Kontrakt opcyjny jest instrumentem pochodnym, który daje jego właścicielowi prawo zakupu (opcja kupna) lub sprzedaŝy (opcja sprzedaŝy) określo-

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 450 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR EWA DZIAWGO Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń ANALIZA CZYNNIKÓW WPŁYWAJĄCYCH NA CENĘ OPCJI O OPÓŹNIONYM STARCIE Wstęp Proces globalizacji i integracji rynków finansowych wpływa na wzrost ryzyka finansowego, co z kolei przyczynia się do rozwoju metod i narzędzi zarządzania ryzykiem. Instrumenty pochodne, wśród których opcje są szczególne atrakcyjnym instrumentem, odgrywają główną rolę w zarządzaniu ryzykiem. W artykule omówiono opcje egzotyczne o opóźnionym starcie. Zagadnienia teoretyczne związane z nimi zilustrowano przykładami empirycznymi, w których wyceniono walutowe opcje kupna o opóźnionym starcie wystawione na EUR, zbadano wpływ wybranych czynników na cenę tych opcji oraz dokonano analizy kształtowania się wartości greckich parametrów rozpatrywanych opcji. 1. Opcje o opóźnionym starcie charakterystyka Kontrakt opcyjny jest instrumentem pochodnym, który daje jego właścicielowi prawo zakupu (opcja kupna lub sprzedaŝy (opcja sprzedaŝy określo-

2 102 Ewa Dziawgo nego instrumentu bazowego 1 po określonej cenie (jest to cena wykonania w określonym czasie (jest to termin wykonania. Opcja o opóźnionym starcie (zwana opcją forward start jest opcją egzotyczną, zaleŝną od czasu. Ustalenie parametrów opcji o opóźnionym starcie występuje w dwóch momentach: w czasie t 0, który jest początkiem Ŝycia opcji, w czasie t 1, który jest momentem startu opcji. W momencie t 0 następuje zawarcie umowy i zapłata premii. Opcja o opóźnionym starcie charakteryzuje się tym, Ŝe w dniu zawarcia kontraktu nie jest znana cena wykonania, natomiast pozostałe parametry kontraktu opcyjnego: typ opcji (kupna, sprzedaŝy, wielkość kontraktu, rodzaj instrumentu bazowego, czas wygaśnięcia, są określone. W dniu zawarcia umowy wyznaczony jest czas startu opcji (czas t 1. W momencie t 1 wyznaczona jest cena wykonania opcji, za którą przyjmuje się istniejącą w tym czasie cenę instrumentu bazowego S(t 1. Po przekroczeniu momentu startu opcja o opóźnionym starcie staje się zwykłą opcją. Czas wygaśnięcia opcji T jest czasem, po którego upływie opcja traci swoją wartość. W dniu wygaśnięcia wartość wewnętrzna opcji kupna o opóźnionym starcie wynosi: Max[S(T S(t 1 ; 0]. Wartość wewnętrzna opcji sprzedaŝy o opóźnionym starcie równa jest: Max[S(t 1 S(T; 0]. 1 W przypadku opcji finansowych instrumentem bazowym mogą być akcje, waluty, stopy procentowe, indeksy ekonomiczne.

3 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 103 Opcja o opóźnionym starcie opcją zaleŝną od czasu W czasie t 0 zostaje zawarta umowa, w której są określone: sposób i termin ustalenia ceny wykonania, data wygaśnięcia, typ opcji, rodzaj i ilość instrumentu bazowego W czasie t 1 jest ustalana cena wykonania opcji i w tym momencie opcja staje się opcją zwykłą T jest czasem wygaśnięcia opcji. W tym momencie wartość wewnętrzna wynosi: w przypadku opcji kupna: Max[S(T S(t 1; 0] w przypadku opcji sprzedaŝy: Max[S(t 1 S(T; 0] t 0 t 1 T czas Schemat 1. Czas w opcji o opóźnionym starcie Cena opcji o opóźnionym starcie wynosi: q( t1 t0 q( T t1 r( T t1 0 = c( t S( t e [ e N( d e N( d ], q( t1 t0 r( T t1 q( T t1 0 = p( t S( t e [ e N( d e N( d ], (1

4 104 Ewa Dziawgo gdzie: d 1 = 2 ( r q + 0,5σ ( T t1 σ T t d = d σ T t, q stopa dywidendy, T czas wygaśnięcia opcji, t 1 czas startu opcji, t 0 początek Ŝycia opcji, t, t [0, T ], t < t < T, , S(t 0 cena instrumentu bazowego w czasie t 0, N(d wartość dystrybuanty rozkładu normalnego zmiennej d, r stopa procentowa wolna od ryzyka, σ odchylenie standardowe stóp zwrotu z instrumentu bazowego. Z analizy wzoru (1 wynika, Ŝe cena opcji o opóźnionym starcie jest równa cenie analogicznej opcji zwykłej po cenie z czasem pozostałym do wygaśnięcia T t 1, przy czym oczekiwaną wartość wypłaty dyskontuje się przez okres t 1 t Greckie parametry opcji o opóźnionym starcie Głównymi czynnikami wpływającymi na cenę opcji o opóźnionym stracie są czas pozostający do wygaśnięcia opcji, zmienność cen instrumentu bazowego, cena instrumentu bazowego w chwili t 0, wielkość stopy procentowej 2. Cena opcji o opóźnionym stracie jest funkcją czterech zmiennych. Obliczając pochodną funkcji względem jednej z tych zmiennych, uzyskuje się informację o wpływie zmiany wartości tej zmiennej na zmianę wartości opcji. Zmiany te są oznaczane greckimi literami. Do analizy wraŝliwości ceny opcji wykorzystuje się wskaźniki delta, gamma, theta, vega, rho. 2 JeŜeli opcja jest wystawiona na akcje spółki wypłacającej dywidendy, to stopa dywidendy jest dodatkowym czynnikiem wpływającym na cenę opcji.

5 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 105 Współczynnik delta, wskazuje o ile zmieni się cena opcji, gdy cena instrumentu bazowego zmieni się o jednostkę. Współczynnik delta opcji o opóźnionym starcie wynosi: c( t S( t ( ( 0 q( t1 t0 q( T t1 r ( T t1 call = = e e N d1 e N d2 p( t S( t ( (, 0 q( t1 t0 r ( T t1 q( T t1 put = = e e N d2 e N d1 (2 gdzie: współczynnik delta opcji kupna o opóźnionym starcie, call współczynnik delta opcji sprzedaŝy o opóźnionym starcie, put pozostałe oznaczenia jak we wzorze (1. Współczynnik gamma określa względną zmianę współczynnika delta wobec zmiany ceny instrumentu bazowego. Określa on tempo zmian współczynnika delta i wskazuje, jak często naleŝy korygować liczbę posiadanych (wystawianych opcji. Współczynnik gamma opcji kupna i sprzedaŝy o opóźnionym starcie wynosi zero. call put Γ = = = 0, S( t S( t (3 gdzie: Γ współczynnik gamma, pozostałe oznaczenia jak we wzorze (2. Współczynnik theta określa zmianę wartości opcji, gdy długość okresu do terminu wygaśnięcia spadnie o jednostkę. Współczynnik theta opcji o opóźnionym starcie wynosi:

6 106 Ewa Dziawgo c( t σ ( ( ( (, 0 q( t1 t0 q( T t1 r( T t1 q( T t1 ' Θ call = = e S t0 qe N d1 + re N d2 + e N d1 τ 2 T t1 p t q( t1 t0 q( T t1 r( T t1 q( T t1 σ ' Θ put = = e S( t0 qe N( d1 re N( d2 e N ( d1, τ 2 T t1 gdzie: Θ call współczynnik theta opcji kupna o opóźnionym starcie, Θ współczynnik theta opcji sprzedaŝy o opóźnionym starcie, put 2 x 2 1 N '( x = e, 2π pozostałe oznaczenia jak we wzorze (1. Współczynnik vega określa, o ile wzrośnie cena opcji, gdy odchylenie standardowe zmieni się o jednostkę. Współczynnik vega opcji o opóźnionym starcie wynosi: υ c( t p( t σ σ 0 0 q( T t = = = S t0 e T t1 N d1 0 ( '(, (5 gdzie υ współczynnik vega opcji o opóźnionym starcie. Współczynnik rho wskazuje, o ile zmieni się cena opcji, gdy stopa procentowa aktywów wolnych od ryzyka zmieni się o jednostkę: ρ ρ c( t r p( t r 0 q( t1 t0 r( T t1 call = = e S t0 T t1 e N d2 ( ( (, 0 q( t1 t0 r( T t1 put = = e S t0 T t1 e N d2 ( ( (, (6

7 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 107 gdzie: ρ call put współczynnik rho opcji kupna o opóźnionym starcie, ρ współczynnik rho opcji sprzedaŝy o opóźnionym starcie, pozostałe oznaczenia jak we wzorze (1. 3. Przykład empiryczny Przykład empiryczny dotyczy analizy kształtowania się cen walutowych, europejskich opcji 3 o opóźnionym starcie wystawionych na EUR. Analiza dotyczy opcji 6-miesięcznych (rozpatrywany okres: r r. z róŝnymi terminami startu. Dla rozpatrywanych opcji analizowano kształtowanie się wartości greckich parametrów i zbadano wpływ czasu startu na wartości greckich parametrów. Na wykresie 1 przedstawiono kształtowanie się ceny walutowej opcji o opóźnionym starcie (wystawionej na EUR przed i po przekroczeniu terminu startu. Termin startu rozpatrywanej opcji: 2 lutego 2005 roku, rozpatrywany okres: 1 grudnia marca 2005 roku. Z analizy kształtowania się cen opcji wynika, Ŝe przed czasem startu ceny opcji ulegają niewielkim wahaniom. ZbliŜający się termin startu wpłynął na wzrost ceny opcji o opóźnionym starcie. Po przekroczeniu czasu startu opcja staje się zwykłą opcją. Na wykresie 2 przedstawiono kształtowanie się cen dwóch 6-miesięcznych, walutowych opcji kupna o opóźnionym stracie, które róŝnią się terminami startu. Pierwsza opcja (oznaczona jako op.(2 charakteryzuje się terminem startu 2 miesiące, natomiast druga opcja ma 3-miesięczny okres startu (oznaczona jako op.(3. Analiza dotyczy okresu 1 grudnia 2004 roku 28 stycznia 2005 roku. Z analizy kształtowania się cen wynika, Ŝe opcja, która charakteryzuje się późniejszym terminem startu, jest tańsza od opcji o wcześniejszym terminie startu. 3 Opcja europejska moŝe być wykonana tylko w dniu jej wygaśnięcia.

8 108 Ewa Dziawgo 0,12 0,1 czas startu cena [zł] 0,08 0,06 0,04 0, data Wykres 1. Kształtowanie się ceny walutowej opcji o opóźnionym starcie przed i po przekroczeniu momentu startu. Rozpatrywany okres: 1 grudnia 2004 roku 25 marca 2005 roku cena opcji [zł] 0,096 0,09 0,084 0,078 0,072 0, data cena op.(2 cena op.(3 Wykres 2. Kształtowanie się cen opcji o opóźnionym starcie z róŝnym czasem startu w okresie 1 grudnia 2004 roku 28 stycznia 2005 roku

9 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 109 Na wykresie 3 przedstawiono wpływ terminu startu na cenę opcji o opóźnionym starcie. DłuŜszy termin startu ma wpływ na spadek ceny opcji o opóźnionym starcie. ZbliŜanie się terminu startu powoduje wzrost ceny opcji o opóźnionym starcie. cena opcji forward start DłuŜszy termin startu wpływa na spadek premii czas startu Wykres 3. Wpływ czasu startu na cenę opcji o opóźnionym starcie Na wykresie 4 przedstawiono wpływ zmienności i terminu startu na kształtowanie się cen walutowych opcji kupna o opóźnionym starcie. Wzrost zmienności wpływa na wzrost ceny opcji o opóźnionym starcie dla kaŝdego czasu startu. Przy kaŝdej zmienności opcje o krótszym terminie startu są droŝsze od opcji charakteryzujących się dłuŝszym terminem startu.

10 110 Ewa Dziawgo 0,25 0,2 cena opcji 0,15 0,1 0,05 czas st.2m. czas st.3m. czas st.4m 0 0,0252 0,0752 0,1252 0,1752 0,2252 zmienność Wykres 4. Wpływ zmienności i terminu startu na kształtowanie się cen walutowych opcji kupna o opóźnionym starcie Na wykresie 5 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika delta walutowych opcji kupna o opóźnionym starcie i róŝnych terminach startu. Opcje charakteryzujące się krótszym terminem startu są bardziej wraŝliwe na zmianę ceny instrumentu bazowego. Na wykresie 6 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika rho walutowych opcji kupna o opóźnionym starcie w zaleŝności od czasu startu. Większe wartości współczynnika rho występują w przypadku opcji kupna o opóźnionym starcie, których termin startu jest krótszy, co oznacza, Ŝe cena opcji z krótszym terminem startu jest bardziej wraŝliwa na zmianę stopy procentowej od opcji charakteryzującej się dłuŝszym terminem startu.

11 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 111 0,030 0,025 0,020 delta 0,015 0,010 0,050 0,000 1 mies. 2 mies. 3 mies. 4 mies. czas startu Wykres 5. Wpływ czasu startu na kształtowanie się wartości współczynnika delta opcji kupna o opóźnionym starcie 1,2 1,0 0,8 rho 0,6 0,4 0,2 0,0 1 mies. 2 mies. 3 mies. 4 mies. czas startu Wykres 6. Kształtowanie się wartości współczynnika rho opcji kupna o opóźnionym starcie z róŝnymi momentami startu

