PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE
|
|
- Zbigniew Chmielewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną liczbą kafelków w każdym z rodzajów, ale ich zestaw jest zadany) T Dla zestawu 1. - TAK T Dla zestawu 2. - NIE Zestaw 2:! M.Rawski Wstęp do Informatyki 1
2 PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE cd T Twierdzenie T Dla każdego algorytmu (zapisanego w dającym się efektywnie wykonać języku programowania), który byłby przeznaczony do rozstrzygania problemu domina, istnieje nieskończenie wiele dopuszczalnych zestawów danych wejściowych, dla których algorytm ten będzie działał w nieskończoność lub poda błędną odpowiedź. T Wniosek T Problem domina jest problemem nierozstrzygalnym M.Rawski Wstęp do Informatyki 2
3 PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE cd PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE (LUB NIEOBLICZALNE) W ogóle nie istnieją algorytmy PROBLEMY TRUDNO ROZWIĄZYWALNE Nie istnieją wielomianowe algorytmy PROBLEMY ŁATWO ROZWIĄZYWALNE Istnieją rozsądne (wielomianowe) algorytmy nieograniczoność liczby przypadków do sprawdzenia nie jest dostatecznym warunkiem nierozstrzygalności problemu! jeśli nierozstrzygalność się pojawia, to wynika z natury problemu i jest często sprzeczna z intuicją M.Rawski Wstęp do Informatyki 3
4 Problem węża domino T Czy dysponując skończonym zbiorem typów kafelków można połączyć dwa dane punkty nieskończonej siatki całkowitoliczbowej wężem domino? T Jeżeli postawimy problem węża domino na pewnym obszarze R, to: dla R ograniczonego problem jest oczywiście rozstrzygalny dla R będącego całą płaszczyzną problem jest rozstrzygalny dla R będącego półpłaszczyzną problem jest nierozstrzygalny X Y M.Rawski Wstęp do Informatyki 4
5 Problem stopu w algorytmie Mając jako dane wejściowe tekst poprawnego programu zapisanego w pewnym języku, sprawdzić(tzn. zbudować algorytm, który by sprawdzał), czy program zatrzyma się dla pewnych dopuszczalnych dla niego danych. T X N T Algorytm 1 T 1.dopóki X 1 wykonuj X X -2 T 2. zatrzymaj obliczenia T X N T Algorytm 2 T T 1. dopóki X 1 wykonuj: T 1.1.dla X parzystego X X / 2 T 1.2. dla X nieparzystego X 3* X zatrzymaj obliczenia algorytm zatrzymuje się dla X nieparzystych nie zatrzymuje się dla X parzystych dla wszystkich sprawdzanych liczb algorytm zatrzymywał się nie udowodniono, że zatrzymuje się dla dowolnej liczby naturalnej M.Rawski Wstęp do Informatyki 5
6 Problem stopu w algorytmie cd T np. dla X = 7 generuje ciąg wartości: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 T program lub algorytm dopuszczalne dane R X czy program R zatrzymuje się dla danych X? czy istnieje taki program? TAK NIE T Problem stopu jest nierozstrzygalny. M.Rawski Wstęp do Informatyki 6
7 Odmiany problemu domina Czy podanym zestawem kafelków można pokryć obszar T zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? T = prostokąt C x N (tzw. problem ograniczony ze stałą szerokością) T = kwadrat N x N (tzw. problem ograniczony) T jest nieskończony (tzw. problem nieograniczony) T jest nieskończony i wskazany kafelek ma się powtórzyć nieskończenie wiele razy (tzw. problem okresowy) T Rodzaj problemu domina Status algorytmiczny ograniczony ze stałą szerokością łatwo rozwiązywalny ograniczony trudno rozwiązywalny nieograniczony nierozstrzygalny okresowy wysoce nierozstrzygalny M.Rawski Wstęp do Informatyki 7
8 Klasy problemów algorytmicznych Klasy problemów algorytmicznych WYSOCE NIEROZSTRZYGALNE NIEROZSTRZYGALNE TRUDNO ROZWIĄZYWALNE ŁATWO ROZWIĄZYWALNE PROBLEMY WYSOCE NIEROZSTRZYGALNE Nie można sprowadzić do tych, dla których nie istnieją algorytmy Teoria Praktyka PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE W ogóle nie istnieją algorytmy PROBLEMY TRUDNO ROZWIĄZYWALNE Nie istnieją rozsądne algorytmy PROBLEMY ŁATWO ROZWIĄZYWALNE Istnieją rozsądne (wielomianowe) algorytmy M.Rawski Wstęp do Informatyki 8
9 KOMPUTER PROSTY I UNIWERSALNY T Jak dalece można uprościć struktury danych? T Przykład tablicy dwuwymiarowej T Przykład drzewa * 45 * -3 * * 91 * 0 * 12 * * -15 * 11 * 17 N I F O R M A T Y K A I * * N * F * O * * R * M * A * T * * Y * K * A M.Rawski Wstęp do Informatyki 9
10 Linearyzacja struktur danych T Każdą strukturę danych da się zlinearyzować tzn. zapisać na jednowymiarowej taśmie # # # # T T Przyjmujemy najprostszy model pamięci: nieskończona jednowymiarowa taśma dopuszczalny zestaw symboli (alfabet), które mogą być zapisywane w komórkach taśmy pusta komórka oznaczana symbolem # M.Rawski Wstęp do Informatyki 10
11 KOMPUTER PROSTY I UNIWERSALNY T Jak dalece można uprościć struktury sterujące? T znajdowanie się procesora w określonym miejscu programu nazywamy jego stanem T przejście do innego miejsca (stanu) zależy od stanu aktualnego i od wartości pewnych jednostek danych stan aktualny symbole alfabetu a b c możliwe stany następne M.Rawski Wstęp do Informatyki 11
12 Maszyna Turinga pojedynczy symbol alfabetu STEROWANIE (diagram przejść pomiędzy stanami) głowica odczytująco -zapisująca Części składowe: skończony alfabet symboli (do zapisywania danych) # # # # nieskończona taśma skończony zbiór stanów, w których może znajdować się maszyna nieskończona taśma podzielona na komórki przechowujące pojedyncze symbole alfabetu krokowo poruszająca się głowica odcztująco-zapisująca diagram przejść miedzy stanami, który steruje głowicą tak, że zmiany następują po każdym jej zatrzymaniu stan początkowy i stany końcowe (elementy uzupełniające w diagramie przejść) M.Rawski Wstęp do Informatyki 12
13 Diagram przejść - graf skierowany T Podstawowe elementy diagramu przejść: stan (wierzchołek grafu) etykieta akcja przejście nazwa stanu a / b L T T T T T symbol alfabetu - wyzwalacz przejścia kierunek przesunięcia głowicy (L lub P) symbol alfabetu zapisywany w komórce maszyna jest deterministyczna tzn. z żadnego stanu nie wychodzi więcej niż jedno przejście z tym samym wyzwalaczem jeden ze stanów jest wyróżniony jako stan początkowy nazwa stanu stany, z których nie wychodzą żadne przejścia, nazywane są stanami końcowymi w stanie początkowym głowica jest ustawiona na pierwszej od lewej niepustej komórce taśmy nazwa stanu M.Rawski Wstęp do Informatyki 13
14 Wykrywanie polindromów T Przykład diagramu przejść dla maszyny Turinga ruch dla a # / # L test dla a a / # L b / b L a / # P b / b P a / a P b / b L a / a L # / # L # / # L zaznacz TAK NIE powrót b / # P b / b P a / a P # / # L a / a L b / # L ruch dla b # / # L test dla b # / # P M.Rawski Wstęp do Informatyki 14
15 Wykrywanie polindromów T Przykład działania maszyny Turinga # # a b b a # # # # # b b a # # # # # b b a # # # # # b b a # # M.Rawski Wstęp do Informatyki 15
16 TEZA CHURCHA-TURINGA T Maszyna Turinga: ma skończenie wiele stanów zapisuje po jednym symbolu na liniowej taśmie Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny! Teza CT M.Rawski Wstęp do Informatyki 16
17 Modele komputera uniwersalnego T Różne inne modele komputera uniwersalnego: rachunek lambda (Church) system produkcji dla symboli (Post) klasa funkcji rekurencyjnych (Kleen)... i wiele innych Wszystkie modele są równoważne w sensie klasy problemów algorytmicznych, które rozwiązują! M.Rawski Wstęp do Informatyki 17
18 Algorytm uniwersalny algorytm A T Konsekwencją tezy CT jest istnienie algorytmów uniwersalnych program P realizujący algorytm A napisany w uniwersalnym języku L 2 uniwersalny program U napisany w języku L 1 - symuluje wynik programu w języku L 2 na jego danych program P wykonaj program P na danych X wyniki (jeśli są) dane X można zbudować uniwersalną maszynę Turinga, która może symulować działanie dowolnej maszyny Turinga na dowolnych danych (trzeba opisać na taśmie zlinearyzowany diagram przejść, reprezentując każde przejście jako parę stanów z podaną etykietą przejścia) M.Rawski Wstęp do Informatyki 18
19 Algorytm uniwersalny T Rozwijając tezę CT można dojść do wniosku, że: T jeśli jakiś (szybki) komputer rozwiązuje pewien problem w czasie O(f(N)), to istnieje równoważna mu maszyna Turinga, która potrzebuje na rozwiązanie tego problemu nie więcej niż O(p(f(N))) czasu, dla pewnej ustalonej funkcji wielomianowej p T Zatem: klasa problemów obliczalnych (rozstrzygalnych) jest silna tj. niewrażliwa na zmianę modelu obliczeń lub języka zapisu algorytmu klasa problemów łatwo rozwiązywalnych P jest także silna (tzw. teza obliczania sekwencyjnego, czyli wykonywanego krok po kroku) klasa NP jest silna klasa problemów o wykładniczej złożoności czasowej jest silna klasa problemów o liniowej złożoności czasowej nie jest silna tzn. złożoność tych problemów może zależeć od przyjętego modelu obliczeń M.Rawski Wstęp do Informatyki 19
20 Klasy problemów P i NP - formalnie T Formalnie klasy problemów P i NP definiuje się w kategoriach obliczeń na maszynie Turinga: problemy z klasy P są rozwiązywalne przez zwykłe maszyny Turinga w czasie wielomianowym problemy z klasy NP są rozwiązywalne przez niedeterministyczne maszyny Turinga w czasie wielomianowym T Na mocy tezy CT wystarczyło by pokazać, że pewien problem NP-zupełny nie może być rozwiązany za pomocą maszyny Turinga w czasie krótszym niż wykładniczy, aby wykazać, że P NP. a / b P? a / b L przejście niedeterministyczne M.Rawski Wstęp do Informatyki 20
21 Obliczenia współbieżne rozwiązywanie problemu algorytmicznego za pomocą współpracujących ze sobą wielu procesorów wykorzystanie komputerów równoległych, składających się z wielu rozłącznych elementów przetwarzających modele obliczeń i przetwarzania informacji w środowiskach rozproszonych (sieci telekomunikacyjne, systemy rezerwacji biletów lotniczych, długoterminowe prognozy pogody wyznaczane równolegle w wielu centrach obliczeniowych) algorytm sekwencyjny algorytm równoległy X 3 Y 4 X 3 Y 4 2 kroki 1 krok X 3 Y X X 3 Y X M.Rawski Wstęp do Informatyki 21
22 Przykład sumowania zarobków w czasie logarytmicznym T Naturalny algorytm sekwencyjny o koszcie O(N): dodawanie N razy do sumy bieżącej T Algorytm równoległy o koszcie O(log N): krok 1 krok 2 krok log 2 N N/2 procesorów N/4 procesorów 1 procesor Σ Σ Σ Σ Σ Σ M.Rawski Wstęp do Informatyki 22
23 Obliczenia współbieżne T O szybkości algorytmów równoległych, oczywiście poza liczbą dostępnych procesorów, decydują także struktury danych i metody komunikacji! T W algorytmie sumowania N liczb: dla osiągnięcia redukcji z O(N) do O(log N) potrzebujemy N/2 procesorów mając do dyspozycji ustaloną liczbę procesorów poprawimy przetwarzanie tylko o stałą (np. 100 razy szybciej), ale nie o rząd wielkości uzyskanie poprawy rzędu wielkości wymaga rozszerzającej się równoległości tzn. liczba procesorów rośnie proporcjonalnie do N M.Rawski Wstęp do Informatyki 23
24 Sortowanie równoległe T Rozważmy sekwencyjny algorytm sortowania przez scalanie: T procedura sortuj-listę L; T jeśli L zawiera tylko jeden element, to jest posortowana; T w przeciwnym razie wykonaj co następuje: T podziel listę L na dwie połowy L 1 i L 2 ; T wywołaj sortuj-listę L 1 ; T wywołaj sortuj-listę L 2 ; T scal listy L 1 i L 2 w jedną posortowaną listę; T wróć do poziomu wywołania. T -złożoność czasowa O(N log N) M.Rawski Wstęp do Informatyki 24
25 Sortowanie równoległe T Rozważmy sekwencyjny algorytm sortowania przez scalanie: T procedura sortuj-listę L; T jeśli L zawiera tylko jeden element, to jest posortowana; T w przeciwnym razie wykonaj co następuje: T podziel listę L na dwie połowy L 1 i L 2 ; T wywołaj równocześnie równolegle-sortuj-listę L 1 i równoleglesortuj-listę L 2 ; T wróć do poziomu wywołania. M.Rawski Wstęp do Informatyki 25
26 Sortowanie równoległe -Analiza złożoności N/2 par scalanie w czasie 1 porównania N/4 par scalanie w czasie 3 porównań N/8 par scalanie w czasie 7 porównań para scalanie w czasie N - 1 porównań T zatem całkowita liczba porównań wyniesie: T ( N - 1 ) 2 N - liczba rzędu O(N) M.Rawski Wstęp do Informatyki 26
27 Złożoność iloczynowa T Złożoność iloczynowa: liczba procesorów czas złożoność rozmiaru algorytmu najlepsza złożoność iloczynowa nie będzie lepsza niż dolne ograniczenie sekwencyjnej złożoności problemu Rodzaj algorytmu Nazwa algorytmu Liczba procesorów (rozmiar) Czas (najgorszy przypadek) Iloczyn (rozmiar czas) sortowanie bąbelkowe 1 O(N 2 ) O(N 2 ) sekwencyjny sortowanie przez scalanie 1 O(N log N) O(N log N) równoległe sortowanie O(N) O(N) O(N 2 ) przez scalanie równoległy sieć sortująca parzystonieparzyście O(N (log N) 2 ) O((log N) 2 ) O(N (log N) 4 ) optymalna sieć sortująca O(N) O(log N) O(N log N) M.Rawski Wstęp do Informatyki 27
28 Co można, a czego nie T Co można, a czego nie można osiągnąć równoległością: T wiele problemów można rozwiązać szybciej niż sekwencyjnie T można niektóre problemy rozwiązywać szybciej nawet o rząd wielkości, jeśli da się zastosować rozszerzającą się równoległość T dla problemów nierozstrzygalnych nie da się skonstruować algorytmu równoległego - klasa problemów rozwiązywalnych jest niewrażliwa na dodanie równoległości T wszystkie problemy klasy NP mają rozwiązania równoległe znajdowane w czasie wielomianowym, ale T liczba procesorów potrzebnych do rozwiązania problemu NP-zupełnego w rozsądnym czasie rośnie wykładniczo T do końca nie wiadomo, czy problemy klasy NP są rzeczywiście trudno rozwiązywalne i trzeba szukać ratunku w równoległości T rzeczywiste komputery równoległe mają silne ograniczenia związane z przepustowością połączeń pomiędzy procesorami T nie wiadomo, czy można zastosować równoległość, nawet z niewielomianową liczbą procesorów, do rozwiązania w czasie wielomianowym problemu o udowodnionej sekwencyjnej złożoności wykładniczej M.Rawski Wstęp do Informatyki 28
Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Obliczenia współbieżne czyli zmiana założenia o sekwencyjnym działaniu procesora rozwiązywanie problemu algorytmicznego za pomocą współpracujących ze sobą wielu procesorów wykorzystanie komputerów równoległych,
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 10: Maszyny Turinga Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 29 kwietnia 2015 Plan Maszyny Turinga (Niedeterministyczna) maszyna Turinga M = (A, Q, q 0, F, T, B, δ) A
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga (Algorytmy Część III)
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III) wer. 9 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2018-12-18 08:22:34 +0100 Upraszczanie danych Komputery są coraz szybsze i sprawniejsze. Na potrzeby rozważań naukowych
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)
Bardziej szczegółowoEfektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Bardziej szczegółowoO ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA
O ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA ALGORYTM (objaśnienie ogólne) Algorytm Pojęcie o rodowodzie matematycznym, oznaczające współcześnie precyzyjny schemat mechanicznej lub maszynowej realizacji zadań określonego
Bardziej szczegółowoMASZYNA TURINGA UPRASZCZANIE DANYCH
MASZYNA TURINGA Maszyna Turinga jest prostym urządzeniem algorytmicznym, uderzająco prymitywnym w porównaniu z dzisiejszymi komputerami i językami programowania, a jednak na tyle silnym, że pozwala na
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki Maszyna Turinga
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga 2 3 4 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga,
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoAlan M. TURING. Matematyk u progu współczesnej informatyki
Alan M. TURING n=0 1 n! Matematyk u progu współczesnej informatyki Wykład 5. Alan Turing u progu współczesnej informatyki O co pytał Alan TURING? Czym jest algorytm? Czy wszystkie problemy da się rozwiązać
Bardziej szczegółowoStruktura danych. Sposób uporządkowania informacji w komputerze.
Struktura danych Sposób uporządkowania informacji w komputerze. Algorytm Skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Al-Khwarizmi perski matematyk
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Obliczeń
Wykład 2 Instytut Matematyki i Informatyki Akademia Jana Długosza w Częstochowie 10 stycznia 2009 Maszyna Turinga uwagi wstępne Maszyna Turinga (1936 r.) to jedno z najpiękniejszych i najbardziej intrygujacych
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
WYŻSZA SZKOŁA IFORMATYKI STOSOWAEJ I ZARZĄDZAIA Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa algorytmu wynika z liczby i rozmiaru struktur danych wykorzystywanych w algorytmie. Złożoność czasowa algorytmu
Bardziej szczegółowoModele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga Złożoność obliczeniowa
Maszyna Turinga Złożoność obliczeniowa Weryfikacja poprawności programu W celu uniezależnienia się od typu komputera służącego do realizowania obliczeń, musimy się posłużyć ogólnym abstrakcyjnym modelem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoO ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY
O ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY ALGORYTMICZNEJ Dwa pojęcia algorytmu (w informatyce) W sensie wąskim Algorytmem nazywa się każdy ogólny schemat procedury możliwej do wykonania przez uniwersalną maszynę
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoOdmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Odmiany maszyny Turinga 1 Uniwersalna maszyna Turinga Uniwersalna maszyna U nad alfabetem A k jest to maszyna definiująca funkcje: f U, n+1 = {((w(i 1, I 2,..., I n )),y) w - opis maszyny T za pomocą słowa,
Bardziej szczegółowoZLOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA - WYK. 2
ZLOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA - WYK. 2 1. Twierdzenie Sipsera: Dla dowolnej maszyny M działającej w pamięci S(n) istnieje maszyna M taka, że: L(M) = L(M ), M działa w pamięci S(n), M ma własność stopu. Dowód:
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM)
Maszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM) Alan Turing wybitny angielski matematyk, logik i kryptolog, jeden z najważniejszych twórców informatyki teoretycznej, któremu zawdzięczamy pojęcie maszyny Turinga
Bardziej szczegółowoDopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do maszyny Turinga
Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas
Bardziej szczegółowoObliczanie. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Obliczanie 1 Obliczanie Co to jest obliczanie? Czy wszystko można obliczyć? Czy to, co intuicyjnie uznajemy za obliczalne można obliczyć za pomocą mechanicznej procedury? 2 Czym jest obliczanie? Dawid
Bardziej szczegółowoTuring i jego maszyny
Turing Magdalena Lewandowska Politechnika Śląska, wydział MS, semestr VI 20 kwietnia 2016 1 Kim był Alan Turing? Biografia 2 3 Mrówka Langtona Bomba Turinga 4 Biografia Kim był Alan Turing? Biografia Alan
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Od maszyn Turinga do automatów komórkowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 03/03/2016 1 / 16 1 2 3 Krótka historia Znaczenie 2 / 16 Czego dowiedzieliśmy się
Bardziej szczegółowoZłożoność problemów. 1 ruch na sekundę czas wykonania ok lat 1 mln ruchów na sekundę czas wykonania ok.
Złożoność problemów Przykład - wieże Hanoi Problem jest zamknięty (dolne ograniczenie złożoności = złożoność algorytmu rekurencyjnego lub iteracyjnego) i ma złożoność O(2 N ). Mnisi tybetańscy podobno
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoTechnologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15
Technologie cyfrowe Artur Kalinowski Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Artur.Kalinowski@fuw.edu.pl Semestr letni 2014/2015 Zadanie algorytmiczne: wyszukiwanie dane wejściowe:
Bardziej szczegółowoO LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Najczęściej: a) liczby b) funkcje
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa. wykład 1
Złożoność obliczeniowa wykład 1 Dwa wykłady: wtorek / środa różnice niewielkie Sprawy organizacyjne wtorek: trochę szybciej, parę dodatkowych rzeczy dedykowana grupa ćw. M. Pilipczuka - ale śmiało mogą
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy łatwe i trudne Problemy łatwe to problemy rozwiązywalne w czasie wielomianowym. Problemy trudne to takie, których
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 3: Wprowadzenie do algorytmów i ich
Bardziej szczegółowoPoprawność algorytmów
Poprawność algorytmów Jeśli uważasz, że jakiś program komputerowy jest bezbłędny, to się mylisz - po prostu nie zauważyłeś jeszcze skutków błędu, który jest w nim zawarty. Jakie błędy można popełnić? Błędy
Bardziej szczegółowoZłożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys
Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384
Bardziej szczegółowoZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA DEFINICJA: NIEDETERMINISTYCZNA
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń czyli czego komputery zrobić nie mogą
Teoria obliczeń czyli czego komputery zrobić nie mogą Marek Zaionc Uniwersytet Jagielloński Materiały do wykładu: P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, North Holland 1989. J.H. Hopcroft, J.D. Ullman
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoProgramowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga Złożoność obliczeniowa
Zadania łatwe i trudne Złożoność obliczeniowa Zadania łatwe Sortowanie Szukanie pierwiastków wielomianów Szukanie maksimum funkcji ciągłej i różniczkowalnej Mnożenie macierzy Zadania trudne Szukanie maksimum
Bardziej szczegółowo3. Podaj elementy składowe jakie powinna uwzględniać definicja informatyki.
1. Podaj definicję informatyki. 2. W jaki sposób można definiować informatykę? 3. Podaj elementy składowe jakie powinna uwzględniać definicja informatyki. 4. Co to jest algorytm? 5. Podaj neumanowską architekturę
Bardziej szczegółowoOBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ
OBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ Dwa konteksty obliczalności OBLICZALNE i NIEOBLICZALNE problemy (kontekst informatyczny) liczby (kontekst matematyczny) Problem nieobliczalny jest to problem nierozwiązywalny
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych
Bardziej szczegółowoALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy
ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności
Bardziej szczegółowo10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Bardziej szczegółowoCzęść I. Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 1.1. (0 3)
Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Część I Zadanie 1.1. (0 3) 3 p. za prawidłową odpowiedź w trzech wierszach. 2 p. za prawidłową odpowiedź
Bardziej szczegółowoALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy
ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności
Bardziej szczegółowo1. Analiza algorytmów przypomnienie
1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
Bardziej szczegółowoModelowanie procesów współbieżnych
Modelowanie procesów współbieżnych dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Modelowanie... Literatura M.
Bardziej szczegółowoCo to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,
wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.
Bardziej szczegółowoZakładamy, że maszyna ma jeden stan akceptujacy.
Złożoność pamięciowa Rozważamy następujac a maszynę Turinga: 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Taśma wejściowa (read only) 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 Taśma robocza (read/write) 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Taśma wyjściowa (write only)
Bardziej szczegółowo2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Maszyna RAM. Schemat logiczny komputera. Maszyna RAM. RAM: szczegóły. Realizacja algorytmu przez komputer
Realizacja algorytmu przez komputer Wstęp do informatyki Wykład UniwersytetWrocławski 0 Tydzień temu: opis algorytmu w języku zrozumiałym dla człowieka: schemat blokowy, pseudokod. Dziś: schemat logiczny
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Zadanie 1. a) (0 2) Egzamin maturalny z informatyki CZĘŚĆ I Obszar standardów
Bardziej szczegółowo