Algorytmy i struktury danych Norbert Jankowski
|
|
- Iwona Cybulska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 NJ/A+SD/1 Algorytmy i struktury danych Norbert Jankowski norbert@is.umk.pl norbert/asd Uwagi mile widziane!
2 Literatura [1] A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman. Projektowanie i analiza algorytmów. Helion, Warszawa, [2] A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman. Projektowanie i analiza algorytmów. Państwowe Wydawnictwa Naukowe, Warszawa, [3] Niklaus Wirth. Algorytmy + Struktury Danych = Programy. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, wydanie 2, [4] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L Rivest. Wprowadzenie do algorytmów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, [5] L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter. Algorytmy i struktury NJ/A+SD/2
3 NJ/A+SD/3 danych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, [6] M. M. Sysło, N. Deo, J. Kowalik. Algorytmy optymalizacji dyskretnej. Państwowe Wydawnictwa Naukowe, Warszawa, [7] D. Harel. Rzecz o istocie informatyki. Algorytmika. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, [8] L. Banachowski, A. Kreczmar, W. Rytter. Analiza algorytmów i struktur danych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, [9] L. Banachowski, A. Kreczmar. Elementy analizy algorytmów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, [10] D. E. Knuth. Sztuka Programowania, wolumen I III. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002.
4 Dynamiczne struktury danych Listy FIFO Stos Kolejki Listy dwukierunkowe Listy cykliczne Drzewa Drzewa binarne, z porzadkiem, dwukierunkowe Drzewa zrównoważone (później... ) NJ/A+SD/4
5 Grafy i ich reprezentacje (macierz sasiedztwa, listy sasiedztwa, tablica sasiedztwa) NJ/A+SD/5
6 NJ/A+SD/6 Struktura listy w Pascalu 1 type 2 l i s t a = ^ e l L i s t y ; 3 e l L i s t y = 4 record 5 klucz : integer ; 6 nast : l i s t a 7 end ;
7 NJ/A+SD/7 Struktura listy w C 1 struct e l { 2 i n t klucz ; 3 struct e l nast ; 4 } ; 5 6 typedef struct e l e l L i s t y ; 7 typedef e l L i s t y l i s t a ;
8 NJ/A+SD/8 Stworzenie elementu listy w Pascalu 1 var 2 p : l i s t a ; new( p ) ; 5 p ^. klucz := 13; 6 p ^. nast := NIL ; 13
9 NJ/A+SD/9 Usunięcie elementu listy w Pascalu 1 dispose ( p ) ; 2 p := NIL ;
10 NJ/A+SD/10 Stworzenie elementu listy w C 1 l i s t a l =0; / / badź: ellisty *l; 2 3 l = malloc ( sizeof ( e l L i s t y ) ) ; 4 l >klucz = 13; 5 l >nast = 0; 13
11 NJ/A+SD/11 Usunięcie elementu listy w C 1 f r e e ( l ) ; 2 l =0;
12 NJ/A+SD/12 1 var Połaczenie dwóch elementów p i q w listę (Pascal) 2 p, q : l i s t a ; new( p ) ; 5 p ^. klucz := 3; 6 p ^. nast := NIL ; 7 new( q ) ; 8 q ^. klucz := 13; 9 q ^. nast := p ; 10 { q pierwszy, p d r u g i } 13 3
13 NJ/A+SD/13 Połaczenie dwóch elementów p i q w listę (C) 1 e l L i s t y p=0, q=0; 2 3 p = malloc ( sizeof ( e l L i s t y ) ) ; 4 p >klucz = 3; 5 p >nast = 0; 6 q = malloc ( sizeof ( e l L i s t y ) ) ; 7 q >klucz = 13; 8 q >nast = p ; 13 3
14 NJ/A+SD/14 Stworzenie listy elementów: 1, 2, 3, 4,..., n (C) 1 e l L i s t y l =0, p=0; 2 i n t n=5; 3 while ( n ){ 4 p = malloc ( sizeof ( e l L i s t y ) ) ; 5 p >klucz = n+1; 6 p >nast = l ; 7 l = p ; 8 }
15 NJ/A+SD/15 Usunięcie pierwszego elementu listy l (Pascal) 1 procedure DelEl ( var l : l i s t a ) ; 2 var p : l i s t a ; 3 begin 4 i f l <>NIL then 5 begin 6 p := l ; 7 l := l ^. nast ; 8 dispose ( p ) 9 end 10 end ;
16 NJ/A+SD/16 Usunięcie pierwszego elementu listy l (C) 1 void UPeL( l i s t a l ) { / / wsk. na listę! 2 l i s t a p ; 3 i f ( l!= 0 ) { 4 p = l ; 5 l = ( l ) >nast ; / / lub p->nast 6 f r e e ( p ) ; 7 } 8 }
17 Usunięcie ostatniego elementu listy l (Pascal) procedure DelLastEl ( var l : l i s t a ) ; 2 var t : l i s t a ; 3 begin 4 i f l <>NIL then 5 i f l ^. nast = NIL then 6 begin 7 dispose ( l ) ; 8 l := NIL ; 9 end NJ/A+SD/17
18 NJ/A+SD/18 10 else 11 begin 13 t := l ; 14 while t ^. nast ^. nast <>NIL do 15 t := t ^. nast ; 16 dispose ( t ^. nast ) ; 17 t ^. nast := NIL ; end 20 end ;
19 NJ/A+SD/19 Usunięcie ostatniego elementu listy l (C) void UOeL( l i s t a l ) { / / wsk. na listę! 2 i f ( l == 0) return ; 3 while ( ( l ) >nast ) 4 l = &( l ) >nast ; 5 f r e e ( l ) ; 6 l =0; / / nowy koniec listy! 7 }
20 NJ/A+SD/20 Zwolnienie całej listy l (Pascal) procedure DisposeList ( var l : l i s t a ) ; 2 var t : l i s t a ; 3 begin 4 while l <>NIL do 5 begin 6 t := l ^. nast ; 7 dispose ( l ) ; 8 l := t ; 9 end end ;
21 NJ/A+SD/21 Lista dwukierunkowa (Pascal) type 2 l i s t a C = ^ e l L i s t y C ; 3 e l L i s t y C = 4 record 5 klucz : integer ; 6 nast : l i s t a C ; 7 pop : l i s t a C 8 end ;
22 NJ/A+SD/22 Lista dwukierunkowa cykliczna (Pascal) type 2 l i s t a C = ^ e l L i s t y C ; 3 e l L i s t y C = 4 record 5 klucz : integer ; 6 nast : l i s t a C ; 7 pop : l i s t a C 8 end ;
23 NJ/A+SD/23 Usunięcie elementu z l. cyklicznej (Pascal)
24 NJ/A+SD/24 1 procedure UsunElListyC ( var l : l i s t a C ) ; 2 var p : l i s t a C ; 3 begin 4 i f l <>NIL then 5 i f l = l ^. pop then 6 begin 7 dispose ( l ) ; l := NIL ; 8 end 9 else begin 10 p := l ; 11 l ^. pop ^. nast := l ^. nast ; 12 l ^. nast ^. pop := l ^. pop ; 13 l := l ^. nast ; 14 dispose ( p ) 15 end 16 end ;
25 NJ/A+SD/25 Dodanie elementu do l. cyklicznej (Pascal)
26 NJ/A+SD/
27 1 procedure DodElListaC ( var l : l i s t a C ; klucz : integer ) ; 2 { doda za l! } 3 var 4 p : l i s t a C ; 5 n : l i s t a C ; 6 begin 7 new( p ) ; 8 p ^. klucz := klucz ; 9 i f l =NIL then 10 begin 11 l := p ; 12 p ^. pop := p ; 13 p ^. nast := p 14 end 15 else 16 begin NJ/A+SD/27
28 NJ/A+SD/28 17 n := l ^. nast ; 19 p ^. pop := l ; 20 p ^. nast := n ; 21 l ^. nast := p ; 22 n ^. pop := p ; 23 end 24 end ;
29 Dodanie elementu do l. cyklicznej (Pascal) 1 DodElListaC ( l, 1 ) ; 2 DodElListaC ( l, 2 ) ; 3 DodElListaC ( l, 3 ) ; 4 DodElListaC ( l, 4 ) ; 5 DispListCTeX ( l, a ) ; 6 UsunElListyC ( l ) ; 7 DispListCTeX ( l, a ) ; 8 UsunElListyC ( l ) ; 9 DispListCTeX ( l, a ) ; 10 UsunElListyC ( l ) ; 11 DispListCTeX ( l, a ) ; 12 UsunElListyC ( l ) ; NJ/A+SD/29
30 NJ/A+SD/30 13 DispListCTeX ( l, a ) ;
31 NJ/A+SD/31 Wypisuje elementy l. cyklicznej (Pascal) 1 procedure DispListC ( l : l i s t a C ) ; 2 var t : l i s t a C ; 3 begin 4 i f l <>NIL then 5 begin 6 t := l ; 7 repeat 8 write ( t ^. klucz ) ; 9 t := t ^. nast ; 10 i f t <> l then write ( > ) 11 u n t i l t = l ; 12 end 13 end ;
32 NJ/A+SD/32 Usuwanie l. cyklicznej (Pascal) 1 procedure DisposeListC ( var l : l i s t a C ) ; 2 var 3 t : l i s t a C ; 4 begin 5 while l <>NIL do 6 UsunElListyC ( l ) ; 7 end ;
33 FIFO,LIFO/Stos, kolejki priorytetowe Koncepcja wartownika dla list FIFO fist in first out wystarczy dobrze używać listy... dodaj do kolejki O(1) zdjać z kolejki O(1) dodajemy na koniec kolejki, zdejmujemy element-głowę Stos = LIFO last in first out wystarczy dobrze używać listy... dołóż na stos O(1) zdjać ze stosu O(1) NJ/A+SD/33
34 NJ/A+SD/34 dodawanie/zdejmowanie na/z poczatek/-ku listy kolejka priorytetowa Zadanie: pola węzła: klucz, priorytet i nast! wstawianie zgodnie z priorytetem zdejmowanie elementu o najwyższym priorytecie zmiana priorytetu, usuwanie elementu Wykorzystać stos do wyznaczania wyrażeń zapisanych w odwrotnej notacji polskiej (ONP) *
35 Drzewa NJ/A+SD/35
36 NJ/A+SD/36 A B C D E F G I J K J K L M
37 NJ/A+SD/37 (a+b/c) (d e f) a b c / + d e f + a / b c d e f + a / d b c e f
38 NJ/A+SD/38 Drzewo z porzadkiem
39 NJ/A+SD/39 Reprezentacja drzewa (Pascal) Drzewo binarne 1 type 2 drzewob = ^wdrzewab ; 3 wdrzewab = 4 record 5 klucz : integer ; 6 lewy : drzewob ; 7 prawy : drzewob 8 end ;
40 NJ/A+SD/40 Drzewo o dowolnej liczbie gałęzi 1 type 2 drzewo = ^wdrzewa ; 3 wdrzewa = 4 record 5 klucz : integer ; 6 d z i e c i : l i s t a ; 7 end ;
41 NJ/A+SD/41 Węzły z info o przodku 1 type 2 drzewob = ^wdrzewab ; 3 wdrzewab = 4 record 5 klucz : integer ; 6 lewy : drzewob ; 7 prawy : drzewob 8 o j c i e c : drzewob 9 end ;
42 NJ/A+SD/42 Drzewo słownik z porzadkiem 1 type 2 drzewob = ^wdrzewab ; 3 wdrzewab = 4 record 5 klucz : integer ; 6 l i c z n i k : integer ; 7 lewy : drzewob ; 8 prawy : drzewob 9 end ;
43 NJ/A+SD/43 Podstawowe operacje słownikowe Dopisz Znajdź Usuń Maximum, Minimum, Poprzednik, Następnik
44 NJ/A+SD/44 1 procedure drukujdrzewo ( t : drzewob ; l : integer ) ; 2 var i : integer ; 3 begin 4 i f t <>NIL then 5 begin 6 drukujdrzewo ( t ^. lewy, l + 1 ) ; 7 for i :=1 to l do write ( ) ; 8 writeln ( t ^. klucz ) ; 9 drukujdrzewo ( t ^. prawy, l +1) 10 end 11 end ;
45 NJ/A+SD/45 1 procedure dopiszd ( var t : drzewob ; klucz : integer ) ; 2 begin 3 i f t =NIL then 4 begin 5 new( t ) ; 6 t ^. klucz := klucz ; t ^. l i c z n i k : = 1 ; 7 t ^. lewy := NIL ; t ^. prawy := NIL ; 8 end else 9 i f klucz < t ^. klucz then 10 dopiszd ( t ^. lewy, klucz ) else 11 i f klucz > t ^. klucz then 12 dopiszd ( t ^. prawy, klucz ) else 13 t ^. l i c z n i k := t ^. l i c z n i k +1; 14 end ;
46 NJ/A+SD/46 Drzewo z porzadkiem
47 NJ/A+SD/47 1 function znajdzd ( t : drzewob ; klucz : integer ) : drzewob ; 2 begin 3 i f t =NIL then 4 znajdzd : = NIL 5 else 6 i f klucz < t ^. klucz then 7 znajdzd := znajdzd ( t ^. lewy, klucz ) else 8 i f klucz > t ^. klucz then 9 znajdzd := znajdzd ( t ^. prawy, klucz ) else 10 znajdzd := t ; 11 end ;
