Przegląd funkcji matematycznych DAWID SZCZYPIŃSKI, BARTŁOMIEJ LEWANDOWSKI, SYLWIA MAŚLANKOWSKA, DAMIAN BRZUZY, PAWEŁ TRACZYK

Transkrypt

1 Przegląd funkcji matematycznych DAWID SZCZYPIŃSKI, BARTŁOMIEJ LEWANDOWSKI, SYLWIA MAŚLANKOWSKA, DAMIAN BRZUZY, PAWEŁ TRACZYK

2 Funkcje elementarne - Działania x + y Dodawanie x - y Odejmowanie x * y Mnożenie x.* y Mnożenie elementów macierzy x / y Prawostronne dzielenie x./ y Prawostronne dzielenie elementów macierzy x \ y Lewostronny dzielenie x.\ y Lewostronne dzielenie elementów macierzy

3 Funkcje elementarne - Działania x ^ y Potęgowanie x.^ y Potęgowanie elementów macierzy -x Znak +x Znak + ++x / --x Inkrement (dekrement), zwraca przyjętą wartość x++ / x-- Inkrement (dekrement), zwraca starą wartość

4 Funkcje elementarne Porównania i operatory logiczne x < y x <= y x == y true, jeśli x mniejsze od y true, jeśli x mniejsze lub równe y true, jeśli x równe y x >=y x > y x!= y true, jeśli x większe lub równe y true, jeśli x większe od y true, jeśli x różne od y

5 Funkcje elementarne Porównania i operatory logiczne x&&y true, jeśli jednocześnie x i y są true (AND wysoki priorytet) x y true, jeśli przynajmniej jedno: x lub y jest true (OR wysoki priorytet) x & y true, jeśli jednocześnie x i y są true (skrócone logiczne AND ) x y true, jeśli przynajmniej jedno: x lub y jest true (skrócone logiczne OR )! x true, jeśli x jest false (logiczne NOT )

6 Funkcje elementarne Logarytmy, potęgi i pierwiastki Znak % (procent) rozpoczyna krótki komentarz, czyli wszystkie znaki napisane po nim, aż do końca linii, są pomijane przez interpreter. Aby obliczyć procent liczby należy pomnożyć liczbę przez x*(1/100) abs(x) wartość bezwględna log(x) logarytm naturalny log10(x) logarytm dziesiętny log2(x) logarytm z podstawą 2 logazb=log(b)/log(a) logarytm z dowolną wybraną podstawą (twierdzenia matematyczne)

7 Funkcje elementarne Logarytmy, potęgi i pierwiastki exp(x) funkcja wykładnicza(eksponencjalna) e X sqrt(x) pierwiastek 2 stopnia cbrt(x) pierwiastek 3 stopnia power(a,1/b) lub a^(1/b) pierwiastek b stopnia z liczby a (twierdzenia matematyczne) nthroot (x, n) pierwiastek n stopnia z liczby x power(a,b) lub a^b potęga b stopnia z liczby a

8 Operacje na liczbach i zbiorach ceil(x) zaokrąglanie x w górę fix(x) zwraca część całkowitą liczby x floor(x) zaokrąglanie x w dół round(x) zaokrąglanie (ceil+floor) x max(x,y) wartość maksymalna z x i y min(x,y) wartość minimalna z x i y

9 Operacje na liczbach i zbiorach primes(n) wyświetlanie kolejnych liczb pierwszych do podanego n list_primes(n) wyświetla n kolejnych liczb pierwszych sign (x) mod(x,y) znak liczby, funkcja signum reszta z dzielenia

10 Stałe liczbowe pi e i lub j inf ans eps realmax realmin π iloraz obwodu koła do jego średnicy podstawa logarytmów naturalnych jednostka urojona(dlatego nie powinniśmy ich używać w pętlach) nieskończoność zmienna, której domyślnie przypisywany jest wynik wyrażenia z linii komend epsilon maszynowy największa reprezentowalna liczba zmiennoprzecinkowa najmniejsza reprezentowalna liczba zmiennoprzecinkowa

11 Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne w Octave są obsługiwane w radianach, aby odzyskać wyniki dla stopni należy użyć np. sin(x*(pi/180)) sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sinus cosinus tanges cotanges asin(x) arcsinus acos(x) arccosinus atan(x) arctanges acot(x) arccotanges Konwersja z stopni na radiany: function wynik=d2r(a) wynik=a*(pi/180) Konwersja z radianów na stopnie: function wynik=r2d(a) wynik=a*(180/pi)

12 Funkcja liniowa Wzór: f(x)=ax+b function wynik=fl(x) wynik=3*x+2 function wynik=fl2(a, b, x) disp( ' f(x)=') wynik = a*x+b Wykres: function WFL(a, b, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fl2(a, b, x) plot(x,y) grid on Miejsce zerowe: x 0 = b/a function wynik=mzfl(a, b) disp('miejsce zerowe:') if (a!=0) wynik = -b/a elseif(b!=0) disp('brak miejsca zerowego') else disp('nieskończenie wiele miejsc') endif

13 Funkcja kwadratowa Wzór: f(x)= ax 2 +bx+c function wynik=fk(x) wynik=3*(x^2)+2*x+4 function wynik=fk2(a, b, c, x) wynik=a*(x.^2)+b*x+c Wykres: function WFK(a, b, c, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fk2(a, b, c, x) plot(x,y) Miejsce zerowe: x 0 = b/a function wynik=mz(a,b,c) delta=(b*b)-(4*a*c) if (delta<0) disp('brak miejsc zerowych'); elseif (delta==0) x1=((-b)/(2*a)) elseif (delta>0) x=((-b)-sqrt(delta))/(2*a) xx=((-b)+sqrt(delta))/(2*a) endif

14 Wielomiany c=[2, 3, -5]; polyout(c, x') definicja wielomianu roots(c) wyznacza wszystkie pierwiastki wielomianu(miejsca zerowe) conv(a,c) współczynniki iloczynu wielomianów a i c deconv(a,c) dzielenie wielomianów a/c residue(a, c) wyznacza rozkład funkcji wymiernej a/c na ułamki proste polyint(c) całka nieoznaczona z wielomianu polyval(c,x) wyznacza wartość wielomianu w x

15 Funkcja wymierna Wzór: f(x)= w(x)/p(x) a=[2, 3, -5] polyout(a, x') c=[1, 4, -6] polyout(c, x') function wynik=fwm(a, c, x) disp( ' f(x)=') wynik=polyval(c,x)/polyval(a,x) Wykres: function WFK(a, c, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fwm(a, c, x) plot(x,y)

16 Funkcja wykładnicza Wzór: f(x)= a x function wynik=fw(x) wynik=power(3,x) function wynik=fw2(a, x) disp( ' f(x)=') wynik=power(a,x) Wykres: function WFW(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fw2(a, x) plot(x,y)

17 Funkcja potęgowa Wzór: f(x)= x a function wynik=fp(x) wynik=power(x,3) function wynik=fp2(a, x) wynik=power(x,a) Wykres: function WFP(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=fp2(a, x) plot(x,y)

18 Funkcja logarytmiczna Wzór: f(x)= log a x function wynik=flog(x) wynik= log(3)/log(x) function wynik=flog2(a, x) wynik= log(a)./log(x) Wzór: f(x)= log a (x-p)+q function wynik=flog3(a, p, q, x) wynik= log(a)/(log(x-p)+q) Wykres: function WFL(a, odx, dox) x = [odx:1:dox] y=flog2(a, x) plot(x,y)

19 Użyteczne funkcje function czy_pierwsza(k) dzielnik=0; for p=2:1:k-1 if (mod(k,p)==0) dzielnik++; endif endfor if (dzielnik==0) disp('liczba pierwsza') else disp('liczba zlozona') endif function doskonala(k) suma=0; for l=1:1:k-1 if(mod(k,l)==0) suma=suma+l; endif endfor if(suma==k) disp('doskonala') else disp('nie') endif factorial(x) silnia hypot(x,y) pitagoras factor(x) rozkład na czynnik pierwsze gcd(x,y) największy wspólny dzielnik NWD lcm(x,y) największa wspólna wielokrotność NWW

20 Ciągi liczbowe N = ; sum (1./(1:N)) suma ciągu wzoru: σn k=0 1/k a = [1,2,3,4,5]; cumsum(a) diff(a) sumy częściowe ciągu ciąg różnicowy f = (@(x) ( (x)^2+1 )); sum(arrayfun(f,[0:5])) suma ciągu z wzory funkcji w przedziale 0..5

21 Granice funkcji Granica dąży do 0 + function wynik = GDP(funkcja) n = 0:7; x = 10.^(-n); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do wartość + function wynik = GDWD(funkcja,m) m = 0; n = 0:7; x = m+(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do 0 - function wynik = GDM(funkcja) n = 0:7; x = 0-(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8) Granica dąży do wartość - function wynik = GDWM(funkcja,m) m = 0; n = 0:7; x = m-(10.^(-n)); f = funkcja(x); y = f; format long g disp('przyblizona wartoc granicy') y(8)

22 Pochodne Pochodna z wielomianu: c=[1,0,1]; d= polyder(c) polyout(d, 'x') function wynik=p(a) d = polyder(a) wynik=polyout(d, 'x') Funkcja do obliczania ilorazu różnicowego f(x): function wynik=obl(xod, xdo, xskok, f) tabx = [xod:xskok:xdo]; taby = f(tabx); wynik = diff(tabx)/diff(taby) c = [1, 0, 1]; P(c)

23 Całki Całka nieoznaczona z wielomianu: c=[1,0,1]; integral=polyint(c); calka=polyout(integral, 'x') Całka oznaczona z wielomianu: c=[1,0,1]; integral=polyint(c); area=polyval(integral,3)-polyval(integral,0) Całka oznaczona z funkcji: quad (@(x) ( (x)^2+1 ), 0, 3) obliczanie oparte na kwadratury Gaussa. quadv (@(x) ( (x)^2+1 ), 0, 3)obliczanie za pomocą adaptacyjnego wektorowy Metoda Simpsona

24 Prawdopodobieństwo, kombinatoryka, statystyka bincoeff(n, k) dwumian Newtona mean (x) średnia median (x) mediana std (x) odchylenie standardowe var (x) wariancja

25 Losowanie dużego lotka i Euklides function lotek(k) disp('prawdopodobienstwo trafienia ' ) disp (k) disp( ' w lotku wynoki 1 do ') bincoeff(49,k) function euklides(a,b) while (b!=0) c=mod(a,b); a=b; b=c; endwhile disp('nwd liczb to ') disp(a)

26 Macierze x - transpozycja macierzy size(macierz np. A) - rozmiar macierzy NxM eye(n) macierz jednostkowa NxN ones(n,m) macierz jedynkowa NxM zeros(n,m) macierz zer NxM rand(n,m) -macierz NxM wypełniona losowymi liczbami z przedziału 0 do 1 A( wiersz, od kolumny : do kolumny) - np. A(1: 2, 3) = 3, 6 pierwszy element z drugiego i trzeciego wiersza diag(macierz) - główna przekątna macierzy mnożenie - macierzowe A*B, tablicowe A.*B potęgowanie- A.^k (tablicowe), A^k(macierzowe)

27 Macierze rank(a) - funkcja obliczająca rząd macierzy A det(a) - funkcja obliczająca wyznacznik macierzy kwadratowej inv(a) - funkcja obliczająca macierz odwrotną do macierzy ( inv(a) = A^(-1)) x = diag(a) - funkcja tworząca wektor x z elementów znajdujących się na głównej przekątnej macierzy Zadanie: Rozwiązywanie układów równań liniowych A=[2-1 1;1-1 2;5-2 2] B=[7 ;6;15] x = inv(a)*b wynik: x = 1-5 0

28 Wektory dot(a,b) iloczyn skalarny wektorów a i b cross(a,b) oblicza iloczyn wektorowy poprzeczny dwóch 3-wymiarowych wektorów a i b max(x) funkcja zwracająca największy element wektora min(x) funkcja zwracająca najmniejszy element wektora sum(x) funkcja zwracająca sumę elementów prod(x) iloczyn wektora mean(x) średnia arytmetyczna sort(x) funkcja sortująca elementy wektora w kolejności rosnącej diff(x) funkcja obliczająca różnice pomiędzy sąsiednimi elementami

29 Inne \\ Znak backslash \" Cudzysłów podwójny \ Cudzysłów pojedynczy \n Znak nowej linii, ASCII code 10 \t Znak tabulacji, ASCII code 9

30 Dokumentacja