METODY KOREKCJI KĄTÓW OBROTU HEADING, PITCH, ROLL Z UŻYCIEM BEZZAŁOGOWEGO STATKU POWIETRZNEGO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY KOREKCJI KĄTÓW OBROTU HEADING, PITCH, ROLL Z UŻYCIEM BEZZAŁOGOWEGO STATKU POWIETRZNEGO"

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN X MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL Z UŻYCIEM BEZZAŁOGOWEGO SAKU POWIERZNEGO Damian Wierzbicki 1a, Kamil Krasuski 2b 1 Zakład Fotogrametrii i eledetekcji, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Wojskowa Akademia echniczna 2 Wydział Geodezji, Kartografii i Katastru Nieruchomości, Starostwo Powiatowe w Rykach a damian.wierzbicki@wat.edu.pl, b kk_deblin@wp.pl Streszczenie W pracy przedstawiono rezultaty korekcji kątów HPR (Heading, Pitch i Roll) z użyciem filtracji Kalmana, metody wielomianowej oraz metody trygonometrycznej. Eksperyment badawczy przeprowadzono z użyciem surowych wartości kątów Heading, Pitch i Roll, zarejestrowanych przez urządzenie rimble UX-5. W artykule przedstawiono algorytmy korekcji kątów HPR oraz opisano konfigurację parametrów wejściowych dla każdej metody badawczej. Kod źródłowy programu i obliczenia numeryczne zostały wykonane w edytorze Scilab Słowa kluczowe: Heading, Pitch, Roll, BSP, odchylenie standardowe, filtr Kalmana, metoda wielomianowa, metoda trygonometryczna HE CORRECION MEHODS OF HEADING, PICH, ROLL ROAION ANGLES WIH USING UAV Summary In the paper, results of correction Heading, Pitch and Roll angles with using Kalman filtering method, polynomial method and trigonometric method were presented. he research test was realized using the raw data of Heading, Pitch and Roll angles, which are register by rimble UX-5 platform. In the paper, algorithms of correction Heading, Pitch and Roll angles were presented and configuration of initial parameters in each research method was described. he source code of program and numerical computations were executed in Scilab software. Keywords: Heading, Pitch, Roll, UAV, standard deviation, Kalman Filter, polynomial method, trigonometric method 1. WSĘP Orientacja w przestrzeni Bezzałogowego Statku Powietrznego (BSP) odbywa się zazwyczaj z wykorzystaniem połączenia sensora GPS oraz systemu inercjalnego INS. Sensor GPS pozwala na wyznaczenie współrzędnych BSP względem środka Ziemi w układzie ECEF, natomiast sensor INS umożliwia określenie przyspieszenia i kątów obrotu HPR (Heading, Pitch, Roll) w układzie wewnętrznym statku powietrznego (tzw. body frame ) [1, 7]. Kąty HPR przyjęto definiować w polskiej nomenklaturze następująco: Heading- kurs, Pitch- kąt pochylenia, Roll- kąt obrotu [8]. Należy podkreślić, iż zarejestrowane przez jednostkę inercjalną IMU wartości kątów HPR mogą zawierać błędy grube i powinny zostać poddane dodatkowej obróbce wewnętrznej w celu detekcji i eliminacji pomiarów odstających. Nieprecyzyjne wyznaczone wartości kątów HPR przekładają się głównie na stabilność parametrów lotu i położenia platformy BSP [6]. Dopuszczalna dokładność określenia 132

2 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI kątów HPR dla urządzenia BSP, podczas wykonywania lotu, może wynosić nawet do 2 0. rzeba nadmienić, iż większość producentów BSP oferuje możliwość zapisu wartości kątów HPR dla BSP z precyzją do 2 miejsc po przecinku (tj ), co nie jest tożsame z uzyskiwaną dokładnością bezwzględną odczytu [4]. Zarejestrowane kąty HPR po wstępnej obróbce danych źródłowych są wykorzystywane w obszarze fotogrametrii do określenia elementów orientacji zewnętrznej dla pozyskanych zdjęć lotniczych z niskiego lub średniego pułapu wysokości [3]. W prezentowanej pracy przedstawiono i omówiono rezultaty korekcji danych HPR z użyciem filtru Kalmana, metody wielomianowej i trygonometrycznej. Całość artykułu podzielono na pięć części: wstęp, metodologia badań, opis eksperymentu badawczego, wyniki i dyskusja, wnioski końcowe. Algorytmy i modele matematyczne wykorzystane w korekcji danych źródłowych w postaci kątów HPR zostały opisane szczegółowo w rozdziale drugim. W rozdziale trzecim scharakteryzowano eksperyment badawczy i opisano konfigurację parametrów wejściowych w każdej metodzie badawczej. W rozdziale czwartym zaprezentowano uzyskane rezultaty z eksperymentu badawczego oraz dokonano ich porównania z surowymi odczytami kątów HPR z urządzenia rimble UX-5. Artykuł naukowy kończy rozdział z wnioskami oraz spis literatury. 2. MEODYKA BADAŃ W metodologii badań zaproponowano użycie trzech modeli matematycznych, mających na celu poprawę wartości kątów obrotu HPR. W analizie wykorzystano metodę filtracji Kalmana (rozwiązanie 1), metodę wielomianową (rozwiązanie 2), metodę trygonometryczną (rozwiązanie 3). Model matematyczny dla każdej z wyżej wymienionych metod badawczych został szczegółowo opisany w niniejszym artykule. 2.1 FILR KALMANA W pierwszej metodzie badawczej zastosowano algorytm dwuwymiarowego modelu systemu pomiarowego z użyciem filtracji Kalmana w przód. Parametrami wejściowymi dla algorytmu są wartości kątów HPR (Heading, Pitch, Roll), zarejestrowane przez BSP dla określonego interwału czasu. Podstawowe równanie modelu systemu pomiarowego dla kątów HPR przyjmie postać [2]: - dla kąta Heading: ( dψ ) ψ ( k) = ψ ( k 1) + wψ ( k 1) + dψ ( k 1) + w t (1) dψ ( k) = dψ ( k 1) + wd ψ - dla kąta Roll: ( dφ ) φ ( k) = φ( k 1) + wφ ( k 1) + dφ( k 1) + w t dφ( k) = dφ( k 1) + wdφ [ ( k), ( k), ( k) ] (3) ψ θ φ - skorygowane wartości kątów HPR na epokę k (epoka bieżąca), [ ψ ( k 1), θ( k 1), φ( k 1) ] - skorygowane wartości kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), wψ, wθ, wφ - szum procesu pomiarowego dla kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), [ dψ ( k 1), dθ ( k 1), dφ( k 1) ] - dryfty kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), wdψ, wdθ, wdφ - szum procesu pomiarowego dla dryftów kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), t - przyrost czasu pomiędzy epokami (k) oraz (k-1), [ d ( k), d ( k), d ( k) ] ψ θ φ - dryfty kątów HPR na epokę k (epoka bieżąca). Równania (1), (2) i (3) są ogólnymi równaniami modelu systemu pomiarowego, w którym dane wejściowe pochodzą tylko z jednego urządzenia pomiarowego, np. żyroskop laserowy. W przypadkach szczegółowych, gdy system pomiarowy składa się z kilku rządzeń mierniczych (np. akcelerometry, żyroskopy, inklinometry), należy zastosować trójwymiarowy model systemu, tzn. uwzględnić parametr prędkości kątowej. W równaniach (1), (2) i (3) zastosowano dwuwymiarowy model systemu pomiarowego, który zawiera informacje o wyznaczanych kątach HPR oraz ich dryfcie. Wartości kątów HPR są wyrażone w stopniach lub radianach, zaś dryfty kątów HPR odpowiednio w stopniach na sekundę lub radianach na sekundę. Równania systemu pomiarowego (1), (2) i (3) są wyznaczane z użyciem filtru Kalmana w procesie dwuetapowym, jak poniżej [11]: 1) I etap- proces predykcji : x( k 1) = A x( k 1) (4) P( k 1) = A P A + Q( k 1) (5) A - macierz współczynników, - dla kąta Pitch: ( ) θ ( k) = θ ( k 1) + wθ ( k 1) + dθ ( k 1) + wdθ t dθ ( k) = dθ ( k 1) + wdθ (2) 1 t A = 0 1, 133

3 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) x - oszacowane wartości wyznaczanych parametrów a priori z kroku poprzedniego, P - oszacowane wartości macierzy kowariancji a priori z kroku poprzedniego, x - prognoza wartości stanu, P - prognozowane wartości macierzy kowariancji, Q - macierz kowariancji procesu szumu, qψ 0 Q( k 1) = 0 q, dψ ( qψ, qd ψ ) - wariancje szumu procesu pomiarowego dla pojedynczego kąta i jego dryftu (przykład podany dla kąta Heading). 2) II etap- proces korekcji : ( ) 1 K( k) = P H H P H + R (6) ( ) x( k) = x( k 1) + K ( k) z H x( k 1) (7) ( ) P( k) = I K ( k) H P( k 1) (8) R - macierz kowariancji pomiarów, H - macierz pochodnych cząstkowych, H = [ 1 0], K( k) - macierz wzmocnienia Kalmana, z - wektor wielkości pomierzonych, I - macierz jednostkowa, x( k) - wyznaczane parametry a posteriori, P( k) - macierz kowariancji wyznaczanych parametrów a posteriori. 2.2 MEODA WIELOMIANOWA Podstawowe równanie modelu matematycznego dla metody wielomianowej przyjmuje postać [5]: Y = a0 X an X (9) Y - źródłowe dane parametru, pozyskane z określonego sensora, ( a0,..., an ) - wyznaczane współczynniki liniowe wielomianu, n - stopień wielomianu, X - argumenty funkcji wielomianowej (np. numery kolejnych epok lub interwał czasu). W zagadnieniu ogólnym, stosując metodę wielomianową, sprowadza się ją do wyznaczenia współczynników linio- a a w najlepszym dopasowaniu do konkret- wych ( ) 0,..., n nej reprezentacji zbioru liczbowego dla parametru Y. Należy dodać, że liczba danych parametru X musi być taka sama jak zbioru wejściowego Y. Stopień rozwinięcia wielomianu zależy w głównej mierze od liczby danych wejściowych zbioru liczbowego Y oraz trendu zmian parametru Y. Wysoki stopień wielomianu określa lepsze dopasowanie do danych źródłowych ze zbioru Y oraz umożliwia wygładzenie pomiarów odstających ze zbioru Y. W analizowanym przypadku zaproponowano zastosowanie wielomianu 9-ego stopnia, jak poniżej: (,...,, ) Y = a X + a X a X + a X (10) a a a a - wyznaczane współczynniki wielomianu 9- ego stopnia (w sumie 10 współczynników liniowych). Równanie (10), przy założeniu iż liczba zbioru wejściowego Y jest znacznie większa od liczby wyznaczanych współczynników, jest rozwiązywane metodą najmniejszych kwadratów, jak poniżej [10]: -1 Qx = N L v = A Qx - dl [ vv] m0 = r s (11) Qx - wektor z wyznaczanymi współczynnikami liniowymi wielomianu, N = A A - układ równań normalnych, A - macierz współczynników, L = A dl, dl - wektor wyrazów wolnych, m0 - odchylenie standardowe poprawek, r - liczba obserwacji zbioru wejściowego, r > 10, s - liczba wyznaczanych współczynników, s = 10, v - wektor poprawek. 2.3 MEODA RYGONOMERYCZNA Metoda trygonometryczna umożliwia dopasowanie źródłowych danych wejściowych Y z wykorzystaniem funkcji parzystej cosinus lub funkcji nieparzystej sinus. W pracy zaproponowano zastosowanie funkcji parzystej cosinus do korekcji kątów HPR, jak poniżej [9]: 5 ( π ) ( π ) ( X π ) Y = c cos 0 X c cos 6 X c cos 10 (12) 134