48 NJ/A+SD/48 1 procedure zwolnijdrzewob ( var d : drzewob ) ; 2 begin 3 i f d<>nil then 4 begin 5 zwolnijdrzewob ( d ^. lewy ) ; 6 zwolnijdrzewob ( d ^. prawy ) ; 7 dispose ( d ) ; 8 d := NIL ; 9 end 10 end ;
49 1 procedure usund ( var t : drzewob ; klucz : integer ) ; 2 var 3 q : drzewob ; 4 procedure us ( var r : drzewob ) ; 5 begin 6 i f r ^. prawy<>nil then 7 us ( r ^. prawy ) 8 else 9 begin 10 q ^. klucz := r ^. klucz ; q ^. l i c z n i k := r ^. l i c z n i k ; 11 q := r ; { zmiana elementu do usunięcia } 12 r := r ^. lewy { przewieszenie przed usinięciem q } 13 end 14 end ; NJ/A+SD/49
50 NJ/A+SD/50 15 begin 17 i f t =NIL then writeln ( Nie ma... ) else 18 i f klucz < t ^. klucz then usund ( t ^. lewy, klucz ) else 19 i f klucz > t ^. klucz then usund ( t ^. prawy, klucz ) else 20 begin 21 q := t ; 22 i f q ^. prawy=nil then t := q ^. lewy else 23 i f q ^. lewy=nil then t := q ^. prawy else 24 us ( q ^. lewy ) ; 25 dispose ( q ) ; 26 end 27 end ;
51 type pdrzewob = ^drzewob; 1 procedure usund1 ( var t : drzewob ; klucz : integer ) ; 2 var 3 q : drzewob ; 4 procedure us ( r : pdrzewob ) ; 5 begin 6 while r ^ ^. prawy <> n i l do 7 r r ^ ^. prawy ) ; 8 q ^. klucz := r ^ ^. klucz ; 9 q ^. l i c z n i k := r ^ ^. l i c z n i k ; 10 q := r ^ ; 11 r ^:= r ^ ^. lewy 12 end ; 13 NJ/A+SD/51
52 NJ/A+SD/52 14 begin 16 i f t =NIL then writeln ( Nie ma.... ) else 17 i f klucz < t ^. klucz then usund ( t ^. lewy, klucz ) else 18 i f klucz > t ^. klucz then usund ( t ^. prawy, klucz ) else 19 begin 20 q := t ; 21 i f q ^. prawy=nil then t := q ^. lewy else 22 i f q ^. lewy=nil then t := q ^. prawy else 23 us (@( q ^. lewy ) ) ; 24 dispose ( q ) ; 25 end 26 end ;
53 NJ/A+SD/53 Tak jest źle: 1 procedure us ( var r : drzewob ) ; 2 begin 3 while r ^. prawy <> NIL do 4 r := r ^. prawy ; 5 q ^. klucz := r ^. klucz ; 6 q ^. l i c z n i k := r ^. l i c z n i k ; 7 q := r ; 8 r := r ^. lewy 9 end ; "r" w lini 8 nie jest referencja właściwego pola rekordu (w wyniku działania wiersza 4).
54 1 begin 2 d := NIL ; 3 repeat 4 read ( n ) ; 5 dopiszd ( d, n ) ; 6 u n t i l n<=0; 7 writeln ; 8 drukujdrzewo ( d, 0 ) ; 9 10 usund ( d, 5 6 ) ; 11 drukujdrzewo ( d, 0 ) ; 12 usund ( d, 3 1 ) ; 13 drukujdrzewo ( d, 0 ) ; 14 NJ/A+SD/54
55 NJ/A+SD/55 15 w:= znajdzd ( d, 1 3 ) ; 17 i f w<>nil then 18 writeln ( JEST! ) 19 else 20 writeln ( NIE MA! ) ; 21 zwolnijdrzewob ( d ) ; 22 drukujdrzewob ( d, 0 ) ; 23 end.
56 Zadania Zaimplementować listę cykliczna w j. C. Zaimplementuj funkcje programu drzewo/słownik w j. C. Napisać algorytm, który dla N liczb wejściowych zbuduje drzewo możliwie dokładnie wyważone. Napisz funkcje wyświetlajace drzewo w układach (RLP wzdłużny), (LRP poprzeczny), (LPR wsteczny). R L P NJ/A+SD/56
57 Zaproponować algorytm wyliczania wszystkich możliwych drzew-wyrażeń z zastosowaniem nawiasów dla dowolnego wyrażenia postaci: L 1 op 1 L 2 op 2... op n 1 L n, np. dla: a+b/c d e f j.w., lecz tylko tych wyrażeń, które spełniaja równość: L 1 op 1 L 2 op 2... op n 1 L n = p, np.: : 4 2 = : = 600 NJ/A+SD/57
58 Napisz funkcję szukajac a węzeł o wskazanym kluczu w drzewie bez porzadku (rekurencyjnie). j.w. lecz nierekurencyjnie, ale wykorzystujac strukturę węzła ze wskaźnikiem na ojca. Napisz procedury wyznaczajace: wartość minimalna, maksymalna, poprzednia i następna dla drzew binarnych z porzadkiem. NJ/A+SD/58
59 NJ/A+SD/59 Grafy G = (V, E) V zbiór wierzchołków E zbiór krawędzi (elementami sa pary wierzchołków) Grafy: Zorientowane krawędzie sa parami uporzadkowane (v, w), tj, istnieje połaczenie v z w. Niezorientowane krawędź (v, w) oznacza połaczenie v z w i w z v
60 NJ/A+SD/60 A A B E C B E C D D
61 NJ/A+SD/61 A g f e a B E C b A B E C 11 c d 15 d D D G = (V, E) V = {v i i = 1,..., m} E = {k i = ( v, w, d k ) k = 1,..., n}
62 Reprezentacje grafów NJ/A+SD/62
63 Macierz sasiedztwa, M[i, j] = 0/1: Listy sasiedztwa: W1: W2: 3 W3:. W4: 2 3 NJ/A+SD/63
64 NJ/A+SD/64 Reprezentacja tablicowa
65 NJ/A+SD/65 Terminologia około-grafowa v jest sasiadem w, gdy istnieje krawędź (v, w) Stopień wierzchołka: liczba sasiadów Droga/ścieżka: ciag krawędzi (v 1, v 2 ),(v 2, v3),...,(v k 1, v k ) Cykl: droga z pewnego wierzchołka v do v (musi składać się przynajmniej z jednej krawędzi!) Graf spójny: istnieje ścieżka pomiędzy każda para wierzchołków Drzewo: graf spójny bez cykli! Klika grafu G = (V, E): podzbiór V V taki, że dla każdej pary wierzchołków p, q V istnieje krawędź (p, q) E.
