Kultura logicznego myślenia

Transkrypt

1 Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu

2 logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu

3 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością

4 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe

5 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe

6 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji)

7 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne

8 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne 5. stałe logiczne funktory prawdziwościowe

9 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne 5. stałe logiczne funktory prawdziwościowe identyczność

10 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne 5. stałe logiczne funktory prawdziwościowe identyczność kwantyfikatory

11 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne 5. stałe logiczne funktory prawdziwościowe identyczność kwantyfikatory 6. nawiasy

12 Język logiki elementarnej np. język rachunku predykatów z kwantyfikatorami i identycznością 1. zmienne indywiduowe 2. stałe indywiduowe 3. symbole predykatywne (nazwy cech i relacji) 4. symbole funkcyjne 5. stałe logiczne funktory prawdziwościowe identyczność kwantyfikatory 6. nawiasy specyficzne / niespecyficzne symbole języka elementarnego

13 Definicja składności w języku elementarnym

14 Definicja składności w języku elementarnym (1) Wyrażenie składne kategorii nazwowej ( term)

15 Definicja składności w języku elementarnym (1) Wyrażenie składne kategorii nazwowej ( term) (i) każda zmienna indywiduowa, a także każda stała indywiduowa jest termem,

16 Definicja składności w języku elementarnym (1) Wyrażenie składne kategorii nazwowej ( term) (i) (ii) każda zmienna indywiduowa, a także każda stała indywiduowa jest termem, jeśli t 1,, t n są termami, a F jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to wyrażenie postaci F(t 1,, t n ) jest termem,

17 Definicja składności w języku elementarnym (1) Wyrażenie składne kategorii nazwowej ( term) (i) (ii) (iii) każda zmienna indywiduowa, a także każda stała indywiduowa jest termem, jeśli t 1,, t n są termami, a F jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to wyrażenie postaci F(t 1,, t n ) jest termem, termami są te i tylko te wyrażenia, których własność ta wynika z punktów (i) i z (ii).

18 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła)

19 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą,

20 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) (ii) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą, jeśli wyrażenia t 1 oraz t 2 są termami, to wyrażenia postaci t 1 = t 2 jest formułą,

21 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) (ii) (iii) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą, jeśli wyrażenia t 1 oraz t 2 są termami, to wyrażenia postaci t 1 = t 2 jest formułą, jeśli A oraz B są formułami, to każde z poniższych wyrażeń jest formułą: ( A), (A B), (A B), (A B), (A B)

22 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) (ii) (iii) (iv) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą, jeśli wyrażenia t 1 oraz t 2 są termami, to wyrażenia postaci t 1 = t 2 jest formułą, jeśli A oraz B są formułami, to każde z poniższych wyrażeń jest formułą: ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) jeśli x jest zmienną indywiduową, zaś A jest formułą, to następujące wyrażenia są formułami: ( x A), ( x A)

23 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) (ii) (iii) (iv) (v) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą, jeśli wyrażenia t 1 oraz t 2 są termami, to wyrażenia postaci t 1 = t 2 jest formułą, jeśli A oraz B są formułami, to każde z poniższych wyrażeń jest formułą: ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) jeśli x jest zmienną indywiduową, zaś A jest formułą, to następujące wyrażenia są formułami: ( x A), ( x A) formułami są...

24 Definicja składności w języku elementarnym (2) Wyrażenie składne kategorii zdaniowej ( formuła) (i) (ii) (iii) (iv) (v) jeśli t 1,, t n są termami, natomiast P jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to wyrażenie postaci P(t 1,, t n ) jest formułą, jeśli wyrażenia t 1 oraz t 2 są termami, to wyrażenia postaci t 1 = t 2 jest formułą, jeśli A oraz B są formułami, to każde z poniższych wyrażeń jest formułą: ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) jeśli x jest zmienną indywiduową, zaś A jest formułą, to następujące wyrażenia są formułami: ( x A), ( x A) formułami są...

25 niektóre formuły są zdaniami

26 niektóre formuły są zdaniami zdania / funkcje zdaniowe

27 niektóre formuły są zdaniami zdania / funkcje zdaniowe zdania jednostkowe / zdania uniwersalne

28 definicja Dane wystąpienie zmiennej x wewnątrz formuły A nazywamy wystąpieniem związanym, jeśli jest to wystąpienie pod kwantyfikatorem lub też w zasięgu działania tego kwantyfikatora, którego zmienną podkwantyfikatorową jest x.

29 definicja Dane wystąpienie zmiennej x wewnątrz formuły A nazywamy wystąpieniem związanym, jeśli jest to wystąpienie pod kwantyfikatorem lub też w zasięgu działania tego kwantyfikatora, którego zmienną podkwantyfikatorową jest x. definicja Podstawienie termu t w miejsce wszystkich wolnych wystąpień zmiennej x wewnątrz formuły A nazywamy prawidłowym, jeśli żadna zmienna występująca wewnątrz termu t nie staje się związana po podstawieniu.

30 zdania jednostkowe / zdania uniwersalne

31 zdania jednostkowe / zdania uniwersalne

32 Rzędy języka: język rzędu 0 język rzędu 1 język rzędu 2

33 Rzędy języka: język rzędu 0 język rzędu 1 język rzędu 2 przykład: Leibniza zasada identyczności przedmiotów nieodróżnialnych dygresja: Quine o zobowiązaniach ontologicznych: być to być wartością zmiennej związanej