Fizyka cząstek elementarnych. Tadeusz Lesiak

Transkrypt

1 Fizyka cząstek elementarnych Tadeusz Lesiak 1

2 WYKŁAD III Rola symetrii w fizyce cząstek elementarnych T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 2

3 Rola symetrii w fizyce Symetria mnie uspokaja. Brak symetrii doprowadza mnie do szału. Yves Saint Laurent Pojęcie symetrii odgrywa centralną rolę we współczesnej fizyce symetria to najpotężniejsze narzędzie do badania natury; dotyczy to w szczególny sposób HEP. Układ fizyczny jest symetryczny (względem pewnej transformacji) jeśli pozostaje on taki sam po wykonaniu na nim owej transformacji (tzn. jeśli przed i po transformacji, układ opisują te same prawa fizyki). Symetria: operacja po której przeprowadzeniu (przynajmniej myślowo) układ nie zmienia swojego stanu. Takie operacje tworzą grupę językiem symetrii jest teoria grup. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 3

4 Rola symetrii w fizyce Każda symetria przyrody prawo zachowania jakiejś wielkości (całki ruchu). Każda zachowana wielkość wskazuje na jakąś symetrię. Twierdzenie Noether (1918) - wyraża fundamentalny związek zasad zachowania z symetriami ciągłymi, występującymi w danym układzie: każda symetria jest równoważna pewnemu prawu zachowania, praw zachowania jest tyle, ile parametrów charakteryzuje grupę symetrii, istnieje prosty przepis matematyczny, pozwalający obliczyć całkę ruchu odpowiadającą danej symetrii. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 4

5 Symetrie w mechanice klasycznej Układ fizyczny, posiadający f stopni swobody jest opisywany przez lagranżjan L zależny od współrzędnych uogólnionych, prędkości uogólnionych oraz czasu t. Równania ruchu układu równania Eulera-Lagrange a: Rozważmy układ fizyczny wykazujący pewną symetrię tj. nie zmieniający w wyniku poddania go pewnej określonej transformacji. W takim przypadku lagranżjan układu jest taki sam przed i po transformacji. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 5

6 Symetrie w mechanice klasycznej Rozważmy lagranżjan: Ex 1. Rozważmy transformację odbicia w lustrze (względem osi x): Ex. 2. Rozważmy transformację translacji (względem osi x o wielkość a): T.Lesiak T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Metody 6 matematyczne fizyki

7 Symetrie w mechanice klasycznej Niemierzalność Absolutne współrzędne przestrzenne (jednorodność przestrzeni) Niezmienniczość (invariance) Translacje przestrzenne Zachowana wielkość (conservation law) Pęd (100%) Absolutny czas (jednorodność czasu) Translacja w czasie Energia (100%) Absolutny kierunek (izotropia przestrzeni) Obroty przestrzenne Kręt (moment pędu) (100%) Istnieją też symetrie nie zachowywane w 100% - czy to wciąż symetrie? TAK, to symetrie łamane przez dodatkowe zaburzenie (oddziaływanie). Niemierzalność często oznacza degenerację stanów fizycznych (np. w widmach atomowych lub widmach masy cząstek elementarnych ). Symetria = degeneracja T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 7

8 Symetrie w mechanice kwantowej Układ kwantowy opisuje jego funkcja falowa ψ(x,t) zależna od współrzędnych przestrzennych x i czasu t oraz hamiltonian H (operator hermitowski). Ewolucja w czasie układu jest opisywana przez równanie Schrödingera: Każdej obserwabli Q tj. mierzalnej wielkości fizycznej odpowiada operator liniowy hermitowski: Wynikiem pomiaru obserwabli Q może być jedynie jedna z jej wartości własnych. Dana obserwabla będzie wielkością zachowaną wtedy, gdy odpowiadający jej operator hermitowski komutuje z hamiltonianem kwantowy odpowiednik twierdzenia Noether: W takim wypadku Q i H mają wspólny zbiór funkcji własnych obie wielkości są jednocześnie mierzalne. Jeśli prawa fizyki kwantowej są niezmiennicze względem pewnej transformacji, to istnieje operator unitarny odpowiadający tej symetrii, który komutuje z hamiltonianem. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 8

9 Zachowanie liczb kwantowych Hamiltonian w pełnej postaci opisujący cztery fundamentalne oddziaływania cząstek elementarnych: H = H em +H silne + H słabe + Hgrawitacyjne Każdy z tych czterech członów hamiltonianu jest na ogół niezmienniczy względem różnych transformacji każde z oddziaływań fundamentalnych posiada inne symetrie. Najczęściej jeden (dwa człony) hamiltonianu są dominujące, a pozostałe jego części można traktować jako zaburzenie ( częściowe symetrie). Znajomość symetrii dla oddziaływań dominujących w danym procesie pozwala na znaczne uproszczenie jego opisu i/lub na podanie wielu przewidywań fizycznych. Doświadczalne wykrycie częściowego łamania symetrii skutkuje zazwyczaj uzupełnieniem hamiltonianu o jakieś zaburzenie. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 9

10 Dygresja o transformacjach Transformacje aktywne: - podlega im sam układ fizyczny, bardziej fizyczne. Transformacje pasywne: - zmiana opisu układu np. zmiana układu współrzędnych, - bardziej matematyczne. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 10

11 Dygresja o transformacjach 1. Transformacje czasoprzestrzenne translacje przestrzenne translacje czasowe Transformacje Poincare go obroty (np. obrotu względem osi z) pchnięcia Lorentza odbicia przestrzenne odbicia czasowe 2. Transformacje wewnętrzne związane z liczbami kwantowymi układu. np. operacja sprzężenia ładunkowego tj. zamiany cząstek na antycząstki. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 11

12 Rodzaje transformacji (symetrii) Ciągłe Elementy grupy transformacji są funkcjami ciągłych parametrów np. kąt obrotu. Można zdefiniować transformację infinitezymalną np. + d. Prowadzą do addytywnych zachowanych liczb kwantowych np. pęd, moment pędu, energia, ładunek elektryczny, liczba barionowa, liczby leptonowe... Translacja przestrzenna Obrót Dyskretne (inwersje): Każda transformacja (element grupy) jest numerowana indeksem, który przyjmuje wyłącznie wartości całkowite np. odbicia w czasie i przestrzeni. Brak transformacji infinitezymalnej. Prowadzą do multiplikatywnych zachowanych liczb kwantowych np. parzystość przestrzenna, parzystość ładunkowa... Odbicie przestrzenne T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 12

13 Rodzaje transformacji (symetrii) Abelowe (przemienne) Kolejność wykonywania operacji grupowej NIE MA znaczenia. Przykład: dwa kolejne obroty na płaszczyźnie. Nieabelowe (nieprzemienne) Kolejność wykonywania operacji grupowej MA znaczenie. Przykład: dwa kolejne obroty w przestrzeni (względem różnych osi obrotu). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 13

14 Dygresja o grupach Najważniejsze grupy symetrii w fizyce cząstek: O(n) grupa macierzy ortogonalnych O rzędu n (O T = O -1 ) SO(n) jak wyżej, ale dodatkowo det O = 1 U(n) grupa macierzy unitarnych U rzędu n (U + = U -1 ) SU(n) jak wyżej, ale dodatkowo det U = 1 Najważniejsze grupy symetrii w fizyce cząstek: U(1) - grupa cechowania w elektrodynamice kwantowej (QED); abelowa; symetria = zachowanie ładunku. SO(3) grupa obrotów w przestrzeni 3D, abelowa; symetria =zachowanie pędu. SU(2) grupa obrotów w przestrzeni izospinu; nieabelowa; symetria = zachowanie izospinu w oddziaływaniach silnych. SU(3) zapach grupa obrotów w przestrzeni zapachów kwarków u,d,s; nieabelowa; symetria oddziaływań silnych dla trzech lekkich kwarków; sygnatura multiplety hadronów. SU(3) kolor grupa obrotów w abstrakcyjnej przestrzeni koloru (3D); symetria oddziaływań kwarków i gluonów względem zamiany koloru. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 14

15 Moment pędu i spin Analogia klasyczna z naszą Ziemią: posiada ona w swoim ruchu dwa rodzaje momentu pędu: orbitalny związany z rocznym obrotem wokół Słońca i spinowy od dziennej rotacji wokół osi północ-południe Goldsmith i Uhlenbeck: każda cząstka mikroświata niesie wewnętrzny moment pędu; dotyczy to elementarnych cząstek punktowych nie jest to obrót jakichś części składowych wokół osi. Spin przypomina kręt (ten sam formalizm w języku teorii grup) ale jest efektem czysto kwantowo mechanicznym. Przypomnienie: moment pędu w mechanice kwantowej. Klasycznie i mamy swobodę jednoczesnego pomiaru wszystkich trzech składowych z dowolną dokładnością; składowe są liczbami rzeczywistymi i zmieniają się w sposób ciągły. Mechanika kwantowa: z jej zasad wynika, że jest niemożliwe jednoczesne zmierzenie trzech składowych krętu (nie komutują one ze sobą); dowolny pomiar jednej składowej np. L x zmienia pozostałe L y i L z w sposób całkowicie nieprzewidywalny. Można jednocześnie uzyskać informację o L 2 oraz o jednej składowej np. L z. Co więcej takie pomiary mogą dać w wyniku jedynie pewne dozwolone całkowite lub połówkowe wartości. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 15

16 Moment pędu i spin Pomiar L 2 daje zawsze:, gdzie l=0,1,2,3 Dla danej wartości l, pomiar L z daje, gdzie m l jest liczbą całkowitą z zakresu [-l,l] - w sumie (2l+1) wartości m l = -l, -l+1, -1,0,1, l-1, l. Ex l=2; wektor krętu nigdy nie jest skierowany dokładnie wzdłuż osi z. Dla spinu ta sama historia: L S, l s, m l m s. Różnica: fermiony: bozony: Często interesuje nas odpowiedź na pytanie np. ile wynosi całkowity spin układu dwóch lub więcej cząstek, albo jaka jest suma spinu i krętu dla danej cząstki (ogólnie suma dwóch krętów dodawanie spinów istnieją ściśle określone reguły ich dodawania (współczynniki Clebscha-Gordana). Spin cząstki można często wyznaczyć badając rozkłady kątowe produktów jej rozpadu. Grupa symetrii spinu =SU(2), obroty na płaszczyźnie zespolonej, grupa ciągła spin addytywny. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 16

17 Skrętność i chiralność Skrętność (ang. helicity) to znormalizowana wartość rzutu spinu cząstki (s) na kierunek jej pędu (p); wartość skrętności = wartość własna operatora: Z równania Diraca wynika, iż dla cząstek bezmasowych skrętność wynosi: Relacja ta jest także w dobrym przybliżeniu spełniona dla cząstek ultra relatywistycznych. Lewoskrętne neutrino Prawoskrętne antyneutrino Chiralność (ang. chirality) wartość własna operatora chiralności: Operatory rzutowe na stany o chiralności +1 (R, right-handed) i -1 (L, left-handed): Skrętność i chiralność to jedno i to samo jedynie dla cząstek bezmasowych. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 17

18 Parzystość przestrzenna (P) Pojęcie parzystości przestrzennej nie ma bezpośredniej analogii klasycznej. Rozważmy jednowymiarowe, niezależne od czasu, równanie Schrödingera: Wykonajmy na nim operację x -x (odbicie przestrzenne w 1D): Jeśli potencjał jest symetryczny wokół x =0 tzn.: Zarówno ψ(x) jak i ψ(-x) są rozwiązaniami równania Schrödingera. Można określić operację odbicia przestrzennego (1D): Zachodzi przy tym związek: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 18

19 Parzystość przestrzenna (P) Odbicie przestrzenne - operator parzystości P Wartości własne operatora parzystości: ±1 Odbicie przestrzenne = złożenie obrotu i odbicia w lustrze symetria zwierciadlana Odbicie w płaszczyźnie x-y Obrót wokół osi z Parzystość cząstki o wewnętrznej parzystości P w posiadającej orbitalny moment pędu l: Odbicie przestrzenne to operacja dyskretna. Parzystość jest multiplikatywną liczbą kwantową. Parzystość układu cząstek jest równa iloczynowi parzystości wewnętrznych cząstek tworzących układ oraz parzystości związanej z ruchem orbitalnym. P(wektor) = - wektor; P(pseudowektor) = pseudowektor T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 19

20 Parzystość przestrzenna (P) parzystość dla układu dwóch cząstek A i B o względnym kręcie orbitalnym l: Dla fermionów: P(cząstki) = - P(antycząstki) Dla bozonów: P(cząstki) = P(antycząstki) Konwencja: Parzystości pozostałych cząstek można określić z analizy rozkładów kątowych odpowiednich rozpadów np. Ważna charakterystyka cząstki: jej spin-parzystość: Dla mezonów: -pseudoskalar -skalar -pseudowektor -wektor -tensor T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 20

21 Izospin Neutron i proton są do siebie zadziwiająco podobne: m p =938.28MeV, m n =939.57MeV (m p -m n /m n 10-3 ). Dodatkowo: 1. rozpraszanie nukleon-nukleon własności zderzeń n-n można wydedukować z rozpraszania p-p po wyłączeniu z rachunków ładunku protonu. 2. Równoważność własności jąder lustrzanych. Heisenberg 1932: Neutron i proton można uważać za ten sam stan kwantowy (degeneracja) względem oddziaływań silnych. Stan ten lega niewielkiemu rozszczepieniu na dwa stany wskutek działania jakiegoś innego słabego oddziaływania łamiącego symetrię. Nukleon = proton lub neutron. Nukleon (degeneracja) jeśli uwzględniamy jedynie wpływ oddziaływania silnego. Proton lub neutron (utrata degeneracji) -po włączeniu elektromagnetyzmu. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 21

22 Izospin Heisenberg 1932r.: Ta obserwacja nowej symetrii przyrody prowadzi do wprowadzenie nowej liczby kwantowej izospinu (dziś zwanego czasem silnym izospinem). Izospin ma własności takie same jak spin czy moment pędu: algebra izospinu grupa SU(2) (różnica: spin i kręt dotyczą obrotów w zwykłej przestrzeni, a izospin w abstrakcyjnej). Izospin - wektor w abstrakcyjnej przestrzeni 3D o współrzędnych kartezjańskich I 1, I 2 i I 3. Oddziaływania silne są niezmiennicze względem obrotów w przestrzeni izospinu. Dwa operatory:. Cząstki oddziałujące silnie można opisać ich wartościami własnymi: Dla danego I Następny krok ( r.) odkrycie wielu grup (multipletów) nowych cząstek np T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 22

23 Izospin Niezmienniczość izospinowa została zaobserwowana także dla cząstek dziwnych Formuła Gell-Manna-Nishijimy: związek między ładunkiem elektrycznym (Q) cząstki, trzecią skłądową jej izospinu (I 3 ), liczbą barionową oraz dziwnością (S)): -hiperładunek Nukleon: izospin I = ½, proton: I 3 = ½, neutron: I 3 = -½. Praktyczna implementacja idei Heisenberga: nukleon (N) to spinor (wektor o dwóch składowych): Wtedy:. Symetria izospinu = swoboda wyboru kierunku (składowej z) w abstrakcyjnej przestrzeni izospinu. W szczególności obrót o kąt wokół wybranej osi w przestrzeni izospinu zamienia p na n i odwrotnie. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 23

24 Izospin Zachowanie izospinu w różnych oddziaływaniach oraz reguły komutacji z hamiltonianem tych sił: Silne: zachowują zarówno I jaki i I 3. Elektromagnetyczne: zachowują I 3 (sprzężenie do ładunku elektrycznego wyróżnia oś I 3 w przestrzeni izospinu), nie zachowują I (wartość ładunku pozwala na odróżnienie np. protonu i neutronu). Słabe: nie zachowują ani I, ani I 3. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 24

25 Izospin Współczesny punkt widzenia: ta symetria (degeneracja) jest skutkiem faktu, że masy kwarków u i d są prawie takie same: Z tej przybliżonej równości wynika PRZYPADKOWA symetria izospinowa oddziaływań silnych. Kwarki u i d to dwa stany tej samej cząstki: Pozostałe kwarki: Oddziaływania silne są niezmiennicze względem obrotów w abstrakcyjnej przestrzeni izospinu: Jak określić całkowity izospin I tot dla danego multipletu o liczebności I-składników? I tot = 2I+1 (tyle jest wartości składowej I 3 ) Przykłady: Symetria izospinu pozwala znaleźć związki między przekrojami czynnymi dla izospino podobnych reakcji np. (w zgodzie z danym doświadczalnymi) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 25

