Programowanie logiczne a negacja
|
|
- Teodor Zbigniew Mikołajczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r.
2 SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji Reguła CWA (Closed World Assumption) Reguła NF (Negation as Failure) Programy z negacją Dopełnienie programu SLDNF rezolucja Negacja w Prologu 7 5 Bibliografia 9 1
3 1 Wstęp Programowanie logiczne a negacja 1 Wstęp SLD-rezolucja pozwala nam tylko na wywodzenie pozytywnych informacji z pozytywnych programów. W wielu okolicznościach użyteczna może być możliwość wywodzenia negatywnych informacji. Jeśli negatywne informacje mogą być wywodzone z pozytywnych programów, to naturalnym staje się rozszerzenie syntaktyki tych programów oraz przyjęcie negatywnych założeń. To jest klasa programów, zwana klasą ogólnych programów, w których negatywne literały mogą występować wewnątrz klauzul. Niestety, dokonując rozszerzeń programów prostych do programów ogólnych, może się pojawić wiele komplikacji. Poniżej omówię kilka najbardziej znanych dróg rozszerzania programów pozytywnych do ogólnych oraz konsekwencje i paradoksy jakie mogą powstać podczas korzystania w każdej z dróg. 2 Wnioskowanie negatywnych informacji Problem polega na tym, że chcielibyśmy zadawać pytania postaci x p(x), gdzie p(x) jest jakąś formułą atomową. Poniżej omówię dwie drogi, którymi można podążyć, aby na tego typu pytania można było odpowiadać. Są to jednak metody niemonotoniczne, co oznacza, że dodając nowe aksjomaty do reguł programowych może się zmniejszyć zbiór uprzednio wyprowadzanych twierdzeń. 2.1 Reguła CWA (Closed World Assumption) Niech A będzie ustaloną formułą atomową, a P programem logicznym. Reguła zamkniętości świata CWA brzmi następująco: CWA: Jeśli A nie jest logiczną konsekwencją P, to wywnioskuj A. Aby wywieść A musimy stwierdzić, że A nie jest logiczną konsekwencją P. To oznaczałoby, że nie istnieje SLD dowód dla A, czyli żadne SLD drzewo nie posiada gałęzi sukcesu. Tutaj mogą wystąpić dwa przypadki: SLD drzewo jest skończone (uzyskamy odpowiedź NIE i możemy wywnioskować A), SLD drzewo jest nieskończone (nie uzyskamy odpowiedzi). Ponadto problem, czy formuła atomowa jest logiczną konsekwencją zbioru formuł, jest nierozstrzygalny, zatem nie ma skończonego algorytmu do zweryfikowania tej przesłanki. Przykład: Rozważmy prosty program: student(joe) student(bill) student(jim) teacher(mary) 2
4 2.2 Reguła NF (Negation as Failure) Programowanie logiczne a negacja Przy pomocy reguły CWA możemy wnioskować, że student(mary). 2.2 Reguła NF (Negation as Failure) Zbiorem skończonych SLD porażek programu P nazywamy zbiór takich formuł atomowych A, dla których istnieje skończone SLD drzewo (dla P { A}) nie zawierające gałęzi sukcesu. Reguła negacji przez porażkę brzmi następująco: NF: Jeśli A należy do zbioru skończonych SLD porażek P ( A ponosi skończoną porażkę), to wywnioskuj A. W tym przypadku, jeśli ograniczamy się tylko do skończonych SLD dowodów możemy rozstrzygnąć, czy dana formuła atomowa A jest logiczną konsekwencją jakiegoś programu P. Przez to reguła NF jest słabsza od reguły CWA. W praktyce jednak trudno jest uzyskać coś więcej. Należy jednak uważać, ponieważ ta reguła obliczeniowa jest bezpieczna tylko wtedy, gdy każdy wybrany literał negatywny jest ustalony. Przykład: Rozważmy program: loves(x, y) mother(x), child of(y, x) loves(john, tom) loves(mary, john) mother(mary) child of(tom, mary) Dla ustalonych literałów, możemy wywieść, że na przykład mother(john), czy loves(tom, john), ponieważ za pomocą SLD rezolucji nie możemy wywieść mother(john), czy loves(tom, john). Stąd zastosowanie tutaj reguły NF jest jak najbardziej uzasadnione. Podobne wyniki otrzymamy stosując regułę CWA. Co się jednak stanie, gdy nie wszystkie literały będą ustalone? Rozważmy formułę loves(x, john). Aby zastosować regułę NF to loves(x, john) nie może być konsekwencją naszego programu. Jednak SLD rezolucja da nam odpowiedź θ = {x/mary}. Stąd nie możemy wywieść loves(x, john), a wiemy, że tom jest odpowiedzią. Dlaczego tak się dzieje? Odpowiedź jest prosta. Zadajemy pytanie x p(x) (chcemy poznać podstawienia x), lecz w praktyce oznacza to, że najpierw musimy sprawdzić wywodliwość p(x), co oznacza nic innego jak x p(x), a to jest równoważne zdaniu x p(x). Stąd zamiast odpowiedzi na pytanie Czy istnieje taki x, że nie prawdą jest p(x)? otrzymamy odpowiedź na pytanie Czy nie istnieje taki x, że p(x)?, co nie jest tym, o co nam chodziło. 3 Programy z negacją Klauzula programu (ogólna klauzula programu) z negacją wygląda następująco: A L 1,..., L n, 3
5 3.1 Dopełnienie programu Programowanie logiczne a negacja gdzie A to atom, a L 1,..., L n to literały (atomy, lub zaprzeczenia atomów). Program z negacją (ogólny program w logice) to skończony, niepusty zbiór klauzul programu z negacją. Ogólna klauzula negatywna (zapytanie) ma postać: L 1,..., L n. Przykład programu z negacją program porównujący zbiory: different(x, y) member(z, x), member(z, y) different(x, y) member(z, x), member(z, y) Programy z negacją przyczyniają się do wzrostu ekspresji języka programowania. Poniżej omówię najbardziej znane metody dowodzenia twierdzeń w programach z negacją. 3.1 Dopełnienie programu Intuicyjnie dopełnienie programu to przekształcenie implikacji w równoważność: P = {A B, A C,...} = A B C.... Niech = będzie nowym binarnym predykatem nie występującym w P. Zapis s t oznacza (s = t). Niech x 1,..., x n,... będą nowymi zmiennymi, nie występującymi w P. Kolejne kroki transformacji programu P, IFF(P): Krok 1: (usunięcie termów z nagłówków klauzul) Przekształcamy każdą klauzulę p(t 1,..., t n ) B 1,..., B m na p(x 1,..., x n ) (x 1 = t 1 )... (x n = t n ) B 1... B m. Krok 2: (wprowadzenie kwantyfikatorów egzystencjalnych) Zapisujemy każdą formułę p(x 1,..., x n ) F jako p(x 1,..., x n ) y1... yd F, gdzie y 1,..., y d to wszystkie zmienne oryginalnej klauzuli. Krok 3: (grupowanie klauzul) Niech p(x 1,..., x n ) E 1,..., p(x 1,..., x n ) E k to wszystkie formuły, w których nagłówkach występuje p. Zastępujemy je formułą p(x 1,..., x n ) E 1... E k. Jeśli E 1... E k jest puste, to zastępujemy przez true. Krok 4: (obsługa niezdefiniowanych predykatów) Dla każdego n argumentowego predykatu q nie występującego w nagłówku żadnej klauzuli P dodaj formułę q(x 1,..., x n ) false. Krok 5: (wprowadzenie kwantyfikatorów ogólnych) Zastąp każdą formułę p(x 1,..., x n ) E przez x1... xn (p(x 1,..., x n ) E). Krok 6: (wprowadzenie równoważności) W każdej formule zastąp przez. 4
6 3.1 Dopełnienie programu Programowanie logiczne a negacja Teoria równości Clarka CET (zakładamy, że stałe to symbole funkcyjne 0 argumentowe): 1. x = x. 2. f(x 1,..., x n ) (y 1,..., y m ) dla każdych symboli funkcyjnych f i g takich, że f g. 3. x 1 y 1... x n y n f(x 1,..., x n ) f(y 1,..., y n ) dla każdego symbolu funkcyjnego f. 4. x 1 = y 1... x n = y n f(x 1,..., x n ) = f(y 1,..., y n ) dla każdego symbolu funkcyjnego f. 5. x 1 = y 1... x n = y n (p(x 1,..., x n ) p(y 1,..., y n )) dla każdego predykatu p (łącznie z = ). 6. x t dla każdej zmiennej x oraz termu t takiego, że x t i x występuje w t. Teraz możemy zdefiniować dopełnienie programu P jako: comp(p ) = IFF(P ) CET. Przykład: Rozważmy ponownie program: loves(x, y) mother(x), child of(y, x) loves(john, tom) loves(mary, john) mother(mary) child of(tom, mary) Dopełnienie programu (IFF) wygląda następująco: v z (loves(v, z) x y (v = x z = y mother(x) child of(y, x)) (v = john z = tom) (v = mary z = john)) x (mother(x) x = mary) x y (child of(x, y) (x = tom y = mary)) Aksjomaty CET: {mary = mary, john = john, tom = tom}. Teraz możemy stwierdzić, że na przykład loves(john, mary) jest logiczną konsekwencją comp(p ). Należy jednak mieć świadomość następujących faktów: 1. Każdy program z negacją jest niesprzeczny, ale jego dopełnienie może być sprzeczne. Niech P : p p, wówczas IFF(P ): p p. 2. Dopełnienie programu zależy nie tylko od jego logicznej zawartości. Zauważmy, że p q oraz q p są logicznie równoważne (p q), natomiast ich dopełnienia p q oraz q p nie są równoważne. 5
7 3.2 SLDNF rezolucja Programowanie logiczne a negacja 3.2 SLDNF rezolucja SLDNF rezolucja to najprościej rzecz ujmując SLD rezolucja z dodaną regułą NF dla programów w logice. Stosuje się tutaj ograniczenie tylko do bezpiecznych reguł obliczeniowych, czyli takich, gdzie każdy wybrany literał negatywny jest ustalony. Jest to konieczne w celu zapewnienia poprawności. Niech P będzie programem z negacją, G ogólną klauzulą negatywną, a k 0. SLDNF dowód rzędu k G 0, G 1,..., G n ciąg rezolwent; C 1, C 2,..., C n ciąg wariantów klauzul P lub ; θ 1, θ 2,..., θ n ciąg podstawień mgu; dla k = 0: zwykły SLD dowód (bez literałów negatywnych); dla k > 0, niech i > 0: jeśli w G i 1 wybrano literał pozytywny, to G i jest rezolwentą G i 1 oraz C i przy użyciu θ i, jeśli w G i 1 = L 1,..., L j,..., L m wybrano ustalony literał negatywny L j = A j i dla A j istnieje SLDNF drzewo skończonej porażki rzędu k 1, to G i = L 1,..., L j 1, L j+1,..., L m, θ i = ɛ oraz C i =. SLDNF drzewo skończonej porażki rzędu k +1 (a) drzewo skończone, a każdy wierzchołek jest niepustą klauzulą negatywną (b) korzeń drzewa to klauzula G (c) niech G = L 1,..., L j,..., L m będzie korzeniem drzewa, a L j wybranym literałem: jeśli literał L j jest pozytywny, to dla każdej klauzuli P postaci A M 1,..., M l takiej, że L j i A są uzgadnialne, wierzchołek ma dziecko będące rezolwentą G oraz wariantu tej klauzuli jeśli L j to ustalony literał negatywny postaci A j oraz: dla P { A j } istnieje SLDNF drzewo skończonej porażki rzędu k, to ma jedno dziecko postaci L 1,..., L j 1, L j+1,..., L m dla P { A j } istnieje SLDNF dowód rzędu k, to wierzchołek jest liściem drzewa. Każda odpowiedź obliczona dla P {G} jest odpowiedzią poprawną dla comp(p ) {G}. Niech Q = L 1,..., L k oraz G = Q. 6
8 4 Negacja w Prologu Programowanie logiczne a negacja Jeśli istnieje SLDNF dowód dla P {G} z odpowiedzią obliczoną θ, to comp(p ) Qθ. Jeśli istnieje SLDNF drzewo skończonej porażki dla P {G}, to comp(p ) Q. Przykład: Niech naszym programem P będzie następujący program: odd(s(x)) odd(x), wówczas jego dopełnienie wygląda następująco: comp(p ) = ( z odd(z) x (z = s(x) odd(x))) CET. Stosując SLDNF rezolucję możemy stwierdzić, że zachodzi: comp(p ) odd(0), comp(p ) odd(s(0)), comp(p ) odd(s(s(0))),... Przykład SLDNF dowodu dla G = odd(s(s(s(0)))): G 0 0 : odd(s(s(s(0)))) G 0 1 : odd(s(s(0))) G 0 2 : SLDNF drzewo dla odd(s(s(0))): G 1 0 : odd(s(s(0))) G 1 1 : odd(s(0)) SLDNF drzewo dla odd(s(0)): G 2 0 : odd(s(0)) G 2 1 : odd(0) SLDNF drzewo dla odd(0): G 3 0 : odd(0) G 3 1 : (skończona porażka) G 2 2 : G 1 2 : (skończona porażka) 4 Negacja w Prologu W języku Prolog nie ma negacji logicznej. Został tylko udostępniony predykat not, który jest zdefiniowany następująco: not(p) :- p,!, fail. not(p) :- true. Jeśli p zawiedzie, to znaczy, że zostało przeszukane SLD drzewo, które okazało się skończenie zawodne. Predykat not nie jest dokładną implementacją negacji 7
9 4 Negacja w Prologu Programowanie logiczne a negacja logicznej. Problemy powstają dla wyrażeń ze zmiennymi. Jeśli p zależy od zmiennej, to not(p(x)) ma interpretację: nie istnieje X, że p(x). Innymi słowy not(p(x)) nie definiuje zbioru będącego dopełnieniem dla {X p(x)}. Proceduralna interpretacja dla not(p) jako testu dla nie posiadania własności p stosuje się tylko wtedy, gdy p nie zawiera nieukonkretnionych zmiennych w momencie wywoływania not(p). Przykład: Wywołajmy not z nieukonkretnioną zmienną: student(ewa). student(adam). student(jerzy). student(karol). profesor(karol). profesor(teofil). sprawny(x) :- student(x), not(profesor(x)). mlody(x) :- not(profesor(x)), student(x). Wywołanie?-sprawny(X). działa poprawnie, to znaczy generuje odpowiedzi: ewa, adam, jerzy. Wywołanie?-mlody(X). działa niepoprawnie, to znaczy generuje odpowiedź: no, a na przykład wywołanie?-mlody(jerzy). daje odpowiedź yes. Dzieje się tak dlatego, że semantyka not(p(x)) przy nieukonkretnionej zmiennej X to nieprawda, że istnieje X taki, że p(x), czyli dla każdego X nieprawda, że p(x). Przykład: Spójrzmy na kolejny przykład: zielony(jablko). czerwony(wisnia). nie_zielony(x) :- zielony(x),!, fail. nie_zielony(x).?-zielony(x). (odp. X=jablko) Co jest zielone??-nie_zielony(wisnia). (odp. yes) Czy wiśnia nie jest zielona??-nie_zielony(x). (odp. no) no zamiast spodziewanego yes. Dlaczego? Ponieważ zapytanie znaczy Czy nie istnieje zielone?, a nie Co jest nie zielone?. Problemy z negacją w Prologu: 1. W logice p p jest równoważna z p, ale w Prologu nie można potwierdzić :-p w oparciu o klauzulę programową p :- not(p). Otrzymamy wówczas nieskończoną pętlę. 8
10 5 Bibliografia Programowanie logiczne a negacja 2. Dwie klauzule z poniższego programu są łącznie równoważne z a: a :- p(x). a :- not(p(x)). Zastąpmy a przez p(x):!!!!!!. Wniosek jest oczywisty, że not(x) różni się od negacji logicznej. 3. W szczególności zawodzi prawo podwójnego przeczenia: member(a,[a _]) :-!. member(a,[_ C]) :- member(a,c). Zapytanie?-member(X,[a,b,c]),write(X). daje wyniki: a X=a Yes ale?-not(not(member(x,[a,b,c]))),write(x). natomiast: _0084 X=_0084 Yes Dlaczego? Ponieważ member(x,[a,b,c]) skutkuje, zatem not(member(x,[a,b,c])) zawodzi i zmienna X w wyniku nawrotu staje się na powrót nieukonkretniona (nawrót po porażce), zatem not(not(member(x,[a,b,c]))) skutkuje z nieoznaczoną wartością X. 5 Bibliografia 1. Krzysztof R. Apt, Roland Bol Logic Programming and Negation: A Survey, magazyn programowania logicznego, Ulf Nilsson, Jan Małuszyński Logic, Programming and Prolog (2ed), ulfni/lpp/ 3. dr Mirosława Miłkowska Programowanie w logice, wykład monograficzny dla studentów,
Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoModele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoProgramowanie w logice
Programowanie w logice PROLOG cz.1 PROLOG język wysokiego poziomu Powstał w 1972 na Uniwersytecie w Marsylii (Francja) w zespole A.Colmerauer a i F.Roussel a PROgrammation en LOGique, PROgramming in LOGic,
Bardziej szczegółowoDedukcyjne bazy danych
Dedukcyjne bazy danych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Dedukcyjne bazy danych p.1/37 Plan seminarium Wprowadzenie Podstawy matematyczne Podstawowe
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoUzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist
Bardziej szczegółowoLogika stosowana. Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski
Logika stosowana Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG Marcin Szczuka Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Wykład monograficzny w semestrze letnim 2018/2019 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika stosowana
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoDedukcyjne bazy danych i rekursja
Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 27 maja 2017 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny. Logika opisowa
Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny i Logika II
Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem
Bardziej szczegółowoProblem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska
Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2
Bardziej szczegółowoDana jest baza: kobieta(katarzyna). kobieta(anna). kobieta(maria). kobieta(marianna). kobieta(marta). Zdefiniujemy predykat kobiety/0 następująco:
STEROWANIE PROCESEM WNIOSKOWANIA. Predykat true/0 fail/0 cut/0 lub! not( W) lub \+W repeat/0 Objaśnienie zawsze spełniony, deterministyczny zawsze zawodzi, deterministyczny odcięcie; zawsze spełniony spełniony,
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoAlfred N. Whitehead
Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne
Bardziej szczegółowoAutomatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji
Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:
Bardziej szczegółowoCo to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny i Logika I
Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy
Bardziej szczegółowoDedukcyjne bazy danych i rekursja
Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoLogika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.
Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja
Bardziej szczegółowoProgramowanie w logice Prolog 2
Programowanie w logice Prolog 2 Listy Lista to uporządkowany ciąg elementów. Elementami listy mogą być dowolne terminy: stałe, zmienne i struktury W Prologu listę zapisujemy następująco: Przykłady [element1,element2,,elementn]
Bardziej szczegółowoRachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek
Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki
Bardziej szczegółowoProgramowanie w logice Wykład z baz danych dla
Programowanie w logice Wykład z baz danych dla studentów matematyki 18 maja 2015 Programowanie w logice Programowanie w logice to podejście do programowania, w którym na program patrzymy nie jak na opis
Bardziej szczegółowoPoprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoDrobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Logice Gramatyki metamorficzne. Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] i [SS1994]
Programowanie w Logice Gramatyki metamorficzne Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] i [SS1994] Gramatyki bezkontekstowe Gramatyką bezkontekstową jest uporządkowana czwórka G = Σ, N, S, P, gdzie
Bardziej szczegółowoZagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoZastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoElementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoProlog 2 (Filip Wroński, Łukasz Betkowski, Paweł Świerblewski, Konrad Kosmatka)
Prolog 2 (Filip Wroński, Łukasz Betkowski, Paweł Świerblewski, Konrad Kosmatka) Rozdział 2 Constructing Prolog Programs z książki Prolog Programming in Depth autorstwa Michael A. Covington, Donald Nute,
Bardziej szczegółowo