyznacza współczynniki zgodnie z założeniami teoretycznymi modeli MCB i RO, dlatego tylko te materiały, które zachowują się zgodnie z tymi założeniami, udało się opisać z wystarczającą dokładnością. Są to przede wszystkim stale niestopowe i niektóre stale nisko- i wysokostopowe, dla których modele te były tworzone. Materiały niestabilne cyklicznie, takie jak stopy aluminium i tytanu, trudno poprawnie opisać analizowanymi modelami. Dlatego też należy zachować szczególną uwagę podczas opracowywania wyników badań cyklicznych dla tych grup materiałów. Literatura [1] Mitchell M.R., Fundamentals o Modern Fatigue Analysis or Design, [in:] ASM Handbook, Ed. Steven R. Lampman, ASM International, Materials Park, 1996, [2] R i c e R.C., L e i s B.N., B e r n s H.D., N e l s o n D.V., L i n g e n l e s e r D., Mitchell M.R., Fatigue Design Handbook, SAE, Warrendale, 1988, 369 ps. [3] Manson S.S., Fatigue: a complex subject some simple approximation, Experimental Mechanics, Vol. 5, 1965, [4] Coin L.F., A study o the eect o cyclic thermal stresses on a ductile metal, Trans ASME, Vol. 76, 1954,

12 64 [5] Basquin O.H., The exponential law o endurance tests, Am. Soc. Test. Mater. Proc., Vol. 10, 1910, [6] Plumtree A., Abdel-Raou H.A., Cyclic stress strain response and substructure, International Journal o Fatigue, Vol. 23, 2001, [7] ASTM Standard E606-92: Standard practice or strain-controlled atigue testing, [in:] Annual book o ASTM standards, Vol ASTM, 1997, [8] Bäumel A., Seeger T., Material Data or Cyclic Loading, Supplement 1, Materials Science Monographs, 61, Elsevier Science Publishers, Amsterdam [9] Ramberg W., Osgood W.R., Description o stress-strain curves by three parameters, Technical Note No. 902, National Advisory Committee or Aeronautics, Washington DC, [10] Jones A., Hudd R.C., Cyclic stress-strain curves generated rom random cyclic strain amplitude tests, International Journal o Fatigue, Vol. 21, 1999, [11] Landgra R.W., Morrow J., Endo T., Determination o the cyclic stressstrain curve, Journal o Materials, JMLSA, Vol. 4, No. 1, 1969, [12] Bronstein I.N., Semendjajew K.A., Handbook o Mathematics, Springer, Berlin 2004, 1157 ps. [13] MATLAB USER GUIDE: Release 14 with Service Pack 2, Copyright 2005 by The MathWorks, Inc., Version V, 624 ps. [14] N i e s ł ony A., El Dsoki Ch., Kaumann H., Krug P., New method or evaluation o the Manson-Coin-Basquin and Ramberg-Osgood equations with respect to compatibility, International Journal o Fatigue, Vol. 30, 2008,