Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
|
|
- Stanisław Czech
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist Rezolucja Strategie rezolucyjne - heurystyki w procesie dowodzenia 1
2 Rachunek zdań syntaktyka Alfabet rachunku zdań tworzą wyrażenia: zbiór r nieskończony (przeliczalny) zmiennych zdaniowych: p, q, r, zwanych atomami lub formułami atomowymi, oraz spójniki (operatory) logiczne:, zwane odpowiednio negacją i implikacją. Rachunek zdań syntaktyka Zbiór r formuł jest najmniejszym zbiorem spełniaj niającym warunki: atomy (zmienne zdaniowe) sąs formułami, jeśli jest formułą łą,, to również jest formułą łą, jeśli oraz są formułami, to również jest formułą łą. Dla uproszczenia wprowadza się spójniki:,, zwane odpowiednio koniunkcją,, dysjunkcją i równowar wnoważnością, określone jako: ( ) ( ) ( ) 2
3 Rachunek zdań pomocnicze definicje Literałem em nazywamy formułę atomową lub jej negację. Klauzula to alternatywa literałów. Klauzulę,, która nie zawiera żadnego literału nazywamy klauzulą pustą i oznaczamy. Klauzula Horna to klauzula zawierająca co najwyżej jedną formułę atomową w postaci prostej (nie zanegowanej). Rachunek zdań semantyka Niech będzie dowolną formułą łą,, zaś A 1,A 2,,A n wszystkimi atomami, które w niej występuj pują. Interpretacją I formuły nazywamy funkcję odwzorowującą ze zbioru atomów {A 1,A 2,,A n } w zbiór wartości logicznych {0, 1}. Wartość formuły y atomowej p w interpretacji I jest równa r wartości logicznej przypisanej tej formule przez interpretację: I (p) = I(p) 3
4 Rachunek zdań semantyka Wartość formuły y złożonejz onej w interpretacji I zależy y od wartości podformuł składowych (z których zbudowana jest formuła a złożona) z ona) i określona jest ona następuj pująco: 1, I ( ) 0, w 0, I ( ) 1, gdy gdy ( ) 0 przeciwnym przypadku ( ) 1 oraz ( ) 0 I I w przeciwnym przypadku I Definicje Rachunek zdań semantyka Formuła jest prawdziwa przy interpretacji wtw,, gdy jej wartość w tej interpretacji wynosi 1, czyli ()=1. Mówimy wówczas, w wczas, że e interpretacja I jest modelem dla (albo: spełnia). Formuła jest prawdziwa (inaczej: jest tautologią) wtw, gdy każda interpretacja jest modelem formuły,, czyli formuła prawdziwa jest przy każdej interpretacji. Formuła jest spełnialna wtw,, gdy istnieje taka interpretacja przy której formuła a jest prawdziwa. 4
5 Rachunek zdań semantyka Definicje Formuła jest fałszywa przy interpretacji wtw,, gdy jej wartość w tej interpretacji wynosi 0, czyli ()=0. Formuła jest fałszywa (inaczej: niespełnialna nialna) wtw,, gdy jest formułą fałszyw szywą w każdej interpretacji. Formuła jest falsyfikowalna wtw,, gdy istnieje taka interpretacja, że ()=0. Wnioski z definicji Rachunek zdań semantyka Formuła jest prawdziwa wtw,, gdy jej formuła jest fałszywa. Jeżeli eli jest formuła a prawdziwą,, to jest formuła spełnialn nialną (ale nie odwrotnie!) Jeżeli eli jest formułą prawdziwą,, to nie jest formułą fałszyw szywą (ale nie odwrotnie!) Formuła nie jest prawdziwa wtw,, gdy jest falsyfikowalna. 5
6 Wnioski z definicji Rachunek zdań semantyka Formuła jest fałszywa wtw,, gdy formuła jest prawdziwa. Jeżeli eli jest formuła a fałszyw szywą,, to jest formułą falsyfikowalną (ale nie odwrotnie!) Jeżeli eli jest formułą fałszyw szywą,, to nie jest formułą prawdziwą (ale nie odwrotnie!) Formuła nie jest fałszywa wtw,, gdy jest spełnialna. Rachunek zdań wnioskowanie Formuła jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U={ ={ 1, 2,...,, n }, co zapisujemy U,, jeżeli eli każda interpretacja, która spełnia U (tzn. jest jego modelem) spełnia także. Jeżeli eli zbiór r formuł U jest pusty, to pojęcie konsekwencji logicznej jest tożsame z pojęciem prawdziwości, co zapisujemy. Twierdzenie o dedukcji Niech U={ ={ 1, 2,...,, n } będzie b zbiorem formuł,, zaś będzie pojedynczą formułą łą.. Zachodzi wówczas: w wczas: U wtedy i tylko wtedy, gdy formuła 1 n jest prawdziwa, czyli gdy 1 n. 6
7 Twierdzenie Rachunek zdań wnioskowanie Formuła jest logiczną konsekwencją zbioru formuł U={ ={ 1, 2,...,, n } wtedy i tylko wtedy, gdy formuła 1 n jest niespełnialna. nialna. Twierdzenie o rozstrzygalności Rachunek zdań jest rozstrzygalny, tzn. można zawsze obliczyć wartość logiczną formuły. Podstawowe pojęcia dotyczące ce teorii Teoria Zbiór r formuł T nazywamy teorią wtw,, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne. Zbiór r formuł T jest zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne wtw,, gdy dla wszystkich formuł zachodzi zależno ność: : jeżeli eli T,, to T. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami teorii. Niech U będzie zbiorem formuł.. Zbiór T(U)={ )={ U } nazywamy teorią zbioru formuł U,, zaś formuły y należą żące do U nazywamy aksjomatami. 7
8 Wnioskowanie (dowód) d) Wnioskowaniem ze zbioru formuł U (przesłanek) formuły (wniosku) nazywamy skończony ciąg g formuł W=W 1,...,W n, taki, że W n = oraz każda z formuł W i (1 i n) ) jest elementem zbioru U (aksjomatem) bądźb wnioskiem wyprowadzonym za pomocą pewnej reguły y wnioskowania z wcześniejszych przesłanek W j. Jeżeli eli dla danej formuły oraz zbioru U istnieje wnioskowanie, to piszemy U. Wnioskowanie: poprawność i pełno ność Twierdzenie o poprawności. Niech U będzie zbiorem formuł,, zaś dowolną formułą łą,, wtedy: jeżeli eli U, to U. Twierdzenie o pełno ności. Niech U będzie zbiorem formuł,, zaś dowolną formułą łą,, wtedy: jeżeli eli U, to U. Dzięki twierdzeniu o pełno ności problem stwierdzenia, czy formuła jest logiczną konsekwencją zbioru formuł U można sprowadzić do zagadnienia poszukiwania wnioskowania formuły ze zbioru U,, co jest o tyle istotne, że e konstrukcja wnioskowania ma charakter wyłą łącznie syntaktyczny i poddaje się automatyzacji. 8
9 Pełno ność procedury dowodowej - dlaczego? Istnienie pełnej procedury dowodowej: zredukowałoby oby proces dowodzenia jedynie do mechanicznych manipulacji składni adnią formuł logicznych oznaczałoby, oby, iżi wszystkie wnioski i twierdzenia logiki sąs zawsze i jedynie pochodną przyjętego zbioru aksjomatów i umożliwi liwiłoby tym samym automatyzację procesu rozwiązywania zywania każdego problemu sformułowanego owanego w języku j logiki (pomijamy problem złożonoz oności obliczeniowej takiego procesu!) Dedukcja Dedukcja jest wnioskowaniem, w której podstawową regułą wnioskowania (dowodową) ) jest reguła a odrywania: A, A B albo B A, A B B Reguła a odrywania wymaga aby formuły y miały y postać atomową lub były y klauzulami Horna. 9
10 Logic Theorist (LT) Reprezentacja wiedzy: rachunek zdań i predykatów Mechanizmy wnioskowania: podstawienie zastąpienie reguła a odrywania reguła łańcucha Sterowanie wnioskowaniem: przeszukiwanie począwszy od celu we wszystkich możliwych kierunkach Logic Theorist (LT): wnioskowanie Podstawienie W każdym twierdzeniu, o którym wiemy, że e jest prawdziwe można podstawić za zmienną dowolne wyrażenie (w każdym wystąpieniu tej zmiennej). Przykład (B B) B... aksjomat A za B... podstawienie (A A) A... wynik 10
11 Logic Theorist (LT): wnioskowanie Zastąpienie Operator wyrażenia można zastąpi pić wyrażeniem logicznie równoważnymnym lub jego definicją. Przykład (A B) (A B)... Definicja (A A) A... Wyrażenie (A A) A... Zastąpienie Logic Theorist (LT): wnioskowanie Reguła a odrywania (modus ponens) Z prawdziwości implikacji i jej przesłanek możemy wnioskować o prawdziwości jej konkluzji: albo: [(A B) A ] B A B, A B Reguła łańcucha Jeżeli eli mamy A B oraz B C,, to mamy nowy problem (podcel( podcel): A C 11
12 Logic Theorist (LT): sterowanie Funkcjonowanie systemu LT opiera się na następuj pującej sekwencji działań: Po pierwsze, wykonanie wszystkich możliwych zmian w bieżą żącym celu z wykorzystaniem operacji podstawienia, Po drugie, jeżeli eli to nie prowadzi do dowodu, stosujemy wszystkie możliwe oderwania i zastąpienia do naszego celu; jeżeli eli nie doprowadzi to żadnego z wyrażeń do aksjomatu, wyniki dodawane sąs do listy podcelów, Po trzecie, stosujemy regułę łańcucha, Po czwarte, jeżeli eli żadne z trzech powyższych działań nie doprowadziło o do dowodu, przechodzimy do listy podcelów i wybieramy kolejny nie rozważany any dotąd d podcel Logic Theorist (LT): sterowanie Warunki stopu systemu LT: znaleziono dowód lista podcelów jest pusta (tzn. nie można wywieść z posiadanych przesłanek) dostępny czas i/lub pamięć zostały y wyczerpane 12
13 Logic Theorist (LT): przykłady cel p (q p) nie jest aksjomatem zastąpienie (q p) (q p) wynik: p (q p) podcel p (q p) podstawienie q za q p (q p) to aksjomat c.b.d.u. cel (p p) p nie jest aksjomatem zastąpienie (p p) (p p) wynik: (p p) p podcel (p p) p podstawienie p za p (p p) p to aksjomat c.b.d.u. Logic Theorist (LT): podsumowanie Program napisany przez Newella,, Simona i Shawa w roku 1956, który dowodził podstawowe twierdzenia pierwszego rozdziału Principia Mathematica Wnioskowanie: dedukcja Procedura pomocnicza: unifikacja wyrażeń Problemy: złożonoz oność,, sterowanie wnioskowaniem 13
14 Reguła modus ponens: : niepełno ność Przykładowy zbiór r aksjomatów p q p r q s r s Dowód d nieformalny dla s: s jest prawdziwe, gdy q lub r jest prawdziwe; q lub r musi być prawdziwe, bo p lub p jest prawdziwe (zawsze!). Zatem s z pewności cią jest prawdziwe! Modus Ponens: p r nie można przekształci cić do postaci Horna (byłoby wtedy p r, czyli dwa literały y proste) i tym samym nie można skorzystać z reguły odrywania by dowieść prawdziwości s. Wniosek: Istnieją twierdzenia (konsekwencje logiczne) prawdziwe w rachunku zdań,, których nie można dowieść za pomocą modus ponens. Postacie normalne Formuła a jest w koniunkcyjnej postaci normalnej (CNF) wtw,, gdy jest ona postaci = n (dla n 1), gdzie 1, 2,..., n są klauzulami. Formuła a jest w dysjunkcyjnej postaci normalnej (DNF) wtw,, gdy jest ona postaci = n (dla n 1), gdzie 1, 2,..., n są koniunkcjami literałów. Twierdzenie Dla dowolnej formuły istnieją formuły y jest równowar wnoważne ne w koniunkcyjnej i dysjunkcyjnej postaci normalnej. 14
15 Sprowadzanie do postaci normalnej W celu sprowadzenia do postaci normalnej należy: 1) wyeliminować spójniki, za pomocą reguł: ( ) ( ), ( ), 2) wprowadzić negację bezpośrednio przed formuły y atomowe zgodnie z wzorami: ( ), ( ), ( ), 3) wyprowadzić koniunkcję (postać CNF) albo dysjunkcję (postać DNF) na zewnątrz nawiasów w przy użyciu u praw: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). Zasada rezolucji: Reguła a rezolucji: zasada A B, B C A C albo A B, B C A C Interpretacja (dysjunkcji): Jeśli B jest fałszywe, to w pierwszej dysjunkcji A musi być prawdziwe (skoro cała a alternatywa jest prawdziwa); ale jeśli B jest prawdziwe, to wtedy w drugiej dysjunkcji C musi być prawdziwe (skoro ta alternatywa też jest prawdziwa); zatem, A lub C są prawdziwe. Interpretacja (implikacji): poprawność zasady rezolucji wynika z przechodniości ci implikacji 15
16 Rezolucja: pojęcia podstawowe literały komplementarne przesłanka przesłanka A B, B C A C rezolwenta Rezolucja ma charakter binarny tzn. dotyczy dokładnie dwóch klauzul, a rezolwenta jest wyprowadzana z jednej pary literałów komplementarnych. Rezolucja: zasada rezolucji a modus ponens A, A B True A, A B B True B True A, A B True B False A, A B False B Zasada rezolucji jest uogólnieniem reguły y odrywania. Modus ponens nie daje możliwo liwości generowania dysjunkcji (implikacji) - możliwe jest jedynie wywodzenie formuł atomowych. 16
17 Rezolucja: wywód d rezolucyjny oraz dowód Wywodem rezolucyjnym klauzuli C ze zbioru klauzul U nazywamy ciąg g klauzul W=W 1,...,W n, którego elementami sąs wyłą łącznie elementy zbioru U oraz rezolwenty klauzul występuj pujących wcześniej w tym ciągu, zaś W n =C. Wywód d rezolucyjny klauzuli pustej ze zbioru U nazywamy dowodem niespełnialno nialności (sprzeczności)) dla U. Rezolucja: przypadki wnioskowania Przesłanki P P Q (P Q) P Q P Q P Q P Q P P P Q (P Q) Q R (Q R) Rezolwenty Q Q Q Q P P P R (P R) modus ponens Uwagi Q Q daje Q rezolwenta sklejana dwie rezolwenty (obie tautologie) klauzula pusta (oznaka sprzeczności) ci) wnioskowanie łańcuchowe (ang. chaining) 17
18 Zasada rezolucji: pełno ność czy niepełno ność? Zasada rezolucji nie jest pełna na,, gdyż nie jest możliwe wywiedzenie formuły p p (będącego tautologią) ) dla pustego zbioru klauzul początkowych (aksjomatów). Zasada rezolucji jest jednak pełna w sensie refutacji tzn. zawsze umożliwia wyprowadzenie klauzuli pustej (fałszywej w każdej interpretacji!), jeśli dany zbiór r klauzul jest niespełnialny. nialny. Refutacja (reductio( ad absurdum) - dowód nie wprost Aby dowieść ść, że e klauzula P jest logiczną konsekwencją zbioru klauzul S wystarczy wykazać, że e zbiór {S P} jest sprzeczny. Rezolucja: procedura dowodowa Przekształć przesłanki lub aksjomaty w formę klauzul Dodaj do zbioru aksjomatów w zaprzeczenie twierdzenia, które ma być udowodnione (w formie klauzuli) Generuj nowe klauzule (rezolwenty), wynikające z tego zbioru (zgodnie z zasadą rezolucji) i powiększaj o nie zbiór Szukaj sprzeczności, ci, podąż ążając c ku klauzuli pustej 18
19 Rezolucja: graf wywodu (przykład) p p q p r r p Rezolucja: drzewo wywodu (przykład) p p q p r r q r p 19
20 Rezolucja: strategie dowodzenia Strategie wyboru Strategia liniowa (ang. linear resolution) Strategia źródłowa (ang. input resolution) Strategia preferencji jednostkowej (ang. unit preference resolution) Strategia zbioru podpierającego/zbioru uzasadnień (ang. set of support resolution) Przeszukiwanie wszerz (saturacja) Strategie eliminacji usuwanie klauzul zawierających czyste literały y (brak drugiej klauzuli zawierającej literał komplementarny) usuwanie tautologii (klauzul zawierających literały y komplementarne) usuwanie klauzul pochłoni oniętych Rezolucja: przykład saturacji (krok 1) p p q p r r q r p 20
21 Rezolucja: przykład saturacji (krok 2) p p q p r r q r p Rezolucja: strategia zbioru podpierającego Zbiór r uzasadnień T - dowolny niepusty podzbiór zbioru S klauzul początkowych (skończonego i niepustego) W każdym kroku wywodu przynajmniej jedna z przesłanek jest klauzulą ze zbioru T bądź klauzulą wyprowadzoną we wcześniejszej fazie wywodu (inaczej: zbiór T jest po wykonaniu każdego kroku wzbogacany o wyprowadzony wniosek/rezolwent rezolwentę) Strategia zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest sprzeczny, zaś S\T jest spełnialny Istnieją różne metody wyboru zbioru T (najczęś ęściej zbiór ten zawiera negację dowodzonego twierdzenia) 21
22 Rezolucja: strategie zbioru podpierającego (przykład) Sprzeczny zbiór S: Zbiór S\T: p q p r q r r :zbiór T p q q p Rezolucja: strategia liniowa W każdym kroku jedna z przesłanek jest ostatnio wygenerowaną rezolwentą,, a druga jednym z wcześniejszych wniosków w (rezolwent) lub klauzulą początkow tkową Dowód d rozpoczyna się od dowolnie wybranej klauzuli początkowej (choć najlepiej aby było o to twierdzenie do udowodnienia) Dowód d ma charakter przejrzysty i ciągły - ostatni wniosek jest przesłank anką w kolejnym kroku Strategia zupełna Można łączy czyć ze strategią zbioru uzasadnień 22
23 Rezolucja: strategia liniowa (przykład) p q p r q r r p q q p r r Rezolucja: strategia źródłowa W każdym kroku przynajmniej jedna przesłanka jest klauzulą początkow tkową (a nie rezolwentą) Odmiana strategii liniowej (bardziej rygorystyczna!) Strategia niezupełna! na! Strategia zupełna w klasie klauzul Horna 23
24 Rezolucja: strategia źródłowa (niezupełno ność) Zbiór r sprzeczny: p q p q p q p q q p gdy liniowa! q p p q p q q itd. Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej W każdym kroku przynajmniej jedna przesłanka powinna być klauzulą pojedynczą (pojedynczy literał) Strategia zupełna Strategia niezupełna, na, gdy przynajmniej jedna przesłanka zawsze musi być klauzulą pojedynczą wtedy jest to tzw. strategia jednostkowa (zupełna w klasie klauzul Horna!) 24
25 Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej (przykład) p q p r q r r p q r Rezolucja: strategie dowodzenia Strategie wyboru Strategia liniowa (ang. linear resolution) Strategia źródłowa (ang. input resolution) Strategia preferencji jednostkowej (ang. unit preference resolution) Strategia zbioru podpierającego/zbioru uzasadnień (ang. set of support resolution) Przeszukiwanie wszerz (saturacja) Strategie eliminacji usuwanie klauzul zawierających czyste literały y (brak drugiej klauzuli zawierającej literał komplementarny) usuwanie tautologii (klauzul zawierających literały y komplementarne) usuwanie klauzul pochłoni oniętych 25
26 Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul zawierających czyste literały y (brak innej klauzuli zawierającej literał komplementarny) p l q l p q r p q r l l q r?? r Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie tautologii (klauzul zawierających parę literałów w komplementarnych) Niespełnialny zbiór r klauzul pozostaje niespełnialny nialny nawet, jeśli usuniemy z niego wszystkie tautologie Każda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji może e być tautologią 26
27 Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoni oniętych Pochłanianie: klauzula C pochłania klauzulę D wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór r literałów w klauzuli C jest podzbiorem zbioru literałów D Przykład Klauzule: Zbiory literałów: C = p q C = { p, q } D = p q r D = { p, q, r } Skoro mamy C D, to C pochłania D. Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoni oniętych c.d. Niespełnialny zbiór r klauzul pozostaje niespełnialny nialny nawet, jeśli usuniemy z niego klauzulę pochłoni onięta przez inną klauzulę Każda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji może e być pochłoni onięta przez inną klauzulę Pełno ność strategii eliminacji tautologii i klauzul pochłoni oniętych zależy y od sposobu usuwania klauzul (np. połą łączenie z saturacją gwarantuje pełno ność) 27
Wprowadzenie do Sztucznej
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Konsekwencje logiczne Formuła A jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U, co zapisujemy U A, jeŝeli kaŝda interpretacja,
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoAlfred N. Whitehead
Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoAdam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoSystem hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu
Plan wykładu System hilbertowski Wykład 2 Definicja Definicja systemu Reguły y pochodne Twierdzenia dla innych operatorów Porównanie z systemem gentzenowskim Definicja systemu System H jest systemem dowodzenia
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji
LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Pokażemy teraz działanie pewnej metody dowodowej, mającej istotne zastosowania m.in. w automatycznym dowodzeniu
Bardziej szczegółoworeguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja.
System naturalnej dedukcji Gentzena Sąd postaci: Γ f (f formuła,γ zbiórformuł) czytamy: konsekwencją założeń Γ jest wniosek f Reguły systemu: reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoReguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowo1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoReprezentowanie wiedzy Logika a reprezentacji wiedzy Rachunek zdań Literatura. Systemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań
Systemy ekspertowe Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań Joanna Kołodziejczyk 18 marca 2014 Plan wykładu 1 Reprezentowanie wiedzy 2 Logika a reprezentacji wiedzy 3 Rachunek zdań 4 Literatura Kodowanie
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoSystemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań. Joanna Kołodziejczyk. Joanna Kołodziejczyk Systemy ekspertowe / 41
Systemy ekspertowe Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Joanna Kołodziejczyk 2016 Joanna Kołodziejczyk Systemy ekspertowe 2016 1 / 41 Reprezentowanie wiedzy Plan wykładu 1 Reprezentowanie wiedzy 2 Logika a reprezentacji
Bardziej szczegółowoAutomatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji
Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoSID Wykład 5 Wnioskowanie w rachunku zdań
SID Wykład 5 Wnioskowanie w rachunku zdań Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW slezak@mimuw.edu.pl Bazy wiedzy Inference engines Knowledge base domain-independent algorithms domain-specific content
Bardziej szczegółowo14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII
14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII Cele Pojęcie wynikania logicznego i równoważności logicznej w systemie SD. Umiejętność wykazywania zachodzenia relacji
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoProgramowanie logiczne a negacja
Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoJak wnioskują maszyny?
Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowo