METODY KOREKCJI KĄTÓW OBROTU HEADING, PITCH, ROLL Z UŻYCIEM BEZZAŁOGOWEGO STATKU POWIETRZNEGO

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN X MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL Z UŻYCIEM BEZZAŁOGOWEGO SAKU POWIERZNEGO Damian Wierzbicki 1a, Kamil Krasuski 2b 1 Zakład Fotogrametrii i eledetekcji, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Wojskowa Akademia echniczna 2 Wydział Geodezji, Kartografii i Katastru Nieruchomości, Starostwo Powiatowe w Rykach a damian.wierzbicki@wat.edu.pl, b kk_deblin@wp.pl Streszczenie W pracy przedstawiono rezultaty korekcji kątów HPR (Heading, Pitch i Roll) z użyciem filtracji Kalmana, metody wielomianowej oraz metody trygonometrycznej. Eksperyment badawczy przeprowadzono z użyciem surowych wartości kątów Heading, Pitch i Roll, zarejestrowanych przez urządzenie rimble UX-5. W artykule przedstawiono algorytmy korekcji kątów HPR oraz opisano konfigurację parametrów wejściowych dla każdej metody badawczej. Kod źródłowy programu i obliczenia numeryczne zostały wykonane w edytorze Scilab Słowa kluczowe: Heading, Pitch, Roll, BSP, odchylenie standardowe, filtr Kalmana, metoda wielomianowa, metoda trygonometryczna HE CORRECION MEHODS OF HEADING, PICH, ROLL ROAION ANGLES WIH USING UAV Summary In the paper, results of correction Heading, Pitch and Roll angles with using Kalman filtering method, polynomial method and trigonometric method were presented. he research test was realized using the raw data of Heading, Pitch and Roll angles, which are register by rimble UX-5 platform. In the paper, algorithms of correction Heading, Pitch and Roll angles were presented and configuration of initial parameters in each research method was described. he source code of program and numerical computations were executed in Scilab software. Keywords: Heading, Pitch, Roll, UAV, standard deviation, Kalman Filter, polynomial method, trigonometric method 1. WSĘP Orientacja w przestrzeni Bezzałogowego Statku Powietrznego (BSP) odbywa się zazwyczaj z wykorzystaniem połączenia sensora GPS oraz systemu inercjalnego INS. Sensor GPS pozwala na wyznaczenie współrzędnych BSP względem środka Ziemi w układzie ECEF, natomiast sensor INS umożliwia określenie przyspieszenia i kątów obrotu HPR (Heading, Pitch, Roll) w układzie wewnętrznym statku powietrznego (tzw. body frame ) [1, 7]. Kąty HPR przyjęto definiować w polskiej nomenklaturze następująco: Heading- kurs, Pitch- kąt pochylenia, Roll- kąt obrotu [8]. Należy podkreślić, iż zarejestrowane przez jednostkę inercjalną IMU wartości kątów HPR mogą zawierać błędy grube i powinny zostać poddane dodatkowej obróbce wewnętrznej w celu detekcji i eliminacji pomiarów odstających. Nieprecyzyjne wyznaczone wartości kątów HPR przekładają się głównie na stabilność parametrów lotu i położenia platformy BSP [6]. Dopuszczalna dokładność określenia 132

2 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI kątów HPR dla urządzenia BSP, podczas wykonywania lotu, może wynosić nawet do 2 0. rzeba nadmienić, iż większość producentów BSP oferuje możliwość zapisu wartości kątów HPR dla BSP z precyzją do 2 miejsc po przecinku (tj ), co nie jest tożsame z uzyskiwaną dokładnością bezwzględną odczytu [4]. Zarejestrowane kąty HPR po wstępnej obróbce danych źródłowych są wykorzystywane w obszarze fotogrametrii do określenia elementów orientacji zewnętrznej dla pozyskanych zdjęć lotniczych z niskiego lub średniego pułapu wysokości [3]. W prezentowanej pracy przedstawiono i omówiono rezultaty korekcji danych HPR z użyciem filtru Kalmana, metody wielomianowej i trygonometrycznej. Całość artykułu podzielono na pięć części: wstęp, metodologia badań, opis eksperymentu badawczego, wyniki i dyskusja, wnioski końcowe. Algorytmy i modele matematyczne wykorzystane w korekcji danych źródłowych w postaci kątów HPR zostały opisane szczegółowo w rozdziale drugim. W rozdziale trzecim scharakteryzowano eksperyment badawczy i opisano konfigurację parametrów wejściowych w każdej metodzie badawczej. W rozdziale czwartym zaprezentowano uzyskane rezultaty z eksperymentu badawczego oraz dokonano ich porównania z surowymi odczytami kątów HPR z urządzenia rimble UX-5. Artykuł naukowy kończy rozdział z wnioskami oraz spis literatury. 2. MEODYKA BADAŃ W metodologii badań zaproponowano użycie trzech modeli matematycznych, mających na celu poprawę wartości kątów obrotu HPR. W analizie wykorzystano metodę filtracji Kalmana (rozwiązanie 1), metodę wielomianową (rozwiązanie 2), metodę trygonometryczną (rozwiązanie 3). Model matematyczny dla każdej z wyżej wymienionych metod badawczych został szczegółowo opisany w niniejszym artykule. 2.1 FILR KALMANA W pierwszej metodzie badawczej zastosowano algorytm dwuwymiarowego modelu systemu pomiarowego z użyciem filtracji Kalmana w przód. Parametrami wejściowymi dla algorytmu są wartości kątów HPR (Heading, Pitch, Roll), zarejestrowane przez BSP dla określonego interwału czasu. Podstawowe równanie modelu systemu pomiarowego dla kątów HPR przyjmie postać [2]: - dla kąta Heading: ( dψ ) ψ ( k) = ψ ( k 1) + wψ ( k 1) + dψ ( k 1) + w t (1) dψ ( k) = dψ ( k 1) + wd ψ - dla kąta Roll: ( dφ ) φ ( k) = φ( k 1) + wφ ( k 1) + dφ( k 1) + w t dφ( k) = dφ( k 1) + wdφ [ ( k), ( k), ( k) ] (3) ψ θ φ - skorygowane wartości kątów HPR na epokę k (epoka bieżąca), [ ψ ( k 1), θ( k 1), φ( k 1) ] - skorygowane wartości kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), wψ, wθ, wφ - szum procesu pomiarowego dla kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), [ dψ ( k 1), dθ ( k 1), dφ( k 1) ] - dryfty kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), wdψ, wdθ, wdφ - szum procesu pomiarowego dla dryftów kątów HPR na epokę k-1 (epoka poprzednia), t - przyrost czasu pomiędzy epokami (k) oraz (k-1), [ d ( k), d ( k), d ( k) ] ψ θ φ - dryfty kątów HPR na epokę k (epoka bieżąca). Równania (1), (2) i (3) są ogólnymi równaniami modelu systemu pomiarowego, w którym dane wejściowe pochodzą tylko z jednego urządzenia pomiarowego, np. żyroskop laserowy. W przypadkach szczegółowych, gdy system pomiarowy składa się z kilku rządzeń mierniczych (np. akcelerometry, żyroskopy, inklinometry), należy zastosować trójwymiarowy model systemu, tzn. uwzględnić parametr prędkości kątowej. W równaniach (1), (2) i (3) zastosowano dwuwymiarowy model systemu pomiarowego, który zawiera informacje o wyznaczanych kątach HPR oraz ich dryfcie. Wartości kątów HPR są wyrażone w stopniach lub radianach, zaś dryfty kątów HPR odpowiednio w stopniach na sekundę lub radianach na sekundę. Równania systemu pomiarowego (1), (2) i (3) są wyznaczane z użyciem filtru Kalmana w procesie dwuetapowym, jak poniżej [11]: 1) I etap- proces predykcji : x( k 1) = A x( k 1) (4) P( k 1) = A P A + Q( k 1) (5) A - macierz współczynników, - dla kąta Pitch: ( ) θ ( k) = θ ( k 1) + wθ ( k 1) + dθ ( k 1) + wdθ t dθ ( k) = dθ ( k 1) + wdθ (2) 1 t A = 0 1, 133

3 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) x - oszacowane wartości wyznaczanych parametrów a priori z kroku poprzedniego, P - oszacowane wartości macierzy kowariancji a priori z kroku poprzedniego, x - prognoza wartości stanu, P - prognozowane wartości macierzy kowariancji, Q - macierz kowariancji procesu szumu, qψ 0 Q( k 1) = 0 q, dψ ( qψ, qd ψ ) - wariancje szumu procesu pomiarowego dla pojedynczego kąta i jego dryftu (przykład podany dla kąta Heading). 2) II etap- proces korekcji : ( ) 1 K( k) = P H H P H + R (6) ( ) x( k) = x( k 1) + K ( k) z H x( k 1) (7) ( ) P( k) = I K ( k) H P( k 1) (8) R - macierz kowariancji pomiarów, H - macierz pochodnych cząstkowych, H = [ 1 0], K( k) - macierz wzmocnienia Kalmana, z - wektor wielkości pomierzonych, I - macierz jednostkowa, x( k) - wyznaczane parametry a posteriori, P( k) - macierz kowariancji wyznaczanych parametrów a posteriori. 2.2 MEODA WIELOMIANOWA Podstawowe równanie modelu matematycznego dla metody wielomianowej przyjmuje postać [5]: Y = a0 X an X (9) Y - źródłowe dane parametru, pozyskane z określonego sensora, ( a0,..., an ) - wyznaczane współczynniki liniowe wielomianu, n - stopień wielomianu, X - argumenty funkcji wielomianowej (np. numery kolejnych epok lub interwał czasu). W zagadnieniu ogólnym, stosując metodę wielomianową, sprowadza się ją do wyznaczenia współczynników linio- a a w najlepszym dopasowaniu do konkret- wych ( ) 0,..., n nej reprezentacji zbioru liczbowego dla parametru Y. Należy dodać, że liczba danych parametru X musi być taka sama jak zbioru wejściowego Y. Stopień rozwinięcia wielomianu zależy w głównej mierze od liczby danych wejściowych zbioru liczbowego Y oraz trendu zmian parametru Y. Wysoki stopień wielomianu określa lepsze dopasowanie do danych źródłowych ze zbioru Y oraz umożliwia wygładzenie pomiarów odstających ze zbioru Y. W analizowanym przypadku zaproponowano zastosowanie wielomianu 9-ego stopnia, jak poniżej: (,...,, ) Y = a X + a X a X + a X (10) a a a a - wyznaczane współczynniki wielomianu 9- ego stopnia (w sumie 10 współczynników liniowych). Równanie (10), przy założeniu iż liczba zbioru wejściowego Y jest znacznie większa od liczby wyznaczanych współczynników, jest rozwiązywane metodą najmniejszych kwadratów, jak poniżej [10]: -1 Qx = N L v = A Qx - dl [ vv] m0 = r s (11) Qx - wektor z wyznaczanymi współczynnikami liniowymi wielomianu, N = A A - układ równań normalnych, A - macierz współczynników, L = A dl, dl - wektor wyrazów wolnych, m0 - odchylenie standardowe poprawek, r - liczba obserwacji zbioru wejściowego, r > 10, s - liczba wyznaczanych współczynników, s = 10, v - wektor poprawek. 2.3 MEODA RYGONOMERYCZNA Metoda trygonometryczna umożliwia dopasowanie źródłowych danych wejściowych Y z wykorzystaniem funkcji parzystej cosinus lub funkcji nieparzystej sinus. W pracy zaproponowano zastosowanie funkcji parzystej cosinus do korekcji kątów HPR, jak poniżej [9]: 5 ( π ) ( π ) ( X π ) Y = c cos 0 X c cos 6 X c cos 10 (12) 134

4 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI ( c, c, c, c, c, c ) wyznaczane współczynniki funkcji trygonometrycznej (w sumie 6 współczynników). Funkcja trygonometryczna z równania (12) została określona poprzez użycie krotności funkcji bazowej cos( j X π), w której parametr j oznacza liczby całkowite z przedziału j = [0;2;4;6;8;10]. Równanie (12) jest rozwiązywane z zastosowaniem metody najmniejszych kwadratów (patrz równanie 11 w rozdziale 2.2), z tymże liczba wyznaczanych parametrów wynosi 6 ( s = 6 ) oraz minimalna liczba obserwacji źródłowych dla zbioru wejściowego Y wynosi powyżej 6 ( r > 6 ). 3. EKSPERYMEN BADAWCZY W części praktycznej eksperymentu badawczego dokonano korekcji wartości kątów HPR, które zostały zarejestrowane w trakcie przelotu testowego przez urządzenia rimble UX-5 (jeden z rodzajów BSP). Urządzenie rimble UX-5 rejestruje automatycznie kąty rotacji HPR i zapisuje je w pliku tekstowym (tzw. log ). Wysokość elipsoidalna lotu BSP wynosiła od m do 235.9, przy średniej wartości około 230 m. - błąd pomiaru kąta Heading: - błąd pomiaru kąta Pitch: - błąd pomiaru kąta Roll: 0 m ψ = ± 1.5, 0 m θ = ± 1.5, 0 m φ = ± 2, - wartość początkowa macierzy kowariancji dla kąta i jego dryftu (macierz zastosowana dla wszystkich kątów P( k = 1) = HPR):, - wartości wariancji procesu pomiarowego (macierz zastosowana dla wszystkich kątów HPR): Q( k = 1) = , - liczba epok pomiarowych: nk = 85 ; II metoda wielomianowa: - liczba wyznaczanych współczynników wynosi 10, - metoda obliczeń: metoda najmniejszych kwadratów, - liczba epok pomiarowych: nk = 85, - rząd macierzy współczynników A wynosi 10, - obliczenia numeryczne realizowane niezależnie dla każdego kąta obrotu HPR; III metoda trygonometryczna: - wyrażenie funkcji trygonometrycznej: krotność funkcji cosinus, - liczba wyznaczanych współczynników wynosi 6, - metoda obliczeń: metoda najmniejszych kwadratów, - liczba epok pomiarowych: nk = 85, - rząd macierzy współczynników A wynosi 6, - obliczenia numeryczne realizowane niezależnie dla każdego kąta obrotu HPR. 4. WYNIKI EKSPERYMENU BADAWCZEGO DYSKUSJA Rys. 1. rajektoria pozioma i pionowa BSP Modele matematyczne dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej i metody trygonometrycznej zostały zaimplementowane do programu Scilab 5.4.1, w którym wykonano obliczenia korekcji kątów HPR. W trakcie przeprowadzania obliczeń numerycznych przyjęto następujące parametry konfiguracji dla parametrów wejściowych modelu: I metoda filtracji Kalmana: - okres próbkowania obserwacji: t = 1 sekunda, - wartość początkowa parametrów wektora stanu x( k = 1) = [0;0], W rozdziale czwartym prezentowanego artykułu przedstawiono i opisano rezultaty przeprowadzonych badań. W postaci graficznej zaprezentowano parametry finalne filtracji Kalmana (odchylenia standardowe kątów HPR oraz wartości dryftu kątów HPR), a ponadto porównano wartości kątów obrotu HPR po korekcji dla trzech metod badawczych. Na rys. 2 zaprezentowano wartości błędów średnich (odchylenia standardowe) dla kątów HPR po filtracji Kalmana. Wartość przeciętna dokładności kątów Heading i Pitch wynosi , przy rozrzucie wyników od do Wartość przeciętna dokładności kąta Roll wynosi , przy rozrzucie wyników od do Porównując błędy średnie pomiędzy poszczególnymi kątami HPR warto zauważyć, iż dokładność wyznaczenia kątów Heading i Pitch jest wyższa o około 20% względem dokładności kąta Roll. 135

5 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) Rys. 2. Dokładność kątów HPR po filtracji Kalmana Na rys. 3 zaprezentowano wartości dryftu dla wszystkich kątów HPR w funkcji epoki pomiarowej. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Heading wynosi -0,04 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -6,60 [ 0 /s 2 ] do 1,09 [ 0 /s 2 ]. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Pitch wynosi 0,14 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -0,67 [ 0 /s 2 ] do 1,99 [ 0 /s 2 ]. Przeciętna wartość dryftu dla kąta Roll wynosi - 0,07 [ 0 /s 2 ], dla przedziału wyników od -1,93 [ 0 /s 2 ] do 0,32 [ 0 /s 2 ]. Rys. 3. Wartości dryftu dla kątów HPR Na rys. 4 zaprezentowano wartości kąta Heading na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Heading na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Heading wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i trygonometrycznej, średnia wartość