Zadania obliczeniowe, algorytmy i złoŝoność obliczeniowa

Transkrypt

1 Dr inŝ. Jerzy Mieścicki Instytut Informatyki PW Zadania obliczeniowe, algorytmy i złoŝoność obliczeniowa Wstęp do Informatyki, część 2

2 Od zadań obliczeniowych do systemów Zadania obliczeniowe Algorytmy Programy Systemy Zadanie 1 Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie Zadanie n Zadanie n Algorytm 2a Algorytm 2a Algorytm 2b Algorytm 2b Algorytm 2c Algorytm 2c Program A Program A Program B Program B Program C Program C Wykonanie programu B w systemie X Wykonanie programu B w systemie Y Wykonanie programu B w systemie Z Wstęp do Informatyki, część 2 2

3 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej Zapisy (records), umieszczone w przypadkowej kolejności zadany klucz Zadanie: Czy wśród N rekordów jest taki R(i), w którym zawartość wskazanego pola jest zgodna z zadanym kluczem, Jeśli tak odczytaj ten R(i), Jeśli nie napisz nie ma N Wstęp do Informatyki, część 2 3 i pole klucza

4 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej i... N Dowolne liczby całkowite, umieszczone w przypadkowej kolejności, w kolejno ponumerowanych komórkach 7 zadana liczba Zadanie: Czy jest wśród nich zadana liczba (np. 7 ), Jeśli tak wypisz numer komórki, Jeśli nie napisz nie ma Wstęp do Informatyki, część 2 4

5 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej start Dane: L[1:N] wektor liczb całkowitych, L(i) liczba na i-tej pozycji, N, K, i - liczby całkowite, K klucz, i indeks przeszukiwania. nie i := 0 i := i+1 i > N nie L(i)== K tak tak Pisz nie ma stop Pisz i stop Wstęp do Informatyki, część 2 5

6 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej start i := 0 i := i+1 Czynności jednorazowe (inicjalizacja, edycja wyników itp.) Czynności wykonywane wielokrotnie, (w najgorszym przypadku N razy) i > N nie tak Pisz nie ma stop nie L(i)== K tak Pisz i stop Wstęp do Informatyki, część 2 6

7 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej Czas wykonania N ZaleŜność czasu wykonania od rozmiaru danych (N) jest liniowa, Mówi się, Ŝe złoŝoność obliczeniowa (czasowa) jest O(N). Wstęp do Informatyki, część 2 7

8 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej - ulepszenie start start i := 0 Dopisz K jako L(N+1) i := i+1 i := 0 nie i > N nie L(i)== K tak tak Pisz nie ma stop Pisz i nie Pisz nie ma i := i+1 L(i)== K tak tak i > N nie stop stop stop Pisz i Wstęp do Informatyki, część 2 8

9 Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej Czas wykonania Alg. 1 Alg. 1a N W obu przypadkach zaleŝność czasu wykonania od rozmiaru danych (N) jest liniowa, Oba algorytmy mają taką samą złoŝoność obliczeniową: O(N). Wstęp do Informatyki, część 2 9

10 Przeszukiwanie listy uporządkowanej N=8 1 3 Liczby całkowite, umieszczone w kolejno ponumerowanych komórkach uporządkowane narastająco. Zadanie to samo: Czy jest wśród nich zadana liczba (np. 7 ), Jeśli tak wypisz numer komórki, Jeśli nie napisz nie ma Wstęp do Informatyki, część 2 10

11 Przeszukiwanie listy uporządkowanej N= Oba algorytmy przeszukiwania listy nieuporządkowanej działałyby równieŝ w tym przypadku, Ale tu moŝna zastosować lepszy pomysł: dzielenia na połowy. Wstęp do Informatyki, część 2 11

12 Przeszukiwanie listy uporządkowanej N= Niech np. zadana liczba K = 7 przygraniczna L(5) = 157 > K, więc nie ma czego szukać w dolnej połowie, Powtórzmy całe rozumowanie dla górnej połowy. Wstęp do Informatyki, część 2 12

13 Przeszukiwanie listy uporządkowanej Czas Dwukrotne zwiększenie N (np. z 8 do 16, z 16 do 32 itd.) dodaje jeden krok do algorytmu dzielenia na połowy, Algorytm ten ma więc złoŝoność O(log N). O(N) A O(log N) 0 1 N N* B O(log N) < O(N), poniewaŝ istnieje takie N*, Ŝe dla kaŝdego N > N* czas wykonania T A < T B,... choć dla pewnego zakresu N moŝe być odwrotnie Wstęp do Informatyki, część 2 13

14 Porównywanie grafów G 1 G Czy G 1 jest izomorficzny z G 2? Wstęp do Informatyki, część 2 14

15 Porównywanie grafów G 1 G Czy G 1 jest izomorficzny z G 2? Wstęp do Informatyki, część 2 15

16 Porównywanie grafów G od do Potrzebne jest porównanie dwóch takich tabel, Gdy N jest liczbą węzłów, liczba porównań jest proporcjonalna do N 2, Zatem złoŝoność O(N 2 ) 6 Wstęp do Informatyki, część 2 16

17 Problem komiwojaŝera (traveling salesman p.) P G W R Problem: znaleźć najkrótszą trasę od W z powrotem do W, odwiedzającą (jednokrotnie) wszystkie N=3 miasta. Inaczej: znaleźć najkrótszy cykl w zadanym grafie. Wstęp do Informatyki, część 2 17

18 Problem komiwojaŝera G W G P R P W R P R R P G R R G G P P G W W W W W W 6 tras do porównania Wstęp do Informatyki, część 2 18

19 Problem komiwojaŝera G Najkrótsza: WGPRW (lub WRPGW) ma 1529 km, NajdłuŜsza: WGRPW (lub WPRGW) ma 1817 km. P W R Wstęp do Informatyki, część 2 19

20 Problem komiwojaŝera Dla N = 4: W G P R P R G R G P W W W W W W 4*3*2*1 = N! = 24 trasy do porównania Wstęp do Informatyki, część 2 20

21 Problem komiwojaŝera ZłoŜoność obliczeniowa O(N!), Ogromna liczba stosunkowo prostych obliczeń, ZałóŜmy dla wsparcia wyobraźni, Ŝe pewien komputer wylicza i porównuje 10 6 tras na sekundę. 1 doba = s, 1 rok = s, Przy tym załoŝeniu: Wstęp do Informatyki, część 2 21

22 Problem komiwojaŝera N Czas s 0.36 s 3.6 s 8 min > 1 doba > 2 tygodnie ~ 11 lat ~ 200 lat lat Eksplozja wykładnicza Wstęp do Informatyki, część 2 22

23 Program, ale czy algorytm? X liczba całkowita większa od zera; begin; while ~ (X = = 1); if X parzyste then X := X/2 eiseif X nieparzyste then X:= 3*X+1; endif; endwhile; begin Wprowadź X tak X==1 nie X parzyste tak nie X:=X/2 X:=3X+1 end end; Wstęp do Informatyki, część 2 23

24 Superprogram oceniający własność stopu? start Dowolny program P Wczytaj P MoŜna udowodnić, Ŝe zadanie zbudowania programu określającego własność stopu dowolnego programu jest nierealizowalne. Stop 1 Tak, P ma własność stopu? Stop2 Nie, P nie ma własności stopu Wstęp do Informatyki, część 2 24

25 Klasy złoŝoności obliczeniowej (czasowej) Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej O(N), Przeszukiwanie listy uporządkowanej O(log N), Sortowanie O(N log N), Porównywanie grafów O(N 2 ) WieŜe Hanoi O(2 N ), Problem komiwojaŝera O(N!), Problem budowy uniwersalnego programu badającego własność stopu w ogóle nierozstrzygalny trudne obliczeniowo łatwe Nieobliczalne (nierozstrzygalne) ZłoŜoność wykładnicza O(k N ) O(N k ), złoŝoność wielomianowa lub lepsza Wstęp do Informatyki, część 2 25

26 Luka algorytmiczna łatwe trudne... O(k NN )... O(N!) O(2 N ) O(N 10 )... O(N 2 ) O(N) O(logN)... Dla pewnego problemu obliczeniowego: Znany algorytm Górne ograniczenie Luka algorytmiczna Dolne ograniczenie Formalny dowód (Ŝe nie moŝe być lepiej) Odkrywanie nowych algorytmów Nowe dowody matematyczne Wstęp do Informatyki, część 2 26

27 Problemy algorytmicznie zamknięte Jeśli luka algorytmiczna nie istnieje problem jest algorytmicznie zamknięty. Algorytmicznie zamknięte są na przykład: Przeszukiwanie listy nieuporządkowanej: udowodniono, Ŝe złoŝoność nie moŝe być lepsza, niŝ O(N), znany jest algorytm o złoŝoności O(N). Sortowanie, O(N logn)... Wstęp do Informatyki, część 2 27

28 Klasa problemów NP-zupełnych (NPC) trudne łatwe... O(k NN )... O(N!) O(2 N ) O(N 10 )... O(N 2 ) O(N) O(logN)... Górne ograniczenie Ogromna luka algorytmiczna NPC? Dolne ograniczenie nie znane Wstęp do Informatyki, część 2 28

29 Klasa problemów NPC NPC od Nondeterministically Polynomial Complete, KaŜdy problem jest (jako całość) obliczeniowo trudny, Rozwiązanie polega z zasady na wykonaniu ogromnej liczby łatwych obliczeń, kaŝde o wielomianowej (polynomial) złoŝoności O(N k ), Kolejność ich wykonywania nie jest określona (t.zn. jest niedeterministyczna); W zaleŝności od przypadku (lub szczęścia) rezultat moŝna otrzymać równie dobrze juŝ w pierwszym, jak dopiero w ostatnim kroku obliczeń, Wstęp do Informatyki, część 2 29

30 Klasa problemów NPC Klasa NPC jest zupełna (complete) w tym sensie, Ŝe naleŝące do niej problemy są wzajemnie powiązane za pomocą redukcji, znalezienie rozwiązania wielomianowego dla choćby jednego z problemów oznaczałoby wciągnięcie wszystkich problemów NP do klasy problemów łatwych (wielomianowych, P), i odwrotnie, udowodnienie dla choćby jednego problemu istnienia dolnej granicy powyŝej złoŝoności wielomianowej oznaczałoby wciągnięcie wszystkich problemów NP do klasy problemów trudnych, Czy NP = P? Wstęp do Informatyki, część 2 30

31 Przykłady problemów NP: problem plecakowy Plecak N rzeczy do zapakowania Zadanie: tak poukładać rzeczy w plecaku, Ŝeby zostało w nim jak najwięcej wolnego (niewykorzystanego) miejsca. Problem jest NP. Wstęp do Informatyki, część 2 31

32 Układanie rozkładu zajęć Plan tygodnia Wykłady, laboratoria, ćwiczenia do poukładania... plus kryterium (kryteria) celu... plus więzy (ograniczenia) Wstęp do Informatyki, część 2 32

33 Pojęcie redukcji Układanie rozkładu zajęć sprowadza się (redukuje się) do problemu plecakowego, Istnieje redukcja przekształcająca problem układania rozkładu zajęć w problem plecakowy. Redukcja A do B: Problem A Problem A Algorytm o złoŝoności O(N k ) przeliczający dane A na dane B cel A na cel B Problem B Problem B Wstęp do Informatyki, część 2 33

34 Przykłady problemów NP: kolorowanie mapy Dana jest mapa N państw oraz K kolorów, N > 1, K < N, Zadanie polega na stwierdzeniu (tak nie), czy daną mapę moŝna pokolorować K kolorami w taki sposób, by sąsiadujące państwa się zawsze róŝniły kolorem. Dla K = 1 rozwiązanie natychmiastowe (nie), Dla K = 2: Tak jedynie gdy w kaŝdym węźle zbiega się parzysta liczba krawędzi, Zatem złoŝoność O(N 2 ), Dla K = 4 rozwiązanie natychmiastowe (zawsze tak ), Dla K = 3 problem jest NP. Wstęp do Informatyki, część 2 34

35 Przykłady problemów NP: kolorowanie grafu 1? Dany jest graf o N wierzchołkach oraz K kolorów (K < N), Zadanie: rozstrzygnąć (tak-nie), czy da się pokolorować wierzchołki danego grafu tak, by Ŝadne dwa wierzchołki połączone krawędzią nie były tego samego koloru, Dla K>2 problem jest NP. Wstęp do Informatyki, część 2 35

36 Metody algorytmiczne Algorytmy zachłanne (greedy) Podział na pod-zadania ( divide and conquer ) Rozwiązywanie metodą top-down i bottom-up Algorytmy rekurencyjne Algorytmy iteracyjne Programowanie dynamiczne... Algorytmy heurystyczne Algorytmy probabilistyczne Algorytmy ewolucyjne i genetyczne Sieci neuronowe... Wstęp do Informatyki, część 2 36

37 Algorytmy zachłanne (greedy) P G W Zachłanne rozwiązanie problemu komiwojaŝera: Dla początku w W, rozwiązanie zachłanne jest takie samo, jak optymalne (1529 km) Dla początku w P, otrzymana ( zachłanna ) trasa ma 1642 km R (a najdłuŝsza trasa ma 1817 km) Wstęp do Informatyki, część 2 37

38 Dekompozycja na pod-zadania (divide and conquer) Zadanie A Zadanie A Top-down Pod-zadanie A1 Pod-zadanie A2 Pod-zadanie A1.1 Pod-zadanie A1.2 Bottom-up Wstęp do Informatyki, część 2 38

39 Rekurencja: sortowanie ze scalaniem (merge sort) Sortowanie: porządkowanie listy nieuporządkowanej, Najpierw: operacja scalania (merging) dwóch list uporządkowanych: G i M=merge(G, D) M=merge(G, D) D j M k Wstęp do Informatyki, część 2 39

40 Rekurencja: sortowanie ze scalaniem (merge sort) Function m = sort (lista); 1 Oblicz d = długość lista; Oblicz d = długość lista; nie d == 1 d == 1 tak Podziel lista na listad, listag; 2 3 D = sort (listad); G = sort (listag); 5 Zwróć m = lista; Zwróć m = lista; 4 Zwróć m = merge(d, G); Wstęp do Informatyki, część 2 40

41 Rekurencyjne wykonanie sortowania ze scalaniem 3, 1, 7, 5 1, 3, 5, 7... sort(3,1) sort(7,5) merge 3, 1 1, 3 7, 5 5, 7... sort(3) sort(1) merge... sort(5) sort(7) merge d=1 d=1 d=1 d=1 Wstęp do Informatyki, część 2 41

42 Rekurencyjne wykonanie sortowania ze scalaniem Wstęp do Informatyki, część 2 42

43 Zasada rekurencyjnego wykonania procedury (funkcji) Wstęp do Informatyki, część 2 43

44 Rozwiązywanie problemu komiwojaŝera metodą top-down śoliborz Grochów Centrum Ochota Gocławek Mokotów Wstęp do Informatyki, część 2 44

45 MoŜliwe heurystyczne rozwiązanie problemu komiwojaŝera G P W R B Znane rozwiązanie dla 4 miast, Dochodzi piąte (B) Podejście konserwatywne : jak najmniej zmian Wstęp do Informatyki, część 2 45

46 Przykładowe zadanie numeryczne g(x) Zadana złoŝona funkcja g(x), Trzeba obliczyć jej całkę (oznaczoną) w granicach [a, b]. g(x) a b x b H = g(x)dx a H(x) = g(x)dx Rozwiązanie klasyczne (analityczne): Wyznaczyć całkę nieoznaczoną Obliczyć H = H(b) H(a) Całkowanie przez części... przez podstawienie, Tablice całek nieoznaczonych Wstęp do Informatyki, część 2 itd 46

47 Przykładowe rozwiązanie zadania g(x) Zadana złoŝona funkcja g(x), Trzeba obliczyć jej całkę (oznaczoną) w granicach [a, b]. g(x) a b x b H = g(x)dx a Zdroworozsądkowe rozwiązanie numeryczne: Sumowanie prostokątów (lub trapezów) g(x i ) Wstęp do Informatyki, część 2 47 x i

48 Rozwiązanie probabilistyczne przykładowego zadania g(x) g(x) Zadana złoŝona funkcja g(x), Trzeba obliczyć jej całkę (oznaczoną) w granicach [a, b]. b H = g(x)dx a a b x L = Licznik punktów pod Rozwiązanie probabilistyczne (Monte Carlo): for i =1 : N; //(np. N = ); Wygeneruj losowo punkt (x i, y i ) z zaznaczonego prostokąta, if g(x i )>y i ; L:=L+1 ;endif; endfor; Równomiernie! H = L/N; (x i, y i ) Wstęp do Informatyki, część 2 48 y i x i g(x i )

49 Prosty system obsługi Klienci System obsługi Klienci Strumień zgłoszeń Strumień obsługi Kolejka Mechanizm obsługi Serwer Wiele moŝliwości zdefiniowania: Rozkładu czasu między zgłoszeniami Rozkładu czasu obsługi, Liczby elementarnych mechanizmów obsługi w serwerze, Liczby kolejek (plus ew. zasady priorytetu), Kolejek nieograniczonych/ograniczonych Strategii wyboru następnego z kolejki (FIFO, LIFO, RAND, priorytetowa, Teoria masowej obsługi (Queueing Theory) Wstęp do Informatyki, część 2 49

50 Sieć systemów obsługi Internista 40% Gabinet zabiegowy 20% 50% T1 80% T2 2xT3 50% 20% Kardiolog 40% 50% Apteka T4 100% T6 25% 75% 50% T5 5% 95% Wstęp do Informatyki, część 2 50

51 Rozkład wykładniczy 1 λ F(x)= 1-e -λt f(x) = λe -λt Np. często przyjmuje się, Ŝe czas pomiędzy chwilami przybycia (do systemu obsługi) kolejnych klientów jest zmienną o rozkładzie wykładniczym z intensywnością λ, Dla rozkładu wykładniczego wartość średnia = 1/ λ. Wstęp do Informatyki, część 2 51

52 Wstęp do Informatyki, część 2 52 Generowanie liczb (pseudo)losowych Początkowa dowolna liczba czterocyfrowa np (seed) = = = = Ciąg liczb pseudolosowych

53 Generowanie liczb (pseudo)losowych Zazwyczaj jest funkcja rand lub rand(seed), zwracająca po kaŝdym wywołaniu nową, kolejną liczbę losową z przedziału [0.1]; Np.... x = rand; y = rand;... Dałoby (x, y) = (0.6643, 0,1294), Liczby rand mają rozkład jednostajny w przedziale [0, 1], Ale powtórzenie obliczenia z tym samym seed daje dokładnie ten sam ciąg liczb pseudolosowych f(x) 0 1 Wstęp do Informatyki, część 2 53

54 Generowanie ciągu realizacji zmiennej o znanym rozkładzie rand 1 x F(t)= 1-e -0.4 t 0 t = [ln(1-x)]/(-0.4) t [godz] Wygenerować liczbę losową (x=rand) z przedziału [0, 1], Przeliczyć na wartość t wykorzystując funkcję odwrotną dystrybuanty. Wstęp do Informatyki, część 2 54

55 Zasada algorytmu ewolucyjnego (przykład) y 4 y t 1 t 2 t 3 t 4... t 10 Zadanie: Z pomiarów otrzymano zbiór np. 10 punktów (t i, y i ) sugerujących zaleŝność między zmiennymi t i y. Chcemy wyrazić tę zaleŝność w postaci funkcji y = f(t), Postulujemy, by ta funkcja była np. sumą trzech sinusoid i t stałej, Wstęp do Informatyki, część 2 55

56 Sinusoidy Amplituda y(t) = a*sin(w*t + p) Czas [s], zmienna niezaleŝna Pulsacja w = 2π*f [rd]; Częstotliwość f [1/s], [Hz]; Okres T=1/f [s]; Przesunięcie fazy p [rd] f v (t) = a 1 sin(w 1 t+ p 1 ) + a 2 sin(w 2 t+ p 2 ) + a 3 sin(w 3 t+ p 3 ) + c Chodzi więc o znalezienie takich numerycznych wartości dziesięciu współczynników: a 1, w 1, p 1, a 2, w 2, p 2..., c by przebieg funkcji y=f(t) jak najlepiej pasował do punktów pomiarowych Wstęp do Informatyki, część 2 56

57 Funkcja dostosowania v a w p a w p a w p c 2.4 Jakieś przypadkowe wartości y f v (t) = 1.2sin(3.7t+ 0.22) + 4.3sin(0.03t+ 4.5) sin(1.1t+ 3.3) Miara dostosowania dla wektora v: y 4 f v (x) φ(v)= (y i f v (t i ) ) 2 i t t 1 t 2 t 3 t 4... t 10 Wstęp do Informatyki, część 2 57

58 Zasada działania algorytmu ewolucyjnego Begin Utwórz populację początkową Utworzymy populację: całą grupę osobników, Populacja ta będzie podlegała cyklicznemu procesowi ewolucji, Jeden obieg pętli = jedno pokolenie Koniec? tak nie Edycja wyników Utwórz nową populację End Wstęp do Informatyki, część 2 58

59 Populacja początkowa Begin Utwórz populację początkową 1 Populacja P Np. 200 osobników, KaŜdy ma 10 genów : a 1, w 1, p 1,..., c,... o początkowo losowych wartościach (z dowolnie ustalonego przedziału) Wstęp do Informatyki, część 2 59

60 Wyliczanie funkcji dostosowania Begin Utwórz populację początkową Populacja P 0 Oblicz φ(v) φ 1 φ φ 3... Dla kaŝdego indywiduum v oblicza się jego wartość funkcji dostosowania φ(v) φ 200 Wstęp do Informatyki, część 2 60

61 Porządkowanie według wartości funkcji dostosowania Begin Utwórz populację początkową Oblicz φ(v) Sortuj wg φ(v) Najlepiej dostosowane Populacja P 0... Najmniejsze φ Porządkowanie np. rosnąco wg wartości funkcji dostosowania Najgorzej dostosowane Nowe uporządkowanie Największe φ Wstęp do Informatyki, część 2 61

62 Wyliczanie danych o populacji Begin Utwórz populację początkową Oblicz φ(v) Sortuj wg φ(v) Zbierz dane o populacji Populacja P 0... Według uznania, np. Najlepszy osobnik w populacji, Średni poziom dostosowania w populacji, Rozrzut dostosowania, Poprawa średniego dostosowania w stosunku do poprzedniego pokolenia, itd. Wstęp do Informatyki, część

63 Badanie warunku zakończenia Begin Utwórz populację początkową Oblicz φ(v) Sortuj wg φ(v) Zbierz dane o populacji tak Koniec? nie Wiele moŝliwych warunków zakończenia, np. Zadana maksymalna liczba pokoleń, Ograniczenie czasowe, Osiągnięcie zadowalającego najlepszego dostosowania, itd. Edycja wiadomo. Edycja wyników End Wstęp do Informatyki, część 2 63

64 Likwidacja gorzej dostosowanych Begin Utwórz populację początkową Populacja P 0 (uporządkowana wg φ) 1.. Oblicz φ(v) Sortuj wg φ(v) Zbierz dane o populacji 2 3 Próg przeŝycia (np. w połowie).... Koniec? tak nie Uśmierć gorszą część Nie przeŝyły, niestety Wstęp do Informatyki, część 2 64

65 RozmnaŜanie lepiej dostosowanych Begin Utwórz populację początkową 1 Uratowana część populacji P 0.. Oblicz φ(v) 2.. Sortuj wg φ(v) Zbierz dane o populacji tak Koniec? nie Uśmierć gorszą część Utwórz nową populację... zabiera się do produkowania potomstwa Dwa mechanizmy; KrzyŜowanie, Mutacja. Wstęp do Informatyki, część 2 65

66 KrzyŜowanie Losowo wybrana para rodziców... losowo wybraną połowę genów... przekazuje na krzyŝ dzieciom Dzieci dołączają do rodziców w nowej populacji. Wstęp do Informatyki, część 2 66

67 Mutacja Nowa populacja W nowej populacji...u stosunkowo niewielkiej liczby (np. 5%) losowo wybranych osobników... losowo wybrany gen... zostaje losowo zmieniony Wstęp do Informatyki, część 2 67

68 Zasada działania algorytmu ewolucyjnego Begin Utwórz populację początkową Oblicz φ(v) Sortuj wg φ(v) Zbierz dane o populacji tak Koniec? nie Uśmierć gorszą część Edycja wyników Populacja istotnie ewoluuje w kierunku coraz lepszego dostosowania, Jeden obieg pętli = jedno pokolenie, Mnóstwo moŝliwych modyfikacji na kaŝdym etapie algorytmu, Bardzo intrygujące implikacje światopoglądowe, Patrz np. portal Utwórz nową populację End Wstęp do Informatyki, część 2 68

69 Dwie sprawy wymagające wyjaśnienia: Czy obliczenie musi koniecznie przebiegać w jakichś krokach? JeŜeli juŝ istotnie przebiega krokowo, to jakie elementarne kroki są dopuszczalne? Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji, Obliczenia analogowe i cyfrowe. Model obliczeń sekwencyjnych, Maszyna Turinga, Hipoteza Churcha-Turinga, Wstęp do Informatyki, część 2 69

70 Dwie sprawy wymagające wyjaśnienia: Czy obliczenie musi koniecznie przebiegać w jakichś krokach? JeŜeli juŝ istotnie przebiega krokowo, to jakie elementarne kroki są dopuszczalne? Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji, Obliczenia analogowe i cyfrowe. Model obliczeń sekwencyjnych, Maszyna Turinga, Hipoteza Churcha-Turinga, Wstęp do Informatyki, część 2 70