Zastosowanie programowania liniowego do rozwiązania problemu zbilansowania rynku kruszyw żwirowopiaskowych

Transkrypt

1 Marcin Malec 1, Michał Kpacz 2, Dminik Kryzia IGSMiE PAN w Krakwie 3 Zastswanie prgramwania liniweg d rzwiązania prblemu zbilanswania rynku kruszyw żwirwpiaskwych w Plsce Wstęp Baza kruszyw żwirw-piaskwych w Plsce jest stsunkw duża. Względnie równmierne rzłżenie złóż żwiru i piasku nie gwarantuje jednak mżliwści zaspkjenia ppytu z lkalnych źródeł surwca. Jest t spwdwane bserwwanym w statnim dziesięcileciu dynamicznym rzwjem sektrów budwnictwa i drgwnictwa, c stwarza wzrastające zaptrzebwanie na prdukty żwirw-piaskwe. Uzupełnianie niedbrów surwca w jednym rejnie kraju wymaga przewzu kruszyw częst na duże dległści. Prblem ptymalneg dbru śrdków i kierunków transprtu jest niewątpliwie isttnym zagadnieniem nie tylk teretycznym, ale przede wszystkim praktycznym. Isttę prezentwaneg cyklu publikacji ( Metda bilanswania rynku surwców skalnych w Plsce raz Analiza uwarunkwań i ksztów transprtu kruszyw żwirw-pisakwych kleją i samchdami ciężarwymi w Plsce, które ukazały się na płycie czaspisma Lgistyka ) stanwi pracwana metda algrytm pstępwania pzwalający na ustalenie ptymalnych kierunków rzpływu surwców żwirw-piaskwych pmiędzy śrdkami pdaży i ppytu. W pracwanej metdzie isttne miejsce zajmuje analiza rynku kruszyw żwirw-pisakwych raz ksztów transprtu w funkcji rdzajów śrdków transprtu, ksztów jednstkwych i dległści. Tak przygtwany bszar badawczy pzwala traktwać zagadnienie badawcze w kategriach ilściwych i przedstawić je jak prblem transprtwy, któreg rzwiązanie zakłada wykrzystanie dedykwanych narzędzi infrmatycznych. Pierwszy z cykluartykułów zawiera pis metdy wraz z algrytmem pstępwania zmierzającym d rzwiązywania pstawineg prblemu badawczeg. Kluczwe miejsce zajmuje analiza rynku kruszyw żwirw-piaskwych raz ustalenie różnic w pdaży (prdukcji) i zaptrzebwaniu na surwce skalne pszczególnych wjewództw Plski. W klejnej publikacji przedstawin szczegółwą analizę aspektów związanych z przewzem kruszyw żwirw-piaskwych, bejmującą identyfikację szlaków kmunikacyjnych, dbór śrdków transprtu, szacwanie ksztów transprtu klejweg i samchdami ciężarwymi w funkcji dległści. D wyknania pzstaje zatem budwa mdelu matematyczneg, implementacja danych wejściwych, parametryzacja funkcji celu i graniczeń raz przedstawienie wyników badań. Ten zakres prac stanwi isttę niniejszeg artykułu. D rzwiązania prblemu badawczeg ptymalnej alkacji nadwyżki kruszyw żwirw-piaskwych zdecydwan się psłużyć prgramwaniem GAMS (General Algebraic Mdelling System), które jest jednym z dstępnych narzędzi wspmagających implementację (wykrzystująceg tzw. slvery) bez kniecznści znajmści technicznych aspektów prgramwania, pzwalająceg na mdelwanie liniwych, nieliniwych raz mieszanych prblemów ptymalizacji. Rzwój matematycznych metd wspmagania pdejmwania decyzji spwdwał budwę szeregu użytecznych mdeli ptymalizacyjnych w dziedzinie planwania, zarządzania prdukcją, czy też 1 Mgr inż. Marcin Malec, IGSMiE PAN w Krakwie 2 Dr inż. Michał Kpacz, IGSMiE PAN w Krakwie 3 Mgr inż. Dminik Kryzia, IGSMiE PAN w Krakwie 4640

2 gspdarwania surwcami. Prgramwanie matematyczne jest jedną z najczęściej stswanych metd mdelwania matematyczneg [3, 6]. W prgramwaniu matematycznym wyróżniamy trzy pdstawwe, najczęściej stswane rdzaje matematycznych mdeli ptymalizacyjnych: liniwe, nieliniwe i całkwitliczbwe (liniwe lub nieliniwe). Ogólne pdeście d prblemu ptymalizacji jest takie sam, różnicą są graniczenia i funkcja celu. W prgramwaniu nieliniwym mdele mgą mieć zależnści nieliniwe w wyrażeniu funkcji celu i /lub nieliniwe graniczenia, natmiast w prgramwaniu całkwitliczbwym jedna lub więcej zmiennych są zmiennymi całkwitliczbwymi. Mdele całkwitliczbwe są znacznie trudniejsze d rzwiązania numeryczneg niż liniwe [5]. Zastswanie prgramwania liniweg jak jednej z metd mdelwania matematyczneg Mdelem matematycznym nazywany jest pis isttnych aspektów istniejąceg systemu (biektu), który reprezentuje użyteczną wiedzę tym systemie [2]. Jest t więc pisanie zależnści (relacji) występujących pmiędzy składwymi mdelu (elementami) wyrażne pprzez język matematyki, dwzrwujące rzeczywiste przedstawienie zjawiska, prblemu bądź zachwania się daneg systemu. Celem mdelu jest ilściwe kreślenie przewidywanych zdarzeń lub rzwiązanie pstawineg prblemu (np. ptymalizacji ksztów dstaw). Oprócz zdefiniwania isttnych elementów mdelu raz zależnści występujących między nimi, ważną cechą twrzneg mdelu jest jeg użytecznść w badaniu analizwaneg systemu lub rzwiązanie pstawineg prblemu, dlateg pierwszym krkiem jest definicja prblemu, stpień uszczegółwienia mdelu i cel jaki ma zstać siągnięty wyrażny pprzez funkcję celu mdelu. Mdel pwinien być mżliwie jak najdkładniej skrelwany z naturą i charakterem zjawiska, tak by jeg użycie mgł dstarczać wiarygdnych rezultatów adekwatnie pisujących badaną rzeczywistść [5]. Zazwyczaj jednak w badaniach mdelwych stsuje się pewne uprszczenia w zakresie dwzrwania mdelwanych prblemów. Realizwane jest t pprzez agregację elementów pdbnych raz eliminację sprzężeń nieisttnych. Dkładne dwzrwanie wszystkich zależnści częst jest niemżliwe, a nawet równcześnie częst bywa zbędne, zwłaszcza jeśli wprwadzają ne kmplikacje d mdelu, a nie służą pprawie jeg jakści.stpień szczegółwści pisu prblemu pwinien być dstswany d celu badań i czekiwań, c d dkładnści wyników. Na tym etapie następuje również transfrmacja zależnści kreślnych w mdelu knceptualnym na relacje matematyczne. Zazwyczaj jest t prcedura skmplikwana, gdyż częst występują trudnści w zapisie zależnści matematycznych z wykrzystaniem racjnalnej liczby zmiennych i graniczeń. Zwykle mdel budwany jest stpniw pprzez zbudwanie w pierwszej klejnści uprszczneg mdelu uwzględniająceg najważniejsze zmienne i graniczenia. Następnie, p sprawdzeniu pprawnści działania takieg mdelu, rzbudwuje się g bardziej skmplikwane elementy. Jednym z etapów jest także wybór właściwej metdy prgramwania matematyczneg, umżliwiającej wyznaczenie ekstremalnych wartści funkcji celu przy zadanych graniczeniach. Ze względu na efektywne algrytmy bliczeniwe, najczęściej stswana jest metda prgramwania liniweg. Wymaga na jednak pisu prblemu przy wykrzystaniu wyłącznie liniwych zależnści, zarówn pmiędzy zmiennymi jak i w funkcji celu i równaniach graniczających [5]. Prgramwanie liniwe zstał pracwane na pczątku ery matematyczneg prgramwania i jest nadal pwszechnie stswane w mdelach ptymalizacyjnych. Spwdwane jest t dstępnścią i zaawanswanym rzwjem algrytmów służących d numeryczneg rzwiązywania teg typu prblemów. Pnadt, pdejście liniwe mżna zastswać d rzwiązywania wielu praktycznych zadań, jednym z pdstawwych przykładów zadań ptymalizacyjnych są zadania transprtwe, czy dystrybucyjne [1, 3]. 4641

3 Budwa dedykwaneg mdelu matematyczneg dla rzwiązania prblemu ptymalnej alkacji nadwyżki kruszyw żwirw-piaskwych Pierwszym etapem budwy mdelu jest kreślenie funkcji celu, a także identyfikacja elementów raz pznanie zależnści występujących w badanym prblemie. Następnie twrzy się mdel knceptualny, na pdstawie któreg buduje się mdel matematyczny raz wyknuje jeg kmputerwą implementację. Algrytmy matematyczne ptrzebne są d uzyskania rzwiązań numerycznych mdeli matematycznych. Celem nadrzędnym jest wyznaczenie kierunku ptymalizacji daneg mdelu będąceg kryterium funkcji celu (minimalizacja lub maksymalizacja). Kmputerwa implementacja stwrzneg mdelu zstała wyknana przy użyciu systemu GAMS (General Algebraic Mdelling System), pzwalająceg na mdelwanie liniwych, nieliniwych raz mieszanych prblemów ptymalizacji. Zapis mdelu w systemie GAMS wymaga [4]: a) zdefiniwania zbirów, indeksów i parametrów (danych) mdelu, b) wprwadzenia danych pd pstacią macierzy, bądź dwłania d arkuszy kalkulacyjnych zawierających dane liczbwe, a także kreślenia parametrów stałych (wartści skalarnych), c) zdefiniwanie zmiennych, raz graniczeń (równań i nierównści) wraz z wyznaczeniem kryterium ptymalizacji, d) zapisu równań i nierównści z wykrzystaniem zbirów, parametrów i zmiennych, c prwadzi d: rzwiązania równań i nierównści rzwiązanie mdelu, pracwania wyników (wartści liczbwych zmiennych) z mżliwścią ich eksprtu d arkusza kalkulacyjneg. Wprwadzenie danych wejściwych d mdelu i kryteriów graniczających zbiór rzwiązań jest ważnym etapem mdelwania. Wartści wszystkich zmiennych wejściwych, takich jak: stan nadwyżki surwca u dstawców, wartść deficytu surwca u dbirców, dległści pmiędzy dstawcami i dbircami według rdzajów stswanych śrdków transprtu czy jednstkwe kszty transprtu dla pszczególnych śrdków transprtu, należy przygtwać w dpwiedniej pstaci, zestawiając je w frmie wymaganej przez knstrukcję mdelu i rdzaj narzędzia stswaneg w prcesie mdelwania. Tak zestawine wartści zmiennych wprwadza się d mdelu. Jedncześnie w mdelu należy zaimplementwać wszystkie warunki brzegwe. Kluczwy warunek graniczający mżna sprwadzić d następującej definicji: suma ilści surwca przewiezineg d dbircy (d dstawcy) musi być równa wartści deficytu (nadwyżki) deklarwaneg przez dbircę (dstawcę). Zstał n przedstawiny pniżej w frmie równań matematycznych: n x = t i m ij x = j j ij w i x ij 0 gdzie: t j wartść deficytu surwca zgłaszaneg przez j-teg dbircę, Mg, x ij masa surwca przewiezineg między punktami i-j, Mg, w i wartść nadwyżki surwca psiadana przez i-teg dstawcę, Mg. 4642

4 d dm Symbl zbiru i pdzbiru Tabela 1. Elementy mdelu matematyczneg stswane w GAMS Dstawca surwca Odbirca surwca Rdzaj transprtu d dstawcy Opis Symbl parametru Jednstka Opis KsztTransprtu [zł/mg] Jednstkwy kszt transprtu surwca d dstawcy d dbircy Pdaż [Mg] Dstępna ilść surwca Ppyt [Mg] Zaptrzebwanie na surwiec DstawcaMax [Mg] Maksymalna sumaryczna dstawa d dstawcy Symbl zmiennej Jednstka Opis Surwiec [Mg] Ilść surwca przetransprtwaneg d dstawcy d dbircy Kszt [zł] Całkwity kszt transprtu surwca d dstawców d dbirców Symbl równania Jednstka Opis LimitDstaw [Mg] Maksymalna ilść dstaw d dstawcy d dbircy Zaptrzebwanie [Mg] Minimalne zaptrzebwanie na surwiec LimitWysylki [Mg] Maksymalna zdlnść transprtwa daneg typu transprtu FunkcjaCelu [zł] Minimalizacja ksztów transprtu surwca Źródł: Opracwanie własne W Tabeli 1 przedstawin zapis matematyczny mdelu składający się z definicji zbirów, pdzbirów, parametrów (danych) raz zmiennych, a także warunków ptymalizacji mdelu (funkcja celu) raz równań i nierównści będących warunkami graniczającymi warunkującymi pprawnść działania mdelu. Równaniami graniczającymi są równania maksymalnej pdaży i minimalneg ppytu transprtwaneg surwca. Surwiec mże być przewżny różnymi śrdkami transprtu, jednak ilść przewżneg surwca nie mże przekraczać wielkści pdaży dstawcy. Funkcją celu jest minimalizacja całkwiteg ksztu dstaw surwca d dbirców przy spełnieniu pzstałych graniczeń: Surwiec d, LimitDstaw(d): Surwiec d, Zaptrzebwanie(): d LimitWysyłki(dm): FunkcjaCelu: Surwiec d, Pdaż dm, d Ppyt DstawcaMax Kszt = Surwiec KsztTransprtu d, d, Wyniki bliczeń W Tabeli 2 zaprezentwan rzwiązanie zweryfikwaneg, przetestwaneg i skalibrwaneg mdelu matematyczneg. Rzwiązanie prblemu badawczeg zstał przedstawine, zgdnie z definicją, jak ilść kruszywa (tnaż) przewżny kreślnym rdzajem śrdka transprtu (klejlub samchdy ciężarwe) pmiędzy śrdkami nadwyżki pdaży i deficytu ppytu, w funkcji dległści kluczwych miast wjewódzkich. Łączny kszt zbilanswania rynku kruszyw żwirw-pisakwych w scenariuszu pdstawwym szacwan na ,48 tys. zł. 4643

5 Tabela 2. Ilść, kierunki i rdzaje śrdków transprtu kruszyw żwirw-piaskwych zapewniające zbilanswanie rynku D [tys. Mg] Kraków Warszawa Pznań Katwice Wrcław Lublin Kielce Bydgszcz Ople 1 708,49 48, ,00 Olsztyn 1 167, , ,43 Białystk 8 725, ,68 Transprt samchdwy Z Rzeszów 822, , , , ,59 Szczecin 1 597, ,36 Zielna Góra 1 406, ,22 Łódź 692, , ,10 Gdańsk 880,07 880,07 822, , , ,90 48, , , , ,45 Transprt klejwy D [tys. Mg] Kraków Warszawa Pznań Katwice Wrcław Lublin Kielce Bydgszcz Z Olsztyn 1 043, , , ,85 Źródł: pracwanie własne Na rysunku 1 przestawin graficzną ilustrację rzwiązania. Strzałki wskazują na kierunki transprtu surwca pmiędzy pszczególnymi śrdkami miejskimi (wjewództwami). Wartści nad strzałkami ilustrują tnaż przewżneg kruszywa. Rys. 1. Kierunki i wielkść przewzu kruszyw żwirw-piaskwych w Scenariuszu bazwym Źródł: pracwanie własne Wyniki wskazują, że dminującą rlę dgrywa transprt samchdwy. Tylk w jednym przypadku (na trasie z Olsztyna d Pznania) przewóz realizwany jest kleją łącznej wartści tnażu 1,04 mln Mg kruszyw. 4644

6 Przedstawine rzwiązanie nie ma charakteru definitywneg i nie przesądza rzeczywistej skali mżliwych d zrealizwania działań i kierunkach alkacji nadwyżki pdaży kruszyw żwirw-piaskwych na terenie Plski. W celu rzszerzenia prwadznych badań i zbiektywizwania sądu, przeprwadzn symulację wyników przy załżeniu zmiennści cen taryf w transprcie samchdami ciężarwymi. Obliczenia ksztów transprtu samchdweg wyknan przy załżeniu: scenariusza Wyskich cen, gdzie w miejsce ceny bazwej przyjęt maksymalną cenę w zbirze zebranych infrmacji tj. 0,42 zł/mg km, scenariusza Niskich cen, w którym przyjęt z klei najniższą jednstkwą cenę przewzu kruszyw (na pdstawie zebranych danych) tj. 0,24 zł/mg km. Dla tak przyjętych cen przeliczn pnwnie mdel i wyniki ujęt w tabelach 3 i 4. Tabela 3. Scenariusz Niskich cen D [tys. Mg] Kraków Warszawa Pznań Katwice Wrcław Lublin Kielce Bydgszcz Transprt samchdwy Z Ople 1 708,49 48, ,00 Olsztyn 1 167, , , ,43 Białystk 8 725, ,68 Rzeszów 822, , , , ,59 Szczecin 1 597, ,36 Zielna Góra 1 406, ,22 Łódź 692, , ,10 Gdańsk 880,07 880,07 822, , , ,90 48, , , , ,30 Źródł: pracwanie własne Tabela 4. Scenariusz Wyskich cen D [tys. Mg] Kraków Warszawa Pznań Katwice Wrcław Lublin Kielce Bydgszcz Ople 1 708,49 48, ,00 Transprt samchdwy Z Olsztyn 475,03 475,03 Białystk 8 725, ,68 Rzeszów 822, , , ,63 Zielna Góra 1 406, ,22 Łódź 692, , ,10 Gdańsk 880,07 880,07 822, , , ,94 48, , ,82 880, ,73 Transprt klejwy D [tys. Mg] Kraków Warszawa Pznań Katwice Wrcław Lublin Kielce Bydgszcz Olsztyn 1 043, , ,25 Z Rzeszów 5 198, ,96 Szczecin 1 597, , , , , ,57 Źródł: pracwanie własne 4645

7 Łączny kszt zbilanswania rynku kruszyw żwirw-piaskwych w scenariuszu Wyskich cen wyniósł ,24 tys. zł, natmiast Niskich cen dpwiedni ,79 tys. zł. Kierunki ptymalnej alkacji kruszyw pmiędzy śrdkami nadwyżki pdaży i deficytów (ppytu) dla scenariusza Wyskich cen przedstawin w ujęciu graficznym na Rysunku 2. D przewzu transprtem klejwym zakwalifikwan 29,7% całści nadwyżki pdaży (tj. 43,2 mln Mg kruszywa) tj. kł 12,85 mln Mg żwirów i piasków. Dla scenariusza Niskich cen rzpływ kruszyw jest niemalże identyczny jak na rysunku 1 (jedyna różnica plega na wyeliminwaniu przewzu kleją pmiędzy Pznaniem a Olsztynem). Rys. 2. Kierunki i wielkść przewzu kruszyw żwirw-piaskwych w scenariuszu Wyskich cen Źródł: pracwanie własne Pdsumwanie i wniski Prblematyka bilanswania rynku kruszyw żwirw-piaskwych nie jest zagadnieniem wyłącznie teretycznym. Ocena ptencjału prdukcji kruszyw z czynnych złóż zlkalizwanych w różnych rejnach Plski raz faktyczneg zaptrzebwania na nie w funkcji dynamicznych zmian w sektrze budwnictwa i drgwnictwa jest zagadnieniem isttnym dla celów właściwej krdynacji plityki reginalnej kraju. Niniejsza publikacja kńczy cykl prac zmierzających d pracwania algrytmu pstępwania metdy, której efektem jest wyrażny w kategriach pieniężnych kszt zbilanswania rynku kruszyw żwirw-piaskwych. Bilanswanie t należy rzumieć statecznie jak prces zrównważenia rynku, w którym nadwyżce pdaży z jednych rejnów przeciwstawiany jest niedbór surwców w innych bszarach kraju. Otrzymane rezultaty badań psiadają również znaczenie dla celów przedstawienia knkurencyjnści klei względem transprtu samchdweg kruszyw żwirw-piaskwych pjazdami ładwnści pwyżej 20 Mg. Na tej pdstawie mżliwe jest także prgnzwanie przyszłeg bciążenia szlaków kmunikacyjnych. 4646

8 Należy jednak nadmienić, iż dkładnść uzyskanych rezultatów zstała graniczna d wskazania kierunków transprtu pmiędzy pszczególnymi miastami wjewódzkimi. Autrzy uznali, że takie przybliżenie skali zagadnienia transprtweg na tle prcesu zrównważenia pdaży i ppytu rynku kruszyw żwirw-piaskwych jest miardajne. Nie mniej jednak mżliwe jest bardziej precyzyjne i bardziej szczegółwe zdefiniwanie śrdków pdaży i ppytu analizwanych surwców Plsce. Opracwana metda jaki i użyte w statnim etapie prgramwanie pzwalają na zmiany załżeń i danych raz uzyskiwanie rzwiązań przy niewielkim nakładzie pracy na stswane mdyfikacje. W przyszłści mżliwe jest uszczegóławianie prwadznych badań i definiwanie rzwiązań w skali np. pwiatów. Streszczenie Dynamicznie rzwijający się sektr budwnictwa i drgwnictwa stwarza zaptrzebwanie na prdukty żwirw-piaskwe. Stsunkw równmierne rzłżenie złóż żwiru i piasku nie gwarantuje mżliwści zaspkjenia ppytu z lkalnych źródeł surwca. Autrzy, dstrzegając prblem istniejących nadwyżek ppytu w jednych wjewództwach raz niedbór surwców w innych, przy pmcy pracwanej metdy rzwiązali prblem ptymalnej alkacji surwców żwirw-piaskwych w skali kraju. W tym celu pracwan dedykwany algrytm pstępwania metdę, wykrzystującą narzędzia infrmatyczne z zakresu prgramwania liniweg. P przeanalizwaniu specyfiki rynku kruszyw żwirw-piaskwych, uwarunkwań transprtwych i lgistycznych, ksztów transprtu kleją i samchdami ciężarwymi raz dległści pmiędzy śrdkami ppytu i pdaży, autrzy zaprpnwali mdel pzwalający na zbilanswanie rynku surwców. W efekcie, mżliwe stał się ustalenie ptymalneg rzpływu (alkacji) kruszyw żwirw-piaskwych pmiędzy pszczególnymi śrdkami pdaży i ppytu w Plsce. Jak kryterium ptymalizacji przyjęt minimalny kszt całkwity transprtu surwców, a zbudwany mdel zstał zaimplementwany przy użyciu systemu GAMS (General Algebraic Mdeling System). Optymalne rzwiązanie zstał zaprezentwane dla scenariusza Pdstawweg, a także dwóch alternatywnych scenariuszy: Wyskich cen i Niskich cen w transprcie samchdami ciężarwymi. Opracwana metda ma charakter uniwersalny i mże być z pwdzeniem stswana d rzwiązywania teg typu zagadnień prblemwych. Słwa kluczwe: surwce skalne, kruszywa żwirw-piaskwe, prgramwanie liniwe, mdelwanie, transprt klejwy, transprt samchdami ciężarwymi, ppyt i pdaż, analiza ksztów transprtu THE APPLICATION OF LINEAR PROGRAMMING TO SOLVE THE PROBLEM OF BAL- ANCING THE GRAVEL AND SAND AGGREGATES MARKET IN POLAND Abstract The dynamically develping building and cnstructin sectr creates a demand fr sand and gravel aggregates. The relatively regular lcatin f sand and gravel depsits des nt guarantee the ability t meet demand frm the lcal surces f rck raw materials. The authrs, recgnizing the prblem f existing surplus f sand and gravel aggregates in sme regins in Pland and a shrtage in the ther, with the help f elabrated methd, slved the prblem f ptimal allcatin fsand and gravel aggregates in the cuntry. Fr this purpse, a dedicated algrithm prcedure the methd that uses tls and linear prgramming was cnducted. After analyzing the market characteristics, cnditins and different means f transprt and lgistics, as well as the distance between the centers f demand and supply, the authrs prpsed 4647

9 the mdel t balance therck raw materials market. As a result, it became pssible t determine the ptimalallcatin f sand and gravel aggregates between the centers f supply and demand in Pland. The minimum ttal cst f transprtatin f rck raw materials as the ptimizatin criteria was cnducted, and the mdel has been implemented using the GAMSsftware (General Algebraic Mdeling System). The ptimal slutin is presented fr the Base-case scenari, as well as tw alternative scenaris: High price and Lw price f heavy trucks transprt. The develped methd is universal and can be successfully used t slve this type f applicatin prblem. Keywrds: raw materials, sand and gravel aggregates, linear prgramming, mdelling, rail transprt, heavy truck transprt, demand and supply, transprt cst analysis Literatura [1] AIMMS, 2012: Pdręcznik użytkwnika systemu AIMMS. AIMMS Optimizatin Mdeling, [2] Eykhff P.: System identificatin: parameter and state estimatin, Wiley, New Yrk, [3] Gutenbaum J.: Matematyczne mdelwanie systemów, IBS PAN, Warszawa, [4] Kamiński J.: Siła rynkwa w krajwym sektrze wytwarzania energii elektrycznej zagadnienia wybrane, Seria: Studia Rzprawy Mngrafie Nr 175,IGSMiE PAN,Kraków [5] Kamiński J.: Metdy mdelwania równwagi rynków energii elektrycznej, Rynek Energii 3(88), 2010, [6] Suwała W.: Mdelwanie systemów paliww-energetycznych, IGSMiE PAN, Kraków