PODOBIEŃSTWO. czyli o rodzeństwie w geometrii

Transkrypt

1 1 PODOBIEŃSTWO czyli o rodzeństwie w geometrii

2 ROZGRZEWKA 1 Wśród prostokątów przedstawionych na rysunku wskaż dwa, w których stosunek długości dłuższego boku do krótszego jest taki sam. 10 cm I II III 12 cm 16 cm 9 cm 13,5 cm 7,5 cm 2 a) Ile razy pole dużego kwadratu jest większe od pola małego kwadratu? b) Ile razy pole dużego trójkąta jest większe od pola małego trójkąta? Czy otrzymane wyniki są kwadratami liczb naturalnych? 3 Dany jest trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna ma długość 16 cm, a druga 19 cm. a) Oblicz pole tego trójkąta oraz pole trójkąta o bokach trzy razy dłuższych. b) Ile razy większe jest pole drugiego trójkąta od pola danego trójkąta? 4 Dany jest trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 18 cm, a przeciwprostokątna 82 cm. a) Oblicz pole tego trójkąta oraz pole trójkąta o bokach dwa razy krótszych. b) Ile razy mniejsze jest pole drugiego trójkąta od pola danego trójkąta? 5 W prostokącie T 1 boki mają długość 4 cm i 7 cm. W prostokącie T 2 wszystkie boki są czterokrotnie dłuższe niż odpowiednie boki prostokąta T 1. Ile razy większe jest pole prostokąta T 2 od pola prostokąta T 1? 8

3 Figury podobne Figury podobne 01 W klasie pierwszej mówiliśmy o figurach przystających jako o figurach, które mają dokładnie ten sam kształt i taką samą wielkość jak figury F1, F2 i F3 poniżej. F1 F2 F3 F4 F5 Przyjrzyjmy się teraz dwóm pozostałym figurom: F4 i F5. Figura F4 jest wyraźnie większa, a F5 mniejsza od trzech pierwszych figur, ale obie mają taki sam kształt, co figury F1, F2 i F3. Powiemy, że figury F4 i F5 są podobne do każdej z figur F1, F2 i F3. Figury podobne to takie, które mają taki sam kształt, ale nie muszą mieć tej samej wielkości. Podobieństwo figur F1 i F2 zapisujemy symbolicznie: F1 F2 9

4 PODOBIEŃSTWO Podobne są każde dwa: okręgi, kwadraty, odcinki, a także dwie półproste. Z figurami podobnymi mamy do czynienia częściej, niż się nam wydaje. Są nimi na przykład kserokopie oryginału wykonane z użyciem funkcji powiększania lub pomniejszania sfotografowany przedmiot na odbitkach fotograficznych w różnych formatach. Podobieństwo jest wykorzystywane przy wykonywaniu map. Rys. 52 Na poniższych rysunkach pokazano, jak można skonstruować wielokąt większy od danego wielokąta, zachowując jego kształt, czyli jak znaleźć wielokąt podobny do danego wielokąta ABCD. 10

5 Figury podobne Przyjrzyj się poniższemu rysunkowi. Ile razy trójkąt A B C jest większy od trójkąta ABC? C' O C A B B' A' Skala podobieństwa W wielokątach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w wielokątach podobnych nazywamy skalą podobieństwa (oznaczaną najczęściej literą k): k = A1B1 A 2B 2 = B1C1 B 2C 2 = A1C1 A 2C 2 C 2 C 1 A 1 B 1 A 2 B 2 Przykład 1 Dwa czworokąty są podobne. Pierwszy ma boki długości: 7 cm, 22 cm, 15 cm, 29 cm, a drugi: 1,4 cm, 4,4 cm, 3 cm, 5,8 cm. W jakiej skali jest podobny pierwszy czworokąt do drugiego? Rozwiązanie Podane czworokąty są podobne, więc odpowiadające sobie odcinki znajdziemy, układając je w określonym porządku, na przykład w kolejności rosnącej: I czworokąt: 7 cm, 15 cm, 22 cm, 29 cm, II czworokąt: 1,4 cm, 3 cm, 4,4 cm, 5,8 cm Obliczmy stosunek długości dwóch odpowiadających sobie boków: 7 cm 1,4 cm = 5 Odpowiedź: Pierwszy czworokąt jest podobny do drugiego w skali 5. 11

6 PODOBIEŃSTWO Podobieństwo prostokątów Wiemy, jak znaleźć skalę podobieństwa. A jak sprawdzić, czy dwa prostokąty są podobne? Weźmy na przykład prostokąt o wymiarach 1 cm i 3 cm i sprawdźmy, czy jest podobny do prostokąta o wymiarach 3 cm i 9 cm. O kształcie prostokąta decydują jego wymiary, czyli długość i szerokość. W obu tych prostokątach długość jest trzykrotnie większa od szerokości, więc figury te mają ten sam kształt, a tym samym są podobne. D 1 C 1 D 2 D 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A 2 3 cm 1 cm = 3 C 2 DwaA 1 prostokąty Bsą 1 podobne, jeśli stosunek długości do szerokości w jednym i drugim jest taki A 2 sam. O kształcie prostokąta decydują również kąty na przykład kąt między przekątną a dłuższym bokiem prostokąta. Z rysunku, na którym przedstawiono prostokąty ABCD i ABEF, można odczytać, że: )<ABD /= )<ABF, wobec czego AD AF /= AB AB Stąd wnioskujemy, że prostokąty ABCD i ABEF nie są podobne. 9 cm 3 cm = 3 F D A B 2 E C B Dwa prostokąty (niebędące kwadratami) są podobne, jeśli kąt ostry między przekątną a dłuższym bokiem w obu ma taką samą miarę. Przykład 2 Prostokąt A 1 B 1 C 1 D 1, w którym A 1 B 1 = 45 cm oraz A 1 D 1 = 60 cm, jest podobny do prostokąta A 2 B 2 C 2 D 2 w skali k = 3. Oblicz długość przekątnej prostokąta A 2 B 2 C 2 D 2. Rozwiązanie Możemy obliczyć wymiary prostokąta A 2 B 2 C 2 D 2, ponieważ wiemy, że skala podobieństwa danych prostokątów jest równa 3: A 1B 1 = 3 A 2B 2 45 = 3 A 2B 2 A 2 B 2 = 15 (cm) A 1D 1 = 3 A 2D 2 60 = 3 A 2D 2 A 2 D 2 = 20 (cm) 12

7 Figury podobne Długość przekątnej obliczymy z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta A 2 C 2 D 2 : (A 2 C 2 ) 2 = = 625 A 2 C 2 = 625 = 25 (cm) Odpowiedź: Przekątna prostokąta A 2 B 2 C 2 D 2 ma długość 25 cm. ZADANIA zć s. zz s. 1 Wśród prostokątów przedstawionych na rysunku wskaż pary prostokątów podobnych. 7,5 cm P 1 4,8 cm P 2 5 cm P 3 5 cm P 4 2,5 cm 14,4 cm 2 1 cm 3 8 cm 2 Wśród prostokątów przedstawionych na rysunku wskaż pary prostokątów podobnych. D C H G L K A 33 B 114 E F P M 46 O N U R 23 T S I 67 J 3 Prostokąt P 1 o wymiarach 24 cm i 32 cm jest podobny do prostokąta P 2 o wymiarach 3 cm i 4 cm. Oblicz skalę podobieństwa: a) prostokąta P 1 do prostokąta P 2, b) prostokąta P 2 do prostokąta P 1. 4 Prostokąt P 1 ma wymiary 12 cm i 15 cm. Oblicz wymiary prostokąta P 2 podobnego do prostokąta P 1 w podanej skali. a) k = 4 b) k = 1 c) k = 6,5 d) k =

8 PODOBIEŃSTWO 5 Oblicz skalę podobieństwa prostokąta P 2 do P 1, mając dane ich wymiary. a) P 1 4 cm i 7 cm, P 2 4 m i 7 m b) P 1 0,3 m i 0,9 m, P 2 3 km i 9 km c) P 1 0,01 mm i 0,001 mm, P 2 0,1 km i 0,01 km d) P 1 4,5 dm i 12 dm, P 2 0,45 mm i 1,2 mm 6 Narysuj dowolny czworokąt, a następnie czworokąt podobny do niego w podanej skali. a) k = 2 b) k = 4 c) k = W prostokącie P 1 przekątna ma długość 35 cm, a krótszy bok 21 cm. W prostokącie P 2 przekątna ma długość 55 cm, a dłuższy bok 44 cm. Czy te prostokąty są podobne? 8 Spośród podanych liczb wybierz dwie, które mogą być wymiarami prostokąta podobnego do prostokąta przedstawionego na rysunku. Ile jest takich par liczb? 36 cm, 48 cm, 60 cm, 80 cm, 100 cm 12 cm 20 cm 9 Prostokąt P 1 o wymiarach 32 cm i 48 cm jest podobny do prostokąta P 2, którego jeden z boków ma długość 16 cm. Oblicz: a) skalę podobieństwa prostokąta P 1 do prostokąta P 2, b) obwód prostokąta P 2. Rozważ dwie możliwości. 10 Na mapie sporządzonej w skali 1 : odległość między Plusowem a Minusowem jest równa 4 cm. Oblicz odległość między tymi miejscowościami na mapie w skali 1 : Narysuj prostokąt P 1 o obwodzie 24 cm i podobny do niego prostokąt P 2 o obwodzie 18 cm. 12 Uzasadnij, że α = β. 14

9 Figury podobne SPRAWDŹ, CZY UMIESZ 1 Wskaż wypowiedź prawdziwą. A. Każde dwa prostokąty są podobne. B. Każde dwie łamane są podobne. C. Każde dwa pierścienie kołowe są podobne. D. Każde dwa równoramienne trójkąty prostokątne są podobne. 2 Prostokąt P ma wymiary 8,4 cm i 3,6 cm. Wskaż wymiary prostokąta podobnego do prostokąta P. A. 28 cm i 12 cm B. 12 cm i 5 cm C. 48 cm i 16 cm D. 40 cm i 15 cm 3 Oblicz obwód i pole prostokąta podobnego w skali k = 5 do prostokąta przedstawionego na rysunku. 4 Prostokąt P 1, którego dłuższy bok ma długość 5,6 cm, jest podobny w skali k 1 = 4 do prostokąta P 2 o krótszym boku długości 1 cm. Prostokąt P 2 jest podobny do prostokąta P 3 w skali k 2 = 1 2. Oblicz obwód prostokąta P 3. 4 cm 2,4 cm 15

10 PODOBIEŃSTWO Podobieństwo trójkątów prostokątnych Wiemy już, że w wielokątach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Znamy również warunki, jakie powinny spełniać prostokąty, aby były podobne. Kryteria dotyczące podobieństwa prostokątów wykorzystamy do omówienia własności podobieństwa trójkątów prostokątnych. Na rysunku przedstawiono A1 D1 dwa prostokąty. Jeśli prostokąty A 1 B 1 C 1 D 1 i A 2 B 2 C 2 D 2 D2 A2 są podobne, to podobne są również trójkąty prostokątne A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2, powstałe B2 B1 C2 C1 przez poprowadzenie przekątnych tych prostokątów. Aby rozstrzygnąć, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy porównać stosunki długości dwóch boków: dwóch przyprostokątnych lub przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Jeśli dwa boki trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do odpowiadających im boków drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne

11 Podobieństwo trójkątów prostokątnych Przykład 1 Sprawdź, czy przedstawione na rysunku trójkąty prostokątne są podobne. R Q 2 P Q 1 R 2 1 P 2 2 Rozwiązanie Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość przeciwprostokątnej trójkąta P 2 Q 2 R 2 jest równa: (P 2 Q 2 ) 2 = ( )2 + ( 2 ) (P 2 Q 2 ) 2 = = 1 P 2 Q 2 = 1 Sprawdźmy, czy stosunki długości odpowiadających sobie boków krótszych przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnych tych trójkątów są równe: P 1Q 1 6 = = 6 P 2Q 2 1 Otrzymaliśmy, że P1Q1 P 2Q 2 = Q1R1 Q 2R 2 Q 1R 1 Q 2R 2 = = = = 3 6 = = 6, więc trójkąty P 1 Q 1 R 1 i P 2 Q 2 R 2 są podobne. O podobieństwie trójkątów prostokątnych możemy rozstrzygnąć również wtedy, gdy znamy miarę jednego z kątów ostrych tych trójkątów. A 2 C 1 B α 1 A 1 C 2 α B 2 Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeśli jeden z kątów ostrych w obu trójkątach ma tę samą miarę. 17

12 PODOBIEŃSTWO Przykład 2 W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości CD i AE. Uzasadnij, że trójkąty BCD i BAE są podobne. Rozwiązanie Trójkąty BCD i ABE są prostokątne. Kąt ostry przy wierzchołku B jest wspólny dla obu trójkątów, czyli: )<DBC = )<ABE A C D E B a stąd wynika, że trójkąty BCD i BAE są podobne. Przykład 3 W trójkącie prostokątnym ABC, w którym BC = a, CA = b, AB = c, poprowadzono wysokość CD. a) Uzasadnij, że CBD ABC oraz ACD ABC. b) Udowodnij twierdzenie Pitagorasa, wykorzystując podobieństwo trójkątów z podpunktu a). Rozwiązanie a) Trójkąty prostokątne CBD i ABC mają jeden wspólny kąt ostry przy wierzchołku B: )<CBD = )<CBA więc te trójkąty są podobne. Trójkąty prostokątne ACD i ABC mają również wspólny kąt ostry (przy wierzchołku A: )<CAD = )<CAB), więc także są podobne. b) Punkt D dzieli przeciwprostokątną o długości c na dwa odcinki oznaczmy je jako: BD = x, AD = y. Z proporcjonalności boków trójkątów podobnych: CBD ABC oraz ACD ABC wynika, że: BC BD = BA BC a x = c a a 2 = cx B C AC AD = AB AC b y = c b b 2 = cy Dodając stronami obie otrzymane równości, otrzymujemy: a 2 + b 2 = cx + cy = c(x + y) = c c = c 2 x D b c y A 18

13 Podobieństwo trójkątów prostokątnych Przykład 4 Latarnia uliczna rzuca cień o długości 8,1 m. Wojtek, który ma 1,75 m wzrostu, rzuca w tym samym momencie cień długości 3,15 m. Oblicz wysokość słupa. Rozwiązanie Tę sytuację można badać geometrycznie, rozpatrując dwa podobne trójkąty pokazane na poniższym rysunku Wysokość latarni oznaczmy jako h. Trójkąty ABC i DEF są podobne, gdyż oba są prostokątne, a kąt ostry α, pod którym promienie słoneczne padają na ziemię, jest w obu przypadkach taki sam. Wynika stąd, że AC DF = AB DE h 1,75 = 8,1 3,15 3,15h = 8,1 1,75 h = 14,175 = 4,5 (m) 3,15 Odpowiedź: Latarnia uliczna ma wysokość 4,5 m. ZADANIA zć s. zz s. 1 Wśród podanych trójkątów wskaż pary trójkątów podobnych. 54 T 3 26 T 5 T 2 T 1 36 T 4 T

14 PODOBIEŃSTWO 2 Wśród podanych trójkątów wskaż pary trójkątów podobnych. 3 Który z podanych trójkątów nie jest podobny do żadnego z pozostałych? 35 T 3 T 4 T 2 8,2 1,6 3,4 37 1, T 1 T Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i DEF są podobne. W jakiej skali trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF. 5 Uzasadnij, że trójkąty prostokątne o bokach długości 14 cm, 48 cm i 50 cm oraz 8 cm, 15 cm, 17 cm nie są podobne. 20

15 Podobieństwo trójkątów prostokątnych 6 Trójkąt prostokątny K L M o obwodzie 84 cm jest podobny do trójkąta KLM w skali k = 2,8. Oblicz obwód trójkąta KLM. 7 Trójkąt prostokątny T 1 ma przyprostokątną długości 7 cm i przeciwprostokątną długości 25 cm. Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k = 1,5. Ile razy pole trójkąta T 2 jest większe od pola trójkąta T 1? 8 W układzie współrzędnych narysowano trójkąt ABC, w którym A = ( 3, 1), B = ( 3, 5), C = ( 2, 5). Następnie, nie zmieniając położenia kąta prostego, wydłużono przyprostokątne. Otrzymano trójkąt DBE podobny do trójkąta ABC w skali k = 2. Podaj współrzędne wierzchołków trójkąta DBE. 9 Rysunek 1 przedstawia schemat alejek w miejskim parku. Wojtek stoi obok pomnika P i chce dojść do fontanny F. Może iść dróżką koło starego dębu D do krzaku azalii A i skręcić w lewo do fontanny F. Może także wybrać inną drogę: dojść do starego dębu D, potem iść w stronę kiosku K, a stamtąd do fontanny F. Która droga jest krótsza? O ile metrów? 10 Sprawdź, czy trójkąty ABD i ADC przedstawione na rysunku 2 są podobne. F D K 150 m 120 m 80 m 12 cm P 9 cm D A A B rys. 1 rys. 2 7 cm C 11 Wykorzystaj dane z rysunku obok i oblicz długość odcinka XY. 12 Czworokąt ABCD na rysunku obok jest wpisany w okrąg. Proste AB i CD są prostopadłe i przecinają się w punkcie E. Uzasadnij, że trójkąty EBC i EDA są podobne. C D E A B 21

16 PODOBIEŃSTWO 13 W pewnym prostokącie zwiększono o 1 długość i szerokość i otrzymano prostokąt podobny do wyjściowego prostokąta. Uzasadnij, że początkowy prostokąt był kwadratem. SPRAWDŹ, CZY UMIESZ 1 Wskaż długości boków trójkąta prostokątnego podobnego do trójkąta prostokątnego o bokach długości 40 cm, 42 cm, 58 cm. A. 14,5 cm, 10,5 cm, 10 cm C. 3 cm, 4 cm, 7 cm B. 5 cm, 12 cm, 13 cm D. 3,5 cm, 1,2 cm, 3,7 cm 2 Trójkąt A B C jest podobny do trójkąta ABC przedstawionego na rysunku. Najdłuższy bok trójkąta A B C ma 60 cm. Ile jest równy obwód trójkąta A B C? A. 56 cm C. 201,6 cm B. 134,4 cm D. 336 cm 7 A C B 3 W trójkącie prostokątnym T 1 suma pewnych dwóch kątów jest równa 123. W trójkącie prostokątnym T 2 suma pewnych dwóch kątów jest równa 147. Czy te trójkąty są podobne? Odpowiedź uzasadnij. 4 Od przedstawionego na rysunku kwadratu ABCD o boku długości 30 cm odcięto w narożach cztery trójkąty podobne do trójkąta o bokach 3 cm, 4 cm, 5 cm. Oblicz pole ośmiokąta EFGHIJKL. 22

17 Pola wielokątów podobnych Pola wielokątów podobnych 03 Przy omawianiu własności figur podobnych stwierdziliśmy, że podobne są między innymi każde dwa kwadraty. Jeśli są podobne na przykład w skali k = 3, to stosunek długości boku większego kwadratu do mniejszego jest równy 3. A jaka jest zależność między polami tych kwadratów? Przyjrzyjmy się rysunkowi obok. Wzdłuż jednego boku dużego kwadratu mieszczą się trzy małe kwadraty, tworząc jeden rząd. W całym dużym kwadracie są trzy takie rzędy, więc mieści się w nim: 3 3 = 32 = 9 małych kwadratów. Stąd wniosek, że pole większego kwadratu, o bokach trzy razy dłuższych niż boki małego kwadratu, jest dziewięć razy większe niż pole małego kwadratu. Podobna zależność zachodzi dla prostokątów podobnych. Przedstawiony na rysunku prostokąt II jest podobny do prostokąta I w skali k = 4. I b II 4b 4 23

18 PODOBIEŃSTWO Pola tych prostokątów to odpowiednio: P I = a b P II = 4a 4b = 4 2 ab = 4 2 P I a stosunek pól tych prostokątów jest równy: P II P I = 42 P I P I = 4 2 = 16 Wprowadźmy ogólniejszą zależność dla trójkątów prostokątnych T 1 i T 2 podobnych w skali k. h k. h k. Stosunek pola drugiego trójkąta do pola pierwszego trójkąta jest równy: P 2 P 1 = 1 ka kh 2 k = 2 ah 1 2 ah ah = k2 Jeśli dwa trójkąty prostokątne są podobne w skali k, to stosunek ich pól jest równy k 2. Prawdziwe jest również ogólniejsze stwierdzenie: Stosunek pól wielokątów podobnych w skali k jest równy k 2. O prawdziwości tego stwierdzenia łatwo się przekonać: wielokąty podobne można podzielić na odpowiadające trójkąty podobne, a dla trójkątów podobnych to stwierdzenie jest prawdziwe. Każdy trójkąt można bowiem podzielić na dwa trójkąty prostokątne. Przykład 1 Trójkąt prostokątny T 2 o polu 540 cm 2 jest podobny do trójkąta prostokątnego T 1 o polu 15 cm 2. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 2 do trójkąta T 1. Rozwiązanie Szukaną skalę podobieństwa oznaczmy jako k. Trójkąty są podobne, więc: k 2 = = 36 k = 6 (bo skala musi być liczbą dodatnią) Odpowiedź: Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k = 6. 24

19 Pola wielokątów podobnych Przykład 2 Trójkąt prostokątny T 1, którego jedna przyprostokątna ma długość 5 cm, jest podobny w skali k = 1 3 do trójkąta prostokątnego T 2 o polu 270 cm 2. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta T 1. Rozwiązanie Stosunek pól trójkątów T 1 i T 2 jest równy: P 1 P 2 = k 2 = ( 1 3 )2 = 1 9 Pole trójkąta T 1 jest więc dziewięć razy mniejsze niż pole trójkąta T 2, czyli jest równe: P 1 = 1 9 P 2 = = 30 (cm2 ) Oznaczmy boki trójkąta T 1 tak, jak na rysunku. Mamy wówczas: 1 2 a 5 = 30 5a = 60 a = 12 (cm) 5 cm T 1 c Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy: c 2 = = = 169 c = 13 (cm) Odpowiedź: Druga przyprostokątna trójkąta T 1 ma długość 12 cm, a przeciwprostokątna 13 cm. ZADANIA zć s. zz s. 1 Trójkąt prostokątny T 1 jest podobny do trójkąta T 2 w danej skali k. Oblicz stosunek pola trójkąta T 1 do pola trójkąta T 2. a) k = 2 b) k = 7 c) k = 2 d) k = 1,6 e) k = Pole kwadratu K 1 jest równe P 1, a pole kwadratu K 2 jest równe P 2. Oblicz skalę podobieństwa kwadratu K 1 do K 2. a) P 1 = 400 cm 2, P 2 = 100 cm 2 b) P 1 = 4 cm 2, P 2 = 256 cm 2 c) P 1 = 10 cm 2, P 2 = 3,6 cm 2 d) P 1 = 400 cm 2, P 2 = 200 cm 2 25

20 PODOBIEŃSTWO 3 Pole prostokąta ABCD jest równe P. Oblicz pole prostokąta A B C D, który jest podobny do prostokąta ABCD w podanej skali k. a) P = 12 cm 2, k = 4 b) P = 12 cm 2, k = 1 4 c) P = 38 cm 2, k = 2 d) P = 48 cm 2, k = 0,75 4 Pole małego kwadratu jest równe 4 cm 2, a dużego 4 km 2. Oblicz skalę podobieństwa dużego kwadratu do małego. 5 Na oklejenie takiego wiatraczka, jak na rysunku obok, Asia zużyła 32 cm 2 folii samoprzylepnej. Wojtuś ma wiatraczek o takim samym kształcie, ale o wymiarach trzykrotnie większych niż wiatraczek Asi, i także chce go okleić. Ile folii potrzebuje? 6 Do zasiania trawy na trawniku w kształcie prostokąta zużyto 2,4 kg nasion. Ile kilogramów nasion należałoby kupić, aby zasiać równie gęsto trawę na trawniku w kształcie prostokąta o wymiarach półtora raza większych? 7 Prostokąt o wymiarach 12 cm i 51 cm rozcięto na dwa prostokąty podobne, z których jeden ma pole 36 cm 2. Oblicz skalę podobieństwa tych prostokątów. 8 Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano figurę przedstawioną na rysunku. Oblicz stosunek pól trójkątów o podanych numerach. a) 2 i 1 b) 4 i 2 c) 5 i 3 d) 5 i Na planie sporządzonym w skali prostokątny parking ma pole 12,5 cm 2. Ile będzie równe pole tego parkingu na planie w skali: a) , b) ? 5 10 Prostokątne pole uprawne ma powierzchnię 2,4 ha. Łąka ma kształt prostokąta podobnego do niego w skali k = 0,4. Ile arów ma łąka? 11 Dwie ściany prostopadłościanu o wspólnej krawędzi długości 16 cm są prostokątami podobnymi w skali k = 1,6. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły. 26

21 Pola wielokątów podobnych SPRAWDŹ, CZY UMIESZ 1 Kwadrat ABCD ma bok długości 14 cm. Kwadrat EFGH jest położony tak, jak pokazano na rysunku. Ile jest równy stosunek pola kwadratu ABCD do pola kwadratu EFGH? A. 5 7 B C D. 1,96 2 Trójkąt prostokątny T 2 o polu 45 cm 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k = 1 3. Ile jest równe pole trójkąta T 1? A. 5 cm 2 B. 15 cm 2 C. 105 cm 2 D. 405 cm 2 3 Punkty X i Y dzielą przekątną BD prostokąta ABCD na trzy równe części. Odcinek EF poprowadzono tak, jak na rysunku. Ile razy pole trójkąta DXF jest większe od pola trójkąta EBX? 4 Wojtek wykonuje kartonowy model obozu harcerskiego w skali Jednym z elementów modelu jest namiot, którego przód i tył tworzą równoramienne trójkąty prostokątne każdy o rzeczywistym polu 0,98 m 2, a ściany boczne są prostokątami każdy o rzeczywistym polu 2,8 m 2. Ile kartonu potrzebuje Wojtek na model namiotu? D F C Y X A E B 27

22 PODOBIEŃSTWO Cechy podobieństwa trójkątów Umiemy rozpoznawać, kiedy dwa trójkąty prostokątne są podobne. A jakich informacji o bokach i kątach dowolnych trójkątów potrzebujemy, by mieć pewność, że te trójkąty są podobne? Mówią o tym cechy podobieństwa trójkątów. Dwa trójkąty są podobne, jeśli jest spełniony jeden z podanych warunków: dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta (cecha kąt-kąt-kąt, w skrócie kkk), długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości boków drugiego trójkąta (cecha bok-bok-bok, w skrócie bbb), długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków mają równe miary (cecha bok-kąt-bok, w skrócie bkb). Bardzo ważne i użyteczne jest następujące stwierdzenie: Jeśli dwa trójkąty są podobne, to: odpowiadające kąty mają te same miary, odpowiadające boki są proporcjonalne

23 Cechy podobieństwa trójkątów Przedstawmy cechy podobieństwa na rysunkach. cecha kkk A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2, jeśli: )<B 1 A 1 C 1 = )<B 2 A 2 C 2 oraz )<A 1 B 1 C 1 = )<A 2 B 2 C 2 cecha bbb A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2, jeśli: A 1 B 1 A 2 B 2 = B 1C 1 B 2 C 2 = C 1A 1 C 2 A 2 cecha bkb A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2, jeśli: A 1 B 1 A 2 B 2 = A 1C 1 A 2 C 2 oraz )<B 1 A 1 C 1 = )<B 2 A 2 C 2 Warto zapamiętać, że odpowiadające sobie boki w trójkątach podobnych leżą naprzeciwko kątów o równej mierze. Przykład 1 Punkty X, Y, Z są środkami boków trójkąta ABC. a) Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkątów AZY, ZBX, Y XC. Podaj skalę podobieństwa trójkąta ABC do każdego z tych trójkątów. b) Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta XY Z, i podaj skalę tego podobieństwa. 29

24 PODOBIEŃSTWO Rozwiązanie a) Mamy: )<BAC = )<ZAY oraz AB AZ = AC = 2, czyli ABC ~ AZY (cecha bkb). Podobnie uzasadniamy, że ABC ZBX i ABC Y XC. Skala podobieństwa to AY stosunek długości odpowiadających boków. Ponieważ punkty X, Y, Z dzielą każdy bok trójkąta ABC na pół, skala podobieństwa trójkąta ABC do każdego z tych trójkątów jest równa 2. b) Z punktu a) wnioskujemy, że BC Y Z = CA ZX = AB = 2. Na podstawie cechy bbb stwierdzamy więc, że trójkąty ABC i XY Z są podobne. Skala podobieństwa trójkąta ABC XY do trójkąta XY Z jest równa 2. Przykład 2 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB = 15 cm i CD = 2,5 cm. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. a) Uzasadnij, że trójkąty ABE i CDE są podobne. Podaj skalę podobieństwa. b) Jaką częścią przekątnej AC jest odcinek EC? Rozwiązanie a) Proste AB i CD są równoległe, więc przecinająca je prosta AC wyznacza kąty naprzemianległe: )<EAB = )<ECD. Prosta BD również wyznacza kąty naprzemianległe: )<EBA = )<EDC. Na podstawie cechy kkk możemy więc stwierdzić, że ABE CDE. Obliczamy skalę podobieństwa: k = AB 15 cm = DC 2,5 cm = 6 b) Skoro skala podobieństwa jest równa 6, to AE = 6 EC. Mamy więc: AC AE + EC = = 7 EC EC EC EC = 7 Odpowiedź: Odcinek EC stanowi 1 odcinka AC. 7 Przykład 3 Przyjrzyjmy się trapezowi z przykładu 2. Ile razy pole trójkąta ABE jest większe od pola trójkąta CDE? Rozwiązanie Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Ponieważ skala podobieństwa trójkąta ABE do trójkąta CDE jest równa 6, więc: P ABE P CDE = 6 2 = 36 Odpowiedź: Pole trójkąta ABE jest 36 razy większe od pola trójkąta CDE. 30

25 Cechy podobieństwa trójkątów ZADANIA zć s. zz s. 1 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta XY Z. Połącz w pary kąty równe. 2 Podane trójkąty są podobne. Podaj miary brakujących kątów. a) T 1 T 2 b) T 3 T 4 c) T 5 T 6 3 Trójkąt równoboczny podzielono na 16 mniejszych jednakowych trójkątów równobocznych. Następnie część powierzchni zamalowano na szaro, otrzymując dwa trójkąty. Sprawdź, czy te trójkąty są podobne. 4 Trójkąt T 1 jest podobny do trójkąta T 2 w skali k = 2,5. Obwód trójkąta T 1 jest równy 20 cm. Ile jest równy obwód trójkąta T 2? 31

26 PODOBIEŃSTWO 5 Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku wskaż pary trójkątów podobnych. 6 Podane trójkąty są podobne: T 1 T 2, T 3 T 4, T 5 T 6. Odczytaj z rysunku potrzebne dane i oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów. 7 Plan przedstawia cztery miejscowości: A, B, C i D, oraz łączące je prostoliniowe drogi. Drogi AC i AD wychodzą z miejscowości A pod tym samym kątem co drogi BC i BD wychodzące z miejscowości B. Korzystając z danych na rysunku, oblicz odległości między miejscowościami B i D oraz B i C. 32

27 Cechy podobieństwa trójkątów 8 W dwóch trójkątach jednakowymi literami oznaczono kąty o równych miarach. Oblicz stosunki BC EF i DE AC. 9 Dany jest trójkąt ABC taki, jak na rysunku. Punkt D dzieli bok AB tak, że trójkąt ACD jest podobny do trójkąta ABC. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta ACD do trójkąta ABC. 10 W układzie współrzędnych zaznaczono sześć punktów: A = ( 5, 3), B = ( 1, 1), C = ( 5, 5), D = (4, 3), E = (3, 1), F = (0, 3) i otrzymano dwa trójkąty podobne: ABC i DEF. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta większego do mniejszego. 11 Z dwóch wierzchołków kwadratu ABCD poprowadzono odcinki równej długości i otrzymano dwa trójkąty równoboczne ABE i FGE (patrz rysunek). Oblicz skalę podobieństwa trójkąta ABE do trójkąta FGE. 12 Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym AC = BC. Na bokach AB, BC i CA obrano, odpowiednio, punkty D, E, F tak, że czworokąt ADEF jest rombem. Uzasadnij podobieństwo trójkątów ABC, FEC i DBE. Podaj skalę podobieństwa trójkąta ABC do FEC, trójkąta ABC do DBE oraz trójkąta DBE do FEC. 33

28 PODOBIEŃSTWO SPRAWDŹ, CZY UMIESZ 1 Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne. Wskaż miarę kąta α. A. 135 B. 105 C. 30 D Dany jest trójkąt o bokach długości 6 cm, 8 cm, 8 cm. Podobny do niego trójkąt ma boki długości: A. 6 cm, 6 cm, 8 cm C. 4 cm, 3 cm, 3 cm B. 16 cm, 16 cm, 12 cm D. 12 cm, 12 cm, 16 cm 3 Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k 1 = 1,5, a trójkąt T 3 jest podobny do trójkąta T 2 w skali k 2 = 2. Oblicz długości boków trójkątów T 2 i T 3. 4 Rzeka Matemka płynie wzdłuż linii prostej. Przylegający do niej bulwar spacerowy o powierzchni 6 ha ma kształt trójkąta prostokątnego. Najkrótszy bok tego trójkąta biegnie wzdłuż rzeki i ma długość 300 m. Ile jest równy obwód tego bulwaru na planie sporządzonym w skali ? 34

29 ZADANIA UZUPEŁNIAJACE UZUPEŁNIAJĄCE 1 Figury podobne 1 Wśród dwunastu figur przedstawionych na rysunku jest pięć par figur podobnych. Wskaż te pary. F 1 F 2 F 3 F 5 F 4 F 11 F 6 F 12 F 8 F 7 F 9 F 10 2 Wymiary prostokąta P 2 są o 25% mniejsze od wymiarów prostokąta P 1. Oblicz skalę podobieństwa prostokąta P 1 do prostokąta P 2. 3 Jeden z wymiarów prostokąta przedstawionego na rysunku zmniejszono o 2 cm. O ile centymetrów należy zmniejszyć drugi wymiar, aby otrzymać prostokąt podobny do pierwotnego? Rozpatrz dwa przypadki: a) gdy zmniejszono dłuższy bok, b) gdy zmniejszono krótszy bok. 8 cm 5 cm 4 W prostokącie P 1 jeden z boków ma długość 16 cm, a przekątna 34 cm. W prostokącie P 2, podobnym do prostokąta P 1, jeden z boków ma długość 120 cm. Jaką długość może mieć przekątna prostokąta P 2? Rozpatrz wszystkie możliwości. 5 Wojtek wyciął z kartonu sto jednakowych kwadracików. Chce z nich ułożyć dwa prostokąty podobne. Podaj dwa możliwe sposoby wykonania tego zadania. Podobieństwo trójkątów prostokątnych 6 Trójkąt prostokątny T 1 o przyprostokątnych długości 5 cm i 12 cm jest podobny do trójkąta T 2 o przeciwprostokątnej długości 65 cm. O ile różnią się obwody tych trójkątów? 7 W trójkącie prostokątnym T 1 najmniejszy kąt ma miarę sześciokrotnie mniejszą od miary największego kąta. W trójkącie prostokątnym T 2 najmniejszy kąt jest o 60 mniejszy od średniego. Czy trójkąty T 1 i T 2 są podobne? 35

30 PODOBIEŃSTWO 8 Uzasadnij, że pokazane na rysunku 1 trójkąty BCD i BAE są podobne. 9 Uzasadnij, że pokazane na rysunku 2 trójkąty DBE i EAC są podobne. 40 D C E 20 E A 60 C B A D rys. 1 rys. 2 B β 10 Dla trójkątów prostokątnych przedstawionych na rysunku zachodzi związek α 1 + β 2 = 90 β 2. 1 a) Oblicz sumę α 2 + β 1. b) Czy z tych dwóch zależności wynika, że te trójkąty są podobne? α 1 α 2 Pola wielokątów podobnych 11 Po powiększeniu na kserokopiarce rysunek prostokąta zwiększył swój obwód 2,25 raza. Ile razy zwiększyło się pole tego prostokąta? 12 Suma pól dwóch prostokątów podobnych w skali k = 7 jest równa 300 cm 2. Oblicz różnicę pól tych prostokątów. 13 Prostokąty P 1 i P 2 są podobne. Jaka jest skala podobieństwa prostokąta P 1 do prostokąta P 2, jeśli ich pola są równe odpowiednio: a) 6 m 2 i 6 cm 2, b) 12 dm 2 i 12 mm 2, c) 8 km 2 i 8 cm 2, d) 9 cm 2 i 9 m Równoramienny trójkąt prostokątny T 1 ma pole 40 cm 2. Podobny do niego trójkąt T 2 ma najdłuższy bok o długości 10 cm. a) Oblicz pole trójkąta T 2. b) Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 1 do trójkąta T Na bokach trójkąta prostokątnego T zbudowano trójkąty T a, T b, T c podobne do trójkąta T patrz rysunek obok. Uzasadnij, że suma pól trójkątów T a i T b jest równa polu trójkąta T c. 36

31 ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE Cechy podobieństwa trójkątów 16 Czworokąt ABCD przecięto przekątną na dwa trójkąty podobne, z których jeden ma boki długości 4, 5, 6. Oblicz obwód tego czworokąta. a) b) c) 17 W trójkącie równoramiennym T 1 jeden z boków ma długość 8 cm, a inny 8 2 cm. Kąt między tymi bokami ma miarę 45. W trójkącie równoramiennym T 2 jeden z kątów ma miarę 90, a leżący naprzeciwko niego bok ma długość 10 cm. Czy trójkąty T 1 i T 2 są podobne? Odpowiedź uzasadnij. 18 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym CA = CB, poprowadzono dwusieczną kąta CAB, która przecięła bok BC w punkcie D (patrz rysunek obok). Trójkąty ABC i BDA są podobne. Podaj miary ich kątów. 19 Suma pól dwóch trójkątów podobnych jest równa 100 cm 2, a różnica tych pól jest równa 80 cm 2. Oblicz, w jakiej skali większy trójkąt jest podobny do mniejszego. 20 Na okręgu zaznaczono punkty A, B, C i D. Uzasadnij, że: a) EBC EAD, b) EAB EDC. 37

32 PRZED EGZAMINEM zz s. 1 Trójkąt prostokątny ABC podzielono na przystające trójkąty tak, jak na rysunku obok. Ile trójkątów podobnych do trójkąta ABC i od niego różnych można dostrzec na tym rysunku? A. 9 B. 10 C. 12 D Trójkąt prostokątny T 1 o polu 30 m 2 ma przeciwprostokątną długości 13 m i jest podobny do trójkąta T 2 o polu 7,5 m 2. Jaką długość ma przeciwprostokątna trójkąta T 2? A. 2,6 m B. 3,25 m C. 6,5 m D. 26 m 3 W przedstawionym na rysunku trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD. Jaka jest skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta BCD? A. 5 3 B. 3 5 C. 5 4 D. 4 5 A C B 4 Prostokąt A B C D o obwodzie 48 cm jest podobny w skali k = 3 do prostokąta ABCD, którego bok AB ma długość 5 cm. Jaką długość ma bok BC prostokąta ABCD? A. 3 cm B. 9 cm C. 27 cm D. 45 cm 5 Uzasadnij, że prostokąty na rysunku są podobne i oblicz skalę podobieństwa większego prostokąta do mniejszego. 6 Na prostokątnej kopercie o wymiarach 16 cm i 11,2 cm naklejono prostokątny znaczek o wymiarach 40 mm i 28 mm. a) Uzasadnij, że prostokąty, których kształt ma koperta i znaczek, są podobne. b) Oblicz skalę podobieństwa większego prostokąta do mniejszego. c) Oblicz stosunek pól większego prostokąta do mniejszego. 7 Od kwadratowej kartki o boku długości 24 cm odcięto w jednym narożu trójkąt o polu 3,5 cm 2, a w drugim trójkąt podobny do niego w skali k = 2. Sposób cięcia pokazano na rysunku. Oblicz pole otrzymanej figury. 8 Dwie jednakowe kwadratowe kartki położono tak, jak na rysunku obok. Uzasadnij, że: a) trójkąty T 1, T 2,T 3,T 4,T 5,T 6,T 7,T 8 są podobne, b) suma pól trójkątów T 1, T 3,T 5,T 7 jest równa sumie pól trójkątów T 2,T 4,T 6,T 8. T 7 T 6 T 5 T 4 T 3 T 8 T 1 T 2 38