12 112 Ewa Dziawgo Na wykresie 7 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika theta walutowych opcji kupna o opóźnionym terminie startu z róŝnymi terminami startu. Opcje kupna o opóźnionym starcie z dłuŝszym terminem startu mają większe wartości współczynnika theta. Gdy długość okresu do terminu wygaśnięcia spadnie o jednostkę, to większym wahaniom ulega cena opcji o opóźnionym starcie, których termin startu jest dłuŝszy. 0,185 0,180 theta 0,175 0,170 0,165 0,160 0,155 1 mies. 2 mies. 3 mies. 4 mies. czas startu Wykres 7. Wpływ czasu startu na kształtowanie się wartości współczynnika theta opcji kupna o opóźnionym starcie Na wykresie 8 przedstawiono wpływ terminu startu na kształtowanie się wartości parametru vega walutowych opcji kupna o opóźnionym starcie. Zbli- Ŝanie się terminu startu wpływa na wzrost wraŝliwości ceny opcji kupna o opóźnionym starcie na wahania zmienności. Gdy odchylenie standardowe zmieni się o jednostkę, to ceny opcji, których termin startu jest krótszy, w większym stopniu reagują na wahania zmienności.

13 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 113 vega 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 1 mies. 2 mies. 3 mies. 4 mies. czas startu Wykres 8. Wpływ czasu startu na kształtowanie się wartości współczynnika vega opcji kupna o opóźnionym starcie Podsumowanie Cena opcji o opóźnionym starcie jest funkcją czterech zmiennych: czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji, ceny instrumentu bazowego w dniu zawarcia kontraktu, zmienności ceny instrumentu bazowego i wysokości stopy procentowej. Pochodna cząstkowa tej funkcji względem jednej z tych zmiennych określa wpływ zamiany wartości tej zmiennej na zmianę wartości opcji. Z przeprowadzonej analizy wraŝliwości ceny opcji kupna o opóźnionym starcie wynika, Ŝe większe wartości współczynników delta, rho i vega występują w przypadku opcji charakteryzujących się krótszym terminem startu. ZbliŜanie się terminu startu wpływa na wzrost ceny opcji o opóźnionym starcie i na wzrost wraŝliwości ceny tej opcji na zmianę stopy procentowej, wahania zmienności ceny instrumentu bazowego. Z uwagi na fakt, Ŝe do czasu startu nie jest znana cena wykonania opcji o opóźnionym starcie, utrudnione jest ich stosowanie w transakcjach zabezpieczających czy spekulacyjnych na zmianę ceny instrumentu bazowego. Opcje

14 114 Ewa Dziawgo o opóźnionym starcie są bardzo atrakcyjnym instrumentem finansowym dla grupy inwestorów, którzy opcje stosują w transakcjach spekulacyjnych na rynku zmienności cen instrumentu bazowego. Opcje o opóźnionym stracie mogą być wykorzystywane w charakterze opcji menedŝerskich w systemach wynagrodzeń dla kadry kierowniczej przedsiębiorstw w celu silniejszego powiązania interesów kadry kierowniczej z interesami akcjonariuszy, a tym samym zwiększania wartości dla akcjonariuszy. Gdy opcje te są jednym z elementów wynagrodzeń menedŝerów, stają się bodźcem motywacyjnym do osiągania lepszych wyników finansowych w firmie. Literatura 1. Dziawgo E.: Modele kontraktów opcyjnych. Wyd. Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń Gastineau G.:, Exotic (Nonstandard Options on Fixed-income Instruments. W: F.J. Fabozzi: The Handbook of Fixed Income Options: Strategies, Pricing and Applications. Irwin Professional Publishing, Chicago Hull J.C.: Options, Futures, and Rother Derivatives. Prentice Hall Jajuga K., Gudaszewski W., Mróz W.: Opcje egzotyczne wprowadzenie. Rynek Terminowy 2004, nr Kuźmierkiewicz M.: Ogólna charakterystyka opcji egzotycznych. Bank i Kredyt 1999, nr Napiórkowski A.: Charakterystyka, wycena i zastosowanie wybranych opcji egzotycznych. NBP Departament Analiz i Badań, Warszawa Wilmott P.: Derivatives. The Theory and Practice of Financial Engineering. John Wiley & Sons, Chichester Zang P.G.: Exotic Options; A Guide to the Second-generation Options. World Scientific Publishing, London 1998.

15 Analiza czynników wpływających na cenę opcji 115 THE ANALYSIS OF THE FACTORS INFLUENCING THE PRICE OF FORWARD START OPTIONS Summary The globalisation and financial markets integration processes have an impact on the increase in the financial risk, and this, in turn, brings the development of the risk management methods and tools. Options appear to be a specifically attractive instrument among the derivative instruments that play a principal part in risk management. Exotic forward start options will be discussed in the paper. The theory on the exotic forward start options is illustrated by empirical examples, where the currency exotic forward start options on EUR were priced, the impact of selected factors on the price of those options was examined and the analysis of the Greek coefficients for the options in question was carried out. Translated by Ewa Dziawgo