Logika pragmatyczna dla inżynierów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logika pragmatyczna dla inżynierów"

Arkadiusz Zieliński
6 lat temu
Przeglądów:

1 Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny (ostatni wykład).

2 Plan wykładu Wprowadzenie 1 Klasyczny rachunek zdań. 2 Rachunek predykatów. 3 Elementy teorii zbiorów i relacji.

3 Literatura Wprowadzenie 1 J. Słupecki, L. Borkowski. Elementy logiki matematycznej i teorii zbiorów. PWN, J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Logika i teoria mnogości, PWN, Warszawa B. Stanosz. Wprowadzenie do logiki formalnej. PWN, B. Stanosz. Ćwiczenia z logiki. PWN, K. Ross, C. Wright. Discrete mathematics. Prentice Hall 2002.

4 Pojęcie logiki pragmatycznej Logika uchwytuje sposoby wnioskowania stosowane w naukach i uznawane za poprawne. Poczatki logiki sięgaja IV wieku p.n.e. (Arystoteles) Słowo pragmatyczna (z języka greckiego pragma - czyn) oznacza logikę jako narzędzie, którym posługujemy się w nauce.

5 Przykłady wnioskowania 1 Każdy kwadrat jest prostokatem. Figura A jest kwadratem. Wynika z tego, że figura A jest prostokatem. 2 Jeżeli się nauczę to zdam. Nie zdałem więc się nie nauczyłem. 3 Jeżeli się nauczę to zdam. Nie nauczyłem się więc nie zdam. 4 Każdy filozof jest madry. Nie jestem filozofem więc nie jestem madry. Które wnioskowania sa poprawne?

6 Klasyczny rachunek zdań Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można przypisać wartość prawda albo fałsz. Prawdę oznaczamy cyfra 1 a fałsz cyfra 0. Przykłady: 1 9 dzieli się przez 3. 2 Słońce kraży wokół Ziemi. 3 Która godzina? 4 Ten samochód jest drogi. Zdanie 1 jest prawdziwe, zdanie 2 jest fałszywe, a zdanie 3 nie jest zdaniem logicznym. Zdanie 4 zależy od określenia pojęcia drogi.

7 1 Zmienne zdaniowe p, q, r, s,... oznaczajace dowolne zdania logiczne. 2 Spójniki (funktory) zdaniowe: p nieprawda, że p (nie p) [negacja] p q p i q [koniunkcja] p q p lub q [alternatywa] p q jeżeli p to q (z p wynika q) [implikacja] p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q [równoważność]

8 Formuły logiczne Wprowadzenie 1 Dowolna zmienna zdaniowa jest formuła logiczna. 2 Jeżeli φ i ψ sa formułami logicznymi, to formułami logicznymi sa również wyrażenia: 1 (φ), (ψ) 2 (φ) (ψ), (φ) (ψ), (φ) (ψ), (φ) (ψ) Przykłady formuł logicznych: p, q, p p q, p q (p q) (p q) ((p q) (p q)) p

9 Formuły logiczne Wprowadzenie Uwagi: 1 Należy starannie wstawiać nawiasy. Na przykład formuła p q r jest niejednoznaczna. Może oznaczać zarówno (p q) r jak i p (q r). 2 W wyrażeniu ( p) możemy opuścić nawiasy. Tak więc na przykład formuła (p q) (( p) r) jest równoważna (p q) ( p r).

10 Formuły logiczne Wprowadzenie Formuły logiczne formalizuja niektóre rozumowania wyrażone w języku, np. języku polskim. Przykład: Jeżeli uczyłem się, to zdam i jeżeli zdam, to będę szczęśliwy; wynika z tego, że jeżeli nie będę szczęśliwy to się nie uczyłem. p - uczyłem się. q - zdam. r - będę szczęśliwy. ((p q) (q r)) ( r p)

11 Formuły logiczne Wprowadzenie Formuła logiczna nie jest zdaniem logicznym. Zdanie logiczne otrzymamy podstawiajac pod zmienne zdaniowe konkretne zdania. Nazywamy to wartościowaniem formuły (lub interpretacja). Przykład: ((p q) q) p p - "3>2" q - "3>1" (((3 > 2) (3 > 1)) (3 > 1)) (3 > 2) Jaka jest wartość logiczna tego zdania?

12 Wartościowanie formuły Dla dowolnych zdań logicznych logicznych p i q: p p p q p q p q p q p q

13 Wartościowanie formuły Określ wartość logiczna formuły: (p q) (r (p q)) dla wartościowania p = 1, q = 0 i r = 1. α β γ p q r q p q p q r β α γ Formuła jest więc fałszywa dla tego wartościowania.

14 Formuła logiczna jest tautologia jeżeli jest prawdziwa dla każdego wartościowania zmiennych zdaniowych. Tautologie określaja poprawne (tautologiczne) schematy wnioskowania Przykład: prawo wyłaczonego środka p p. p p p Tautologia jest zawsze prawdziwa niezależnie jakie zdania logiczne podstawimy pod zmienne zdaniowe.

