Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia"

Transkrypt

1 Rachunek zdań 2.1 Podstawowe pojęcia Rachunek zdań to teoria zajmująca się formami wnioskowania zbudowanymi wyłącznie ze zmiennych zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych, będących pewnego rodzaju spójnikami zdaniowymi. Teoria ta stanowi zakładaną przez inne teorie logiczne - część logiki formalnej Proces formalizacji ogólnie pojmowanej teorii rozpoczyna się od formalizacji języka teorii. W tym celu ustala się zbiór symboli nazywanych alfabetem języka formalnego lub znakami pierwotnymi teorii zbiór reguł konstrukcji, które pozwalają w ściśle określony sposób konstruować ze znaków pierwotnych tzw. formuły, czyli wyraŝenia, którymi wolno w danej teorii operować. Wśród znaków pierwotnych wyróŝnia się: (a) stałe indywiduowe (w skrócie: stałe), czyli symbole oznaczające wszystkie pojęcia pierwotne formalizowanej teorii (b) zmienne indywiduowe (w skrócie: zmienne), czyli symbole oznaczające obiekty, którymi zajmuje się dana teoria (c) symbole funktorów zdaniotwórczych (koniunkcji, alternatywy,...) (d) nawiasy i przecinki, czyli symbole graficzne stosowane dla celów przejrzystego zapisywania i jednoznacznego odczytywania formuł. Z wymienionych w punktach (a), (b) i (d) znaków pierwotnych tworzy się tzw. formuły atomowe, które odpowiadają najprostszym funkcjom zdaniowym danej teorii. Z formuł atomowych tworzy się stosując znaki wymienione w punkcie (c) oraz reguły konstrukcji wszystkie formuły języka formalnego Konstruując język formalny nie odwołujemy się do jakiejkolwiek interpretacji jego symboli ani formuł. A skoro nie wymaga on rozumienia, moŝe być w pełni przyswojony przez maszynę (o ile alfabet języka jest skończony). Ujmując rzecz inaczej, język formalny moŝna utoŝsamić ze zbiorem jego dobrze zbudowanych formuł (zwanych w skrócie formułami). JeŜeli zbiór wszystkich formuł języka formalnego L jest identyczny ze zbiorem formuł języka formalnego L, to L jest tym samym językiem formalnym, co L ; w przeciwnym wypadku są to róŝne języki Formuła jest przedmiotem abstrakcyjnym. Egzemplarzem formuły jest znak lub ciąg znaków. Zbiór wszystkich dobrze zbudowanych formuł pewnego języka formalnego ustalony zostaje na mocy decyzji twórcy tego języka, który po prostu informuje, jakie przedmioty są formułami tego języka. Czyni to zazwyczaj przez podanie zbioru symboli (a więc alfabetu tego języka) oraz zbioru reguł konstrukcji, ustalających, które ciągi symboli naleŝących do alfabetu są dobrze zbudowanymi formułami tego języka.

2 Obydwa te zbiory muszą być określone bez jakiegokolwiek odwoływania się do interpretacji. W przeciwnym wypadku język nie jest językiem formalnym. Symbole podobnie jak formuły są przedmiotami abstrakcyjnymi. Egzemplarzem symbolu jest znak lub ciąg znaków Przykład. Język J określony jest jak następuje: Alfabet: 5 7; Formuły: KaŜdy skończony ciąg symboli z alfabetu zaczynający się symbolem 5 jest formułą. Przykłady formuł: 5 5 7; Natomiast 777 nie jest formułą Przykład. Język X określony jest jak następuje: Alfabet: a b c d e f g; Formuły: KaŜdy skończony ciąg symboli z alfabetu będący słowem polskim jest formułą. Nie jest to język formalny, gdyŝ definicja formuły w X odwołuje się w istocie do znaczenia, skoro słowem polskim jest tylko to co ma znaczenie z języku polskim Mając dany język formalny (nazywany teŝ językiem przedmiotowym) moŝemy (a) podać aparat dedukcyjny dla tego języka, oraz/lub (b) zdefiniować pojęcie interpretacji (semantyki) języka. W pierwszym przypadku znajdujemy się na gruncie teorii dowodu, w drugim na gruncie teorii modeli Aparat dedukcyjny tworzony jest przez wyodrębnienie ze zbioru formuł języka przedmiotowego pewnego podzbioru nazywanego aksjomatami, oraz przez określenie reguł wnioskowania (nazywanymi teŝ regułami inferencji lub dowodzenia), które pozwalają wyprowadzać jedne formuły z innych. Reguły wnioskowania wyznaczają relację bezpośredniej konsekwencji. Aparat dedukcyjny określany jest bez odwoływania się do jakiejkolwiek interpretacji języka. MoŜe się on składać z aksjomatów i reguł wnioskowania lub tylko z aksjomatów, lub tylko z reguł dowodzenia. Język formalny wraz z aparatem dedukcyjnym tworzą system formalny (teorię). Podstawowymi pojęciami teorii dowodu są pojęcia: dowodu formalnego, twierdzenia formalnego, derywacji formalnej, oraz konsekwencji syntaktycznej. Przykład. Dla języka J określonego w określmy regułę inferencji w następujący sposób: KaŜda formuła w J, której ostatnimi dwoma symbolami są kolejno 5 i 7 jest bezpośrednią konsekwencją w J dowolnej formuły w J, której 2

3 pierwszymi symbolami są 5 i 7. Nic poza tym nie jest bezpośrednią konsekwencją w J Ŝadnej formuły. (a) jest bezpośrednia konsekwencją w J z formuły 5777 (b) 57 jest bezpośrednia konsekwencją w J z formuły 57 (c) 5775 nie jest bezpośrednią konsekwencją w J z formuły 5775 (kończy się 75, a nie 57) (d) nie jest bezpośrednią konsekwencją w J z formuły (nie jest bowiem formułą w J) b) Problemami interpretacji języków formalnych, a więc problemami przypisywania znaczeń symbolom i formułom tych języków zajmuje się teoria modeli, nazywana teŝ semantyką logiczną. Do podstawowych pojęć tej teorii naleŝą pojęcia: prawdziwości dla danej interpretacji, poprawności logicznej oraz konsekwencji semantycznej. Przykład. Jedną z moŝliwych interpretacji jest przypisanie znakowi 5 tego samego znaczenia, które ma dziesiętna cyfra 0, a znakowi 7 znaczenia, które ma cyfra 1. Wtedy formuła 575 znaczyłaby tyle, co 010 w systemie dziesiętnym. Zinterpretowana formuła nie musi być zdaniem w sensie logicznym. MoŜe ona być jak wyŝej nazwą czegoś Teorię, której przedmiotem zainteresowania są systemy formalne oraz ich interpretacje nazywamy metamatyką. UŜywany na jej gruncie język, słuŝący do opisu języka formalnego, nosi nazwę metajęzyka (w naszym przypadku jest to język polski wzbogacony o pewne sztuczne symbole). Do najwaŝniejszych zagadnień, którymi zajmuje się metamatyka są: niesprzeczność, zupełność i rozstrzygalność. 2.2 Język formalny dla logiki zdań Do formalizacji języka logiki zdań, L, konieczne są: zmienne indywiduowe (w tym wypadku: zdaniowe) i funktory zdaniotwórcze W logice zdań interesują nas stwierdzenia, które mogą być prawdziwe lub fałszywe. Przez zdanie rozumiemy więc stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Np.: śnieg biały, cukier węglowodan. Zdania oznaczamy literami pisanymi kursywą: p, q, r,... i nazywanymi zmiennymi zdaniowymi. Innymi słowy: zmienna zdaniowa wskazuje wolne miejsce, które moŝe zostać wypełnione przez dowolne wyraŝenie naleŝące do kategorii zdań. Zmienne zdaniowe nazywane są teŝ formułami atomowymi, lub krócej: formułami Spójniki zdaniowe logiki zdań są podobne do pewnych spójników zdaniowych języka naturalnego, jeŝeli weźmie się pod uwagę jedynie ich rolę syntaktyczną. Rola ta polega na tworzeniu zdań złoŝonych z innych zdań (złoŝonych lub nie), tak jak jest to w przypadku spójników języka polskiego: i, lub, jeŝeli... to, itp a) Spójniki zdaniowe traktowane są w logice jako funktory 1 w funkcjach prawdziwościowych, tj. w takich funkcjach, których wartościami są prawda lub fałsz. Prawda 1 Symbol reprezentowany przez literę f w formule f(x) nazywamy funktorem. 3

4 i fałsz nazywane są wartościami (stałymi) logicznymi i zwykle oznaczane są, odpowiednio, symbolami 1 i 0; uŝywa się teŝ do tego celu symboli P i F lub V (verum) i F (falsum). Przykłady funkcji prawdziwościowych: T1 p p T2 p q p q Podane wyŝej tablice nazywane są tabelami prawdziwościowymi. MoŜna określić cztery funkcje prawdziwościowe 1-argumentowe i szesnaście 2- argumentowych. Tylko niektóre z nich są uŝywane w systemach logicznych. W logice zdań stosujemy pięć spójników:,,,, Definicja (reguły formowania). Zbiór formuł języka L 0 logiki zdań określamy następująco: (i) (ii) (iii) (iv) Atom jest formułą. JeŜeli p jest formułą to ( p) jest formułą. JeŜeli p i q są formułami, to formułami są takŝe (p q), (p q), (p q), (p q). Innych formuł nie ma Uwagi: Korzystając z tautologii logiki zdań (por. 2.4) warunek (iii) przyjmuje prostszą postać. Tworząc formuły logiczne moŝna obejść się bez nadmiarowych nawiasów porządkujemy malejąco waŝność operatorów,,,, i wymagamy, aby spójnik o większej randze miał większy zakres. Tak więc p q r oznacza (p (q r)) a p q r s oznacza (p (q (( r) s))). Niech p i q będą formułami i niech [p] i [q] oznaczają wartości logiczne tych formuł. Wówczas: (a) [ p] = 1 [p], (b) [p q] = min([p],[q]), (c) [p q] = max([p],[q]), (d) [p q] = [ p q], (e) [p q] = [(p q) (q p)] 2.3. Interpretacja formuł logiki zdań Niech formuła p składa się z n zmiennych q 1,..., q n. Interpretacją formuły p nazywamy dowolne przyporządkowanie wartości logicznych występującym w niej zmiennym, I = {[q 1 ],..., [q n ]} gdzie [q i ] {0, 1}, i = 1,...,n. Oznacza to, Ŝe p ma 2 n interpretacji. 4

5 Np. formuła p (q r) (s ( t)) składa się z czterech formuł atomowych q, r, s i t, co oznacza, Ŝe p ma 16 interpretacji Formuła p jest prawdziwa w interpretacji I wtw, gdy [p] = 1 w tej interpretacji, co oznaczamy [p] = I 1. JeŜeli [p] = I 0 to p jest fałszywa w interpretacji I. Inaczej: interpretacja I spełnia p, gdy p jest prawdziwa w I; równowaŝnie mówimy, Ŝe p jest spełnialna w I. Na odwrót, interpretacja I falsyfikuje p, gdy p jest fałszywa w I; równowaŝnie mówimy, Ŝe p jest falsyfikowalna w I. Np. formuła (p ( q)) jest spełnialna w I 1 = {p, q} i falsyfikowalna w I 2 = {p, q} Zbiór interpretacji spełniających formułę p nazywamy modelem formuły p. 2.4 Tautologie Formuła logiki zdań jest tautologią, jeŝeli ma wartość prawdy przy wszystkich interpretacjach, lub inaczej: to te formuły, które są prawdziwe we wszystkich moŝliwych światach (Leibniz). Dlatego moŝna powiedzieć, Ŝe tautologia nie przynosi Ŝadnej informacji o rzeczywistym świecie, gdyŝ daje się pogodzić z kaŝdym moŝliwym stanem rzeczy. Uwaga: JeŜeli formuła p ma wartość prawdy przy wszystkich interpretacjach języka L, nazywamy ją logicznie poprawną formułą w L i oznaczamy symbolem = L p. Np. = (p p), ale ( (p p)); podobnie, gdy p jest zmienną zdaniową to p. Przykład. RozwaŜmy formułę g ((p q) p) q. Matryca dla tej formuły ma postać p q (p q) ((p q) p) ((p q) p) q Formuła logiki zdań jest kontrtautologią, jeŝeli ma wartość fałszu przy wszystkich interpretacjach. Przykładem jest tu sprzeczność p p (Klasyfikacja formuł) Formuła p logiki zdań jest: spełniona, jeŝeli istnieje taka interpretacja I, Ŝe p jest prawdziwa w I falsyfikowalna, jeŝeli istnieje taka interpretacja I, Ŝe p jest fałszywa w I Przykłady tautologii modus ponendo ponens ((p q) p) q modus tolendo tolens ((p q) q) p prawa de Morgana (p q) = p q 5

6 (p q) = p q prawa kompozycji ((p q) r) (p r) ((p q) r) (q r) prawa pochłaniania p (p q) p p (p q) p prawa przemienności p q q p p q q p (p q) (q p) prawa rozdzielności p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) prawa symplifikacji (p q) p q (p q) q (p q) 2.5 Postacie normalne W świetle praw przemienności nawiasy w wyraŝeniach (p q) r lub (p q) r mogą być opuszczone. Ogólnie, moŝna bez obawy popełnienie błędu pisać p 1 p 2... p n, gdzie p i, i = 1,...,n są formułami. Formułę q p 1 p 2... p n nazywamy formułą dyzjunkcyjną (w skrócie: dyzjunkcją), a formułę q p 1 p 2... p n nazywamy formułą koniunkcyjną (w skrócie: koniunkcją). ZauwaŜmy, Ŝe porządek składników (czynników) formuły dyzjunkcyjnej (koniunkcyjnej) nie wpływa na jej wartość logiczną Literą (literałem) nazywamy atom lub negację atomu Formuła q stanowi koniunkcyjną postać normalną (KPN), gdy jest koniunkcją p 1 p 2... p n, gdzie kaŝdy czynnik p i ma kształt dyzjunkcji literałów Formułę będącą pojedynczą literą traktuje się jako alternatywę z jednym członem, jako Ŝe jest ona równowaŝna dyzjunkcji p p. Formuła będąca pojedynczą dyzjunkcją, np. p q uwaŝana jest za jednoczłonową koniunkcję, gdyŝ jest równowaŝna z (p q) (p q) Sprowadzenie formuły q do KPN pozwala rozstrzygnąć czy q jest, czy nie jest tautologią dzięki następującemu twierdzeniu. JeŜeli q jest w KPN, to q jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝdy jej czynnik zawiera jednocześnie jakąś zmienną i jej negację. Istotnie, koniunkcja p 1 p 2... p n jest tautologią wtw, gdy wszystkie jej czynniki są tautologiami. Gdy czynnik p i zawiera zmienną i jej negację, to stanowi prawdziwą alternatywę; jeŝeli natomiast Ŝadna taka para nie występuje w p i, alternatywa ta będzie przy pewnych interpretacjach fałszywa Aby sprowadzić dowolna formułę do KPN korzystamy z reguł zastępowania i reguł transformacji. Reguły zastępowania pozwalają wyeliminować symbole implikacji i równowaŝności: (Imp) p q wolno zastąpić przez p q, 6

7 (Rw) p q wolno zastąpić przez ( p q) ( q p) Reguły transformacji to: prawa de Morgana, prawa podwójnej negacji, łączności, przemienności, rozdzielności, itp Przykład. Sprowadzić do KPN formułę ((p q) p) q. KaŜdy wiersz w poniŝszym ciągu powstaje z poprzedniego przez zastosowanie reguły wymienionej w prawej kolumnie. ((p q) p) q (( p q) p) q (Imp) zastosowana dwa razy ( ( p q) p) q prawo de Morgana ((p q) p) q prawo de Morgana i podwójne przeczenie q ( p (p q)) przemienność q (( p p) ( p q)) rozdzielność (q ( p p)) (q ( p q)) rozdzielność (q ( p p)) ((q q) p) przemienność, łączność Formuła q stanowi alternatywną postać normalną (APN), gdy jest dyzjunkcją p 1 p 2... p n, gdzie kaŝdy składnik p i ma kształt koniunkcji literałów Formuła w APN jest logicznie fałszywa (jest kontrtautologią) wtw, gdy kaŝdy składnik zawiera jednocześnie jakąś zmienną i jej negację. Zatem procedura sprowadzania formuły do APN nadaje sie do wykazania fałszywości tej formuły. Tej samej metody moŝna uŝyć do wykazania, Ŝe formuła jest tautologią; wystarczy bowiem udowodnić fałszywość jej zaprzeczenia Przykład. RozwaŜmy formułę (p p). Jej zaprzeczenie ( (p p)), a więc p p, jest równowaŝne następującym formułom (p p) ( p p) (Rw), przemienność ((p p) p) ((p p) p) rozdzielność (p p) (p p) (p p) (p p) rozdzielność Ostatnie z tych formuł jest oczywiście sprzeczna, a zatem formuła (p p) jest tautologią Konsekwencja logiczna Przykład. ZałóŜmy, Ŝe kurs akcji spada, jeŝeli rosną stopy procentowe. JeŜeli kurs akcji spada to większość ludzi jest niezadowolona. Ze stwierdzeń tych moŝna wywnioskować, Ŝe jeŝeli rosną stopy procentowe to większość ludzi jest niezadowolona. Aby wykazać to stwierdzenie wprowadźmy zmienne p stawki procentowe rosną, q kurs akcji spada, r większość ludzi jest niezadowolona. Wypowiedziane wyŝej zdania mają postać: 7

8 1. p q 2. q r 3. p 4. r PokaŜmy, Ŝe (4) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy (1) (2) (3) prawdziwe. W tym celu przekształćmy (p q) (q r) (p) do KPN: (p q) (q r) (p) ( p q) ( q r) (p) (Imp) (p ( p q) ( q r)) przemienność (((p p) (p q)) ( q r)) rozdzielność (((p p) (p q q)) (p q r)) rozdzielność 0 0 (p q r) (p q r) Oznacza to, Ŝe jeŝeli formuła (p q) (q r) p jest prawdziwa, to prawdziwa jest formuła (p q r). Ta ostatnia formuła jest prawdziwa tylko wtedy gdy wszystkie jej czynniki są jednocześnie prawdziwe. A zatem r jest prawdziwe, jeŝeli tylko prawdziwa jest formuła (p q) (q r) p Definicja. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Mówimy, Ŝe q jest semantyczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n (lub, Ŝe q wynika logicznie z p 1 p 2,..., p n ) wtw, gdy dla kaŝdej interpretacji I, w której koniunkcja p 1 p 2... p n jest prawdziwa, prawdziwa jest formuła q. p 1 p 2,..., p n nazywamy aksjomatami (postulatami, lub przesłankami) q. JeŜeli przez A oznaczymy zbiór przesłanek, a przez q konkluzję, to q jest semantyczną konsekwencją A, co oznaczamy A = q, wtw, gdy nie ma takiej interpretacji, dla której kaŝda formuła z A jest prawdziwa, a q jest fałszywa Twierdzenie. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Formuła q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n wtw, gdy formuła (p 1 p 2... p n ) q jest tautologią. UWAGA: JeŜeli q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n, to ((p 1 p 2... p n ) q) nazywamy twierdzeniem, a q konkluzja twierdzenia Twierdzenie. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Formuła q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n wtw, gdy formuła (p 1 p 2... p n q) jest kontrtautologią Przykład. Dane są formuły f 1 (p q), f 2 q, f 3 p. Pokazać, Ŝe f 3 jest konsekwencją logiczną f 1 i f 2. 2 GdyŜ negacją formuły (p 1 p 2... p n ) q jest (p 1 p 2... p n q). 8

9 Metoda zero-jedynkowa. Konstruujemy matryce logiczna i sprawdzamy, czy f 3 jest prawdziwa w kaŝdym modelu formuły (p q) q. Z podanej niŝej tabeli wynika, Ŝe posiada tylko jeden model: { p, q}. Formuła p jest prawdziwa w tym modelu, a zatem f 3 jest konsekwencją logiczną f 1 i f 2. p q p q q (p q) q p Druga metoda polega na wykorzystaniu twierdzenia 2.6.3, czyli na wykazaniu, ze (p q) q p jest tautologią. MoŜna tu wykorzystać metodę zerojedynkową, albo przekształcić tę ostatnią formułę do KPN. Skorzystajmy z tej drugiej metody. (p q) q p ((p q) q) p (Imp) (( p q) q) p (Imp) (( p q) (q q)) p rozdzielność (( p q) 0) p ( p q) p (p q) p podwójna negacja q (p p) przemienność i łączność q Trzecia metoda polega na wykorzystaniu twierdzenia 2.6.4, czyli na wykazaniu, ze formuła ((p q) q p) jest kontrtautologią. MoŜna tu wykorzystać metodę zero-jedynkową, albo przekształcić tę ostatnią formułę do APN Aparat dedukcyjny dla logiki zdań Uwaga: Punkt ten traktujemy tak, jakby następował bezpośrednio po 2.2, tzn. załóŝmy, Ŝe nie wiemy niczego o jakiejkolwiek interpretacji języka L logiki zdań Aksjomaty logiki zdań JeŜeli A,B i C są dowolnymi formułami w L to aksjomatami są (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( A B) (B A) Nic poza tym nie jest aksjomatem. Uwagi: 9

10 WyraŜenia A (B A) itp. naleŝą do metajęzyka ( A i B nie są symbolami L). Tak więc (A1) (A3) naleŝy traktować jako schematy aksjomatów: aksjomatem będzie kaŝda formuła równokształtna z (A1), (A2) lub (A3). Np. na mocy (A1) otrzymujemy następujące aksjomaty: p (q p) p (p p) p (p p) O aksjomatach tych nie zakłada się, Ŝe są prawdami oczywistymi. Zostały one zdefiniowane bez odwoływania się bez jakiejkolwiek interpretacji Reguła inferencji Gdy A i B są dowolnymi formułami w L, to B jest bezpośrednią konsekwencją pary formuł A i (A B). Jest to reguła MP (modus ponens). Oznaczamy ją teŝ A, A B B Definicja. Dowodem jest skończony (lecz nie pusty) ciąg formuł języka L, z których kaŝda jest albo aksjomatem, albo bezpośrednią konsekwencją pewnych dwóch formuł poprzedzających ja w tym ciągu. Przykład: p ((p p) p) (A1) (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) (A2) (p (p p)) (p p) MP formuł (1) i (2) p (p p) (A1) p p MP formuł (3) i (4) Definicja. Formuła p jest twierdzeniem, co oznaczamy p, jeŝeli istnieje dowód, którego ostatnią formułą jest p. Uwaga: w ciągu, który jest dowodem, kaŝda formuła jest twierdzeniem Definicja. Ciąg formuł jest derywacją formuły p ze zbioru A wtw, gdy (a) Jest on skończonym (lecz nie pustym) ciągiem formuł języka L, przy czym (b) Ostatnią formułą w tym ciągu jest p, oraz (c) KaŜda formuła w tym ciągu jest albo aksjomatem, albo bezpośrednią konsekwencją pewnych dwu formuł poprzedzających ja w tym ciągu, albo elementem zbioru A. Z powyŝszego określenia wynika, Ŝe kaŝdy dowód jest derywacją ze zbioru pustego Definicja. Formuła p jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł A, co oznaczamy A p, wtw, gdy istnieje derywacją p z A. 10

11 2.7.7 Definicja. Zbiór A jest teoriodowodowo niesprzecznym zbiorem formuł wtw gdy dla Ŝadnej formuły p nie ma tak, Ŝe A p, i zarazem A p Twierdzenie o dedukcji (Alfred Tarski, 1921): A, p q to A (p q) JeŜeli q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł {A, p} to p q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru A} 2.8 Konsekwencja semantyczna a konsekwencja syntaktyczna. KaŜde twierdzenie jest logicznie poprawne, tzn. jeŝeli q to = q. JeŜeli q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł A to jest semantyczną konsekwencją tego zbioru, A q to A = q. 3. Logika predykatów 3.1 Wprowadzenie Logika predykatów wraz z logika zdań stanowi całość logiki formalnej. O ile logika zdań dostarcza praw wnioskowania odwołujących się do struktury zdań złoŝonych (nie wnikając w budowę zdań będących składnikami owych złoŝeń), to logika predykatów dostarcza praw wnioskowania odwołujących się do wewnętrznej budowy zdań, w której wyróŝnia się predykaty (odpowiednik orzeczenia w tradycyjnej gramatyce), argumenty predykatów (odpowiednik podmiotu), oraz kwantyfikatory wskazujące, do których (wszystkich lub wybranych) przedmiotów odnoszą się predykaty 3.2 Język formalny dla logiki predykatów Symbole języka nieskończenie wiele zmiennych zdaniowych: p, q, r,... nieskończenie wiele stałych indywiduowych (słuŝą do nazywania obiektów): a, b, c,... nieskończenie wiele zmiennych indywiduowych: x, y, z,... nieskończenie wiele symboli predykatowych: P, Q,... nieskończenie wiele symboli funkcyjnych: f, g, h,... stałe logiczne, tzn. spójniki logiki zdań oraz symbole specyficzne (kwantyfikatory) znaki graficzne: nawiasy, myślnik, przecinek 3.2.1a) Dopuszcza się stosowanie ciągów liter na oznaczanie stałych indywiduowych, symboli funkcyjnych oraz symboli predykatowych, ew. indeksowanie symboli. 11

12 3.2.1b) Symbole funkcyjne i predykatowe mają określoną liczbę argumentów, n. Dla symboli predykatowych n > 0, a dla symboli funkcyjnych n 0 (symbol funkcyjny, dla którego n = 0 utoŝsamiamy ze stałą indywiduową) c) Symbole funkcyjne słuŝą do nazywania funkcji, tzn. odwzorowań uporządkowanych n-tek stałych w określone stałe. Symbole predykatowe słuŝą do nazywania predykatów, tzn. wyraŝeń zawierających pewne zmienne i opisujących pewną własność lub pewną relację. Predykaty to odwzorowania przypisujące n-tkom stałych wartość logiczną 1 (prawda) lub 0 (fałsz) Termy. Stała jest termem. Zmienna jest termem. JeŜeli f jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym i t 1,...t n są termami to f(t 1,...t n ) jest termem. Innych termów nie ma. Przykłady. (a) Niech plus będzie dwuargumentowym symbolem funkcyjnym. plus(x, 1) jest termem bo stała 1 i zmienna x są termami. Podobnie plus (plus (x,1),1) jest termem. (b) ojciec(jan), ojciec (ojciec(jan)) są termami Atomy. JeŜeli P jest n-argumentowym symbolem predykatowym i t 1,...t n są termami, to P(t 1,...t n ) jest formułą atomową, w skrócie: atomem. Przykład: Niech EQ będzie 2-argumentowym symbolem predykatowym. EQ(x,y), EQ(plus(x, 1), plus(y, 1)) są atomami Niech Q będzie dowolnym, tzn. ogólnym ( ) lub egzystencjalnym ( ), kwantyfikatorem. RozwaŜmy wyraŝenie postaci (Qx)A. A nazywamy zasiegiem kwantyfikatora Q, natomiast x zmienną objętą kwantyfikatorem. Zmiennymi związanymi kwantyfikatorem Q są wszystkie symbole zmiennych równokształtne ze zmienną objęta kwantyfikatorem i zawarte w jego zasięgu. Pewna litera jest zmienną wolną w A gdy nie jest zmienną związaną w A. Przykłady: (a) ( x) P(x,y) (b) ( x) P(x) ( y)q(x,y) x jest zmienną związaną, y - swobodną x jest zmienną swobodną i związaną, y - związaną Formuły (a) Atom jest formułą (b) JeŜeli F i G są formułami, to: F, F G, F G, F G, F G są formułami (c) JeŜeli F jest formułą, a x jest zmienną wolną w F to ( x)f i ( x)f są formułami (d) Innych formuł nie ma. 12

13 Formułę, w której nie występują zmienne wolne nazywamy formułą domkniętą (zdaniem). Formułę, która nie jest domknięta nazywamy otwartą. JeŜeli w F występują symbole zmiennych wolnych, x 1,...,x n, to formułę ( x 1 )...( x n )F nazywamy uniwersalnym domknięciem formuły F i oznaczamy symbolem F c. 3.3 Przykłady Aksjomaty liczb naturalnych: A 1 : Dla kaŝdej liczby istnieje jedna i tylko jedna liczba występująca bezpośrednio za nią A 2 : Nie istnieje liczba, za którą bezpośrednio występuje 0 A 3 : Dla kaŝdej liczby róŝnej od zera istnieje dokładnie jedna liczba występująca przed nią. Niech f(x) oznacza liczbę występującą bezpośrednio za x, a g(x) liczbę występującą bezpośrednio przed x. Niech E(x,y) oznacza x = y. PowyŜsze aksjomaty reprezentują formuły: S 1 : ( x)( y)(e(y, f(x)) ( z)(e(z, f(x)) E(y,z))), S 2 : (( x) E(0,f(x)) S 3 : ( x)( E(0,x) (( y) E(y,g(x)) ( z)(e(z, g(x)) E(y,z)) E(y,z))) (analiza scen) RozwaŜmy sytuację z rys. 1 przedstawiającą układ trzech klocków. Określając predykaty NA(x,y), NA-STOLE(x), LUZEM(x), z których pierwszy wskazuje, Ŝe na klocku x leŝy klocek y, drugi Ŝe klocek x leŝy na stole, a trzeci, ze klocek x jest luzem, powyŝszą sytuację opisuje formuła S = S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 gdzie: S 1 : NA(A,C), S 2 : NA-STOLE(A), S 3 : NA-STOLE(B), S 4 : LUZEM(B), S 5 : LUZEM(C), S 6 : ( x)(luzem(z) ( x)na(z,x)) Ten sposób opisu scen wykorzystano w systemie STRIPS. C A B Rys. 1 Prosta scena 13

14 3.3.3 Niech PRACUJE-W(x,z) oznacza, Ŝe pracownik x zatrudniony jest w wydziale produkcyjnym z i niech MAŁśEŃSTWO(x,y) oznacza, Ŝe x i y są małŝeństwem. Formuła ( x)( y)( z) (MAŁśEŃSTWO(x,y) (PRACUJE-W(x,z) PRACUJE-W(y,z))) reprezentuje przepis, Ŝe małŝonkowie nie mogą być zatrudnieni w tym samym miejscu pracy. 3.4 Interpretacja formuł logiki predykatów Niech L 1 oznacza język logiki predykatów Interpretację dla L 1 wyznacza uporządkowana para (D, F), gdzie D jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną interpretacji, natomiast F jest odwzorowaniem takim, Ŝe (a) KaŜdej stałej indywiduowej przyporządkowany jest pewien element ze zbioru D, (b) KaŜdemu n-argumentowemu symbolowi funkcyjnemu f przyporządkowana jest pewna funkcja f I : D n D, (c) KaŜdemu n-argumentowemu symbolowi predykatowemu P przyporządkowana jest pewna funkcja P I : D n {0,1} będąca funkcją charakterystyczną pewnej n- argumentowej relacji w D; stałe 0 i 1 odpowiadają stałym logicznym Dla kaŝdej interpretacji w dziedzinie D formuła przyjmuje wartość 1 lub 0 zgodnie z następującymi regułami: (a) JeŜeli znane są wartości formuł G i H to znaczenia formuł G, H G, H G, H G, H G wyznaczane są przy uŝyciu tabel prawdziwościowych. (b) ( x) G otrzymuje wartość 1 tylko wtedy, gdy G ma wartość 1 dla kaŝdego elementu x z D; w przeciwnym razie ( x) G otrzymuje wartość 0 (c) ( x) G otrzymuje wartość 1 tylko wtedy, gdy G ma wartość 1 dla przynajmniej jednego elementu x z D; w przeciwnym razie ( x) G otrzymuje wartość Przykłady interpretacji RozwaŜmy formuły ( x) P(x), ( x) P(x). Przyjmujemy następującą interpretację: D = {1,2}, P I (1) = 1, P I (2) = 0. Oczywiście ( x) P(x) otrzymuje wartość 0, natomiast ( x) P(x) wartość Dana jest formuła ( x) ( y) P(x,y). Niech D = {1,2}, a P I zadane jest następująco: P I (1,1) P I (1,2) P I (2,1) P I (2,2) Dla x = 1 istnieje takie y (y=1) Ŝe P I (1,y) = 1, podobnie dla x = 2. Zatem formuła jest prawdziwa w tej interpretacji Dana jest formuła ( x) (P(x) Q(f(x),a)). Określamy interpretację I: D = {1,2}, 14

15 a 1 f I (1) =2, f I (2) = 1. P I (1) P I (2) Q I (1,1) Q I (1,2) Q I (2,1) Q I (2,2) Gdy x = 1 to P(x) Q(f(x),a) = P(1) Q(f(1),1) = P(1) Q(2,1) = 0 0 = 1. Gdy x = 2 to P(x) Q(f(x),a) = P(2) Q(f(2),1) = P(2) Q(1,1) = 1 1 = 1. Zatem formuła jest prawdziwa w interpretacji I (ćwiczenie) Przyjmijmy interpretację jak w i sprawdźmy formuły (a) ( x) (P(f(x)) Q(x, f(a))), (b) ( x) (P(x) Q(x, a)), (c) ( x)( y) (P(x) Q(x, y)), Klasyfikacja formuł Formuła A jest: formułą prawdziwą logicznie (prawda logiczną) jeŝeli jest prawdziwa przy kaŝdej interpretacji logicznie sprzeczna jeŝeli jest fałszywa przy kaŝdej interpretacji spełnialna tylko wtedy gdy dla przynajmniej jednej interpretacji istnieje co najmniej jeden ciąg indywiduów, który spełnia A (np. x < y jest formułą spełnialną gdyŝ istnieje interpretacja <np. dziedzina liczb naturalnych> i wartościowanie <np. ciąg (3,4)>, które spełnia tę formułę) konsekwencją logiczną zbioru formuł X wtw przy kaŝdej interpretacji, kaŝdy ciąg, który spełnia wszystkie formuły zbioru X, spełnia równieŝ A. Mówimy, Ŝe A wynika logicznie z X, lub X implikuje logicznie A. Jako przykład rozwaŝmy następujące Twierdzenie: Niech A P będzie formułą opisującą program P (por ). A P jest formułą spełnialną. Dowód: Dla kaŝdej krawędzi a istnieje klauzula zawierająca pozytywna literę, mianowicie Q j (x, f a (x, y)). Zatem w A P dowolna klauzula zawiera pozytywna literę. Niech v 1,..., v m oznaczają wszystkie węzły grafu z wyjątkiem węzła startowego. Niech I będzie interpretacją, w której pewnej literze Q i (x, y), 1 i m, przypisano wartość logiczną 1. Oczywiście odpowiednia klauzula przyjmuje wartość 1, a w konsekwencji A P jest spełnione w tej interpretacji. // 3.5 Skolemowska postać normalna Omówimy teraz metodę przekształcania formuł logiki predykatów pierwszego rzędu do modelowo równowaŝnej postaci nazywanej skolemowską postacią normalną (SPN). Formuły 15

16 F 1, F 2 nazywamy modelowo równowaŝnymi jeŝeli jednocześnie kaŝda formuła posiada model lub tez obie formuły nie maja modelu Preneksyjna (kwantyfikatorowa) postać normalna (PPN) Formuła jest w PPN gdy ma postać (Q 1 x 1 )...(Q n x n )M gdzie Q i, 1 i n, jest albo kwantyfikatorem uniwersalnym albo egzystencjalnym, natomiast M tzw. matryca jest formułą nie zawierającą kwantyfikatorów. Część formuły poprzedzającą matrycę, tzn. (Q 1 x 1 )...(Q n x n ), nazywamy prefiksem. Istotne jest, Ŝe Ŝaden kwantyfikator nie jest poprzedzony znakiem negacji. Sposób sprowadzania formuły do PPN podano w Tablicy Przykład (ilustracja kroku 3 rozdzielanie zmiennych). Formuła ( x)[p(x) ( x)q(x)] jest równowaŝna formule ( x)[p(x) ( y)q(y)], a ta z kolei formule por. Krok 1 - ( x)[ P(x) ( y)q(y)]. Stosując (4) dostajemy ( x)( y) [ P(x) Q(y)] Przykład. RozwaŜmy formułę ( x) (P(x) K(x) ( y)(s(x,y) C(y))). Krok1: ( x) ( P(x) K(x) ( y)(s(x,y) C(y))). Krok4: ( x)( y) ( P(x) K(x) (S(x,y) C(y))). 1 Z formuły F eliminujemy spójniki oraz posługując się skończoną ilość razy prawami: F G = F G F G = (F G ) (G F ) 2 Wprowadzamy negacje bezpośrednio przed symbole atomiczne: ( F) = F (F G) = F G (F G) = F G [( x) G(x)] = ( x)( G(x)) [( x) G(x)] = ( x)( G(x)) 3 Przemianowanie zmiennych związanych tak, aby w zasięgu kaŝdego kwantyfikatora występowały zmienne o róŝnych symbolach. 4 Tworzymy prefiks korzystając skończoną ilość razy z praw: (Qx) F(x) G (Qx) (F(x) G) (Qx) F(x) G (Qx) (F(x) G) ( x) F(x) ( x) G(x) ( x) (F(x) G(x)) ( x) F(x) ( x) G(x) ( x) (F(x) G(x)) (Q 1 x) F(x) (Q 2 x) G(x) (Q 1 x) (Q 2 y) [F(x) G(y)] (Q 1 x) F(x) (Q 2 x) G(x) (Q 1 x) (Q 2 y) [F(x) G(y)] Tablica 3.1 Sprowadzanie formuły do PPN 16

17 3.5.2 Skolemowska postać normalna stosowana jest w większości procedur automatycznego dowodzenia twierdzeń. Powiemy, Ŝe formuła otwarta F jest w SPN jeŝeli przedstawia się jako (P P m1 1 )... (P 1 k... P mk k ) gdzie wszystkie P i j są atomami lub negacjami atomów. Czynnik (P P m1 1 ) nazywamy klauzulą. Sposób sprowadzania formuły do SPN przedstawia tablica JeŜeli formuła zawiera zmienne wolne, tworzymy jej domkniecie uniwersalne (pkt ) 2 Sprowadzamy formułę do PPN (Tablica 3.1) 3 Korzystając z prawa rozdzielczości P Q R = (P R) (Q R) doprowadzamy uzyskaną w p. 2 matrycę do koniunkcji alternatyw atomów bądź negacji atomów 4 Likwidujemy symbole kwantyfikatorów egzystencjalnych zastępując związane przez nie symbole zmiennych funkcjami skolemowskimi (por. pkt ) Tablica 3.2 Sprowadzanie formuły do SPN Realizacja kroku 4. RozwaŜmy prefiks (Q 1 x 1 )...(Q n x n ) formuły w PPN i przypuśćmy, Ŝe (Q r x r ), 1 r n, jest kwantyfikatorem egzystencjalnym i nie poprzedzają go kwantyfikatory uniwersalne. Wybieramy stałą c, róŝną od stałych występujących w M, i w miejsce zmiennej x r wstawiamy c wykreślając jednocześnie (Q r x r ) z prefiksu. JeŜeli na lewo od (Q r x r ) występują kwantyfikatory uniwersalne (Q s1 x s1 ),... (Q s_m x s_m ), to wybieramy nowy róŝny od występujących w M m-argumentowy symbol funkcyjny f, zamieniamy x r na f(x s1,... x s_m ) i usuwamy (Q r x r ) z prefiksu Przykład. W formule ( x)( y)( z)( u)( v)( w) P(x,y,z,u,v,w) na lewo od ( x) nie ma Ŝadnych kwantyfikatorów, na lewo od ( u) występują kwantyfikatory ( y)( z), a na lewo od ( w) kwantyfikatory ( y), ( z) i ( v). Zastępując x przez stałą a, u przez funkcję skolemowską f(y, z), a zmienną w przez funkcję g(y, z, v) otrzymujemy formułę ( y)( z)( v) P(a, y, z, f(y, z), v, g(y, z, v)) Przykład. Dana jest formuła ( x)( y) ( P(x) K(x) (S(x,y) C(y))) Korzystając z tautologii A (B C) = (A B) (A C) sprowadzamy te formułę do postaci, w której matryca ma koniunkcyjną postać normalną: ( x)( y) {[ P(x) K(x) S(x,y)] [ P(x) K(x) C(y)]} a następnie do postaci standardowej: ( x) {[ P(x) K(x) S(x, f(x))] [ P(x) K(x) C( f(x))]} Przykład. Dana jest formuła 17

18 ( x) { P(x) [( y) (P(y) P(f(x, y))) ( x)(q(x, y) P(y))]} Sprowadzamy powyŝszą formułę do PPN: Krok 1 (T3.1): ( x) { P(x) [( y) ( P(y) P(f(x, y))) ( x)( Q(x, y) P(y))]} Krok 2 (T3.1): ( x) { P(x) [( y) ( P(y) P(f(x, y))) ( x)(q(x, y) P(y))]} Krok 3 (T3.1): ( x) ( y) ( z) { P(x) [( P(y) P(f(x, y))) (Q(x, z) P(z))]} Uzyskano formułę PPN. Sprowadzamy matrycę do koniunkcyjnej postaci normalnej ( x)( y)( z) {[ P(x) P(y) P(f(x, y))] [ P(x) Q(x, z)] [ P(x) P(z)]} Redukujemy kwantyfikator egzystencjalny: ( x)( y) {[ P(x) P(y) P(f(x, y))] [ P(x) Q(x, h(x,y))] [ P(x) P(h(x,y))]} Klauzule Dyzjunkcję symboli atomicznych lub ich negacji (tzn. literałów) nazywamy klauzulą Koniunkcję klauzul K 1... K n zapisujemy w postaci { K 1,..., K n }. Formuła z p zawiera trzy klauzule: { P(x) P(y) P(f(x, y)), P(x) Q(x, z), P(x) P(z)} JeŜeli L 1, L 2 są literami, przy czym L 1 = L 2 to mówimy, Ŝe (L 1, L 2 ) jest para kontrarną. 3.6 Procedura unifikacji Przy dowodzeniu twierdzeń zachodzi konieczność sprowadzania róŝnych formuł do jednolitej postaci. Np. chcąc wyprowadzić twierdzenie Q(a) z aksjomatów {( x) (P(x) Q(x)), P(a)} naleŝy zunifikować atomy P(x) i P(a) wprowadzając podstawienie a w miejsce x. Proces zastępowania zmiennych termami nazywamy unifikacją Definicja. Podstawieniem nazywamy skończony zbiór postaci θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n } gdzie x i oznacza zmienną, t i oznacza term, przy czym x i x j oraz t i t j. JeŜeli wszystkie termy są podstawowe (nie zawierają zmiennych) to θ nazywamy podstawieniem podstawowym Nomenklatura. a) Przez wyraŝenie rozumiemy term, zbiór termów, zbiór atomów, literę, klauzulę lub zbiór klauzul. b) Przez wyraŝenie podstawowe rozumiemy wyraŝenie, w którym nie występują zmienne. c) PodwyraŜeniem wyraŝenia E nazywamy wyraŝenie występujące w E Niech θ będzie podstawieniem, θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n }, a E wyraŝeniem. WyraŜenie Eθ otrzymane z E przez jednoczesne zastąpienie wszystkich zmiennych wskazanych w θ odpowiadającymi im termami nazywamy przykładem (egzemplarzem) E. 18

19 Przykład. Niech E = {P(x, f(y), a}, θ = {g(z)/x, b/y}. Wówczas Eθ = {P(g(z), f(b), a} Niech θ będzie podstawieniem, θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n }, a Σ = = {u 1 /y 1,..., u m /y m }. ZłoŜeniem θ i Σ nazywamy podstawienie θ Σ = {t 1 Σ/x 1,..., t n Σ/x n, u 1 /y 1,..., u m /y m } otrzymane przez zastąpienie termów z θ termami z Σ i dołączenie par z Σ zawierających zmienne nie występujące w θ. Tzn. z uzyskanego zbioru θ Σ wykreślamy te elementy, w których t i Σ = x i, oraz elementy u j /y j takie, Ŝe y j {x 1,...,x n } Przykład. Niech θ = {f(y)/x, z/y}, Σ = {a/x, b/y, y/z}. θ Σ = {f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z}. Zgodnie z konwencją z θ Σ wykreślamy elementy postaci x i /x i oraz te zmienne z Σ, w których występują zmienne identyczne ze zmiennymi w θ. Ostatecznie θ Σ = {f(b)/x, y/z} Przykład. Niech θ = {g(x,y)/z}, Σ = {a/x, b/y, c/w, d/z}. Tutaj θ Σ ={g(a,b)/z, a/x, b/y, c/w}, natomiast Σ θ = Σ θ Σ Składanie podstawień jest łączne, co m.in. oznacza, Ŝe (Eθ 1 )θ 2 = E(θ 1 θ 2 ). Ponadto podstawienie puste, ε (nie zawierające Ŝadnego elementu) ma własność εθ = θε Podstawienie θ nazywamy unifikatorem zbioru wyraŝeń E = {E 1,...,E n } jeŝeli E 1 θ =... = E n θ. Zbiór E nazywamy wówczas unifikowalnym Unifikator σ zbioru wyraŝeń E nazywamy unifikatorem głównym wtw dla kaŝdego unifikatora θ zbioru E istnieje takie podstawienie Σ, Ŝe θ = σ Σ Przykład. Niech E = {P(x, f(y), a), P(x, f(a), a)}. Podstawienie θ = {b/x, a/y} unifikuje wyraŝenia z E do postaci P(b, f(a), a). θ nie jest unifikatorem głównym. MoŜna sprawdzić, ze σ = {a/y} jest unifikatorem głównym. Wówczas θ = σ {b/x} Zbiór rozbieŝności (disagreement set) R niepustego zbioru wyraŝeń E otrzymujemy wyszukując pierwszą od lewej pozycję, począwszy od której nie we wszystkich wyraŝeniach z E występują te same symbole i wypisując z kaŝdego wyraŝenia z E podwyraŝenie zaczynające się od symbolu zajmującego te pozycję Przykład. Niech E = {P(x), P(a)}. R = {x,a} Algorytm unifikacji podano w Tablicy 3.3. Posiada on następującą własność. JeŜeli E jest skończonym, niepustym i unifikowalnym podzbiorem wyraŝeń, to algorytm kończy się zawsze po realizacji kroku 2, a znaleziony unifikator s k jest unifikatorem głównym. 1 k = 0; E k = E; s k = ε 2 JeŜeli E k jest klauzulą jednostkową to STOP; s k jest unifikatorem głównym dla E. W 19

20 przeciwnym razie dla E k określamy zbiór rozbieŝności R k. 3 JeŜeli w R k istnieją elementy x k, t k takie, Ŝe x k jest zmienną nie występującą w t k to przechodzimy do kroku 4. W przeciwnym razie STOP E nie jest unifikowalny. 4 s k+1 = s k {t k /x k } E k+1 = E k {t k /x k }= E s k+1 k = k+1 i powrót do (2) Tabela 3.3 Algorytm unifikacji Przykład. Niech E = {Q(f(a), g(x)), Q(y,y)}. Mamy kolejno: 1. k = 0; E k = E; s k = ε 2. R 0 = { f(a), y} 3. R 0 zawiera zmienną y i term f(a), w którym ta zmienna nie występuje. Zatem: 4a) s 1 = s 0 {f(a)/x} = {f(a)/x} 4b) E 1 = {Q(f(a), g(x)), Q(f(a), f(a))}.. 2. R 1 = { g(x), f(a)} 3. R 1 nie zawiera explicite zmiennej, co oznacza, Ŝe E nie jest unifikowalny. STOP. 4. Zasada rezolucji 4.1 Wprowadzenie Zaproponowana w 1965 r. przez J. A. Robinsona zasada rezolucji stanowi z algorytmicznego punktu widzenia jedną z najbardziej atrakcyjnych metod dowodzenia twierdzeń. Pod pojęciem zasady rezolucji rozumiemy następującą regułę wnioskowania α β, α γ β γ Wniosek β γ nazywamy rezolwentą przesłanek α β oraz α γ JeŜeli dla dowolnych dwóch klauzul C 1, C 2 istnieje kontrarna para literałów L 1, L 2, to usuwając tę parę otrzymujemy klauzulę złoŝoną z pozostałych liter w C 1 i C 2. Wynikowa klauzula nazywana jest rezolwentą. Przykład: Rezolwentą klauzul C 1 = {P,R}, C 2 = { P, Q} jest Res(C 1, C 2 ) = {R, Q} Twierdzenie. Niech C 1, C 2 będą dwiema klauzulami. Ich rezolwenta, Res(C 1, C 2 ), jest logiczną konsekwencją formuły (C 1 C 2 ) Uwzględniając twierdzenie oraz twierdzenie celem udowodnienia C naleŝy do S dodać klauzulę C. Wówczas sprawdzenie, Ŝe C 1 C 2... C n C jest kontrtautologią jest równowaŝne uzyskaniu rezolwenty równowaŝnej klauzuli pustej,. Niedeterministyczny (gdyŝ nie określa strategii wybierania klauzul ze zbioru S) algorytm automatycznego dowodzenia twierdzeń przedstawiono w Tablicy

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Technologie baz danych

Technologie baz danych Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Spis treści. spis treści wygenerowany automatycznie

Spis treści. spis treści wygenerowany automatycznie Spis treści Rozdział 2.Wymagania edytorskie 2 2.1. Wymagania ogólne 2 2.2. Tytuły rozdziałów i podrozdziałów 2 2.3. Rysunki, tabele i wzory 3 2.3.1. Rysunki 3 2.3.2. Tabele 4 2.3.3. Wzory 4 2.4. Odsyłacze

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 5. Temat: Funkcje agregujące, klauzule GROUP BY, HAVING

Laboratorium nr 5. Temat: Funkcje agregujące, klauzule GROUP BY, HAVING Laboratorium nr 5 Temat: Funkcje agregujące, klauzule GROUP BY, HAVING Celem ćwiczenia jest zaprezentowanie zagadnień dotyczących stosowania w zapytaniach języka SQL predefiniowanych funkcji agregujących.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 8. Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2)

Laboratorium nr 8. Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2) Laboratorium nr 8 Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2) PLAN LABORATORIUM: 1. Sortowanie. 2. Warunek WHERE 3. Eliminacja powtórzeń - DISTINCT. 4. WyraŜenia: BETWEEN...AND, IN, LIKE, IS NULL. 5.

Bardziej szczegółowo

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zaprzeczenie 2 Negacja 3 Negacja w logice Sprzeczne grupy

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL.

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Deficja zależności funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI 23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI Logika relacji jest pewnym poszerzeniem logiki predykatów. Również w logice relacji musimy opanować pewne podstawowe chwyty, które pozwolą nam dokonywać symbolizacji.

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania

Bardziej szczegółowo

0-0000, 1-0001, 2-0010, 3-0011 itd... 9-1001.

0-0000, 1-0001, 2-0010, 3-0011 itd... 9-1001. KODOWANIE Jednym z problemów, z którymi spotykamy się w informatyce, jest problem właściwego wykorzystania pamięci. Konstruując algorytm staramy się zwykle nie tylko o zminimalizowanie kosztów czasowych

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia na stosie. Wykład 9. Obliczenia na stosie. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303

Obliczenia na stosie. Wykład 9. Obliczenia na stosie. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303 Wykład 9 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303 stos i operacje na stosie odwrotna notacja polska języki oparte na ONP przykłady programów J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty programowania

Paradygmaty programowania Paradygmaty programowania Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz 15 kwietnia 2014 Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz () Paradygmaty programowania 15 kwietnia 2014 1 / 12 Zadanie 1 Zadanie 1 Rachunek predykatów

Bardziej szczegółowo

13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM

13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM 13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM Cele Umiejętność stosowania reguł pierwotnych Wpr, Elim, ~Wpr, ~Elim. Umiejętność przeprowadzania prostych dowodów z użyciem tych reguł. 13.1. Reguła Wpr

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski Systemy ekspertowe i ich zastosowania Katarzyna Karp Marek Grabowski Plan prezentacji Wstęp Własności systemów ekspertowych Rodzaje baz wiedzy Metody reprezentacji wiedzy Metody wnioskowania Języki do

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 8 października 2011. Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 8 października 2011 1 / 44

Logika. Michał Lipnicki. 8 października 2011. Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 8 października 2011 1 / 44 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 8 października 2011 Michał Lipnicki () Logika 8 października 2011 1 / 44 Zdania KRZ wprowadzenie Przedmiotem logiki klasycznej są tylko zdania oznajmujące,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

Polsko-Niemiecka Współpraca MłodzieŜy Podręcznik uŝytkownika Oprogramowania do opracowywania wniosków PNWM

Polsko-Niemiecka Współpraca MłodzieŜy Podręcznik uŝytkownika Oprogramowania do opracowywania wniosków PNWM Strona 1 / 10 1.1 Wniosek zbiorczy Moduł Wniosek zbiorczy pomoŝe Państwu zestawić pojedyncze wnioski, by je złoŝyć w PNWM celem otrzymania wstępnej decyzji finansowej wzgl. później do rozliczenia. Proszę

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Technologia inteligentnych agentów. Autor: dr Jacek Jakieła

Technologia inteligentnych agentów. Autor: dr Jacek Jakieła Autor: dr Jacek Jakieła WYKŁAD... 3 Reprezentacja wiedzy agenta... 3 Konceptualizacja... 3 Formalizacja wiedzy agenta... 4 Alfabet języka... 4 Poprawnie sformułowane formuły języka rachunku predykatów...

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność

Bardziej szczegółowo

Gramatyki (1-2) Definiowanie języków programowania. Piotr Chrząstowski-Wachjtel

Gramatyki (1-2) Definiowanie języków programowania. Piotr Chrząstowski-Wachjtel Gramatyki (1-2) Definiowanie języków programowania Piotr Chrząstowski-Wachjtel Zagadnienia Jak zdefiniować język programowania? Gramatyki formalne Definiowanie składni Definiowanie semantyki l 2 Pożądane

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Reprezentowanie wiedzy Logika a reprezentacji wiedzy Rachunek zdań Literatura. Systemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań

Reprezentowanie wiedzy Logika a reprezentacji wiedzy Rachunek zdań Literatura. Systemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań Systemy ekspertowe Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań Joanna Kołodziejczyk 18 marca 2014 Plan wykładu 1 Reprezentowanie wiedzy 2 Logika a reprezentacji wiedzy 3 Rachunek zdań 4 Literatura Kodowanie

Bardziej szczegółowo

Oxfordzka implementacja metody dowodzenia Tableaux

Oxfordzka implementacja metody dowodzenia Tableaux LISTA ZADAŃ WYKŁAD Oxfordzka implementacja metody dowodzenia Tableaux http://logic.philosophy.ox.ac.uk/main.htm Klikając na View installation istruction otrzymujemy nastepujace uwagi o instalacji programu

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 8 Kolory i znaki specjalne

Ćwiczenie 8 Kolory i znaki specjalne Ćwiczenie 8 Kolory i znaki specjalne W ćwiczeniu 8 zajmować się będziemy kolorami i znakami specjalnymi. Barwę moŝna utworzyć mieszając w odpowiednich proporcjach trzy kolory podstawowe: czerwony, zielony

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 4: Elementy semiotyki O pojęciach, nazwach i znakach

Logika dla socjologów Część 4: Elementy semiotyki O pojęciach, nazwach i znakach Logika dla socjologów Część 4: Elementy semiotyki O pojęciach, nazwach i znakach Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Krótkie wprowadzenie, czyli co

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Temat 1. Algebra Boole a i bramki 1). Podać przykład dowolnego prawa lub tożsamości, które jest spełnione w algebrze Boole

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe - wiedza niepewna

Systemy ekspertowe - wiedza niepewna Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego lab 8 Rozpatrzmy następujący przykład: Miażdżyca powoduje często zwężenie tętnic wieńcowych. Prowadzi to zazwyczaj do zmniejszenia przepływu krwi w tych naczyniach,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki

Kryteria oceniania z matematyki Kryteria oceniania z matematyki Zakres wymagań na poszczególne oceny szkolne dla klasy VI do programu nauczania Od Pitagorasa do Euklidesa DKW 4014 180/99 Opracował: mgr Stefan Bracha KLASA VI Liczby wymierne

Bardziej szczegółowo

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2 - 1 - MS EXCEL CZ.2 FUNKCJE Program Excel zawiera ok. 200 funkcji, będących predefiniowanymi formułami, słuŝącymi do wykonywania określonych obliczeń. KaŜda funkcja składa się z nazwy funkcji, która określa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA, TECHNOLOGIA INFORMACYJNA ORAZ INFORMATYKA W LOGISTYCE

INFORMATYKA, TECHNOLOGIA INFORMACYJNA ORAZ INFORMATYKA W LOGISTYCE Studia podyplomowe dla nauczycieli INFORMATYKA, TECHNOLOGIA INFORMACYJNA ORAZ INFORMATYKA W LOGISTYCE Przedmiot JĘZYKI PROGRAMOWANIA DEFINICJE I PODSTAWOWE POJĘCIA Autor mgr Sławomir Ciernicki 1/7 Aby

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Program 14. #include #include using namespace std;

Program 14. #include <iostream> #include <ctime> using namespace std; Program 14 Napisać: * funkcję słuŝącą do losowego wypełniania tablicy liczbami całkowitymi z podanego zakresu (*). Parametrami funkcji mają być tablica, jej długość oraz dwie liczby stanowiące krańce przedziału

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Bazy Danych 2008 Część 1 Egzamin Pisemny

Bazy Danych 2008 Część 1 Egzamin Pisemny Bazy Danych 2008 Część Egzamin Pisemny. Zagadnienia związane z CDM a) Model danych SłuŜy do wyraŝania struktury danych, projektowanego lub istniejącego systemu. Przez strukturę rozumiemy typ danych, powiązania

Bardziej szczegółowo

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Arkusz kalkulacyjny to program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników.

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla Programowanie w logice Wykład z baz danych dla studentów matematyki 18 maja 2015 Programowanie w logice Programowanie w logice to podejście do programowania, w którym na program patrzymy nie jak na opis

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

11. PROFESJONALNE ZABEZPIECZENIE HASŁEM

11. PROFESJONALNE ZABEZPIECZENIE HASŁEM 11. PROFESJONALNE ZABEZPIECZENIE HASŁEM Tworząc róŝne panele administratora jesteśmy naraŝeni na róŝne ataki osób ciekawskich. W tej lekcji dowiesz się, jak zakodować hasło i, jak obronić się przed potencjalnym

Bardziej szczegółowo

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe

Bardziej szczegółowo

Nazwy. Jak widać, nazwa to nie to samo co rzeczownik. W podanych przykładach na nazwę złoŝoną składa się cały zespół

Nazwy. Jak widać, nazwa to nie to samo co rzeczownik. W podanych przykładach na nazwę złoŝoną składa się cały zespół Nazwa spełnia istotną rolę w języku, gdyŝ umoŝliwia proces identyfikowania róŝnych obiektów i z tego powodu nazwa jest podstawowym składnikiem wypowiedzi. Nazwa jest to wyraz albo wyraŝenie rozumiane jednoznacznie,

Bardziej szczegółowo

Przeszukiwanie z nawrotami. Wykład 8. Przeszukiwanie z nawrotami. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279

Przeszukiwanie z nawrotami. Wykład 8. Przeszukiwanie z nawrotami. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279 Wykład 8 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279 sformułowanie problemu przegląd drzewa poszukiwań przykłady problemów wybrane narzędzia programistyczne J. Cichoń, P. Kobylański

Bardziej szczegółowo

Technologia informacyjna

Technologia informacyjna Technologia informacyjna Pracownia nr 9 (studia stacjonarne) - 05.12.2008 - Rok akademicki 2008/2009 2/16 Bazy danych - Plan zajęć Podstawowe pojęcia: baza danych, system zarządzania bazą danych tabela,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE TEKSTOWE W MS EXCEL

FUNKCJE TEKSTOWE W MS EXCEL FUNKCJE TEKSTOWE W MS EXCEL ASC W językach korzystających z dwubajtowego zestawu znaków (DBCS) zmienia znaki o pełnej szerokości (dwubajtowe) na znaki o połówkowej szerokości (jednobajtowe). : ASC(tekst)

Bardziej szczegółowo