Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior"

Transkrypt

1 Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy Istotną siłą rachunku predykatów jest możliwość wyrażenia logicznych zależności dotyczących dziedzin strukturalnych, takich jak dziedziny liczbowe, czy struktury danych (listy, drzewa). Funkcje i termy Niech F będzie przeliczalnym zbiorem symboli funkcyjnych. Następująca gramatyka definiuje termy jako uogólnienie stałych i zmiennych. Zmieniono regułę gramatyki definiującą formuły atomowe. Argumentem formuły atomowej jest teraz lista termów. Funkcje i termy term ::= x dla dowolnego x V term ::= a dla dowolnego a A term ::= f(lista_termów) dla dowolnego f F lista_termów ::= term lista_termów ::= term, lista_termów atom ::= p(lista_termów) dla dowolnego p P Termy ustalone Term oraz atom nazywamy ustalonym wtw, gdy nie zawiera zmiennych. Formuła jest ustalona wtw, gdy nie zawiera ani kwantyfikatorów, ani zmiennych. Formułę A nazywamy ustaloną instancją formuły A, która nie zawiera kwantyfikatorów, jeśli A można otrzymać z formuły A przez podstawienie za zmienne (wolne) formuły A termów ustalonych. 1

2 Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbiorem wszystkich symboli funkcyjnych, {a 1,..., a m } zbiorem wszystkich stałych występujących w formułach należących do U. Interpretacją I nazywamy czwórkę: (D, {R 1,..., R k }, {F 1,..., F l }, {d 1,..., d m }), gdzie: D jest niepustą dziedziną R i jest n i -argumentową relacją przyporządkowaną p i F i jest n i -argumentową funkcją przyporządkowaną f i d i D są elementami dziedziny, przyporządkowanymi a i. Wartość termu i formuły Dla termu ustalonego t wartość termu w interpretacji I definiujemy przez indukcję: v x (a i ) = d i v x (f i (t 1,..., t n )) = F i (v x (t 1 ),..., v x (t n )). Wartość formuły v x (A) definiujemy również przez indukcję. Dla formuł atomowych: v x (p i (t 1,..., t n )) = 1 wtw, gdy (v x (t 1 ),..., v x (t n )) R i. Definicja wartości formuł złożonych nie ulega zmianie. Metoda tabel semantycznych Zastępujemy numerację symboli stałych przez numerację termów ustalonych. Formuła x y (p(x,y) p(f(x,a), f(y,a))) jest spełniona w interpretacji (Z, { }, {+}, {1}) Postępowanie pozostaje bez zmian. m, n Z; x := m; y := n; v(f(x,a) = +(v(x), v(a)) = +(m,1) v(f(y,a) = +(v(y), v(a)) = +(n,1) m+1 n+1 m n m + 1 n + 1 dla dowolnych liczb całkowitych Nie jest prawdziwa 5, 4 Z; Formuła x y (p(x,y) p(f(x,a), f(y,a))) nie jest spełniona w interpretacji (Z, {>}, {*}, { 1}) v(f(x,a) = *(v(x), v(a)) = *(5, ( 1)) v(f(y,a) = *(v(y), v(a)) = *(4, ( 1)) 5 > 4 5*( 1) > 4*( 1) 5*( 1) 4*( 1) Postać klauzulowa formuł Formuła jest w preneksowej postaci normalnej wtw, gdy jest postaci Q 1 x 1... Q n x n M gdzie Q i są kwantyfikatorami, a M jest formułą w koniunkcyjnej postaci normalnej, nie zawierającą kwantyfikatorów. Ciąg Q 1 x 1... Q n x n jest nazywany prefiksem, a M matrycą formuły. 2

3 Postać klauzulowa formuł Formuła zamknięta jest w postaci klauzulowej wtw, gdy jest w preneksowej postaci normalnej i jej prefiks zawiera wyłącznie kwantyfikatory uniwersalne. Literał jest to formuła atomowa lub negacja formuły atomowej. Klauzula jest to alternatywa literałów. Klauzula C i jest klauzulą ustaloną wtw, gdy jest ustaloną instancją klauzuli C, czyli można ją otrzymać z C przez zastąpienie wszystkich zmiennych C termami ustalonymi. Literał ustalony jest ustalona instancją literału. Notacja x z ([p(f(y)) p(g(z)) q(z)] [ q(z) p(g(z)) q(y)]) {{p(f(y), p(g(z)), q(z)}, { q(z), p(g(z)), q(y)}} {pfy pgz qz, qz pgz, qy} Twierdzenie Skolema Niech A będzie formułą zamkniętą. Wówczas istnieje formułą A w postaci klauzulowej taka, że A A. To znaczy, że A jest spełnialna wtw A jest spełnialna. To nie znaczy, że formuly sa równoważne! Postać klauzulowa formuł Usunięcie kwantyfikatorów egzystencjalnych jest wykonywane przez wprowadzenie nowych symboli funkcyjnych. Powoduje to, że formuły przestają być równoważne! x y p(x, y) x p(x, f(x)) Skolemizacja Wejście: Zamknięta formuła A rachunku predykatów. Wyjście: Formuła A w postaci klauzulowej, taka, że A A Przemianuj zmienne kwantyfikowane w ten sposób, aby żadna zmienna nie występowała w dwóch kwantyfikatorach. Usuń wszystkie binarne operatory logiczne oprócz oraz. Przesuń operatory negacji do środka, usuwając podwójną negację, tak, aby negacja występowała tylko przy formułach atomowych. Skorzystaj z równoważności: x A(x) x A(x) oraz x A(x) x A(x) Wydobądź kwantyfikatory z matrycy. Powtarzaj następującą operację: wybierz kwantyfikator nie będący w zasięgu innego kwantyfikatora i przenieś go na zewnątrz, korzystając z następujących równoważności, możliwych do zastosowania, gdy żadna zmienna nie występuje w dwóch kwantyfikatorach: A op QxB(x) Qx(A op B(x)) oraz QxA(x) op B Qx(A(x) op B) Skolemizacja Korzystając z praw rozdzielczości, przekształć matrycę formuły do koniunkcyjnej postaci normalnej. Niech x będzie kwantyfikatorem egzystencjalnym występującym w formule A, y 1,..., y n będą zmiennymi kwantyfikowanymi uniwersalnie występującymi przed x, f będzie nowym symbolem funkcyjnym o arności n. Usuń x i zastąp każde wystąpienie zmiennej x termem f(y 1,..., y n ). Jeśli żaden kwantyfikator uniwersalny nie poprzedza x, to zastąp x nową stałą a (funkcją 0-argumentową). Wprowadzone nowe symbole funkcyjne są nazywane funkcjami Skolema. 3

4 x y p(x, y) y x p(x, y) x y p(x, y) w z p(z, w) x y p(x, y) w z p(z, w) x y p(x, y) w z p(z, w) x y w z ( p(x, y) p(z, w)) x w z ( p(x, f(x)) p(g(x,w), w)) Modele Herbranda Niech S będzie zbiorem klauzul A będzie zbiorem symboli stałych występujących w S F będzie zbiorem symboli funkcyjnych z S. Uniwersum Herbranda H S zbioru S definiujemy indukcyjnie: a i H S dla a i A f i (t 1,..., t n ) H S dla f i F, t j H S. Jeżeli w zbiorze S nie występuje żadna stała, indukcyjna definicja Hs jest inicjowana wprowadzeniem dowolnej stałej a. Modele Herbranda Uniwersum Herbranda jest po prostu zbiorem wszystkich termów ustalonych utworzonych z symboli występujących w S. Jeżeli w zbiorze S występuje symbol funkcyjny, to oczywiście uniwersum Herbranda jest nieskończone, gdyż zawiera termy postaci f(f(... (a)... )). Modele Herbranda Niech H S będzie uniwersum Herbranda zbioru klauzul S. Bazą Herbranda B S nazywamy zbiór atomów ustalonych, utworzonych z symboli predykatywnych występujących w S oraz z termów należących do H S. Interpretacją Herbranda dla zbioru klauzul S nazywamy interpretację, której dziedziną jest uniwersum Herbranda zbioru S, a stałym i symbolom funkcyjnym są przyporządkowane te same symbole: v(a) = a v(f(t 1,..., t n )) = f(v(t 1 ),..., v(t n )) Nie nakłada się żadnych ograniczeń na przyporządkowanie symbolom predykatywnym relacji określonych nad uniwersum Herbranda. Modelem Herbranda zbioru klauzul S nazywamy interpretację Herbranda spełniającą S. Model Herbranda można utożsamić z podzbiorem bazy Herbranda, zawierającym atomy, dla których v(p(t 1,...,t n ))=1. Modele Herbranda Niech S będzie zbiorem klauzul. Zbiór S ma model wtedy i tylko wtedy, gdy ma model Herbranda. Powyższe twierdzenie nie zachodzi dla dowolnych formuł, czyli formuł, które nie są zbiorami klauzul. Twierdzenia Herbranda Semantyczne Zbiór klauzul S jest niespełnialny wtedy i tylko wtedy, gdy skończony zbiór ustalonych instancji klauzul z S jest niespełnialny. Formuła A jest niespełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy formuła utworzona ze skończonego zbioru ustalonych instancji podformuł formuły A jest niespełnialny. Składniowe Dowód formuły A rachunku predykatów istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy dla formuły utworzonej ze skończonego zbioru ustalonych instancji podformul formuły A istnieje dowód, w którym używa się jedynie aksjomatów oraz reguł dowodzenia dla rachunku zdań. 4

5 Twierdzenia Herbranda Twierdzenie Herbranda dostarcza narzędzia do zdefiniowania wydajnej semi-decyzyjnej procedury rozwiązującej problem prawdziwości formuł rachunku predykatów: zaneguj formułę, przekształć ją do postaci klauzulowej, utwórz skończony zbiór klauzul ustalonych, sprawdź, czy zbiór klauzul ustalonych jest niespełnialny. Twierdzenia Herbranda Twierdzenie Herbranda dostarcza narzędzia do zdefiniowania wydajnej semi-decyzyjnej procedury rozwiązującej problem prawdziwości formuł rachunku predykatów: zaneguj formułę, przekształć ją do postaci klauzulowej, utwórz skończony zbiór klauzul ustalonych, sprawdź, czy zbiór klauzul ustalonych jest niespełnialny. Rezolucja dla klauzul ustalonych Reguła rezolucji dla klauzul ustalonych Niech C 1, C 2 będą klauzulami ustalonymi takimi, że l C 1 oraz l C 2. Klauzule C 1, C 2 nazywamy klauzulami kolidującymi i mówimy, że kolidują względem komplementarnych literałów l, l. Rezolwentą klauzul C 1, C 2 nazywamy klauzulę C postaci Rez(C 1, C 2 ) = (C 1 {l}) (C 2 {l}). Klauzule C 1, C 2 nazywamy klauzulami macierzystymi dla C. Rezolucja dla klauzul ustalonych Rezolwenta klauzul C 1 i C 2 jest spełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy klauzule C 1 i C 2 są spełnialne. Podstawienia Podstawieniem (termów za zmienne) nazywamy zbiór {x 1 t 1,..., x n t n } gdzie x i są różnymi zmiennymi, a t i są termami różnymi od odpowiadających im zmiennych x i. Podstawienie puste jest to podstawienie zdefiniowane przez zbiór pusty. Podstawienia oznaczamy małymi literami alfabetu greckiego: λ, µ, δ, θ. Podstawienia Wyrażeniem nazywamy term, literał, klauzulę lub zbiór klauzul. Niech E będzie wyrażeniem, a θ = {x 1 t 1,..., x n t n } podstawieniem. Instancję Eθ wyrażenia E otrzymujemy przez jednoczesne zastąpienie każdego wystąpienia zmiennej x i termem t i. 5

6 Podstawienia Niech θ = {x 1 t 1,..., x n t n } i δ = {y 1 s 1,..., y n s n } będą podstawieniami. Niech X i Y będą zbiorami zmiennych zastępowanych odpowiednio w podstawieniach θ i δ. Podstawienie θδ, złożenie podstawień θ i δ, definiujemy jako następujące podstawienie: θδ={x i t i δ x i X, x i t i δ} {y j s i y i Y, y j X} θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) Podstawienie δ do termów t i z podstawienia θ Dodajemy ze zbioru δ podstawienia dla tych zmiennych, którym θ nie nadaje wartości θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} Podstawienia Niech E będzie wyrażeniem, a q i d podstawieniami. Wówczas E(θδ) = (Eθ)δ. θ(δγ) = (θδ)γ θδ = {x f(g(a)), y f(a), u z, v f(f(a))} E(θδ) = p(z, f(f(a)), f(g(a)), f(a), z) 6

7 Uzgadnianie Dla dowolnego zbioru atomów podstawieniem uzgadniającym tego zbioru nazywamy podstawienie spełniające warunek: instancją wszystkich elementów tego zbioru uzyskaną przez zastosowanie tego podstawienia jest ten sam atom. Podstawienie uzgadniające µ nazywamy najbardziej ogólnym podstawieniem uzgadniającym danego zbioru atomów, jeśli każde podstawienie uzgadniające θ można uzyskać z µ przez zastosowanie dodatkowego podstawienia, czyli θ = µλ. Uzgadnianie Zbiór równań na termach jest w postaci rozwiązywalnej, jeśli spełnione są następujące warunki: wszystkie równania są postaci x i = t i, gdzie x i jest zmienną; każda zmienna x i, występująca po lewej stronie równania, nie występuje w żadnym innym miejscu. Zbiór równań w postaci rozwiązywalnej definiuje podstawienie {x 1 t 1,..., x n t n }. Algorytm uzgadniania 1. Przekształć równanie t = x, gdzie t nie jest zmienną, do x = t. 2. Usuń równanie postaci x = x. 3. Niech t = t będzie równaniem takim, że t, t nie są zmiennymi. Jeśli główne symbole funkcyjne termów t i t są różne, to zakończ algorytm i udziel odpowiedzi: zbiór termów nie jest uzgadnialny. W przeciwnym razie zastąp równanie f(t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ) k równaniami postaci t 1 = t 1,..., t n = t n. 4. Niech x = t będzie równaniem takim, że zmienna x występuje w zbiorze równań nie tylko po lewej stronie tego równania. Jeśli zmienna x występuje w t, to zakończ algorytm i udziel odpowiedzi: zbiór termów nie jest uzgadnialny. W przeciwnym razie zastąp wszystkie wystąpienia zmiennej x w innych równaniach termem t. g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) x = g(y) reg. 1 x = g(y) g(z) = g(y) z = y h(x) = w reg. 3 h(x) = w Reg. 4 Reg. 3 7

8 g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) z = y Reg. 4 z = z Reg. 2 Reg. 1 w = h(g(z)) {x g(z), w h(g(z)), y z} Uzgadnianie Algorytm uzgadniania zawsze się zatrzymuje. Jeśli algorytm zakończy się udzieleniem odpowiedzi, że zbiór termów nie jest uzgadnialny, to dla danego zbioru równań nie istnieje podstawienie uzgadniające. Jeśli algorytm zakończy się sukcesem, to otrzymany zbiór równań jest w postaci rozwiązywalnej i definiuje najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające podany zbiór równań: µ = {x 1 t 1,..., x n t n }. Algorytm Robinsona Niech A i A będą atomami utworzonymi z tego samego symbolu predykatywnego. Potraktujmy te atomy jako ciągi symboli i niech k będzie indeksem pierwszej pozycji od lewej strony, na której w tych ciągach występują różne symbole. Parę termów {t, t } rozpoczynających się od pozycji k w atomie A oraz A nazywamy zbiorem niezgodności atomów A i A. Algorytm Robinsona Inicjujemy algorytm, przyjmując A 0 = A oraz A 0 = A. Wykonajmy nastepujący krok algorytmu: Niech {t, t } będzie zbiorem niezgodności algorytmów A i A. Jeśli jednym z termów należących do tego zbioru jest zmienna x i+1, a drugi term t i+1, w którym zmienna x i+1 nie występuje, to niech σ i+1 = {x i+1 t i+1 } oraz A i+1 = A i σ i+1, A i+1 = A i σ i+1. Jeśli nie można wykonać podanego kroku algorytmu, to atomów nie można uzgodnić. Jeśli po wykonaniu kolejnego kroku algorytmu otrzymamy A n = A n, to atomy A i A są uzgadnialne i najbardziej ogólnym podstawieniem uzgadniającym jest podstawienie µ = σ 1,..., σ n. Sprawdzenie występowania zmiennej Konieczność sprawdzania, czy term podstawiany za zmienną nie zawiera tej zmiennej, powoduje, że algorytm uzgadniania ma wykładniczą złożoność obliczeniową (względem wielkości uzgadnianych termów). Algorytmy stosowane w praktyce zwykle nie stosują tego sprawdzenia (ryzyko błędu!). 8

9 x 1 = f(x 0, x 0 ) x 2 = f(x 1, x 1 ) x 3 = f(x 2, x 2 )... x n = f(x n-1, x n-1 ) x 2 = f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )) x 3 = f(f(x 1, x 1 ), f(x 1, x 1 ))... x n = f(f(x n-2, x n-2 ), f(x n-2, x n-2 )) O(2 n ) x 2 = f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )) x 3 = f(f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )), f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )))... x n = f(f(f(x n-3, x n-3 ), f(x n-3, x n-3 )), f(f(x n-3, x n-3 ), f(x n-3, x n-3 ))) Rezolucja Niech L = {l 1,..., l n } będzie zbiorem literałów. Wówczas L = {l 1,..., l n }. Ogólna reguła rezolucji Niech C 1 i C 2 będą klauzulami nie mającymi wspólnych zmiennych. Niech L 1 = {l 11,..., l 1n } C 1, L 2 = {l 21,..., l 2n } C 2, będą podzbiorami literałów takimi, że L 1 i L 2 można uzgodnić, a σ będzie ich podstawieniem uzgadniającym (mgu). Klauzule C 1 i C 2 nazywamy kolidującymi i mówimy, że kolidują względem zbiorów literałów L 1 i L 2. Rezolwentą klauzul C 1 i C 2 nazywamy klauzulę postaci Rez(C 1, C 2 )= (C 1 σ L 1 σ) (C 2 σ L 2 σ) Ogólna metoda rezolucji Niech S 0 = S. Załóżmy, że utworzyliśmy zbiór S i. Wybierz klauzule kolidujące C 1, C 2 S i i niech C = Rez(C 1, C 2 ). Jeśli C jest klauzulą pustą, to zakończ: zbiór S jest niespełnialny. W przeciwnym razie utwórz S i+1 = S i {C}. Jeśli S i+1 = S i dla wszystkich par literałów kolidujących, to zakończ wykonywanie: Zbiór S jest spełnialny. x a q(a) x a q(a) s(f(a)) s(f(a)) 9

10 x a q(a) r(a, f(a)) r(a, f(a)) s(f(a)) (10) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) y f(a) t(f(a)) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) t(f(a)) (13) x f(a) s(f(a)) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) t(f(a)) (13) s(f(a)) (14) Zbiór klauzul jest niespełnialny. Poprawność i pełność rezolucji (Lemat o podnoszeniu) Niech C1 i C2 będą instancjami ustalonymi klauzul C1 oraz C2. Niech C będzie rezolwentą ustaloną klauzul C1 i C2. Wówczas istnieje rezolwenta C klauzul C1 oraz C2 taka, że C jest instancją ustaloną C. 10

11 Poprawność i pełność rezolucji Poprawność rezolucji Jeżeli na podstawie ogólnej metody rezolucji można wyprowadzić klauzulę pustą, to zbiór klauzul jest niespełnialny. Pełność rezolucji Jeśli zbiór klauzul jest niespełnialny, to stosując ogólną metodę rezolucji można wyprowadzić klauzulę pustą. 11

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy 2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja 2.1 Funkcje i termy Zapoznanie się z systemami reprezentacji wiedzy logicznej ograniczyliśmy jak dotąd do rachunku kwantyfikatorów i nie były rozwaŝane

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. 1 Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Problemy: Zapoznaj się z teorią funkcji pierwotnie rekurencyjnych. Ważne są definicje klasy

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia Rachunek zdań 2.1 Podstawowe pojęcia 2.1.1. Rachunek zdań to teoria zajmująca się formami wnioskowania zbudowanymi wyłącznie ze zmiennych zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych, będących pewnego rodzaju

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Alfred N. Whitehead

Alfred N. Whitehead Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych

Dedukcyjne bazy danych Dedukcyjne bazy danych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Dedukcyjne bazy danych p.1/37 Plan seminarium Wprowadzenie Podstawy matematyczne Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie i pojęcia wstępne.

Wprowadzenie i pojęcia wstępne. Wprowadzenie i pojęcia wstępne. X\A a b c x 1 a 1 b 1 c 1 x 2 a 1 b 1 c 2 x 3 a 1 b 2 c 3 x 4 a 2 b 1 c 4 x 5 a 1 b 2 c 1 x 6 a 1 b 2 c 2 x 7 a 1 b 1 c 1 S = X = {x 1,,x 8 } A = {a, b, c}

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja.

reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja. System naturalnej dedukcji Gentzena Sąd postaci: Γ f (f formuła,γ zbiórformuł) czytamy: konsekwencją założeń Γ jest wniosek f Reguły systemu: reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

Odmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Odmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Odmiany maszyny Turinga 1 Uniwersalna maszyna Turinga Uniwersalna maszyna U nad alfabetem A k jest to maszyna definiująca funkcje: f U, n+1 = {((w(i 1, I 2,..., I n )),y) w - opis maszyny T za pomocą słowa,

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych Wykład dla studentów III roku Informatyki Wersja 2.0, 05/10/2011 Podział układów logicznych Opis funkcjonalny układów logicznych x 1 y 1

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej

Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, )

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, ) PROGRAMOWANIE W JĘZYU OGII WPROWADZENIE OGIA PIERWSZEGO RZĘDU Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się a: a symbole logicze (wspóle dla wszystkich języków zmiee przedmiotowe: x y z stałe logicze: symbole

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji. Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Technologie baz danych

Technologie baz danych Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005)

Logika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005) Witold Bołt Taduesz Andrzej Kadłubowski Logika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005) Spis treści Wstęp 2 1 Systemy relacyjne 2 2 Język, termy i formuły 3 2.1 Język........................................

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych Bazy dedukcyjne 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych Bazy dedukcyjne to nowe podejście do projektowania baz danych, oparte na logice matematycznej. W porównaniu do poprzednich modeli baz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty programowania

Paradygmaty programowania Paradygmaty programowania Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz 15 kwietnia 2014 Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz () Paradygmaty programowania 15 kwietnia 2014 1 / 12 Zadanie 1 Zadanie 1 Rachunek predykatów

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza

Bardziej szczegółowo