Termodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek

Transkrypt

1 Termodynamika cz. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały Definicja makroskopowa (termodynamiczna) to gaz spełniajacy prawa: Mikroskopowe i makroskopowe własności gazów Boyle a-mariotte a w stałej temperaturze i dla danej masy gazu: pv = const. Charlesa przy stałej objętości gazu i dla danej masy gazu: p T = const. Gay-Lussaca dla stałego ciśnienia i dla danej masy gazu: V T = const. Opis makroskopowy Równanie stanu gazu doskonałego pv T = m µ R. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały... Mikroskopowe i makroskopowe własności gazów 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały... Mikroskopowe i makroskopowe własności gazów Definicja mikroskopowa Gaz składa się z czasteczek, które traktować można jak punkty materialne. Czasteczki gazu maja identyczna masę. Całkowita liczba czasteczek jest bardzo duża. Odległości pomiędzy sasiednimi czasteczkami sa względnie duże. Czasteczki poruszaja się chaotycznie we wszystkich kierunkach. Czasteczki podlegaja prawom mechaniki Newtona. Czasteczki zdarzaja się ze soba sprężyście, wymieniajac pęd i energię. Poza momentami zderzeń czasteczki nie oddziałuja ze soba, a czas trwania tych zderzeń jest pomijalnie mały. Opis mikroskopowy pv T = 2 3 NE. 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

2 nazywana też teoria kinetyczno-molekularna albo kinetyczno-czasteczkow a pozwala łaczyć kinematyczne wielkości dotyczace pojedynczych czasteczek gazu z termodynamicznymi parametrami takimi jak ciśnienie czy temperatura. W sześcianie o krawędzi a znajduje się N jednakowych czasteczek gazu. Chaotyczny ruch czasteczek można zastapić ruchem, w którym po 1 N 3 czasteczek porusza się prostopadle do każdej pary ścian równoległych. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Energia i stopnie swobody Zasada ekwipartycji energii W kinetycznej teorii gazu doskonałego temperatura jest miara średniej energii kinetycznej czasteczek gazu. Zasada ekwipartycji energii Średnia energia przypadajaca na każdy stopień swobody jest taka sama i równa E = 1 2 kbt. Liczba stopni swobody z to liczba niezależnych współrzędnych jednoznacznie opisujacych położenie tego obiektu w przestrzeni. E = z 2 kbt. 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Energia wewnętrzna Definicja makroskopowa (termodynamiczna) Czym jest energia wewnętrzna? Określa zdolność układu do oddawania ciepła do otoczenia. Zależy od temperatury układu, masy i rodzaju substancji z jakiej składa się układ. Definicja mikroskopowa Jest suma energii kinetycznej i potencjalnej oddziaływań międzyczaste- czkowych. Na energię kinetyczna molekuł składa się: energia ruchu postępowego, obrotowego i ruchu drgajacego atomów w czasteczkach. W mikroskopowym opisie gazu doskonałego czasteczki ze soba nie oddziałuja na odległość, to cała wewnętrzna energia gazu jest jego energia kinetyczna. Energia wewnętrzna N czasteczek gazu gazu doskonałego U = N z 2 kbt, du = N z 2 kbdt. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Definicje Ciepło molowe to ilość energii, która trzeba dostarczyć na sposób ciepła, aby uzyskać jednostkowa zmianę temperatury jednego mola substancji: dq C =. dt Jednosta ciepła molowego (pojemności cieplnej) jest: J mol K. Ciepło właściwe to ilość ciepła, która trzeba dostarczyć, aby uzyskać jednostkowa zmianę temperatury jednostki masy substancji: c = 1 dq J z jednostka m dt kg K. Obie te wielkości sa ze soba ściśle zwiazane: C = µc. 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

3 Definicje... Ciepło molowe w stałej objętości: dq du CV = = dt V dt V ( d = dt N z 2 )V kbt, CV = N z 2 kb. Dla przemiany izobarycznej: cv = CV N = z 2 kb. dq = C pdt = du + dw = du + pdv, = N z z + 2 kbdt + NkBdT = 2 2 NkBdT. C p = z NkB, c p = z kb. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Definicje... Równanie Mayera C p CV = NkB, c p cv = kb. W ruchu postępowym czasteczka gazu doskonałego: jednoatomowa ma trzy stopnie swobody, tj. z = 3 i CV = 3 2 R, dwuatomowa ma pięć stopni swobody, tj. z = 5 i CV = 5 2 R, trójatomowa tj. z = 6 i CV = 3R, wieloatomowa złożona z większej liczby atomów niż trzy maja również sześć stopni swobody, ponieważ ustalenie położenia trzech z dowolnej liczby sztywno zwiazanych ze soba punktów ustala położenie całego układu. 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Zależność od temperatury Dla gazów dwuatomowych, obserwuje się nieoczekiwana zależność od temperatury. Wytłumaczenie nie jest możliwe na gruncie mechaniki klasycznej. Rysunek: Wykres dla dwuatomowego wodoru H dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład przestrzenny czasteczek Wzór barometryczny Siła działajaca na wysokości h F g = mg = ρs h g ponieważ ciśnienie zmniejsza się o dp, to siła ( ) F w = S p(h) p(h + h) S dp dh h. Z równowagi sił F g + F w = ρsg h S dp h = 0, dh otrzymuje się zależność dp = ρg dh. Zakładajac, że T = const. i całkujac to równanie względem wysokości od h o do h k otrzymuje się wzór barometryczny p k = p o exp Ep. kbt 12 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

4 Rozkład Boltzmanna Wzór barometryczny p k = p o exp Ep. kbt Rozkład przestrzenny czasteczek gazu doskonałego w polu grawitacyjnym n k = n o exp Ep, kbt jest różny dla różnych gazów tworzacych atmosferę i różniacych się masa czasteczkow a. Koncentracje lekkich gazów, takich jak wodór, maleja wolniej z wysokościa niż dla gazów cięższych, takich jak tlen. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład Boltzmanna... Wzór barometryczny Rozkład Boltzmanna określa sposób obsadzania stanów energetycznych przez atomy, czasteczki w stanie równowagi termicznej. Jest to tzw. funkcja rozkładu energii dla układów zawierajacych duże liczby obiektów (np. do gazu doskonałego). 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład Maxwella-Boltzmanna Rozkład prędkości czasteczek gazu doskonałego Rozkład prędkości czasteczek w postaci: N = N o exp ( mv2 2kBT jest niepraktyczny. Dlatego należy znaleźć funkcję rozkładu określajac a jaka część wszystkich czasteczek ma prędkości zawarte pomiędzy v i v + dv. Funkcja P (v) powinna być unormowana tak, by: P (v)dv = 1. ), 0 Rysunek: Rozkład Maxwella prędkości czasteczek tlenu w temperaturze 300K. Pole pod krzywa jest równe jedności. 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład Maxwella-Boltzmanna Rozkład prędkości czasteczek gazu doskonałego... Rozkład Maxwella prędkości czasteczek gazu doskonałego dla prędkości od 0 do ma postać 3 m 2 P (v) = 4π v 2 exp mv2, 2πkBT 2kBT i jest to funkcja rozkładu prawdopodobieństwa. Rysunek: Rozkład Maxwella prędkości czasteczek tlenu dla temperatury 300K i 80K. 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

5 Rozkład Maxwella-Boltzmanna Rozkład prędkości czasteczek gazu doskonałego... Prędkość średnia kwadratowa v 2 = v sr.kw = Prędkość średnia czasteczek gazu v sr = 0 0 vp (v)dv = v 2 P (v)dv = 3RT µ. 8kBT 8RT πm = πµ. Rozkład Maxwella jest asymetryczny, to prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna (tj. dla dp = 0) dv 2RT v p = µ. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład Maxwella-Boltzmanna Rozkład prędkości czasteczek gazu doskonałego... Prędkości czasteczek zależa od temperatury oraz masy molowej. Większość czasteczek będzie poruszać się z prędkościa zbliżona do pewnej wartości średniej. Ze względu na wyrażenie wykładnicze z v 2, udział czasteczek o bardzo dużych prędkościach jest bardzo mały. Gdy v maleje, udział czasteczek o bardzo małych prędkościach jest także znikomy. Wnioski Wraz ze wzrostem temperatury gazu maksimum krzywej przesuwa się w stronę większych prędkości, a maksimum zmniejsza się. Prędkości v sr.kw, v sr i v p zwiększaja się. Przy ogrzewaniu gazu udział czasteczek o małych prędkościach zmniejsza się, a udział czasteczek o większych prędkościach powiększa się. W tej samej temperaturze, czasteczki gazów o mniejszej masie molowej będa poruszały się średnio szybciej niż czasteczki gazów o większej masie molowej. 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Rozkład Maxwella-Boltzmanna Rozkład prędkości czasteczek gazu doskonałego... Zadanie Oblicz charakterystyczne prędkości czasteczek tlenu w powietrzu o temperaturze 0 C. Czy duże będa te prędkości w porównaniu z prędkościa dozwolona dla samochodu osobowego na terenie zabudowanym? 2RT 2 8, 314Jmol v p = µ = 1 K 1 273K mol 1 kg 8RT v sr = πµ = 427 m s = 1539 km h, 3RT v sr.kw = µ = 462 m s = 1664 km h. 377 m s = 1356 km h, 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Definicje Opis makroskopowy (fenomenologiczny) jest termodynamiczna funkcja zależna tylko od poczatkowego i końcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami ds = dq T. Jeżeli wydajność cieplna cyklu Carnota to η = Q1 + Q2 Q 1 = T 1 T 2 = Q1 Q 2, Q 1 + Q2 = 0. T 1 T 2 T1 T2 T 1, Suma ciepeł zredukowanych w cyklu Carnota jest równa zeru. 20 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

6 Definicje... Dla dowolnego cyklu odwracalnego lim N N i=1 N i=1 Q i = T i Q i T i = 0. C dq T = ds = 0. C wartość tej całki zależy wyłacznie od stanu poczatkowego i stanu końcowego. II zasada termodynamiki Procesy nieodwracalne zachodzace w układzie moga tylko zwiększyć entropię, nie moga jej natomiast zmniejszyć. S 0. ds dq T. Znak równości odnosi się do procesu odwracalnego. 21 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Prawdopodobieństwo termodynamiczne Opis mikroskopowy kinetyczno-molekularny jest miara nieuporzadkowania (chaosu) w układzie zamkniętym. Im większe jest prawdopodobieństwo znalezienia się układu w danym stanie, tym większa jest entropia. W naczyniu jest n czasteczek (w dwu równych częściach). Mikrostan to zbiór informacji, w której części znajduje się każda czasteczka. Makrostan układu określony jest przez sumaryczna liczba czasteczek z jednej (np. lewej) strony naczynia. 22 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Prawdopodobieństwo termodynamiczne... Prawdopodobieństwo termodynamiczne stanu to liczba mikrostanów realizujacych dany stan układu ω = n! m!(n m)!. Sumaryczna liczba wszystkich mikrostanów N = 2 n. Prawdopodobieństwo określonego makrostanu ϑ = ω N = n! 2 n m!(n m)!. 23 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Prawdopodobieństwo termodynamiczne... Liczbę mikrostanów ω realizujacych dany stan układu nazywa się prawdopodobieństwem termodynamicznym tego stanu. rośnie wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa stanu układu i jest logarytmiczna miara tego prawdopodobieństwa. Statystyczna definicja entropii S = kb ln(ω). Definicja ta obejmuje nie tylko procesy wymiany energii w postaci ciepła, lecz także wszelkie inne procesy termodynamiczne. Wnioski Przemiany nieodwracalne zachodzace w układzie izolowanym prowadza do wzrostu entropii układu. Stanowi równowagi odpowiada stan najbardziej prawdopodobny o maksymalnej wartości entropii. zwiazana jest z nieuporzadkowaniem. Wzrost entropii równoznaczny jest ze wzrostem nieuporzadkowania elementów układu. 24 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2

7 układu Przemiany nieodwracalne zachodzace w układzie izolowanym prowadza do wzrostu entropii układu. Procesy samorzutne przebiegaja w kierunku zmniejszajacego się porzadku ( od porzadku do bałaganu ) 25 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 III zasada termodynamiki Nernst (1905), Planck: Nieosiagalność zera bezwzględnego układu w temperaturze zera bezwzględnego równa jest zeru (dla substancji bez zanieczyszczeń) lim S(T ) = 0. T 0K zależna jest od temperatury oraz od innych zmiennych parametrów układu, tzn. S = S(T, X), gdzie parametr X określa fizyczna własność układu, której zmiana w pewnych granicach pociaga za soba zmianę entropii. 26 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Zasada Nersta Nieosiagalność zera bezwzględnego Zasada nieosiagalności zera bezwzględnego Niemożliwe jest za pomoca jakiegokolwiek postępowania, niezależnie od stopnia jego wyidealizowania, sprowadzenie dowolnego układu do temperatury zera bezwzględnego poprzez skończony ciag działań. Zasada nieosiagalności zera bezwzględnego Niemożliwe jest za pomoca jakiegokolwiek postępowania, niezależnie od stopnia jego wyidealizowania, sprowadzenie wartości entropii dowolnego układu do entropii zera bezwzględnego poprzez skończona liczbę kroków. 27 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Literatura Nieosiagalność zera bezwzględnego Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t PWN, Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 28 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2