Przegląd funkcji matematycznych DAWID SZCZYPIŃSKI, BARTŁOMIEJ LEWANDOWSKI, SYLWIA MAŚLANKOWSKA, DAMIAN BRZUZY, PAWEŁ TRACZYK
|
|
- Aleksandra Witkowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przegląd funkcji matematycznych DAWID SZCZYPIŃSKI, BARTŁOMIEJ LEWANDOWSKI, SYLWIA MAŚLANKOWSKA, DAMIAN BRZUZY, PAWEŁ TRACZYK
2 Funkcje elementarne - Działania x + y Dodawanie x - y Odejmowanie x * y Mnożenie x.* y Mnożenie elementów macierzy x / y Prawostronne dzielenie x./ y Prawostronne dzielenie elementów macierzy x \ y Lewostronny dzielenie x.\ y Lewostronne dzielenie elementów macierzy
3 Funkcje elementarne - Działania x ^ y Potęgowanie x.^ y Potęgowanie elementów macierzy -x Znak +x Znak + ++x / --x Inkrement (dekrement), zwraca przyjętą wartość x++ / x-- Inkrement (dekrement), zwraca starą wartość
4 Funkcje elementarne Porównania i operatory logiczne x < y x <= y x == y true, jeśli x mniejsze od y true, jeśli x mniejsze lub równe y true, jeśli x równe y x >=y x > y x!= y true, jeśli x większe lub równe y true, jeśli x większe od y true, jeśli x różne od y
5 Funkcje elementarne Porównania i operatory logiczne x&&y true, jeśli jednocześnie x i y są true (AND wysoki priorytet) x y true, jeśli przynajmniej jedno: x lub y jest true (OR wysoki priorytet) x & y true, jeśli jednocześnie x i y są true (skrócone logiczne AND ) x y true, jeśli przynajmniej jedno: x lub y jest true (skrócone logiczne OR )! x true, jeśli x jest false (logiczne NOT )
6 Funkcje elementarne Logarytmy, potęgi i pierwiastki Znak % (procent) rozpoczyna krótki komentarz, czyli wszystkie znaki napisane po nim, aż do końca linii, są pomijane przez interpreter. Aby obliczyć procent liczby należy pomnożyć liczbę przez x*(1/100) abs(x) wartość bezwględna log(x) logarytm naturalny log10(x) logarytm dziesiętny log2(x) logarytm z podstawą 2 logazb=log(b)/log(a) logarytm z dowolną wybraną podstawą (twierdzenia matematyczne)
7 Funkcje elementarne Logarytmy, potęgi i pierwiastki exp(x) funkcja wykładnicza(eksponencjalna) e X sqrt(x) pierwiastek 2 stopnia cbrt(x) pierwiastek 3 stopnia power(a,1/b) lub a^(1/b) pierwiastek b stopnia z liczby a (twierdzenia matematyczne) nthroot (x, n) pierwiastek n stopnia z liczby x power(a,b) lub a^b potęga b stopnia z liczby a
8 Operacje na liczbach i zbiorach ceil(x) zaokrąglanie x w górę fix(x) zwraca część całkowitą liczby x floor(x) zaokrąglanie x w dół round(x) zaokrąglanie (ceil+floor) x max(x,y) wartość maksymalna z x i y min(x,y) wartość minimalna z x i y
9 Operacje na liczbach i zbiorach primes(n) wyświetlanie kolejnych liczb pierwszych do podanego n list_primes(n) wyświetla n kolejnych liczb pierwszych sign (x) mod(x,y) znak liczby, funkcja signum reszta z dzielenia
10 Stałe liczbowe pi e i lub j inf ans eps realmax realmin π iloraz obwodu koła do jego średnicy podstawa logarytmów naturalnych jednostka urojona(dlatego nie powinniśmy ich używać w pętlach) nieskończoność zmienna, której domyślnie przypisywany jest wynik wyrażenia z linii komend epsilon maszynowy największa reprezentowalna liczba zmiennoprzecinkowa najmniejsza reprezentowalna liczba zmiennoprzecinkowa
11 Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne w Octave są obsługiwane w radianach, aby odzyskać wyniki dla stopni należy użyć np. sin(x*(pi/180)) sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sinus cosinus tanges cotanges asin(x) arcsinus acos(x) arccosinus atan(x) arctanges acot(x) arccotanges Konwersja z stopni na radiany: function wynik=d2r(a) wynik=a*(pi/180) Konwersja z radianów na stopnie: function wynik=r2d(a) wynik=a*(180/pi)
12 Funkcja liniowa Wzór: f(x)=ax+b function wynik=fl(x) wynik=3*x+2 function wynik=fl2(a, b, x) disp( ' f(x)=') wynik = a*x+b Wykres: function WFL(a, b, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fl2(a, b, x) plot(x,y) grid on Miejsce zerowe: x 0 = b/a function wynik=mzfl(a, b) disp('miejsce zerowe:') if (a!=0) wynik = -b/a elseif(b!=0) disp('brak miejsca zerowego') else disp('nieskończenie wiele miejsc') endif
13 Funkcja kwadratowa Wzór: f(x)= ax 2 +bx+c function wynik=fk(x) wynik=3*(x^2)+2*x+4 function wynik=fk2(a, b, c, x) wynik=a*(x.^2)+b*x+c Wykres: function WFK(a, b, c, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fk2(a, b, c, x) plot(x,y) Miejsce zerowe: x 0 = b/a function wynik=mz(a,b,c) delta=(b*b)-(4*a*c) if (delta<0) disp('brak miejsc zerowych'); elseif (delta==0) x1=((-b)/(2*a)) elseif (delta>0) x=((-b)-sqrt(delta))/(2*a) xx=((-b)+sqrt(delta))/(2*a) endif
14 Wielomiany c=[2, 3, -5]; polyout(c, x') definicja wielomianu roots(c) wyznacza wszystkie pierwiastki wielomianu(miejsca zerowe) conv(a,c) współczynniki iloczynu wielomianów a i c deconv(a,c) dzielenie wielomianów a/c residue(a, c) wyznacza rozkład funkcji wymiernej a/c na ułamki proste polyint(c) całka nieoznaczona z wielomianu polyval(c,x) wyznacza wartość wielomianu w x
15 Funkcja wymierna Wzór: f(x)= w(x)/p(x) a=[2, 3, -5] polyout(a, x') c=[1, 4, -6] polyout(c, x') function wynik=fwm(a, c, x) disp( ' f(x)=') wynik=polyval(c,x)/polyval(a,x) Wykres: function WFK(a, c, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fwm(a, c, x) plot(x,y)
16 Funkcja wykładnicza Wzór: f(x)= a x function wynik=fw(x) wynik=power(3,x) function wynik=fw2(a, x) disp( ' f(x)=') wynik=power(a,x) Wykres: function WFW(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fw2(a, x) plot(x,y)
17 Funkcja potęgowa Wzór: f(x)= x a function wynik=fp(x) wynik=power(x,3) function wynik=fp2(a, x) wynik=power(x,a) Wykres: function WFP(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fp2(a, x) plot(x,y)
18 Funkcja logarytmiczna Wzór: f(x)= log a x function wynik=flog(x) wynik= log(3)/log(x) function wynik=flog2(a, x) wynik= log(a)./log(x) Wzór: f(x)= log a (x-p)+q function wynik=flog3(a, p, q, x) wynik= log(a)/(log(x-p)+q) Wykres: function WFL(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=flog2(a, x) plot(x,y)
19 Użyteczne funkcje function czy_pierwsza(k) dzielnik=0; for p=2:1:k-1 if (mod(k,p)==0) dzielnik++; endif endfor if (dzielnik==0) disp('liczba pierwsza') else disp('liczba zlozona') endif function doskonala(k) suma=0; for l=1:1:k-1 if(mod(k,l)==0) suma=suma+l; endif endfor if(suma==k) disp('doskonala') else disp('nie') endif factorial(x) silnia hypot(x,y) pitagoras factor(x) rozkład na czynnik pierwsze gcd(x,y) największy wspólny dzielnik NWD lcm(x,y) największa wspólna wielokrotność NWW
20 Ciągi liczbowe N = ; sum (1./(1:N)) suma ciągu wzoru: σn k=0 1/k a = [1,2,3,4,5]; cumsum(a) diff(a) sumy częściowe ciągu ciąg różnicowy f = (@(x) ( (x)^2+1 )); sum(arrayfun(f,[0:5])) suma ciągu z wzory funkcji w przedziale 0..5
21 Granice funkcji Granica dąży do 0 + function wynik = GDP(funkcja) n = 0:7; x = 10.^(-n); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do wartość + function wynik = GDWD(funkcja,m) m = 0; n = 0:7; x = m+(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do 0 - function wynik = GDM(funkcja) n = 0:7; x = 0-(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do wartość - function wynik = GDWM(funkcja,m) m = 0; n = 0:7; x = m-(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8)
22 Pochodne Pochodna z wielomianu: c=[1,0,1]; d= polyder(c) polyout(d, 'x') function wynik=p(a) d = polyder(a) wynik=polyout(d, 'x') Funkcja do obliczania ilorazu różnicowego f(x): function wynik=obl(xod, xdo, xskok, f) tabx = [xod:xskok:xdo]; taby = f(tabx); wynik = diff(tabx)/diff(taby) c = [1, 0, 1]; P(c)
23 Całki Całka nieoznaczona z wielomianu: c=[1,0,1]; integral=polyint(c); calka=polyout(integral, 'x') Całka oznaczona z wielomianu: c=[1,0,1]; integral=polyint(c); area=polyval(integral,3)-polyval(integral,0) Całka oznaczona z funkcji: quad (@(x) ( (x)^2+1 ), 0, 3) obliczanie oparte na kwadratury Gaussa. quadv (@(x) ( (x)^2+1 ), 0, 3)obliczanie za pomocą adaptacyjnego wektorowy Metoda Simpsona
24 Prawdopodobieństwo, kombinatoryka, statystyka bincoeff(n, k) dwumian Newtona mean (x) średnia median (x) mediana std (x) odchylenie standardowe var (x) wariancja
25 Losowanie dużego lotka i Euklides function lotek(k) disp('prawdopodobienstwo trafienia ' ) disp (k) disp( ' w lotku wynoki 1 do ') bincoeff(49,k) function euklides(a,b) while (b!=0) c=mod(a,b); a=b; b=c; endwhile disp('nwd liczb to ') disp(a)
26 Macierze x - transpozycja macierzy size(macierz np. A) - rozmiar macierzy NxM eye(n) macierz jednostkowa NxN ones(n,m) macierz jedynkowa NxM zeros(n,m) macierz zer NxM rand(n,m) -macierz NxM wypełniona losowymi liczbami z przedziału 0 do 1 A( wiersz, od kolumny : do kolumny) - np. A(1: 2, 3) = 3, 6 pierwszy element z drugiego i trzeciego wiersza diag(macierz) - główna przekątna macierzy mnożenie - macierzowe A*B, tablicowe A.*B potęgowanie- A.^k (tablicowe), A^k(macierzowe)
27 Macierze rank(a) - funkcja obliczająca rząd macierzy A det(a) - funkcja obliczająca wyznacznik macierzy kwadratowej inv(a) - funkcja obliczająca macierz odwrotną do macierzy ( inv(a) = A^(-1)) x = diag(a) - funkcja tworząca wektor x z elementów znajdujących się na głównej przekątnej macierzy Zadanie: Rozwiązywanie układów równań liniowych A=[2-1 1;1-1 2;5-2 2] B=[7 ;6;15] x = inv(a)*b wynik: x = 1-5 0
28 Wektory dot(a,b) iloczyn skalarny wektorów a i b cross(a,b) oblicza iloczyn wektorowy poprzeczny dwóch 3-wymiarowych wektorów a i b max(x) funkcja zwracająca największy element wektora min(x) funkcja zwracająca najmniejszy element wektora sum(x) funkcja zwracająca sumę elementów prod(x) iloczyn wektora mean(x) średnia arytmetyczna sort(x) funkcja sortująca elementy wektora w kolejności rosnącej diff(x) funkcja obliczająca różnice pomiędzy sąsiednimi elementami
29 Inne \\ Znak backslash \" Cudzysłów podwójny \ Cudzysłów pojedynczy \n Znak nowej linii, ASCII code 10 \t Znak tabulacji, ASCII code 9
30 Dokumentacja
GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej.
1 GNU Octave GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej. Octave zapewnia: sporą bibliotęke użytecznych funkcji i algorytmów; możliwośc tworzenia przeróżnych wykresów; możliwość
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzy
Algebra macierzy Definicja macierzy Macierze Macierze Macierze Działania na macierzach Działania na macierzach A + B = B + A (prawo przemienności dodawania) (A + B) + C = A + (B + C) (prawo łączności dodawania)
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoMATrix LABoratory. A C21 delta tvx444 omega_zero. hxx J23 aaa g4534 Fx_38
MATLAB wprowadzenie MATrix LABoratory MATLAB operuje tylko na jednym typie zmiennych na macierzach. Liczby (skalary) są szczególnymi przypadkami macierzy o wymiarze 1 1, (zawierającymi jeden wiersz i jedną
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych
Ćwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych Wszystko proszę zapisywać komendą diary do pliku o nazwie: imie_ nazwisko 1. Definiowanie macierzy i odwoływanie się do elementów:
Bardziej szczegółowoZamiana liczby dziesiętnej na ułamek Ułamek zwykły i liczba dziesiętna Działania na liczbach dziesiętnych...
SPIS TREŚCI 1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych... 15 Prawa działań... 18 2. Poznajemy zbiory liczbowe... 19 3. Cyfry arabskie i rzymskie... 21 4. Liczby pierwsze i złożone... 22 5. Liczba przeciwna
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje na macierzach
Podstawowe operacje na macierzach w pakiecie GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z tworzeniem macierzy i wektorów w programie GNU octave.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowo83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3
Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2
Bardziej szczegółowoL1 - WPROWADZENIE DO MATLABA
L1 - WPROWADZENIE DO MATLABA 1. Krótkie wprowadzenie do Matlaba (wektory, macierze, help) 2. Zapisywanie danych save file a b c d save file a b c d ascii 3. Generacja wektorów i macierzy wpisywanie ręczne
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoInstalacja Pakietu R
Instalacja Pakietu R www.r-project.org wybór źródła wybór systemu operacyjnego: Download R for Windows opcja: install R for the first time opcja: Download R 3.3.3 for Windows uruchomienie R-3.3.3-win MAGDA
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
Bardziej szczegółowoMINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Pakietu R dla kierunku Zootechnika. Dr Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Wprowadzenie do Pakietu R dla kierunku Zootechnika Dr Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instalacja Pakietu R www.r-project.org wybór źródła wybór systemu operacyjnego:
Bardziej szczegółowoRozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowoLiczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P
MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ
PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność
Bardziej szczegółowoProjekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Scilab: macierze
Wprowadzenie do Scilab: macierze Narzędzia Informatyki Magdalena Deckert Izabela Szczęch Barbara Wołyńska Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Agenda Definiowanie macierzy Funkcje
Bardziej szczegółowoRozkład materiału KLASA I
I. Liczby (31 godz.) Rozkład materiału Wg podręczników serii Prosto do matury. Zakres podstawowy i rozszerzony (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) KLASA I 1. Zapis dziesiętny liczby
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoMatematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy
Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć
Bardziej szczegółowoRAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1
RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1 Zakres podstawowy Kl. 1-60 h ( 30 h w semestrze) Kl. 2-60 h (30 h w semestrze) Kl. 3-90 h (45 h w semestrze)
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY INŻYNIERII SYSTEMÓW TECHNICZNYCH
PODSTAWY INŻYNIERII SYSTEMÓW TECHNICZNYCH Charakterystyka programu MATLAB Dzadz Łukasz pok. 114 lukasz.dzadz@uwm.edu.pl Tel. 523-49-40 Katedra Inżynierii Systemów WNT UWM w Olsztynie TEMATYKA ĆWICZEŃ Charakterystyka
Bardziej szczegółowoPakiety Matematyczne - R Zestaw 1.
Pakiety Matematyczne - R Zestaw 1. Zadania z kasynem pochodzą ze strony datacamp.com Instalacja pakietu R Strona główna projektu: http://www.r-project.org/ Instalacja: http://r.meteo.uni.wroc.pl/ (jedno
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoFunkcje matematyczne w C. Programowanie w C Marek Pudełko
Funkcje matematyczne w C Programowanie w C Marek Pudełko Używanie funkcji matematycznych W standardowym ANSI C jest możliwe skorzystanie z 22 funkcji matematycznych. By to zrobić, do programu należy włączyć
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoZmiany dotyczące egzaminu maturalnego 2015 z matematyki
Zmiany dotyczące egzaminu maturalnego 2015 z matematyki Egzamin maturalny od 2015 r. wieńczy proces wchodzenia w życie podstawy programowej kształcenia ogólnego, którą zaczęto stosować w klasach I liceum
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoLiczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste
CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoProgramowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe
Informatyka II MPZI2 ćw.2 Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Zastosowania obliczeń numerycznych Wyrażenia arytmetyczne służą do zapisu wykonywania operacji obliczeniowych w trakcie przebiegu
Bardziej szczegółowoSpis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania drugiego 19
Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder [wyd.2]. Warszawa, 2010 Spis treści O autorach 13 Wstęp 15 Przedmowa do
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas
WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 2
Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoSpis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19
Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder. wyd. 6 uzup. i popr., uwzględniające podstawowy program matematyki również
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do środowiska
Wprowadzenie do środowiska www.mathworks.com Piotr Wróbel piotr.wrobel@igf.fuw.edu.pl Pok. B 4.22 Metody numeryczne w optyce 2017 Czym jest Matlab Matlab (matrix laboratory) środowisko obliczeniowe oraz
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ Zbiór zadań z programowania w Octave WIL BO Październik 2002
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Inżynierii Lądowej ul. Warszawska 24, PL-31-155 Kraków Instytut Metod Komputerowych w Inżynierii Lądowej(L-5) ZBIÓR ZADAŃ Zbiór zadań z programowania
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowo