Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia"

Transkrypt

1 Rachunek zdań 2.1 Podstawowe pojęcia Rachunek zdań to teoria zajmująca się formami wnioskowania zbudowanymi wyłącznie ze zmiennych zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych, będących pewnego rodzaju spójnikami zdaniowymi. Teoria ta stanowi zakładaną przez inne teorie logiczne - część logiki formalnej Proces formalizacji ogólnie pojmowanej teorii rozpoczyna się od formalizacji języka teorii. W tym celu ustala się zbiór symboli nazywanych alfabetem języka formalnego lub znakami pierwotnymi teorii zbiór reguł konstrukcji, które pozwalają w ściśle określony sposób konstruować ze znaków pierwotnych tzw. formuły, czyli wyraŝenia, którymi wolno w danej teorii operować. Wśród znaków pierwotnych wyróŝnia się: (a) stałe indywiduowe (w skrócie: stałe), czyli symbole oznaczające wszystkie pojęcia pierwotne formalizowanej teorii (b) zmienne indywiduowe (w skrócie: zmienne), czyli symbole oznaczające obiekty, którymi zajmuje się dana teoria (c) symbole funktorów zdaniotwórczych (koniunkcji, alternatywy,...) (d) nawiasy i przecinki, czyli symbole graficzne stosowane dla celów przejrzystego zapisywania i jednoznacznego odczytywania formuł. Z wymienionych w punktach (a), (b) i (d) znaków pierwotnych tworzy się tzw. formuły atomowe, które odpowiadają najprostszym funkcjom zdaniowym danej teorii. Z formuł atomowych tworzy się stosując znaki wymienione w punkcie (c) oraz reguły konstrukcji wszystkie formuły języka formalnego Konstruując język formalny nie odwołujemy się do jakiejkolwiek interpretacji jego symboli ani formuł. A skoro nie wymaga on rozumienia, moŝe być w pełni przyswojony przez maszynę (o ile alfabet języka jest skończony). Ujmując rzecz inaczej, język formalny moŝna utoŝsamić ze zbiorem jego dobrze zbudowanych formuł (zwanych w skrócie formułami). JeŜeli zbiór wszystkich formuł języka formalnego L jest identyczny ze zbiorem formuł języka formalnego L, to L jest tym samym językiem formalnym, co L ; w przeciwnym wypadku są to róŝne języki Formuła jest przedmiotem abstrakcyjnym. Egzemplarzem formuły jest znak lub ciąg znaków. Zbiór wszystkich dobrze zbudowanych formuł pewnego języka formalnego ustalony zostaje na mocy decyzji twórcy tego języka, który po prostu informuje, jakie przedmioty są formułami tego języka. Czyni to zazwyczaj przez podanie zbioru symboli (a więc alfabetu tego języka) oraz zbioru reguł konstrukcji, ustalających, które ciągi symboli naleŝących do alfabetu są dobrze zbudowanymi formułami tego języka.

2 Obydwa te zbiory muszą być określone bez jakiegokolwiek odwoływania się do interpretacji. W przeciwnym wypadku język nie jest językiem formalnym. Symbole podobnie jak formuły są przedmiotami abstrakcyjnymi. Egzemplarzem symbolu jest znak lub ciąg znaków Przykład. Język J określony jest jak następuje: Alfabet: 5 7; Formuły: KaŜdy skończony ciąg symboli z alfabetu zaczynający się symbolem 5 jest formułą. Przykłady formuł: 5 5 7; Natomiast 777 nie jest formułą Przykład. Język X określony jest jak następuje: Alfabet: a b c d e f g; Formuły: KaŜdy skończony ciąg symboli z alfabetu będący słowem polskim jest formułą. Nie jest to język formalny, gdyŝ definicja formuły w X odwołuje się w istocie do znaczenia, skoro słowem polskim jest tylko to co ma znaczenie z języku polskim Mając dany język formalny (nazywany teŝ językiem przedmiotowym) moŝemy (a) podać aparat dedukcyjny dla tego języka, oraz/lub (b) zdefiniować pojęcie interpretacji (semantyki) języka. W pierwszym przypadku znajdujemy się na gruncie teorii dowodu, w drugim na gruncie teorii modeli Aparat dedukcyjny tworzony jest przez wyodrębnienie ze zbioru formuł języka przedmiotowego pewnego podzbioru nazywanego aksjomatami, oraz przez określenie reguł wnioskowania (nazywanymi teŝ regułami inferencji lub dowodzenia), które pozwalają wyprowadzać jedne formuły z innych. Reguły wnioskowania wyznaczają relację bezpośredniej konsekwencji. Aparat dedukcyjny określany jest bez odwoływania się do jakiejkolwiek interpretacji języka. MoŜe się on składać z aksjomatów i reguł wnioskowania lub tylko z aksjomatów, lub tylko z reguł dowodzenia. Język formalny wraz z aparatem dedukcyjnym tworzą system formalny (teorię). Podstawowymi pojęciami teorii dowodu są pojęcia: dowodu formalnego, twierdzenia formalnego, derywacji formalnej, oraz konsekwencji syntaktycznej. Przykład. Dla języka J określonego w określmy regułę inferencji w następujący sposób: KaŜda formuła w J, której ostatnimi dwoma symbolami są kolejno 5 i 7 jest bezpośrednią konsekwencją w J dowolnej formuły w J, której 2

3 pierwszymi symbolami są 5 i 7. Nic poza tym nie jest bezpośrednią konsekwencją w J Ŝadnej formuły. (a) jest bezpośrednia konsekwencją w J z formuły 5777 (b) 57 jest bezpośrednia konsekwencją w J z formuły 57 (c) 5775 nie jest bezpośrednią konsekwencją w J z formuły 5775 (kończy się 75, a nie 57) (d) nie jest bezpośrednią konsekwencją w J z formuły (nie jest bowiem formułą w J) b) Problemami interpretacji języków formalnych, a więc problemami przypisywania znaczeń symbolom i formułom tych języków zajmuje się teoria modeli, nazywana teŝ semantyką logiczną. Do podstawowych pojęć tej teorii naleŝą pojęcia: prawdziwości dla danej interpretacji, poprawności logicznej oraz konsekwencji semantycznej. Przykład. Jedną z moŝliwych interpretacji jest przypisanie znakowi 5 tego samego znaczenia, które ma dziesiętna cyfra 0, a znakowi 7 znaczenia, które ma cyfra 1. Wtedy formuła 575 znaczyłaby tyle, co 010 w systemie dziesiętnym. Zinterpretowana formuła nie musi być zdaniem w sensie logicznym. MoŜe ona być jak wyŝej nazwą czegoś Teorię, której przedmiotem zainteresowania są systemy formalne oraz ich interpretacje nazywamy metamatyką. UŜywany na jej gruncie język, słuŝący do opisu języka formalnego, nosi nazwę metajęzyka (w naszym przypadku jest to język polski wzbogacony o pewne sztuczne symbole). Do najwaŝniejszych zagadnień, którymi zajmuje się metamatyka są: niesprzeczność, zupełność i rozstrzygalność. 2.2 Język formalny dla logiki zdań Do formalizacji języka logiki zdań, L, konieczne są: zmienne indywiduowe (w tym wypadku: zdaniowe) i funktory zdaniotwórcze W logice zdań interesują nas stwierdzenia, które mogą być prawdziwe lub fałszywe. Przez zdanie rozumiemy więc stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Np.: śnieg biały, cukier węglowodan. Zdania oznaczamy literami pisanymi kursywą: p, q, r,... i nazywanymi zmiennymi zdaniowymi. Innymi słowy: zmienna zdaniowa wskazuje wolne miejsce, które moŝe zostać wypełnione przez dowolne wyraŝenie naleŝące do kategorii zdań. Zmienne zdaniowe nazywane są teŝ formułami atomowymi, lub krócej: formułami Spójniki zdaniowe logiki zdań są podobne do pewnych spójników zdaniowych języka naturalnego, jeŝeli weźmie się pod uwagę jedynie ich rolę syntaktyczną. Rola ta polega na tworzeniu zdań złoŝonych z innych zdań (złoŝonych lub nie), tak jak jest to w przypadku spójników języka polskiego: i, lub, jeŝeli... to, itp a) Spójniki zdaniowe traktowane są w logice jako funktory 1 w funkcjach prawdziwościowych, tj. w takich funkcjach, których wartościami są prawda lub fałsz. Prawda 1 Symbol reprezentowany przez literę f w formule f(x) nazywamy funktorem. 3

4 i fałsz nazywane są wartościami (stałymi) logicznymi i zwykle oznaczane są, odpowiednio, symbolami 1 i 0; uŝywa się teŝ do tego celu symboli P i F lub V (verum) i F (falsum). Przykłady funkcji prawdziwościowych: T1 p p T2 p q p q Podane wyŝej tablice nazywane są tabelami prawdziwościowymi. MoŜna określić cztery funkcje prawdziwościowe 1-argumentowe i szesnaście 2- argumentowych. Tylko niektóre z nich są uŝywane w systemach logicznych. W logice zdań stosujemy pięć spójników:,,,, Definicja (reguły formowania). Zbiór formuł języka L 0 logiki zdań określamy następująco: (i) (ii) (iii) (iv) Atom jest formułą. JeŜeli p jest formułą to ( p) jest formułą. JeŜeli p i q są formułami, to formułami są takŝe (p q), (p q), (p q), (p q). Innych formuł nie ma Uwagi: Korzystając z tautologii logiki zdań (por. 2.4) warunek (iii) przyjmuje prostszą postać. Tworząc formuły logiczne moŝna obejść się bez nadmiarowych nawiasów porządkujemy malejąco waŝność operatorów,,,, i wymagamy, aby spójnik o większej randze miał większy zakres. Tak więc p q r oznacza (p (q r)) a p q r s oznacza (p (q (( r) s))). Niech p i q będą formułami i niech [p] i [q] oznaczają wartości logiczne tych formuł. Wówczas: (a) [ p] = 1 [p], (b) [p q] = min([p],[q]), (c) [p q] = max([p],[q]), (d) [p q] = [ p q], (e) [p q] = [(p q) (q p)] 2.3. Interpretacja formuł logiki zdań Niech formuła p składa się z n zmiennych q 1,..., q n. Interpretacją formuły p nazywamy dowolne przyporządkowanie wartości logicznych występującym w niej zmiennym, I = {[q 1 ],..., [q n ]} gdzie [q i ] {0, 1}, i = 1,...,n. Oznacza to, Ŝe p ma 2 n interpretacji. 4

5 Np. formuła p (q r) (s ( t)) składa się z czterech formuł atomowych q, r, s i t, co oznacza, Ŝe p ma 16 interpretacji Formuła p jest prawdziwa w interpretacji I wtw, gdy [p] = 1 w tej interpretacji, co oznaczamy [p] = I 1. JeŜeli [p] = I 0 to p jest fałszywa w interpretacji I. Inaczej: interpretacja I spełnia p, gdy p jest prawdziwa w I; równowaŝnie mówimy, Ŝe p jest spełnialna w I. Na odwrót, interpretacja I falsyfikuje p, gdy p jest fałszywa w I; równowaŝnie mówimy, Ŝe p jest falsyfikowalna w I. Np. formuła (p ( q)) jest spełnialna w I 1 = {p, q} i falsyfikowalna w I 2 = {p, q} Zbiór interpretacji spełniających formułę p nazywamy modelem formuły p. 2.4 Tautologie Formuła logiki zdań jest tautologią, jeŝeli ma wartość prawdy przy wszystkich interpretacjach, lub inaczej: to te formuły, które są prawdziwe we wszystkich moŝliwych światach (Leibniz). Dlatego moŝna powiedzieć, Ŝe tautologia nie przynosi Ŝadnej informacji o rzeczywistym świecie, gdyŝ daje się pogodzić z kaŝdym moŝliwym stanem rzeczy. Uwaga: JeŜeli formuła p ma wartość prawdy przy wszystkich interpretacjach języka L, nazywamy ją logicznie poprawną formułą w L i oznaczamy symbolem = L p. Np. = (p p), ale ( (p p)); podobnie, gdy p jest zmienną zdaniową to p. Przykład. RozwaŜmy formułę g ((p q) p) q. Matryca dla tej formuły ma postać p q (p q) ((p q) p) ((p q) p) q Formuła logiki zdań jest kontrtautologią, jeŝeli ma wartość fałszu przy wszystkich interpretacjach. Przykładem jest tu sprzeczność p p (Klasyfikacja formuł) Formuła p logiki zdań jest: spełniona, jeŝeli istnieje taka interpretacja I, Ŝe p jest prawdziwa w I falsyfikowalna, jeŝeli istnieje taka interpretacja I, Ŝe p jest fałszywa w I Przykłady tautologii modus ponendo ponens ((p q) p) q modus tolendo tolens ((p q) q) p prawa de Morgana (p q) = p q 5

6 (p q) = p q prawa kompozycji ((p q) r) (p r) ((p q) r) (q r) prawa pochłaniania p (p q) p p (p q) p prawa przemienności p q q p p q q p (p q) (q p) prawa rozdzielności p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) prawa symplifikacji (p q) p q (p q) q (p q) 2.5 Postacie normalne W świetle praw przemienności nawiasy w wyraŝeniach (p q) r lub (p q) r mogą być opuszczone. Ogólnie, moŝna bez obawy popełnienie błędu pisać p 1 p 2... p n, gdzie p i, i = 1,...,n są formułami. Formułę q p 1 p 2... p n nazywamy formułą dyzjunkcyjną (w skrócie: dyzjunkcją), a formułę q p 1 p 2... p n nazywamy formułą koniunkcyjną (w skrócie: koniunkcją). ZauwaŜmy, Ŝe porządek składników (czynników) formuły dyzjunkcyjnej (koniunkcyjnej) nie wpływa na jej wartość logiczną Literą (literałem) nazywamy atom lub negację atomu Formuła q stanowi koniunkcyjną postać normalną (KPN), gdy jest koniunkcją p 1 p 2... p n, gdzie kaŝdy czynnik p i ma kształt dyzjunkcji literałów Formułę będącą pojedynczą literą traktuje się jako alternatywę z jednym członem, jako Ŝe jest ona równowaŝna dyzjunkcji p p. Formuła będąca pojedynczą dyzjunkcją, np. p q uwaŝana jest za jednoczłonową koniunkcję, gdyŝ jest równowaŝna z (p q) (p q) Sprowadzenie formuły q do KPN pozwala rozstrzygnąć czy q jest, czy nie jest tautologią dzięki następującemu twierdzeniu. JeŜeli q jest w KPN, to q jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝdy jej czynnik zawiera jednocześnie jakąś zmienną i jej negację. Istotnie, koniunkcja p 1 p 2... p n jest tautologią wtw, gdy wszystkie jej czynniki są tautologiami. Gdy czynnik p i zawiera zmienną i jej negację, to stanowi prawdziwą alternatywę; jeŝeli natomiast Ŝadna taka para nie występuje w p i, alternatywa ta będzie przy pewnych interpretacjach fałszywa Aby sprowadzić dowolna formułę do KPN korzystamy z reguł zastępowania i reguł transformacji. Reguły zastępowania pozwalają wyeliminować symbole implikacji i równowaŝności: (Imp) p q wolno zastąpić przez p q, 6

7 (Rw) p q wolno zastąpić przez ( p q) ( q p) Reguły transformacji to: prawa de Morgana, prawa podwójnej negacji, łączności, przemienności, rozdzielności, itp Przykład. Sprowadzić do KPN formułę ((p q) p) q. KaŜdy wiersz w poniŝszym ciągu powstaje z poprzedniego przez zastosowanie reguły wymienionej w prawej kolumnie. ((p q) p) q (( p q) p) q (Imp) zastosowana dwa razy ( ( p q) p) q prawo de Morgana ((p q) p) q prawo de Morgana i podwójne przeczenie q ( p (p q)) przemienność q (( p p) ( p q)) rozdzielność (q ( p p)) (q ( p q)) rozdzielność (q ( p p)) ((q q) p) przemienność, łączność Formuła q stanowi alternatywną postać normalną (APN), gdy jest dyzjunkcją p 1 p 2... p n, gdzie kaŝdy składnik p i ma kształt koniunkcji literałów Formuła w APN jest logicznie fałszywa (jest kontrtautologią) wtw, gdy kaŝdy składnik zawiera jednocześnie jakąś zmienną i jej negację. Zatem procedura sprowadzania formuły do APN nadaje sie do wykazania fałszywości tej formuły. Tej samej metody moŝna uŝyć do wykazania, Ŝe formuła jest tautologią; wystarczy bowiem udowodnić fałszywość jej zaprzeczenia Przykład. RozwaŜmy formułę (p p). Jej zaprzeczenie ( (p p)), a więc p p, jest równowaŝne następującym formułom (p p) ( p p) (Rw), przemienność ((p p) p) ((p p) p) rozdzielność (p p) (p p) (p p) (p p) rozdzielność Ostatnie z tych formuł jest oczywiście sprzeczna, a zatem formuła (p p) jest tautologią Konsekwencja logiczna Przykład. ZałóŜmy, Ŝe kurs akcji spada, jeŝeli rosną stopy procentowe. JeŜeli kurs akcji spada to większość ludzi jest niezadowolona. Ze stwierdzeń tych moŝna wywnioskować, Ŝe jeŝeli rosną stopy procentowe to większość ludzi jest niezadowolona. Aby wykazać to stwierdzenie wprowadźmy zmienne p stawki procentowe rosną, q kurs akcji spada, r większość ludzi jest niezadowolona. Wypowiedziane wyŝej zdania mają postać: 7

8 1. p q 2. q r 3. p 4. r PokaŜmy, Ŝe (4) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy (1) (2) (3) prawdziwe. W tym celu przekształćmy (p q) (q r) (p) do KPN: (p q) (q r) (p) ( p q) ( q r) (p) (Imp) (p ( p q) ( q r)) przemienność (((p p) (p q)) ( q r)) rozdzielność (((p p) (p q q)) (p q r)) rozdzielność 0 0 (p q r) (p q r) Oznacza to, Ŝe jeŝeli formuła (p q) (q r) p jest prawdziwa, to prawdziwa jest formuła (p q r). Ta ostatnia formuła jest prawdziwa tylko wtedy gdy wszystkie jej czynniki są jednocześnie prawdziwe. A zatem r jest prawdziwe, jeŝeli tylko prawdziwa jest formuła (p q) (q r) p Definicja. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Mówimy, Ŝe q jest semantyczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n (lub, Ŝe q wynika logicznie z p 1 p 2,..., p n ) wtw, gdy dla kaŝdej interpretacji I, w której koniunkcja p 1 p 2... p n jest prawdziwa, prawdziwa jest formuła q. p 1 p 2,..., p n nazywamy aksjomatami (postulatami, lub przesłankami) q. JeŜeli przez A oznaczymy zbiór przesłanek, a przez q konkluzję, to q jest semantyczną konsekwencją A, co oznaczamy A = q, wtw, gdy nie ma takiej interpretacji, dla której kaŝda formuła z A jest prawdziwa, a q jest fałszywa Twierdzenie. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Formuła q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n wtw, gdy formuła (p 1 p 2... p n ) q jest tautologią. UWAGA: JeŜeli q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n, to ((p 1 p 2... p n ) q) nazywamy twierdzeniem, a q konkluzja twierdzenia Twierdzenie. Niech dane będą formuły p 1 p 2,..., p n, oraz formuła q. Formuła q jest logiczną konsekwencją formuł p 1 p 2,..., p n wtw, gdy formuła (p 1 p 2... p n q) jest kontrtautologią Przykład. Dane są formuły f 1 (p q), f 2 q, f 3 p. Pokazać, Ŝe f 3 jest konsekwencją logiczną f 1 i f 2. 2 GdyŜ negacją formuły (p 1 p 2... p n ) q jest (p 1 p 2... p n q). 8

9 Metoda zero-jedynkowa. Konstruujemy matryce logiczna i sprawdzamy, czy f 3 jest prawdziwa w kaŝdym modelu formuły (p q) q. Z podanej niŝej tabeli wynika, Ŝe posiada tylko jeden model: { p, q}. Formuła p jest prawdziwa w tym modelu, a zatem f 3 jest konsekwencją logiczną f 1 i f 2. p q p q q (p q) q p Druga metoda polega na wykorzystaniu twierdzenia 2.6.3, czyli na wykazaniu, ze (p q) q p jest tautologią. MoŜna tu wykorzystać metodę zerojedynkową, albo przekształcić tę ostatnią formułę do KPN. Skorzystajmy z tej drugiej metody. (p q) q p ((p q) q) p (Imp) (( p q) q) p (Imp) (( p q) (q q)) p rozdzielność (( p q) 0) p ( p q) p (p q) p podwójna negacja q (p p) przemienność i łączność q Trzecia metoda polega na wykorzystaniu twierdzenia 2.6.4, czyli na wykazaniu, ze formuła ((p q) q p) jest kontrtautologią. MoŜna tu wykorzystać metodę zero-jedynkową, albo przekształcić tę ostatnią formułę do APN Aparat dedukcyjny dla logiki zdań Uwaga: Punkt ten traktujemy tak, jakby następował bezpośrednio po 2.2, tzn. załóŝmy, Ŝe nie wiemy niczego o jakiejkolwiek interpretacji języka L logiki zdań Aksjomaty logiki zdań JeŜeli A,B i C są dowolnymi formułami w L to aksjomatami są (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( A B) (B A) Nic poza tym nie jest aksjomatem. Uwagi: 9

10 WyraŜenia A (B A) itp. naleŝą do metajęzyka ( A i B nie są symbolami L). Tak więc (A1) (A3) naleŝy traktować jako schematy aksjomatów: aksjomatem będzie kaŝda formuła równokształtna z (A1), (A2) lub (A3). Np. na mocy (A1) otrzymujemy następujące aksjomaty: p (q p) p (p p) p (p p) O aksjomatach tych nie zakłada się, Ŝe są prawdami oczywistymi. Zostały one zdefiniowane bez odwoływania się bez jakiejkolwiek interpretacji Reguła inferencji Gdy A i B są dowolnymi formułami w L, to B jest bezpośrednią konsekwencją pary formuł A i (A B). Jest to reguła MP (modus ponens). Oznaczamy ją teŝ A, A B B Definicja. Dowodem jest skończony (lecz nie pusty) ciąg formuł języka L, z których kaŝda jest albo aksjomatem, albo bezpośrednią konsekwencją pewnych dwóch formuł poprzedzających ja w tym ciągu. Przykład: p ((p p) p) (A1) (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) (A2) (p (p p)) (p p) MP formuł (1) i (2) p (p p) (A1) p p MP formuł (3) i (4) Definicja. Formuła p jest twierdzeniem, co oznaczamy p, jeŝeli istnieje dowód, którego ostatnią formułą jest p. Uwaga: w ciągu, który jest dowodem, kaŝda formuła jest twierdzeniem Definicja. Ciąg formuł jest derywacją formuły p ze zbioru A wtw, gdy (a) Jest on skończonym (lecz nie pustym) ciągiem formuł języka L, przy czym (b) Ostatnią formułą w tym ciągu jest p, oraz (c) KaŜda formuła w tym ciągu jest albo aksjomatem, albo bezpośrednią konsekwencją pewnych dwu formuł poprzedzających ja w tym ciągu, albo elementem zbioru A. Z powyŝszego określenia wynika, Ŝe kaŝdy dowód jest derywacją ze zbioru pustego Definicja. Formuła p jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł A, co oznaczamy A p, wtw, gdy istnieje derywacją p z A. 10

11 2.7.7 Definicja. Zbiór A jest teoriodowodowo niesprzecznym zbiorem formuł wtw gdy dla Ŝadnej formuły p nie ma tak, Ŝe A p, i zarazem A p Twierdzenie o dedukcji (Alfred Tarski, 1921): A, p q to A (p q) JeŜeli q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł {A, p} to p q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru A} 2.8 Konsekwencja semantyczna a konsekwencja syntaktyczna. KaŜde twierdzenie jest logicznie poprawne, tzn. jeŝeli q to = q. JeŜeli q jest syntaktyczną konsekwencją zbioru formuł A to jest semantyczną konsekwencją tego zbioru, A q to A = q. 3. Logika predykatów 3.1 Wprowadzenie Logika predykatów wraz z logika zdań stanowi całość logiki formalnej. O ile logika zdań dostarcza praw wnioskowania odwołujących się do struktury zdań złoŝonych (nie wnikając w budowę zdań będących składnikami owych złoŝeń), to logika predykatów dostarcza praw wnioskowania odwołujących się do wewnętrznej budowy zdań, w której wyróŝnia się predykaty (odpowiednik orzeczenia w tradycyjnej gramatyce), argumenty predykatów (odpowiednik podmiotu), oraz kwantyfikatory wskazujące, do których (wszystkich lub wybranych) przedmiotów odnoszą się predykaty 3.2 Język formalny dla logiki predykatów Symbole języka nieskończenie wiele zmiennych zdaniowych: p, q, r,... nieskończenie wiele stałych indywiduowych (słuŝą do nazywania obiektów): a, b, c,... nieskończenie wiele zmiennych indywiduowych: x, y, z,... nieskończenie wiele symboli predykatowych: P, Q,... nieskończenie wiele symboli funkcyjnych: f, g, h,... stałe logiczne, tzn. spójniki logiki zdań oraz symbole specyficzne (kwantyfikatory) znaki graficzne: nawiasy, myślnik, przecinek 3.2.1a) Dopuszcza się stosowanie ciągów liter na oznaczanie stałych indywiduowych, symboli funkcyjnych oraz symboli predykatowych, ew. indeksowanie symboli. 11

12 3.2.1b) Symbole funkcyjne i predykatowe mają określoną liczbę argumentów, n. Dla symboli predykatowych n > 0, a dla symboli funkcyjnych n 0 (symbol funkcyjny, dla którego n = 0 utoŝsamiamy ze stałą indywiduową) c) Symbole funkcyjne słuŝą do nazywania funkcji, tzn. odwzorowań uporządkowanych n-tek stałych w określone stałe. Symbole predykatowe słuŝą do nazywania predykatów, tzn. wyraŝeń zawierających pewne zmienne i opisujących pewną własność lub pewną relację. Predykaty to odwzorowania przypisujące n-tkom stałych wartość logiczną 1 (prawda) lub 0 (fałsz) Termy. Stała jest termem. Zmienna jest termem. JeŜeli f jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym i t 1,...t n są termami to f(t 1,...t n ) jest termem. Innych termów nie ma. Przykłady. (a) Niech plus będzie dwuargumentowym symbolem funkcyjnym. plus(x, 1) jest termem bo stała 1 i zmienna x są termami. Podobnie plus (plus (x,1),1) jest termem. (b) ojciec(jan), ojciec (ojciec(jan)) są termami Atomy. JeŜeli P jest n-argumentowym symbolem predykatowym i t 1,...t n są termami, to P(t 1,...t n ) jest formułą atomową, w skrócie: atomem. Przykład: Niech EQ będzie 2-argumentowym symbolem predykatowym. EQ(x,y), EQ(plus(x, 1), plus(y, 1)) są atomami Niech Q będzie dowolnym, tzn. ogólnym ( ) lub egzystencjalnym ( ), kwantyfikatorem. RozwaŜmy wyraŝenie postaci (Qx)A. A nazywamy zasiegiem kwantyfikatora Q, natomiast x zmienną objętą kwantyfikatorem. Zmiennymi związanymi kwantyfikatorem Q są wszystkie symbole zmiennych równokształtne ze zmienną objęta kwantyfikatorem i zawarte w jego zasięgu. Pewna litera jest zmienną wolną w A gdy nie jest zmienną związaną w A. Przykłady: (a) ( x) P(x,y) (b) ( x) P(x) ( y)q(x,y) x jest zmienną związaną, y - swobodną x jest zmienną swobodną i związaną, y - związaną Formuły (a) Atom jest formułą (b) JeŜeli F i G są formułami, to: F, F G, F G, F G, F G są formułami (c) JeŜeli F jest formułą, a x jest zmienną wolną w F to ( x)f i ( x)f są formułami (d) Innych formuł nie ma. 12

13 Formułę, w której nie występują zmienne wolne nazywamy formułą domkniętą (zdaniem). Formułę, która nie jest domknięta nazywamy otwartą. JeŜeli w F występują symbole zmiennych wolnych, x 1,...,x n, to formułę ( x 1 )...( x n )F nazywamy uniwersalnym domknięciem formuły F i oznaczamy symbolem F c. 3.3 Przykłady Aksjomaty liczb naturalnych: A 1 : Dla kaŝdej liczby istnieje jedna i tylko jedna liczba występująca bezpośrednio za nią A 2 : Nie istnieje liczba, za którą bezpośrednio występuje 0 A 3 : Dla kaŝdej liczby róŝnej od zera istnieje dokładnie jedna liczba występująca przed nią. Niech f(x) oznacza liczbę występującą bezpośrednio za x, a g(x) liczbę występującą bezpośrednio przed x. Niech E(x,y) oznacza x = y. PowyŜsze aksjomaty reprezentują formuły: S 1 : ( x)( y)(e(y, f(x)) ( z)(e(z, f(x)) E(y,z))), S 2 : (( x) E(0,f(x)) S 3 : ( x)( E(0,x) (( y) E(y,g(x)) ( z)(e(z, g(x)) E(y,z)) E(y,z))) (analiza scen) RozwaŜmy sytuację z rys. 1 przedstawiającą układ trzech klocków. Określając predykaty NA(x,y), NA-STOLE(x), LUZEM(x), z których pierwszy wskazuje, Ŝe na klocku x leŝy klocek y, drugi Ŝe klocek x leŝy na stole, a trzeci, ze klocek x jest luzem, powyŝszą sytuację opisuje formuła S = S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 gdzie: S 1 : NA(A,C), S 2 : NA-STOLE(A), S 3 : NA-STOLE(B), S 4 : LUZEM(B), S 5 : LUZEM(C), S 6 : ( x)(luzem(z) ( x)na(z,x)) Ten sposób opisu scen wykorzystano w systemie STRIPS. C A B Rys. 1 Prosta scena 13

14 3.3.3 Niech PRACUJE-W(x,z) oznacza, Ŝe pracownik x zatrudniony jest w wydziale produkcyjnym z i niech MAŁśEŃSTWO(x,y) oznacza, Ŝe x i y są małŝeństwem. Formuła ( x)( y)( z) (MAŁśEŃSTWO(x,y) (PRACUJE-W(x,z) PRACUJE-W(y,z))) reprezentuje przepis, Ŝe małŝonkowie nie mogą być zatrudnieni w tym samym miejscu pracy. 3.4 Interpretacja formuł logiki predykatów Niech L 1 oznacza język logiki predykatów Interpretację dla L 1 wyznacza uporządkowana para (D, F), gdzie D jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną interpretacji, natomiast F jest odwzorowaniem takim, Ŝe (a) KaŜdej stałej indywiduowej przyporządkowany jest pewien element ze zbioru D, (b) KaŜdemu n-argumentowemu symbolowi funkcyjnemu f przyporządkowana jest pewna funkcja f I : D n D, (c) KaŜdemu n-argumentowemu symbolowi predykatowemu P przyporządkowana jest pewna funkcja P I : D n {0,1} będąca funkcją charakterystyczną pewnej n- argumentowej relacji w D; stałe 0 i 1 odpowiadają stałym logicznym Dla kaŝdej interpretacji w dziedzinie D formuła przyjmuje wartość 1 lub 0 zgodnie z następującymi regułami: (a) JeŜeli znane są wartości formuł G i H to znaczenia formuł G, H G, H G, H G, H G wyznaczane są przy uŝyciu tabel prawdziwościowych. (b) ( x) G otrzymuje wartość 1 tylko wtedy, gdy G ma wartość 1 dla kaŝdego elementu x z D; w przeciwnym razie ( x) G otrzymuje wartość 0 (c) ( x) G otrzymuje wartość 1 tylko wtedy, gdy G ma wartość 1 dla przynajmniej jednego elementu x z D; w przeciwnym razie ( x) G otrzymuje wartość Przykłady interpretacji RozwaŜmy formuły ( x) P(x), ( x) P(x). Przyjmujemy następującą interpretację: D = {1,2}, P I (1) = 1, P I (2) = 0. Oczywiście ( x) P(x) otrzymuje wartość 0, natomiast ( x) P(x) wartość Dana jest formuła ( x) ( y) P(x,y). Niech D = {1,2}, a P I zadane jest następująco: P I (1,1) P I (1,2) P I (2,1) P I (2,2) Dla x = 1 istnieje takie y (y=1) Ŝe P I (1,y) = 1, podobnie dla x = 2. Zatem formuła jest prawdziwa w tej interpretacji Dana jest formuła ( x) (P(x) Q(f(x),a)). Określamy interpretację I: D = {1,2}, 14

15 a 1 f I (1) =2, f I (2) = 1. P I (1) P I (2) Q I (1,1) Q I (1,2) Q I (2,1) Q I (2,2) Gdy x = 1 to P(x) Q(f(x),a) = P(1) Q(f(1),1) = P(1) Q(2,1) = 0 0 = 1. Gdy x = 2 to P(x) Q(f(x),a) = P(2) Q(f(2),1) = P(2) Q(1,1) = 1 1 = 1. Zatem formuła jest prawdziwa w interpretacji I (ćwiczenie) Przyjmijmy interpretację jak w i sprawdźmy formuły (a) ( x) (P(f(x)) Q(x, f(a))), (b) ( x) (P(x) Q(x, a)), (c) ( x)( y) (P(x) Q(x, y)), Klasyfikacja formuł Formuła A jest: formułą prawdziwą logicznie (prawda logiczną) jeŝeli jest prawdziwa przy kaŝdej interpretacji logicznie sprzeczna jeŝeli jest fałszywa przy kaŝdej interpretacji spełnialna tylko wtedy gdy dla przynajmniej jednej interpretacji istnieje co najmniej jeden ciąg indywiduów, który spełnia A (np. x < y jest formułą spełnialną gdyŝ istnieje interpretacja <np. dziedzina liczb naturalnych> i wartościowanie <np. ciąg (3,4)>, które spełnia tę formułę) konsekwencją logiczną zbioru formuł X wtw przy kaŝdej interpretacji, kaŝdy ciąg, który spełnia wszystkie formuły zbioru X, spełnia równieŝ A. Mówimy, Ŝe A wynika logicznie z X, lub X implikuje logicznie A. Jako przykład rozwaŝmy następujące Twierdzenie: Niech A P będzie formułą opisującą program P (por ). A P jest formułą spełnialną. Dowód: Dla kaŝdej krawędzi a istnieje klauzula zawierająca pozytywna literę, mianowicie Q j (x, f a (x, y)). Zatem w A P dowolna klauzula zawiera pozytywna literę. Niech v 1,..., v m oznaczają wszystkie węzły grafu z wyjątkiem węzła startowego. Niech I będzie interpretacją, w której pewnej literze Q i (x, y), 1 i m, przypisano wartość logiczną 1. Oczywiście odpowiednia klauzula przyjmuje wartość 1, a w konsekwencji A P jest spełnione w tej interpretacji. // 3.5 Skolemowska postać normalna Omówimy teraz metodę przekształcania formuł logiki predykatów pierwszego rzędu do modelowo równowaŝnej postaci nazywanej skolemowską postacią normalną (SPN). Formuły 15

16 F 1, F 2 nazywamy modelowo równowaŝnymi jeŝeli jednocześnie kaŝda formuła posiada model lub tez obie formuły nie maja modelu Preneksyjna (kwantyfikatorowa) postać normalna (PPN) Formuła jest w PPN gdy ma postać (Q 1 x 1 )...(Q n x n )M gdzie Q i, 1 i n, jest albo kwantyfikatorem uniwersalnym albo egzystencjalnym, natomiast M tzw. matryca jest formułą nie zawierającą kwantyfikatorów. Część formuły poprzedzającą matrycę, tzn. (Q 1 x 1 )...(Q n x n ), nazywamy prefiksem. Istotne jest, Ŝe Ŝaden kwantyfikator nie jest poprzedzony znakiem negacji. Sposób sprowadzania formuły do PPN podano w Tablicy Przykład (ilustracja kroku 3 rozdzielanie zmiennych). Formuła ( x)[p(x) ( x)q(x)] jest równowaŝna formule ( x)[p(x) ( y)q(y)], a ta z kolei formule por. Krok 1 - ( x)[ P(x) ( y)q(y)]. Stosując (4) dostajemy ( x)( y) [ P(x) Q(y)] Przykład. RozwaŜmy formułę ( x) (P(x) K(x) ( y)(s(x,y) C(y))). Krok1: ( x) ( P(x) K(x) ( y)(s(x,y) C(y))). Krok4: ( x)( y) ( P(x) K(x) (S(x,y) C(y))). 1 Z formuły F eliminujemy spójniki oraz posługując się skończoną ilość razy prawami: F G = F G F G = (F G ) (G F ) 2 Wprowadzamy negacje bezpośrednio przed symbole atomiczne: ( F) = F (F G) = F G (F G) = F G [( x) G(x)] = ( x)( G(x)) [( x) G(x)] = ( x)( G(x)) 3 Przemianowanie zmiennych związanych tak, aby w zasięgu kaŝdego kwantyfikatora występowały zmienne o róŝnych symbolach. 4 Tworzymy prefiks korzystając skończoną ilość razy z praw: (Qx) F(x) G (Qx) (F(x) G) (Qx) F(x) G (Qx) (F(x) G) ( x) F(x) ( x) G(x) ( x) (F(x) G(x)) ( x) F(x) ( x) G(x) ( x) (F(x) G(x)) (Q 1 x) F(x) (Q 2 x) G(x) (Q 1 x) (Q 2 y) [F(x) G(y)] (Q 1 x) F(x) (Q 2 x) G(x) (Q 1 x) (Q 2 y) [F(x) G(y)] Tablica 3.1 Sprowadzanie formuły do PPN 16

17 3.5.2 Skolemowska postać normalna stosowana jest w większości procedur automatycznego dowodzenia twierdzeń. Powiemy, Ŝe formuła otwarta F jest w SPN jeŝeli przedstawia się jako (P P m1 1 )... (P 1 k... P mk k ) gdzie wszystkie P i j są atomami lub negacjami atomów. Czynnik (P P m1 1 ) nazywamy klauzulą. Sposób sprowadzania formuły do SPN przedstawia tablica JeŜeli formuła zawiera zmienne wolne, tworzymy jej domkniecie uniwersalne (pkt ) 2 Sprowadzamy formułę do PPN (Tablica 3.1) 3 Korzystając z prawa rozdzielczości P Q R = (P R) (Q R) doprowadzamy uzyskaną w p. 2 matrycę do koniunkcji alternatyw atomów bądź negacji atomów 4 Likwidujemy symbole kwantyfikatorów egzystencjalnych zastępując związane przez nie symbole zmiennych funkcjami skolemowskimi (por. pkt ) Tablica 3.2 Sprowadzanie formuły do SPN Realizacja kroku 4. RozwaŜmy prefiks (Q 1 x 1 )...(Q n x n ) formuły w PPN i przypuśćmy, Ŝe (Q r x r ), 1 r n, jest kwantyfikatorem egzystencjalnym i nie poprzedzają go kwantyfikatory uniwersalne. Wybieramy stałą c, róŝną od stałych występujących w M, i w miejsce zmiennej x r wstawiamy c wykreślając jednocześnie (Q r x r ) z prefiksu. JeŜeli na lewo od (Q r x r ) występują kwantyfikatory uniwersalne (Q s1 x s1 ),... (Q s_m x s_m ), to wybieramy nowy róŝny od występujących w M m-argumentowy symbol funkcyjny f, zamieniamy x r na f(x s1,... x s_m ) i usuwamy (Q r x r ) z prefiksu Przykład. W formule ( x)( y)( z)( u)( v)( w) P(x,y,z,u,v,w) na lewo od ( x) nie ma Ŝadnych kwantyfikatorów, na lewo od ( u) występują kwantyfikatory ( y)( z), a na lewo od ( w) kwantyfikatory ( y), ( z) i ( v). Zastępując x przez stałą a, u przez funkcję skolemowską f(y, z), a zmienną w przez funkcję g(y, z, v) otrzymujemy formułę ( y)( z)( v) P(a, y, z, f(y, z), v, g(y, z, v)) Przykład. Dana jest formuła ( x)( y) ( P(x) K(x) (S(x,y) C(y))) Korzystając z tautologii A (B C) = (A B) (A C) sprowadzamy te formułę do postaci, w której matryca ma koniunkcyjną postać normalną: ( x)( y) {[ P(x) K(x) S(x,y)] [ P(x) K(x) C(y)]} a następnie do postaci standardowej: ( x) {[ P(x) K(x) S(x, f(x))] [ P(x) K(x) C( f(x))]} Przykład. Dana jest formuła 17

18 ( x) { P(x) [( y) (P(y) P(f(x, y))) ( x)(q(x, y) P(y))]} Sprowadzamy powyŝszą formułę do PPN: Krok 1 (T3.1): ( x) { P(x) [( y) ( P(y) P(f(x, y))) ( x)( Q(x, y) P(y))]} Krok 2 (T3.1): ( x) { P(x) [( y) ( P(y) P(f(x, y))) ( x)(q(x, y) P(y))]} Krok 3 (T3.1): ( x) ( y) ( z) { P(x) [( P(y) P(f(x, y))) (Q(x, z) P(z))]} Uzyskano formułę PPN. Sprowadzamy matrycę do koniunkcyjnej postaci normalnej ( x)( y)( z) {[ P(x) P(y) P(f(x, y))] [ P(x) Q(x, z)] [ P(x) P(z)]} Redukujemy kwantyfikator egzystencjalny: ( x)( y) {[ P(x) P(y) P(f(x, y))] [ P(x) Q(x, h(x,y))] [ P(x) P(h(x,y))]} Klauzule Dyzjunkcję symboli atomicznych lub ich negacji (tzn. literałów) nazywamy klauzulą Koniunkcję klauzul K 1... K n zapisujemy w postaci { K 1,..., K n }. Formuła z p zawiera trzy klauzule: { P(x) P(y) P(f(x, y)), P(x) Q(x, z), P(x) P(z)} JeŜeli L 1, L 2 są literami, przy czym L 1 = L 2 to mówimy, Ŝe (L 1, L 2 ) jest para kontrarną. 3.6 Procedura unifikacji Przy dowodzeniu twierdzeń zachodzi konieczność sprowadzania róŝnych formuł do jednolitej postaci. Np. chcąc wyprowadzić twierdzenie Q(a) z aksjomatów {( x) (P(x) Q(x)), P(a)} naleŝy zunifikować atomy P(x) i P(a) wprowadzając podstawienie a w miejsce x. Proces zastępowania zmiennych termami nazywamy unifikacją Definicja. Podstawieniem nazywamy skończony zbiór postaci θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n } gdzie x i oznacza zmienną, t i oznacza term, przy czym x i x j oraz t i t j. JeŜeli wszystkie termy są podstawowe (nie zawierają zmiennych) to θ nazywamy podstawieniem podstawowym Nomenklatura. a) Przez wyraŝenie rozumiemy term, zbiór termów, zbiór atomów, literę, klauzulę lub zbiór klauzul. b) Przez wyraŝenie podstawowe rozumiemy wyraŝenie, w którym nie występują zmienne. c) PodwyraŜeniem wyraŝenia E nazywamy wyraŝenie występujące w E Niech θ będzie podstawieniem, θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n }, a E wyraŝeniem. WyraŜenie Eθ otrzymane z E przez jednoczesne zastąpienie wszystkich zmiennych wskazanych w θ odpowiadającymi im termami nazywamy przykładem (egzemplarzem) E. 18

19 Przykład. Niech E = {P(x, f(y), a}, θ = {g(z)/x, b/y}. Wówczas Eθ = {P(g(z), f(b), a} Niech θ będzie podstawieniem, θ = {t 1 /x 1,..., t n /x n }, a Σ = = {u 1 /y 1,..., u m /y m }. ZłoŜeniem θ i Σ nazywamy podstawienie θ Σ = {t 1 Σ/x 1,..., t n Σ/x n, u 1 /y 1,..., u m /y m } otrzymane przez zastąpienie termów z θ termami z Σ i dołączenie par z Σ zawierających zmienne nie występujące w θ. Tzn. z uzyskanego zbioru θ Σ wykreślamy te elementy, w których t i Σ = x i, oraz elementy u j /y j takie, Ŝe y j {x 1,...,x n } Przykład. Niech θ = {f(y)/x, z/y}, Σ = {a/x, b/y, y/z}. θ Σ = {f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z}. Zgodnie z konwencją z θ Σ wykreślamy elementy postaci x i /x i oraz te zmienne z Σ, w których występują zmienne identyczne ze zmiennymi w θ. Ostatecznie θ Σ = {f(b)/x, y/z} Przykład. Niech θ = {g(x,y)/z}, Σ = {a/x, b/y, c/w, d/z}. Tutaj θ Σ ={g(a,b)/z, a/x, b/y, c/w}, natomiast Σ θ = Σ θ Σ Składanie podstawień jest łączne, co m.in. oznacza, Ŝe (Eθ 1 )θ 2 = E(θ 1 θ 2 ). Ponadto podstawienie puste, ε (nie zawierające Ŝadnego elementu) ma własność εθ = θε Podstawienie θ nazywamy unifikatorem zbioru wyraŝeń E = {E 1,...,E n } jeŝeli E 1 θ =... = E n θ. Zbiór E nazywamy wówczas unifikowalnym Unifikator σ zbioru wyraŝeń E nazywamy unifikatorem głównym wtw dla kaŝdego unifikatora θ zbioru E istnieje takie podstawienie Σ, Ŝe θ = σ Σ Przykład. Niech E = {P(x, f(y), a), P(x, f(a), a)}. Podstawienie θ = {b/x, a/y} unifikuje wyraŝenia z E do postaci P(b, f(a), a). θ nie jest unifikatorem głównym. MoŜna sprawdzić, ze σ = {a/y} jest unifikatorem głównym. Wówczas θ = σ {b/x} Zbiór rozbieŝności (disagreement set) R niepustego zbioru wyraŝeń E otrzymujemy wyszukując pierwszą od lewej pozycję, począwszy od której nie we wszystkich wyraŝeniach z E występują te same symbole i wypisując z kaŝdego wyraŝenia z E podwyraŝenie zaczynające się od symbolu zajmującego te pozycję Przykład. Niech E = {P(x), P(a)}. R = {x,a} Algorytm unifikacji podano w Tablicy 3.3. Posiada on następującą własność. JeŜeli E jest skończonym, niepustym i unifikowalnym podzbiorem wyraŝeń, to algorytm kończy się zawsze po realizacji kroku 2, a znaleziony unifikator s k jest unifikatorem głównym. 1 k = 0; E k = E; s k = ε 2 JeŜeli E k jest klauzulą jednostkową to STOP; s k jest unifikatorem głównym dla E. W 19

20 przeciwnym razie dla E k określamy zbiór rozbieŝności R k. 3 JeŜeli w R k istnieją elementy x k, t k takie, Ŝe x k jest zmienną nie występującą w t k to przechodzimy do kroku 4. W przeciwnym razie STOP E nie jest unifikowalny. 4 s k+1 = s k {t k /x k } E k+1 = E k {t k /x k }= E s k+1 k = k+1 i powrót do (2) Tabela 3.3 Algorytm unifikacji Przykład. Niech E = {Q(f(a), g(x)), Q(y,y)}. Mamy kolejno: 1. k = 0; E k = E; s k = ε 2. R 0 = { f(a), y} 3. R 0 zawiera zmienną y i term f(a), w którym ta zmienna nie występuje. Zatem: 4a) s 1 = s 0 {f(a)/x} = {f(a)/x} 4b) E 1 = {Q(f(a), g(x)), Q(f(a), f(a))}.. 2. R 1 = { g(x), f(a)} 3. R 1 nie zawiera explicite zmiennej, co oznacza, Ŝe E nie jest unifikowalny. STOP. 4. Zasada rezolucji 4.1 Wprowadzenie Zaproponowana w 1965 r. przez J. A. Robinsona zasada rezolucji stanowi z algorytmicznego punktu widzenia jedną z najbardziej atrakcyjnych metod dowodzenia twierdzeń. Pod pojęciem zasady rezolucji rozumiemy następującą regułę wnioskowania α β, α γ β γ Wniosek β γ nazywamy rezolwentą przesłanek α β oraz α γ JeŜeli dla dowolnych dwóch klauzul C 1, C 2 istnieje kontrarna para literałów L 1, L 2, to usuwając tę parę otrzymujemy klauzulę złoŝoną z pozostałych liter w C 1 i C 2. Wynikowa klauzula nazywana jest rezolwentą. Przykład: Rezolwentą klauzul C 1 = {P,R}, C 2 = { P, Q} jest Res(C 1, C 2 ) = {R, Q} Twierdzenie. Niech C 1, C 2 będą dwiema klauzulami. Ich rezolwenta, Res(C 1, C 2 ), jest logiczną konsekwencją formuły (C 1 C 2 ) Uwzględniając twierdzenie oraz twierdzenie celem udowodnienia C naleŝy do S dodać klauzulę C. Wówczas sprawdzenie, Ŝe C 1 C 2... C n C jest kontrtautologią jest równowaŝne uzyskaniu rezolwenty równowaŝnej klauzuli pustej,. Niedeterministyczny (gdyŝ nie określa strategii wybierania klauzul ze zbioru S) algorytm automatycznego dowodzenia twierdzeń przedstawiono w Tablicy

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1.2.3 Funkcjonalna pełność

1.2.3 Funkcjonalna pełność 1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie

Bardziej szczegółowo

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdao i logika matematyczna

Rachunek zdao i logika matematyczna Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW

16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16.1. Cele zrozumienie, w jakim sensie logika kwantyfikatorów jest poszerzeniem logiki zdań umiejętność symbolizacji prostych zdań indywiduowych i skwantyfikowanych

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji. Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Alfred N. Whitehead

Alfred N. Whitehead Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja

Bardziej szczegółowo

Jak wnioskują maszyny?

Jak wnioskują maszyny? Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych Bazy dedukcyjne 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych Bazy dedukcyjne to nowe podejście do projektowania baz danych, oparte na logice matematycznej. W porównaniu do poprzednich modeli baz

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE.

3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE. .. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE. m równania (pierwiastkiem równania) z jedną niewiadomą nazywamy liczbę, która spełnia dane równanie, tzn. jeśli w miejsce niewiadomej podstawimy tę liczbę, to otrzymamy

Bardziej szczegółowo

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. 1 Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Problemy: Zapoznaj się z teorią funkcji pierwotnie rekurencyjnych. Ważne są definicje klasy

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 4. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRP. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 4. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRP. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 4 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 4 Semantyka KRP 1 / 204 Wprowadzenie Uszy i Ogon

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1 Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza

Bardziej szczegółowo

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy 2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja 2.1 Funkcje i termy Zapoznanie się z systemami reprezentacji wiedzy logicznej ograniczyliśmy jak dotąd do rachunku kwantyfikatorów i nie były rozwaŝane

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? Co znaczą i co oznaczają?

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie i wnioskowanie Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wiedza AI to nauka o komputerowych modelach wiedzy umożliwiających rozumienie, wnioskowanie i działanie. Inteligentne

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych

Dedukcyjne bazy danych Dedukcyjne bazy danych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Dedukcyjne bazy danych p.1/37 Plan seminarium Wprowadzenie Podstawy matematyczne Podstawowe

Bardziej szczegółowo