15 Pokaż, że następujaca formuła jest tautologia: ((p q) q) p α β p q p q q α q p β p

16 Pokaż, że następujaca formuła jest tautologia: ((p q) (q r)) ( r p) Formuła może być fałszywa tylko wtedy gdy ( r p) jest fałszywa, czyli tylko wtedy gdy r = 0 i p = 1. Zatem wystarczy tylko sprawdzić dwa przypadki (dla obu wartości q): α β γ δ p q r p q q r α β r p γ δ

17 Tautologie Wprowadzenie Wybrane tautologie rachunku zdań: T1. p p Prawo wyłaczonego środka T2. p p Prawo identyczności T3. ( p) p Prawo podwójnego przeczenia T4. (p q) ( q p) Prawo kontrapozycji T5. (p q) ( p q) Prawo definiowania implikacji T6. ((p q) r) (p (q r)) Prawo łaczności alternatywy T7. ((p q) r) (p (q r)) Prawo łaczności koniunkcji T8. ((p q) r) ((p r) (q r)) I prawo rozdzielności T9. ((p q) r) ((p r) (q r)) II prawo rozdzielności T10. (p q) ( p q) I prawo de Morgana T11. (p q) ( p q) II prawo de Morgana T12. (p q) ((p q) (q p)) Prawo zastępowania równ. T13. (p q) (q p) Prawo przemienności altern. T14. (p q) (q p) Prawo przemienności kon.

18 Wybrane tautologie Prawo podwójnego zaprzeczenia: ( p) p Jeżeli nie jest prawda, że nie zdam to zdam. Jeżeli zdam, to nie jest prawda, że nie zdam. W języku polskim to prawo nie jest respektowane. Rozpatrz zdanie: Tutaj nigdy nie pada deszcz. Logicznie oznacza to, że tutaj zawsze pada deszcz. Problem ten nie występuje w języku angielskim.

19 Wybrane tautologie Prawo kontrapozycji (p q) ( q p) Jeżeli nauczę się to zdam. Zatem, jeżeli nie zdałem to się nie nauczyłem. Uwaga: formuła (p q) ( p q) nie jest tautologia. Rozumowanie: jeżeli nauczę się to zdam, zatem jeżeli się nie nauczę to nie zdam, jest niepoprawne.

20 Wybrane tautologie Prawdo de Morgana: (p q) ( p q) Jeżeli nie jest prawda, że pójdę do kina lub do teatru, to nie pójdę to kina i nie pójdę to teatru.

21 Przekształcanie formuł W formułach zawierajacych koniunkcję (alternatywę) można opuszczać nawiasy i dowolnie zmieniać kolejność zmiennych. ((p q) r) (p ( q r)) (p q r) ( q p r) Jednak nie wolno tego zrobić z implikacja! nie jest równoważne formule (p q) r p (q r)

22 Przekształcanie formuł Jeżeli formuła φ jest tautologia, to podstawiajac pod zmienne zdaniowe w φ dowolne formuły otrzymamy nowa tautologię. Bierzemy tautologię: (p q) ( p q) i podstawiamy pod p formułę (p q) a pod q formułę (p q). Otrzymujemy nowa tautologię: ((p q) (p q)) ( (p q) (p q))

23 Przekształcanie formuł Tautologie pozwalaja czasami na uproszczenie formuły. ( r ( q p)) q (T11., T3.) (r ( q p)) q (T11., T3.) (r (q p)) q Opuszczanie nawiasów, przemienność p r q q (q q) q) p r q

24 Przekształcanie formuł Każda formułę można przedstawić w postaci równoważnej używajac jedynie alternatywy i negacji lub koniunkcji i negacji. p q (T12.) (p q) (q p) (T5.) ( p q) ( q p) (T10.) ( ( p q) ( q p))

25 Przekształcanie formuł Alternatywę zmiennych zdaniowych lub ich negacji nazywamy klauzula. Na przykład: (p q r) ( p q) (p q r s) Formuła jest w koniunkcyjnej postacji normalnej (KPN) jeżeli jest koniunkcja pewnej liczby klauzul. Na przykład: (p q r s) ( p q) (r s t) p q ( p q)

26 Przekształcanie formuł Każda formułę można zapisać w równoważnej koniunkcyjnej postaci normalnej. (p q) r (T5.) ( p q) r (T5.) ( p q) r (T10.,T3.) (p q) r (T9.) (p r) ( q r)

27 Przekształcanie formuł Formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej jest tautologia wtedy i tylko wtedy gdy w każdej klauzuli występuje pewna zmienna zdaniowa i jej negacja. Przykład tautologii: (p q p) ( p q r q) ( s s) W koniunkcyjnej postaci normalnej łatwo rozstrzygnać czy formuła jest tautologia.

Podobne dokumenty

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na