26 Sprzężenie ładunkowe (C) Zamiana cząstka <-> antycząstka (w tym samym stanie kwantowym). Nazwa jest myląca: m.in sprzężenie ładunkowe można zastosować do cząstek neutralnych np. C(neutron) = anty-neutron. C zmienia znak wszystkich wewnętrznych liczb kwantowych: ładunku, liczby barionowej, liczby leptonowej, dziwności, powabu, piękna, prawdy jednocześnie pozostawiając bez zmian masę, energię, kręt, spin C jest multiplikatywną liczbą kwantową. Podobnie jak dla P: C 2 =1 ALE większość cząstek NIE JEST stanami własnymi C. Przykład: π ± nie są stanami własnymi C. ALE: π 0 jest stanem własnym C. Stanami własnymi C są cząstki (układy cząstek) obojętne elektrycznie. Dla układu cząstka-antycząstka: (L-kręt, S-spin). Dla fotonu: C - zachowana w oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych, łamana w słabych. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 26

27 Parzystość G G to iloczyn operacji sprzężenia ładunkowego i obrotu o kąt w przestrzeni izospinu (wokół osi I 2 ): Taka konstrukcja dostarcza liczby kwantowej, podobnej do C, lecz określonej także dla cząstek naładowanych. Parzystość G jest zachowania w oddziaływaniach silnych. G jest określona dla mezonów, dla których zachodzi: S = C = B = 0. Dla multipletu o izospinie I: C-parzystość ładunkowa neutralnego składnika multipletu. np. dla pionu: C 0 =+1 0 => G = (-1) 1 x 1 = -1 G dla układu n-pionów: Zachowanie G w oddziaływaniach silnych procesy typu: parzysta nieparzysta ilość pionów (i odwrotnie) są wzbronione. Przykład reguły wyboru z wykorzystaniem G: mezon : C=-1, I=1 => G ρ = +1. Wynika stąd, iż ρ może rozpadać się do, ale nie do. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 27

28 CP, T i CPT Łamanie symetrii CP w oddziaływaniach słabych patrz dalsze wykłady Odbicie w czasie (T, time reversal): T to także zamiana stan początkowy końcowy Z operacją odbicia w czasie wiąże się w QM wiele subtelnych problemów Operator T musi być antyunitarny: U operator unitarny; K operator sprzężenia zespolonego. Jedynie tak zdefiniowana operacja nie zmienia równania Schrödingera. ALE wtedy musi zachodzić H musi być rzeczywisty. ALE funkcje falowe są na ogół zespolone nie mogą być one funkcjami własnymi T brak liczby kwantowej T odpowiednika P i C. Ważny test łamania T elektryczny moment dipolowy (EDM, electric dipole moment) elektronu i neutronu. Remenber: ALL particles are P SOME particles are C NONE particles are T EIGENSTATES Twierdzenie CPT: wszystkie oddziaływania elementarne są niezmiennicze względem złożenia trzech transformacji: sprzężenia ładunkowego (C), odbicia przestrzennego (P) oraz odbicia w czasie (T). Oddziaływanie musi być lokalne, niezmiennicze lorentzowsko oraz opisywane przez hermitowski hamiltonian. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 28

29 Dlaczego τ jest antyunitarny? U operator unitarny; K operator sprzężenia zespolonego. Rozważmy zależne od czasu równanie Schrödingera: Wykonajmy na nim operację: t -t : Brak niezmienniczości ALE wykonując dodatkowo operację sprzężenia zespolonego (-i i) Zarówno jak i są rozwiązaniami równania Schrödingera T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 29

30 Zachowanie ładunku elektrycznego Do zachowania ładunku elektrycznego przywykamy już w szkole (prawa Kirchhoffa); czy jest sens pytać o tak oczywistą cechę natury? Odpowiedź na to pytanie prowadzi do najgłębszych podstaw QFT Zachowanie ładunku: Testy doświadczalne np. rozpad e - e łamiący zachowanie ładunku; jego sygnaturą emisja promieniowania X w przejściach atomowych brak obserwacji Ładunek jest zachowany i to we wszystkich oddziaływaniach jaka stoi za tym symetria? Powtórka ze swobody cechowania (gauge) w klasycznym elektromagnetyzmie: Tensor pola elektromagnetycznego E i oraz B i są bezpośrednio mierzalne Wprowadźmy potencjały: skalarny φ i wektorowy A oraz czteropotencjał A μ = (φ,a). Wtedy zachodzi: Funkcja ma sens pola skalarnego; e stała sprzężenia oddziaływania Istnieje przy tym pewna swoboda zmian A bez zmiany F : T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 30

31 Symetrie cechowania: globalna i lokalna Swoboda cechowania w mechanice kwantowej oznacza, że faza funkcji falowej cząstki może być swobodnie modyfikowana, bez zmiany praw fizyki. Kwantowy elektromagnetyzm jest zatem symetryczny względem transformacji: Odpowiadająca takim przejściom cechowania grupa symetrii elektromagnetyzmu = U(1) WAŻNE: symetria cechowania może być GLOBALNA lub LOKALNA. GLOBALNA (albo PIERWSZEGO RODZAJU) gdy parametr transformacji =const (nie zależy od współrzędnych przestrzennych). LOKALNA (DRUGIEGO RODZAJU) gdy = (x) zmienia się od punktu do punktu Przykład symetrii globalnej: odpowiada ona niezmienniczości względem obrotu wszystkich punktów sfery o ten sam kąt względem arbitralnie dobranej osi. Wybór czerwonego południka jest tu zupełnie swobodny. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 31

32 Globalna symetria cechowania Rozważmy lagrangian swobodnego, relatywistycznego fermionu (elektronu) (~=c=1) Taki lagrangian prowadzi wprost do równania Diraca: pole elektronu; 4-spinor Diraca macierze 4x4 gamma Diraca m masa elektronu Zastosujmy do L globalną transformację cechowania: L jest niezmienniczy względem globalnej transformacji cechowania na mocy twierdzenia Noether musi być z tą symetrią związana jakaś zachowana liczba kwantowa (zgadnijcie jaka?) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 32

33 Globalna symetria cechowania Przyjrzyjmy się bliżej twierdzeniu Noether: Gęstość lagrangianu L = L(, / x ). Z każdą ciągłą, jednoparametrową transformacją symetrii lagrangianu jest związany zachowany prąd (równanie ciągłości): Wówczas można zdefiniować, zachowany w czasie, ogólny ładunek: Zastosujmy to teraz do elektromagnetyzmu: w klasycznym elektromagnetyzmie: u Diraca: gęstość ładunku elektronu Jeśli brak prądów j - Relatywistyczna gęstość prądu dla elektronu Dirakowski ładunek elektryczny = całka przestrzenna z zerowej składowej dirakowskiego zachowanego prądu (operator, jego wartości własne = ładunki) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 33

34 Lokalna symetria cechowania Wróćmy do naszej analogii ze sferą: Symetria globalna Symetria lokalna Dla symetrii lokalnej sfera zachowuje swój kształt ale teraz mamy swobodę obrotu w każdym punkcie dowolny kąt, niezależnie od pozostałych punktów sfery. o BARDZO WAŻNE: lokalna symetria może być spełniona jedynie w obecności SIŁ (ODDZIAŁYWAŃ). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 34

35 Lokalna symetria cechowania Rozważmy ten sam lagrangian w przypadku lokalnej symetrii cechowania teraz = (t,x) Stary lagrangian nie jest już niezmienniczy względem LOKALNEJ transformacji cechowania, jako że obecność pochodnej w L wprowadza dodatkowy człon: Jako fizycy-esteci chcielibyśmy mieć nadal zachowanie symetrii tym razem lokalnej Aby to osiągnąć trzeba rozszerzyć stary lagrangian o dodatkowy człon, który kasował by niszczący symetrię przyczynek od pochodnej To wymaga wprowadzenia nowego pola wektorowego A, dla którego postulujemy następujące własności względem transformacji cechowania: Pełna postać nowego, lokalnie niezmienniczego lagrangianu: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 35

36 Lokalna symetria cechowania Wprowadzenie pola A można rozumieć jako modyfikację definicji pochodnej: Pochodna pochodna kowariantna Wtedy Lagrangian: Sprawdźmy (pomijając człon kinetyczny) czy teraz spełniona jest lokalna symetria cechowania: bo: Lokalna symetria cechowania!!! T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 36

37 Podsumowanie: symetria cechowania Lokalna symetria cechowania jest zachowana za cenę wprowadzenia nowego pola wektorowego A Ta cena jest raczej wspaniałą nagrodą: pole A można utożsamić z fotonem kwantem oddziaływania elektromagnetycznego w QED Człon reprezentuje energię kinetyczną fotonu. Foton MUSI być bezmasowy. Aby mógł mieć masę trzeba by wprowadzić do lagrangianu człon który jawnie łamie symetrię cechowania Oddziaływanie foton-elektron ma strukturę prądu wektorowego: Zachowanie ładunku elektrycznego jest skutkiem GLOBALNEJ symetrii gauge Foton jest bezmasowy jako konsekwencja LOKALNEJ symetrii cechowania Lokalna symetria gauge to cud : można rotować fazy funkcji falowej w każdym punkcie dowolnie, a fizyka zostaje taka sama jak w OTW T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 37

38 Symetrie przypadkowe Symetrie cechowania stanowią podstawę nie tylko elektromagnetyzmu ale i dwóch innych oddziaływań: silnego i słabego patrz wykłady o tych oddziaływaniach. Istnieje jeszcze co najmniej pięć globalnych symetrii cechowania, które nazywamy przypadkowymi (accidental) w odróżnieniu od powyższych fundamentalnych : symetrie związane z liczbą leptonową (x4) symetria związana z liczbą barionową (x1). Symetrie fundamentalne: zależą od nich pewne aspekty przyrody oraz są mocno związane z jakąś teorią fizyczną w praktyce odpowiada im jakaś siła. Symetrie przypadkowe stanowią raczej matematyczny produkt uboczny danej teorii. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 38

39 Zachowanie liczby leptonowej Lagrangian modelu standardowego jest niezmienniczy względem globalnej symetrii cechowania (l pole leptonu): znów symetria U(1) dająca zachowany prąd: oraz całkę ruchu, ładunek, (zachowywaną liczbę kwantową) LICZBĘ LEPTONOWĄ: Prosta konwencja Wszystkie leptony: L= +1 Wszystkie antyleptony: L = -1 Wszystkie pozostałe cząstki L = 0 Liczba leptonowa jest zachowana we wszystkich trzech oddziaływaniach: słabym, silnym i elektromagnetycznym ALE PATRZ NIŻEJ. Tak naprawdę zachowane są aż 4 liczby leptonowe: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 39

40 Zachowanie liczby leptonowej L e, L, L oraz L tot = L e + L + L zachowana jest liczba leptonów z każdej z trzech generacji z osobna oraz ich suma. Przykłady: Te rozpady obserwowano w przyrodzie Rozpad nie obserwowany Br < 10-9 L tot zachowane L e,l łamane Od 2001 r. wiemy na pewno, że liczba leptonowa jest łamana obserwacja oscylacji neutrin x y, x, y = e,, patrz wykład dalsze wykłady To była pierwsza(e) z dwóch symetrii przypadkowych. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 40

41 Zachowanie liczby barionowej Lagrangian modelu standardowego jest niezmienniczy względem globalnej symetrii cechowania (q pole kwarku): znów symetria U(1) dająca zachowany prąd: Zachowywany ładunek = LICZBA BARIONOWA: 1/3 bierze się ze składu kwarkowego barionów B = (qqq) konwencja bariony: B= +1 antybariony: B = -1 Pozostałe cząstki B = 0 kwarki: B= +1/3 antykwarki: B = -1/3 Liczba barionowa jest zachowana we wszystkich trzech oddziaływaniach: słabym, silnym i elektromagnetycznym. W procesach fiz. zachowuje się różnica liczby kwarków i antykwarków. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 41

42 Zachowanie liczby barionowej Przykłady: Rozpady zachowujące B Rozpad nie zachowujący B Oddziaływanie silne Oddziaływanie słabe Proton jest najlżejszym barionem; jeśli B zachowana to nie może się w ogóle rozpadać na nic; jest wieczny Oddziaływanie elektromagnetyczne B musi(-ała) być łamana nasze istnienie tego dowodem Znów brak skojarzonego z zachowaniem B oddziaływania T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 42

43 Podsumowanie T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 43

44 Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 44