Generatory Liczb Losowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Generatory Liczb Losowych"

Transkrypt

1 Generatory Liczb Losowych Metody deterministyczne w niedeterministycznym świecie. Paweł Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 30 kwietnia 2011

2 Rysunek: demotywatory.pl

3 Plan wystapienia: 1 Losowość Pojęcie Zastosowania Testowanie 2 Generowanie Tablice liczb losowych Generatory fizyczne Generatory programowe 3 Podsumowanie

4 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

5 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

6 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

7 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

8 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

9 Pojęcie Intuicyjnie Brak przyczyny. Brak porzadku. Brak przewidywalnego zachowania. Brak struktury. Brak celu. Podsumowanie Losowość, to obiektywna niemożliwość przewidzenia przyszłego zachowania procesu.

10 Pojęcie Formalnie Definicja Ciagiem liczb losowych nazwiemy taki ciag x 1, x 2,..., x n, że wartości wyrazu x k nie da się przewidzieć, na podstawie wartości wyrazów x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n. W rachunku prawdopodobieństwa, zjawisko modelowane za pomoca zmiennej losowej.

11 Pojęcie Formalnie Definicja Ciagiem liczb losowych nazwiemy taki ciag x 1, x 2,..., x n, że wartości wyrazu x k nie da się przewidzieć, na podstawie wartości wyrazów x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n. W rachunku prawdopodobieństwa, zjawisko modelowane za pomoca zmiennej losowej.

12 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

13 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

14 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

15 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

16 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

17 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

18 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

19 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

20 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

21 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

22 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

23 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

24 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

25 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

26 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

27 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

28 Zastosowania Statystyka: statystyczna kontrola jakości, badania ekonomiczne, społeczne, marketingowe, metody bootstrapowe, metody Monte Carlo. Symulacje: meteorologia, kinetyczna teoria gazów, teoria fal stochastycznych, epidemiologia. Kryptografia: generowanie kluczy prywatnych. Informatyka: algorytmy randomizowane, algorytmy genetyczne, gry komputerowe, testowanie programów.

29 Testowanie Rysunek: dilbert.com

30 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

31 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

32 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

33 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

34 Testowanie Cel Testowanie ma na celu sprawdzenie, czy dany ciag liczb możemy w przybliżeniu uznać za ciag losowy. Testujemy: Uwaga Zgodność rozkładu ciagu liczb z rozkładem oczekiwanym. Losowość rozkładu brak wzorca. Wzajemna niezależność liczb. Testy losowości umożliwiaja odrzucenie ciagów liczbowych nie będacych losowymi. Pomyślne przejście przez ciag wszystkich zastosowanych testów nie gwarantuje jednak jego losowości.

35 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

36 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

37 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

38 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

39 Testowanie Pakiety testów Testy normy FIPS : test monobitowy, test pokerowy, test serii, test długich serii. 1

40 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

41 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

42 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

43 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

44 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

45 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

46 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

47 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

48 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

49 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

50 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

51 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

52 Testowanie Pakiety testów Testy Diehard 2 : test odległości urodzin, test nakładajacych się permutacji, test rzędów macierzy, test małpy, test jedynek, test parkowań, test minimalnej odległości, test losowych sfer, test ściskania, test nakładajacych się sum, test serii, test craps. 2

53 Testowanie Testy normy FIPS Dane wejściowe Rozważamy ciag gdzie b i {0, 1}. b 1, b 2,..., b 20000,

54 Testowanie Testy normy FIPS Test monobitowy 1 Obliczamy statystykę testowa X = Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy i=1 b i < X <

55 Testowanie Testy normy FIPS Test monobitowy 1 Obliczamy statystykę testowa X = Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy i=1 b i < X <

56 Testowanie Testy normy FIPS Test monobitowy 1 Obliczamy statystykę testowa X = Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy i=1 b i < X <

57 Testowanie Testy normy FIPS Test pokerowy 1 Obliczamy statystykę testowa ( X = ) [f (i)] , 5000 i=0 { gdzie f (i) = # k : 4 k } 3 l=0 2l b k l = i. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy 2.16 < X <

58 Testowanie Testy normy FIPS Test pokerowy 1 Obliczamy statystykę testowa ( X = ) [f (i)] , 5000 i=0 { gdzie f (i) = # k : 4 k } 3 l=0 2l b k l = i. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy 2.16 < X <

59 Testowanie Testy normy FIPS Test pokerowy 1 Obliczamy statystykę testowa ( X = ) [f (i)] , 5000 i=0 { gdzie f (i) = # k : 4 k } 3 l=0 2l b k l = i. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy 2.16 < X <

60 Testowanie Testy normy FIPS Test serii 1 Obliczamy liczbę serii o długościach 1, 2, 3, 4, 5 oraz dłuższych niż 5. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy spełnione sa poniższe warunki Długość serii Liczba wystapień ponad

61 Testowanie Testy normy FIPS Test serii 1 Obliczamy liczbę serii o długościach 1, 2, 3, 4, 5 oraz dłuższych niż 5. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy spełnione sa poniższe warunki Długość serii Liczba wystapień ponad

62 Testowanie Testy normy FIPS Test serii 1 Obliczamy liczbę serii o długościach 1, 2, 3, 4, 5 oraz dłuższych niż 5. 2 Uznajemy, że nie ma podstaw do odrzucenia ciagu, gdy spełnione sa poniższe warunki Długość serii Liczba wystapień ponad

63 Testowanie Testy normy FIPS Test długich serii Rozważany ci ag nie powinien zawierać serii o długości większej niż 25.

64 Tablice liczb losowych. Generatory fizyczne. Generatory programowe.

65 Tablice liczb losowych. Generatory fizyczne. Generatory programowe.

66 Tablice liczb losowych. Generatory fizyczne. Generatory programowe.

67 Tablice liczb losowych Rysunek: Fragment tablicy A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates

68 Tablice liczb losowych Historia 1927 r. L. H. Tippett Random Sampling Numbers r. A. Fisher i F. Yates wykorzystanie tablic logarytmicznych r. Kendall, Babington i Smith wykorzystanie elektronicznej ruletki r. GUS wykorzystanie pasków do drukujacych maszyn liczacych.

69 Tablice liczb losowych Historia 1927 r. L. H. Tippett Random Sampling Numbers r. A. Fisher i F. Yates wykorzystanie tablic logarytmicznych r. Kendall, Babington i Smith wykorzystanie elektronicznej ruletki r. GUS wykorzystanie pasków do drukujacych maszyn liczacych.

70 Tablice liczb losowych Historia 1927 r. L. H. Tippett Random Sampling Numbers r. A. Fisher i F. Yates wykorzystanie tablic logarytmicznych r. Kendall, Babington i Smith wykorzystanie elektronicznej ruletki r. GUS wykorzystanie pasków do drukujacych maszyn liczacych.

71 Tablice liczb losowych Historia 1927 r. L. H. Tippett Random Sampling Numbers r. A. Fisher i F. Yates wykorzystanie tablic logarytmicznych r. Kendall, Babington i Smith wykorzystanie elektronicznej ruletki r. GUS wykorzystanie pasków do drukujacych maszyn liczacych.

72 Tablice liczb losowych Historia 1955 r. RAND Corporation 3 A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates 4, wykorzystanie źródła wytwarzajacego impulsów binarnych na sekundę r. G. Marsaglia White & Black Noise 5, CD-ROM zawierajacy 650MB liczb losowych. Kompilacja szumu elektronicznego z muzyka rap

73 Tablice liczb losowych Historia 1955 r. RAND Corporation 3 A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates 4, wykorzystanie źródła wytwarzajacego impulsów binarnych na sekundę r. G. Marsaglia White & Black Noise 5, CD-ROM zawierajacy 650MB liczb losowych. Kompilacja szumu elektronicznego z muzyka rap

74 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

75 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

76 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

77 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

78 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

79 Tablice liczb losowych Zalety i wady Możliwość łatwego powtarzania doświadczenia na tych samych ciagach losowych. Dobre właściwości losowe, w odniesieniu od poziomu wiedzy na moment powstania tablicy. Ogromne rozmiary. Ograniczona długość ciagów. Niewielka liczba dostępnych ciagów. Konieczność stosowania algorytmów wytwarzania nowych ciagów na podstawie tablic.

80 Generatory fizyczne Rysunek: Zestaw kości wielościennych.

81 Generatory fizyczne Idea Idea Wykorzystanie procesów fizycznych przebiegaj acych w sposób losowy do generowania liczb losowych.

82 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

83 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

84 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

85 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

86 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

87 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

88 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

89 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

90 Generatory fizyczne Źródła losowości Mechaniczne: moneta, urna z kulami, kostka do gry. Oparte o procesy fizyczne: rozpad radioaktywny, szum w urzadzeniach elektronicznych, promieniowanie kosmiczne, zjawiska kwantowe.

91 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

92 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

93 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

94 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

95 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

96 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

97 Generatory fizyczne Źródła losowości Wykorzystujace typowe elementy zestawu komputerowego: dysk, wskaźnik myszy, monitor, kartę dźwiękowa, klawiaturę. Specjalne moduły komputerowe.

98 Generatory fizyczne Rysunek: Sun Crpyto Accelerator 1000

99 Generatory fizyczne Zjawiska kwantowe Zjawiska kwantowe Specyficzne efekty zwiazane z mechanika kwantowa opisujac a prawa ruchu świata mikroskopowego. Obecnie uważa się, że losowość jest wpisana w ich naturę.

100 Generatory fizyczne Zjawiska kwantowe Rysunek: Kwantowy generator liczb losowych.

101 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

102 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

103 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

104 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

105 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

106 Generatory fizyczne Zalety i wady Wykorzystuja procesy uważane za prawdziwie losowe. Moga generować dowolnie długie ciagi liczb losowych. Z reguły zbyt wolne. Niestabilne. Każdy wygenerowany ciag losowy musi być przed użyciem poddany testom. Niemożliwe jest powtórne wygenerowanie tego samego ciagu losowego.

107 Generatory programowe Rysunek: xkcd.com

108 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Definicja Generatorem liniowym nazywamy generator postaci X n m α 0 + gdzie α 0, α 1,..., α k Z m. k α i X n i, i=1 α 0 = 0 generator multiplikatywny, α 0 0 generator mieszany.

109 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Definicja Generatorem liniowym nazywamy generator postaci X n m α 0 + gdzie α 0, α 1,..., α k Z m. k α i X n i, i=1 α 0 = 0 generator multiplikatywny, α 0 0 generator mieszany.

110 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Definicja Generatorem liniowym nazywamy generator postaci X n m α 0 + gdzie α 0, α 1,..., α k Z m. k α i X n i, i=1 α 0 = 0 generator multiplikatywny, α 0 0 generator mieszany.

111 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe Język m α 1 α 0 Borland C/C GCC ANSI C Borland Delphi Microsoft Visual C/C Java Forth

112 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe RANDU X 0 nieparzyste. ( X n ) X n. Powstały w latach 60-tych. Szeroko używany we wczesnych latach 70-tych. Nie przechodzi testu spektralnego dla wymiarów większych niż 2! Wiele wyników uzyskanych za jego pomoc a w latach 70-tych uważa się za podejrzane.

113 Generatory programowe Rozkład jednostajny Generatory liniowe RANDU X 0 nieparzyste. ( X n ) X n. Powstały w latach 60-tych. Szeroko używany we wczesnych latach 70-tych. Nie przechodzi testu spektralnego dla wymiarów większych niż 2! Wiele wyników uzyskanych za jego pomoc a w latach 70-tych uważa się za podejrzane.

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

,,Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe.

,,Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe. Wykład habilitacyjny 1 Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe WIESŁAW PŁACZEK Instytut Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Plan: Wst ep Co to s liczby losowe i skad a si e bior

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach. Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Algorytmy zrandomizowane

Algorytmy zrandomizowane Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład: Generacja liczb losowych Problem generacji

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.

Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. 1. Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Liczby losowe w informatyce Filip Piękniewski

Liczby losowe w informatyce Filip Piękniewski Informatyka w edukacji 2006 Generowanie (pseudo) losowych ciągów liczb w teorii i praktyce. 84093450142545622932952550 62333649063322374221339383200520 13051542540106038262040964141444280609841341 688043663115781403736587971012513061739642941351025559816

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.

Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych

Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 3: Generatory liczb losowych. Rozkłady statystyczne mgr inż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza 1. Cel zajęć Celem

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI STATYSTYCZNYCH SYGNAŁÓW PSEUDOLOSOWYCH GENERATORÓW ZBUDOWANYCH NA REJESTRACH PRZESUWNYCH

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI STATYSTYCZNYCH SYGNAŁÓW PSEUDOLOSOWYCH GENERATORÓW ZBUDOWANYCH NA REJESTRACH PRZESUWNYCH POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrical Engineering 2013 Rafał STĘPIEŃ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI STATYSTYCZNYCH SYGNAŁÓW PSEUDOLOSOWYCH GENERATORÓW ZBUDOWANYCH

Bardziej szczegółowo

3. Generacja liczb losowych o różnych rozkładach

3. Generacja liczb losowych o różnych rozkładach 3. Generacja liczb losowych o różnych rozkładach 1. Jak uzyskać liczby pseudolosowe za pomocakomputera?[zieliński] nieliniowe sprzężenie zwrotne x k = F(x k 1,x k 2,..., x k q ) Postulaty dotyczace F:

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Sygnały stochastyczne, parametry w dziedzinie

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Symulacje Monte Carlo w obliczeniach inżynierskich Nazwa w

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017 Testowanie hipotez dla frakcji Wrocław, 29 marca 2017 Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu o średniej µ i skończonej

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Przeszukiwanie lokalne

Optymalizacja. Przeszukiwanie lokalne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Idea sąsiedztwa Definicja sąsiedztwa x S zbiór N(x) S rozwiązań, które leżą blisko rozwiązania x

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Generowanie ciągów bitów losowych z wykorzystaniem sygnałów pochodzących z komputera

Generowanie ciągów bitów losowych z wykorzystaniem sygnałów pochodzących z komputera Generowanie ciągów bitów losowych z wykorzystaniem sygnałów pochodzących z komputera Praca dyplomowa magisterska Opiekun: prof. nzw. Zbigniew Kotulski Andrzej Piasecki apiaseck@mion.elka.pw.edu.pl Plan

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 14 - Losowość Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 09/06/2016 1 / 59 1... 2... 3... 2 / 59 1 2 3 Architektura Ivy Bridge Serwis Random.org 3 / 59 Zastosowania Gdzie

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO

4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 51 4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 4.1. Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x) = λe λx x 0,

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Teoria przetwarzania A/C i C/A.

Teoria przetwarzania A/C i C/A. Teoria przetwarzania A/C i C/A. Autor: Bartłomiej Gorczyński Cyfrowe metody przetwarzania sygnałów polegają na przetworzeniu badanego sygnału analogowego w sygnał cyfrowy reprezentowany ciągiem słów binarnych

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

W4 Eksperyment niezawodnościowy

W4 Eksperyment niezawodnościowy W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca na przykładzie generatora planu zajęć Matematyka Stosowana i Informatyka Stosowana Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo