b) wyniki traktujemy jako nieuporz dkowan par liczb, a ka»da z nich jest jednakowo prawdopodobna.

Transkrypt

1 1. Rozdajemy karty do bryd»a. Niech N k oznacza zdarzenie,»e gracz N dostaª przynajmniej k asów (k {1, 2, 3, 4}). Analogicznie definiujemy zdarzenia W k, S k i E k dla graczy W, S i E. Ile asów dostaª gracz W, je±li zaszªy nast puj ce zdarzenia: a) W 1? b) N 2 S 2? c) N 1 S 1 E 1? d) W 2 \ W 3? e) (N 2 S 2 ) E 2? f) W 2 \ (E 1 N 1 S 1 )? g) (W 1 (W 2 (S 2 N 3 )))? 2. Rzucamy dwiema kostkami do gry. a) Czy prawdopodobie«stwo otrzymania sumy 7 oczek jest takie samo, jak otrzymania sumy 8? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na jednej z nich wypadnie wi cej oczek ni» na drugiej? 3. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Porównaj prawdopodobie«stwa,»e otrzymamy sum oczek 8, w dwóch modelach: a) wyniki traktujemy jako uporz dkowan par liczb, a ka»da z nich jest jednakowo prawdopodobna, b) wyniki traktujemy jako nieuporz dkowan par liczb, a ka»da z nich jest jednakowo prawdopodobna. Czy te prawdopodobie«stwa s takie same? Dlaczego? 4. Rzucamy 5 razy kostk. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e uzyskamy dokªadnie dwie ró»ne warto±ci (np. 1, 3, 1, 1, 3 ). 5. Losujemy jedn liczb ze zbioru {1,..., 1234}. Zdefiniuj zbiór zdarze«elementarnych Ω dla tego eksperymentu i zapisz symbolicznie poni»sze zdarzenia: a) wyci gni ta liczba dzieli si przez 4 lub 5, b) wyci gni ta liczba nie dzieli si ani przez 6, ani przez 9. Oblicz prawdopodobie«stwa tych zdarze«. 6. Dane s liczby naturalne n i k, przy czym 1 k n. Ze zbioru {1,..., 2n} losujemy k ró»nych liczb. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wszystkie wylosowane liczby s parzyste, je»eli: a) losujemy kolejno, b) wyci gamy zbiór k liczb. Czy prawdopodobie«stwa s te same? Dlaczego? 7. Porównaj prawdopodobie«stwa,»e w bryd»u gracz W otrzyma wszystkie 13 pików, w dwóch modelach: a) dajemy losowo ka»demu z graczy od razu po 13 nieuporz dkowanych kart; w tym przypadku zdarzeniem elementarnym jest uporz dkowana czwórka podzbiorów 13-elementowych zbioru kart, b) rozdajemy karty tradycyjnie, tzn. najpierw tasujemy karty, a potem kolejno dajemy graczom po jednej (zaczynaj c od W ); w tym przypadku zdarzeniem elementarnym jest permutacja 52 kart. Czy prawdopodobie«stwa s te same? Dlaczego? 8. Losujemy 5 liczb spo±ród 1,..., 9 1

2 2 a) bez zwracania, b) ze zwracaniem (kolejno± istotna). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e ich iloczyn jest podzielny przez Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybieraj c kolejno, z powtórzeniami, trzy liczby x, y, z spo±ród 0,..., 10, otrzymamy rozwi zanie równania x + y + z = Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybieraj c losowo trzy wierzchoªki (2n + 1)-k ta foremnego, otrzymamy trójk t ostrok tny. 11. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pi. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania nast puj cych ukªadów: jedna para (i nic wi cej), dwie pary (i nic wi cej), strit, full, poker. 12. Wybieramy losowo liczb ze zbioru {1,..., 1234}. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e liczba ta dzieli si przez przynajmniej jedn z liczb: 2, 3, 5, 7? 13. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e przy losowym rozdaniu kart do bryd»a ka»dy z graczy otrzyma a) asa, b) pika. 14. Rzucamy n razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wyrzucimy wszystkie pary i, i, dla i {1,..., 6}. 15. Do poci gu zªo»onego z n wagonów wsiada losowo k pasa»erów (k > n). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e do ka»dego wagonu wsi dzie przynajmniej jeden pasa»er. 16. Dane s liczby naturalne n i k, przy czym 1 < k < n. Ze zbioru {1,..., n} losujemy dwie ró»ne liczby. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e jedna z nich jest mniejsza, a druga wi ksza od k, je»eli: a) losujemy kolejno, b) wyci gamy nieuporz dkowan par liczb. Czy prawdopodobie«stwa te s takie same? Dlaczego? 17. Rzucamy 3 razy kostk do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e najwi ksza otrzymana liczba oczek jest dwa razy wi ksza, ni» najmniejsza otrzymana liczba oczek. 18. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrana losowo liczba 6-cyfrowa ma cyfr 3 na pierwszym lub ostatnim miejscu? 19. W koªo wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a) punkt rzucony losowo na koªo znajdzie si wewn trz kwadratu, b) z pi ciu punktów, rzuconych losowo na koªo, jeden znajdzie si w kwadracie, a pozostaªe po jednym w ka»dym z czterech pozostaªych fragmentów koªa. 20. Ala i Ola wychodz z domu do pracy zawsze o 7:00. Ich drogi pokrywaj si na odcinku AB o dªugo±ci a. Ala idzie z A do B, a Ola odwrotnie. Ala dochodzi do A (a Ola do B) w przypadkowym momencie mi dzy 7:30 a 7:45 i idzie ze staª pr dko±ci p (Ola te»). Oblicz prawdopodobie«stwo spotkania obu kobiet. 21. Z wn trza sze±ciok ta foremnego o boku a wybrano losowo jeden punkt. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e odlegªo± tego punktu od ±rodka sze±ciok ta nie przekracza t, gdzie t jest ustalon liczb, 0 < t < a 3/ Na okr gu umieszczono losowo trzy punkty: A, B, C. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e trójk t ABC jest ostrok tny? 23. Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty, L i M. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e z punktu L jest bli»ej do M ni» do A. 24. Dwie osoby umówiªy si w restauracji mi dzy 18:00 a 18:30. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nie b d na siebie czeka dªu»ej ni» kwadrans?

3 25. Liczby rzeczywiste x i y wybieramy losowo z przedziaªu [0, 4]. Oblicz a) prawdopodobie«stwo,»e x 2 y 2, b) prawdopodobie«stwo,»e ich iloczyn nie przekracza Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e pierwiastki równania kwadratowego x 2 + 2ax + b = 0 s rzeczywiste, je±li wspóªczynniki równania wybrano losowo z prostok ta, k a k, l b l. 27. Na pªaszczy¹nie π znajduje si koªo o promieniu R. W odlegªo±ci l > R od ±rodka koªa, w pªaszczy¹nie π, umieszczono odcinek dªugo±ci 2h, którego symetralna przechodzi przez ±rodek koªa. Z losowego punktu okr gu wylatuje po stycznej cz stka. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e trafi ona w odcinek. 28. Niech Ω b dzie dowolnym niepustym zbiorem. Czy rodzina F = { } A Ω: card A ℵ 0 lub card(ω \ A) ℵ 0 jest σ-ciaªem podzbiorów zbioru Ω? 29. Niech Ω = R i niech F = B(R). Udowodnij,»e nast puj ce zbiory nale» do F: [2; 5], (3; ), {0}, (1; 2] [3; 4). 30. Zaªó»my,»e F jest σ-ciaªem zbiorów. Wyka»,»e dla wszystkich A, B F zachodzi A B F. 31. Oceniamy szanse studenta na egzaminach z analizy i logiki. Na podstawie danych statystycznych przyjmujemy,»e szansa na zdanie analizy wynosi 0,8, co najmniej jednego egzaminu 0,9, a obydwu przedmiotów 0,5. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany student a) zda logik? b) zda tylko jeden egzamin? c) nie zda»adnego egzaminu? 32. n zawodników startuje w turnieju rozgrywanym systemem pucharowym. W ka»dej rundzie gracze s kojarzeni w pary losowo, a w ka»dym spotkaniu zawodnicy maj równe same szanse wygranej (remisy nie s mo»liwe). W turnieju startuje para bli¹niaków. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e spotkaj si w finale? 33. Oblicz P (A B ), P (A B ), P ((A B) \ (A B)) wiedz c,»e P (A) = p, P (B) = q, P (A B) = r. 34. Dane s liczby a, b, c, p i q. Zaªó»my,»e P (A) = a, P (B) = b, P (C) = c, P (A B) = P (B C) = P (C A) = p, P (A B C) = r. Oblicz: a) prawdopodobie«stwo zdarzenia D: zaszªo przynajmniej jedno ze zdarze«a, B, C, b) prawdopodobie«stwo zdarzenia E: zaszªo dokªadnie jedno ze zdarze«a, B, C, c) prawdopodobie«stwo zdarzenia F : zaszªy dokªadnie dwa ze zdarze«a, B, C. 35. Niech P (A) = 3/4 i P (B) = 1/3. Poka»,»e 1/12 P (A B) 1/3 i podaj przykªady, gdy te oszacowania s osi gni te. Oszacuj podobnie P (A B). 36. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Poka»,»e 1/6 P (A) 1/4 i»e oba ograniczenia s optymalne. 37. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e bryd»ysta ma asa pik, je»eli wiadomo,»e ma co najmniej jednego asa. 3

4 4 38. Losujemy 3 razy bez zwracania kulk z kapelusza z 10 kulkami biaªymi i 6 czarnymi. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wszystkie wylosowane kule b d czarne? 39. Gracz dostaª kolejno 13 kart (z 52), obejrzaª 8 pierwszych i stwierdziª,»e nie ma w±ród nich asa. Jaka jest szansa,»e dostaª asa? 40. Losujemy jedn kart z 52. Zbadaj zale»no± zdarze«: A: wyci gni to figur (figury to as, król, dama i walet), B: wyci gni to asa trefl lub dwójk karo, C: wyci gni to asa trefl lub waleta karo. 41. Czy zdarzenia A B i C s niezale»ne, je»eli a) zdarzenia A, B i C s niezale»ne? b) zdarzenia A, B i C s parami niezale»ne, ale nie s niezale»ne? 42. Wiadomo,»e P (A) = 0,9 i P (B) = 0,8. Wykaza,»e P (A B) 0, Wykaza,»e je»eli P (B) > 0, to P (A B) 1 P (A ) P (B). 44. Wykaza,»e je»eli zdarzenia A B s niezale»ne, to P (A) = 0 lub P (B) = Wykaza,»e z równo±ci wynika niezale»no± zdarze«a i B. P (A B) = P (A B ) 46. Zaªó»my,»e zdarzenia A, B i C s parami niezale»ne, P (A) = P (B) = P (C) = p oraz P (A B C) = 0. Wyznaczy maksymaln warto± parametru p. 47. Spo±ród m»czyzn 5%, a spo±ród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybrana losowo osoba okazaªa si daltonist (zakªadamy,»e szanse trafienia na m»czyzn i na kobiet s takie same). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e jest to m»czyzna. 48. W pierwszym kapeluszu jest 5 kul biaªych i 4 czarne, w drugim 2 biaªe i 8 czarnych. Dziecko losuje 2 kule (kolejno± nie jest istotna) z pierwszego kapelusza i wrzuca je do drugiego, a nast pnie losuje kul z drugiego kapelusza. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w drugim losowaniu wyci gnie czarn kul? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e obie przeªo»one w pierwszym etapie kule byªy biaªe, je»eli wyci gni ta w drugim losowaniu kula jest biaªa? 49. Test na pewn chorob, na któr cierpi ±rednio 1 osoba na 1000, daje zawsze odpowied¹ dodatni u chorego, a tzw. faªszyw odpowied¹ dodatni u 5% zdrowych. a) Jaka jest szansa,»e osoba, u której test daª odpowied¹ pozytywn, jest chora? Zakªadamy,»e osoba byªa wybrana do bada«losowo. b) Jaka jest szansa,»e osoba, u której dwa kolejne testy daªy odpowied¹ pozytywn, jest chora? 50. Przeprowadzono seri n do±wiadcze«wedªug schematu Bernoullego z prawdopodobie«stwem sukcesu w ka»dym do±wiadczeniu równym p. Oblicz: a) prawdopodobie«stwo zdarzenia A polegaj cego na tym,»e przynajmniej jedna z prób zako«czyªa si sukcesem, b) prawdopodobie«stwo zdarzenia B polegaj cego na tym,»e dokªadnie k prób (0 k n) zako«czyªo si sukcesem,

5 c) prawdopodobie«stwo zdarzenia C polegaj cego na tym,»e pierwsze dwie próby zako«czyªy si sukcesem, d) prawdopodobie«stwo zdarzenia D polegaj cego na tym,»e pierwsze dwie próby zako«czyªy si sukcesem, natomiast w sumie dokªadnie k prób (2 k n) zako«czyªo si sukcesem, e) prawdopodobie«stwo,»e dokªadnie k prób (2 k n) zako«czyªo si sukcesem, je»eli wiadomo, i» pierwsze dwie próby zako«czyªy si sukcesem. 51. Przeprowadzono seri n do±wiadcze«wedªug schematu Bernoullego z prawdopodobie«stwem sukcesu w ka»dym do±wiadczeniu równym p. Udowodnij,»e prawdopodobie«stwo uzyskania parzystej liczby sukcesów jest równe ( 1 + (1 2p) n) / Prawdopodobie«stwo powstania»ycia na losowo wybranej planecie wynosi 1 0,001 %. Stosuj c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo,»e badaj c planet znajdziemy»ycie na a) 3, b) 4 spo±ród nich. Oszacuj bª d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale» dokªadne warto±ci. 53. Wadliwo± partii detali wynosi 0,02. Stosuj c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«- stwo,»e w pudeªku zawieraj cym 100 detali a) nie b dzie detalu wadliwego, b) b d co najwy»ej dwa detale wadliwe. Podaj oszacowanie wielko±ci popeªnionego bª du i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale» dokªadne warto±ci. 54. Stosuj c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo,»e w 50 rzutach dwiema kostkami do gry otrzymamy niski dublet (para i, i, gdzie i 2) dokªadnie a) 3, b) 4 razy. Oszacuj bª d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale» dokªadne warto±ci. 55. Czesio i Angelika rzucaj na zmian kostk, Czesio zaczyna. Wygrywa ten, kto pierwszy wyrzuci szóstk. Oblicz prawdopodobie«stwo wygranej Czesia. 56. Student ma do zaliczenia przedmioty A i R. Szansa zaliczenia przedmiotu A (przy ka»dej próbie) wynosi p, natomiast prawdopodobie«stwo zaliczenia przedmiotu R wynosi s. Aby zaliczy przedmiot R, student musi najpierw zaliczy przedmiot A. Wiadomo,»e po pi tnastu próbach zaliczenia student nie zaliczyª jeszcze przedmiotu R. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nie zaliczyª jeszcze przedmiotu A? 57. Kawaªek drutu o dªugo±ci 40 cm zgi to pod k tem prostym w losowo wybranym punkcie, a nast pnie zgi to drut w dwóch innych punktach w taki sposób, aby powstaªa prostok tna ramka. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 84 cm 2, b) ró»nica mi dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 6 cm, c) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 84 cm 2, je±li wiadomo,»e ró»nica mi dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 6 cm. 5 1 Dane fikcyjne.

6 6 58. Wiadomo,»e 90 % elementów produkcji masowej speªnia» dane wymagania techniczne. Przeprowadzono dodatkow kontrol, przy której mogªy by popeªnione pewne bª dy, a mianowicie: element wadliwy mógª zosta sklasyfikowany jako dobry z prawdopodobie«stwem 5 %, a element dobry mógª zosta sklasyfikowany jako wadliwy z prawdopodobie«stwem 1 %. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany element zostanie sklasyfikowany jeko dobry? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany element jest dobry, je±li zostaª sklasyfikowany jako dobry? 59. W partii 100 tranzystorów jest 5 sztuk wadliwych. Losujemy cztery sztuki. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) co najwy»ej dwa wybrane tranzystor s wadliwe, b) przynajmniej dwa wybrane tranzystor s wadliwe. 60. Wybieramy losowo punkt z kwadratu okre±lonego przez zale»no±ci x 2 i y 2. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) punkt ten nie nale»y do trójk ta okre±lonego przez zale»no±ci 0 x y 2, b) punkt ten nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci 2 y 1, c) punkt ten nie nale»y do trójk ta okre±lonego przez zale»no±vi 0 x y 2, je»eli wiadomo,»e nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci 2 y W magazynie s»akiety z trzech zakªadów krawieckich, A 1, A 2 i A 3, przy czym wiadomo,»e z zakªadu A 1 pochodzi 50 %»akietów, z A 2 pochodzi 30 %»akietów, a reszta z zakªadu A 3. Wiadomo tak»e,»e zakªad A 1 produkuje 80 %»akietów I gatunku, zakªad A 2 produkuje 70 %»akietów I gatunku, a zakªad A 3 produkuje 60 %»akietów I gatunku. Z magazynu wybrano losowo jeden»akiet. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany»akiet jest I gatunku? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany»akiet zostaª wyprodukowany w zakªadzie A 1, je±li jest I gatunku? 62. Wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: Je±li zdarzenia A i B s niezale»ne, zdarzenia A i C s niezale»ne oraz B C =, to zdarzenia A i B C s niezale»ne. 63. Wiadomo,»e 1 % populacji cierpi na chorob X. Badacz posiada test wykrywaj cy t chorob, która czasem daje bª dne wskazania, a mianowicie: osoba chora mo»e zosta sklasyfikowana jako zdrowa z prawdopodobie«stwem 0,05, a osoba zdrowa mo»e zosta sklasyfikowana jako chora z prawdopodobie«stwem 0,02. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana osoba zostanie sklasyfikowana jako chora? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrana losowo osoba jest chora, je±li zostaªa sklasyfikowana jako chora? 64. Mamy trzy urny. W pierwszej z nich s 4 kule biaªe i 5 kul czarnych, w drugiej 5 kul biaªych i jedna kula czarna, a w trzeciej tylko jedna kula czarna. Rzucamy symetryczn kostk do gry. Je±li wypadnie liczba parzysta, losujemy z pierwszej urny, je±li wypadnie pi tka, to losujemy z drugiej urny, w pozostaªych przypadkach losujemy z trzeciej urny.

7 a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowana kula biaªa? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowana kula pochodzi z drugiej urny, je±li jest biaªa? 65. Zakªadamy,»e P (B) = 2P (A) i P (C) = 3P (A) oraz P (B C) = P (A B). Wykaza,»e st d wynika, i» P (A) 1/4, b d¹ pokaza na przykªadzie,»e ta nierówno± nie musi zachodzi. 66. Pewna matka ma 4 dzieci. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e a) matka ma co najwy»ej dwie córki, b) matka ma przynajmniej dwie córki. (Zakªadamy,»e: pªe kolejnych dzieci jest zdarzeniem losowym, niezale»nym od pªci poprzednich dzieci; prawdopodobie«stwo urodzenia dziewczynki wynosi 51 %). Czy powy»sze zdarzenia s niezale»ne? 67. W urnie znajduje si 300 kul biaªych i 200 kul czarnych. Losujemy bez zwracania trzy kule. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) dokªadnie jedna kula jest czarna, b) przynajmniej jedna kula jest czarna. 68. Kawaªek drutu o dªugo±ci 20 cm zgi to pod k tem prostym w losowo wybranym punkcie, a nast pnie zgi to drut w dwóch innych punktach w taki sposób, aby powstaªa deltoidalna ramka (ksztaªt latawca). Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 20 cm 2, b) ró»nica mi dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 5 cm, c) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 20 cm 2, je±li wiadomo,»e ró»nica mi dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 5 cm. 69. Na przeno±nik ta±mowy trafiaj jednakowe produkty wytwarzane przez dwa automaty. Stosunek ilo±ciowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego wynosi 3 : 2. Pierwszy automat wytwarza ±rednio 60 % produktów pierwszej jako±ci, a drugi 80 %. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany produkt jest pierwszej jako±ci? b) Wylosowany produkt okazaª si by pierwszej jako±ci. Mógª on zosta wyprodukowany przez ka»dy z automatów, pierwszy lub drugi. Która z tych mo»liwo±ci jest bardziej prawdopodobna? 70. Poda definicj prawdopodobie«stwa warunkowego. Korzystaj c z tej definicji wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: ( ) P (Z) > 0 P (A Z) P (A B Z). A,B,Z F 71. Spo±ród klocków z cyframi od 1 do 9 wylosowano kolejno bez zwracania trzy i uªo»ono je obok siebie, tworz c pewn liczb trzycyfrow. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) utworzona liczba jest wi ksza ni» 400, b) utworzona liczba jest mniejsza ni» 600, c) iloczyn wylosowanych cyfr jest wi kszy ni» 300. Czy powy»sze zdarzenia s a) parami niezale»ne? b) niezale»ne? 7

8 8 72. Losujemy kolejno z przedziaªu [ 1, 1] trzy punkty, x, y i z. Wyznaczy prawdopodobie«stwo tego,»e a) x < y, b) x + z < y, c) x < y, je±li wiadomo,»e x + z < y. 73. W komodach A, B i C s po dwie szuady. W ka»dej szuadzie znajduje si jedna moneta, z tym,»e w komodzie A s to monety zªote, w komodzie C monety srebrne, a w komodzie B jedna moneta zªota i jedna moneta srebrna. Wybieramy losowo najpierw komod, a nast pnie szuad i wyjmujemy monet. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyjmiemy srebrn monet? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w drugiej szuadzie wybranej komody jest srebrna moneta, je±li wyj ta moneta jest srebrna? 74. Wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: ( P (Z) > 0 A,Z F P (A) + P (Z) 1 P (Z) P (A Z) P (A) ). P (Z) 75. Mamy dwie grupy kierowców: ostro»nych (jest ich 95 %, kierowca z tej grupy powoduje wypadek w ci gu roku z prawdopodobie«stwem 0,01) i niedbaªych (powoduj oni wypadek w ci gu roku z prawdopodobie«stwem 1/2). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany kierowca, który przez dwa kolejne lata nie spowodowaª wypadku, nie b dzie miaª wypadku tak»e w trzecim kolejnym roku? 76. Rzucamy dwukrotnie niesymetryczn kostk, na której szóstka wypada z prawdopodobie«- stwem a, a pozostaªe pi wyników jest jednakowo prawdopodobnych. Wyznaczy prawdopodobie«stwo tego,»e a) co najwy»ej raz wypadnie pi tka, b) przynajmniej raz wypadnie pi tka,. 77. Kawaªek drutu o dªugo±ci 20 cm zgi to w losowo wybranym punkcie, a nast pnie zgi to drut w jeszcze jednym punkcie w taki sposób, aby powstaªa ramka o ksztaªcie trójk ta równoramiennego, przy czym obydwa ko«ce drutu s w wierzchoªku tej ramki. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 20 cm 2, b) ró»nica mi dzy dªugo±ci ramienia i podstawy ramki jest mniejsza ni» 5 cm, c) pole obszaru ograniczonego ramk jest niemniejsze ni» 20 cm 2, je±li wiadomo,»e ró»nica mi dzy dªugo±ci ramienia i podstawy ramki jest mniejsza ni» 5 cm. 78. W±ród sze±ciu monet pi jest prawidªowych, a szósta ma po obydwu stronach orªa. Wybieramy losowo monet i rzucamy ni pi razy. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e pi razy wypadª orzeª? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrana moneta jest wadliwa, je±li pi razy wypadª orzeª? 79. Poda definicj ukªadu zupeªnego zdarze«. Korzystaj c z tej definicji udowodni wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite.

9 80. Trzy p czki rozdzielamy losowo mi dzy trzy osoby. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) ka»da osoba dostanie przynajmniej jednego p czka, b) pierwsza osoba dostanie przynajmniej jednego p czka, c) trzecia osoba dostanie przynajmniej jednego p czka. Czy powy»sze zdarzenia s a) parami niezale»ne? b) niezale»ne? 81. Odcinek o dªugo±ci 10 cm dzielimy losowo na trzy cz ±ci. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) z powy»szych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t, b) przynajmniej jedna z cz ±ci ma dªugo± wi ksz ni» 2 cm, c) z powy»szych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t, je»eli wiadomo,»e przynajmniej jedna z cz - ±ci ma dªugo± wi ksz ni» 2 cm. 82. Wiadomo,»e 5 % studentów (grupa A) umie odpowiedzie na wszystkie pytania egzaminacyjne, 30 % (grupa B) umie odpowiedzie na 70 % pyta«, a pozostali tylko na 50 % pyta«. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany student odpowie na zadane pytanie? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany student nale»y do grupy B, je±li odpowiedziaª na zadane pytanie? 83. Wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: Je±li zdarzenia A i Z s niezale»ne, P (C) > 0, A Z C A Z, to P (A C) P (A). 84. Zakªadamy,»e zdarzenia A, B i C s niezale»ne, A B C = oraz P (A) = P (B) = P (C) = p. Wyznaczy najwi ksz i najmniejsz mo»liw warto± p. 85. W pewnej loterii sprzedano 1000 losów, spo±ród których 200 wygrywa. Osoba A kupiªa trzy losy. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) osoba A ma dokªadnie dwa losy wygrywaj ce, b) przynajmniej jeden los kupiony przez osob A wygrywa. 86. Poda aksjomatyczn definicj prawdopodobie«stwa. Korzystaj c z tej definicji wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: P (A) P (A B). A,B F 87. Z przedziaªów 0 < a < 2 i 2 < b < 1 wybieramy losowo wspóªczynniki równania x ax + b = 0. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) równanie to posiada cho jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni, b) równanie to posiada pierwiastki rzeczywiste, c) równanie to posiada cho jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni, je±li wiadomo,»e posiada pierwiastki rzeczywiste. 88. Zaªó»my,»e dla pewnych zdarze«a, B, D F s speªnione nierówno±ci P (A D) > P (A) i P (B D) > P (B). Wykaza,»e st d wynika, i» P (A B D) P (A B), b d¹ pokaza na przykªadzie,»e ta nierówno± nie musi zachodzi. 9

10 W pewnej loterii wygrywa co pi ty los. Osoba A kupiªa trzy losy. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) osoba A ma dokªadnie jeden los wygrywaj cy, b) przynajmniej jeden los kupiony przez osob A wygrywa. 90. Poda definicj σ-ciaªa zbiorów. Korzystaj c z tej definicji wykaza,»e w ka»dym σ-ciele F prawdziwa jest teza: A \ B F. A,B F 91. Rzucamy pi razy kostk. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) przynajmniej jeden raz wypadnie liczba parzysta, b) przynajmniej jeden raz wypadnie liczba podzielna przez 3, c) dokªadnie raz wypadnie szóstka. Czy powy»sze zdarzenia s a) parami niezale»ne? b) niezale»ne? 92. Z przedziaªu [0, 10] wybieramy losowo dwa punkty, x i y. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) ±rodek przedziaªu o ko«cach x i y nale»y do przedziaªu [0, 3], b) odlegªo± mi dzy punktami x i 0 jest mniejsza ni» odlegªo± mi dzy punktami y i 5, c) ±rodek przedziaªu o ko«cach x i y nale»y do przedziaªu [0, 3], je±li wiadomo,»e odlegªo± mi dzy punktami x i 0 jest mniejsza ni» odlegªo± mi dzy punktami y i Wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: Je±li zdarzenia {A, B, C} jest rodzin zdarze«parami niezale»nych, ale nie niezale»nych, to zdarzenia A i B C nie s niezale»ne. 94. Odcinek o dªugo±ci 10 cm dzielimy losowo na trzy cz ±ci. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) z powy»szych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t, b) przynajmniej jedna z cz ±ci ma dªugo± wi ksz ni» 2 cm, c) z powy»szych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t, je»eli wiadomo,»e przynajmniej jedna z cz - ±ci ma dªugo± wi ksz ni» 2 cm. 95. Przyrz d mo»e si skªada z dwóch rodzajów elementów: wysokiej jako±ci albo ±redniej jako±ci. Okoªo 30 % przyrz dów skªada si z elementów wysokiej jako±ci. Je±li przyrz d skªada si z elementów wysokiej jako±ci, to jego niezawodno± w czasie t wynosi 0,95, a je±li z elementów ±redniej jako±ci, to 0,8. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany przyrz d dziaªaª poprawnie w czasie t? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrany przyrz d skªadaª si z elementów wysokiej jako±ci, je»eli dziaªaª poprawnie w czasie t? 96. Poda aksjomatyczn definicj prawdopodobie«stwa. Korzystaj c z tej definicji wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B). A,B F

11 97. Poda definicj σ-ciaªa zbiorów. Korzystaj c z tej definicji wykaza,»e w ka»dym σ-ciele F prawdziwa jest teza: A B F. A,B F 98. W kwadrat o boku 10 wpisano koªo, a nast pnie narysowano wspóª±rodkowe koªo o ±rednicy 5. Wybieramy losowo punkt z kwadratu. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a) wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, b) wybierzemy punkt nienale» cy do mniejszego koªa, c) wybierzemy punkt nale» cy do wi kszego koªa, je±li wiadomo,»e wybrano punkt nienale-» cy do mniejszego koªa. 99. Rzucamy kostk i je»eli wypadnie przynajmniej 5 oczek, to losujemy liczb caªkowit z przedziaªu [1; 5], a w przeciwnym przypadku liczb caªkowit z przedziaªu [3; 6]. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosujemy liczb 5? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyrzucili±my przynajmniej 5 oczek, je±li wylosowali±my liczb 5? 100. Rzucono 3 kostki. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przynajmniej na jednej kostce wypadnie jedynka, je»eli na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? 101. W prawej kieszeni znajduj si 3 monety po 2 zª i 2 monety po 1 zª, a w lewej kieszeni 6 monet po 2 zª i 2 monety po 1 zª. Z prawej kieszeni do lewej przeªo»ono losowo jedn monet. Obliczy prawdopodobie«stwo wyci gni cia z lewej kieszeni po tym przeªo»eniu monety o warto±ci 1 zª. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e z prawej kieszeni wyci gni to monet o warto±ci 1 zª, je»eli z lewej kieszeni wyci gni to monet o warto±ci 1 zª? 102. Z talii 32 kart wyci gni to kolejno 5 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyci gni to dokªadnie jednego asa, je»eli w±ród pierwszych dwóch kart byª dokªadnie jeden as? 103. Z talii 32 kart wyci gni to kolejno 5 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyci gni to dokªadnie dwa asy, je»eli w±ród pierwszych dwóch kart byª dokªadnie jeden as? 104. Korzystaj c ze wzoru na prawdopodobie«stwo caªkowite udowodnij wzór Bayesa Jest dziesi jednakowych urn. Dziewi spo±ród nich zawiera po 2 kule biaªe i 2 kule czarne, a jedna urna zwiera 5 kul biaªych i 1 kul czarn. Z losowo wybranej urny wylosowano jedn kul. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowano kul biaª? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowania dokonano z urny, w której jest 5 kul biaªych, je±li wylosowano kul biaª? 106. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e pi ciocyfrowy numer pierwszego napotkanego samochodu a) nie zawiera cyfry 5? b) nie zawiera dwóch cyfr 5? 107. Oblicz prawdopodobie«stwo tego,»e losowo wybrany punkt kwadratu x + y 2 le»y wewn trz koªa x 2 + y Losujemy jedn kart z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to siódemka, je±li wiadomo,»e wyci gni ta karta nie jest gur ani asem W partii 200 lamp elektronowych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy trzy sztuki. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: 11

12 12 a) wszystkie wybrane lampy s wadliwe, b) przynajmniej jedna wybrana lampa nie jest wadliwa Wybieramy losowo punkt z kwadratu okre±lonego przez zale»no±ci x 2 i y 2. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) punkt ten nie nale»y do koªa okre±lonego przez zale»no± x 2 + y 2 4, b) punkt ten nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no± y 2, c) punkt ten nie nale»y do koªa okre±lonego przez zale»no± x 2 + y 2 4, je»eli wiadomo,»e nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no± y Sze±cian wykonany z jasnego drewna pomalowano na czarno i poci to pªaszczyznami równolegªymi do ±cian tego sze±cianu na 64 mniejsze sze±ciany. Spo±ród tych sze±cianików wybrano losowo jeden. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) wybrany sze±cianik ma wszystkie ±ciany jasne, b) wybrany sze±cianik ma dwie ±ciany czarne, c) wybrany sze±cianik ma przynajmniej jedn ±cian czarn. Czy powy»sze zdarzenia s a) parami niezale»ne? b) niezale»ne? 112. Fabryka wyrabia ±ruby na trzech maszynach, A 1, A 2 i A 3, których produkcja wynosi odpowiednio 25 %, 35 % i 40 % caªej produkcji. Maszyny daj odpowiednio 5 %, 4 % i 2 % braków. Wybieramy ±rub w sposób losowy. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrana ±ruba jest brakiem? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wybrana ±ruba zostaªa wyprodukowana na maszynie A 1, je±li jest brakiem? 113. Wykaza,»e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P prawdziwa jest teza: Je±li zdarzenia A i B s niezale»ne, to zdarzenia A i B tak»e s niezale»ne Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a) z L jest bli»ej do M ni» do A, b) z L jest bli»ej do B ni» do A, c) z L jest bli»ej do M ni» do A je»eli wiadomo,»e z L jest bli»ej do B ni» do A Czy zdarzenia A B i C s niezale»ne, je»eli a) zdarzenia A, B i C s niezale»ne? b) zdarzenia A, B i C s parami niezale»ne? 116. Niech (A n ) b dzie niesko«czonym ci giem zdarze«takim,»e P (A n ) = 1 dla ka»dego n. Udowodnij,»e P ( ) n=1 A n = Z kwadratu [2; 4] [1; 3] wybrano losowo punkt x; y. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a) odlegªo± wybranego punktu od dolnej kraw dzi kwadratu jest mniejsza ni» x y, b) wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw dzi kwadratu ni» lewej kraw dzi kwadratu,

13 c) odlegªo± wybranego punktu od dolnej kraw dzi kwadratu jest mniejsza ni» x y pod warunkiem,»e wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw dzi kwadratu ni» lewej kraw dzi kwadratu Spo±ród me»czyzn 5%, a spo±ród kobiet 0,25% jest daltonistami. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e osoba wybrana losowo z grupy, w której byªo 20 razy wi cej kobiet ni» m»czyzn oka»e si daltonist? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana z powy»szej grupy osoba, która okazaªa si daltonist, jest m»czyzn? 119. Zaªó»my,»e zdarzenia A 1,..., A n s pewne. Czy zdarzenie A 1 A n tak»e musi by pewne? Odpowied¹ uzasadnij Zaªó»my,»e zdarzenia A 1,..., A n s niemo»liwe. Czy zdarzenie A 1 A n tak»e musi by niemo»liwe? Odpowied¹ uzasadnij Zaªó»my,»e zdarzenia A 1,..., A n maj prawdopodobie«stwo 1/2. Czy zdarzenie A 1 A n tak»e musi mie prawdopodobie«stwo równe 1/2? Odpowied¹ uzasadnij Mamy 5 zestawów fili»anka + podstawek: dwa zestawy zielone, dwa zestawy czerwone i jeden zestaw niebieski. Ustawiamy filizanki losowo na podstawkach. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e»adna para nie b dzie tego samego koloru Rzucono 3 symetryczne kostki do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) suma oczek wynosi 6, b)suma oczek wynosi Rzucamy 10 razy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e: a) co najmniej 2 razy wypadnie dublet (tzn. wyniki na obu kostkach b d takie same), b) co najwy»ej 3 razy wypadnie dublet Rzucamy kostk i je»eli wypadn najwy»ej 2 oczka, to losujemy liczb caªkowit z przedziaªu [3; 6], a w przeciwnym przypadku liczb caªkowit z przedziaªu [1; 5]. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosujemy liczb 5? b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyrzucili±my najwy»ej 2 oczka, je±li wylosowali±my liczb 5? 126. Spo±ród 10 losów 2 wygrywaj. Kupiono jednocze±nie 5 losów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród nich znajduje si a) co najmniej jeden los wygrywaj cy? b) co najwy»ej jeden los wygrywaj cy? 127. Z kwadratu [1; 3] [1; 3] wybrano losowo punkt x; y. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: a) suma wspóªrz dnych wybranego punktu przekracza 4? b) moduª ró»nicy wspóªrz dnych wybranego punktu nie przekracza 1? c) moduª ró»nicy wspóªrz dnych wybranego punktu nie przekracza 1 je»eli wiadomo,»e suma wspóªrz dnych wybranego punktu przekracza 4? 13

14 Stosuj c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo,»e obstawiaj c w klasycznej ruletce razy pod rz d zero wygramy dokªadnie a) 3, b) 4 razy. Oszacuj bª d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale» dokªadne warto±ci Korzystaj c z definicji prawdopodobie«stwa udowodnij,»e dla dowolnych A, B F zachodzi równo± : P (A \ B) = P (A) P (A B) Zaªó»my,»e A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A) oraz P (A B) = P (A C) = P (B C). Wyka»,»e 1/6 P (A) 1/4 i»e oba ograniczenia s optymalne Korzystaj c z definicji prawdopodobie«stwa udowodnij dowolnie wybrany aksjomat ci gªo±ci Spo±ród 10 losów 2 wygrywaj. Kupiono jednocze±nie 5 losów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród nich znajduje si a) co najmniej jeden los wygrywaj cy? b) co najwy»ej jeden los wygrywaj cy? 133. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba przegranych w klasycznej ruletce (w której wynik jest losowo wybran liczb caªkowit z przedziaªu [0, 36]), je»eli 110 razy pod rz d obstawiamy zero? Podaj wzór na dokªadn warto± tego prawdopodobie«stwa. Oszacuj to prawdopodobie«stwo stosuj c twierdzenie Poissona. Wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale»y dokªadna warto± Niech A b dzie cz ±ci wspóln trójk ta równoramiennego o wierzchoªkach 1; 0, 7; 0 i 4; 4 i póªpªaszczyzny y a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu [0; 4). Obliczy prawdopodobie«stwo,»e pole trójk ta A jest mniejsze ni» Niech A b dzie cz ±ci wspóln trójk ta równoramiennego o wierzchoªkach 1; 0, 7; 0 i 4; 4 i póªpªaszczyzny y a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu [2; 4). Obliczy prawdopodobie«stwo,»e pole trójk ta A jest mniejsze ni» Niech A b dzie cz ±ci wspóln trójk ta równoramiennego o wierzchoªkach 1; 0, 7; 0 i 4; 4 i póªpªaszczyzny x a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu (1; 7). Obliczy prawdopodobie«stwo,»e pole trójk ta A jest mniejsze ni» 1. 2 W ruletce wynik jest losowo wybran liczb caªkowit z przedziaªu [0, 36].

15 1. Z trójk ta okre±lonego zale»no±ciami 0 y 2x 6 wybrano losowo punkt x, y. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) suma wspóªrz dnych wybranego punktu jest mniejsza ni» 3? b) odci ta wybranego punktu jest mniejsza ni» 2? c) suma wspóªrz dnych wybranego punktu jest mniejsza ni» 3, je»eli odci ta wybranego punktu jest mniejsza ni» 2? 2. Losujemy dwie liczby z przedziaªu [0, 1]. Obliczy : a) prawdopodobie«stwo,»e suma wylosowanych liczb jest wi ksza ni» 1/2, b) prawdopodobie«stwo,»e mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza ni» 1/3. c) prawdopodobie«stwo,»e suma wylosowanych liczb jest wi ksza ni» 1/2, je»eli mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza ni» 1/3. 3. Mamy dwie urny, A i B. W urnie A s 3 kule czarne i 7 kul biaªych, a w urnie B 6 kul czarnych i 4 kule biaªe. Wyci gamy 9 kul z urny A i wkªadamy je wszystkie do urny B. Nast pnie losujemy kul z urny B. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowana kula jest biaªa? b) Wiedz c,»e z urny B wylosowano kul biaª, obliczy prawdopodobie«stwo,»e w urnie A pozostaªa kula czarna. 4. W zbiorze 100 monet jedna po obu stronach ma orªy, pozostaªe za± s prawidªowe. W wyniku 10 rzutów losowo wybran monet otrzymali±my 10 orªów. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e byªa to moneta z orªami po obu stronach. 5. Imi Franek ma w Polsce okoªo 1,6% chªopców. W pewnej szkole uczy si 300 chªopców. a) Wyznaczy najbardziej prawdopodobn liczb Franków w tej szkole. b) Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e liczba Franków w tej szkole jest nie wi ksza ni» Liczba 2,5 jest dzielona w sposób losowy na dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y, np. na x = 2,03 i y = 0,47 lub na x = 2,5 3 i y = 3. Nast pnie ka»da z liczb jest zaokr glana do najbli»szej liczby caªkowitej, np. do 2 i 0 w pierwszym przykªadzie oraz do 1 i 2 w drugim. Oblicz a) prawdopodobie«stwo,»e suma tak otrzymanych zaokr gle«równa si 2, b) prawdopodobie«stwo,»e ró»nica tak otrzymanych zaokr gle«równa si 0, c) prawdopodobie«stwo,»e suma tak otrzymanych zaokr gle«równa si 2, je»eli ró»nica tak otrzymanych zaokr gle«jest równa rednio 20 m»czyzn na 100 i 15 kobiet na 100 ma grup krwi 0. Z grupy osób, w której jest 80 m»czyzn i 70 kobiet wylosowano jedn osob. Okazaªo si,»e ma ona krew grupy 0. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to kobieta? 8. Test na kart rowerow skªada si z 10 pyta«. Do ka»dego z pyta«s 3 odpowiedzi, przy czym dokªadnie jedna jest poprawna. Aby zaliczy test, nale»y zaznaczy co najmniej 8 prawidªowych odpowiedzi. Adam si myli ±rednio w 2 tego typu pytaniach na 10. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e Adam zda ten egzamin. 15

16 16 9. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w paczce igieª dziewiarskich zawieraj cej 1000 sztuk znajduj si co najwy»ej 2 igªy wybrakowane, je±li wiadomo,»e przeci tna liczba braków wynosi 0,6%. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wybrakowanych igieª? 10. Dane s P(A) = 1/4, P(B) = 3/4, A B =. Uporz dkowa rosn co P(A B), P(A B) i P(A B ). 11. Dane s P(A B ) = 1/2, P(A ) = 2/3, P(A B) = 1/4. Uporz dkowa rosn co P(A B), P(A B) i P(A B ). 12. Czterej gracze dostali po 13 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) gracz N nie posiada pików? b) gracz S posiada 8 pików? c) gracz N nie posiada pików, je»eli gracz S posiada 8 pików? 13. Czterej gracze dostali po 13 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) gracz S nie posiada»adnego asa? b) gracze W, N i S posiada po przynajmniej jednym asie? c) gracze W, N i S posiada po przynajmniej jednym asie, je»eli gracz N nie posiada»adnego asa? 14. Koszykarze ze szkoªy sportowej trafiaj do kosza z prawdopodobie«stwem p = 0,99, a koszykarze ze zwykªej szkoªy z prawdopodobie«stwem p = 0,8. Z grupy 100 uczniów, w±ród których byªo 15 koszykarzy ze szkoªy sportowej, wylosowano jednego, który rzuciª kolejno dwa razy do kosza. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) wylosowany ucze«trafiª do kosza za pierwszym razem? b) wylosowany ucze«trafiª do kosza za drugim razem? c) wylosowany ucze«trafiª do kosza za drugim razem, je»eli trafiª do kosza za pierwszym razem? 15. Na odcinku AB o dªugo±ci 30 cm umieszczono losowo dwa punkty L i M. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) odcinek LM ma dªugo± wi ksz ni» 1/3? b) odcinek LA ma dªugo± wi ksz ni» 1/3? c) odcinek LM ma dªugo± wi ksz ni» 1/3, je»eli odcinek LA ma dªugo± wi ksz ni» 1/3? 16. Studentka A powiedziaªa studentowi B,»e przyjdzie do ustalonej kawiarni mi dzy 20:00 a 21:00 i b dzie tam przez 15 minut. Student B powiedziaª studentce B,»e uczyni to samo, tj.»e przyjdzie do tej kawiarni mi dzy 20:00 a 21:00 i b dzie tam przez 15 minut. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) dojdzie do spotkania studentki A ze studentem B? b) student B b dzie w kawiarni o godzinie 20:10? c) dojdzie do spotkania studentki A ze studentem B, je»eli student B b dzie w kawiarni o godzinie 20:10?

17 17. Rzucamy 3 kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) na wszystkich kostkach wypadªa ta sama liczba oczek? b) na przynajmniej dwóch kostkach wypadªa ta sama liczba oczek? c) na wszystkich kostkach wypadªa ta sama liczba oczek, je»eli przynajmniej dwóch kostkach wypadªa ta sama liczba oczek? 18. Prawdopodobie«stwo trafienia do celu z karabinu z celownikiem laserowym wynosi 0,95, a z karabinu bez celownika laserowego 0,8. Ze skrzyni, w której byªy 4 karabiny z celownikiem laserowym i 6 karabinów bez takiego celownika wybrano losowo jeden karabin i oddano celny strzaª do tarczy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowany karabin posiadaª celownik laserowy? 19. Drog obok stacji benzynowej firmy Bracia J. sp. z o.o. przeje»d»a ±rednio dwa razy wi cej samochodów osobowych ni» ci»arowych. Na stacji tankuje paliwo ±rednio co dziesi ty samochód osobowy i co pi ty samochód ci»arowy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e samochód, który przed chwil zatankowaª, byª osobowy? 20. Uszkodzeniu ulegªy dokªadnie dwa spo±ród czterech niezale»nie dziaªaj cych bezpieczników. Dla i {1, 2, 3, 4} niech p i oznacza prawdopodobie«stwo przepalenia i-tego bezpiecznika. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e uszkodzeniu ulegª bezpiecznik #1, je»eli p 1 = 0,1, p 2 = 0,2, p 3 = 0,3 i p 4 = 0, Rzucono 2 symetryczne kostki do gry, czerwon i zielon. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) suma oczek wynosi 3? b) na zielonej kostce wypadªy 2 oczka? c) na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka? d) suma oczek wynosi 3, je»eli na zielonej kostce wypadªy 2 oczka? e) na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka, je»eli na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka? 22. Egzamin skªada si z 3 pyta«testowych z k = 3 odpowiedziami do wyboru. Aby zda egzamin nale»y odpowiedzie poprawnie na przynajmniej dwa pytania. Student dobry zna odpowied¹ na ka»de pytanie z prawdopodobie«stwem p = 0,9, a student sªaby strzela i trafia z prawdopodobie«stwem 1/k. Z grupy m = 30 studentów, w±ród których byªo n = 5 dobrych studentów, wylosowano jednego, który zdaª egzamin. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e byª to dobry student? 23. Z talii n = 52 kart wylosowano k = 5 kart (zakªadamy,»e w talii jest tyle samo kart w ka»dym kolorze oraz 2 k n/2). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) wylosowano dokªadnie dwa kiery? b) wylosowano przynajmniej dwa kiery? c) w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani pików? d) wylosowano dokªadnie dwa kiery, je»eli w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani pików? e) wylosowano przynajmniej dwa kiery, je»eli w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani pików? 17

18 W szkole jest n = 730 uczniów urodzonych w 2004 roku. Zakªadaj c,»e prawdopodobie«stwo urodzenia si ka»dego dnia w ustalonym roku jest jednakowe, wyznaczy a) prawdopodobie«stwo,»e trzech uczniów urodziªo si 29 lutego 2004 roku, b) najbardziej prawdopodobn liczb uczniów urodzonych 29 lutego 2004 roku. 25. W urnie znajduje si m = 5 kul czarnych i n = 7 kul czerwonych. Losujemy z urny jedn kul i rzucamy kostk, po czym je»eli wypadnie mniej ni» 5 oczek, to wylosowan kul wrzucamy z powrotem do urny. Na koniec losujemy drug kul, która okazaªa si czarna. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyrzucili±my mniej ni» 5 oczek? 26. W urnie #1 znajduje si m = 5 kul czarnych i n = 7 kul czerwonych, a w urnie #2 k = 6 kul czarnych i dwie kule czerwone. Losujemy z urny #1 jedn kul i wrzucamy j do urny #2. Na koniec losujemy z urny #2 jedn kul, która okazaªa si czarna. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e z urny #1 tak»e wylosowali±my kul czarn? 27. Na przyj cie organizowane przez znanego celebryt Wªodzimierza L. przyszªo n = 20 osób. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a) w±ród przybyªych przynajmniej dwie urodziªy si pod tym samym znakiem Zodiaku? b) przynajmniej dwu osobom spo±ród przybyªych patronuje to samo zwierz i ten sam»ywioª horoskopu chi«skiego? c) w±ród przybyªych przynajmniej jedna osoba urodziªa si pod tym samym znakiem Zodiaku, co gospodarz? d) przynajmniej jednej osobie spo±ród przybyªych patronuje to samo zwierz i ten sam»ywioª horoskopu chi«skiego, co gospodarzowi? (Zakªadamy,»e prawdopodobie«stwo urodzenia pod ka»dym ze znaków Zodiaku/horoskopu chi«skiego jest takie samo.)