66 NJ/A+SD/66 Złożoność Złożoność rozmiar zadania Złożoność: Czasowa Pamięciowa Złożoność czasowa: czas pracy programu wyrażony jako funkcja rozmiaru zadania. Złożoność pamięciowa: zajętość pamięci przez program wyrażony jako funkcja rozmiaru zadania.
67 NJ/A+SD/67 Definicja Złożoność czasowa programu wykorzystujacego g(n) jednostek czasowych jest O( f(n)), jeśli istnieje stała c i g(n) c f(n), dla prawie wszystkich n (wszystkich z wyjatkiem skończonego zbioru wartości n). O( f(n)) jest rodzina funkcji spełniajacych powyższa definicję. g(n) = 3n 2 O(n 2 ) g(n) =.01n O(n) g(n) = n+44n 3 + n 1/2 O(n 3 ) O( f(n)) ma złożoność f(n) jest rzędu f(n)
68 NJ/A+SD/68 7 g(n) c f(n) n
69 NJ/A+SD/69 g(n) = 1024 O(1) g(n) = 0.25 O(1) g(n) = n+ n 1 O(n) g(n) = n+ 1 log n O(n) Prawidłowy jest też zapis: 1 n = O(1) (odpowiednik matematycznego w: n 1 O(1)) Prawda jest, że: 1 n = O(n) 1 n = O(n2 ) 1 n = O(nk ) 5n = O(n) 5n = O(n 2 )
70 NJ/A+SD/70 5n+ O(n) = O(n) 5n+ O(n) = O(n 2 ) 5n+ O(n 2 ) =O(n) n 4 = 1 4 n4 + O(n 3 ) g(n) = n 3 + 5n 2 22n = O(n 3 ) n+1/ log n = O(n) n 2 + O(n) = O(n 2 ) n 2 + c O(n) = O(n 2 ) n 2 + O(n log n) = O(n 2 ) n(n+1) 2 = O(n 2 ) n(n+1) 2 0.5n 2 = O(n) n(n+1) 2 0.3n 2 = O(n 2 ) n+2 O(n 2 ) = O(n 2 ) n+log n O(n 2 ) = O(n 2 log n) log n n = O(1)
71 NJ/A+SD/71 g(n) = a k n k + a k 1 n k a 1 n+a 0 = O(n k ) dla a k > n = O(2 n ) 2 n+2 + n 6 = O(2 n ) 2 n = O(3 n ) 3 n = O(2 n ) n = O( n) n = O(n) 3 n = O( n)
72 NJ/A+SD/72 Granice rozmiaru zadania vs. złożoność Max roz. zadania Złożoność 1s 1min 1h n n log n n n n
73 NJ/A+SD/73 Wpływ 10-krotnego przyśpieszenia komputera na maksymalny rozmiar zadania Złożoność R.z.przed R.z.po n s 1 10s 1 n log n s 2 10s 2 (dla dużych s 2 ) n 2 s s 3 n 3 s s 4 2 n s 5 s
74 NJ/A+SD/74 Złożoność c.d. Złożoność pesymistyczna (z. czasowa) z. najgorszego przypadku. Złożoność średnia średnia z. po wszystkich danych rozmiaru n. Z. pesymistyczna nierzadko równa jest z. średniej.
75 NJ/A+SD/75 O, Θ i Ω O asymptotyczna granica górna O( f(n)) = {g(n) : c>0,n0 >0 n n0 0 g(n) c f(n)} Ω asymptotyczna granica dolna Ω( f(n)) = {g(n) : c>0,n0 >0 n n0 0 c f(n) g(n)} Θ asymptotycznie dokładne oszacowanie Θ( f(n)) = {g(n) : c1 >0,c 2 >0,n 0 >0 n n0 0 c 1 f(n) g(n) c 2 f(n)}
76 NJ/A+SD/ c 2 f(x) g(n) c 1 f(x) n
77 NJ/A+SD/77 Klasy P i NP Klasa P gdy algorytm ma złożoność wielomianowa. Klasa N P gdy algorytm nie ma złożoności wielomianowej.
78 NJ/A+SD/78 Kryteria kosztów Jednorodne kryterium kosztów zakłada się, że jedna instrukcja wykonywana jest w jednej jednostce czasu zakłada się, że każdy rejestr wymaga jednej jednostki pamięci l(i) = 1 Logarytmiczne kryterium kosztów [uwzględnienie długości słowa komputera] l(i) = log i +1 i > 0 1 i = 0
79 NJ/A+SD/79 Złożoność Kołmogorowa i Levina Złożoność Kołmogorowa K U (x) = min p { l(p) : program p prints x}. (1) Złożoność Levina Kt U (x) = min p { l(p)+log t(p, x) : program p prints x in t(p, x)}. (2)
80 NJ/A+SD/80 Warunkowa złożoność Levina Kt U (w x, φ) = min{l(p)+log t(p, x) : program p p prints w and test φ(w) = x in t(p, x)}. (3)
81 NJ/A+SD/81 Zadania Wyznaczyć złożoność różnych funkcji dotyczacych operowania na listach i drzewach. Jaka jest złożoność wyznaczania wektora o maksymalnej normie ze zbioru S = {x i : i = 1,..., n, x R d }?
82 NJ/A+SD/82 Zadanie sortowania Wejście: zbiór liczb a 1,..., a n Wyjście: ciag liczb spełniajacy a i1... a in
83 NJ/A+SD/83 Algorytmy sortowania i ich złożoności Trudno gorzej niż O(n 2 ) Aż do... O(n)!!! Sortowanie za pomoca: tablic, drzew, kolejek
84 NJ/A+SD/84 O(n 2 ) przykłady Sortowanie przez proste wstawianie Sortowanie przez wstawianie połówkowe (ZADANIE) Sortowanie przez proste wybieranie Sortowanie babelkowe
85 NJ/A+SD/85 1 procedure ProsteWstawianie ; 2 begin 3 for i :=2 to n do 4 begin 5 x := a [ i ] ; a [ 0 ] : = x ; j := i 1; 6 while x < a [ j ] do 7 begin 8 a [ j +1]:=a [ j ] ; j := j 1; 9 end 10 a [ j +1]:= x ; 11 end 12 end ; Wynik pośredni dla i-tej iteracji pętli f or: a 1,..., a i 1 (posortowane) a i,..., a n (nieposortowane)
86 NJ/A+SD/86 1 procedure ProsteWybieranie ; 2 begin 3 for i :=1 to n 1 do 4 begin 5 k := i ; x := a [ i ] ; 6 for j := i +1 to n do 7 i f a [ j ] < x then 8 begin k := j ; x := a [ j ] ; 9 end ; 10 a [ k ] : = a [ i ] ; a [ i ] : = x ; 11 end 12 end ; Najmniejszy na poczatek, na druga pozycję najmniejszy z pozostałych, itd.
87 NJ/A+SD/87 1 procedure SortowanieBabelkowe ; 2 begin 3 for i :=2 to n do 4 begin 5 for j := n downto i do 6 i f a [ j 1] > a [ j ] then 7 begin 8 x := a [ j 1]; a [ j 1]:= a [ j ] ; a [ j ] : = x ; 9 end 10 end 11 end ; Duże babelki szybciej wychodza na powierzchnię...
88 NJ/A+SD/88 Algorytmy sortujace w O(n log n) Złożoność średniego przypadku, a pesymistyczna złożoność Sortowanie przez kopcowanie Szybkie sortowanie Drzewa z porzadkiem Sortowanie przez łaczenie (ZADANIE)
89 NJ/A+SD/89 Sortowanie przez kopcowanie Algorytm in-situ, jak poprzednie, ale o złożoności O(n log n). Warunek kopca: R L i R P R 22 L P 13 7
90 NJ/A+SD/90 Kopiec
91 NJ/A+SD/91 Kopiec c.d Reprezentacja: drzewo lub tablica PARENT[i] = i/2 LEFT[i] = 2i RIGHT[i] = 2i+1
92 NJ/A+SD/92 Heapify O(log n)
93 NJ/A+SD/
94 NJ/A+SD/
95 NJ/A+SD/95 1 procedure Heapify (A, i ) ; 2 begin 3 l :=LEFT ( i ) ; r :=RIGHT( i ) ; 4 i f l <= heapsize [ A ] and A [ l ] > A[ i ] 5 then l a r g e s t := l 6 else l a r g e s t := i ; 7 i f r <= heapsize [ A ] and A [ r ] > A[ l a r g e s t ] then 8 l a r g e s t := r ; 9 i f l a r g e s t <> i then 10 begin x :=A [ i ] ; A [ i ] : = A [ l a r g e s t ] ; A[ l a r g e s t ] : = x ; 11 Heapify (A, l a r g e s t ) ; 12 end 13 end ;
96 NJ/A+SD/96 Budowanie kopca 1 procedure BuildHeap ( A ) ; 2 begin 3 heapsize [ A ] : = l e n g t h [ A ] ; 4 for i := length[a]/2 downto 1 do 5 Heapify (A, i ) 6 end ; kopce, kopce kopców,...
97 NJ/A+SD/
98 NJ/A+SD/
99 NJ/A+SD/
100 NJ/A+SD/
101 NJ/A+SD/
102 NJ/A+SD/
103 NJ/A+SD/103 Złożoność procedury BuildHeap(A) Heapify O(h) h wysokość kopca n elementowy kopiec ma co najwyżej n/2 h+1 pod-kopców wysokości h Całość: mamy jednak: ostatecznie: log n h=0 ( n log n 2 h+1 O(h) = O n h=0 h=0 h 2 h = 1/2 (1 1/2) 2 = O(n) ) h 2 h
104 NJ/A+SD/104 Sortowanie przez kopcowanie Zbudowanie kopca Korzeń = max Usuniecie korzenia (na koniec... ) i powtarzanie... [zamiana max i el. ostatnim, i skrócenie tablicy A]
105 NJ/A+SD/105 1 procedure HeapSort ( A ) ; 2 begin 3 BuildHeap (A ) ; 4 for i := l e n g t h (A) downto 2 do 5 begin 6 x :=A [ 1 ] ; A [ 1 ] : = A [ i ] ; A [ i ] : = x ; 7 heapsize (A) : = heapsize (A) 1; 8 Heapify (A, 1 ) ; 9 end 10 end ; Ostateczna złożoność: O(n log n)
106 Zadania Prześledzić na kilku około 10 elementowych tablicach omówione algorytmy sortowania. Opracuj algorytm sortowania przez wstawianie połówkowe. Opracuj algorytm sortowania przez łaczenie. Zaproponować wersję iteracyjna rekurencyjnej procedury Heapify. Analiza złożoności algorytmów (porównaj liczby porównań, przestawień, poszczególnych pod-etapów różnych algorytmów). Prześledź zachowanie się algorytmów sortowania dla najlepszych i najgorszych przypadków. NJ/A+SD/106
107 Co można powiedzieć o złożonościach O, Ω, Θ dla algorytmów sortowania przez przestawianie, wybór i sortowanie babelkowe? NJ/A+SD/107
108 NJ/A+SD/108 Algorytm szybkiego sortowania (Quicksort) Dziel i zwyciężaj! 1. Dziel na dwie części A i B. A ma elementy nie większe od x, B ma większe od x. 2. Zwyciężaj: sortuj A i B. 3. Łaczenie A i B.
