Innowacyjne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw za pomocą strategii opcyjnych

Transkrypt

1 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw Dr Natalia Iwaszczuk Instytut Matematyki Uniwersytet Rzeszowski Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw za pomocą strategii opcynych WPROWADZENIE Opce są przedmiotami obrotu na wielu światowych rynkach derywatów. Takie rynki często nazywaą rynkami terminowymi, ponieważ terminy rozliczeń kontraktów zawartych na nich są odroczone w czasie. Oprócz opci na rynkach terminowych handlue się wieloma innymi derywatami (finansowymi instrumentami pochodnymi), w tym kontraktami futures, forward i swap. Warto zauważyć, że kontrakty futures są przedmiotami obrotu wyłącznie na giełdach papierów wartościowych. Natomiast kontrakty forward i swap sprzedawane i kupowane są wyłącznie na rynkach pozagiełdowych. Jedynymi instrumentami będącymi zarówno w obrocie giełdowym, ak i pozagiełdowym są opce. Poza tym opce to instrumenty o ryzyku asymetrycznym. To znaczy, że ryzyko edne ze stron kontraktu opcynego est ograniczone do kwoty zapłacone za opcę ceny (tzw. premii opcyne). Właśnie ta pozyca w kontrakcie opcynym est zalecana dla budowania strategii hedgingowych różnych podmiotów gospodarczych. W zarządzaniu ryzykiem działalności przedsiębiorstw często stosue się strategie opcyne z wykorzystaniem opci standardowych (vanilla options). Jednak w przeciągu ostatnich dwudziestu lat na rynku pozagiełdowym coraz częście poawiaą się różne odmiany tych derywatów nazywanych opcami niestandardowymi lub egzotycznymi (exotic options). Te odmiany, które sprawdziły się na rynku pozagiełdowym wprowadzane są do obrotu giełdowego. Opce egzotyczne różnią się od opci standardowych przede wszystkim funkcą wypłaty. Mogą też się różnić sposobem rozliczenia, terminem wykonania, terrninem zapłaty za opcę lub określenia e typu (kupna czy sprzedaży) etc. Oddzielną grupę opci egzotycznych tworzą opce korelacyne wystawione na więce niż eden aktyw bazowy. Naprostszym przedstawicielem te grupy są opce wymiany ednego instrumentu bazowego na inny.

2 40 NATALIA IWASZCZUK Głównym problemem przy zawieraniu transakci opcynych est prawidłowe ustalenie premii opcyne. Do wyceny opci wykorzystywany est szereg modeli, które naczęście operaą się na dwóch modelach podstawowych modelu dwumianowym o dyskretnym czasie i modelu Blacka-Scholesa o czasie ciągłym. Przy czym każdy z modeli zawiera w sobie pewne założenia, akie nie zawsze zgadzaą się z realnymi procesami zachodzącymi na rynkach pieniężnym, kapitałowym, towarowym i terminowym. Mianowicie, w wielu modelach przymowane są założenia o stałości niektórych parametrów opci. W celu przybliżenia modeli wyceny opci do realnych procesów rynkowych wielu naukowców od dawna stosuą różnorodne metody matematyczne. Wśród tych metod należy wymienić kilka naczęście wykorzystywanych przez badaczy, a mianowicie: metody stochastyczne, przybliżone numeryczne, regresyne, symulacyne i optymalizacyne. Wśród metod stochastycznych nabardzie popularne są procesy Levi ego, Gaussa-Wienera, Markowa, Bessela, metoda martyngałow i inne. Mianowicie, stochastyczne procesy Levi ego wykorzystane zostały w badaniach takich naukowców ak: H. Albrecher i M. Predota [Albrecher, Predota, 00, s ], którzy zbadali przedziały zmian cen i dokonali aproksymaci cen dyskretnych opci azatyckich za pomocą Gamma dyspersynych modeli; P. Carr i L. Wu [Carr, Wu, 004, s ], którzy zastosowali do wyceny opci niestaconarne procesy Levi ego; J.C. Duan i J.G. Simonato [Duan, Simonato, 1998, s. 1 19] dostosowali metodę aproksymaci łańcuchami Markowa do modeli GARCH w celu obliczenia cen opci amerykańskich; J. Tsitsiklis i B. Van Roy [Tsitsiklis, Van Roy, 1999, s ] opracowali metodę optymalnego stopu w markowskich modelach derywatów finansowych o duże liczbie zmiennych; J.P. Nunes [Nunes, 006, s ] opisał proces modelowania cen opci barierowych, wystawionych na stopę procentową LIBOR, za pomocą wieloczynnikowego modelu gaussowskiego typu Heath-Jarrow-Morton; z kolei H. Geman i V. Yor [Geman, Yor, 1993, s ] opracowali metodę wyceny opci azatyckich opartą na stochastycznych procesach Bessela i inni. Celem naszego artykułu est opracowanie nowe metody wyceny opci wymiany (exchange options) ednego instrumentu bazowego na inny dla przypadku stochastyczne zmienności ceny aktywu bazowego. Na podstawie opracowane metody zbuduemy modele wyceny opci wymiany, które mogą być wykorzystane przez przedsiębiorstwa w zarządzaniu ryzykiem. SPOSOBY WYCENY OPCJI STANDARDOWYCH Do wyceny opci standardowych w przeciągu ostatnich trzydziestu lat opracowanych zostało wiele modeli ekonomiczno-matematycznych. Jednak podstawę tworzą dwa fundamentalne odkrycia w teorii wyceny opci model dwumianowy oraz model Blacka-Scholesa.

3 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw Pierwszy z nich est modelem o dyskretnym czasie, natomiast drugi o czasie ciągłym. W naszych badaniach będziemy opierać się o zmodyfikowany przez R. Mertona model Blacka-Scholesa wyceny europeskich opci standardowych wystawionych na akce, na które wypłacane są dywidendy w sposób ciągły. Ten model przewidue takie wzory do obliczenia cen europeskich opci kupna (call) C i europeskich opci sprzedaży (put) P [Ong, 1996, s. 178]: bs bs gτ rτ bs ( σ τ ) 1bs bs rτ gτ ( σ τ ) 1 C S, K,,g,, r = Se N ( d ) Ke N( d ), P S, K,,g,, r = Ke N( d ) Se N( d ), d d bs bs bs ( S K ) + ( r g + ( σ )) ln τ = = d + σ τ, σ τ 1bs bs ( S K ) + ( r g ( σ )) ln τ = = d σ τ, σ τ bs 1bs gdzie: S cena aktywu bazowego (akci), K cena wykonania opci, σ implikowana zmienność ceny aktywu bazowego, g roczna stopa dywidend, τ termin do wygaśnięcia opci, r stopa procentowa bez ryzyka. W celu opracowania metody wyceny opci wymiany o stochastyczne zmienności ceny aktywu bazowego ako podstawowy weźmiemy opisany wyże model. Załóżmy, że spełniaą się wszystkie założenia wspomnianego modelu z wyątkiem ednego że zmienność ceny aktywu bazowego est wartością stałą. Dokładnie umuąc, zbadamy proces kształtowania się cen opci wymiany pod warunkiem, że parametr zmienności ceny aktywu bazowego est parametrem losowym. Takie założenie przybliża nas do realnych parametrów zmienności na rynkach spot aktywów bazowych (cen papierów wartościowych, kursów walutowych, stóp procentowych, indeksów giełdowych etc.). Dla realizaci naszego zadania wykorzystamy teorię procesów stochastycznych. ALGORYTM WYCENY OPCJI WYMIANY O STOCHASTYCZNEJ ZMIENNOŚCI AKTYWÓW BAZOWYCH Będziemy badać proces kształtowania się ceny opci europeskie, które portfel inwestycyny w ogólnym przypadku składa się z n + 1 aktywów, w tym:

4 4 NATALIA IWASZCZUK a) n aktywów ryzykownych, w akich stochastyczne procesy cen aktywów bazowych I, K I opisuą się zmodyfikowanym równaniem stochastycznym 1, n typu Blacka-Scholesa z danymi procesami Gaussa-Wienera W ( τ ) W ( τ ),..., 1 n i odpowiednimi początkowymi warunkami; b) ednego aktywu bazowego bez ryzyka, którego to aktywu proces ceny K = KT exp( rτ τ ) zależy od stałe stopy procentowe bez ryzyka. Zakładamy, że są spełnione wszystkie założenia modelu Blacka-Scholesa z wyątkiem tego, iż odpowiednie wariance σ, K, σ cen aktywów bazowych 1 n maą być stałe. Co do tych parametrów zastosowaliśmy założenie o charakterze bardzie ogólnym, niż w klasycznym modelu, a mianowicie, założyliśmy, że warianca σ ceny -tego aktywu bazowego I nie est stałą wartością, a zale- ży od pewne losowe zmienne Y ( 0, ) -normalnym ln Y N( m, δ ) + o rozkładzie logarytmiczno-. Zależność tę możemy scharakteryzować w sposób następuący: uważamy, że cena -tego aktywu bazowego I ( τ ) wyznacza się przez proces W ( τ ) w następuące zmodyfikowane postaci: σ (1) I ( τ, r, g, σ ) = Y I ( T ) exp r g τ + σ W ( τ ) gdzie: T moment wygaśnięcia opci; g stała stopa zwrotu z -tego aktywu bazowego; τ = T t termin do wygaśnięcia opci; r stała stopa procentowa bez ryzyka; σ odchylenie standardowe ceny aktywu bazowego I (, r, g, ) Zrozumiałe est, że w przypadku Y, = 1, K, n, τ σ. = const otrzymamy klasyczny model dla portfela inwestycynego składaącego się z n + 1 aktywów z uwzględnieniem stopy zwrotu z aktywów bazowych. Z założenia Blacka-Scholesa o braku na rynku możliwości arbitrażu, akie zachowuemy dla naszego modelu zmodyfikowanego, wynika istnienie miary prawdopodobieństwa P, względem które ceny aktywów bazowych I ( τ, r, g, σ 1 1 1), K, I ( τ, r, g, σ n n n ) będą F martyngałami, gdzie F minimalna filtraca, generowana danymi procesami t t Gaussa-Wienera

5 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw ( ) W ( ) W τ,..., τ. Jako wynik, cena opci z funkcą wypłaty H ( I ( T ), K, I ( T ), K ) 1 n 1 n ma postać warunkowe wartości oczekiwane ( ( ),, ( ), ) [ ( ( ),, ( ), ) ] V I T K I T K E H I T K I T K F. = τ 1 n T 1 n T t Dale obliczona została w postaci awne ta warunkowa wartość oczekiwana przez znane parametry opci. Odpowiedni wzór dla wyceny opci europeskie przymue postać: σ 1 W V = E[ H ( exp m + I 1 1 ( τ, r, g, υ 1 1 ),..., τ σ W n exp m + I ( τ, r, g, υ ), K, n n n n T F W gdzie I ( τ, r, g, υ ) I ( T ) exp( ( r g υ ) τ υ W ( τ )) = +, υ = σ + δ τ, ( = 1,..., n) z edynymi rozwiązaniami pomocniczego układu n klasycznych równań Blacka-Scholesa ( τ,,, υ ) ( τ,,, υ ) τ υ ( τ,,, υ ) ( τ ) W I ( τ, r, g, υ ) = I 0 ( T τ = ). di r g = r I r g d + I r g dw, W W W Na skutek czego otrzymuemy taki algorytm wyliczenia ceny opci europeskie V E H I ( T ),, I ( T ), K H I ( T ), K, I ( T ), K : τ = [ ( K ) F ] o funkci wypłaty ( ) 1 n T t aby znaleźć cenę opci o stochastyczne zmienności σ cen aktywów bazowych wystarczy w formule ceny takie opci przy stałe zmienności cen akty- wów bazowych zamienić σ na υ = σ + δ τ, a 1 I na exp( m δ ) n T () + I. Zatem w ramach naszego modelu wektor standardowych odchyleń cen aktywów bazowych est losowo zmiennym i ma postać ( σ,..., σ ) ( υ ) δ τ,..., υ δ τ 1 n 1 1 n n =, σ σ charakteryzu- gdzie ( υ υ 1 n ) stała składowa wektora warianci ( 1 n ) ąca wkład w cenę procesów Gaussa-Wienera,..., W W, a 1 n ( 1,..., n ) δ τ δ τ

6 44 NATALIA IWASZCZUK ego zmienna składowa charakteryzuąca wkłady w cenę właśnie losowego wektora ( Y,..., Y 1 n ) z odchyleniami standardowymi, odpowiednio ( δ,..., δ 1 n ). Mnożniki ( m δ ) expγ = exp +, ( = 1,..., n) nie zależą od procesu Gaussa-Wienera wywołane losową zmienną W i charakteryzuą ryzyko inwestyci Y taką, że ln Y ( m, δ ) N. Zastosuemy zaproponowany algorytm do wyceny opci wymiany, które to opce zaliczane są do grupy opci niestandardowych, nazywanych opcami egzotycznymi. SPOSÓB DZIAŁANIA OPCJI WYMIANY Opce wymiany daą ich posiadaczom możliwość wymiany ednego aktywu bazowego na inny. Takie opce należą do klasy opci korelacynych, ponieważ wystawia się e na dwa aktywy bazowe, a nie na eden, ak w przypadku opci standardowych. Nazwa korelacyne związana est z tym faktem, że w trakcie wyceny takich opci należy uwzględniać współczynnik korelaci pomiędzy aktywami bazowymi. Opce wymiany po raz pierwszy zostały opisane w literaturze naukowe w 1978 roku przez W. Margraba [Margrabe, 1978, s ], który znalazł algorytm wyceny opci wymiany ednego aktywu bazowego na inny. W 1983 roku J.O. Grabbe [Grabbe, 1983, s ] zapropronował algorym wyceny opci wymiany walut, а w 1994 roku X.Xu i S.J. Taylor [Xu, Taylor, 1994, s ] poddali analizie strukturę terminową modeli wyceny opci wymiany walut. W 1998 roku J.M. Campa i P.H.K. Chang [Campa, Chang, 1998, s ] rozwinęli korelacyne metody prognozowania cen dla opci wymiany walut, natomiast G. Poitras [Poitras, 1998, s ] do wyceny tych derywatów zastosował teorię arytmetycznego ruchu Browna. Dwa lata późnie C.A.Walter i J.A. Lopez [Walter, Lopez, 000, s ] rozwinęli metodę implikowane korelaci w modelach wyceny opci wymiany walut. Opiszemy cechy charakterystyczne opci wymiany (nazywanych też opcami wymiennymi), ich funkce wypłaty i zbuduemy modele do ich wyceny przy losowe zmienności cen aktywów bazowych. Ogólnie mowiąc, nie ma rozróżnienia pomiędzy opcą wymienną typu call i typu put. Jednak eśli bliże się przyrzeć konstrukci tych instrumentów widać, że opcia wymienna może być interpretowana ako call wystawiona na eden z aktywów, maąca cenę wykonania równą cenie drugiego aktywu w momencie wykona-

7 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw nia opci lub ako opca put na drugi aktyw z ceną wykonania w wysokości wartości aktywu pierwszego w momencie wykonania opci [Pruchnicka-Grabias, 006, s. 116]. FUNKCJA WYPŁATY I MODELE WYCENY OPCJI WYMIANY Do wyceny europeskich opci wymiany zastosuemy opracowany wyże algorytm. W tym celu zakładamy, że opca wystawiona est na dwa ryzykowne I τ, r, g, σ, aktywa bazowe, których ceny opisywane są procesami 1 ( 1 1) I (, r, g, ) τ σ postaci (1). Funkca wypłaty opci wymiany drugiego aktywu bazowego na pierwszy ma postać: [ ] payoff = max I I, 0, (3) 1 gdzie: I 1 cena spot pierwszego aktywu bazowego w momencie T wygaśnięcia opci; I cena spot drugiego aktywu bazowego w momencie T wygaśnięcia opci. Przypomnimy, ak wygląda funkca wypłaty opci standardowych: [ ] [ ] payoff = max S K,0, (4) call payoff = max K S,0. (5) put Jak widać, funkca wypłaty opci wymiany (3) est analogiczna do funkci wypłaty standardowe opci kupna (4) z tą różnicą, że cena wykonania K est zastąpiona przez cenę drugiego aktywu I. Zatem faktycznie opce wymiany rozpatrywać można ako standardową opcę kupna wystawioną na pierwszy aktyw z ceną wykonania równą przyszłe cenie spot aktywu drugiego (w momencie realizaci opci). Z drugie strony, funkca wypłaty opci wymiany (3) podobna est do funkci wypłaty standardowe opci sprzedaży (5) z ceną wykonania równą przyszłe cenie spot I (w momencie realizaci opci) aktywu pierwszego. 1 Cechą charakterystyczną opci wymiany est odwrotna zależność pomiędzy wartością współczynnika korelaci i ceną opci. To znaczy, że wraz ze wzrostem współczynnika korelaci pomiędzy dwoma aktywami bazowymi cena opci wymiany malee i na odwrót. Funkcę wypłaty opci wymiany drugiego aktywu bazowego na pierwszy można też zapisać w inne postaci: [ ] [ ] max I I, 0 = max I, I I lub 1 1