kąta Heading wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz Należy nadmienić, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Heading jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Heading zostały zredukowane odpowiednio o 47%, 64% oraz 70%. Różnica wyników kąta Heading pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Heading pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Heading pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, że dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Heading z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Heading z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Heading przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Heading przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz Na rys. 5 zaprezentowano wartości kąta Pitch na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Pitch na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Pitch wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i trygonometrycznej, średnia wartość kąta Pitch wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz rzeba nadmienić, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Pitch jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Pitch zostały zredukowane odpowiednio o 26%, 62% oraz 67%. Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Rys. 4. Wartości kąta Heading na podstawie danych źródłowych i metod korekcji 136

6 DAMIAN WIERZBICKI, KAMIL KRASUSKI Rys. 5. Wartości kąta Pitch na podstawie danych źródłowych i metod korekcji Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Pitch pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, że dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Pitch z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana. Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Pitch z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Pitch przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Pitch przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz trygonometrycznej, średnia wartość kąta Roll wynosi , jednakże odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio dla danej metody oraz Zaobserwowano, iż w każdej metodzie badawczej odchylenie standardowe dla wartości średniej kąta Roll jest znacznie mniejsze od Dla filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej odchylenia standardowe wartości średniej kąta Roll zostały zredukowane odpowiednio o 55%, 78% oraz 77%. Różnica wyników kąta Roll pomiędzy filtracją Kalmana a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Roll pomiędzy metodą wielomianową a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Różnica wyników kąta Roll pomiędzy metodą trygonometryczną a danymi źródłowymi z sensora rimble UX-5 wynoszą od do Należy zauważyć, iż dyspersja rezultatów porównania wartości kąta Roll z surowych odczytów i poszczególnej metody korekcji jest najmniejsza dla metody filtracji Kalmana. Dla każdej metody badawczej określono również odchylenie standardowe dla różnicy kąta Roll z danych źródłowych i metody korekcji. Wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Roll przed i po filtracji Kalmana wynosi Z kolei dla metody wielomianowej i trygonometrycznej, wartość odchylenia standardowego dla różnicy wartości kąta Roll przed i po korekcji wynosi odpowiednio oraz WNIOSKI W artykule opisano i zaprezentowano rezultaty korekcji kątów HPR dla BSP z użyciem algorytmu filtracji Kalmana, metody wielomianowej i trygonometrycznej. Obliczenia numeryczne wykonano na danych źródłowych HPR, zarejestrowanych przez urządzenie rimble UX-5. Kod źródłowy programu obliczeniowego został napisany w programie Scilab Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i eksperymentów badawczych wyciągnięto następujące wnioski: - zastosowanie filtru Kalmana pozwala zmniejszyć błędy średnie (odchylenia standardowe) wyznaczonych kątów rotacji HPR odpowiednio: z poziomu 2 0 na dla kąta Roll oraz z poziomu do dla kątów Heading i Pitch; Rys. 6. Wartości kąta Roll na podstawie danych źródłowych i metod korekcji Na rys. 6 zaprezentowano wartości kąta Roll na podstawie danych źródłowych oraz metod korekcji w funkcji epoki pomiarowej. Średnia wartość kąta Roll na podstawie surowych odczytów wynosi z odchyleniem standardowym W przypadku filtracji Kalmana, średnia wartość kąta Roll wynosi z odchyleniem standardowym W metodzie wielomianowej i - zastosowanie dwuwymiarowego modelu systemu pomiarowego dla algorytmu filtru Kalmana pozwala na wyznaczenie dryftu kątów obrotu HPR; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wyników pomiędzy surowymi odczytami kąta Heading oraz rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielomianowej, metody trygonometrycznej wynosi odpowiednio , i ; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wyników pomiędzy surowymi odczytami kąta Pitch oraz rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielo- 137

7 MEODY KOREKCJI KĄÓW OBROU HEADING, PICH, ROLL (...) mianowej, metody trygonometrycznej wynosi odpowied- nio , i ; - wartość odchylenia standardowego dla różnicy wynikąta Roll oraz ków pomiędzy surowymi odczytami rezultatami korekcji filtracji Kalmana, metody wielowynosi odpowied- mianowej, metody trygonometrycznej nio , i Literatura 1. Bieda R., Grygiel R.: Wyznaczanie orientacji obiektu w przestrzeni z wykorzystaniem naiwnego filtru Kalmana. Przegląd Elektrotechniczny 2014, R. 90, nr 1, s Kędzierski J.: Filtr Kalmana - zastosowania w prostych układach sensorycznych. W: Kołoo Naukowe Robotyków Konar 2007, s Kędzierski M., Wierzbicki D., Wilińska M., Fryśkowska A.: Analiza możliwości wykonaniaa aerotriangulacji zdjęć cyfrowych pozyskanych kamerą niemetryczną zamontowaną na pokładzie bezzałogowegoo statku latającego bez systemu GPS/INS. Biuletyn WA 2013, vol. LXII, nr 4, s Kędzierski M., Fryśkowska A., Wierzbicki D.: Opracowania fotogrametryczne z niskiego pułapu. Warszawa: WA, 2014., s ISBN Kiusalaas J.: Numerical methods in engineering with MALAB. 2th ed. Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York, 2009, p ISBN Kolecki J., Prochaska M., Piątek P., Baranowski J., Kurczyński Z.: Stabilizacja systemu pomiarowego dla wiatrakowca w aspekcie jakości LIDAR. Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i eledetekcji 2015, vol. 27, s , DOI: /afkit Krasuski K., Wierzbicki D.: Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku powietrznego na podstawie danych GPS i INS. Pomiary Automatyka Robotyka 2015, R. 19, nr 4/2015, s DOI: /PAR_218/ Nowak A., Naus K.: Badanie możliwości określania parametrów ruchu statku za pomocą systemu EGNOS. Logistyka 2014, nr 6, s Ratajczak.: Metody numeryczne: przykłady i zadania. Gdańsk: Wyd. Pol. Gd., 2006, s Subirana J.S., Zornoza J. M.J., Hernández-Pajares M.: GNSS data processing. Vol. I: Fundamentals and algorithms. ESA Communications, ESEC, Noordwijk, Netherlands, 2013, p ISBN: Yi Y.: On improving the accuracy and reliability of GPS/INS-based direct sensor georeferencing. Ph. D. hesis, Ohio State University, p en artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów. reść licencji jest dostępna na stronie /pl/ 138