Grafy i ich reprezentacja

Transkrypt

1 Grafy i ich reprezentacja

2 Podstawy Podstawowe pojęcia: Graf G(V,E) struktura danych składająca się z dwóch zbiorów V i E V = [v 1 v n ] wierzchołki (vertex) E =[e 1 e m ] krawędzie (edges) E = {(u,v): u,v V}

3 Podstawy cd. Graf nieskierowany i skierowany i ważony

4 Podstawowe pojęcia Rząd grafu liczba wierzchołków w grafie = 5 Rozmiar grafu liczba krawędzi w grafie = 7 Graf zerowy G(V,E) V={v1,v2,v3,v4,v5}; E = {}

5 Podstawowe pojęcia Stopień wierzchołka liczba krawędzi z niego wychodzących/przychodzących (pętle liczymy za 2) np. deg(v1) = 4 Węzeł izolowany v6 (węzeł nie połączony z innymi)

6 Podstawowe pojęcia Ścieżka lub droga w grafie uporządkowany zbiór krawędzi/wierzchołków jaki musimy przebyć aby dotrzeć od wierzchołka początkowego do końcowego P(v1,v5) = {e1,e2,e4} P(v1,v5) = {v1,v2,v4,v5} Cykl to ścieżka zaczynająca się i kończąca w tym samym wierzchołku Cykl prosty krawędzie / wierzchołki przechodzone są tylko raz Cykle Hamiltona cykl prosty zawierający wszystkie wierzchołki grafu (brak warunku na krawędzie) Cykle Eulera cykl prosty zawierający wszystkie krawędzie grafu (brak warunku na wierzchołki)

7 Podstawowe pojęcia Graf planarny da się go narysowac na płaszczyźnie i nieplanarny (nie da się go narysować na płaszczyźnie) Graf planarny

8 Podstawowe pojęcia Graf pełny graf w którym pomiędzy każda parą wierzchołków występuje krawędź Przykład: Transpozycja grafu odwrócenie kierunków krawędzi w grafie Wykorzystano materiały z:

9 Formy reprezentacji grafów Lista sąsiedztwa Macierz sąsiedztwa Macierz incydencji

10 Lista sąsiedztwa Lista sąsiedztwa - Dane zapisywane są w postaci listy obiektów zawierających wierzchołek grafu,wraz z listą listę wierzchołków sąsiednich.

11 Lista sąsiedztwa Lista sąsiedztwa - Dane zapisywane są w postaci listy obiektów zawierających wierzchołek grafu,wraz z listą listę wierzchołków sąsiednich. Jak zapisać graf skierowany?

12 Lista sąsiedztwa Lista sąsiedztwa - Dane zapisywane są w postaci listy obiektów zawierających wierzchołek grafu,wraz z listą listę wierzchołków sąsiednich. Jak zapisać graf skierowany? - Na liście umieszczać tylko wierzchołki wychodzące - Dla każdego węzła dwie listy wychodząca i przychodząca

13 Macierz sąsiedztwa Dane zapisane są w postaci macierzy, która ma wymiar V x V, a wartości reprezentują wagę połączeń pomiędzy wierzchołkami.

14 Macierz sąsiedztwa Dane zapisane są w postaci macierzy, która ma wymiar V x V, a wartości reprezentują wagę połączeń pomiędzy wierzchołkami. Jak zapisać graf skierowany?

15 Macierz sąsiedztwa Dane zapisane są w postaci macierzy, która ma wymiar V x V, a wartości reprezentują wagę połączeń pomiędzy wierzchołkami. Jak zapisać graf skierowany? Wprowadzić tylko te wiersze które są wychodzące

16 Macierz incydencji macierz o wymiarze V x E (grafy skierowane) w liczba wierszy odpowiada liczbie wierzchołków, a liczbie kolumn odpowiada liczba krawędzi. Zasada wstawiania wartości można opisać wg. zależności: m ij = 1 jeśli krawędź e j wychodzi z wierzchołka v i 1 jeśli krawędź e j wchodzi z wierzchołka v i 0 jeśli e j iv i nie są incydentne

17 Właściwości Lista sąsiedztwa Macierz sąsiedztwa Macierz incydencji Przechowywanie grafu O( V + E ) O( V 2 ) O( V E ) Dodanie wierzchołka O(1) O( V 2 ) O( V E ) Dodanie krawędzi O(1) O(1) O( V E ) Usunięcie wierzchołka O( E ) O( V 2 ) O( V E ) Usunięcie krawędzi O( E ) O(1) O( V E ) Zapytanie: czy wierzchołki x i y są sąsiadujące O( V ) O(1) O( V E )

18 Metody przeszukiwania

19 Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązań. Dualizm problemu -> reprezentacja problemu w postaci grafu (znalezienie w grafie określonego rozwiązania - węzła) lub reprezentacja problemu w postaci pary: <stan,możliwe zmiany stanu> i poszukiwanie określonego stanu docelowego UWAGA: Czasami reprezentacja problemu w postaci grafu może prowadzić do bardzo dużych grafów. Przykładowe zastosowania: gry w szachy, warcaby, Przesuwanka, Problem komiwojażera Odnajdywanie najkrótszej dorgi itp itp

20 Definicja problemu Trzy elementy potrzebne do zdefiniowania problemu: 1. Baza danych: fakty, stany, możliwości, opis sytuacji. 2. Możliwe operacje: zmieniają stan bazy danych. 3. Strategia kontrolna: start, koniec i kolejność operacji. Ciąg operacji tworzy sekwencję działań, od stanu początkowego do stanu końcowego (celu). Z każdą operacją związany jest pewien koszt. W procesie szukania należy dążyć do minimalizacji całkowitych kosztów. Źródło W. Duch wykład AI

21 Pojęcia Przeszukiwanie kompletne/zupelne algorytm przeszukiwania jest kompletny jeśli gwarantuje odnalezienie rozwiązania w grafie, o ile takie rozwiązanie istnieje Algorytm przeszukiwania niekompletny jeśli nie gwarantuje odnalezienie rozwiązania Optymalność rozwiązania odnalezione jest najprostsze rozwiązanie (np. znalezione rozwiązanie w przesuwance gwarantuje minimalna ilość kroków - przesunięć)

22 Typy metod przeszukiwania Przeszukiwanie ślepe gdy nie mamy żadnej wiedzy/oceny jakości znalezionego rozwiązania Przeszukiwanie heurystyczne gdy potrafimy jakoś ocenić proces przeszukiwania

23 Przeszukiwanie ślepe Gdy koszt ruchu zawsze taki sam (graf nie ważony) Przeszukiwanie wszerz Przeszukiwanie w głąb Przeszukiwanie iteracyjnie pogłębianie Przeszukiwanie dwukierunkowe Gdy graf ważony lub różna waga ruchu to: Algorytm Dijkstra (wagi dodatnie) Algorytm Bellmana-Forda (możliwość występowania wag ujemnych)

24 Algorytm wszerz

25 Przeszukiwanie wszerz Żródło: Arkadiusz Wojna,

26 Przeszukiwanie wszerz 1. Zainicjuj kolejkę Queue 2. Queue <- stan początkowy 3. While ((S <- Queue.Head)!= null){ 1. If S == rozwiązanie Then koniec 2. For ((C <- S.Children) & C!= Visited) 1. Queue <- C }

27 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie wszerz Właściwości: Zupełność: tak - jeśli skończona liczba krawędzi b (b max. Liczba rozgałęzień drzewa przeszukiwań) Złożoność czasowa: O(b d+1 ) wykładnicza względem głębokości d (d-głębokość rozwiązania o najmniejszym koszcie) Złożoność pamięciowa: O(b d+1 ) przechowuje każdy węzeł w pamięci Optymalność: tak jeśli koszty przejść są równe

28 Żródło:

29 Algorytm w głąb

30 Przeszukiwanie w głąb Żródło: Arkadiusz Wojna,

31 Przeszukiwanie w głąb 1. Zainicjuj Stos 2. Stos <- stan początkowy 3. While ((S <- Stos.tail)!= null){ 1. If S == rozwiązanie Then koniec 2. For ((C <- S.Children) & C!= Visited) 1. Stos <- C }

32 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie w głąb Właściwości Zupełność: tak (jeśli przestrzeń skończona, w szczególności gdy skończona głebokość) Złożoność czasowa: O(b m ) wykładnicza m-liczba wierzchołków, dobra metoda jeśli gęste rozwiązania Złożoność pamięciowa: O(bm) liniowa Optymalność: nie znalezione rozwiązanie nie koniecznie jest optymalne

33 Żródło:

34 Algorytm iteracyjne pogłębianie

35 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie iteracyjne pogłębianie Przeszukiwanie ograniczone wgłąb ale stopniowo zwiększamy głębokość

36 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie iteracyjne pogłębianie Właściwości Zupełność: tak Złożoność czasowa: O(b d ) Złożoność pamięciowa: O(bd) Optymalność: tak jeśli równy koszt przejść

37 Przeszukiwanie dwukierunkowe

38 Przeszukiwanie dwukierunkowe Do zastosowań jeśli znamy start i rozwiązanie a szukamy ścieżki prowadzącej do rozwiązania Równolegle szukanie od startu i od rozwiązania

39 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie dwukierunkowe Właściwości Zupełność: tak (jeśli szukanie wszerz) Złożoność czasowa: O(b d/2 ) Złożoność pamięciowa: O(b d/2 ) Optymalność: tak jeśli szukanie wszerz

40 Żródło:

41 Algorytm Dijkstry

42 Poszukiwanie najkrótszej ścieżki Gdy graf nie ważony lub koszt ruchu zawsze taki sam to algorytm w szerz Przeszukiwanie grafu ważonego -> Algorytm Dijkstry

43 Algorytm Dijkstry Szukanie najkrótszej ścieżki w grafie W rzeczywistości algorytm zwraca odległość od wybranego wierzchołka do wszystkich wierzchołków Uwaga: założenie nieujemnych wag!!! Dla ujemnych ścieżek algorytm Bellmana-Forda (założenie brak ujemnych cykli) Złożoność obliczeniowa: Naiwna implementacja O( V 2 ) Z wykorzystaniem kolejki priorytetowej O( E + V log V )

44 Algorytm Dijkstry function Dijkstra(Graph, start): 1. Q PriorityQueue() // Inicjalizuj kolejkę priorytetową 2. for each vertex v in Graph: 3. dist[v] INFINITY // Nieznana odległość od startu do v 4. prev[v] UNDEFINED // Poprzednik v 5. Q.add(v, dist[v]) 6. dist[start] 0 // Inicjalizacja while Q is not empty: // Główna pętla 9. u Q. gethead() // Usuń I zwróć najbliższy wierzch. 10. for each neighbor v of u: // Dla sąsiadów u 11. alt = dist[u] + length(u, v) 12. if alt < dist[v] 13. dist[v] alt 14. prev[v] u 15. Q.updatePriority(v, alt) 16. return dist[], prev[]

45 Algorytm Dijkstry function Dijkstra(Graph, start): 1. Q PriorityQueue() for each vertex v in Graph: 4. dist[v] INFINITY 5. prev[v] UNDEFINED 6. Q.add(v, dist[v]) 7. dist[start] while Q is not empty: 10. u Q.getHead(). 11. for each neighbor v of u: 12. alt = dist[u] + length(u, v) 13. if alt < dist[v] 14. dist[v] alt 15. prev[v] u 16. Q.updatePriority(v, alt) Źródło: return dist[], prev[]

46 Algorytm Dijkstry function Dijkstra(Graph, start): 1. Q PriorityQueue() for each vertex v in Graph: 4. dist[v] INFINITY 5. prev[v] UNDEFINED 6. Q.add(v, dist[v]) 7. dist[start] while Q is not empty: 10. u Q.getHead(). 11. for each neighbor v of u: 12. alt = dist[u] + length(u, v) 13. if alt < dist[v] 14. dist[v] alt 15. prev[v] u 16. Q.updatePriority(v, alt) 17. return dist[], prev[]

47 Metody heurystyczne

48 Metody heurystyczne W odróżnieniu od szukania ślepego wykorzystujemy wiedzę o przeszukiwanej przestrzeni oceniając znalezione rozwiązania Problem metod ślepych - eksplozja kombinatoryczna liczby możliwych stanów Szukanie heurystyczne wykorzystuje informacje, które poprawiają efektywność procesu szukania.

49 Funkcja heurystyczna Funkcja h : R, gdzie to zbiór dozwolonych stanów, R to liczby rzeczywiste, odwzorowuje stany s ze zbioru na wartości h(s) służące do oceny względnych kosztów lub zysków rozwijania dalszej drogi przez węzeł odpowiadający s. Funkcja heurystyczna ocenia jakość każdego każdy z węzłów: h(s1) = 1.5 h(s2) = 2.3 h(s3) = 1.53 To gdzie iść najpierw?

50 Metody heurystyuczne Pierwszy najlepszy Przeszukiwanie zachłanne Przeszukiwanie A* inne Iteracyjne poprawianie Algorytm wspinaczki Algorytmy genetyczne inne

51 Przeszukiwanie zachłanne

52 Przeszukiwanie zachłanne Algorytm przeszukiwania, w którym zachłannie rozwija się każde rozwiązanie prognozujące lokalnie na danym etapie najlepsze rozwiązanie cząstkowe. Przykład: problem komiwojażera każdorazowo odwiedzamy najbliższe nieodwiedzone miasto.

53 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie zachłanne Funkcja heurystyczna: h(n) odległość w linii prostej z miasta n do Bukaresztu. Zadanie: znaleźć optymalną trasę z Arad do Bukaresztu

58 Przeszukiwanie zachłanne Graf rozwiązań

59 Przeszukiwanie zachłanne Graf rozwiązań Problem! Rozwiązanie nie jest optymalne!!!

60 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie zachłanne Właściwości Zupełność: nie Złożoność czasowa: zależna od heurystyki Złożoność pamięciowa: zależna od heurystyki Optymalność: nie

61 Algorytm A*

62 Przeszukiwanie A* Podobne do przeszukiwania zachłannego ale zmodyfikowana (rozszerzona) heurystyka: f(n) = h(n) + g(n) h(n) koszt dotarcia do celu g(n) koszt dotarcia od startu do danego węzła f(n) unika stanów do których ponieśliśmy duży koszt dotarcia

68 Algorytm A* G graf; start węzeł startowy; koniec węzeł końcowy; Q <- kolejka protorytetowa C <- lista węzłów do odwiedzonych (clesedset) M <- mapa gdzie kluczem jest dany węzeł, a wartością para (rodzic, odległosc) Q.add(start,heurystyka(start,koniec)) M.put(start,[prev=null, dist=0]) while (!isempty(q) ) u <- Q.head() if (u == koniec) break; C.add(u); //dodanie węzła u do closedset for (v = u.neighbors()){//iterujemy po sąsiadach węzła u if (C.contains(v)){ //jeśli v już odwiedzony (jest w closedset) continue;} distu = M.get(u).dist; //odczytanie odległości od u do startu tmpdist = distu + G(u,v); //wyznaczenie nowej odległości G(u,v) to waga krawędzi pomiędzy u i v if (!Q.contains(v)) //Jeśli kolejka nie zawiera v Q.add(v,tmpDist + heurystyka(v,koniec)); M.put(v,[prev = u, dist = tmpdist]) else distv = M.get(v).dist if (tmpdist < distv) M.put(v,[prev = u, dist = tmpdist]) Q.update(v,tmpDist + heurystyka(v,koniec));

69 Typowe heurystyki Dla podróżowania wykorzystujemy odległość Euklidesa od mety do danego węzła (jak w problemie Rumunii) W labiryncie dobrą heurystyka jest odległość Manhattan pomiędzy danym stanem a układem końcowym Metryka Manhattan n i=1 d(x,y) = x i y i W układance dobrą heurystyką jest liczba niepasujących pól (liczba klocków które są w niewłaściwym położeniu) lub suma odległość Manhattan dla każdego pola tj. gdzie dany klocek się znajduje a gdzie powinien znajdować

70 Żródło: Arkadiusz Wojna, Przeszukiwanie A* Właściwości Zupełność: tak jeśli heurystyka dopuszczalna Złożoność czasowa: zależy od heurystyki Złożoność pamięciowa: zależy od heurystyki Optymalność: tak choć zależy od heurystyki

71 Iteracyjne poprawianie i metody losowe

72 Algorytmy optymalizacji Sposób działania: Algorytmy gradientowe Dobre jeśli funkcja celu jest wypukła

73 Algorytmy optymalizacji Algorytmy gradientowe problemy Problem braku wypukłości funkcji punkty siodłowe Punkt siodłowy, gradient = 0 Problem przeskoczenia optimum Problem optimów lokalnych i punktu startu

74 Algorytmy losowe Algorytm wspinaczki Schemat algorytmu Szukamy takiej modyfikacji S która poprawia wynik funkcji celu Funkcja Tweak Losowo modyfikujemy każdą ze składowych wektora V, ale zapewniamy by V był w okreslonym przedziale

75 Algorytm wspinaczki a funkcja Tweak Splot Gaussowski Dodajemy niedużo szumu w okolicy poprzedniego rezultatu, przy czym szum ma rozkład Gaussa Rozkład Gaussa w zależności od parametru. Im mniejsza wartość tym mniejszy rozrzut punktów

76 Algorytmy losowe Przeszukiwanie losowe Przeszukiwanie losowe sprawdza różne losowe rozwiązania i wybiera najlepsze rozwiązanie Uwaga często dobrze działa!!! Tylko trzeba dostatecznie dużo próbkować

77 Algorytm symulowanego wyżarzania Algorytm można opisać schematem Idea: akceptacja gorszych rozwiązań jeśli spełniona zależność. Jak t = 0 to mamy algorytm wspinaczki Prawdopodobieństwo akceptacji gorszego rozwiązania Tą zależność liczymy gdy Quality(S) > Quality(R) Bo stosujemy gdy pierwszy warunek jest niespełnony, czyli R jest gorszym rozwiązaniem niż S

78 Algorytmy genetyczne Inspirowane procesami ewolucyjnymi, Idea działania jak wyżej ale zamiast jednego losowego przypadku mamy całą populację Pojęcia: Genotyp reprezentacja numeryczna przestrzeni stanów określa sposób kodowani informacji (może być binarny, całkowito liczbowy, rzeczywisty) Fenotyp reprezentacja odpowiadająca rzeczywistości np. w problemie komiwojażera przekształcamy Gentoyp w postaci ciągu liczb całkowitych na odpowiadające im miasta chromosom - pojedynczy osobnik populacji pojedynczy stan/węzeł zakodowany w postaci binarnej, (w algorytmach ewolucyjnych nie koniecznie reprezentacja binarna) Populacja zbiór jednocześnie rozpatrywanych węzłów - osobników Potomstwo Populacja powstała na podstawie poprzedniej populacji Generacja określona, któraś z kolei populacja

79 Algorytmy genetyczne formy Binarna (np. kształt) reprezentacji Genotyp Fenotyp Szerokość Długość Wysokość Całkowito liczbowa (np. w TSP) Genotyp Fenotyp Katowice Chorzów Zabrze Gliwice Paniówki Mikołów Rzeczywisto liczbowa (np. kształt) Genotyp Fenotyp Szerokość - 0.6m Długość - 9 cm Wysokość - 1.4m

80 Algorytmy genetyczne operatory Operatory Mutacja odpowiednik wcześniej opisywanej operacji Tweak Krzyżowanie nowy operator korzystając z kilku losowych rozwiązań, miesza je ze sobą Selekcja wybór losowy osobników jednakże zależny od poziomu ich dopasowania UWAGA Dobór operatorów to sposób dostosowania algorytmu do określonego problemu

81 Algorytmy genetyczne Krzyżowanie i mutacja dla reprezentacji binarnej Krzyżowanie wymiana informacji pomiędzy dwoma osobnikami Mutacja zmiana stanu jednego z bitów na losowej pozycji - małe prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

82 Algorytmy genetyczne Selekcja Metoda proporcjonalna prawdopodobieństwo wylosowania proporcjonalne do poziomu dopasowania Uwaga problem skalowania funkcji celu Metoda turniejowa prawdopodobieństwo wylosowania zależne od poziomu dopasowania (na zasadzie rankingu) Rozwiązanie zależne od rankingu, a nie od wartości funkcji celu. Bardzo często sotsowane

83 Algorytmy genetyczne Źródło:

84 Algorytmy genetyczne Sposób schemat Inicjalizacja Wybór najlepszego rozwiązania Generowanie nowego pokolenia Wybór rodziców zgodnie z algorytmami selekcji Krzyżowanie osobników Mutacja i dodanie do listy rozwiązań

85 Koniec