Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior"

Transkrypt

1 Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy Istotną siłą rachunku predykatów jest możliwość wyrażenia logicznych zależności dotyczących dziedzin strukturalnych, takich jak dziedziny liczbowe, czy struktury danych (listy, drzewa). Funkcje i termy Niech F będzie przeliczalnym zbiorem symboli funkcyjnych. Następująca gramatyka definiuje termy jako uogólnienie stałych i zmiennych. Zmieniono regułę gramatyki definiującą formuły atomowe. Argumentem formuły atomowej jest teraz lista termów. Funkcje i termy term ::= x dla dowolnego x V term ::= a dla dowolnego a A term ::= f(lista_termów) dla dowolnego f F lista_termów ::= term lista_termów ::= term, lista_termów atom ::= p(lista_termów) dla dowolnego p P Termy ustalone Term oraz atom nazywamy ustalonym wtw, gdy nie zawiera zmiennych. Formuła jest ustalona wtw, gdy nie zawiera ani kwantyfikatorów, ani zmiennych. Formułę A nazywamy ustaloną instancją formuły A, która nie zawiera kwantyfikatorów, jeśli A można otrzymać z formuły A przez podstawienie za zmienne (wolne) formuły A termów ustalonych. 1

2 Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbiorem wszystkich symboli funkcyjnych, {a 1,..., a m } zbiorem wszystkich stałych występujących w formułach należących do U. Interpretacją I nazywamy czwórkę: (D, {R 1,..., R k }, {F 1,..., F l }, {d 1,..., d m }), gdzie: D jest niepustą dziedziną R i jest n i -argumentową relacją przyporządkowaną p i F i jest n i -argumentową funkcją przyporządkowaną f i d i D są elementami dziedziny, przyporządkowanymi a i. Wartość termu i formuły Dla termu ustalonego t wartość termu w interpretacji I definiujemy przez indukcję: v x (a i ) = d i v x (f i (t 1,..., t n )) = F i (v x (t 1 ),..., v x (t n )). Wartość formuły v x (A) definiujemy również przez indukcję. Dla formuł atomowych: v x (p i (t 1,..., t n )) = 1 wtw, gdy (v x (t 1 ),..., v x (t n )) R i. Definicja wartości formuł złożonych nie ulega zmianie. Metoda tabel semantycznych Zastępujemy numerację symboli stałych przez numerację termów ustalonych. Formuła x y (p(x,y) p(f(x,a), f(y,a))) jest spełniona w interpretacji (Z, { }, {+}, {1}) Postępowanie pozostaje bez zmian. m, n Z; x := m; y := n; v(f(x,a) = +(v(x), v(a)) = +(m,1) v(f(y,a) = +(v(y), v(a)) = +(n,1) m+1 n+1 m n m + 1 n + 1 dla dowolnych liczb całkowitych Nie jest prawdziwa 5, 4 Z; Formuła x y (p(x,y) p(f(x,a), f(y,a))) nie jest spełniona w interpretacji (Z, {>}, {*}, { 1}) v(f(x,a) = *(v(x), v(a)) = *(5, ( 1)) v(f(y,a) = *(v(y), v(a)) = *(4, ( 1)) 5 > 4 5*( 1) > 4*( 1) 5*( 1) 4*( 1) Postać klauzulowa formuł Formuła jest w preneksowej postaci normalnej wtw, gdy jest postaci Q 1 x 1... Q n x n M gdzie Q i są kwantyfikatorami, a M jest formułą w koniunkcyjnej postaci normalnej, nie zawierającą kwantyfikatorów. Ciąg Q 1 x 1... Q n x n jest nazywany prefiksem, a M matrycą formuły. 2

3 Postać klauzulowa formuł Formuła zamknięta jest w postaci klauzulowej wtw, gdy jest w preneksowej postaci normalnej i jej prefiks zawiera wyłącznie kwantyfikatory uniwersalne. Literał jest to formuła atomowa lub negacja formuły atomowej. Klauzula jest to alternatywa literałów. Klauzula C i jest klauzulą ustaloną wtw, gdy jest ustaloną instancją klauzuli C, czyli można ją otrzymać z C przez zastąpienie wszystkich zmiennych C termami ustalonymi. Literał ustalony jest ustalona instancją literału. Notacja x z ([p(f(y)) p(g(z)) q(z)] [ q(z) p(g(z)) q(y)]) {{p(f(y), p(g(z)), q(z)}, { q(z), p(g(z)), q(y)}} {pfy pgz qz, qz pgz, qy} Twierdzenie Skolema Niech A będzie formułą zamkniętą. Wówczas istnieje formułą A w postaci klauzulowej taka, że A A. To znaczy, że A jest spełnialna wtw A jest spełnialna. To nie znaczy, że formuly sa równoważne! Postać klauzulowa formuł Usunięcie kwantyfikatorów egzystencjalnych jest wykonywane przez wprowadzenie nowych symboli funkcyjnych. Powoduje to, że formuły przestają być równoważne! x y p(x, y) x p(x, f(x)) Skolemizacja Wejście: Zamknięta formuła A rachunku predykatów. Wyjście: Formuła A w postaci klauzulowej, taka, że A A Przemianuj zmienne kwantyfikowane w ten sposób, aby żadna zmienna nie występowała w dwóch kwantyfikatorach. Usuń wszystkie binarne operatory logiczne oprócz oraz. Przesuń operatory negacji do środka, usuwając podwójną negację, tak, aby negacja występowała tylko przy formułach atomowych. Skorzystaj z równoważności: x A(x) x A(x) oraz x A(x) x A(x) Wydobądź kwantyfikatory z matrycy. Powtarzaj następującą operację: wybierz kwantyfikator nie będący w zasięgu innego kwantyfikatora i przenieś go na zewnątrz, korzystając z następujących równoważności, możliwych do zastosowania, gdy żadna zmienna nie występuje w dwóch kwantyfikatorach: A op QxB(x) Qx(A op B(x)) oraz QxA(x) op B Qx(A(x) op B) Skolemizacja Korzystając z praw rozdzielczości, przekształć matrycę formuły do koniunkcyjnej postaci normalnej. Niech x będzie kwantyfikatorem egzystencjalnym występującym w formule A, y 1,..., y n będą zmiennymi kwantyfikowanymi uniwersalnie występującymi przed x, f będzie nowym symbolem funkcyjnym o arności n. Usuń x i zastąp każde wystąpienie zmiennej x termem f(y 1,..., y n ). Jeśli żaden kwantyfikator uniwersalny nie poprzedza x, to zastąp x nową stałą a (funkcją 0-argumentową). Wprowadzone nowe symbole funkcyjne są nazywane funkcjami Skolema. 3

4 x y p(x, y) y x p(x, y) x y p(x, y) w z p(z, w) x y p(x, y) w z p(z, w) x y p(x, y) w z p(z, w) x y w z ( p(x, y) p(z, w)) x w z ( p(x, f(x)) p(g(x,w), w)) Modele Herbranda Niech S będzie zbiorem klauzul A będzie zbiorem symboli stałych występujących w S F będzie zbiorem symboli funkcyjnych z S. Uniwersum Herbranda H S zbioru S definiujemy indukcyjnie: a i H S dla a i A f i (t 1,..., t n ) H S dla f i F, t j H S. Jeżeli w zbiorze S nie występuje żadna stała, indukcyjna definicja Hs jest inicjowana wprowadzeniem dowolnej stałej a. Modele Herbranda Uniwersum Herbranda jest po prostu zbiorem wszystkich termów ustalonych utworzonych z symboli występujących w S. Jeżeli w zbiorze S występuje symbol funkcyjny, to oczywiście uniwersum Herbranda jest nieskończone, gdyż zawiera termy postaci f(f(... (a)... )). Modele Herbranda Niech H S będzie uniwersum Herbranda zbioru klauzul S. Bazą Herbranda B S nazywamy zbiór atomów ustalonych, utworzonych z symboli predykatywnych występujących w S oraz z termów należących do H S. Interpretacją Herbranda dla zbioru klauzul S nazywamy interpretację, której dziedziną jest uniwersum Herbranda zbioru S, a stałym i symbolom funkcyjnym są przyporządkowane te same symbole: v(a) = a v(f(t 1,..., t n )) = f(v(t 1 ),..., v(t n )) Nie nakłada się żadnych ograniczeń na przyporządkowanie symbolom predykatywnym relacji określonych nad uniwersum Herbranda. Modelem Herbranda zbioru klauzul S nazywamy interpretację Herbranda spełniającą S. Model Herbranda można utożsamić z podzbiorem bazy Herbranda, zawierającym atomy, dla których v(p(t 1,...,t n ))=1. Modele Herbranda Niech S będzie zbiorem klauzul. Zbiór S ma model wtedy i tylko wtedy, gdy ma model Herbranda. Powyższe twierdzenie nie zachodzi dla dowolnych formuł, czyli formuł, które nie są zbiorami klauzul. Twierdzenia Herbranda Semantyczne Zbiór klauzul S jest niespełnialny wtedy i tylko wtedy, gdy skończony zbiór ustalonych instancji klauzul z S jest niespełnialny. Formuła A jest niespełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy formuła utworzona ze skończonego zbioru ustalonych instancji podformuł formuły A jest niespełnialny. Składniowe Dowód formuły A rachunku predykatów istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy dla formuły utworzonej ze skończonego zbioru ustalonych instancji podformul formuły A istnieje dowód, w którym używa się jedynie aksjomatów oraz reguł dowodzenia dla rachunku zdań. 4

5 Twierdzenia Herbranda Twierdzenie Herbranda dostarcza narzędzia do zdefiniowania wydajnej semi-decyzyjnej procedury rozwiązującej problem prawdziwości formuł rachunku predykatów: zaneguj formułę, przekształć ją do postaci klauzulowej, utwórz skończony zbiór klauzul ustalonych, sprawdź, czy zbiór klauzul ustalonych jest niespełnialny. Twierdzenia Herbranda Twierdzenie Herbranda dostarcza narzędzia do zdefiniowania wydajnej semi-decyzyjnej procedury rozwiązującej problem prawdziwości formuł rachunku predykatów: zaneguj formułę, przekształć ją do postaci klauzulowej, utwórz skończony zbiór klauzul ustalonych, sprawdź, czy zbiór klauzul ustalonych jest niespełnialny. Rezolucja dla klauzul ustalonych Reguła rezolucji dla klauzul ustalonych Niech C 1, C 2 będą klauzulami ustalonymi takimi, że l C 1 oraz l C 2. Klauzule C 1, C 2 nazywamy klauzulami kolidującymi i mówimy, że kolidują względem komplementarnych literałów l, l. Rezolwentą klauzul C 1, C 2 nazywamy klauzulę C postaci Rez(C 1, C 2 ) = (C 1 {l}) (C 2 {l}). Klauzule C 1, C 2 nazywamy klauzulami macierzystymi dla C. Rezolucja dla klauzul ustalonych Rezolwenta klauzul C 1 i C 2 jest spełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy klauzule C 1 i C 2 są spełnialne. Podstawienia Podstawieniem (termów za zmienne) nazywamy zbiór {x 1 t 1,..., x n t n } gdzie x i są różnymi zmiennymi, a t i są termami różnymi od odpowiadających im zmiennych x i. Podstawienie puste jest to podstawienie zdefiniowane przez zbiór pusty. Podstawienia oznaczamy małymi literami alfabetu greckiego: λ, µ, δ, θ. Podstawienia Wyrażeniem nazywamy term, literał, klauzulę lub zbiór klauzul. Niech E będzie wyrażeniem, a θ = {x 1 t 1,..., x n t n } podstawieniem. Instancję Eθ wyrażenia E otrzymujemy przez jednoczesne zastąpienie każdego wystąpienia zmiennej x i termem t i. 5

6 Podstawienia Niech θ = {x 1 t 1,..., x n t n } i δ = {y 1 s 1,..., y n s n } będą podstawieniami. Niech X i Y będą zbiorami zmiennych zastępowanych odpowiednio w podstawieniach θ i δ. Podstawienie θδ, złożenie podstawień θ i δ, definiujemy jako następujące podstawienie: θδ={x i t i δ x i X, x i t i δ} {y j s i y i Y, y j X} θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) Podstawienie δ do termów t i z podstawienia θ Dodajemy ze zbioru δ podstawienia dla tych zmiennych, którym θ nie nadaje wartości θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} θ = {x f(y), y f(a), z u} δ= {y g(a), u z, v f(f(a))} E = p(u, v, x, y, z) θδ = {x f(g(a)), y f(a)} {u z, v f(f(a))} Podstawienia Niech E będzie wyrażeniem, a q i d podstawieniami. Wówczas E(θδ) = (Eθ)δ. θ(δγ) = (θδ)γ θδ = {x f(g(a)), y f(a), u z, v f(f(a))} E(θδ) = p(z, f(f(a)), f(g(a)), f(a), z) 6

7 Uzgadnianie Dla dowolnego zbioru atomów podstawieniem uzgadniającym tego zbioru nazywamy podstawienie spełniające warunek: instancją wszystkich elementów tego zbioru uzyskaną przez zastosowanie tego podstawienia jest ten sam atom. Podstawienie uzgadniające µ nazywamy najbardziej ogólnym podstawieniem uzgadniającym danego zbioru atomów, jeśli każde podstawienie uzgadniające θ można uzyskać z µ przez zastosowanie dodatkowego podstawienia, czyli θ = µλ. Uzgadnianie Zbiór równań na termach jest w postaci rozwiązywalnej, jeśli spełnione są następujące warunki: wszystkie równania są postaci x i = t i, gdzie x i jest zmienną; każda zmienna x i, występująca po lewej stronie równania, nie występuje w żadnym innym miejscu. Zbiór równań w postaci rozwiązywalnej definiuje podstawienie {x 1 t 1,..., x n t n }. Algorytm uzgadniania 1. Przekształć równanie t = x, gdzie t nie jest zmienną, do x = t. 2. Usuń równanie postaci x = x. 3. Niech t = t będzie równaniem takim, że t, t nie są zmiennymi. Jeśli główne symbole funkcyjne termów t i t są różne, to zakończ algorytm i udziel odpowiedzi: zbiór termów nie jest uzgadnialny. W przeciwnym razie zastąp równanie f(t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ) k równaniami postaci t 1 = t 1,..., t n = t n. 4. Niech x = t będzie równaniem takim, że zmienna x występuje w zbiorze równań nie tylko po lewej stronie tego równania. Jeśli zmienna x występuje w t, to zakończ algorytm i udziel odpowiedzi: zbiór termów nie jest uzgadnialny. W przeciwnym razie zastąp wszystkie wystąpienia zmiennej x w innych równaniach termem t. g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) x = g(y) reg. 1 x = g(y) g(z) = g(y) z = y h(x) = w reg. 3 h(x) = w Reg. 4 Reg. 3 7

8 g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) g(y) = x f(x, h(x), y) = f(g(z), w, z) z = y Reg. 4 z = z Reg. 2 Reg. 1 w = h(g(z)) {x g(z), w h(g(z)), y z} Uzgadnianie Algorytm uzgadniania zawsze się zatrzymuje. Jeśli algorytm zakończy się udzieleniem odpowiedzi, że zbiór termów nie jest uzgadnialny, to dla danego zbioru równań nie istnieje podstawienie uzgadniające. Jeśli algorytm zakończy się sukcesem, to otrzymany zbiór równań jest w postaci rozwiązywalnej i definiuje najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające podany zbiór równań: µ = {x 1 t 1,..., x n t n }. Algorytm Robinsona Niech A i A będą atomami utworzonymi z tego samego symbolu predykatywnego. Potraktujmy te atomy jako ciągi symboli i niech k będzie indeksem pierwszej pozycji od lewej strony, na której w tych ciągach występują różne symbole. Parę termów {t, t } rozpoczynających się od pozycji k w atomie A oraz A nazywamy zbiorem niezgodności atomów A i A. Algorytm Robinsona Inicjujemy algorytm, przyjmując A 0 = A oraz A 0 = A. Wykonajmy nastepujący krok algorytmu: Niech {t, t } będzie zbiorem niezgodności algorytmów A i A. Jeśli jednym z termów należących do tego zbioru jest zmienna x i+1, a drugi term t i+1, w którym zmienna x i+1 nie występuje, to niech σ i+1 = {x i+1 t i+1 } oraz A i+1 = A i σ i+1, A i+1 = A i σ i+1. Jeśli nie można wykonać podanego kroku algorytmu, to atomów nie można uzgodnić. Jeśli po wykonaniu kolejnego kroku algorytmu otrzymamy A n = A n, to atomy A i A są uzgadnialne i najbardziej ogólnym podstawieniem uzgadniającym jest podstawienie µ = σ 1,..., σ n. Sprawdzenie występowania zmiennej Konieczność sprawdzania, czy term podstawiany za zmienną nie zawiera tej zmiennej, powoduje, że algorytm uzgadniania ma wykładniczą złożoność obliczeniową (względem wielkości uzgadnianych termów). Algorytmy stosowane w praktyce zwykle nie stosują tego sprawdzenia (ryzyko błędu!). 8

9 x 1 = f(x 0, x 0 ) x 2 = f(x 1, x 1 ) x 3 = f(x 2, x 2 )... x n = f(x n-1, x n-1 ) x 2 = f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )) x 3 = f(f(x 1, x 1 ), f(x 1, x 1 ))... x n = f(f(x n-2, x n-2 ), f(x n-2, x n-2 )) O(2 n ) x 2 = f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )) x 3 = f(f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )), f(f(x 0, x 0 ), f(x 0, x 0 )))... x n = f(f(f(x n-3, x n-3 ), f(x n-3, x n-3 )), f(f(x n-3, x n-3 ), f(x n-3, x n-3 ))) Rezolucja Niech L = {l 1,..., l n } będzie zbiorem literałów. Wówczas L = {l 1,..., l n }. Ogólna reguła rezolucji Niech C 1 i C 2 będą klauzulami nie mającymi wspólnych zmiennych. Niech L 1 = {l 11,..., l 1n } C 1, L 2 = {l 21,..., l 2n } C 2, będą podzbiorami literałów takimi, że L 1 i L 2 można uzgodnić, a σ będzie ich podstawieniem uzgadniającym (mgu). Klauzule C 1 i C 2 nazywamy kolidującymi i mówimy, że kolidują względem zbiorów literałów L 1 i L 2. Rezolwentą klauzul C 1 i C 2 nazywamy klauzulę postaci Rez(C 1, C 2 )= (C 1 σ L 1 σ) (C 2 σ L 2 σ) Ogólna metoda rezolucji Niech S 0 = S. Załóżmy, że utworzyliśmy zbiór S i. Wybierz klauzule kolidujące C 1, C 2 S i i niech C = Rez(C 1, C 2 ). Jeśli C jest klauzulą pustą, to zakończ: zbiór S jest niespełnialny. W przeciwnym razie utwórz S i+1 = S i {C}. Jeśli S i+1 = S i dla wszystkich par literałów kolidujących, to zakończ wykonywanie: Zbiór S jest spełnialny. x a q(a) x a q(a) s(f(a)) s(f(a)) 9

10 x a q(a) r(a, f(a)) r(a, f(a)) s(f(a)) (10) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) y f(a) t(f(a)) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) t(f(a)) (13) x f(a) s(f(a)) s(f(a)) (10) q(a) r(a, f(a)) (11) r(a, f(a)) (12) t(f(a)) (13) s(f(a)) (14) Zbiór klauzul jest niespełnialny. Poprawność i pełność rezolucji (Lemat o podnoszeniu) Niech C1 i C2 będą instancjami ustalonymi klauzul C1 oraz C2. Niech C będzie rezolwentą ustaloną klauzul C1 i C2. Wówczas istnieje rezolwenta C klauzul C1 oraz C2 taka, że C jest instancją ustaloną C. 10

11 Poprawność i pełność rezolucji Poprawność rezolucji Jeżeli na podstawie ogólnej metody rezolucji można wyprowadzić klauzulę pustą, to zbiór klauzul jest niespełnialny. Pełność rezolucji Jeśli zbiór klauzul jest niespełnialny, to stosując ogólną metodę rezolucji można wyprowadzić klauzulę pustą. 11

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 1 LOGICZNE PODSTAWY INFORMATYKI Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Rezolucja zdaniowa Formuły

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy

2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy 2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja 2.1 Funkcje i termy Zapoznanie się z systemami reprezentacji wiedzy logicznej ograniczyliśmy jak dotąd do rachunku kwantyfikatorów i nie były rozwaŝane

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Programowanie logiczne a negacja

Programowanie logiczne a negacja Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

1. Metoda tabel semantycznych

1. Metoda tabel semantycznych 1. Metoda tabel semantycznych Udowodnić pawdziwość fomuły metodą tabel semantycznych: (A B) ( B A) ZALECAMY podkeślanie analizowanych fomuł, W celu zbadania pawdziwości fomuły należy zanegować fomułę i

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a

Bardziej szczegółowo

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. 1 Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Problemy: Zapoznaj się z teorią funkcji pierwotnie rekurencyjnych. Ważne są definicje klasy

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia Rachunek zdań 2.1 Podstawowe pojęcia 2.1.1. Rachunek zdań to teoria zajmująca się formami wnioskowania zbudowanymi wyłącznie ze zmiennych zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych, będących pewnego rodzaju

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Alfred N. Whitehead

Alfred N. Whitehead Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie

Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie Stanisław Dercz 2010.03.22 Streszczenie Prezentujemy ciekawe twierdzenie teorii modeli, umożliwiające budowanie modeli teorii pierwszego rzędu. Wprowadzamy jedynie konieczny

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

10110 =

10110 = 1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie i pojęcia wstępne.

Wprowadzenie i pojęcia wstępne. Wprowadzenie i pojęcia wstępne. X\A a b c x 1 a 1 b 1 c 1 x 2 a 1 b 1 c 2 x 3 a 1 b 2 c 3 x 4 a 2 b 1 c 4 x 5 a 1 b 2 c 1 x 6 a 1 b 2 c 2 x 7 a 1 b 1 c 1 S = X = {x 1,,x 8 } A = {a, b, c}

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych

Dedukcyjne bazy danych Dedukcyjne bazy danych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Dedukcyjne bazy danych p.1/37 Plan seminarium Wprowadzenie Podstawy matematyczne Podstawowe

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Jak logik przewozi kozę przez rzekę?

Jak logik przewozi kozę przez rzekę? Jak logik przewozi kozę przez rzekę? 1. Koza i kapusta 1.1. Problem Na lewym brzegu rzeki, na przystani promowej, znajdują się: chłop, koza i kapusta. Prom jest samoobsługowy (może obsługiwać go tylko

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.

Bardziej szczegółowo

Dowody założeniowe w KRZ

Dowody założeniowe w KRZ Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 2/3 Dzisiaj Literały i klauzule w logice predykatów Sprowadzania

Bardziej szczegółowo

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo