O prostych połowiących pola wypukłe

Transkrypt

1 -.. : ~. l K. ZARANKIEWICZ (Warszawa) O prostych połowiących pola wypukłe N i ech S oznacza ograniczony i wypukły ( 1 ) zbiór punktów płaszczyzny. Przez Fr (S) oznaczymy brzeg zbioru S; wiadomo, że S _ ma określone pole, i że Fr(S) jest krzywą prostowalną mającą skończoną długość. Każda prosta połowiąca pole zb ~ oru S przecina Fr(S) w dwóch punktach P i P'; Odcinek PP' będziemy nazywać średnicą zbioru S przechodzącą przez P (albo przez P') lub po prostu średnicą. średnica. LEMAT l. Przez każdy punkt P e Fr(S) ( 2 ) przechodzi dokladnie jedna D o wód. Z założenia, że S jest zbiorem wypukłym, wynika, że przez każdy punkt P jego brzegu przechod~i prosta- nazwiemy ją m- nieprzecinająca wnętrza S. Gdy prostą.m będziemy obracać dokoła punktu P, to pola obu części, na które m rozcina S, będą funkcjami ciągłymi i monotonicznymi kąta obrotu. Pole jednej części będzie funkcją rosnącą bez przedziałów stałości, pole drugiej części będzie funkcją malejącą bez przedziałów stałości - będzie więc jedno i tylko jedno takie położenie prostej m, przy którym pola obu części będą równe sobie. To położenie prostej m wyznacza więc średnicę przechodzącą przez P. Zauważmy, że każde dwie średnice przecinają się wewnątrz pola S. Gdyby bowiem pewne dwie średnice nie przecinały się wewnątrz S, to razem dzieliłyby S na trzy częśc_i; oznaczając pola kolejnych części przez Su s 2, Sa mielibyśmy s 1 + s 2 = s 3 oraz S 1 = s 2 + sa, skąd s 2 = O, co jest niemożliwe, ponieważ s i > O dla i = 1, 2, 3. LEMAT 2. Jeżeli punkt Q e Fr(S), dąży po Fr(S) do punktu P e Fr(S) (albo do punktu P'), to punkt przecięcia się średnicy QQ' ze średnicą PP' dąży do środka średnicy P P'. Dowód. Oznaczmy przez O punkt przecięcia się średnic PP' i QQ'. ( 1 ) Zbiór punktów nazywa się wypukły, jeżeli zawiera odcinek łączący każdą parę punktów należących do zbioru. Wiadomości o zbiorach wypukłych znaleźć można w książkach [1], [2], [3] i [4]. ( 2 ) Symbol P e Fr (S) oznacza, że punkt P należy do zbioru Fr (S).

2 O prostych połowiących pola wypukle 229 Pola wycinków POQ i Q'OP' (albo wycinków POQ' i QOP') są równe, ponieważ mamy pole POQ+pole POQ' = ł pola S= pole P'OQ' +pole POQ'. Gdy punkt Q dąży do punktu P, wycinek POQ coraz mniej różni się od trójkąta równoramiennego o wierzchołku w punkcie O. Zupełnie podobnie wycinek Q' OP' coraz to mniej różni się od trójkąta równoramiennego o wierzchołku w punkcie O. Ponieważ jednak te dwa trójkąty mają równe kąty przy wierzchołku oraz pola coraz to mniej różniące się, więc muszą mieć także boki coraz to mniej różniące się, czyli limpo = limp'o, Q-.P Q-.P a więc punkt O w granicy będzie środkiem odcinka PP'. LEMAT 3. Jeżeli dwa punkty A i B leżą na dowolnej średnicy PP' i zarówno przez A, jak i przez B przechodzi średnica różna od PP', to przez każdy punkt wewnętrzny odcinka AB przechodzą trzy różne średnice. D o wód. Niech będzie dana średnica P P' i na niej d w a punkty A i B, o których wiadomo, że zarówno przez A jak i przez B przechodzą średnice różne od PP'. Weźmy pod uwagę zmienny punkt Q leżący na Fr(S) i wyobraźn1y sobie, że punkt Q porusza się po łuku Fr(S) rozpoczy- nając swój ruch od punktu P, a kończąc w punkcie P'. Odpowiadająca punktowi Q średnica opisze przy tym ruchu wszystkie możliwe położenia średnic S. Niech R oznacza (rys. 1) punkt przecięcia się średnic PP' i QQ'. Przy ruchu punktu Q punkt R, na mocy lematu 2, rozpoczyna swój ruch po PP' od środka O odcinka PP' oraz kończy swój ruch również w punkcie O. Gdy punkt Q porusza się po łuku Fr (S) w sposób cią:gły, to i R porusza się po PP' w sposób ciągły. Ponieważ, w myś~ założenia, jest takie położenie punktu Q - nazwijmy go Q 1 - że średnica Q 1 Q~ przechodzi przez punkt A, Rys. l oraz jest takie położenie punktu Q - nazwijmy go Q 2 -że średnica Q 2 Q; przechodzi przez punkt B, więc punkt R poruszając się w sposób ciągły i rozpoczynając swój ruch po P P' od środka O odcinka PP' musi przejść zarówno przez A, jak i przez B, a następnie musi wrócić do O. W takim razie przez każdy punkt wewnętrzny JJI od- cinka A.B, jakkolwiek leżałyby punkty O, A i B, punkt R musi przejść

3 230 K. Z~rankiewicz co najmniej dwa razy. Znaczy to, że dla każdego punktu M istnieją co najmniej dwie różne (i różne od PP') średnice przechodzące przez M; ponieważ przez M przechodzi także średnica PP', wi~c przez punkt M przechodzą trzy różne średnice. TWIERDZENIE l. N a każdym zbiorze wypuklym ograniczonym S istnieje punkt, przez któ1 y przechodzą co najmniej trzy różne średnice( 3 ). Dowód. Obierzmy dowolnie dwa punkty P C Fr(S) i Q C Fr(S) i rozważmy średnice PP' i QQ' oraz ich punkt przecięcia się R. Rozważmy ruch punktur po PP', gdy punkt P jest ustalony, a punkt Q rozpoczyna ruch po Fr(S) od P do P'. Jeżeli podczas ruchu punktu Q, punkt R pozostaje w miejscu, a mianowicie w środku odcinka PP', to twierdzenie jest udowodnione, gdyż wtedy przez R przechodzi nieskończenie wiele różnych średnic. Jeżeli jednak punkt R nie stoi w miejscu, lecz istotnie porusza się, to wobec ciągłości tego ruchu zajmie on dwa położenia, np. A i B, różne od środka O odcinka PP'. W tym jednak przypadku, na mocy lematu 3, wszystkie punkty wewnętrzne odcinka AB mają tę własność, A' Rys.~ A że przez każdy z nich przechodzą trzy różne średnice..a więc i w tym przypadku istnieje punkt, przez który przechodzą trzy różne średnice. LEMAT 4. Jeżeli na zbiorze wypukłym S istnieje tylko jeden taki punkt O, przez który przechodzą trzy różne średnice, to każda prosta m przechodząca przez O polowi pole S. Dowód. Niech O będzie tym jedynym punktem, przez który przechodzą trzy średnice AA', BB' i CO', oraz niech m będzie dowolną prostą przechodzącą przez O. Przypuśćmy, że m nie jest prostą połowiącą pole S. W takim razie istnieje (rys. 2) prosta m', równoległa do prostej m, która połowi pole S; rzeczywiście, gdy będziemy przesuwać prostą pozostającą stale równolegle do prostej m, to pola obu części, na jakie ta prosta dzieli S, zmieniają się w sposób ciągły i monotoniczny: pole jednej części będzie rosło w miarę przesuwania się prostej, pole drugiej części będzie malało, a więc będzie takie położenie m' prostej ruchomej, że przepołowi ona pole S. Prosta m' przecina średnicę ( 8 ) Dowiedziałem Hię, że H. Steinłta.us udowodnił twierdzenie mocniejsze (praca jeszcze nie ogłorzona}, a mianowicie: twierdzenie l pozostaje słuszne i wtedy, gdy przepiszemy z góry dowolnie ki~ty między 3 prostymi połowiącymi pole, przy czym S może należeć do obszerniejszej klasy zbiorów niż zbiory wypukłe.

4 O prostych połowiących pola wypukle 231 AA' w punkcie, który nazwiemy O', przy czym O' i= O, gdyż m' nie przechodzi przez O. W takim razie wszystkie punkty wewnętrzne odcinka 00', na mocy lematu 3, są punktami o tej własności, że przez każdy z nich przechodzą trzy różne średnice - wbrew przypuszczeniu, że taki punkt jest tylko jeden. Zatem prosta m połowi pole S. TwiERDZENIE 2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by punkt O byl środkiem symetrii zbioru wypuklego ograniczonego S, jest, żeby punkt O byl jedynym takim punktem, przez który przechodzą co najmniej trzy różne średnice. Dowód warunku koniecznego. Przypuśćmy, że punkt O jest środkiem symetrii zbioru S. Niech m będzie dowolną prostą przechodzącą przez O. Dwie figury, na jakie prosta m dzieli zbiór S, są przystające, zatem mają pola równe, a więc prosta m połowi pole S. Ponieważ prosta m jest dowolna (byleby przechodziła przez O), więc jstnieją trzy różne średnice przechodzące przez O. Przypuśćmy, że punkt O', różny od O, ma tę własność, że przez niego przechodzą trzy średnice. W takim razie co najmniej jedna z tych średnic (rys. 3) jest różna od prostej 00'; niech L i K będą punktami, w których ta właśnie średnica przecina brzeg Fr(S). Przez punkt L poprowadźmy prostą m przechodzącą przez O. W takim razie przez L przechodziłyby dwie proste połowiące pole S, a mianowicie prosta m - ponieważ przechodzi przez środek symetrii O - oraz prosta LK z przypuszczenia, przy czym Rys. 3 są one różne, gdyż LK nie zawiera punktu O, a prosta m zawiera ten punkt -jest to jednak niemożliwe na mocy lematu l. Zatem przez punkt O', dowolny byle różny od O, może przechodzić tylko jedna prosta połowiąca pole S, więc punkt O jest jedynym punktem, przez który przechodzą co najmniej trzy średnice. Dowód warunku wystarczającego. Przypuśćmy, że punkt O jest jedynym punktem zbioru S, przez który przechodzą co najmniej trzy średnice. W ów czas na mocy lematu 4 każda prosta przechodząca przez O jest średnicą. Weźmy pod uwagę dowolny punkt P Fr(S) i poprowadźmy prostą PO, której drugi punkt przecięcia z Fr (S) oznaczymy przez P'. Odcinek PP' jest średnicą na. mocy lematu 4, ponieważ przechodzi przez O. Twierdzimy, że punkt O jest środkiem odcinka PP'. Przypuśćmy

5 232 K. Z ar ankiewicz bowiem, że środkiem odcinka PP' jest punkt O' #O. Na mocy lematu 2 można dobrać punkt Q leżący na Fr(S) tak blisko punktu P, żeby średnica QQ' przecinała średnicę PP' w pewnym punkcie A, który albo jest samym punktem O', albo też leży w odległości mniejszej od 00' od niego. W takim razie punkty A i O są różne; leżą one na średnicy PP' i przez każdy z nich przechodzą średnice różne od PP', a mianowicie przez A przechodzi średnica QQ', a przez O dowolna prosta (gdyż każda prosta przechodząca przez O jest średnicą). Na mocy lematu 3 przez każdy punkt wewnętrzny odcinka AO przechodziłyby trzy średnice -co przeczy założeniu, że O jest jedynym takim punktem. Zatem O' =O, a więc punkt O jest środkiem odcinka PP', czyli P' jest symetryczny do P względem O. Jeżeli jednak dla każdego punktu P zbioru Fr(S) drugi koniec średnicy PP' (tzn. punkt P') jest symetrycznie położony względem punktu O, to brzeg Fr (S) ma w punkcie O środek symetrii, a w takim razie i dla zbioru S punkt O jest środkiem symetrii. N a kole, elipsie lub kwadracie istnieje tylko jeden punkt, przez który przechodzą co najmniej trzy różne średnice - jest to środek symetrii tych figur. Jeżeli jednak figura wypukła nie ma środka symetrii, to posiada więcej takich punktów, przez które przechodzą co najmniej trzy średnice - punkty takie mogą wypełniać cały obszar płaski. Weźmy dla przykładu trójkąt równoboczny (rys. 4) o wierzchołkach A 1, A 2, A 3 Niech Oi, gdzie i= l, 2, 3, oznacza środek wysokości tego trójkąta przechodzącej przez A i oraz niech B i, gdzie i = l, 2, 3, oznacza punkt wysokości AiA;, który jest oddalony od wierzchołka A i o wielkość AiA~jJ/2. Gdy przez Bi poprowadzimy prostopadłą do BiAi, to otrzymamy prostą połowiącą pole trójkąta, co łatwo sprawdzić. Przez.. każdy z punktów Bi prowadzimy prostopadłą do BiAi -te trzy proste zamykają trójkąt, którego wierzchołki oznaczymy przez Mi, przy czym Mi leży na wysokości AiA;. Wreszcie oznaczmy przez G punkt przecięcia się trzech wysokości trójkąta. Łatwo zauważyć, że na każdej wysokości trójkąta, licząc od wierzchołka trójkąta, następstwo tych punktów będzie następujące: Ai, Oi, Mi, G, Bi, A;. Twierdzę, że każdy punkt wewnętrzny trójkąta M 1 M 2 M 3 jest punktem, przez który przechodzą trzy różne średnice. Rzeczywiście, niech X będzie dowolnym punktem wewnętrznym tego trójkąta; przez punkt X przechodzi pewna średnica m, która przecina obwód trójkąta M 1 M 2 M 3 w dwóch punktach- nazwijmy je L i K. W takim razie na mocy lematu 3 wnosimy, że każdy punkt odcinka LK jest takim punktem, przez który przechodzą co najmniej trzy średnice, a więc i punkt X (który leży na odcinku LK) ma tę własność. Zbiór punktów, przez które przechodzą co najmniej trzy średnice, zawiera więc wnętrze trójkąta M 1 M 2 M 3 Ale zbiór ten poza tym zawjera jeszcze inne punkty, np. punkty wewnętrzne odcinków OiMi. Łatwo dalej zauwa-

6 żyć, że przez punkty o O prostyoh polowiąoyoh pola wypukle 233 i (i = l' 2' 3) przechodzi tylko jedna prosta połowiąca pole trójkąta i jest nią wysokość trójkąta; przez każdy z punktów B i (i = l, 2, 3) przechodzą dokładnie po d wieproste połowiące pole trójkąta - są nimi wysokość trójkąta przechodząca przez Bi oraz prostopadła do tej wysokości. Rys. 4 Zauważymy, że istnieją figury wypukłe, które nie zawierają takiego punktu, przez który przechodziłyby cztery proste połowiące pole. Przykładem może być wyżej rozpatrywany trójkąt równoboczny. Istotnie, rozważmy punkt P, który porusza się po obwodzie tego trójkąta, rozpoczynając swój ruch od wierzchołka A 1 i kończąc w A~. Oznaczmy przez R punkt przecięcia się średnicy A 1 A~ ze średnicą PP'. Przy rozważanym ruchu punktu P punkt R rozpoczyna ruch po PP' od środka 0 1 średnicy A 1 A~, dalej osiąga punkt B 1 i wraca do 0 1 przechodząc przez każdy punkt wewnętrzny odcinka 0 1 B 1 dokładnie dwa razy. N a odc.inku 0 1 B 1 są więc tylko punkty, przez które przechodzą:co najwyżej trzy średnice. Sytuacja będzie taka sama, gdy weźmiemy zamiast A 1 A~ dowolną inną średnicę trójkąta. Zatem, w trójkącie nie ma takiego punktu, przez który przechodziłyby cztery różne proste połowiące pole trójkąta. Zauważmy wreszcie, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej n ~ 3 istnieje figura wypukła, a mianowicie wielokąt foremny o n bokach,

7 234 K. Zarankiewicz na której istnieje punkt, przez który przechodzi dokładnie n prostych połowiących pole. Punktem tym jest środek wielokąta, a prostymi są proste przechodzące przez wierzchołek i środek wielokąta. Gdybyśmy wzięli wielokąt foremny o n bokach, to gdy n jest parzyste - wielokąt ma środek symetrii, a wtedy każda prosta przechodząca przez ten środek symetrh połowi pole wielokąta. Prostych połowiących pole jest więc nieskończenie wiele. Jest sprawą otwartą, czy istnieją figury wypukłe, na których istnieje punkt, przez który przechodzi dokładnie n prostych dzielących pole na połowy, w przypadku gdy liczba n jest parzysta ~ Prace cytowane [l] T. Bonnesen u. W. Fenchel, Theorie der konvexen Korper, New York [2] I..M:. Jagłom i \V. G. Bołtianski, Figury wypukle, Warszawa [3] A.,IJ;. A JI e Kc a H p; p o B, Botnyl'i,.aOLe.Mnoeoepannu11,u, Mocłma [4] JI. A. JI ro c T e p H n: K, Bbmyl'i,.abte me.aa, MocKBa ZAKŁAD MECHANIKI TEORETYCZNEJ WYDZIAŁU BUDOWNICTW.A L.ĄDOWEGO FOLITECHNIKI W.ARSZ.A WSKlEJ