17. Na parterze siedmiopi trowego domu wsiadªo do windy pi osób. Zakªadaj c,»e ka»da z nich wysiada na ka»dym z pi ter z jednakowym

Transkrypt

1 1. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e n = 6 losowo wybranych osób urodziªo si ka»de pod innym znakiem zodiaku. 2. Student umie odpowiedzie na 20 spo±ród 25 pyta«egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e student odpowie na co najmniej trzy pytania z czterech losowo wybranych? 3. Sze± kul rozmieszczono losowo w trzech szuadach. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e»adna szu- ada nie b dzie pusta. 4. W urnie A s 2 biaªe i 8 czarnych kul, a urnie B s 4 biaªe i 6 czarnych kul. Losujemy po jednej kuli z ka»dej z urn. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e co najwy»ej jedna z kul b dzie biaªa. 5. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e losuj c z tali 52 kart 5 kart otrzymamy wszystkie karty jednego koloru. 6. W pewnej fabryce maszyny typu A, B, C daj odpowiednio 25%, 35% i 40% produkcji danego wyrobu. Maszyny te produkuj odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. a. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wylosowania towaru dobrego. b. Wylosowano towar dobry. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e pochodzi on z maszyny B? 7. Z tali zawieraj cej 52 karty wybrano 5 kart. Czy zdarzenie `w±ród wybranych kart jest as pik' i `w±ród wybranych kart jest dwójka tre' s niezale»ne? 8. W partii nici baweªnianych znajduje si okoªo 20nie znalezienia ani jednego krótkiego wªókna przy losowym wyborze n wªókien? 9. W prz dzy zmieszano w równych ilo±ciach wªókna biaªe i kolorowe. Jakie jest prawdopodobie«stwo znalezienia mniej ni» dwóch kolorowych wªókien w±ród pi ciu losowo wybranych? 10. Czy trzej ludzie, z których pierwszy chce otrzyma co najmniej jedn szóstk przy sze±ciu rzutach kostk, drugi co najmniej dwie szóstki w dwunastu rzutach, a trzeci co najmniej trzy szóstki w osiemnastu rzutach, maj jednakowe szanse? 11. W±ród kª bków pewnej partii baweªny znajduje si 30% kolorowych. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e w±ród losowo wybranych kª bków znajduj si trzy kolorowe; co najwy»ej trzy kolorowe. 12. W fabryce produkuj cej ±ruby maszyny A, B i C dostarczaj odpowiednio 25, 35 i 40 procent caªej produkcji. Prawdopodobie«stwo wytworzenia braku przez maszyny A, B i C wynosz odpowiednio 5, 4 i 2 procent. Wybrana losowo ±ruba okazaªa si wybrakowana; jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyprodukowaªa j a) maszyna A? b) maszyna B? c) maszyna C? 13. Rzucono trzy kostki do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e cho by na jednej z nich wypadnie jedynka, je»eli wiadomo,»e na wszystkich kostkach byªy ró»ne wyniki? 14. Wylosowany kamie«domina okazaª si nie by podwójnym (tzn. na jego poªowach s ró»ne ilo±ci oczek). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nast pny dobrany losowo spo±ród pozostaªych b dzie mo»na do niego przystawi? 15. Wiadomo,»e przy rzucie dziesi cioma kostkami wypadªa co najmniej jedna jedynka. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wypadªy co najmniej dwie jedynki. 16. Dwie osoby umówiªy si na spotkanie mi dzy godzin 10 a 11, przy czym czekaj na siebie wzajemnie nie dªu»ej ni» 10 minut. Zakªadaj c,»e moment przybycia na spotkanie ka»dej z osób jest losowy, wyznaczy prawdopodobie«stwo tego, ze spotkanie dojdzie do skutku. 1

2 17. Na parterze siedmiopi trowego domu wsiadªo do windy pi osób. Zakªadaj c,»e ka»da z nich wysiada na ka»dym z pi ter z jednakowym prawdopodobie«stwem, obliczy prawdopodobie«stwo,»e ka»da z pi ciu osób wysi dzie na innym pi trze. 18. W pewnych obszarach Rosji istniaª niegdy± nast puj cy ludowy zwyczaj: dziewczyna trzyma w r ce sze± ¹d¹beª trawy tak, aby ich ko«ce sterczaªy z obu stron dªoni; jej przyjacióªka wi»e te ko«ce parami, oddzielnie po obu stronach dªoni. Je»eli przy tym wszystkie sze± ¹d¹beª utworzy pier±cie«, ma to wró»y,»e wyjdzie ona w danym roku za m». Obliczy prawdopodobie«stwo,»e ¹d¹bªa przy losowym wi zaniu ko«ców utworz jeden pier±cie«. 19. Strzelec strzela 7 razy do tarczy. Za ka»dym razem prawdopodobie«stwo trafienia w dziesi tk wynosi a) 0,75, b) 0,9. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafie«w dziesi tk? 20. Z urny zawieraj cej trzy kule biaªe i dwie kule czarne przeªo»ono dwie wyci gni te losowo kule do urny zawieraj cej cztery biaªe i cztery czarne kule. Obliczy prawdopodobie«stwo wyci gni cia biaªej kuli z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e z pierwszej urny przeªo»ono do drugiej dwie biaªe kule, je»eli z drugiej urny wylosowano biaª kul? 21. W trzech urnach znajduj biaªe i czarne kule. W pierwszej z nich sa dwie kule biaªe i trzy czarne, w drugiej dwie biaªe i dwie carne, a w trzeciej trzy biaªe i jedna czarna. Przekªadamy wylosowan kul z pierwszej urny do drugiej, a nast pnie losowo wybran kul z drugiej urny do trzeciej. Wreszcie wybran losowo kul przekªadamy z urny trzeciej do pierwszej. a. Jaki skªad pierwszej urny jest najbardziej prawdopodobny? b. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e skªad wszystkich trzech urn pozostanie niezmieniony. 22. Pewien student nie zna odpowiedzi na niektóre z pyta«na kartkach egzaminacyjnych. W jakim przypadku szansa wyci gni cia przez niego kartki z pytaniem, na które nie zna odpowiedzi b dzie najmniejsza: je»eli losuje pierwszy, czy je»eli losuje ostatni. 23. Prawdopodobie«stwo,»e wyroby pewnej fabryki speªniaj wymagane normy wynosi 0,96. Zakªadamy uproszczony system sprawdzania, który daje rezultat dodatni z prawdopodobie«stwem 0,98 dla sztuk dobrych i z prawdopodobie«stwem 0,05 dla sztuk wadliwych. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowa sztuka uznana zostanie przez kontrol za dobr? Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e sztuka uznana za dobr przez kontrol rzeczywi±cie speªnia wymagania normy? 24. Zaªó»my,»e prawdopodobie«stwo trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi p, a prawdopodobie«stwo zniszczenia celu przy k 1 trafieniach wynosi 1 q k. Jakie jest prawdopodobie«stwo zniszczenia celu, je»eli oddano n strzaªów. 25. W partii towaru zªo»onej z N sztuk znajduje si M < N wadliwych. Wybrano losowo n < N sztuk, które poddano pobie»nej kontroli. Kontrola ta mo»e popeªni bª dy: z prawdopodobie«stwem p mo»e si zdarzy,»e wadliw sztuk uzna si za dobr, a z prawdopodobie«stwem q dobr sztuk uzna si za wadliw. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e m sztuk zostanie uznanych za wadliwe. 26. Z urny zawieraj cej m 3 kul biaªych i n kul czarnych zgubiono jedn kul nieznanego koloru. Aby okre±li skªad urny wybrano z niej losowo trzy kule. Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e wszystkie wybrane kule s biaªe. Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e zgubiona kula byªa biaªa, je»eli wiadomo,»e wszystkie wybrane kule s biaªe.

3 27. W ka»dej z trzech urn jest 20 losów loteryjnych, przy czym w pierwszej jest 8 losów wygrywaj cych, w drugiej 10, a w trzeciej 16. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Je±li suma oczek jest mniejsza od 5, to losujemy jeden los z urny pierwszej, je±li suma oczek jest równa 5, to z urny drugiej, je±li suma oczek jest wi ksza od 5, to z urny trzeciej. Je±li w wyniku opisanego do±wiadczenia uzyskamy los wygrywaj cy, to jakie jest prawdopodobie«stwo,»e b dzie on pochodziª z urny trzeciej? 28. Urna zawiera 9 kul. Ka»da kula mo»e by czarna lub biaªa, przy czym liczba kul danego koloru jest losowa, a ka»dy rozkªad kul wedªug kolorów jest jednakowo prawdopodobny. Do urny wrzucono 10. kul - biaª, a nast pnie wylosowano 1 kul, która okazaªa si biaªa. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na pocz tku urna zawieraªa tylko kule czarne? 29. Wiadomo,»e 1 osoba na 38 spo±ród przekraczaj cych (pewn ) granic przemyca narkotyki. Specjalnie wytresowany pies zatrzymuje co 27 osob spo±ród nie przemycaj cych narkotyków i przepuszcza (nie zatrzymuje) co 9 osob spo±ród przemycaj cych narkotyki. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e osoba, która przeszªa przez granic nie zatrzymana przez psa jest przemytnikiem narkotyków? 30. Z trzech klubów zaproponowano odpowiednio: 4, 6, 5 kandydatów do reprezentowania kraju w zawodach. Prawdopodobie«stwa wygranej w zawodach dla zawodników kolejnych klubów wynosz odpowiednio: 0,9, 0,7, 0,8. Wylosowany z grona kandydatów zawodnik wygraª. Z którego klubu najprawdopodobniej on pochodzi? 31. Mamy 5 urn: w 2 s po 2 kule biaªe i po 1 czarnej, w 1 jest 10 czarnych kul, w 2 s po 3 kule biaªe i po 1 czarnej. Losujemy urn, a nast pnie wyci gamy 1 kul z wylosowanej urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to kula biaªa? Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e z pierwszej urny wylosowali±my kul czarn, je±li z drugiej urny wylosowali±my kula biaª? 32. Mamy 5 urn typu A i 7 urn typu B. W ka»dej z urn typu A jest po 7 kul biaªych, 3 czarnych i 5 niebieskich, a w ka»dej z urn typu B: 4 biaªe, 4 czarne i 7 niebieskich. Z losowo wybranej urny wzi to dwie kule. Obliczy prawdopodobie«stwo wylosowania kul ró»nych kolorów. Jakie jet prawdopodobie«stwo,»e losowai±my z urny typu A, je±li wylosowali±ny kule ró»nych kolorów? 33. W magazynach hurtowni znajduj si sanki produkowane przez fabryki A, B, C Zapasy stanowi odpowiednio 40%, 35% i 25%. Wiadomo,»e zakªadu produkuj odpowiednio 1%, 2% oraz 3% braków. Obliczy prawdopodobie«stwo wylosowania sanek dobrych. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wylosowane dobre sanki pochodz z fabryki A. 34. Dane s dwie urny. I zawiera 4 kule biaªe, 5 kul czarnych i 3 niebieskie, a II 2 biaªe, 4 czarne i 2 kule niebieskie. Rzucamy symetryczn monet. Je±li wypadª orzeª to losujemy z urny I, w przeciwnym wypadku z urny II. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wylosujemy kul czarn. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e losowali±my z urny I, je±li wylosowali±my kul czarn. 35. Zakªady Z1, Z2, Z3 produkuj igªy w ilo±ciach odpowiednio równych 20000, i sztuk. Wiadomo,»e zakªady te produkuj odpowiednio 0,3%, 0,2% i 0,4% braków. Produkcja zakªadów gromadzona jest w jednym pomieszczeniu. Wylosowano jedn igª, która okazaªa si brakiem. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e pochodzi ona z zakªadu Z Zakªady Z1, Z2, Z3 produkuj igªy w ilo±ciach odpowiednio równych 20000, i sztuk. Wiadomo,»e zakªady te produkuj odpowiednio 0,3%, 0,2% i 0,4% braków. Produkcja zakªadów gromadzona jest w trzech oddzielnych pomieszczeniach. Wylosowano jedn igª, która okazaªa si brakiem. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e pochodzi ona z zakªadu Z1.

4 37. Z urny zawieraj cej 2 kule biaªe i 3 czarne losujemy 5 razy po 2 kule, wrzucaj c je po ka»dym losowaniu z powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e 3 razy zostanie wylosowana para kul ró»nych kolorów? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba losowa«, w których wylosujemy kule ró»nych kolorów? 38. Co jest bardziej prawdopodobne: wygra z równorz dnym przeciwnikiem, 2 partie z 3, czy 3 partie z 5? 39. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e w±ród 500 osób co najmniej 2 osoby b d miaªy urodziny w Nowy Rok, je±li przyjmiemy,»e rok liczy 365 dni. Jaka jest najbardziej prawopodobna liczba osób, które maj urodziny w Nowy rok? 40. Prz dka obsªuguje 1000 wrzecion. Wiadomo,»e prawdopodobie«stwo zerwania si nitki jednego wrzeciona w ci gu 1 minuty wynosi 0,004. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e w ci gu 1 minuty zerw si nitki co najwy»ej trzech wrzecion. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba zerwanych nitek w ci gu minuty? 41. Grupa studentów licz ca 22 osoby pisze kolokwium. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e dokªadnie dwie osoby zalicz kolokwium, je±li prawdopodobie«stwo zaliczenia przez pojedynczego studenta wynosi 0,1. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba studentów, którzy zalicz kolokwium? 42. Pewne zdarzenie zachodzi w ka»dym tygodniu, ale mo»e zaj± w dowolny dzie«tygodnia z takim samym prawdopodobie«stwem. Obliczy prawdopodobie«stwo nie zaj±cia zdarzenia w niedziel w ci gu 12 kolejnych tygodni. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba razy zaj±cia zdarzenia w niedziel? 43. Na przystanku tramwajowym czeka 10 pasa»erów. Wiedz c,»e tramwaj skªada si z trzech wagonów obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia polegaj cego na tym,»e do pierwszego wagonu wsi dzie po 5 pasa»erów. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pasa»erów, którzy wsiedli do pierwszego wagonu? 44. Zaªó»my,»e przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99,5% przypadków, za± przy badaniu osoby nie za»ywaj cej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiªa przebada swoich pracowników takim testem wiedz c,»e 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczy prawdopodobie«stwo,»e osoba, u której test wypadª pozytywnie, rzeczywi±cie za-»ywa narkotyki. 45. Trzech my±liwych strzeliªo jednocze±nie do nied¹wiedzia i ten padª trafiony dwoma strzaªami. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e drugi my±liwy trafiª, je»eli prawdopodobie«stwa trafienia dla mysliwych wynosz odpowiednio 4/5, 3/4 i 2/ W schemacie 4 prób Bernoullego prawdopodobie«stwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu wynosi 1/2. Jakie jest prawdopodobie«stwo uzyskania sukcesu przy jednej próbie? Jaka jest wtedy najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów? 47. W meczu piªki no»nej prawdopodobie«stwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e zdob dzie on: a. 4 bramki, b. co najmniej 5 bramek, c. mniej ni» 3 bramki? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba strzelonych bramek?

5 48. W pudeªku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za ka»dym razem zwracamy je do pudeªka. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e 3 razy wylosujemy ró»ne cukierki? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba losowa«, w których wylosujemy ró»ne cukierki? 49. Prawdopodobie«stwo trafienia strzaª w balonik wynosi 1/3. Do celu oddano 10 strzaªów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e trafiono: a. 2 razy, b. co najmniej raz, c. co najwy»ej raz. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafie«? 50. Rzucamy n razy dwiema sze±ciennymi kostkami do gry. Dla jakich warto±ci n prawdopodobie«stwo otrzymania przynajmniej raz dubletu (tej samej liczby oczek na obu kstkach) jest mniejsze ni» 1/2? 51. Przeprowadzono 10 niezale»nych do±wiadcze«fizycznych. Przeci tnie 3/5 daje pozytywny wynik. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e: a. przynajmniej jedno do±wiadczenie da pozytywny wynik? b. dokªadnie 8 zdarze«da pozytywny wynik? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pozytywnych wyników? 52. W schemacie n prób Bernoullego prawdopodobie«stwo uzyskania sukcesu w jednej próbie wynosi p = 0,1. Ile musimy wykona prób, aby prawdopodobie«stwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu w n próbach byªo wi ksze ni» 0,6? 53. Dwaj zawodnicy wykonuj po 5 rzutów karnych. Zawodnik pierwszy strzela karnego z prawdopodobie«stwem 0,8 i pudªuje z prawdopodobie«stwem 0,2,zawodnik drugi strzela karnego z prawdopodobie«stwem 0.9 i pudªuje z prawdopodobie«stwem 0,1. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e zawodnik pierwszy strzeli wi cej goli ni» zawodnik drugi? 54. Dwie osoby rzucaj po 5 razy symetryczn monet. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego otrzymaj jednakow liczb orªów? 55. Gra polega na jednoczesnym rzucie kostk i monet. Wygrana nast puje przy jednoczesnym wyrzuceniu szóstki i reszki. Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e w dwudziestu rzutach wygrana nast pi dokªadnie jeden raz. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wygranych? 56. Rzucamy kostk do gry 6 razy. Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia: a. co najwy»ej dwa oczka wypadªy dokªadnie dwa razy, b. nieparzysta liczba oczek wypadªa co najwy»ej raz. 57. W klasie jest szesnastu uczniów. Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e dwóch z nich urodziªo si w niedziel, je»eli prawdopodobie«stwo urodzenia si w ka»dy dzie«tygodnia jest takie samo. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uczniów urodzonych w niedziel? 58. W klasie jest 12 uczniów. Oblicz prawdopodobie«stwo p zdarzenia,»e co najmniej dwóch z nich urodziªo si w sobot. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uczniów urodzonych w sobot? 59. Z talii licz cej 52 karty losujemy trzy razy jedn kart zwracaj c j za ka»dym razem do talii. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wylosujemy a) trzy asy, b) dwie karty czerwone.

6 60. Ucze«wypeªnia test zªo»ony z 6 pyta«. Na ka»de z pyta«s 3 odpowiedzi, z których dokªadnie jedna jest wªa±ciwa. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przy pomocy czystego odgadywania ucze«odpowie na: a. co najmniej na 4 pytania, b. co najmniej na 2 pytania? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba poprawnych odpowiedzi? 61. W hali pracuje 5 maszyn. Maszyny psuj si niezale»nie i prawdopodobie«stwo zepsucia si ka»dej z nich jest równe 1/3. Oblicz prawdopodobie«stwo zdarze«: a. A zepsuj si dwie maszyny, b. B - zepsuje si co najmniej 2 maszyny c. C - zepsuje si co najwy»ej jedna maszyna. Czy zdarzenia te s niezale»ne? 62. Z trzech urn, w których jest po 2 kule biaªe i 3 czarne, wyjmujemy po jednej kuli i wkªadamy do czwartej urny, w której byªa jedna kula biaªa. Losujemy teraz jedn kul z czwartej urny. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e z czwartej urny wyjmiemy biaª kul. 63. Rzucamy 7 razy dwiema monetami. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e co najmniej 6 razy wyrzucimy dwie reszki. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba rzutów, w których wypadn dwie reszki? 64. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania dokªadnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w do±wiadczeniu losowym, polegaj cym na pi ciokrotnym rzucie symetryczn sze±cienn kostk do gry. 65. Badania statystyczne pokazaªy,»e ±rednio 1,39% zapaªek jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e w pudeªku z 90 zapaªkami s wi cej ni» 2 wadliwe? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wadliwych zapaªek w pudeªku? 66. W dwunastu rzutach monet cztery razy wypadª orzeª. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e orzeª wypadª w pi tym rzucie tej serii rzutów. 67. Rzucono dziesi razy kostk do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e ju» w pierwszym rzucie wypadªa szóstka, je±li ª cznie wypadªy trzy szóstki. 68. Ile razy trzeba rzuca trzema monetami, aby prawdopodobie«stwo otrzymania co najmniej raz jednocze±nie trzech orªów byªo wi ksze od 0,8? 69. Rzucono dwa razy kostk. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e suma oczek b dzie wi ksza od 8, je»eli wiemy,»e w którym± z rzutów wypadªo 5 oczek. 70. Ze zbioru {1, 2,..., 15} wylosowano trzy ró»ne liczby. Jakie s szanse,»e suma wylosowanych liczb jest nieparzysta, je»eli wiadomo,»e ich iloczyn jest parzysty? 71. W partii bryd»a gracz E widzi,»e ma 8 pików. Jaka jest szansa,»e jego partner W nie ma pików? 72. W partii bryd»a przed licytacj gracz E widzi,»e nie ma asa. Jaka jest szansa,»e jego partner W ma 2 asy? 73. Ania i Bo»ena umówiªy si mi dzy 16:00 a 17:00 w centrum miasta. Komunikacja w godzinach szczytu dziaªa, jak dziaªa: przyjmujemy,»e dziaªa losowo. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e Ania przyjdzie pó¹niej ni» Bo»ena, je»eli wiemy,»e Ania nie przyszªa przez pierwsze póª godziny? 74. W pierwszej urnie s 3 kule biaªe i 2 czarne, a w drugiej urnie s 4 czarne i 1 biaªa. Rzucamy kostk. Je»eli wypadn mniej ni» 3 oczka, to losujemy kul z pierwszej urny, w przeciwnym razie

7 losujemy kul z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo wylosowania kuli biaªej? Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowali±my z pierwszej urny, je±li wylosowali±my kul biaª? 75. W urnie s trzy kule biaªe i dwie czarne. Wyci gni to jedn kul z urny i wyrzucono bez ogl dania, a potem wyci gni to nast pn. Jaka jest szansa,»e za drugim razem wyci gni to kul biaª? Jaka jest szansa,»e za wyrzucono kul biaª, je»eli za drugim razem wyci gni to kul biaª? 76. W±ród 65 monet jest jedna z dwoma orªami. Na wybranej losowo monecie w sze±ciu rzutach otrzymano same orªy. Jaka jest szansa,»e to moneta z dwoma orªami? 77. Na klasówce z historii Jan i Paweª siedzieli obok siebie. Mi dzy innymi mieli napisa dwie daty. Jan je pami taª, ale nie wiedziaª jak je przyporz dkowa. Zapytaª Pawªa, wiedz c,»e w 3 przypadkach na 4 Paweª zna prawidªow odpowied¹, chocia» Paweª uwa»aª,»e zawsze wie dobrze. Jednak Paweª w 1 przypadku na 4 oszukuje Jana. Co jest lepsze dla Jana: posªucha Pawªa, czy odpowiedzie losowo? 78. Na stole le» koszulkami do góry as karo, as kier i as pik. Je»eli gracz trafnie odgadnie poªo»enie asa pik, wygra PLN. Gracz wybiera ±rodkow kart i wtedy bankier mówi: Chwileczk. Odkryj jedn kart, a ty si zastanów, czy chcesz zmieni swój wybór, po czym odkrywa kart pierwsz z lewej (jest to as karo). Bankier zawsze odkrywa kart czerwon, nie wybran przez gracza. Je»eli ma dwie mo»liwo±ci odkrycia karty, wybiera ka»d z nich z prawdopodobie«stwem 1/2. Czy gracz powinien zmieni swój pierwotny wybór? 79. W urnie jest 2 razy wi cej kul czarnych ni» biaªych. Z urny losujemy jedn kul, odkª damy j i losujemy drug dwie kul. Dla jakiej ilo±ci kul biaªych prawdopodobie«stwo wylosowania kul ró»nych kolorów jest wi ksze lub równe 1/2? 80. Z urny, w której s 3 kule biaªe i 3n kul czarnych losujemy dwie kule. Dla jakiego n prawdopodobie«stwo wylosowania kul tego samego koloru jest równe prawdopodobie«stwu wylosowania pary kul ró»nych kolorów? 81. Na odcinku o dªugo±ci 10 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e odlegªo± mi dzy nimi nie przekracza 3? 82. Drut o dªugo±ci 20 cm zginamy w losowo wybranym punkcie ró»nym od ±rodka drutu, a nast pnie zginamy dªu»sz z otrzymanych cz ±ci w jeszcze dwóch punktach tworz c prostok tn ramk. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. pole tego prostok ta nie przekracza 21 cm 2, b. ró»nica dªugo±ci boków jest mniejsza ni» 2 cm. 83. Z talii 52 kart losujemy cztery karty (kolejno± nieistotna). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród nich b dzie as, kier i blotka? 84. Wspóªczynniki a i b równania kwadratowego x 2 + 2ax + b = 0 wybrano losowo z przedziaªu [ 1, 1]. Wyznacz prawdopodobie«stwo,»e a. równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek rzeczywisty, b. pierwiastki tego równania s rzeczywiste, c. iloczyn rzeczywistych pierwiastków tego równania jest liczb rzeczywist dodatni. Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. z L jest bli»ej do M ni» do A,

8 b. z L jest ponad dwa razy bli»ej do B ni» do A, c. z L jest bli»ej do M ni» do A je»eli wiadomo,»e z L jest ponad dwa razy bli»ej do B ni» do A. 85. Z pudeªka w którym s 3 dobre i 2 wadliwe detale wybrano jeden detal zwrócono go do pudeªka i doªo»ono 2 detale dobre, je±li wylosowano detal dobry lub 3 detale wadliwe, je±li wylosowano detal wadliwy. Nast pnie wylosowano bez zwracania 4 detale. a. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybrano dwa detale dobre i dwa wadliwe, b. Wybrano dwa detale dobre i dwa wadliwe. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w pierwszym losowaniu wybrano detal dobry. 86. W urnie znajduje si 7 kul biaªych, 3 kule zielone i 5 czarnych. Losujemy jedn kul i odkªadamy j na bok, po czym do pozostaªych kul dokªadamy 2 kule w kolorze wylosowanej kuli i ponownie losujemy jedn kul. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wylosowana kula b dzie czarna. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w pierwszym losowaniu wylosowali±my kul czarn, je±li kula wylosowana w drugim losowaniu jest czarna. 87. Rzucamy dwa razy sze±cienn kostk do gry. a. Czy prawdopodobie«stwo otrzymania sumy 7 oczek jest takie samo, jak otrzymania sumy 8? b. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w pierwszym rzucie wypadnie wi cej oczek ni» w drugim? 88. Rzucamy 5 razy kostk. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e uzyskamy dokªadnie dwie ró»ne warto±ci (np. 1, 3, 1, 1, 3). 89. Losujemy 5 liczb spo±ród 1,..., 9, a. bez zwracania, b. ze zwracaniem (kolejno± istotna). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e ich iloczyn jest podzielny przez Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybieraj c kolejno, z powtórzeniami, trzy liczby x, y, z spo±ród 0,..., 10, otrzymamy rozwi zanie równania x + y + z = Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybieraj c losowo trzy wierzchoªki (2n + 1)-k ta foremnego, otrzymamy trójk t ostrok tny. 92. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pi. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania nast puj cych ukªadów: jedna para (i nic wi cej), dwie pary (i nic wi cej), strit, full, poker. 93. Wybieramy losowo liczb ze zbioru {1,..., 1234}. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e liczba ta dzieli si przez przynajmniej jedn z liczb: 2, 3, 5, 7? 94. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e przy losowym rozdaniu kart do bryd»a ka»dy z graczy otrzyma a) asa, b) pika. 95. Ala i Ola wychodz z domu do pracy zawsze o 7:00. Ich drogi pokrywaj si na odcinku AB o dªugo±ci a. Ala idzie z A do B, a Ola odwrotnie. Ala dochodzi do A (a Ola do B) w przypadkowym momencie mi dzy 7:30 a 7:45 i idzie ze staª pr dko±ci p (Ola te»). Oblicz prawdopodobie«stwo spotkania obu kobiet. 96. Z wn trza sze±ciok ta foremnego o boku a wybrano losowo jeden punkt. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e odlegªo± tego punktu od ±rodka sze±ciok ta nie przekracza t, gdzie t jest ustalon liczb, 0 < t < a 3/2.

9 97. Dwie osoby umówiªy si w restauracji mi dzy 18:00 a 18:30. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nie b d na siebie czeka dªu»ej ni» kwadrans? 98. Liczby rzeczywiste x i y wybieramy losowo z przedziaªu [0, 4]. Oblicz a. prawdopodobie«stwo,»e x 2 y 2, b. prawdopodobie«stwo,»e ich iloczyn nie przekracza Oblicz prawdopodobie«stwo,»e bryd»ysta ma asa pik, je»eli wiadomo,»e ma co najmniej jednego asa Losujemy 3 razy bez zwracania kulk z kapelusza z 10 kulkami biaªymi i 6 czarnymi. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wszystkie wylosowane kule b d czarne? 101. Gracz dostaª kolejno 13 kart (z 52), obejrzaª 8 pierwszych i stwierdziª,»e nie ma w±ród nich asa. Jaka jest szansa,»e dostaª asa? Spo±ród me»czyzn 5%, a spo±ród kobiet 0,25% jest daltonistami. a. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e osoba wybrana losowo z grupy, w której byªo 20 razy wi cej kobiet ni» m»czyzn oka»e si daltonist? b. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana osoba, która okazaªa si daltonist, jest m»- czyzn? 102. W pierwszym kapeluszu jest 5 kul biaªych i 4 czarne, w drugim 2 biaªe i 8 czarnych. Dziecko losuje 2 kule (kolejno± nie jest istotna) z pierwszego kapelusza i wrzuca je do drugiego, a nast pnie losuje kul z drugiego kapelusza. a. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w drugim losowaniu wyci gnie czarn kul? b. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e obie przeªo»one w pierwszym etapie kule byªy biaªe, je»eli wyci gni ta w drugim losowaniu kula jest biaªa? 103. Test na pewn chorob, na któr cierpi ±rednio 1 osoba na 1000, daje zawsze odpowied¹ dodatni u chorego, a tzw. faªszyw odpowied¹ dodatni u 5% zdrowych. a. Jaka jest szansa,»e osoba, u której test daª odpowied¹ pozytywn, jest chora? Zakªadamy,»e osoba byªa wybrana do bada«losowo. b. Jaka jest szansa,»e osoba, u której dwa kolejne testy daªy odpowied¹ pozytywn, jest chora? 104. Czesio i Angelika rzucaj na zmian kostk, Czesio zaczyna. Wygrywa ten, kto pierwszy wyrzuci szóstk. Oblicz prawdopodobie«stwo wygranej Czesia Rzucamy n = 10 razy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a. co najmniej m = 2 razy wypadnie dublet (tzn. wyniki na obu kostkach b d takie same), b. co najwy»ej p = 3 razy wypadnie dublet W kwadrat o boku a = 10 wpisano koªo, a nast pnie narysowano wspóª±rodkowe koªo o ±rednicy d = 5 (zakªadamy,»e d < a). Wybieramy losowo punkt z kwadratu. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, b. wybierzemy punkt nienale» cy do mniejszego koªa, c. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, je±li wiadomo,»e wybrano punkt nienale» cy do mniejszego koªa.

10 107. Rzucamy kostk i je»eli wypadnie przynajmniej 5 oczek, to losujemy liczb caªkowit z przedziaªu [1; 5], a w przeciwnym przypadku liczb caªkowit z przedziaªu [3; 6]. a. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosujemy liczb 5? b. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyrzucili±my przynajmniej 5 oczek, je±li wylosowali±my liczb 5? 108. Prawdopodobie«stwo uszkodzenia elementu w ci gu czasu T jest równe 20 %. W danej aparaturze pracuje niezale»nie od siebie 300 elementów. Wyznacz prawdopodobie«stwo,»e w ci gu czasu T ulegnie uszkodzeniu przynajmniej 67 elementów. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych elementów? 109. Aparat wykonuje w takich samych warunkach seri 100 niezale»nych zdj fotograficznych pewnego obiektu. Wiadomo,»e tylko 15 % zdj speªnia wymagania techniczne. Wyznacz prawdopodobie«- stwo,»e co najmniej 20 zdj speªniaªo wymagania techniczne. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba zdj, które speªniaj wymagania techniczne? 110. Wybieramy losowo punkt z kwadratu okre±lonego przez zale»no±ci x 2 i y 2. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a. punkt ten nie nale»y do trójk ta okre±lonego przez zale»no±ci 0 x y 2, b. punkt ten nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci 2 y 1, c. punkt ten nie nale»y do trójk ta okre±lonego przez zale»no±ci 0 x y 2, je»eli wiadomo,»e nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci 2 y Wyznacz prawdopodobie«stwo,»e obstawiaj c w klasycznej ruletce razy pod rz d zero wygramy dokªadnie a) 3, b) 4 razy. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wygranych? 112. Z kwadratu [2; 4] [1; 3] wybrano losowo punkt x; y. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. odlegªo± wybranego punktu od dolnej kraw dzi kwadratu jest mniejsza ni» x y, b. wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw dzi kwadratu ni» lewej kraw dzi kwadratu, c. odlegªo± wybranego punktu od dolnej kraw dzi kwadratu jest mniejsza ni» x y pod warunkiem,»e wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw dzi kwadratu ni» lewej kraw dzi kwadratu Rzucono 3 symetryczne kostki do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a. suma oczek wynosi 6, b. suma oczek wynosi W kwadrat o boku a = 10 wpisano koªo, a nast pnie narysowano wspóª±rodkowe koªo o ±rednicy d = 5 (zakªadamy,»e d < a). Wybieramy losowo punkt z kwadratu. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, 1 W ruletce wynik jest losowo wybran liczb caªkowit z przedziaªu [0, 36].

11 b. wybierzemy punkt nienale» cy do mniejszego koªa, c. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, je±li wybrano punkt nienale» cy do mniejszego koªa W koªo o promieniu r = 10 wpisano kwadrat, a nast pnie narysowano wspóª±rodkowy kwadrat o boku d = 5 (zakªadamy,»e d < r 2). Wybieramy losowo punkt z koªa. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego kwadratu, b. wybierzemy punkt nienale» cy do mniejszego kwadratu, c. wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego kwadratu, je±li wiadomo,»e wybrano punkt nienale» cy do mniejszego kwadratu Z kwadratu [1; 3] [1; 3] wybrano losowo punkt x; y. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a. suma wspóªrz dnych wybranego punktu przekracza 4? b. moduª ró»nicy wspóªrz dnych wybranego punktu nie przekracza 1? c. moduª ró»nicy wspóªrz dnych wybranego punktu nie przekracza 1 je»eli wiadomo,»e suma wspóªrz dnych wybranego punktu przekracza 4? 117. Spo±ród 10 losów 2 wygrywaj. Kupiono jednocze±nie 5 losów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród nich znajduje si a. co najmniej jeden los wygrywaj cy? b. co najwy»ej jeden los wygrywaj cy? 118. Przyrz d mo»e si skªada z dwóch rodzajów elementów: wysokiej jako±ci albo ±redniej jako±ci. Okoªo 30 % przyrz dów skªada si z elementów wysokiej jako±ci. Je±li przyrz d skªada si z elementów wysokiej jako±ci, to jego niezawodno± w czasie t wynosi 0,95, a je±li z elementów ±redniej jako±ci, to 0,8. a. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany przyrz d b dzie dziaªaª poprawnie w czasie t? b. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany przyrz d skªadaª si z elementów wysokiej jako±ci, je»eli dziaªaª poprawnie w czasie t? 119. Powtarzamy n = 50 razy losowanie ze zwrotem z urny, w której znajduje si k = 10 kul biaªych i l = 20 kul czarnych. Wyznacz prawdopodobie«stwo,»e liczba losowa«, w których wylosowali±my kul czarn, b dzie mniejsza ni» 20. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba takich losowa«? 120. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa szóstka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? 121. Wybrano losow rodzin z dwojgiem dzieci. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybrano rodzin z dwoma chªopcami, je±li: a. w wybranej rodzinie mªodsze dziecko jest chªopcem? b. w wybranej rodzinie jest co najmniej jeden chªopiec?

12 122. Šucznik strzela do tarczy 10 razy. Przy ka»dym strzale ma 90% szansy na trafienie w cel. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e ªucznik trafiª do tarczy 10 razy, je±li wiadomo,»e co najmniej 3 z 5 ostatnich strzaªów byªy celne? 123. Oblicz prawdopodobie«stwo warunkowe,»e w trzykrotnym rzucie symetryczn sze±cienn kostk do gry otrzymamy co najmniej jedn jedynk, pod warunkiem»e otrzymamy co najmniej jedn szóstk Mamy trzy kr»ki. Jeden z dwóch stron jest biaªy, drugi ma obie strony czarne, a trzeci jedn czarn, a drug biaª. Rzucali±my losowo wybranym kr»kiem i na wierzchu wypadªa biaªa strona. Policz prawdopodobie«stwo,»e po drugiej stronie jest kolor czarny Z bada«genealogicznych wynika,»e kobieta jest nosicielk hemofilii z prawdopodobie«stwem p. Je-»eli kobieta jest nosicielk hemofilii, to ka»dy jej syn dziedziczy t chorob z prawdopodobie«stwem 0,5. Kobieta, która nie jest nosicielk hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczy prawdopodobie«- stwo,»e drugi syn losowo wybranej kobiety b dzie zdrowy, je±li pierwszy syn jest zdrowy. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e ta kobieta jest nosicielk hemofilii, drugi obaj synowie s zdrowi Czterej gracze w bryd»a dostali po 13 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a. gracz E nie posiada»adnego asa? b. gracze W, N i S posiadaj po przynajmniej jednym asie? c. gracze W, N i S posiadaj po przynajmniej jednym asie, je»eli gracz E nie posiada»adnego asa? 127. Mamy dwie urny, A i B. W urnie A s 3 kule czarne i 7 kul biaªych, a w urnie B 6 kul czarnych i 4 kule biaªe. Wyci gamy 9 kul z urny A i wkªadamy je wszystkie do urny B. Nast pnie losujemy kul z urny B. a. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowana kula jest biaªa? b. Wiedz c,»e z urny B wylosowano kul biaª, obliczy prawdopodobie«stwo,»e w urnie A pozostaªa kula czarna W szkole jest n = 731 uczniów urodzonych w 2004 roku. Zakªadaj c,»e prawdopodobie«stwo urodzenia si ka»dego dnia w ustalonym roku jest jednakowe, wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e trzech uczniów urodziªo si 29 lutego 2004 roku. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczb uczniów urodzonych 29 lutego 2004 roku? 129. Rzucono 2 symetryczne kostki do gry, czerwon i zielon. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a. suma oczek wynosi 3? b. na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka? c. suma oczek wynosi 3, je»eli na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka? 130. Na odcinku AB o dªugo±ci 30 cm umieszczono losowo dwa punkty L i M. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a. odcinek LM ma dªugo± wi ksz ni» 10 cm? b. odcinek LA ma dªugo± wi ksz ni» 10 cm? c. odcinek LM ma dªugo± wi ksz ni» 10 cm, je»eli odcinek LA ma dªugo± wi ksz ni» 10 cm?

13 131. Drog obok stacji benzynowej firmy Bracia J. sp. z o.o. przeje»d»a ±rednio dwa razy wi cej samochodów osobowych ni» ci»arowych. Na stacji tankuje paliwo ±rednio co dziesi ty samochód osobowy i co pi ty samochód ci»arowy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e samochód, który przed chwil zatankowaª, byª osobowy? 132. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w paczce igieª dziewiarskich zawieraj cej 999 sztuk znajduj si co najwy»ej 2 igªy wybrakowane, je±li wiadomo,»e przeci tna liczba braków wynosi 0,4%. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wybrakowanych igieª? 133. Z talii n = 52 kart wylosowano k = 5 kart (zakªadamy,»e w talii jest tyle samo kart w ka»dym kolorze oraz 2 k n/2). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a. wylosowano dokªadnie dwa kiery? b. w±ród wylosowanych kart nie ma trefli? c. wylosowano dokªadnie dwa kiery, je»eli w±ród wylosowanych kart nie ma trefli? 134. Z trójk ta okre±lonego zale»no±ciami 0 y 2x 6 wybrano losowo punkt x, y. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a. suma wspóªrz dnych wybranego punktu jest mniejsza ni» 3? b. odci ta wybranego punktu jest mniejsza ni» 2? c. suma wspóªrz dnych wybranego punktu jest mniejsza ni» 3, je»eli odci ta wybranego punktu jest mniejsza ni» 2? 135. rednio 20 m»czyzn na 100 i 15 kobiet na 100 ma grup krwi 0. Z grupy osób, w której jest 80 m»czyzn i 70 kobiet wylosowano jedn osob. Okazaªo si,»e ma ona krew grupy 0. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to kobieta? 136. Imi Franek ma w Polsce okoªo 1,6% chªopców. W pewnej szkole uczy si 424 chªopców. Wyznaczy najbardziej prawdopodobn liczb Franków w tej szkole. Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e liczba Franków w tej szkole jest nie wi ksza ni» Liczba 2,5 jest dzielona w sposób losowy na dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y, np. na x = 2,03 i y = 0,47 lub na x = 2,5 3 i y = 3. Nast pnie ka»da z liczb jest zaokr glana do najbli»szej liczby caªkowitej, np. do 2 i 0 w pierwszym przykªadzie oraz do 1 i 2 w drugim. Oblicz a. prawdopodobie«stwo,»e suma tak otrzymanych zaokr gle«równa si 2, b. prawdopodobie«stwo,»e ró»nica tak otrzymanych zaokr gle«równa si 0, c. prawdopodobie«stwo,»e suma tak otrzymanych zaokr gle«równa si 2, je»eli ró»nica tak otrzymanych zaokr gle«jest równa Test na kart rowerow skªada si z 10 pyta«. Do ka»dego z pyta«s 3 odpowiedzi, przy czym dokªadnie jedna jest poprawna. Aby zaliczy test, nale»y zaznaczy co najmniej 8 prawidªowych odpowiedzi. Adam si myli w ±rednio w 2 tego typu pytaniach na 10. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e Adam zda ten egzamin. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba prawidªowych odpowiedzi udzielonych przez Adama? 139. W prawej kieszeni znajduj si n = 3 monety po 2 zª i k = 2 monety po 1 zª, a w lewej kieszeni m = 6 monet po 2 zª i l = 4 monety po 1 zª. Z prawej kieszeni do lewej przeªo»ono losowo jedn

14 monet. Obliczy prawdopodobie«stwo wyci gni cia z lewej kieszeni po tym przeªo»eniu monety o warto±ci 1 zª. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e z prawej kieszeni wyci gni to monet o warto±ci 1 zª, je»eli z lewej kieszeni wyci gni to monet o warto±ci 1 zª? 140. Z talii 32 kart wyci gni to kolejno 5 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyci gni to dokªadnie jednego asa, je»eli w±ród pierwszych dwóch kart byª dokªadnie jeden as? 141. Wadliwo± partii detali wynosi 0,002. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w pudeªku zawieraj cym 100 detali a. nie b dzie detalu wadliwego, b. b d co najwy»ej dwa detale wadliwe Losujemy dwie liczby z przedziaªu [0, 1]. Obliczy : a. prawdopodobie«stwo,»e suma wylosowanych liczb jest wi ksza ni» 1/2, b. prawdopodobie«stwo,»e mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza ni» 1/3. c. prawdopodobie«stwo,»e suma wylosowanych liczb jest wi ksza ni» 1/2, je»eli mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza ni» 1/3.