8 46 NATALIA IWASZCZUK I [ I1 ( T ) I ( T ) ] I1 ( T ) [ I1 ( T ) I ( T )] max,0 = min,. Przy stałe wartości parametrów zmienności (, r, g, ) σ cen aktywów bazowych τ σ, czyli w przypadku Y = 1, do wyceny opci wymiany drugiego aktywu bazowego na pierwszy można zastosować wzór (). Według tego wzoru cena opci może być obliczona ako warunkowa wartość oczekiwana od funkci wypłaty I τ, r, g, σ są martyngałami. opci z uwzględnieniem tego faktu, że procesy ( ) Przy takich założeniach w [Margrabe, 1978, s. 178] została obliczona warunkowa wartość oczekiwana i wyprowadzona taka formuła wyceny opci wymiany: g τ ( ) ( ) τ EXC = I e N d I e N d,(6) g1 1 1 e1 e I 1 1 ( σ, σ,, ) = ln + σ τ ( σ τ ) d I I g g e a a I (,,, ) (,,, ) d σ σ I I = d σ σ I I + σ τ, e1 1 1 e 1 1 a (,,, ) (, ) σ a σ1 σ I1 I = σ1 ρ I1 I σ1σ + σ, gdzie: g stopa zwrotu z -tego aktywu bazowego, = 1,, ( I, I ) ρ współczynnik korelaci pomiędzy aktywami bazowymi, 1 σ stały parametr zmienności - tego aktywu bazowego. Ponieważ w rzeczywistości parametr zmienności rzadko bywa stałym (wręcz est losowy), zatem zastosuemy opisany wyże algorytm do znalezienia formuły typu (6), za pomocą które można obliczyć cenę europeskie opci wymiany drugiego aktywu bazowego na pierwszy pod warunkiem, że zmienności cen σ obu aktywów bazowych maą charakter stochastyczny. Zgodnie z algorytmem, we wzorze (6) należy zastąpić δ σ przez υ, a I przez exp m I +. Wówczas wzór przymue postać: EXC s 1 = δ δ δ 1 1 I exp g m N d,, I exp m, I exp m 1 τ + + υ υ e δ δ δ 1 I exp g m N d,, I exp m, I exp m, τ + + υ υ + + e gdzie: υ = σ + δ τ.,

9 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw Warto zauważyć, że współczynniki γ = m + δ charakteryzuą ryzyko inwestyci w opce wymiany, które to ryzyko est wywołane przez losowe zmienne Y o rozkładzie logarytmiczno-normalnym ln Y ( m, δ ) N m. Formuły dla wyceny opci wymiany pierwszego aktywu na drugi można wyprowadzić w sposób analogiczny. Przy stałym parametrze zmienności formuła ma postać: gτ g1τ EX = I e N d I e N d. ( ) ( ) 1 e 1 e1 Natomiast w przypadku stochastycznego parametru zmienności cen aktywów bazowych formuła prymue następuącą postać: s EXC = 1 δ δ δ 1 I exp g m N d,, I exp m, I exp m τ + + υ υ + + e δ δ δ 1 1 I1 exp g1τ + m1 + N de 1 υ1, υ, I1 exp m1 +, I exp m +. PRAKTYCZNE OBLICZENIA I ZASTOSOWANIA OPCJI WYMIANY Opce wymiany można wykorzystywać w celach hedgingowych, ak i w celu otrzymania dochodu inwestycynego. Jeśli inwestor trzymaący w swoim portfelu akce edne spółki akcyne ma wątpliwości co do kształtowania się ich cen w przyszłości, to dla zabezpieczenia pozyci w tych aktywach może on zastosować opce z prawem wymiany edne (lub kilku) posiadanych akci na inną (lub odpowiednią ilość) akci (ewentualnie innych aktywów bazowych). Takie opce są efektywnymi instrumentami wykorzystywanymi też w celu ograniczenia ryzyka walutowego zagrażaącego naczęście importerom i eksporterom przy rozliczeniu transakci z zagranicą. Wymiana pewne ilości edne waluty na inną zabezpiecza inwestora przed ewentualnymi fluktuacami kursów walutowych [Solińska, Iwaszczuk, 008, s ]. Na podstawie opisanych wyże wzorów dokonamy wyceny opci wymiany. Poza tym przeanalizuemy, ak reaguą one na zmiany niektórych parametrów opci. W tym celu wykorzystamy możliwości pakietu Mathematica. Zmieniaąc cenę pierwszego aktywu bazowego od 80$ do 10$ zbadaliśmy zmiany cen opci wymiany. Takie badania stwarzaą możliwości zastosowania

10 48 NATALIA IWASZCZUK podobnych strategii z udziałem innych aktywów bazowych. Poza tym oprogramowanie pozwala przeanalizować wpływ innych parametrów na ceny takich derywatów, na przykład okresu ważności opci. Otrzymane rezultaty (tabela 1, rysunek 1) ilustruą odwrotną zależność ceny opci od obu wspomnianych parametrów. Zatem inwestorom zaleca się kupowanie opci o wyższe cenie wykonania, wystawionych na dłuższe okresy czasu. Warto zauważyć, że tu i dale na rysunkach pionowo zaznaczona est cena opci, a czas wyrażony est w latach (od 0.0 do 0.08 roku). Tabela 1. Ceny opci w zależności od ceny pierwsze akci i okresu ważności Cena pierwsze akci/ okres ważności opci 1 tydzień tygodnie 3 tygodnie 4 tygodnie 80 $ $ $ $ $ Źródło: opracowanie własne. Źródło: opracowanie własne. Rysunek 1. Zależność ceny opci od ceny pierwsze akci i okresu ważności Rozpatrzymy przypadek zmiany ceny drugie akci w tym samym czasie. Otrzymane rezultaty (tabela, rysunek ) świadczą o tym, że wraz ze wzrostem obu parametrów cena opci też rośnie, i odwrotnie. Takie badania pozwalaą inwestorom wybrać strategię o naniższych kosztach, ak również wybrać optymalny wariant względem koszty-ewentualny dochód.

11 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw Tabela. Ceny opci w zależności od ceny drugie akci i okresu ważności Cena drugie akci / okres ważności opci 1 tydzień tygodnie 3 tygodnie 4 tygodnie 80 $ $ $ $ $ Źródło: opracowanie własne. Rysunek. Zależność ceny opci od ceny drugie akci i okresu ważności Źródło: opracowanie własne. Opce wymiany wystawione na ceny towarów lub surowców mogą ubezpieczać przed ryzykiem cenowym na rynkach towarowych. Opce, w których ako aktywy bazowe wykorzystywane są papiery wartościowe, chronią ich nabywcę przed ryzykiem cenowym na rynkach kapitałowych. Natomiast w celu zabezpieczenia przed ryzykiem walutowym w strategiach opcynych należy stosować opcę wymiany walut. W ten sposób budowane są strategie hedgingowe. Opce wymiany mogą być wykorzystywane przez wiele różnych podmiotów gospodarczych również w innych celach zarobkowych, arbitrażowych, upłynnienia zarówno rynku opci, ak i rynku instrumentu bazowego. Jednak przedsiębiorstwom o różnych rodzaach działalności rekomendowane est zaęcie długich pozyci (kupno) w opcach, które to pozyce zabezpieczaą przed ryzykiem związanym z ich działalnością. Natomiast krótką pozycę (sprzedaż), która est bardzie ryzykowna, naczęście zamuą wyspecalizowane instytuce finansowe. Takie instytuce potrafią budować skomplikowane strategię z udziałem opci ograniczaące lub eliminuące ryzyko krótkie pozyci w opci w razie zmiany sytuaci rynkowe na nieko-

12 50 NATALIA IWASZCZUK rzyść te instytuci. Z drugie strony w sprzyaących warunkach rynkowych instytuca zaliczy pozytywny wynik finansowy. Należy podkreślić, że opce chroniąc swoich posiadaczy przed negatywnymi skutkami zmian rynkowych, zachowuą też dla nich możliwość skorzystania ze zmian pozytywnych. PODSUMOWANIE Otóż, opce wymiany, ak i inne rodzae opci, są popularne zarówno wśród inwestorów pozbywaących się ryzyka, ak i wśród inwestorów zawieraących transakce na rynkach terminowych wyłącznie w celach zarobkowych. Takie instrumenty pochodne pozwalaą bowiem nie tylko ryzyko redukować, ale też efektywnie zarządzać nim umieętnie wykorzystuąc współczesne modele wyceny opci. Przy czym bardzo ważnym momentem est wykorzystanie modeli nabardzie przybliżonych do realnych procesów zachodzących na rynku. LITERATURA Albrecher H., Predota M., 00, Bounds and Approximations for Discrete Asian Options in a Variance-Gamma Model, Grazer Math. Ber.. Campa J.M., Chang P.H.K., 1998, The Forecasting Ability of Correlations Implied in Foreign Exchange Options, Journal of International Money and Finance, vol. 17. Carr P., Wu L., 004, Time-Changed Levy Processes and Option Pricing, Journal of Financial Economics, vol. 71. Duan J.C., Simonato J.G., 1998, American Option Pricing under GARCH by a Markov Chain Approximation, Working paper, Rothman School of Management, University of Toronto. Geman H., Yor V., 1993, Bessel Process, Asian Options and Perpetuities, Mathematical Finance, vol. 3, no. 4. Grabbe J.O., 1983, The Pricing of Call and Put Option on Foreign Exchange, Journal of International Money and Finance, vol.. Margrabe W., 1978, The Value of an Option to Exchange One Asset for Another, Journal of Finance, vol. 33, no. 1. Nunes J.P., 006, Barrier Options on Spot LIBOR Rates under Multi-Factor Gaussian HJM Models, Journal of Derivatives, vol. 14, no. 1. Ong M., 1996, Exotic Options: The Market and Their Taxonomy [w:] The Handbook of Exotic Options. Instruments, Analysis and Applications, red. I. Nelken, IRWIN Professional Publishing, Chicago. Poitras G., 1998, Spread Options, Exchange Options, and Arithmetic Brownian Motion, Journal of Futures Markets, vol. 18. Pruchnicka-Grabias I., 006, Egzotyczne opce finansowe. Systematyka, wycena, strategie, CeDeWu, Warszawa.

13 Innowacyne sposoby zarządzania ryzykiem działalności przedsiębiorstw Solińska М., Iwaszczuk N., 008, Rola małych i średnich przedsiębiorstw w gospodarce rynkowe, Zeszyty Naukowe Lwowskiego Państwowego Uniwersytetu Spraw Wewnętrznych, nr. Tsitsiklis J., Van Roy B., 1999, Optimal Stopping of Markov Processes: Hilbert Space Theory, Approximation Algorithm, and an Application to Pricing High-Dimensional Financial Derivatives, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44. Walter C.A., Lopez J.A., 000, Is Implied Correlation Worth Calculating? Evidence from Foreign Exchange Options, Journal of Derivatives, vol. 7, no. 3. Xu X., Taylor S.J., 1994, The Term Structure of Volatility Implied by Foreign Exchange Options, Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 9. Streszczenie W artykule opisano proces badania sposobów zarządzania ryzykiem z wykorzystaniem instrumentów pochodnych. Wśród tych ostatnich nabardzie przydatne okazały się opce standardowe i niestandardowe. W sposób szczegółowy przeanalizowany został eden z wielu rodzaów opci niestandardowych opce wymiany. Dla tych opci przeprowadzono badania funkci wypłaty i znanych modeli wyceny przy stałe zmienności wartości aktywu bazowego. Poza tym opracowano algorytm i modele wyceny europeskie opci wymiany o stochastycznym parametrze zmienności wartości aktywu bazowego. Innovative Ways of Risk Management of an Enterprise Activity Using Option Strategies Summary In the article the ways of risk management with use of derivatives are investigated. Among them the most effective appeared standard (vanilla) and non-standard (exotic) options. One of many types of exotic options, namely an exchange options has been analysed in more details. For these options researches of payment function and known pricing models are carried out at the fixed volatility of underlying asset price. Except for it the algorithm and pricing models of European exchange option at the stochastic volatility of underlying asset price is developed.