4 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI ( c, c, c, c, c, c ) wyznaczane współczynniki funkcji trygonometrycznej (w sumie 6 współczynników). Funkcja trygonometryczna z równania (12) została określona poprzez użycie krotności funkcji bazowej cos( j X π), w której parametr j oznacza liczby całkowite z przedziału j = [0;2;4;6;8;10]. Równanie (12) jest rozwiązywane z zastosowaniem metody najmniejszych kwadratów (patrz równanie 11 w rozdziale 2.2), z tymże liczba wyznaczanych parametrów wynosi 6 ( s = 6 ) oraz minimalna liczba obserwacji źródłowych dla zbioru wejściowego Y wynosi powyżej 6 ( r > 6 ). 3. EKSPERYMEN BADAWCZY W części praktycznej eksperymentu badawczego dokonano korekcji wartości kątów HPR, które zostały zarejestrowane w trakcie przelotu testowego przez urządzenia rimble UX-5 (jeden z rodzajów BSP). Urządzenie rimble UX-5 rejestruje automatycznie kąty rotacji HPR i zapisuje je w pliku tekstowym (tzw. log ). Wysokość elipsoidalna lotu BSP wynosiła od m do 235.9, przy średniej wartości około 230 m. - błąd pomiaru kąta Heading: - błąd pomiaru kąta Pitch: - błąd pomiaru kąta Roll: 0 m ψ = ± 1.5, 0 m θ = ± 1.5, 0 m φ = ± 2, - wartość początkowa macierzy kowariancji dla kąta i jego dryftu (macierz zastosowana dla wszystkich kątów P( k = 1) = HPR):, - wartości wariancji procesu pomiarowego (macierz zastosowana dla wszystkich kątów HPR): Q( k = 1) = , - liczba epok pomiarowych: nk = 85 ; II metoda wielomianowa: - liczba wyznaczanych współczynników wynosi 10, - metoda obliczeń: metoda najmniejszych kwadratów, - liczba epok pomiarowych: nk = 85, - rząd macierzy współczynników A wynosi 10, - obliczenia numeryczne realizowane niezależnie dla każdego kąta obrotu HPR; III metoda trygonometryczna: - wyrażenie funkcji trygonometrycznej: krotność funkcji cosinus, - liczba wyznaczanych współczynników wynosi 6, - metoda obliczeń: metoda najmniejszych kwadratów, - liczba epok pomiarowych: nk = 85, - rząd macierzy współczynników A wynosi 6, - obliczenia numeryczne realizowane niezależnie dla każdego kąta obrotu HPR. 4. WYNIKI EKSPERYMENU BADAWCZEGO DYSKUSJA Rys. 1. rajektoria pozioma i pionowa BSP Modele matematyczne dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej i metody trygonometrycznej zostały zaimplementowane do programu Scilab 5.4.1, w którym wykonano obliczenia korekcji kątów HPR. W trakcie przeprowadzania obliczeń numerycznych przyjęto następujące parametry konfiguracji dla parametrów wejściowych modelu: I metoda filtracji Kalmana: - okres próbkowania obserwacji: t = 1 sekunda, - wartość początkowa parametrów wektora stanu x( k = 1) = [0;0], W rozdziale czwartym prezentowanego artykułu przedstawiono i opisano rezultaty przeprowadzonych badań. W postaci graficznej zaprezentowano parametry finalne filtracji Kalmana (odchylenia standardowe kątów HPR oraz wartości dryftu kątów HPR), a ponadto porównano wartości kątów obrotu HPR po korekcji dla trzech metod badawczych. Na rys. 2 zaprezentowano wartości błędów średnich (odchylenia standardowe) dla kątów HPR po filtracji Kalmana. Wartość przeciętna dokładności kątów Heading i Pitch wynosi , przy rozrzucie wyników od do Wartość przeciętna dokładności kąta Roll wynosi , przy rozrzucie wyników od do Porównując błędy średnie pomiędzy poszczególnymi kątami HPR warto zauważyć, iż dokładność wyznaczenia kątów Heading i Pitch jest wyższa o około 20% względem dokładności kąta Roll. 135

5 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) Rys. 2. Dokładność kątów HPR po filtracji Kalmana Na rys. 3 zaprezentowano wartości dryftu dla wszystkich kątów HPR w funkcji epoki pomiarowej. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Heading wynosi -0,04 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -6,60 [ 0 /s 2 ] do 1,09 [ 0 /s 2 ]. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Pitch wynosi 0,14 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -0,67 [ 0 /s 2 ] do 1,99 [ 0 /s 2 ]. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Roll wynosi - 0,07 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -1,93 [ 0 /s 2 ] do 0,32 [ 0 /s 2 ]. Rys. 3. Wartości dryftu dla kątów HPR Na rys. 4 zaprezentowano wartości kąta Heading na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Heading na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Heading wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i trygonometrycznej, średnia wartość kąta Heading wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz Należy nadmienić, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Heading jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Heading zostały zredukowane odpowiednio o 47%, 64% oraz 70%. Różnica wyników kąta Heading pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Heading pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Heading pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, że dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Heading z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Heading z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Heading przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Heading przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz Na rys. 5 zaprezentowano wartości kąta Pitch na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Pitch na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Pitch wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i trygonometrycznej, średnia wartość kąta Pitch wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz rzeba nadmienić, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Pitch jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Pitch zostały zredukowane odpowiednio o 26%, 62% oraz 67%. Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Rys. 4. Wartości kąta Heading na podstawie danych źródłowych i metod korekcji 136

6 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI Rys. 5. Wartości kąta Pitch na podstawie danych źródłowych i metod korekcji Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, że dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Pitch z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana. Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Pitch z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Pitch przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Pitch przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz trygonometrycznej, średnia wartość kąta Roll wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz Zaobserwowano, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Roll jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Roll zostały zredukowane odpowiednio o 55%, 78% oraz 77%. Różnica wyników kąta Roll pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Roll pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Roll pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, iż dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Roll z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana. Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Roll z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Roll przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Roll przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz WNIOSKI W artykule opisano i zaprezentowano rezultaty korekcji kątów HPR dla BSP z użyciem algorytmu filtracji Kalmana, metody wielomianowej i trygonometrycznej. Obliczenia numeryczne wykonano na danych źródłowych HPR, zarejestrowanych przez urządzenie rimble UX-5. Kod źródłowy programu obliczeniowego został napisany w programie Scilab Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i eksperymentów badawczych wyciągnięto następujące wnioski: - zastosowanie filtru Kalmana pozwala zmniejszyć błędy średnie (odchylenia standardowe) wyznaczonych kątów rotacji HPR odpowiednio: z poziomu 2 0 na dla kąta Roll oraz z poziomu do dla kątów Heading i Pitch; Rys. 6. Wartości kąta Roll na podstawie danych źródłowych i metod korekcji Na rys. 6 zaprezentowano wartości kąta Roll na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Roll na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Roll wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i - zastosowanie dwuwymiarowego modelu systemu pomiarowego dla algorytmu filtru Kalmana pozwala na wyznaczenie dryftu kątów obrotu HPR; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wyników pomiędzy surowymi odczytami kąta Heading oraz rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej wynosi odpowiednio , i ; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wyników pomiędzy surowymi odczytami kąta Pitch oraz rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielo- 137

7 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) mianowej, metody trygonometrycznej wynosi odpowied- nio , i ; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wynikąta Roll oraz ków pomiędzy surowymi odczytami rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielowynosi odpowied- mianowej, metody trygonometrycznej nio , i Literatura 1. Bieda R., Grygiel R.: Wyznaczanie orientacji obiektu w przestrzeni z wykorzystaniem naiwnego filtru Kalmana. Przegląd Elektrotechniczny 2014, R. 90, nr 1, s Kędzierski J.: Filtr Kalmana - zastosowania w prostych układach sensorycznych. W: Kołoo Naukowe Robotyków Konar 2007, s Kędzierski M., Wierzbicki D., Wilińska M., Fryśkowska A.: Analiza możliwości wykonaniaa aerotriangulacji zdjęć cyfrowych pozyskanych kamerą niemetryczną zamontowaną na pokładzie bezzałogowegoo statku latającego bez systemu GPS/INS. Biuletyn WA 2013, vol. LXII, nr 4, s Kędzierski M., Fryśkowska A., Wierzbicki D.: Opracowania fotogrametryczne z niskiego pułapu. Warszawa: WA, 2014., s ISBN Kiusalaas J.: Numerical methods in engineering with MALAB. 2th ed. Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York, 2009, p ISBN Kolecki J., Prochaska M., Piątek P., Baranowski J., Kurczyński Z.: Stabilizacja systemu pomiarowego dla wiatrakowca w aspekcie jakości LIDAR. Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i eledetekcji 2015, vol. 27, s , DOI: /afkit Krasuski K., Wierzbicki D.: Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku powietrznego na podstawie danych GPS i INS. Pomiary Automatyka Robotyka 2015, R. 19, nr 4/2015, s DOI: /PAR_218/ Nowak A., Naus K.: Badanie możliwości określania parametrów ruchu statku za pomocą systemu EGNOS. Logistyka 2014, nr 6, s Ratajczak.: Metody numeryczne: przykłady i zadania. Gdańsk: Wyd. Pol. Gd., 2006, s Subirana J.S., Zornoza J. M.J., Hernández-Pajares M.: GNSS data processing. Vol. I: Fundamentals and algorithms. ESA Communications, ESEC, Noordwijk, Netherlands, 2013, p ISBN: Yi Y.: On improving the accuracy and reliability of GPS/INS-based direct sensor georeferencing. Ph. D. hesis, Ohio State University, p en artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów. reść licencji jest dostępna na stronie /pl/ 138

Zastosowanie metod predykcji w określaniu współrzędnych Bezzałogowego Statku Powietrznego

Zastosowanie metod predykcji w określaniu współrzędnych Bezzałogowego Statku Powietrznego Pomiary Automatyka Robotyka, R. 20, Nr 2/2016, 35 40, DOI: 10.14313/PAR_220/35 Zastosowanie metod predykcji w określaniu współrzędnych Bezzałogowego Statku Powietrznego Damian Wierzbicki Wojskowa Akademia

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie techniki GPS do wyznaczenia kątów heading, pitch i roll część I

Wykorzystanie techniki GPS do wyznaczenia kątów heading, pitch i roll część I PROBLEMY MECHATRONIKI UZBROJENIE, LOTNICTWO, INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA ISSN 2081-5891 7, 1 (23), 2016, 113-126 Wykorzystanie techniki GPS do wyznaczenia kątów heading, pitch i roll część I Damian WIERZBICKI

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej pojedynczego zdjęcia lotniczego

Temat ćwiczenia: Wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej pojedynczego zdjęcia lotniczego Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział InŜynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej pojedynczego zdjęcia lotniczego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Filtracja pomiarów z głowic laserowych

Filtracja pomiarów z głowic laserowych dr inż. st. of. Paweł Zalewsi Filtracja pomiarów z głowic laserowych słowa luczowe: filtracja pomiaru odległości, PNDS Założenia filtracji pomiaru odległości. Problem wyznaczenia odległości i parametrów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I IDENTYFIKACJA Studia niestacjonarne Estymacja parametrów modeli, metoda najmniejszych kwadratów.

Bardziej szczegółowo

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

Pomiarowa baza badawcza na terenie PWSTE Measurement research base at the Higher School of Technology and Economics in Jarosław (PWSTE)

Pomiarowa baza badawcza na terenie PWSTE Measurement research base at the Higher School of Technology and Economics in Jarosław (PWSTE) Konferencja naukowa Jarosław 09.03.2017 r. Współczesne metody gromadzenia i przetwarzania danych geodezyjnych i gospodarczych Pomiarowa baza badawcza na terenie PWSTE Measurement research base at the Higher

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych

Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiarów w układzie cieplnym bloku energetycznego siłowni parowej

Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiarów w układzie cieplnym bloku energetycznego siłowni parowej Marcin Szega Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiarów w układzie cieplnym bloku energetycznego siłowni parowej (Monografia habilitacyjna nr 193. Wydawnictwo Politechniki

Bardziej szczegółowo

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Mgr inż. Kamil DZIĘGIELEWSKI Wojskowa Akademia Techniczna DOI: 10.17814/mechanik.2015.7.232 MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Streszczenie: W niniejszym referacie zaprezentowano stanowisko

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW MEMS

WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW MEMS Justyna SOKOŁOWSKA Janusz BŁASZCZYK Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt 36, s. 131 138, 2015 r. 10.1515/afit-2015-0019 WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM

Bardziej szczegółowo

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Trendy nauki światowej (1)

Trendy nauki światowej (1) Trendy nauki światowej (1) LOTNICZE PLATFORMY BEZZAŁOGOWE Badanie przydatności (LPB) do zadań fotogrametrycznych w roli: nośnika kamery cyfrowej, nośnika skanera laserowego, nośnika kamery wideo, zintegrowanej

Bardziej szczegółowo

APARATURA BADAWCZA I DYDAKTYCZNA

APARATURA BADAWCZA I DYDAKTYCZNA APARATURA BADAWCZA I DYDAKTYCZNA Oeślenie współrzędnych środka rzutu w aerotriangulacji cyfrowej z użyciem danych z Bezzałogowego Statku Powietrznego DAMIAN WIERZBICKI 1, KAMIL KRASUSKI 2 1 WOJSKOWA AKADEMIA

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać

Bardziej szczegółowo

Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm.

Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. 2 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. Nr pomiaru T[s] 1 2,21 2 2,23 3 2,19 4 2,22 5 2,25 6 2,19 7 2,23 8 2,24 9 2,18 10 2,16 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 5 - Identyfikacja Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska Warszawa, 2015 Koncepcje estymacji modelu Standardowe drogi poszukiwania modeli parametrycznych M1: Analityczne określenie

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność

Bardziej szczegółowo

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych. Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJE I JAKOŚĆ DANYCH

TRANSFORMACJE I JAKOŚĆ DANYCH METODY INŻYNIERII WIEDZY KNOWLEDGE ENGINEERING AND DATA MINING TRANSFORMACJE I JAKOŚĆ DANYCH Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego

Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 2019/02/14 13:21 1/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie przyspieszenia

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl

Bardziej szczegółowo

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION MOŻLIWOŚCI WYDOBYCIA INFORMACJI 3D Z POJEDYNCZYCH WYSOKOROZDZIELCZYCH OBRAZÓW SATELITARNYCH J. Willneff, J. Poon, C. Fraser Przygotował:

Bardziej szczegółowo

Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS

Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS Jacek Paziewski Paweł Wielgosz Katarzyna Stępniak Katedra Astronomii i Geodynamiki Uniwersytet Warmińsko Mazurski w

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK SIŁOWNIKÓW UDAROWYCH Z NASTAWIANĄ OBJĘTOŚCIĄ KOMORY

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK SIŁOWNIKÓW UDAROWYCH Z NASTAWIANĄ OBJĘTOŚCIĄ KOMORY 3-2008 PROBLEMY EKSPLOATACJI 123 Piotr CZAJKA, Tomasz GIESKO Instytut Technologii Eksploatacji PIB, Radom WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK SIŁOWNIKÓW UDAROWYCH Z NASTAWIANĄ OBJĘTOŚCIĄ KOMORY Słowa kluczowe Siłownik

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

SATELITARNE TECHNIKI POMIAROWE WYKŁAD 5

SATELITARNE TECHNIKI POMIAROWE WYKŁAD 5 SATELITARNE TECHNIKI POMIAROWE WYKŁAD 5 1 K. Czarnecki, Geodezja współczesna w zarysie, Wiedza i Życie/Gall, Warszawa 2000/Katowice 2010. 2 Obserwacje fazowe satelitów GPS są tym rodzajem pomiarów, który

Bardziej szczegółowo

Badanie widma fali akustycznej

Badanie widma fali akustycznej Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101

Bardziej szczegółowo

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować

Bardziej szczegółowo

BADANIE EFEKTU HALLA. Instrukcja wykonawcza

BADANIE EFEKTU HALLA. Instrukcja wykonawcza ĆWICZENIE 57C BADANIE EFEKTU HALLA Instrukcja wykonawcza I. Wykaz przyrządów. Hallotron umieszczony w polu magnetycznym wytworzonym przez magnesy trwałe Magnesy zamocowane są tak, by możliwy był pomiar

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE

Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Prognozowanie jest procesem przewidywania przyszłych zdarzeń. Obszary zastosowań prognozowania obejmują np. analizę danych giełdowych, przewidywanie zapotrzebowania na pracowników,

Bardziej szczegółowo

TEMATYKA PRAC DYPLOMOWYCH MAGISTERSKICH STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2011/2012

TEMATYKA PRAC DYPLOMOWYCH MAGISTERSKICH STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2011/2012 STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2011/2012 Instytut Geodezji GEODEZJA GOSPODARCZA PROMOTOR Ocena wykorzystania algorytmów interpolacyjnych do redukcji ilości danych pozyskiwanych w sposób

Bardziej szczegółowo

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.

Bardziej szczegółowo

Modele zapisane w przestrzeni stanów

Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy

Bardziej szczegółowo

Kurs fotogrametrii w zakresie modelowania rzeczywistości, tworzenia modeli 3D, numerycznego modelu terenu oraz cyfrowej true-fotomapy

Kurs fotogrametrii w zakresie modelowania rzeczywistości, tworzenia modeli 3D, numerycznego modelu terenu oraz cyfrowej true-fotomapy Kurs fotogrametrii w zakresie modelowania rzeczywistości, tworzenia modeli 3D, numerycznego modelu terenu oraz cyfrowej true-fotomapy Kierunki i specjalności: Operowanie Bezzałogowym Statkiem Powietrznym

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Wybrane zastosowania bezzałogowych statków latających (BSL) w inżynierii środowiska. Rok akademicki: 2016/2017 Kod: DIS IK-n Punkty ECTS: 3

Wybrane zastosowania bezzałogowych statków latających (BSL) w inżynierii środowiska. Rok akademicki: 2016/2017 Kod: DIS IK-n Punkty ECTS: 3 Nazwa modułu: Wybrane zastosowania latających (BSL) w inżynierii środowiska Rok akademicki: 2016/2017 Kod: DIS-2-424-IK-n Punkty ECTS: 3 Wydział: Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Kierunek: Inżynieria

Bardziej szczegółowo

METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026 Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Wojskowa Akademia Techniczna Zakład Teledetekcji i Fotogrametrii ul. Kaliskiego Warszawa 49

Wojskowa Akademia Techniczna Zakład Teledetekcji i Fotogrametrii ul. Kaliskiego Warszawa 49 Wojskowa Akademia Techniczna Zakład Teledetekcji i Fotogrametrii ul. Kaliskiego 2 00-908 Warszawa 49 Opracowanie cyfrowej ortofotomapy terenów niedostępnych z wysokorozdzielczych danych satelitarnych Michał

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 5 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ MODEL REGRESJI LINIOWEJ Analiza regresji

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej

5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =

Bardziej szczegółowo

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? 1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,

Bardziej szczegółowo

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma dr hab. inż. Michał K. Urbański, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, pok 18 Gmach Fizyki, murba@if.pw.edu.pl www.if.pw.edu.pl/ murba strona Wydziału Fizyki www.fizyka.pw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34 Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Temat Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego. 2. Terenowy rozmiar piksela. 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego

Temat Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego. 2. Terenowy rozmiar piksela. 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego Temat 2 1. Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego 2. Terenowy rozmiar piksela 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego Projektowanie Dokładność - specyfikacja techniczna projektu Aparat cyfrowy

Bardziej szczegółowo

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM Procedura szacowania niepewności Szacowanie niepewności oznaczania / pomiaru zawartości... metodą... Data Imię i Nazwisko Podpis Opracował Sprawdził Zatwierdził

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Laboratorium Python Zadanie nr 1 Regresja liniowa autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, M. Zięba, J. Kaczmar Cel zadania Celem zadania jest implementacja liniowego zadania

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 1 Regresja liniowa autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z liniowym zadaniem najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Podstawy fotogrametrii i teledetekcji

Podstawy fotogrametrii i teledetekcji Podstawy fotogrametrii i teledetekcji Józef Woźniak Zakład Geodezji i Geoinformatyki Wrocław, 2013 Fotogrametria analityczna Metody pozyskiwania danych przestrzennych Plan prezentacji bezpośrednie pomiary

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016 Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.

Bardziej szczegółowo

WPŁYW METODY DOPASOWANIA NA WYNIKI POMIARÓW PIÓRA ŁOPATKI INFLUENCE OF BEST-FIT METHOD ON RESULTS OF COORDINATE MEASUREMENTS OF TURBINE BLADE

WPŁYW METODY DOPASOWANIA NA WYNIKI POMIARÓW PIÓRA ŁOPATKI INFLUENCE OF BEST-FIT METHOD ON RESULTS OF COORDINATE MEASUREMENTS OF TURBINE BLADE Dr hab. inż. Andrzej Kawalec, e-mail: ak@prz.edu.pl Dr inż. Marek Magdziak, e-mail: marekm@prz.edu.pl Politechnika Rzeszowska Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej

Bardziej szczegółowo

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która 3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6

Bardziej szczegółowo