TRZY GRECKIE TRADYCJE NAUKOWE I ROLA MATEMATYKI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TRZY GRECKIE TRADYCJE NAUKOWE I ROLA MATEMATYKI"

Transkrypt

1 TRZY GRECKIE TRADYCJE NAUKOWE I ROLA MATEMATYKI autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005

2 SPIS TREŚCI: Wstęp... 2 Tradycja platońska... 2 Życie Platona... 2 Nauka o ideach... 3 Teoria wiedzy... 3 Platon a matematyka... 4 Tradycja arystotelesowska... 5 Życie Arytotelesa... 5 Zerwanie z Platonem i koncepcja niezapisanego umysłu... 6 Forma i materia... 6 Koncepcja nauki... 7 Fizyka a matematyka... 7 Tradycja archimedejska... 8 Życie i twórczość Archimedesa... 8 Poglądy Archimedesa... 9 Podsumowanie o trzech tradycjach naukowych Rola matematyki BIBLIOGRAFIA

3 WSTĘP Starożytność wniosła niekwestionowany fundament w rozwój matematyki. Trudno wyobrazić sobie współczesną matematykę bez osiągnięć starożytnych. W starożytności narodziły się problemy matematyczne, które od czasów antycznych po dzień dzisiejszy pasjonują ludzi myślących matematyków i niematematyków, młodzież i ludzi dojrzałych. W niniejszej pracy przedstawiam pokrótce trzech wielkich matematyków i zarazem filozofów starożytnej Grecji oraz trzy wielkie tradycje naukowe, których byli twórcami: platońską, arystotelowską i archimedejską. W końcowej części pracy napiszę natomiast parę zdań o roli matematyki. Historycy nauki (np. Alexander Koyré, Michał Heller) zgodnie twierdzą, że w filozofii starożytnej tkwią korzenie współczesnych nauk matematyczno-przyrodniczych. Największe znaczenie dla ich rozwoju miały trzy starożytne tradycje badawcze: platońska, arystotelesowska i archimedejska. Tradycja platońska, z podejściem racjonalistycznym, nastawionym na poznanie czyste, zainspirowała rozwój nauk matematycznych. Arystoteles cenił bardziej poznanie empiryczne. Był bardzo dobrym obserwatorem i systematykiem. Stworzona przez niego tradycja badawcza znacząco wpłynęła na rozwój nauk biologicznych. Niektóre pojęcia wprowadzone przez Arystotelesa występowały w języku biologii jeszcze w dziewiętnastym wieku. Metody i pojęcia Arystotelesa zostały także przejęte przez różne wersje metafizyki. Tradycja archimedejska była z tych trzech najciekawsza, lecz na długie wieki została zapomniana. Archimedes proponował, aby dane uzyskane w doświadczeniu opisywać przy pomocy formuł matematycznych. Jego metoda postępowania naukowego była więc bardzo zbliżona do metod współczesnej fizyki. TRADYCJA PLATOŃSKA Życie Platona Żył w latach ok p.n.e. Jego prawdziwe imię brzmiało Arystokles. Platon to przydomek, jaki nadał mu nauczyciel gimnastyki z powodu jego szerokich barów (od gr. platos - 'szerokość'). Zainteresowania filozoficzne zawdzięczał Platon dziewięcioletniemu obcowaniu z Sokratesem. Po jego śmierci odbył liczne podróże. Przebywał w Megarze, Kyrene, w Egipcie i Azji Mniejszej, w Italii i na Sycylii. Podczas podróży poznał wiele poglądów, w tym doktryny orfickie i pitagorejskie o wędrówce duszy, o uwięzieniu duszy w ciele, o dążności do najwyższej idei dobra. W 389 p.n.e., po powrocie do Aten, w gaju poświęconym Akademosowi stworzył salę do ćwiczeń i kaplicę, w której oddawał cześć muzom. W ten sposób powstała szkoła, zwana później Akademią Platońską, którą Platon kierował przez 42 lata. W szkole tej rozwija- 2

4 ły się: filozofia, matematyka, astronomia, logika, medycyna. Akademia Platona istniała ponad 900 lat, a została zamknięta przez cesarza Justyniana w 529 n.e. Nauka o ideach Nauka o ideach jest jedną z najbardziej oryginalnych cech platonizmu. Platon uważał, że przedmiotem prawdziwej, niezmiennej wiedzy nie mogą być zmienne rzeczy ze świata fizycznego. Jeżeli istnieje pewna i niezmienna wiedza (np. matematyczna), to znaczy, że istnieją inne przedmioty niż zmienne przedmioty świata widzialnego. Muszą to być przedmioty trwałe, niezmienne i wieczne, niepodlegające prawom, obowiązującym w świecie zmysłowym. Byty te Platon nazwał ideami. Według niego, istnieje odrębna od świata zmysłowego, najprawdziwsza rzeczywistość, którą jest świat idei. Ideom odpowiadają pojęcia ogólne, takie jak np.: dobro, piękno, biel, itp. Idee są jednocześnie pierwowzorami konkretnych przedmiotów. Przedmioty są jedynie cieniami idei. Jakiś byt jest dobry, o ile uczestniczy (partycypuje) w idei dobra. Platon twierdził, że w świecie idei istnieje hierarchia. Na szczycie piramidy stoi taka idea, która obejmuje sobą wszystkie inne idee i jest ich koroną. Nauka Platona o najwyższej idei nie była jednak jednoznaczna. W niektórych dialogach wyróżniał ideę piękna, gdyż piękno najjaśniej i najwyraźniej przejawia się w różnych zjawiskach. Kiedy indziej zaś za najwyższą ideę uważał ideę dobra. Nauka o ideach posiada swój aspekt metafizyczny i logiczny (poznawczy). Patrząc na tę teorię z punktu widzenia metafizycznego, trzeba powiedzieć, że idee są autonomicznymi bytami, istniejącymi poza granicami widzialnego kosmosu. Świat idei jest więc realnym, autonomicznym światem, różnym od znanego nam z doświadczenia świata czasoprzestrzennego. W aspekcie logicznym natomiast idee wyrażają się przez pojęcia ogólne. Są to pojęcia wrodzone człowiekowi, a nie nabyte wskutek doświadczenia. Dopiero wtórnie zostają one odnoszone przez człowieka do konkretnych przedmiotów, które w tych pojęciach partycypują. Dokładniej relację pomiędzy światem idei a światem widzialnym obrazuje platońska legenda o jaskini, opisana w jego Rzeczypospolitej. Platon proponuje tam, abyśmy wyobrazili sobie podziemną jaskinię otwartą ku światłu. W jaskini tej znajdują się ludzie, przykuci od dzieciństwa łańcuchami do skały w taki sposób, że zwróceni są ku wewnętrznej ścianie jaskini. Nigdy nie widzieli więc światła ani świata w tym świetle. Horyzontem ich widzenia jest ściana jaskini. Na ścianę tę jednak padają cienie ludzi i przedmiotów ze świata zewnętrznego. Więźniowie wiedzą więc o istnieniu innego świata poza jaskinią, lecz widzą jedynie jego cień, marną odbitkę. Teoria wiedzy Teoria wiedzy Platona wynikała z jego teorii rzeczywistości. Podobnie jak istnieje świat realny i świat idei, istnieją dwa rodzaje wiedzy: wiedza o świecie widzialnym i wiedza o ideach. Tylko wiedza o ideach zasługuje na miano prawdziwej wiedzy, którą Platon określał 3

5 słowem episteme. Wszelka inna wiedza ma charakter opinii, domysłu, nazywanego przez Platona doksa. Wprowadzone tu odróżnienie: episteme (wiedza pewna) i doksa (opinia, mniemanie) utrzymywało się przez całe wieki w historii filozofii. Różni filozofowie wskazywali drogi dojścia do wiedzy pewnej i podawali jej kryteria. Dla Platona wiedzą pewną była tylko wiedza rozumowa, uzyskiwana czystym rozumem. Tę wiedzę człowiek znajduje w sobie. Jest ona wrodzona i niezależna od wszelkiego doświadczenia. Skąd się bierze w człowieku taka wiedza? Pochodzi ona z poprzedniego życia. W poprzednim życiu człowiek a właściwie jego dusza, oglądała idee. Pamięć o ideach pozostała i dlatego najwłaściwszym sposobem poznania idei jest doświadczenie wewnętrzne, a szczególnie przypomnienie, czyli anamneza. Pogląd Platona jest tu zatem przeciwny w stosunku do psychologicznej teorii abstrakcji. Według teorii tej, człowiek w swoim poznaniu wychodzi od zmysłowego kontaktu z konkretnymi rzeczami, a następnie myślowo to poznanie uogólnia, tworząc pojęcia coraz bardziej ogólne. Abstrakcja wskazuje zatem na "oddolny" kierunek procesu tworzenia pojęć ogólnych. Jest to poznanie biegnące od szczegółu do ogółu. Teoria Platona, którą można nazwać teorią partycypacji, wskazuje "odgórny" kierunek relacji pomiędzy pojęciem a przedmiotem. Poznanie przebiega tu od ogółu (pojęcia) do szczegółu (szczegółu). Wszelkie doświadczenie zewnętrzne zmysłowe, dostarcza nam wiedzy jedynie o cieniach idei, które można odnaleźć w bytach materialnych, gdy widzimy te rzeczy w świetle pojęć ogólnych. Widać więc, że Platon przypisywał większą wartość czystemu poznaniu rozumowemu niż poznaniu, które pochodzi z empirii. W związku z tym można go nazwać racjonalistą, a nie empirystą. Nie znaczy to, że Platon nie przywiązywał żadnej wagi do doświadczenia zmysłowego, lecz uważał, że nie może ono prowadzić do uzyskania wiedzy pewnej. Platon a matematyka Platon był pod głębokim wrażeniem rozwoju greckiej matematyki, ponieważ pozwalała podawać twierdzenia, które mogły być dowodzone jako prawdziwe za pomocą niekwestionowanych logicznych metod. To zainteresowanie matematyką pomogło mu rozwinąć metafizyczną teorię idei i zrozumieć w jaki sposób ona dobrze opisuje obiekty matematyczne jako idealne formy, które są umieszczone w oddzielnym świecie, poniżej właściwych im idei. Matematyka według Platona jest więc nauką, która jest najbliższa ideałowi wiedzy. Jest to bowiem nauka o czystych ideach. Posługuje się ona czystym, bezobrazowym myśleniem. Jest zarazem skuteczna, ponieważ naprawdę opisuje realnie istniejący świat i daje nam prawdziwą wiedzę o realnie istniejącym świecie. Matematyk - platonista wierzy, że obiekty jego badań istnieją naprawdę (jak np. przestrzeń Hilberta czy idealna kula). Platon uznawał, że świat dzieli się dzieli na strefę podksiężycową nieidealną i nadksiężycową idealną. Druga z nich składa się z jednego pierwiastka kwintesencji i możliwy jest w niej tylko ruch idealny ruch po okręgu (zawsze z tą samą prędkością i powtarzający się). Zaobserwowano jednak na niebie 7 ciał niebieskich, które wykazywały ruchy zadziwiające: 4

6 Zastanawiano się więc jak wyjaśnić te ruchy przy pomocy jednostajnego ruchu po okręgu. Poprawnie opisał to zjawisko Klaudiusz Ptolemeusz w II wieku n.e.. Ciało sfery podksiężycowej składa się natomiast z czterech pierwiastków: ziemi, wody, powietrza, ognia, którym Platon przypisał bryły foremne. Mianowicie: ziemi sześcian, gdyż najtrudniej jest poruszyć ziemię i jest najwytrzymalsza; ogniowi, który jest zarodkiem świata czworościan; wodzie dwudziestościan foremny; powietrzu ośmiościan zaś kwintesencji piątą bryłę foremną - dwunastościan foremny, twierdząc iż Bóg posłużył się nią dla wszechświata, gdy kreślił jego plan (czyli, że sferyczny wszechświat jest opisywany przez dwunastościan, na którym są umieszczone konstelacje gwiazd.) Jednakże w praktyce matematyka często przestaje być idealną nauką. Matematycy bowiem posługują się myśleniem obrazowym lub odwołują się do obserwacji, przez co porzucają świat czystych idei, a zatrzymują się na świecie ich cieni. Pomimo tych zastrzeżeń w środowiskach platońskich matematyka zawsze była bardzo ceniona. Pochodną platonizmu jest wobec tego aprioryzm (poznanie możliwe jest przed doświadczeniem), który jest jego oczywistą konsekwencją. A ponieważ badamy istniejący świat idei matematycznych, a nas otaczają niedoskonałe odpowiedniki (odbicia) idei to prawdziwe poznanie dokonuje się na drodze od świata idei do świata rzeczywistego. TRADYCJA ARYSTOTELESOWSKA Życie Arytotelesa Żył w latach p.n.e.. Pochodził ze Stagiry, stąd zwany bywa Stagirytą. Około p.n.e. kształcił się w Akademii Platońskiej (był najzdolniejszym uczniem Platona). W latach p.n.e. przebywał na dworze macedońskim jako wychowawca Aleksandra III Wielkiego Macedońskiego, później - gdy Aleksander wyruszył na Azję - w Stagirze. W roku 335 p.n.e. powrócił do Aten, gdzie założył szkołę filozoficzną: Likejon. Była ona instytutem badań humanistycznych i przyrodniczych. W 323 p.n.e., zagrożony przez stronnictwo antymace- 5

7 dońskie, schronił się w Chalcynie i tam spędził resztę życia. Był filozofem o bardzo szerokich zainteresowaniach o czym świadczą jego dzieła. W przeciwieństwie do Platona, był realistą i zaprzeczał istnieniu świata idei, a nawet gdyby takowy istniał uznawał, że na nas nie ma żadnego wpływu. W swoim systemie filozoficznym po raz pierwszy zastosował dowodzenie, zapoczątkował empiryczne (doświadczalne) metody badań przyrodoznawczych, stworzył podstawy rozwoju wielu nauk m.in. logiki, biologii, metafizyki (nauka badająca to co leży poza naturą). Zerwanie z Platonem i koncepcja niezapisanego umysłu Arystoteles na wielu płaszczyznach zwalczał koncepcję matematycznego opisu przyrody i wyrażał swój sprzeciw wobec numerologii np. pisząc w Metafizykce : Jest siedem samogłosek, siedem tonów w skali muzycznej, siedem Plejad, w siódmym roku zwierzęta tracą zęby, walczących przeciw Tebom było siedmiu. Czy dlatego, że liczba z natury jest tego rodzaju, walczących było siedmiu, albo że konstelacja Plejad składa się z siedmiu gwiazd? Czy raczej dlatego było siedmiu walczących, ponieważ było siedem bram albo z jakiejś innej przyczyny? (...) Nie należy dowierzać tej łatwości, z jaką się ustala i odkrywa takie analogie w rzeczach wiecznych, skoro nawet w rzeczach ziemskich trudno je odkryć. Temu atakowi towarzyszy filozoficzne odrzucenie zarówno pitagorejskiej, jak i platońskiej teorii matematyki. Arystoteles twierdził natomiast, że dużo rozsądniejsze jest przyjęcie, że ludzie rodzą się z niezapisanym umysłem, który zapełnia się myślami na skutek codziennych doświadczeń życiowych. Forma i materia Arystoteles odrzucił zatem Platoński podział na rzeczywistość prawdziwą byt wiecznych i doskonałych idei oraz świat cieni, materialnych kreacji. Sądził, że idee nie mogą egzystować poza konkretnymi rzeczami ani stanowić dla nich normy. Jeśli bowiem jestem człowiekiem to przecież nie dlatego, że moja egzystencja odnosi się do jakowej idei człowieczeństwa, lecz dlatego, iż człowieczeństwo jest zawarte we mnie, stanowiąc integralny składnik ludzkiego bytowania. Ani idee, ani też materia nie istnieją bowiem samodzielnie. Naprawdę egzystują tylko konkretne zespoły materii i formy, realne rzeczy i zjawiska otaczającego świata. To wszystko jest zaś jednością materii i formy, na co Arystoteles daje taki oto przykład: Oto posąg z marmuru. Składa się on z dwóch elementów: bezkształtnego tworzywa, które istniało, zanim jeszcze rzeźbiarz przystąpił do dzieła, oraz formy, kształtu idealnego, jaki rzeźbiarz owej bryle marmuru nadał, czyniąc z niej rzeźbę. Właśnie te dwa składniki: materia i forma, zasada cielesna i zasada idealna, dadzą się wyróżnić w każdym wytworze pracy ludzkiej i w każdym dziele natury. 6

8 Forma była niejako odpowiednikiem idei platońskiej, lecz nie jako osobny, niezależny byt, a jako coś nadające kształt i postać materii tworzywu. Relację między formą a materią można więc sobie wyobrazić jak relację między naczyniem a wodą, albo gliną i palcami garncarza. Formy w zasadzie nie mogą istnieć bez materii, a z drugiej strony sama materia bez form nie posiadałaby kształtu, koloru, ruchu i innych cech. Tak więc świat jest nierozerwalną kombinacją materii i idei-form. