ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

Transkrypt

1 ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1

2 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą (rozprawa doktorska lub magisterska lub praca badawcza prowadzona w Instytucie). Rozwiązać to zadanie narzędziami poznanymi na wykładzie. Prace zaliczeniowe tego rodzaju oceniam na bardzo dobrze. 2

3 Wariant II. ZADANIA Z PODRĘCZNIKÓW Rozwiązać trzy dowolnie wybrane zadania z podręczników akademickich dla politechnik. Zaliczenie według tego wariantu zaliczam na dostatecznie. PODRĘCZNIKI AKADEMICKIE. W różnych podręcznikach stosowane są różne oznaczenia! Przykładowo podaję oznaczenia dla wariancji. Niżej podaję trochę zadań z wybranych podręczników. Zakres zadań jest nieco szerszy od zakresu wykładu. [W] Ten wykład Ozn: S 2 = 1 n i=1 (X i X) 2 [JB] Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. PWN 1996 Ozn: S 2 = 1 n i=1 (X i X) 2, S0 2 = 1 n 1 i=1 (X i X) 2 [BŁ] Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka: Wybrane metody wnioskowania statystycznego. Wyd.Polit.Pozn., Poznań 2006 Ozn: S 2 = 1 n i=1 (X i X) 2, S 2 = 1 n 1 i=1 (X i X) 2, S2 2 = 1 [GK] Lesław Gajek, Marek Kałuszka: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. WNT 1996 Ozn: Ŝ2 n = 1 n i=1 (X i θ) 2, S 2 n = 1 n i=1 (X i X n ) 2 [WK] Witold Klonecki: Statystyka dla inżynierów. PWN 1999 Ozn: S 2 = 1 n 1 i=1 (X i X) 2, S0 2 = 1 [KM] Jacek Koronacki i Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT 2001 Ozn: s 2 = 1 n 1 i=1 (X i X) 2, [AP] Agnieszka Plucińska i Edmund Pluciński: Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne. WNT 2000 Ozn. Sn 2 = 1 n i=1 (X i X) 2, Snieob. 2 = 1 n 1 i=1 (X i X) 2, S0 2 = 1 [MS] Mariusz Startek: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2005 Ozn: S 2 = 1 n i=1 (X i ˆX) 2, S 2 = 1 n 1 i=1 (X i ˆX) 2, Ŝ2 = 1 3

4 1. [BŁ s. 64]. Niech X będzie twardością stali ulepszonej przez obróbkę cieplną. Z założenia niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, 15). Dziesięć niezależnych pomiarów twardości aparatem Vickersa dalo wynik x = 600 kg/mm 2. Zbudować 90-procentowy przedział ufności 2. [BŁ s. 71]. Wyznaczyć na poziomie ufności γ = 0.9 przedział ufności dla wariancji pomiarów wysokości wewnętrznych panewek, jeśli wiadomo, że rozkład wysokości jest rozkładem normalnym i wyniki 20 pomiarów dały x = 32, 298mm oraz s 2 = 0.133mm 2 3. [BŁ s. 74]. Amplituda chwilowa napięcia na wyjściu generatora szumu ma rozkład normalny. Przeprowadzono n = 60 niezależnych pomiarów amplitudy i otrzymano x = 105V, s = 12V. Przyjmując poziom ufności γ = 0.98 podać realizację przedziału ufności dla odchylenia standardowego amplitudy chwilowej napięcia na wyjściu generatora 4. [BŁ s. 124]. Porównujemy precyzję cięcia nowej maszyny z dotychczas używaną. Wariancja odchyleń dla dotychczas używanej maszyny wynosi Losowa próba 10 wykrojów wykonanych nową maszyną dała s 2 = Na poziomie istotności α = 0.01 weryfikujemy hipotezę o jednakowej precyzji obu maszyn. Stawiamy hipotezy: H 0 : σ 2 = 0.03, H 1 : σ 2 > [WK s. 186] Przykład Dokonano n = 10 pomiarów wytrzymałości (w 10 5 N/m 2 ) pewnego materiału budowlanego i obliczono średnią x = 20.2 oraz wariancję s 2 = Przyjmijmy, że zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbę prostą z rozkładu normalnego o nieznanej wartości średniej µ oraz nieznanej wariancji σ 2. Podać 90-procentowy przedział ufności dla średniej µ. 6. [GK s. 84] Przykład Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowanych i otrzymano następujące wyniki: 383, 284,339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346 [P A]. Przy założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową N(µ, σ) o nieznanych µ i σ, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% (tzn. przyjąć α = 0.05) realizację przedziału ufności dla µ. 7. [GK s. 87] Przykład Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym wykonywanych nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu, służącego do pomiaru rezystancji, wykonano nim n = 12 pomiarów rezystancji tego samego opornika. Otrzymano następujące wyniki (mω): 275, 273, 279, 267, 276, 272, 271, 269, 270, 265, 268, 277. Przy założeniu, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny o nieznanych µ oraz σ (µ jest prawdziwą rezystancją opornika, natomiast σ 2 jest wariancją błędu pomiaru), należy wyznaczyć 90% realizację przedziału ufności dla σ. 8. [GK s. 97] Przykład 4.20 Przyjmując, że wynik pomiaru nieznanej rezystancji µ opornika jest zmienną losową o rozkładzie N(µ, σ), należy przetestować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę H : µ = 500mΩ przeciw alternatywie K : µ 500mΩ. Wykonano n = 10 pomiarów przyrządem pomiarowym, którego odchylenie standardowe σ błędu pomiaru jest znane i wynosi 4mΩ. Otrzymano następujące wyniki: 506, 502, 498, 501, 503, 504, 498, 503, 501, 504[mΩ]. 4

5 9. [MS s. 123] Przykład Zważono 20 kostek masła i otrzymano następujące wyniki: x = 198g, s 2 = 11g 2. Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że średnia waga kostki masła wynosi µ 0 = 200g wobec hipotezy alternatywnej: (a)µ 0 200g, (b) µ 0 < 200g. 10. [MS s. 144] Zadanie 24. Producent twierdzi, że opony wytrzymują średnio km. W celu zweryfikowania jego zapewnień zbadano losową próbę 10 opon i stwierdzono, że x = km, s 2 = km 2. Zakładając, że wytrzymałość opony ma rozkład normalny, zweryfikować hipotezę H 0 : µ = km, że średni przebieg opony wynosi km wobec hipotezy alternatywnej: (a) H 1 : µ km, (b) H 1 : µ < km. Przyjąć poziom istotności α = 0, [MS s. 145] Zadanie 26. Instrukcja podaje, że średnie zużycie benzyny przez pewien samochód wynosi 6, 4 l/100 km. Przejechano tym samochodem km i, mierząc zużycie benzyny na każdym kolejnym odcinku 100 km, otrzymano wyniki x = 6, 7 l, s 2 = 2, 5 l 2. Zweryfikować hipotezę, że średnie zużycie benzyny przez ten samochód wynosi 6, 4 l/100 km na poziomie istotności α = 0, 05 wobec hipotezy alternatywnej: (a) H 1 : µ 6, 4 l/100 km, (b) H 1 > 6, 4 l/100 km. Zakładamy, że zużycie benzyny ma rozkład normalny. 12. [BŁ s. 115] Przykład 3.6. Aby określić na poziomie istotności α = 0.05, czy zaobserwowane różnice między wartościami oczekiwanymi są istotne, czy też mają charakter przypadkowy, wykonano n 1 = 10 pomiarów wytrzymałości na rozciąganie stali odtlenionej jednym sposoben i n 2 = 20 pomiarów tej stali, którą odtleniono drugim sposobem. Dla próby o liczności n 1 otrzymano (zmieniam oznaczenia!) średnią 580MP a przy wariancji pomiaru 900(MP a) 2 i dla próby o liczności n 2 średnią 610MP a przy wariancji 1000(MP a) 2 Czy sposób odtleniania stali ma wpływ na jej wytrzymałość na rozciąganie? 13. [AP s. 292] W celu sprawdzenia dokładności pewnego przyrządu pomiarowego wykonano 10 pomiarów tej samej wielkości fizycznej i uzyskano następujące wyniki w centymetrach: 9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.93, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny, zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów σ 2 = , przyjmując poziom istotności α = Wyznaczyć poziom krytyczny tego wyniku. 14. [AP s. 294] Przy badaniu pojazdu w warunkach losowych przyjmuje się, że wszelkiego rodzaju sygnały wyjściowe (np. przyśpieszenia nadwozia, przemieszczenia elementów sprężystych itp.) mają rozkłady normalne. Dokonano pomiaru przyśpieszeń nadwozia na dwóch drogach asfaltowych A i B I klasy, będących w jednakowym stanie. Otrzymano następujące wyniki pomiarów: A : 4.2, 4.3, 3.9, 4.5, 3.8, 3.6, 3.9, 4.3, 4.5, 3.6, 4.2 B : 4.8, 5.2, 4.2, 5.1, 4.7, 4.3, 4.9, 5.3, 5.6, 5.2, 4.8 5

6 Przyjmując poziom istotności α = 0.02, zweryfikować hipotezę H 0 : σ 2 A = σ2 B. 15. [MS s. 147] Badając dwa wskaźniki giełdowe X oraz Y w ciągu kolejnych 12 tygodni, otrzymano wyniki Tydzień X Y Obliczyć współczynnik korelacji i wyznaczyć obie regresje. 16. [BŁ s. 182]. Przeprowadzono 10 pomiarów wielkości zdarcia rylca (Y), określonej jego grubością (w milimetrach), w zależności od czasu pracy (x) mierzonego w godzinach. Zbadać zależność. Tydzień X Y Wykonuje się niezależne doświadczenia, z prawdopodobieństwem sukcesu θ w każdym doświadczeniu, dopóty, dopóki nie zaobserwuje się k sukcesów (k 1 jest ustaloną liczbą). Wyznaczyć estymator największej wiarogodności dla θ. 18. Dystrybuanta F rozkładu obserwacji jest ciągła i ściśle rosnąca. Nieparametryczny przedział ufności dla mediany tego rozkładu ma postać: (X k:n, X n k+1:n ) Nie dla każdego poziomu ufności γ (0, 1) i nie dla każdej liczności próby n takie przedziały ufności istnieją! Kiedy nie istnieją? 6

7 Wariant III. ZADANIE SPECJALNE To zadanie składa się z pięciu części; całość traktuję jako jedno ZADANIE SPECJALNE. Jest to zadanie na oceną dobrą lub bardzo dobrą. 1. Wybrać losowo liczbę naturalną n z przedziału [3, 10]. 2. Wylosować próbę n-elementową z rozkładu normalnego N(0, 1). 3. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę H : σ = 1, wobec hipotezy alternatywnej a) K a : σ > 1 oraz b) K b : σ Jak duża powinna być próba, żeby prawdopodobieństwo odrzucenia H, gdy σ = 2, było równe co najmniej β = 0.9? 5. Na podstawie wylosowanej próby obliczyć realizację najkrótszego przedziału ufności dla odchylenia standardowego σ na poziomie ufności γ =