ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1

Transkrypt

1

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Po godzinach Zazwyczaj brakuje nam czasu na zrealizowanie tematów przewidzianych w programie nauczania. Zazwyczaj, ale nie zawsze. Bywa, że chcielibyśmy poprowadzić lekcję nietypową, na ciekawy temat, choć wykraczający poza podstawy programowe. I tu pojawia się problem. Nie jest bowiem łatwo znaleźć w matematyce takie zagadnienie, które można by przystępnie omówić na poziomie szkoły podstawowej czy gimnazjum. Dlatego postanowiliśmy zebrać wjednymmiejscu(temat numeru, s. 9 25) kilka pomysłów naszych czytelników na tego typu lekcje. Może uda się je Państwu zrealizować w klasie na przykład w maju lub czerwcu po sprawdzianie w szóstej klasie lub egzaminie gimnazjalnym, a może na kółku matematycznym. W tym numerze Matematyki w Szkole mówimy nie tylko o nietypowych tematach, ale też o nietypowych uczniach. Nietypowych, bo z orzeczeniami o dysleksji. Choć trzeba przyznać, że tacy uczniowie stają się coraz bardziej typowi. Czy Państwo wiedzą, że są miasta, w których już prawie 40% uczniów ma orzeczenie o dysleksji? Czy w takiej sytuacji można jeszcze mówić, że dysleksja to jakaś dysfunkcja? Jak tak dalej pójdzie, to już za kilka lat takich uczniów będzie więcej niż połowa, a więc to oni będą wyznaczać normę. Wtedy prościej i taniej będzie wydawać zaświadczenia, że uczeń ma dysfunkcję, ponieważ nie jest dyslektykiem. Czy taka ułomność też będzie dawała szansę wydłużenia czasu egzaminu? Żarty żartami, ale dlaczego w jednym województwie dyslektyków jest prawie 30%, a w innym zaledwie 6%? Czy to wynik lepiej zorganizowanej sieci poradni, czy też oszustwo na wielka skalę, którego przyczyną są ułatwienia na egzaminach? I jak właściwie rozpoznaje się dysleksję czy w różnych częściach kraju na podstawie takich samych testów? Między innymi na te pytania stara się odpowiedzieć Anna Szczepińska w artykule Nietypowe województwo (s. 3). Na deser polecam Państwu ognistą, ale bardzo rzeczową polemikę między Michałem Szurkiem a Dorotą Klus-Stańską (s ). Rzecz jest o sposobach i celach nauczania matematyki.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413, tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Aleksandra Golecka-Mazur Joanna Kniter Jacek Lech Anna Szczepińska Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Anna Szczepińska Nietypowe województwo 7 Bożenna Kukier Twardy orzech dla egzaminatora TEMAT NUMERU PONADPROGRAMOWE ZAJĘCIA 9 Adelajda Nerońska Wyszukane w encyklopedii 11 Natalia Staszczyńska Algebra na kółku 13 Marzenna Grochowalska Równania kwadratowe w gimnazjum 15 Elżbieta Anna Tuska Logika intuicyjnie 19 Paweł Soboń Niezwykłe trójkąty 22 Marcin Cetnar Co tu jeszcze można wymyślić? NAUCZANIE MATEMATYKI 26 Michał Szurek Wygaszanie nauczania? 28 Dorota Klus-Stańska Odpowiedź na polemikę 30 Marcin Braun Magiczne kółko cd. 32 Marek Pisarski Ósme, szesnaste, cz Dorota Kochańska Liczby rzymskie inaczej 37 Zofia Zyzak Czy pszczoły znają geometrię? 39 Mam pomysł 40 Agnieszka Piecewska-Łoś Kwadratura koła MATERIAŁY 43 Aneta Góra Logiczne obrazki 44 Wiesława Janista Muzyczne fascynacje ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Tak się nie robi! Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 5500 egz.

4 TEMAT NUMERU 11 Natalia Staszczyńska ALGEBRA NA KÓŁKU Pracuję w szkole podstawowej. Od kilku lat prowadzę kółko matematyczne dla uczniów klas szóstych. Najczęściej rozwiązujemy zadania z konkursów matematycznych. Czasami jednak, dla urozmaicenia, przygotowuję takie zajęcia, które wymagają większej aktywności uczniów. Wielu pomysłów dostarczają Ziarenka matematyczne (zobacz artykuł Ziarenka w 31 numerze Matematyki w Szkole, s. 12). W zeszłym roku szkolnym, podczas lekcji poświęconej wyrażeniom algebraicznym, wpadłam na pomysł zajęć, które przeprowadziłam właśnie na kółku. Uczniowie mieli przynieść patyczki do szaszłyków lub zapałki. KARTA PRACY Na poniższych rysunkach podano kilka pierwszych etapów tworzenia pewnego układu zapałek. W jaki sposób jest tworzony ten układ? Określ, z ilu trójkątów składa się ten układ po pierwszym, drugim i kolejnych etapach. Uzupełnij tabelę. Etap Liczba trójkątów Spróbuj określić ogólną zasadę na znalezienie liczby trójkątów po dowolnej liczbie etapów. Jeżeli numer etapu oznaczymy przez n, to ile trójkątów będzie po n etapach?

5 12 TEMAT NUMERU Podobne polecenia wykonaj dla kolejnych układów zapałek. Etap n Liczba kwadratów Etap n Liczba trójkątów Etap n Liczba odcinków

6 30 NAUCZANIE MATEMATYKI Marcin Braun MAGICZNE KÓŁKO CD. Kwadraty magiczne zabawa na każdy wiek Wpoprzednimodcinku 1 pokazywałem elementarne ćwiczenia arytmetyczne i logiczne związane z kwadratami magicznymi. Nieco starsi uczniowie mogą wykorzystać ten sam temat do ćwiczeń z algebry. Wszystkie kwadraty świata Mówiliśmy już, jak znajdować nowe kwadraty. Czy umiemy jednak podać przepis na wszystkie? Okazało się, że do znalezienia przyda się algebra. Oznaczmy wybrane pola literami jak na rysunku obok. Kolejne pola można już wypełniać wyrażeniami zawierającymi a, b, c i d, bo wiemy, ile ma wynosić suma w każdym wierszu, kolumnie i na przekątnych (a + b + c). Nieco słabsi uczniowie mogą rozwiązywać równanie z niewiadomą x (np. a + d + x = a + b + c na liczbę, którą trzeba wpisać w pole pod d). Członkowie kółka wybrali jednak drogę na skróty: od razu wpisywali zawartość pól, tak kombinując, aby wyszedł właściwy wynik. Ostatecznie otrzymaliśmy: a b c d a b c d a c + d b +2c 2d b + c d 2c d a + b +2c d W tym momencie jeden z uczniów zauważył: Ostatnia kolumna się nie zgadza! A może jednak się zgadza? zapytałem przekornie. Może jest tak, że: c + b +2c 2d a + b +2c d = a + b + c. Nie, nie zgadza się upierał się uczeń. To można uprościć i wtedy widać, że się nie zgadza: a +2b +5c 3d = a + b + c. W ten sposób kwadraty pozwoliły nam poruszyć kolejne ważne zagadnienie. A mianowicie ustalenie, kiedy mówimy, że wyrażenia algebraiczne są równe, a kiedy przyrównujemy je do siebie, aby rozwiązać równanie.

7 NAUCZANIE MATEMATYKI 31 Z otrzymanej zależności można wyznaczyć każdą ze zmiennych, ale najwygodniej wyznaczyć b, wtedy bowiem nie pojawiają się ułamki. Gdy to się udało, usunęliśmy b ze wszystkich pól kwadratu. Nasz ostateczny wynik to: a 2a 4c +3d c d a c + d 2a 2c + d 2a 3c +2d 2c d a 2c +2d Można sprawdzić i na literach, i podstawiając liczby z omawianego już kwadratu z cyframi od 1 do 9, że suma wybranych pól jest zawsze jednakowa. Widzimy więc, że wystarczy znać trzy pola w kwadracie magicznym, aby obliczyć pozostałe. A ile po drodze można się było nauczyć! Co jeszcze? To oczywiście nie koniec ciekawych pytań. Oto kilka dalszych przykładów: 1. Czy w kwadracie magicznym mogą występować tylko liczby 0 i 1? Uzasadnij swoją odpowiedź. 2. W kwadracie z liczbami 1, 2,..., 9 w środku znajduje się 5, czyli 1 sumy. Czy tak jest 3 zawsze? Uzasadnij swoją odpowiedź. 3. Czy można rozwiązać zadanie 2., nie korzystając z wyprowadzonych wzorów na pola kwadratu magicznego? Uzasadnij swoją odpowiedź. 4. Uzupełnij poniższe kwadraty. a) b) c) Spróbuj uogólnić wyniki zadania Wykorzystując wniosek z zadania 2., znajdź prostszy sposób na rozmieszczenie cyfr 1, 2,..., 9 w kwadracie magicznym. Szkice rozwiązań 1. Skorzystajmy z ogólnego wzoru na kwadrat magiczny. Za a, c, d możemy podstawić dowolny układ zer i jedynek, ale pamiętając, że pozostałe pola muszą mieć wartość 0 lub 1. Wybierzmy choćby pole 2a 4c +3d. Sprawdźmy wszystkie kombinacje a, c, d (jest ich 8, wliczając same zera i jedynki). Jak się okaże, kwadrat magiczny może się składać z samych zer albo samych jedynek, ale jeśli występują obie te liczby, to muszą wystąpić także inne. 2. Tak. Wystarczy porównać środkowe pole z sumą w ogólnym wzorze na kwadrat. 3. Jest to możliwe. Oznaczmy kolejnymi literami pola dowolnego kwadratu magicznego, a b c a literą S sumę jednego d e f wiersza (kolumny, przekątnej) g h i w tym kwadracie. Wów- czas możemy napisać: a + e + i = S b + e + h = S c + e + g = S d + e + f = S Po dodaniu tych równań stronami otrzymujemy: a + b + c + d + e + f + g + h + i +3e =4S, czyli 3S +3e =4S, awięc3e = S. 4. Skorzystaj z własności udowodnionej w zadaniu Uogólniać można różnie. Na przykład w zadaniu 5, możemy zamiast liczb 1, 2, 3 wpisać dowolne trzy kolejne liczby naturalne (n, n +1, n + 2) albo kolejne wielokrotności pewnej liczby (n, 2n, 3n). Zobacz, kiedy otrzymujesz ciekawe wyniki. 6. Jaka liczba musi się znaleźć w środkowym polu? Gdy ją wpiszesz, rozważania są podobne jak w pierwszym odcinku tego artykułu, ale prostsze, ponieważ jest mniej przypadków to rozpatrzenia. 1 Matematyka w Szkole nr 37, s

8 44 MATERIAŁY Wiesława Janista MUZYCZNE FASCYNACJE Zadania przygotowawcze do egzaminu gimnazjalnego Jedno z pytań ankiety przeprowadzonej w gimnazjum brzmiało: Jakiej muzyki słuchasz najchętniej?. Każdy z pytanych uczniów podał jeden rodzaj muzyki, a zebrane dane przedstawiono na diagramie. Zadanie 4 O ile procent więcej pytanych uczniów słucha rocka niż popu? A. o 5% B. o 10% C. o 25% D. o 50% Zadanie 5 Jurek ma x płyt z muzyką rockową i trzy razy więcej z muzyką pop. Ma też płyty z muzyką techno. Jest ich o 3 mniej niż zmuzykąrockową.którezwyrażeńopisuje liczbę płyt Jurka? Na podstawie diagramu rozwiąż zadania 1 4. Zadanie 1 Jaki procent pytanych uczniów słucha najchętniej muzyki techno, jeśli wiadomo, że jest ich dwa razy mniej niż uczniów słuchających hip-hopu? A. 45% B. 30% C. 15% D. 55% Zadanie 2 Spośród pytanych uczniów 50 słucha muzyki rockowej. Ile osób odpowiadało na pytania ankiety? A. 200 B. 125 C. 50 D. 250 Zadanie 3 Rocka słucha 50 uczniów. O ilu mniej uczniów słucha muzyki dance niż muzyki pop? A. o 5 uczniów C. o 25 uczniów B.o20uczniów D.o10uczniów A. 4x 3 C. 3x 3 B. 4x +3 D.5x 3 Zadanie 6 Na okładce płyty kompaktowej znajduje się informacja o czasie trwania utworów: 1. Ratować, co najlepsze (3 37 ) 2. Cesarz jest nagi (2 44 ) 3. Jesień (3 25 ) 4. Spójrz inaczej (3 08 ) 5. Baśń mojego życia (4 15 ) ( minuty, sekundy) Łączny czas nagrania wynosi: A. 17,9 min C. 17 min 19 s B. 17,15 min D. 17,09 min Zadanie 7 Pierwsze płyty gramofonowe podczas odtwarzania wykonywały 78 obrotów na minutę. Ile obrotów wykonywała ta płyta w ciągu kwadransa? A. 900 B C D. 920

9 MATERIAŁY 45 Zadanie 8 Na rysunku przedstawiono płytę gramofonową. Za pomocą którego wzoru możesz obliczyć jej pole powierzchni? A. πr 2 + πr1 2 C. πr 2 πr1 2 B. 2πr 2πr 1 D. π(r r 1 ) 2 Zadanie 9 Do produkcji płyt gramofonowych używało się dawniej tworzywa sztucznego o nazwie winyl. Na którym rysunku przedstawiono wyraz WINYL i jego odbicie lustrzane? A. C. B. D. hurtowni w zależności od liczby dostarczanych kaset. b) Sporządź wykres tej funkcji c) Oblicz, ile kaset powinna dostarczyć do sklepu hurtownia, aby uzyskać 1182 zł. d) Jaką kwotę zapłaci właściciel sklepu za dostarczenie 280 kaset? Zadanie 13 W płytotece Roberta liczby płyt z muzyką rock, jazz i dance są w stosunku 2:2 1 2 :51. Ile płyt z muzyką dance ma 2 Robert, jeśli jego płytoteka liczy 140 płyt? Zadanie 14 Czy płytę o średnicy 5 cali można włożyć do pudełka, którego kwadratową podstawę przedstawiono na poniższym rysunku? Odpowiedź uzasadnij, wykonując odpowiednie obliczenia. Przyjmij, że 1 cal = =25,4mm. Zadanie 10 Płyta w pudełku kosztuje 2 zł, a płyta bez pudełka jest tańsza o 30%. Robert ma akurat tyle pieniędzy, ile kosztuje 7 płyt w pudełkach. Ile płyt bez pudełek mógłby kupić za tę kwotę? A.7 B.10 C.14 D.9 Zadanie 11 Najpopularniejsza kaseta magnetofonowa, tzw. dziewięćdziesiątka, zawiera około 135 metrów taśmy o szerokości 3,81 mm. Ile m 2 taśmy jest w tej kasecie? Zadanie 15 Ile płyt zapakowanych w prostopadłościenne pudełka o wymiarach 14 cm 12 cm 8 mm można umieścić w pojemniku, którego kształt i wymiary podano na rysunku? Zadanie 12 Hurtownia dostarcza do sklepu muzycznego Bass kasety magnetofonowe po 90 groszy za sztukę. Za dowóz wszystkich kaset dolicza 12 złotych. a) Podaj wzór funkcji pozwalający obliczyć kwotę, którą właściciel sklepu płaci Odpowiedzi: 1. C, 2. A, 3. D, 4. C, 5. D, 6. B, 7. C, 8. C, 9. D, 10. B, 11. ok. 0,5 m 2, 12. a) y =12+0,90x, c) 1300, d) 264, ,14, 14. Tak, bok pudełka ma ok. 12,9 cm, a średnica płyty ok. 12,7 cm,

10