Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 13 Metody statystyczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej

2 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

3 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

4 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

5 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

6 Any one who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. For, as has been pointed out several times, there is no such thing as a random number there are only methods to produce random numbers, and a strict arithmetic procedure of course is not such a method. JOHN VON NEUMANN, 1951

7 Prawdopodobieństwo ilościowy opis niepewności (losowości). Ciąg liczb losowych ciąg, który nie może być opisany żadnym określonym wzorcem. Losowy ciąg znaków taki ciąg, którego nie można zapisać za pomocą algorytmu w postaci krótszej od samego ciągu.

8 Wykorzystanie liczb losowych reprezentatywne badania statystyczne - losowanie z populacji (np. kontrola jakości produktów, badania ekonomiczne i społeczne); planowanie eksperymentu (np. podział poletek doświadczalnych dla celów porównawczych); symulacyjne badania procesów stochastycznych (np. symulacja procesów technicznych poddanych wymuszeniom losowym); probabilistyczne modele w problemach deterministycznych - metody Monte Carlo (np. przybliżone obliczanie całek wielowymiarowych, szukanie minimum funkcji, algorytmy genetyczne, itd.);

9 Wykorzystanie liczb losowych kryptografia (zastosowania militarne, w dyplomacji, w telekomunikacji, sieciach komputerowych); gry komputerowe, gry strategiczne, automaty do gier; budowanie modeli (np. fraktale losowe); inne.

10 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

11 Tablice liczb losowych L.H.Tippett, Random Sampling Numbers, cyfr, ze spisu powszechnego, powierzchnie parafii, po odrzuceniu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich cyfr z każdej liczby R.A.Fisher, F.Yates, cyfr, wypisanie cyfr od 15 do 19 z pewnych 20-cyfrowych tablic logarytmicznych Kendall, Babington Smith, cyfr losowo uzyskanych za pomocą elektrycznej ruletki - wirującego dysku z oznaczeniami cyfr 0, 1,..., E.Vielrose (dla GUS), na podstawie pasków do drukujących maszyn liczących, z liczb co najmniej czterocyfrowych skreślano jedną cyfrę końcową i dwie początkowe, wykreślano niektóre kolumny RAND Corporation, cyfr. Zbudowano źródło impulsów/sekundę. Impulsy odczytywano paczkami pięciobitowymi otrzymując liczby z przedziału [0, 31]. Zachowywano liczby z przedziału [0, 19] i zapisywano ich młodszą cyfrę dziesiętną. (Tablice cyfr losowych oferowano także na kartach perforowanych).

12 Tablice liczb losowych 1 Wybrać losowo liczbę pięciocyfrową z tablicy. 2 Zredukować pierwszą cyfrę tej liczby modulo 2 - zmodyfikowana liczba pięciocyfrowa wskaże numer wiersza w tablicy. 3 Zredukować dwucyfrową końcówkę tej liczby modulo 50 otrzymana liczba dwucyfrowa wskaże numer kolumny w tablicach. 4 Rozpocząć ciąg losowy od wskazanej pozycji w tablicy.

13 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

14 generatory fizyczne (moneta, urna z kulami, kostka do gry, ruletka, itd.) zliczanie impulsów promieniowania jądrowego (dobry generator rozkładu Poissona lub wykładniczego); zliczanie impulsów elektronicznych, np. sygnałów z dysku komputera, wskaźnika myszy, szumów, itp.; pobieranie losowych bitów z arytmometru komputera lub z klawiatury; algorytmy matematyczne generowania liczb pseudolosowych - generatory programowe (rozkład równomierny lub dwupunktowy); Wynik algorytmu matematycznego ciąg liczb pseudolosowych dla osoby nieznającej metody generowania niemożliwy do odróżnienia od ciągu liczb losowych (za pomocą testów statystycznych).

15 Rozkład równomierny Dla rozkładu ciągłego zmiennej losowej x (a, b), gdzie b a = h > 0, rozkład równomierny określony jest funkcją postaci: { 1 dla x (a, b) P(x) = h 0 dla x / (a, b) Wartość przeciętna rozkładu równomiernego wynosi h/2.

16 Rozkład równomierny Rys. 1: Rozkład równomierny

17 Związki między rozkładami prawdopodobieństwa Rys. 2: Związki między rozkładami prawdopodobieństwa

18 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

19 Generator liniowy i afiniczny Generator liniowy ma postać a generator afiniczny X n+1 = g X n mod M, X n+1 = a X n + b mod M, gdzie n = 1, 2,... oraz g, a, b < M. Okres tych generatorów zależy od wartości parametrów powyższych równań kongruencyjnych. Wadą generatorów liniowych jest ich przewidywalność, to znaczy układanie się punktów o współrzędnych (X n+1, X n ) w postaci pasów.

20 Uogólniony generator liniowy X n = a 1 X n a k X n k + b mod M dla pewnych stałych osiąga maksymalny okres M, bardziej złożona zależność dla badania przewidywalności. Kwadratowy generator kongruencyjny X n+1 = a X 2 n + b X n + c mod M maksymalny okres M.

21 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

22 Metoda odwracania dystrybuanty Rozkłady ciągłe takie, które przyjmują wartości w zbiorze zawierającym odcinek [a, b]. F dystrybuanta pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Jeśli X i, i = 1, 2,... ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na odcinku [0, 1], to ciąg Y i = F 1 (X i ), i = 1, 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zadanym dystrybuantą F.

23 Przykład 1: rozkład wykładniczy F (x) = 1 e x Wówczas i ciąg F 1 (y) = ln(1 y) Y i = ln(1 X i ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym.

24 Przykład 2: rozkład normalny Przybliżone wyrażenie dla dystrybuanty rozkładu normalnego z użyciem wyrażenia przybliżonego dla funkcji błędu erf erf(t) = 1 (a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 + a 5 z 5 ) exp( z 2 ) + ε(z), gdzie 1 z = 1 + p t, ε(z)

25 Przykład 2: rozkład normalny oraz ponadto p = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , a 4 = , a 5 = (dokładność rzędu 10 7 dla wszystkich x [0, )).

26 Ta metoda całkowania jest używana w przypadkach, kiedy szybkość otrzymania wyniku jest ważniejsza od jego dokładności (np. obliczenia inżynierskie).

27 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

28 Pole powierzchni pod sinusoidą Rys. 3: Obliczanie pola powierzchni pod sinusoidą: x [ π, π]

29 Pole powierzchni pod sinusoidą Na rys. 3. widzimy wykres funkcji y = sin(x) dla x [ π, π] Wykres ten jest wpisany w prostokąt o długości 2π i wysokości h nieco większej niż 2. Wrzucamy teraz losowo do tego rysunku punkty, ale tak, aby wpadały do prostokąta. Gdy uznamy, że wrzuciliśmy już wystarczająco dużo punktów, to je zliczamy: jaka jest liczba punktów pomiędzy osią Ox a krzywą i jaka jest liczba punktów w całym prostokącie.

30 Pole powierzchni pod sinusoidą Wiemy, że pole prostokąta wynosi 2π h. Punkty były rzucane całkowicie przypadkowo, więc liczba tych punktów w danej figurze geometrycznej jest proporcjonalna do pola powierzchni tej figury. Mamy zatem, iż N n = S pr S sin S sin = 2π h n N, (1) gdzie N liczba punktów w całym prostokącie, n liczba punktów pod krzywą, S pr pole powierzchni prostokąta, S sin pole powierzchni pod krzywą. Aby policzyć numerycznie wartość tego pola pod krzywą, musimy poznać wartość liczby π. Jaka to wartość? na to pytanie uzyskamy odpowiedź w następnym podrozdziale.

31 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

32 Rys. 4: Wyznaczanie wartości liczby π metodą Monte Carlo

33 Do wyznaczenia wartości liczby π można zastosować technikę zastosowaną powyżej, czyli skorzystać jeszcze raz z metody Monte Carlo. Wpisujemy w kwadrat o boku 2r koło o promieniu r = 1 (rys. 4), czyli figurę geometryczna zadaną równaniem x 2 + y 2 r 2 = 1 Pole powierzchni koła wynosi więc S o = π r 2 = π

34 1 Losujemy n punktów z opisanego na tym kole kwadratu o współrzędnych wierzchołków ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1). 2 Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła). Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi Mamy zatem π = P k n. (2) gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole (tutaj P = 2 2 = 4).

35 Przykład obliczania wartości liczby π #include <iostream> #include <cmath> #include <cstdlib> using namespace std; int main() { int n; int nk = 0; double x,y; float s; cout << "Podaj liczbe losowanych pkt:" << endl; cin >> n; for(int i = 1; i <= n; i++) { x = ((double)rand() / (RAND_MAX)) * 2-1; y = ((double)rand() / (RAND_MAX))*2-1; if(x*x + y*y <= 1) { nk++; } } } cout << "Liczba pkt. w kole wynosi: " << nk << endl; cout << "Liczba pkt. w kwadracie wynosi: " << n << endl; s = 4 * (double)nk / n; cout << "Liczba pi wynosi: " << s;

36 Dokładność metody Monte Carlo Dokładność wyniku uzyskanego tą metodą jest zależna od liczby sprawdzeń i jakości użytego generatora liczb pseudolosowych. Należy pamiętać, że zwiększanie liczby prób nie zawsze zwiększa dokładność wyniku, ponieważ generator liczb pseudolosowych generuje na ogół cykliczne liczy losowe.

37 Poprawność metody Monte Carlo Poprawność metody Monte Carlo w przypadku liczenia pól lub całek można udowodnić stosując twierdzenie Picka (lub jego wielowymiarowe uogólnienia) do najlepszego wielokąta wpisanego w figurę, której pole chcemy obliczyć w przybliżeniu tzw. kryształu wirtualnego, tzn. regularnej siatki punktów o stałej sieci równej średniej odległości między wylosowanymi punktami. W nieskończonej granicy tych wielokątów i siatek metoda jest dokładna dla dowolnego kształtu.

38 Twierdzenie Georga Alexandra Picka (1899) Jeśli wierzchołki spójnego wielokąta znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie, to pole wielokąta jest równe: S W = W B 1 gdzie W liczba punktów kraty leżących wewnątrz wielokąta, B liczba punktów kraty leżących na brzegu wielokąta.

39 Twierdzenie Picka Rys. 5: Liczenie pola wielokąta

40 Twierdzenie Picka Dla wielokąta na rysunku 5 mamy: W = 39, B = 14 i z twierdzenia Picka P = = 45 Należy pamiętać, że powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów jednospójnych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur). W ogólnym przypadku 1 we wzorze należy zastąpić przez χ(p), gdzie χ(p) charakterystyka Eulera wielokąta P. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta.

41 Zaproponowana tu metoda nie ma oczywiście dużego praktycznego znaczenia, ale obrazuje alternatywny sposób myślenia, by zamiast przeprowadzać skomplikowane obliczenia, lepiej i szybciej jest zastosować metodę Monte Carlo. Jeśli chodzi zaś o obliczanie całek, to swą przewagę nad innymi metodami pokazuje dopiero przy obliczaniu objętości skomplikowanych wielowymiarowych figur.

42 Spis treści 1 2 Generowanie ciągów liczb losowych na podstawie tablicy cyfr losowych 3 4

43 Mamy równanie nieliniowe jednej zmiennej f (x) = 0 posiadające dokładnie jeden pierwiastek x 0 w przedziale (a, b). Funkcja f (x) jest ciągła na [a, b]. Jeśli jest tylko jeden pierwiastek, to f (a) f (b) < 0

44 Sprawdzenie, czy wylosowany punkt x leży po lewej czy po prawej stronie pierwiastka x 0, polega na sprawdzeniu znaku iloczynu f (a) f (x), co pozwala na zawężeniu obszaru poszukiwań do przedziału [a 1, b 1 ], gdzie a 1 = x i b 1 = b gdy f (a) f (x) > 0 a 1 = a i b 1 = x gdy f (a) f (x) < 0 Postępowanie to powtarzamy wielokrotnie.

45 Losowane punkty x zmiennej losowej X mają rozkład równomierny na przedziale [a, b], czyli gęstość g(x) dla k-tej iteracji ma postać 0 dla x < a k 1 1 g(x) = dla a k 1 x b k 1 b k 1 a k 1 0 dla x > b k 1

46 Dla każdego nowego przedziału [a k, b k ] zawierającego poszukiwany pierwiastek x 0 obliczamy długość przedziału d = a k b k. Jeśli d < ε z góry przyjęta dokładność obliczeń, to x 1 = a k + b k 2 Popełniony błąd x 1 x 0 < ε gdzie x 0 prawdziwa wartość pierwiastka, x 1 przybliżona wartość pierwiastka.

47 1 Białynicki-Birula I., Białynicka-Birula I., Modelowanie rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa, Wieczorkowski R., Zieliński R., Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa, Ulam S., Przygody matematyka, Prószyński i S-ka, Warszawa, Kotulski Z., (rękopis) 5 Kotowski R., Tronczyk P., Modelowanie i symulacje komputerowe, Wydawnictwo UKW, Bydgoszcz, Demidowicz B.P., Maron I.A., Metody numeryczne cz. I, PWN, Warszawa, Kącki E., Małolepszy A., Romanowicz A., Metody numeryczne dla inżynierów, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, Łódź, Vetterling W.T., Teukolsky S.A., Press W.H., Flannery B.P., Numerical Recipes, Cambridge University Press, Wikipedia

48 Koniec? :-( Koniec wykładu 13

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

wykład V uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C++ klasy i obiekty wykład V dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - klasy

wykład V uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C++ klasy i obiekty wykład V dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - klasy i obiekty Programowanie i obiekty uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski i obiekty 1 2 3 4 i obiekty Obiektowość języka C++ Na tym wykładzie poznamy: ˆ Klasa (w języku C++ rozszerzenie struktury, typ

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 11 1 / 52 Pętla for # i n c l u d e

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne

Bardziej szczegółowo

Algorytmy zrandomizowane

Algorytmy zrandomizowane Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b].

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b]. Rachunek Prawdopodobienstwa MAEW104 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni wykład: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Temat projektu: Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego

Bardziej szczegółowo

Generatory Liczb Losowych

Generatory Liczb Losowych Generatory Liczb Losowych Metody deterministyczne w niedeterministycznym świecie. Paweł Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 30 kwietnia 2011 Rysunek: demotywatory.pl

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

wykład IV uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C, a C++. wykład IV dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - wstęp

wykład IV uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C, a C++. wykład IV dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - wstęp Programowanie uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski 1 2 3 4 Historia C++ został zaprojektowany w 1979 przez Bjarne Stroustrupa jako rozszerzenie języka C o obiektowe mechanizmy abstrakcji danych i

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania wykład 7 Agata Półrola Wydział Matematyki i Informatyki UŁ sem. zimowy 2016/2017 Losowanie liczb całkowitych Dostępne biblioteki Najprostsze losowanie liczb całkowitych można wykonać za pomocą funkcji

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R Tomasz Suchocki Plan wykładu Metody Monte Carlo Jak bardzo można przybliżyć liczbę π? Całkowanie numeryczne R w Linuxie Tinn-R Metody Monte

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów 1. Odpowiedzi ustne. 2. Sprawdziany pisemne. 3. Kartkówki. 4. Testy.

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

,,Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe.

,,Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe. Wykład habilitacyjny 1 Matematyczna Ruletka Czyli jak sie robi liczby (pseudo)losowe WIESŁAW PŁACZEK Instytut Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Plan: Wst ep Co to s liczby losowe i skad a si e bior

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych

Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 3: Generatory liczb losowych. Rozkłady statystyczne mgr inż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza 1. Cel zajęć Celem

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum 1. Liczby i wyrażenia algebraiczne Zna pojęcie notacji wykładniczej. Umie zapisać liczbę w notacji wykładniczej. Umie porównywać liczy zapisane w różny

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A Ciągi Pojęcie ciągu. Sposoby opisywania ciągów Monotoniczność ciągów Ciąg arytmetyczny Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 011 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy CZERWIEC 2014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład: Generacja liczb losowych Problem generacji

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Arkusz zawierał 23 zadania: 20 zamkniętych i 3 otwarte. Dominowały zadania wyboru wielokrotnego, w których uczeń wybierał jedną z podanych odpowiedzi. W pięciu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

odczytywać własności funkcji y = ax 2 na podstawie funkcji y = ax 2 szkicować wykresy funkcji postaci y = ax,

odczytywać własności funkcji y = ax 2 na podstawie funkcji y = ax 2 szkicować wykresy funkcji postaci y = ax, Funkcja kwadratowa Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Zawód: FRYZJER, STOLARZ, MECHANIK POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH, BLACHARZ SAMOCHODOWY I inne Rok szkolny 2012/2013 Przedmiot: MATEMATYKA Numer programu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo