Generatory Liczb Losowych

Transkrypt

1 Generatory Liczb Losowych Metody deterministyczne w niedeterministycznym świecie. Paweł Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 30 kwietnia 2011

2 Rysunek: demotywatory.pl

3 Plan wystapienia: 1 Losowość Pojęcie Zastosowania Testowanie 2 Generowanie Tablice liczb losowych Generatory fizyczne Generatory programowe 3 Podsumowanie

4 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

10 Pojęcie Formalnie Definicja Ciagiem liczb losowych nazwiemy taki ciag x 1, x 2,..., x n, że wartości wyrazu x k nie da się przewidzieć, na podstawie wartości wyrazów x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n. W rachunku prawdopodobieństwa, zjawisko modelowane za pomoca zmiennej losowej.

11 Pojęcie Formalnie Definicja Ciagiem liczb losowych nazwiemy taki ciag x 1, x 2,..., x n, że wartości wyrazu x k nie da się przewidzieć, na podstawie wartości wyrazów x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n. W rachunku prawdopodobieństwa, zjawisko modelowane za pomoca zmiennej losowej.

12 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

29 Testowanie Rysunek: dilbert.com

30 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

35 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

40 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

53 Testowanie Testy normy FIPS Dane wejściowe Rozważamy ciag gdzie b i {0, 1}. b 1, b 2,..., b 20000,

54 Testowanie Testy normy FIPS Test monobitowy 1 Obliczamy statystykę testowa X = Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy i=1 b i < X <

57 Testowanie Testy normy FIPS Test pokerowy 1 Obliczamy statystykę testowa ( X = ) [f (i)] , 5000 i=0 { gdzie f (i) = # k : 4 k } 3 l=0 2l b k l = i. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy 2.16 < X <

60 Testowanie Testy normy FIPS Test serii 1 Obliczamy liczbę serii o długościach 1, 2, 3, 4, 5 oraz dłuższych niż 5. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy spełnione sa poniższe warunki Długość serii Liczba wystapień ponad

63 Testowanie Testy normy FIPS Test długich serii Rozważany ci ag nie powinien zawierać serii o długości większej niż 25.

64 Tablice liczb losowych. Generatory fizyczne. Generatory programowe.

67 Tablice liczb losowych Rysunek: Fragment tablicy A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates

68 Tablice liczb losowych Historia 1927 r. L. H. Tippett Random Sampling Numbers r. A. Fisher i F. Yates wykorzystanie tablic logarytmicznych r. Kendall, Babington i Smith wykorzystanie elektronicznej ruletki r. GUS wykorzystanie pasków do drukujacych maszyn liczacych.

72 Tablice liczb losowych Historia 1955 r. RAND Corporation 3 A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates 4, wykorzystanie źródła wytwarzajacego impulsów binarnych na sekundę r. G. Marsaglia White & Black Noise 5, CD-ROM zawierajacy 650MB liczb losowych. Kompilacja szumu elektronicznego z muzyka rap

73 Tablice liczb losowych Historia 1955 r. RAND Corporation 3 A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates 4, wykorzystanie źródła wytwarzajacego impulsów binarnych na sekundę r. G. Marsaglia White & Black Noise 5, CD-ROM zawierajacy 650MB liczb losowych. Kompilacja szumu elektronicznego z muzyka rap

74 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

80 Generatory fizyczne Rysunek: Zestaw kości wielościennych.

81 Generatory fizyczne Idea Idea Wykorzystanie procesów fizycznych przebiegaj acych w sposób losowy do generowania liczb losowych.

82 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

91 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

98 Generatory fizyczne Rysunek: Sun Crpyto Accelerator 1000

99 Generatory fizyczne Zjawiska kwantowe Zjawiska kwantowe Specyficzne efekty zwiazane z mechanika kwantowa opisujac a prawa ruchu świata mikroskopowego. Obecnie uważa się, że losowość jest wpisana w ich naturę.

100 Generatory fizyczne Zjawiska kwantowe Rysunek: Kwantowy generator liczb losowych.

101 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

107 Generatory programowe Rysunek: xkcd.com

108 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Definicja Generatorem liniowym nazywamy generator postaci X n m α 0 + gdzie α 0, α 1,..., α k Z m. k α i X n i, i=1 α 0 = 0 generator multiplikatywny, α 0 0 generator mieszany.

111 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Język m α 1 α 0 Borland C/C GCC ANSI C Borland Delphi Microsoft Visual C/C Java Forth

112 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe RANDU X 0 nieparzyste. ( X n ) X n. Powstały w latach 60-tych. Szeroko używany we wczesnych latach 70-tych. Nie przechodzi testu spektralnego dla wymiarów większych niż 2! Wiele wyników uzyskanych za jego pomoc a w latach 70-tych uważa się za podejrzane.

113 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe RANDU X 0 nieparzyste. ( X n ) X n. Powstały w latach 60-tych. Szeroko używany we wczesnych latach 70-tych. Nie przechodzi testu spektralnego dla wymiarów większych niż 2! Wiele wyników uzyskanych za jego pomoc a w latach 70-tych uważa się za podejrzane.

Pokazać jeszcze