109 NJ/A+SD/109 1 procedure QSort (A, p, r ) ; 2 begin 3 i f p < r then 4 begin 5 q := P a r t i t i o n (A, p, r ) ; 6 QSort (A, p, q ) ; 7 QSort (A, q+1, r ) ; 8 end 9 end ; A p,..., A q A q+1,..., A r A p,..., A q A q+1,..., A r A p,..., A q A q+1,..., A r... A p A p+1 A p+2... A r 1 A r
110 NJ/A+SD/110 1 function P a r t i t i o n (A, p, r ) ; 2 begin 3 A [ p ] A[ Random[ p, r ] ] ; 4 x :=A [ p ] ; 5 i := p 1; j := r +1; 6 do 7 do j := j 1; while A[ j ] > x ; 8 do i := i +1; while A[ i ] < x ; 9 i f i < j then A [ i ] A[ j ] ; 10 while i < j ; 11 return j ; 12 end ; A[p, i] x A[j, r]
111 NJ/A+SD/111 Złożoność szybkiego sortowania Złożoność funkcji Partition: Θ(n) Najlepszy przypadek: Θ(n log n) Najgorszy przypadek: Θ(n 2 ) Średni przypadek: Θ(n log n)
112 NJ/A+SD/112 Najlepszy przypadek: Θ(n log n) n n/2 n/2 n/4 n/4 n/4 n/4
113 NJ/A+SD/113 Ponieważ: Koszt całościowy każdego z poziomów: Θ(n) Liczba poziomów: log n T(n) = 2T(n/2)+Θ(n) = Θ(n log n)
114 NJ/A+SD/114 Najgorszy przypadek: Θ(n 2 ) n 1 n 1 1 n 2 1 n 3 Ponieważ: Koszt całościowy każdego z poziomów: Θ(n) Liczba poziomów: n T(n) = T(n 1)+Θ(n) = n i=1 Θ(i) T(n) = Θ( n i=1 i) T(n) = Θ(n 2 ) 1 n 4
115 NJ/A+SD/115 Średni przypadek: Θ(n log n) Niech T(n) będzie średnim czasem sortowania przez QS Wtedy czasy wywołań rekurencyjnych to T(i) i T(n i) Każde i jest jednakowo prawdopodobne wybrane losowo Wykonanie Partition kosztuje Θ(n) Mamy więc: T(n) = 1 n n 1 i=1 [T(i)+T(n i)]+θ(n) jako że każde T(j) w występuje 2 razy: T(n) = 2 n n 1 i=1 T(i)+Θ(n)
116 NJ/A+SD/116 Przez indukcję chcemy pokazać: T(n) an log n+b+θ(n) a, b > 0 Dla n = 1 prosto znaleźć odpowiednie a, b! Dla n > 1 T(n) 2 n n 1 k=1 (ak log k+b)+θ(n) = 2a n n 1 k log k+2b n 1 n k=1 + Θ(n)
117 NJ/A+SD/117 Skorzystamy z: n 1 k log k 1 2 n2 log n 1 8 n2 k=1 Mamy więc: T(n) 2a n [ 1 2 n2 log n 1 ] 8 n2 + 2b n 1 n + Θ(n) an log n a 4 n+2b+θ(n) = an log n+b+ [ an 4 + b+θ(n) ] an log n+b dla dużego a
118 NJ/A+SD/118 Wróćmy do: n 1 k log k 1 2 n2 log n 1 8 n2 k=1 n 1 k log k = k=1 n/2 1 k=1 k log k+ n 1 k log k k= n/2 Wiemy, że: log n/2 n/2 1 k=1 k n/2 1 k=1 k log k log n n 1 k k= n/2 n 1 k log k k= n/2
119 NJ/A+SD/119 n 1 k log k (log n 1) k=1 n/2 1 k=1 k+log n n 1 k k= n/2 = log n n 1 k k=1 n/2 1 k=1 k 1 2 n(n 1) log n 1 2 n 2 ( n 2 1 ) 1 2 n2 log n 1 8 n2
120 NJ/A+SD/120 Algorytmy sortowania O(n) Sortowanie przez zliczanie Sortowanie kubełkowe Sortowanie przez zliczanie Założenia: A i N 1 A i k
121 NJ/A+SD/121 IDEA: Jeśli wiemy ile jest elementów mniejszych od pewnego A i, wiemy gdzie (na której pozycji) powinien być umieszczony element A i w tablicy posortowanej: {k : A k < A i, A k A} =???
122 NJ/A+SD/122 1 function S o r t Z l i c z a n i e (A, B, k ) ; { A-wejście, B-wyjście } 2 begin 3 for i :=1 to k do 4 C[ i ] : = 0 5 for i :=1 to l e n g t h [ A ] do 6 C[ A [ i ] ] : = C[ A [ i ] ] + 1 { z l i c z a n i e } 7 for i :=2 to k do 8 C[ i ] : =C[ i ]+C[ i 1] { i l e mniejszych od i } 9 for i := l e n g t h [A] downto 1 do 10 begin 11 B [C[A[ i ] ] ] : = A [ i ] { w odpowiednie B [. ] A [ i ] } 12 C[ A [ i ] ] : = C[ A[ i ]] 1 13 end 14 end ;
123 NJ/A+SD/123 A: B: C: C[A[i]]:= C[A[i]]+1 B: C: B: C[i]:=C[i]+C[i-1] B[C[A[i]]]:=A[i]
124 NJ/A+SD/124 Złożoność sortowania przez zliczanie Wiersze 3 4: O(k) Wiersze 5 6: O(n) Wiersze 7 8: O(k) Wiersze 9 13: O(n) Razem O(k)+ O(n) = O(n+k) = O(n), gdy k = O(n) Stabilny = liczby o tej samej wartości w tej samej kolejności w A i w B!
125 NJ/A+SD/125 Algorytm sortowania kubełkowego Średni czas: O(n) Założenia: A i [0, 1) i = 1,..., n A i maja rozkład jednostajny(!) IDEA: Kubełki = dzielimy [0, 1) na n podprzedziałów.
126 NJ/A+SD/126 A B
127 NJ/A+SD/127 1 function SortKubelkowe ( A ) ; 2 begin 3 n := l e n g t h [ A ] 4 for i :=1 to n do 5 wstaw A [ i ] do listy B [ na[i] ] 6 for i :=0 to n 1 do 7 sortuj B [ i ] przez wstawianie 8 połacz listy B [ 0 ].. B[ n 1] 9 end ;
128 NJ/A+SD/128 Oczekiwana złożoność sortowania kubełkowego w. 3 5 O(n) w. 6 7??? n i zmienna losowa oznaczajaca liczbę elementów w B[i]. Sortowanie z w. 7 działa w O(p 2 ). Czas oczekiwany posortowania B[i] wynosi: E[O(n 2 i )] = O(E[n2 i ]) Wtedy oczekiwany czas wykonania w. 6 7: n 1 i=0 O(E[n 2 i ]) = O ( n 1 i=0 E[n 2 i ] )
129 NJ/A+SD/129 Prawdopodobieństwo, że element trafi do B[i] wynosi 1/n (1/n rozmiar przedziału B[i]). Zmienna n i ma rozkład dwumianowy. P(n i = k) = b(k; n, p) E[n i ] = np = 1 Var[n i ] = np(1 p) = 1 1/n Wiemy, że Var[n i ] = E[n 2 i ] E2 [n i ] E[n 2 i ] = Var[n i]+e 2 [n i ] = 1 1 n + 12 = 2 1 n = Θ(1) O ( n 1 i=0 E[n 2 i ] ) = nθ(1) = Θ(n)
130 NJ/A+SD/130 Zadania Zaimplementuj 3 różne algorytmy szybkiego sortowania różniace się sposobem wyboru elementu podziału pierwszy element (A[p]), losowy element, mediana z 3 losowo wybranych elementów. Porównaj zachowania się algorytmów dla losowych ciagów, jak i uporzadkowanych (częściowo też). Jak usprawnić algorytm sortowania kubełkowego, aby jego pesymistyczny czas wynosił O(n log n)?
131 Statystyka pozycyjna Wybór k-tego najmniejszego elementu Mediana k = n 2 mediana Rozwiazanie Sortowanie drogie... O(n log n) Dziel i zwyciężaj O(n) NJ/A+SD/131
132 NJ/A+SD/132 Idea: Podziel S na trzy zbiory S 1 (< m), S 2 (= m), S 3 (> m). Aby czas był liniowy długości S 1 i S 3 musza być ułamkami długości S. Powtarzamy rekurencyjnie...
133 NJ/A+SD/133 Jak znaleźć m, dla którego liczba wartości mniejszych i większych będzie ułamkiem S? Podzielić S na n 5 zbiorów. Posortować podzbiory (ile to kosztuje?).
134 NJ/A+SD/134 Niech M będzie ciagiem median posortowanych ciagów (M ma n/5 elementów). Znajdź medianę m ciagu M (T(n/5) szybciej niż T(n)... ) Podziel S na trzy zbiory S 1 (< m), S 2 (= m), S 3 (> m). ciag median
135 NJ/A+SD/135 Gdzie jest k-ty element? W S 1, S 2 czy S 3? Jeśli S 1 k S 1 ma k-ty element, w p.p. Jeśli S 1 + S 2 k S 2 ma k-ty element = m! w p.p. k-ty element jest w S 3, jako k S 1 S 2 element w S 3.
136 NJ/A+SD/136 1 function Select ( k, S ) ; 2 i f S < 50 then begin 3 s o r t u j S 4 return k-ty najmniejszy 5 end 6 else begin 7 podziel S na S /5 możliwie równych ciagów 8 sortuj każdy taki ciag 9 niech M będzie ciagiem median powyższych podciagów 10 m:= Select ( M /2, M) 11 Podziel S na S 1 (< m),s 2 (= m),s 3 (> m) 12 i f S 1 >= k then return Select ( k,s 1 ) 13 else 14 i f S 1 + S 2 >=k then return m 15 else return Select ( k S 1 S 2, S 3 ) 16 end
137 NJ/A+SD/137 Analiza algorytmu Załóżmy, że dla ciagu długości n algorytm wykonuje T(n) operacji. w. 3 O(1) w. 8 O(n) w. 9 n/5 w. 10 T(n/5) w. 11 O(n) w. 12 i 15 T( S 1 ) i T( S 3 ) odpowiednio (wykonywane jest tylko jedno z nich!)
138 NJ/A+SD/138 elementy m m ciag M (uporzadkowany) elementy m
139 NJ/A+SD/139 M ma co najwyżej n/10 elementów m Wtedy S 1 ma co najwyżej n 3 n/10 elementów. Dla n 50 S 1 < 3n/4. Podobnie dla S 3. Czyli w. 12 i 15 wymagaja nie więcej niż T(3n/4) Mamy więc: T(n) cn dla n < 50 T(n) T(n/5)+T(3n/4)+cn dla n 50 Można (przez indukcję) pokazać, że T(n) 20cn.
140 NJ/A+SD/140 Algorytm wyboru II 1 function Select2 ( k, S ) ; 2 i f S =1 then return S [ 1 ] ; 3 else 4 begin 5 m := S [ Random( 1, n ) ] ; 6 Podziel S na S 1 (< m),s 2 (= m),s 3 (> m) 7 i f S 1 >= k then return Select2 ( k,s 1 ) 8 else 9 i f S 1 + S 2 >= k then return m 10 else return Select2 ( k S 1 S 2,S 3 ) 11 end
141 NJ/A+SD/141 Złożoność średniego przypadku algorytmu Select2 Każdy indeks i wybranego elementu m w w.5 (po wykonaniu partition w.6) jest tak samo prawdopodobny. Jeśli k < i to wykonywana jest funkcja Select dla ciagu i 1 elementowego. Jeśli k > i to dla n i. Stad oczekiwany koszt w.7 lub w.10 uśredniamy po różnych możliwych wartościach i dla zadanego k: 1 n [ k 1 i=1 T(n i)+ ] n T(i 1) i=k+1 = 1 n [ n 1 T(i)+ i=n k+1 n 1 i=k T(i) ]
142 NJ/A+SD/142 Wtedy dla T(n) mamy: T(n) cn+max k { 1 n [ n 1 T(i)+ i=n k+1 n 1 i=k T(i) ]} Przez indukcję otrzymujemy: T(n) 4cn.
143 Zadania Zapisz ostateczna postać wiersza 11 funkcji Select. Przeanalizuj działanie funkcji Select dla wybranego ciagu długości około 8 elementów. W wierszu 7 na stronie 134 dzielimy S na podciagi długości 5. Jak algorytm zachowa się dla innych liczb (3,4,7,11,etc.)? Co możesz powiedzieć o algorytmie szybkiego sortowania w którym procedura Partition dzieliła by zbiór względem mediany? Co dzieje się ze złożonościa średniego przypadku, a co ze złożonościa najgorszego przypadku? Udowodnić przez indukcję, że dla algorytmu Select mamy: T(n) 20cn. NJ/A+SD/143
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoprowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325
PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj
Bardziej szczegółowoLiteratura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy:
Temat: Powtórzenie wiadomości z PODSTAW INFORMATYKI I: Pojęcia: złożoność czasowa algorytmu, rząd funkcji kosztu. Algorytmy. Metody programistyczne. Struktury danych. Literatura. A. V. Aho, J.E. Hopcroft,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoPorządek symetryczny: right(x)
Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Stosy, kolejki, drzewa Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VII Jesień 2013 1 / 25 Listy Lista jest uporządkowanym zbiorem elementów. W Pythonie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2014/2015. Drzewa BST c.d., równoważenie drzew, kopce.
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Automatyki i Robotyki ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 204/205 Język programowania: Środowisko programistyczne: C/C++ Qt Wykład 2 : Drzewa BST c.d., równoważenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoRekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!
Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym
Bardziej szczegółowoWykład 5. Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym
Wykład 5 Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n 2 Zestawienie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoZałącznik KARTA PRZEDMIOTU. KARTA PRZEDMIOTU Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010
1/1 Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010 Kierunek: INFORMATYKA Specjalność: PRZEDMIOT OBOWIĄZKOWY DLA WSZYSTKICH STUDENTÓW. Tryb studiów: NIESTACJONARNE PIERWSZEGO STOPNIA
Bardziej szczegółowoSortowanie - wybrane algorytmy
Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoKolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.
Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. wykład 5
Plan wykładu: Wskaźniki. : listy, drzewa, kopce. Wskaźniki - wskaźniki Wskaźnik jest to liczba lub symbol który w ogólności wskazuje adres komórki pamięci. W językach wysokiego poziomu wskaźniki mogą również
Bardziej szczegółowoSortowanie. Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania:
Sortowanie Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania: podać strukturę danych dla elementów dynamicznego skończonego multi-zbioru S, względem którego są wykonywane następujące
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 2 Przeszukiwanie grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów 3. Spójność grafu,
Bardziej szczegółowoEgzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Norbert Jankowski Katedra Informatyki Stosowanej Uniwersytet Mikołaja Kopernika www.is.umk.pl/ norbert/asd Projekt współfinansowany ze środków Uni Europejskiej w ramach Europejskiego
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoSortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania
Sortowanie danych Podstawy programowania 2013-06-06 Sortowanie przez wybieranie 9 9 9 9 9 9 10 7 7 7 7 7 10 9 1 3 3 4 10 7 7 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 Gurbiel et al. 2000
Bardziej szczegółowoDrzewa binarne. Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0. jest drzewem binarnym Np.
Drzewa binarne Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0 i T 1 są drzewami binarnymi to T 0 T 1 jest drzewem binarnym Np. ( ) ( ( )) Wielkość drzewa
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Bardziej szczegółowoListy, kolejki, stosy
Listy, kolejki, stosy abc Lista O Struktura danych składa się z węzłów, gdzie mamy informacje (dane) i wskaźniki do następnych węzłów. Zajmuje tyle miejsca w pamięci ile mamy węzłów O Gdzie można wykorzystać:
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą mieć różne końce. Między dwoma wierzchołkami może
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Bardziej szczegółowoProgramowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Bardziej szczegółowoStruktury danych: stos, kolejka, lista, drzewo
Struktury danych: stos, kolejka, lista, drzewo Wykład: dane w strukturze, funkcje i rodzaje struktur, LIFO, last in first out, kolejka FIFO, first in first out, push, pop, size, empty, głowa, ogon, implementacja
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY INFORMATYKI wykład 10.
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 10. Adrian Horzyk Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/ E-mail: horzyk@agh.edu.pl Google: Adrian Horzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Akademia Górniczo-Hutniacza w Krakowie WEAIiE,
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania 2. Temat: Drzewa binarne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno
Instrukcja laboratoryjna 5 Podstawy programowania 2 Temat: Drzewa binarne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny Drzewa są jedną z częściej wykorzystywanych struktur danych. Reprezentują
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoDrzewo. Drzewo uporządkowane ma ponumerowanych (oznaczonych) następników. Drzewo uporządkowane składa się z węzłów, które zawierają następujące pola:
Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoSortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie
Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 5 i 6 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoDrzewa poszukiwań binarnych
1 Drzewa poszukiwań binarnych Kacper Pawłowski Streszczenie W tej pracy przedstawię zagadnienia związane z drzewami poszukiwań binarnych. Przytoczę poszczególne operacje na tej strukturze danych oraz ich
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne
Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych. Co dziś? Drzewo decyzyjne. Wykład IV Sortowania cd. Elementarne struktury danych
Algorytmy i Struktury Danych Wykład IV Sortowania cd. Elementarne struktury danych 1 Co dziś? Dolna granica sortowań Mediany i statystyki pozycyjne Warstwa implementacji Warstwa abstrakcji #tablice #listy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Bardziej szczegółowoDrzewa wyszukiwań binarnych (BST)
Drzewa wyszukiwań binarnych (BST) Krzysztof Grządziel 12 czerwca 2007 roku 1 Drzewa Binarne Drzewa wyszukiwań binarnych, w skrócie BST (od ang. binary search trees), to szczególny przypadek drzew binarnych.
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoAlgorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO INFORMATYKI. Drzewa i struktury drzewiaste
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WSTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Drzewa i struktury drzewiaste www.agh.edu.pl DEFINICJA DRZEWA Drzewo
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 BFS DFS Algorytm Dijkstry Algorytm Floyda-Warshalla Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, Spis treści. Wprowadzenie 2
Wprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa XIII Część I Podstawy Wprowadzenie 2 1. Rola algorytmów w obliczeniach 4 1.1. Algorytmy 4 1.2. Algorytmy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY INFORMATYKI wykład 6.
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 6. Adrian Horzyk Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/ E-mail: horzyk@agh.edu.pl Google: Adrian Horzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEAIiE,
Bardziej szczegółowoSortowanie bąbelkowe
1/98 Sortowanie bąbelkowe (Bubble sort) prosty i nieefektywny algorytm sortowania wielokrotnie przeglądamy listę elementów, porównując dwa sąsiadujące i zamieniając je miejscami, jeśli znajdują się w złym
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, algoritme Dijkstry Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XI Jesień 2013 1 / 25 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca na
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych.
Kod przedmiotu: ASD Rodzaj przedmiotu: Wydział: Informatyki Kierunek: Informatyka Specjalność (specjalizacja): - Algorytmy i struktury danych. kierunkowy ; obowiązkowy Poziom studiów: pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Wstęp 2 Metody proste 3 Szybkie metody sortowania 4 Algorytmy hybrydowe Sortowanie hybrydowe Sortowanie introspektywne
Bardziej szczegółowoWykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowowstęp do informatyki i programowania część testowa (25 pyt. / 60 min.)
egzamin podstawowy 7 lutego 2017 r. wstęp do informatyki i programowania część testowa (25 pyt. / 60 min.) Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego Paweł Rzechonek imię, nazwisko i nr indeksu:..............................................................
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoAlgorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14
Algorytmy dynamiczne Piotr Sankowski - p. 1/14 Dynamiczne: drzewa wyszukiwanie wzorca w tekście spójność grafu problemy algebraiczne (FFT i inne) domknięcie przechodnie oraz dynamiczne macierze najkrótsze
Bardziej szczegółowoWykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4
Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania
Bardziej szczegółowoWysokość drzewa Głębokość węzła
Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Bardziej szczegółowoDynamiczny przydział pamięci w języku C. Dynamiczne struktury danych. dr inż. Jarosław Forenc. Metoda 1 (wektor N M-elementowy)
Rok akademicki 2012/2013, Wykład nr 2 2/25 Plan wykładu nr 2 Informatyka 2 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr III, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 2012/2013
Bardziej szczegółowoDefinicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )
SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 12 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Proste algorytmy sortowania Witold Marańda maranda@dmcs.p.lodz.pl 1 Pojęcie sortowania Sortowaniem nazywa się proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku Sortowanie
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoSprawozdanie do zadania numer 2
Sprawozdanie do zadania numer 2 Michał Pawlik 29836 Temat: Badanie efektywności algorytmów grafowych w zależności od rozmiaru instancji oraz sposobu reprezentacji grafu w pamięci komputera 1 WSTĘP W ramach
Bardziej szczegółowododatkowe operacje dla kopca binarnego: typu min oraz typu max:
ASD - ćwiczenia IX Kopce binarne własność porządku kopca gdzie dla każdej trójki wierzchołków kopca (X, Y, Z) porządek etykiet elem jest następujący X.elem Y.elem oraz Z.elem Y.elem w przypadku kopca typu
Bardziej szczegółowoWykład 7. Algorytmy grafowe
Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst
Bardziej szczegółowoStrategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3
KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 8 1 /
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Algorytmy i struktury danych, C4
KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 6a Model danych oparty na drzewach 1 Model danych oparty na drzewach Istnieje wiele sytuacji w których przetwarzane informacje mają strukturę hierarchiczną lub zagnieżdżoną,
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo