Problem W przedziale całkowitym <a,b> wyszukaj wszystkie liczby parzyste.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Problem W przedziale całkowitym <a,b> wyszukaj wszystkie liczby parzyste."

Transkrypt

1

2

3 Problem W przedziale całkowitym <a,b> wyszukaj wszystkie liczby parzyste.

4 Liczby parzyste W wielu algorytmach musimy wygenerować liczby parzyste z zadanego przedziału <a,b> liczb całkowitych. Tego typu zadanie rozwiązujemy stosując podejście nr 2. Ponieważ granice przedziału a i b mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi, musimy najpierw znaleźć najmniejszą liczbę parzystą z przedziału <a,b>. 1. Jeśli a jest parzyste, to najmniejszą liczbą parzystą w tym przedziale będzie właśnie a. 2. Jeśli a nie jest parzyste, to najmniejszą liczbą parzystą będzie a + 1.

5 Parzystość a sprawdzimy badając resztę z dzielenia a przez 2. Jeśli reszta jest zerowa, to a jest liczbą parzystą. Jeśli a nie jest liczbą parzystą, to 1. Reszta wynosi 1 dla a > 0 2. Reszta wynosi -1 dla a < 0 Z powyższego wnioskujemy, iż pierwszą liczbę parzystą w przedziale całkowitym <a,b> otrzymamy następująco: i = a Jeśli reszta z dzielenia a przez 2 jest różna od 0, to zwiększ i o 1 Następna liczba parzysta jest zawsze o 2 większa. Podsumowując otrzymujemy następujący, prosty algorytm generacji liczb parzystych w przedziale całkowitym <a,b>:

6 Algorytm generacji liczb parzystych Wejście a początek przedziału, a ЄZ b koniec przedziału, b ЄZ, a < b Wyjście: Kolejne liczby parzyste zawarte w przedziale <a,b> Zmienna pomocnicza i przebiega przez kolejne liczby parzyste w przedziale <a,b>, i Z Lista kroków: K01: i a ; obliczamy pierwszą liczbę parzystą K02: Jeśli a mod 2 0, to i i + 1 K03: Dopóki i b, wykonuj kroki K03...K04 ; generujemy liczby parzyste w przedziale <a,b> K04: Pisz i ; wyprowadzamy liczbę parzystą K05: i i + 2 ; następna liczba parzysta K06: Zakończ

7 Program: Program spodziewa się w pierwszym wierszu liczb a i b. W kolejnych wierszach wyświetla liczby parzyste zawarte w przedziale <a,b>.

8 Liczby nieparzyste Liczby nieparzyste generujemy w identyczny sposób: wyznaczamy pierwszą liczbę nieparzystą w przedziale <a,b>, a kolejne są o 2 większe. Jeśli a jest nieparzyste, to pierwsza liczba nieparzysta jest równa a, w przeciwnym razie jest o 1 większa. Poniższy program czyta krańce przedziału a, b i wyświetla wszystkie kolejne liczby nieparzyste zawarte w tym przedziale.

9 Program: Program spodziewa się w pierwszym wierszu liczb a i b.

10

11 W przedziale <a,b> liczb całkowitych wyszukać wszystkie liczby podzielne przez jedną z liczb z zadanego zbioru P. W przypadku ogólnym stosujemy podejście pierwsze, czyli generujemy wszystkie kolejne liczby z przedziału <a,b> i sprawdzamy, czy dzielą się bez reszty przez jedną z liczb z zadanego zbioru. Jeśli tak, wyprowadzamy je na wyjście.

12 Wejście a początek przedziału, aє Z b koniec przedziału, b ЄZ, a < b n liczba podzielników, nє N P tablica, której kolejne elementy są podzielnikami. Elementy Z. Numeracja elementów od zera. Wyjście: Kolejne liczby z przedziału <a,b> podzielne przez jeden z podzielników w P Zmienne pomocnicze i przebiega przez kolejne liczby w przedziale <a,b>, i Z j przebiega przez numery kolejnych podzielników w P, j N

13 Lista kroków: K01: Dla i = a,a+1,...,b wykonuj K02...K03 ; (przechodzimy przez kolejne liczby z przedziału <a,b>) K02: Dla j = 0,1,...,n-1 wykonuj K03 ; (sprawdzamy, czy liczba i dzieli się przez jeden z podzielników) K03: Jeśli i mod P[j] = 0, to: pisz i następny obieg pętli K01 ; (z tablicy P[]. Jeśli tak, wyprowadzamy i, przerywamy pętlę K02 ) K04: Zakończ

14 Program: Program spodziewa się w pierwszym wierszu liczb a i b. W drugim wierszu należy podać n = , a następnie w n wierszach kolejne podzielniki (nie muszą być uporządkowane). Dane przykładowe (przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli):

15 Problem można rozwiązać podejściem drugim, tzn. wyznaczając kolejne liczby podzielne przez jeden z podzielników z tablicy P[]. Wystarczy zauważyć, iż liczby te będą wielokrotnościami swoich podzielników. Zatem dla każdego podzielnika wyznaczamy najmniejszą wielokrotność zawartą w przedziale <a,b>. Następnie z tych wielokrotności wybieramy najmniejszą i przesyłamy na wyjście. Jeśli w trakcie szukania najmniejszej liczby trafimy na taką, która została już wysłana na wyjście, to zamieniamy ją na jej następną wielokrotność. Operację kontynuujemy dotąd, aż najmniejsza liczba przekroczy kraniec b przedziału. Poniżej przedstawiamy szczegółowy algorytm tego rozwiązania.

16 Algorytm wyznaczania liczb podzielnych przez zadane czynniki Wejście a początek przedziału, a Є Z b koniec przedziału, b Є Z n liczba podzielników, n Є N P tablica, której kolejne elementy są podzielnikami. Elementy Z. Numeracja elementów od zera. Wyjście: Kolejne liczby z przedziału <a,b> podzielne przez jeden z podzielników w P Zmienne pomocnicze i przebiega przez indeksy podzielników w P[]. i ЄZ s liczba przesłana na wyjście, s ЄZ minv minimalna wartość wielokrotności podzielników z P[]. minvє Z V tablica wielokrotności podzielników. ElementyЄ Z. Numeracja elementów od zera zgodna z numeracją P. MAXZ największa wartość całkowita

17 Lista kroków: K01: Dla i = 0,1,...,n-1 wykonuj kroki K02...K03 K02: Jeśli P[i] < 0, to P[i] -P[i] ; ( ujemne podzielniki zamieniamy na dodatnie) K03: Jeśli a < 0, to V[i] (a div P[i]) P[i] inaczej V[i] ((a + P[i] - 1) div P[i]) P[i] ; (wyznaczamy pierwszą w <a,b> wielokrotność ; podzielnika P[i] ) K04: s a - 1 ; (s zapamiętuje wysłaną na wyjście liczbę. Nadajemy mu wartość niemożliwą ) K05: minv MAXZ ; (wśród wielokrotności V szukamy najmniejszej ) K06: Dla i = 0,1,...,n-1 wykonuj kroki K07...K08 K07: Jeśli V[i] = s, to V[i] V[i] + P[i] ; (jeśli trafimy na wysłaną już wielokrotność, to obliczamy kolejną) K08: Jeśli V[i] < minv, to minv V[i] ; (zapamiętujemy najmniejszą z wielokrotności) K09: s minv; ; (zapamiętujemy w s znalezioną najmniejszą z wielokrotności ) K10: Jeśli s > b, to zakończ ; (jeśli jest ona poza przedziałem <a,b>, to kończymy) K11: Pisz s ;( inaczej wyprowadzamy s i kontynuujemy pętlę) K12: Idź do K05 Algorytm wygląda na dłuższy niż w pierwszej wersji. Jednakże działa on efektywniej, ponieważ w pętli głównej nie wykonujemy dzieleń, a jedynie dodawania oraz pętla ta nie wykonuje pustych przebiegów przy każdym obiegu wyprowadzana jest jedna liczba. Korzyści ujawnią się szczególnie przy dużym przedziale <a,b> oraz znacznej różnicy pomiędzy dzielnikami.

18 Program: Program spodziewa się w pierwszym wierszu liczb a i b. W drugim wierszu należy podać n = , a następnie w n wierszach kolejne podzielniki (nie muszą być uporządkowane). Dane przykładowe (przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli):

19 Jeśli liczba ma być podzielna przez każdy z podzielników, to również musi być podzielna przez ich iloczyn. Zatem w podejściu 1 obliczamy iloczyn kolejnych podzielników, a następnie w pętli przebiegającej przez kolejne liczby z przedziału <a,b> sprawdzamy, czy są one podzielne przez ten iloczyn. Jeśli tak, to wyprowadzamy je na wyjście. W podejściu drugim obliczamy najmniejszą wielokrotność iloczynu podzielników, która wpada w przedział <a,b> (patrz powyżej rozwiązanie alternatywne). Następnie w pętli dopóki wielokrotność jest mniejsza lub równa b, wyprowadzamy ją na wyjście i obliczamy następną dodając iloczyn podzielników. W ramach ćwiczeń proponuję czytelnikom samodzielne utworzenie algorytmów oraz na ich podstawie odpowiednich programów.

20 W przedziale <a,b> liczb całkowitych wyszukać wszystkie liczby niepodzielne przez żadną z liczb z zadanego zbioru P. Stosując pierwsze podejście przebiegamy przez kolejne liczby w przedziale <a,b>. Każdą liczbę sprawdzamy na podzielność przez podzielniki z P. Jeśli któryś z nich dzieli liczbę, to przechodzimy do następnej liczby w <a,b>. Jeśli żaden nie dzieli liczby, liczbę wyprowadzamy na wyjście.

21 Algorytm wyszukiwania liczb niepodzielnych przez zadane liczby Wejście a początek przedziału, aє Z b koniec przedziału, b ЄZ n liczba podzielników, n ЄN P tablica, której kolejne elementy są podzielnikami. Elementy ЄZ. Numeracja elementów od zera. Wyjście: Kolejne liczby z przedziału <a,b> niepodzielne przez żaden z podzielników w P Zmienne pomocnicze i przebiega przez kolejne liczby w <a,b>. iє Z j przebiega przez indeksy podzielników w P. jє N

22 Lista kroków: K01: Dla i = a,a+1,...,b wykonuj kroki K02...K04 ;( pętla przebiegająca przez kolejne liczby z <a,b>) K02: Dla j = 0,1,...,n-1 wykonuj krok K03 ; (pętla sprawdzająca podzielność przez dzielniki z P ) K03: Jeśli i mod P[j] = 0, to następny obieg pętli K01 ; (jeśli jakiś dzielnik dzieli i, przechodzimy do następnej liczby) K04: Pisz i ; (jeśli żaden dzielnik nie dzieli i, wyprowadzamy je) K05: Zakończ

23 Program: Program spodziewa się w pierwszym wierszu liczb a i b. W drugim wierszu należy podać n = , a następnie w n wierszach kolejne podzielniki (nie muszą być uporządkowane). Dane przykładowe (przekopiuj do schowka i wklej do okna konsoli):

24

25 Dla danych dwóch liczb naturalnych a i b znaleźć największą liczbę naturalną c, która dzieli bez reszty liczbę a i dzieli bez reszty liczbę b. Liczba c o powyższej własności nosi nazwę NWD największego wspólnego dzielnika a i b (ang. GCD greatest common divisor). NWD znajdujemy za pomocą znanego algorytmu Euklidesa, będącego jednym z najstarszych algorytmów, ponieważ pojawił się on w dziele Elementy napisanym przez Euklidesa około 300 p.n.e. Właściwie Euklides nie podał algorytmu dla liczb, lecz dla dwóch odcinków. Chodziło w nim o znalezienie wspólnej miary (czyli odcinka jednostkowego), która mogłaby posłużyć do zmierzenia obu danych odcinków wspólna miara odkłada się w każdym z odcinków całkowitą liczbę razy.

26 Rozwiązanie 1 Euklides wykorzystał prosty fakt, iż NWD liczb a i b dzieli również ich różnicę. Zatem od większej liczby odejmujemy w pętli mniejszą dotąd, aż obie liczby się zrównają. Wynik to NWD dwóch wyjściowych liczb. Algorytm Euklidesa Wejście a, b liczby naturalne, których NWD poszukujemy, a, bє N Wyjście: NWD liczb a i b Lista kroków: K01: Dopóki a b wykonuj krok K02 K02: Jeśli a < b, to b b - a inaczej a a - b ; (od większej liczby odejmujemy mniejszą aż się zrównają ) K03: Pisz a ; (wtedy dowolna z nich jest NWD) K04: Zakończ

27 Program: Program odczytuje z pierwszego wiersza dwie liczby a i b, a następnie wypisuje w następnym wierszu ich NWD. Żadna z liczb a i b nie może wynosić 0 wtedy różnica nie zmienia większej z nich i program działa w nieskończoność. Niedogodność tę da się prosto zlikwidować proponuję to jako ćwiczenie dla czytelników.

28 Pierwsze rozwiązanie problemu znajdowania NWD jest złe z punktu widzenia efektywności. Wyobraźmy sobie, iż a jest równe 4 miliardy, a b jest równe 2. Pętla odejmująca będzie wykonywana dotąd, aż zmienna a zrówna się ze zmienną b, czyli w tym przypadku 2 miliardy razy trochę dużo. Tymczasem można wykorzystać operację reszty z dzielenia. Mniejszą liczbę można odjąć od większej liczby tyle razy, ile wynosi iloraz całkowity tych liczb. Po odejmowaniu pozostaje reszta z dzielenia a Euklides właśnie zauważył, iż NWD dzieli również różnicę danych liczb, czyli: NWD(a,b) = NWD(a mod b,b) Ponieważ reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika, wymieniamy a z b, a b z a mod b. Jeśli otrzymamy wynik b = 0, to w a jest ostatni dzielnik dzielący bez reszty różnicę.

29 Wejście Algorytm Euklidesa a, b liczby naturalne, których NWD poszukujemy, a, b ЄN Wyjście: NWD liczb a i b Zmienne pomocnicze t tymczasowo przechowuje dzielnik, t N

30 Lista kroków: K01: Dopóki b 0 wykonuj kroki K02...K04 K02: t b ; (zapamiętujemy dzielnik ) K03: b a mod b ; (wyznaczamy resztę z dzielenia, która staje się dzielnikiem) K04: a t ; (poprzedni dzielnik staje teraz się dzielną ) K05: Pisz a ; NWD jest ostatnią dzielną K06: Zakończ

31 Program: Program odczytuje z pierwszego wiersza dwie liczby a i b, a następnie wypisuje w następnym wierszu ich NWD.

32

33 W przedziale <a,b> liczb naturalnych wyszukać wszystkie liczby względnie pierwsze (ang. relatively prime integers) z zadaną liczbą p. Liczba naturalna m jest względnie pierwsza (ang. coprime) z liczbą naturalną n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m,n) = 1. Definicja ta oznacza, iż liczby n i m nie posiadają wspólnych podzielników za wyjątkiem 1.

34 Przechodzimy przez kolejne liczby w przedziale <a,b>. Dla każdej liczby obliczamy algorytmem Euklidesa jej NWD z liczbą p. Jeśli wynikiem będzie 1, to obie liczby są względnie pierwsze, zatem wyprowadzamy liczbę z przedziału na wyjście. Algorytm wyznaczania liczb względnie pierwszych Wejście a początek przedziału, a ЄN b koniec przedziału, b ЄN p liczba służąca do wyznaczenia w przedziale <a,b> liczb z nią względnie pierwszych, p Є N Wyjście: liczby z przedziału <a,b>, które są względnie pierwsze z liczbą p Zmienne pomocnicze i przebiega przez kolejne liczby w przedziale <a,b>. i Є N t tymczasowo przechowuje dzielnik w algorytmie Euklidesa, t Є N ax zmienna dla algorytmu Euklidesa. ax Є N bx zmienna dla algorytmu Euklidesa. bx Є N

35 K01:Dla i = a,a+1,...,b wykonuj kroki K02...K08; przechodzimy przez kolejne liczby z przedziału <a,b> K02: ax i; zmienne dla algorytmu Euklidesa K03: bx p K04: Dopóki bx 0 wykonuj kroki K05...K07; wyznaczamy NWD(i,p) K05: t bx K06: bx ax mod bx K07: ax t K08: Jeśli ax = 1, to pisz i; NWD(i,p) = 1, zatem i jest względnie pierwsze z p K09:Zakończ

36 Program odczytuje z pierwszego wiersza trzy liczby a, b i p a następnie wypisuje wszystkie liczby w przedziale <a,b> względnie pierwsze z p

37

38 Dla danych liczb naturalnych a i b znaleźć najmniejszą liczbę naturalną c, która jest podzielna bez reszty przez a i przez b. Liczba naturalna c o takich własnościach nosi nazwę NWW najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b. Sposób obliczania NWW jest bardzo prosty: NWW(a,b) = a b/nwd(a,b) Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, to NWD(a,b) = 1. Wtedy NWW(a,b) = a b.

39 Wejście a,b liczby, których NWW poszukujemy, a,b ЄN Wyjście: NWW najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b. Zmienne pomocnicze ab zapamiętuje iloczyn a i b. ab Є N t tymczasowo przechowuje dzielnik w algorytmie Euklidesa, t ЄN Lista kroków: K01:ab a b; zapamiętujemy iloczyn a i b K02:Dopóki b 0 wykonuj kroki K03...K05; algorytmem Euklidesa znajdujemy NWD(a,b) K03: t b K04: b a mod b K05: a t K06:ab ab div a; obliczamy NWW K07:Pisz ab K08:Zakończ

40 Program odczytuje z pierwszego wiersza liczby a i b. W następnym wierszu wypisuje NWW(a,b). W programie zastosowano zmienne 64 bitowe.

41

42 Znaleźć n kolejnych liczb pierwszych (ang. primes). Liczba naturalna p jest liczbą pierwszą (ang. prime number) posiadającą dokładnie dwa różne podzielniki: 1 i siebie samą. W informatyce liczby pierwsze posiadają olbrzymie zastosowanie np. w kryptografii, czyli przy szyfrowaniu i rozszyfrowywaniu informacji. Jak jest to ważne dla handlu i bankowości w sieci, chyba nie trzeba nikogo przekonywać. Dlatego znajomość sposobów generacji liczb pierwszych jest obowiązkowa dla każdego informatyka.

43 Pierwsze, narzucające się podejście do problemu generacji liczb pierwszych jest bardzo prymitywne. Po prostu bierzemy kolejne liczby naturalne poczynając od 2 (1 nie jest pierwsze ponieważ dzieli się tylko przez 1 i brakuje nam drugiego podzielnika). Wybraną liczbę naturalną p próbujemy dzielić przez liczby od 2 do p-1. Jeśli żadna z tych liczb nie jest podzielnikiem p, to liczba p jest pierwsza. Wyprowadzamy ją i w specjalnym liczniku odnotowujemy ten fakt. Gdy licznik osiągnie stan n, kończymy algorytm.

44 Wejście n liczba określająca ile liczb pierwszych należy wygenerować, nєn Wyjście: n kolejnych liczb pierwszych Zmienne pomocnicze lp zlicza kolejno wygenerowane liczby pierwsze. lp Є N p kolejno testowane liczby naturalne. pєn d kolejne dzielniki. dєn

45 K01:lp 0; zerujemy licznik liczb pierwszych K02:p 2; generację rozpoczynamy od 2 K03:Dopóki lp < n, wykonuj kroki K04...K08; pętla generacji liczb pierwszych K04: Dla d = 2,3,...,p -1, wykonuj krok K05; pętla sprawdzania podzielności p przez d K05: Jeśli p mod d = 0, idź do K08; jeśli p dzieli się przez d, to nie jest pierwsze K06: Pisz p; p jest pierwsze K07: lp lp + 1; zwiększamy licznik wygenerowanych liczb pierwszych K08: p p + 1; przechodzimy do kolejnej liczby, kandydata K09:Zakończ

46 Program w pierwszym wierszu czyta liczbę n i w następnych wierszach wypisuje n kolejnych liczb pierwszych.

47 W przedziale <2,n> znaleźć wszystkie liczby pierwsze (ang. primes). Liczby pierwsze można wyszukiwać poprzez eliminację ze zbioru liczbowego wszystkich wielokrotności wcześniejszych liczb. Przykład: Mamy następujący zbiór liczb naturalnych: { } Ze zbioru wyrzucamy wszystkie wielokrotności pierwszej liczby 2. Otrzymujemy następujący zbiór: { }

48 W zbiorze pozostały liczby nieparzyste z wyjątkiem pierwszej liczby 2. Liczby podzielne przez dwa zostały wyeliminowane. Teraz eliminujemy wielokrotności kolejnej liczby 3. Otrzymamy następujący zbiór: { } Teraz w zbiorze pozostały liczby niepodzielne przez 2 i 3 z wyjątkiem pierwszych 2 i 3. Zwróć uwagę, iż kolejna liczba 4 została już ze zbioru wyeliminowana. Skoro tak, to ze zbioru zniknęły również wszystkie wielokrotności liczby 4, ponieważ są one również wielokrotnościami liczby 2, a te wyeliminowaliśmy przecież na samym początku. Przechodzimy zatem do liczby 5 i eliminujemy jej wielokrotności otrzymując zbiór wynikowy: { } Oprócz 2,3 i 5 pozostałe w zbiorze liczby nie dzielą się już przez 2,3 i 5. Liczba 6 jest wyeliminowana (wielokrotność 2), zatem przechodzimy do 7. Po wyeliminowaniu wielokrotności liczby 7 zbiór przyjmuje postać: { } W zbiorze pozostały same liczby pierwsze. { }

49 Przy eliminacji wystarczy usunąć ze zbioru wielokrotności liczb leżących w przedziale od 2 do pierwiastka z n. Wyjaśnienie tego faktu jest identyczne jak w algorytmie szukania liczb pierwszych przez testowanie podzielności. Jeśli liczba p jest złożona, to musi posiadać czynniki pierwsze w przedziale od 2 do pierwiastka z p. Powyższe operacje wyrzucania wielokrotności prowadzą do przesiania zbioru wejściowego. W zbiorze pozostają tylko liczby pierwsze, liczby będące wielokrotnościami poprzedzających je liczb zostają ze zbioru odsiane. Algorytm dokonujący tej eliminacji nosi nazwę sita Eratostenesa (ang. Eratosthenes' sieve) i jest jednym z najszybszych sposobów generowania liczb pierwszych.

50 Sito Eratostenesa jest algorytmem dwuprzebiegowym. Najpierw dokonuje on eliminacji liczb złożonych ze zbioru zaznaczając je w określony sposób, a w drugim obiegu przegląda zbiór ponownie wyprowadzając na wyjście liczby, które nie zostały zaznaczone. Podstawowe znaczenie w tym algorytmie ma wybór odpowiedniej struktury danych do reprezentacji zbioru liczb. Na tym polu można dokonywać różnych optymalizacji. W pierwszym podejściu zastosujemy tablicę wartości logicznych S. Element S[i] będzie odpowiadał liczbie o wartości i. Zawartość S[i] będzie z kolei informowała o tym, czy liczba i pozostała w zbiorze (S[i] = true) lub została usunięta (S[i] = false).

51 Najpierw przygotowujemy tablicę reprezentującą zbiór liczbowy wypełniając ją wartościami logicznymi true. Odpowiada to umieszczeniu w zbiorze wszystkich liczb wchodzących w zakres od 2 do n. Następnie z tablicy będziemy usuwali kolejne wielokrotności początkowych liczb od 2 do pierwiastka całkowitego z n w pisując do odpowiednich elementów wartość logiczną false. Na koniec przeglądniemy zbiór i wypiszemy indeksy elementów zawierających wartość logiczną true odpowiadają one liczbom, które w zbiorze pozostały. Za pierwszą wielokrotność do wyrzucenia ze zbioru przyjmiemy kwadrat liczby i. Przyjrzyj się naszemu przykładowi. Gdy wyrzucamy wielokrotności liczby 2, to pierwszą z nich jest 4 = 2 2. Następnie dla wielokrotności liczby 3 pierwszą do wyrzucenia jest 9 = 3 2, gdyż 6 zostało wyrzucone wcześniej jako wielokrotność 2. Dla 5 będzie to 25 = 5 2, gdyż 10 i 20 to wielokrotności 2, a 15 jest wielokrotnością 3, itd. Pozwoli to wyeliminować zbędne obiegi pętli usuwającej wielokrotności.

52 Algorytm sita Eratostenesa Wejście n liczba określająca górny kraniec przedziału poszukiwania liczb pierwszych, nєn, n > 1 Wyjście: Kolejne liczby pierwsze w przedziale od 2 do n. Zmienne pomocnicze S tablica wartości logicznych. S[i] Є {false,true}, dla i = 2,3,...,n. g zawiera granicę wyznaczania wielokrotności. gєn i przebiega przez kolejne indeksy elementów S[i]. iєn w wielokrotności wyrzucane ze zbioru S, wєn

53 K01:Dla i = 2,3,...,n wykonuj S[i] true; zbiór początkowo zawiera wszystkie liczby K02:g [ n]; obliczamy granicę eliminowania wielokrotności K03:Dla i = 2,3,...,g wykonuj kroki K04...K08; w pętli wyrzucamy ze zbioru wielokrotności i K04: Jeśli S[i] = false, to następny obieg pętli K03; sprawdzamy, czy liczba i jest w zbiorze K05: w i 2 ; jeśli tak, wyrzucamy jej wielokrotności K06: Dopóki w n wykonuj kroki K07...K08; ze zbioru K07: S[w] false K08: w w + i; następna wielokrotność K09:Dla i = 2,3,...,n wykonuj krok K10; przeglądamy zbiór wynikowyk10: Jeśli S[i] = true, to pisz i; wyprowadzając pozostałe w nim liczby K11:Zakończ

54 Program w pierwszym wierszu czyta liczbę n i w następnych wierszach wypisuje kolejne liczby pierwsze zawarte w przedziale od 2 do n.

55 Dziękujemy za uwagę

PROBLEM. Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych.

PROBLEM. Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych. PROBLEM Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych. Postawiony problem posiada bardzo duże znaczenie w wielu dziedzinach informatyki szczególnie w kryptografii. Na dzień dzisiejszy nie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite i rzeczywiste

Liczby całkowite i rzeczywiste Wykład 4(20 marzec 2014r.) Liczby całkowite i rzeczywiste Paulina Rogowiecka Klaudia Kamińska Adrianna Znyk 1 Spis treści: Czynniki pierwsze metoda próbnych dzieleń Pierwszość liczby naturalnej algorytmy

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

2.8. Algorytmy, schematy, programy

2.8. Algorytmy, schematy, programy https://app.wsipnet.pl/podreczniki/strona/38766 2.8. Algorytmy, schematy, programy DOWIESZ SIĘ co oznaczają pojęcia: algorytm, schemat blokowy, język programowania, jakie są sposoby obliczania największego

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Baltie klasa VII

Programowanie w Baltie klasa VII Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.

Bardziej szczegółowo

Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort

Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Algorytm sortowania przez wstawianie można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Najpierw bierzemy pierwszą kartę. Następnie pobieramy kolejne,

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską: Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

WHILE (wyrażenie) instrukcja;

WHILE (wyrażenie) instrukcja; INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny

ALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu

Bardziej szczegółowo

WHILE (wyrażenie) instrukcja;

WHILE (wyrażenie) instrukcja; INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while

Bardziej szczegółowo

Iteracje. Algorytm z iteracją to taki, w którym trzeba wielokrotnie powtarzać instrukcję, aby warunek został spełniony.

Iteracje. Algorytm z iteracją to taki, w którym trzeba wielokrotnie powtarzać instrukcję, aby warunek został spełniony. Iteracje Algorytm z iteracją to taki, w którym trzeba wielokrotnie powtarzać instrukcję, aby warunek został spełniony. Iteracja inaczej zwana jest pętlą i oznacza wielokrotne wykonywanie instrukcji. Iteracje

Bardziej szczegółowo

Sortowanie Shella Shell Sort

Sortowanie Shella Shell Sort Sortowanie Shella Shell Sort W latach 50-tych ubiegłego wieku informatyk Donald Shell zauważył, iż algorytm sortowania przez wstawianie pracuje bardzo efektywnie w przypadku gdy zbiór jest w dużym stopniu

Bardziej szczegółowo

Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski. Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa

Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski. Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa Algorytmika Najważniejsza część informatyki Opisuje jak rozwiązywać problemy algorytmiczne, jakie struktury danych

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001 Algorytm Euklidesa Danymi są dwie nieujemne liczby całkowite m i n. Liczba k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n, jeśli dzieli m oraz n i jest największą liczbą o tej własności - oznaczamy ją przez

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,

Bardziej szczegółowo

Anna Sobocińska Sylwia Piwońska

Anna Sobocińska Sylwia Piwońska Anna Sobocińska Sylwia Piwońska Problem Wyszukiwanie liniowe W n-elementowym zbiorze Z wyszukać element posiadający pożądane własności. Wyszukiwanie liniowe (ang. linear search), zwane również sekwencyjnym

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Schematy blokowe I. 1. Dostępne bloki: 2. Prosty program drukujący tekst.

Schematy blokowe I. 1. Dostępne bloki: 2. Prosty program drukujący tekst. Schematy blokowe I Jeżeli po schematach blokowych będzie używany język C, to należy używać operatorów: '&&', ' ', '!=', '%' natomiast jeśli Ruby to 'and', 'or', '%', '!='. 1. Dostępne bloki: a) początek:

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0 Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna

Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna Elementy teorii liczb Matematyka dyskretna Teoria liczb dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb (początkowo tylko naturalnych). Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie rozkładu liczby na czynniki pierwsze

Wykorzystanie rozkładu liczby na czynniki pierwsze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki, przynosi szkodę całej nauce. Roger Bacon Wykorzystanie rozkładu liczby na czynniki pierwsze Uczestnik Konkursu: Opiekun uczestnika: Piotr Pena Szkoła Podstawowa Nr

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych

Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2014/15 Znajdowanie maksimum w zbiorze

Bardziej szczegółowo

Algorytm i złożoność obliczeniowa algorytmu

Algorytm i złożoność obliczeniowa algorytmu Algorytm i złożoność obliczeniowa algorytmu Algorytm - przepis postępowania, którego wykonanie prowadzi do rozwiązania określonego problemu określa czynności, jakie należy wykonać wyszczególnia wszystkie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych Ćwiczenie nr 3 Wyświetlanie i wczytywanie danych 3.1 Wstęp Współczesne komputery przetwarzają dane zakodowane za pomocą ciągów zerojedynkowych. W szczególności przetwarzane liczby kodowane są w systemie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA Z MERMIDONEM. Programowanie. Moduł 5 / Notatki

INFORMATYKA Z MERMIDONEM. Programowanie. Moduł 5 / Notatki INFORMATYKA Z MERMIDONEM Programowanie Moduł 5 / Notatki Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Realizator projektu: Opracowano w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for. Autor: Piotr Fiorek

Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for. Autor: Piotr Fiorek Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for Autor: Piotr Fiorek Opis implementacji: Poznanie innego rodzaju pętli, jaką jest pętla for w języku Python. Składnia pętli for jest następująca: for

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do algorytmiki

Wprowadzenie do algorytmiki Wprowadzenie do algorytmiki Pojecie algorytmu Powszechnie przyjmuje się, że algorytm jest opisem krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposób osiągnięcia jakiegoś celu. Wywodzi się z matematyki

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji.

1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji. Temat: Technologia informacyjna a informatyka 1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji. Technologia informacyjna (ang.) Information Technology, IT jedna

Bardziej szczegółowo

Poszukiwanie liniowe wśród liczb naturalnych

Poszukiwanie liniowe wśród liczb naturalnych Poszukiwanie liniowe wśród liczb naturalnych Wiele problemów, dotyczących liczb naturalnych, można rozwiązać idąc w góręodzera(lubczasemodinnejliczby)isprawdzając,czyjuż. Przykład: (zadane reszty z dzielenia)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Strona1 Napisz program, który czyta zdanie, a następnie wypisuje po kolei długości kolejnych jego wyrazów. Zakładamy, że zdanie zawiera litery alfabetu łacińskiego i spacje (po jednej pomiędzy dwoma dowolnymi

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Kongruencje twierdzenie Wilsona Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykonania. Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for.

Zadania do wykonania. Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for. Zadania do wykonania Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for. 1. apisz program, który przesuwa w prawo o dwie pozycje zawartość tablicy 10-cio elementowej liczb całkowitych tzn. element t[i] dla i=2,..,9

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9 Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny

Bardziej szczegółowo

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch Język C część 2 Podejmowanie decyzji w programie if else Instrukcja warunkowa umożliwia wykonanie pewnej instrukcji w zależności od wartości wyrażenia. Wszystkie wartości różne od 0, są w języku C traktowane

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. AJD bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 8 1 / 32 Instrukcje iteracyjne

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe Zadanie domowe Liczby naturalne (Sztuka nauczania matematyki w szkole podstawowej i gimnazjum,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6

Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6 Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6 Zadanie domowe Wizualizacje do oddania. Przygotuj dwie pary kart Matematyczne skojarzenia,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

- - Ocena wykonaniu zad3. Brak zad3

- - Ocena wykonaniu zad3. Brak zad3 Indeks Zad1 Zad2 Zad3 Zad4 Zad Ocena 20986 218129 ocena 4 Zadanie składa się z Cw3_2_a oraz Cw3_2_b Brak opcjonalnego wywołania operacji na tablicy. Brak pętli Ocena 2 Brak zad3 Ocena wykonaniu zad3 po

Bardziej szczegółowo

znalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany.

znalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany. Przedstawiamy algorytmy porządkowania dowolnej liczby elementów, którymi mogą być liczby, jak również elementy o bardziej złożonej postaci (takie jak słowa i daty). Porządkowanie, nazywane również często

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

8. Wektory. Przykłady Napisz program, który pobierze od użytkownika 10 liczb, a następnie wypisze je w kolejności odwrotnej niż podana.

8. Wektory. Przykłady Napisz program, który pobierze od użytkownika 10 liczb, a następnie wypisze je w kolejności odwrotnej niż podana. 8. Wektory Przykłady 8.1. Napisz program, który pobierze od użytkownika 10 liczb, a następnie wypisze je w kolejności odwrotnej niż podana. Uwaga! Kod poniżej. To zadanie można rozwiązać przy użyciu wiedzy

Bardziej szczegółowo

if (wyrażenie ) instrukcja

if (wyrażenie ) instrukcja if (wyrażenie ) instrukcja Jeśli wartość wyrażenia jest różna od zera, to jest wykonywana instrukcja, jeśli wartość wyrażenia jest równa 0, to dana instrukcja nie jest wykonywana Wyrażenie testowe podajemy

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie

Bardziej szczegółowo