Formalizm skrajnych modeli reakcji

Transkrypt

1 Formalizm skrajnych modeli reakcji Reakcje wprost czyli reakcje bezpośredniego oddziaływania opisywane są w ramach formalizmu, który rozwiązuje równanie Schroedingera dla oddziałujących jąder atomowych w klasie specyficznie uproszczonych modelowych funkcji falowych Reakcje przez jądro złożone opisywane są bez rozwiązywania równania Schroedingera. Wykorzystują za to fakt osiągnięcia równowagi termodynamicznej przez jądro złożone i dzięki temu stosują rozważania statystyczne dla opisu deekscytacji jądra złożonego Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 1

2 Reakcje jądrowe wprost Modelowa funkcja falowa ma taką postać jak funkcja w obszarze kanałów (tj. poza obszarem oddziaływania): gdzie suma przebiega wszystkie otwarte kanały reakcji to wewnętrzna funkcja falowa a to funkcja ruchu względnego dwu produktów reakcji w kanale Normalizacja funkcji wewnętrznych (funkcje są ortogonalne gdy stany należą do tej samej partycji rozpraszanie) Fukcje wewnętrzne spełniają: Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 2

3 Formalizm reakcji wprost (2) Pełna funkcja falowa spełnia równanie gdzie wskaźnik pokazuje, który kanał jest kanałem wejściowym, tzn. zawiera falę padającą Pełny hamiltonian wyrażony we współrzędnych kanału to operator energii kinetycznej A to potencjał oddziaływania (zależy od współrz. wewnętrznych i od wsp.ruchu względnego) Wstawiając modelową f. falową do r. Schroedingera z pełnym hamiltonianem, mnożąc przez zespoloną funkcje falową danego kanału i całkując po wewn. wsp. dostajemy układ sprzężonych równań różniczkowo całkowych (Coupled Reaction Channels = CRC) Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 3

4 CRC = sprzężone kanały reakcji Równania CRC to równania na funkcje falowe ruchu względnego w poszczególnych kanałach Liczba otwartych kanałów oraz wielkość wyrazów sprzęgających decydują o stopniu komplikacji tego układu, np. gdy można zaniedbać sprzężenia to dostajemy niezależny opis ruchu dla różnych kanałów Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 4

5 Uproszczone wersje CRC Model optyczny (OM = Optical Model) to najprostsza wersja, gdy jest uwzględniony tylko 1 kanał (wejściowy tożsamy z wyjściowym). Pozostaje tylko jedno równanie z diagonalnym potencjałem, który przyjmuje zespolone wartości aby (efektywnie) uwzględnić możliwość znikania cząstek z kanału wejściowego. Model ten opisuje sprężyste rozpraszanie oraz podaje wielkość przekroju na absorpcję do wszystkich innych kanałów Model kanałów sprzężonych (CC = Coupled Channels) to model, w którym występują kanały reprezentujące tylko jedną partycję (czyli opisuje sprężyste i niesprężyste rozpraszanie a nie opisuje reakcji przegrupowania). Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 5

6 Uproszczone wersje CRC: 1-step DWBA Jednostopniowe przybliżenie Borna z falami zniekształconymi (DWBA = distorted wave Born approximation). Pozostają dwa równania; opisują one ruch w kanale wejściowym i wyjściowym, przy czym wyraz sprzęgający występuje tylko dla sprzężenia od kanału wejściowego do wyjściowego (a nie w kierunku przeciwnym) czyli traktowany jest jako małe zaburzenie. Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 6

7 Uproszczone wersje CRC: 2-step DWBA Dwustopniowe przybliżenie Borna z falami zniekształconymi (2 step DWBA). Pozostają 3 równania: dla stanu wejściowego, pośredniego i wyjściowego a sprzężenia występują tylko od kanału wejściowego do pośredniego i od pośredniego do wyjściowego więc traktowane są jako małe zaburzenia sprężystego rozpraszania. Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 7

8 Uproszczone wersje CRC: CCBA Coupled Channel Born Approximation (CCBA) to model, w którym reakcje przegrupowania liczone są w przybliżeniu Borna z falami zniekształconymi, obliczonymi w wyniku rozwiązania sprzężonych kanałów; sprężystego i niesprężystego rozpraszania w partycjach kanału wejściowego i wyjściowego Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 8

9 Rozwiązywanie równań CRC Numerycznie rozwiązujemy równania na funkcje falowe ruchu względnego poczynając od bardzo małych względnych odległości aż do asymptotycznie dużych, tzn. takich, że można zaniedbać silne oddziaływania Przyrównujemy numerycznie obliczoną funkcję falową do asymptotycznej funkcji falowej, która ma znaną postać: Dla cząstek nienaładowanych to fala płaska padająca plus kulista fala rozbieżna, Dla cząstek naładowanych te fale zastąpione są znanymi funkcjami kulombowskimi Obliczamy wartości obserwabli znając amplitudę fali rozbieżnej (zależną od kątów obserwacji), która zawiera pełną informację o reakcji Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 9

10 Amplituda rozpraszania Asymptotyczna postać funkcji falowej Amplituda rozpraszania zawiera pełną informację o dynamice procesu Dla cząstek ze spinem w reakcji przekrój czynny dla niespolaryzowanej wiązki i bez pomiaru polaryzacji produktów Gdzie i to prędkości w kanale wejściowym i wyjściowym, i to spiny w kanale wejściowym a to rzuty spinów w obu kanałach Dla cząstek bez spinu amplituda NIE zależy od kąta azymutalnego Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 10

11 Reakcje przez jądro złożone Obraz-analogia podany przez Nilsa Bohra: Jądro to pojemnik o idealnie sprężystych ścianach, w którym poruszają się sprężyste kulki nukleony (ruch Fermiego). Nukleony padającej cząstki oddają swoją energię i pęd wszystkim pozostałym dzięki czemu tworzy się stan równowagi termodynamicznej, w którym żaden nukleon nie ma wystarczającej energii aby uciec z pojemnika Energia i pęd nukleonów fluktuują aż zdarzy się taka sytuacja, że jeden lub kilka nukleonów otrzyma tak dużą energię iż będzie mógł opuścić pojemnik Procesy te odbywają się czysto statystycznie Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 11

12 Jądro złożone: przekrój czynny α β Całkowity przekrój na przejście przez jądro złożone z kanału α do kanału β może być zapisany (z czysto probabilistycznych rozważań) jako gdzie k α to pęd ruchu względnego w kanale wejściowym w układzie CM (w jednostkach ħ) T α to współczynnik transmisji ( 0 T α 1 ) czyli prawdopodobieństwo przejścia do kanału α z jądra złożonego (a także z kanału α do jądra złożonego) g α to czynnik statystyczny, który dla kanału wejściowego o spinie S zbudowanym ze spinów cząstek I oraz i wynosi Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 12

13 Jądro złożone: przekrój czynny α β c.d. Suma w mianowniku powyższego wzoru przebiega wszystkie otwarte kanały (uwzględniając wzbudzenia produktów) Współczynniki transmisji T liczone są na gruncie modelu optycznego (który pozwala określić przekrój na absorpcję) lub parametryzowane fenomenologicznie Podczas sumowania należy brać pod uwagę prawa zachowania całkowitego krętu i parzystości a więc np. kręt orbitalny i parzystość wewnętrzna cząstek w kanale wejściowym i wyjściowym (a także w jądrze złożonym) musi spełniać relację: Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 13

14 Jądro złożone, współczynniki transmisji Często zamiast modelowych współczynników transmisji używa się doświadczalnych przekrojów czynnych na reakcję z danego kanału do jądra złożonego (i na odwrót) Przy tym wykorzystuje się zasadę niezmienniczości silnych i elektromagnetycznych oddziaływań od odwrócenia czasu. Jest to tzw. Zasada równowagi szczegółowej Dla cząstek ze spinem jest ona prawdziwa tylko dla wyśredniowanych po rzutach spinów przekrojów Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 14

15 Jądro złożone przekroje różniczkowe Przekroje różniczkowe np. liczone są wg analogicznych wzorów ale należy dodatkowo uwzględniać współczynniki Clebscha-Gordana niezbędne przy składaniu spinów i krętu orbitalnego a więc wzory są bardziej skomplikowane Jeżeli układ złożony nie osiąga stanu równowagi termodynamicznej (czyli nie jest jądrem złożonym ) to nie można stosować tak prostych, statystycznych rozważań i tworzy się różnego rodzaju modele, np. tzw. modele transportu, które w sposób uproszczony usiłują symulować rozwijanie się kaskady zderzeń między nukleonami zapoczątkowanej przez padającą cząstkę Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 15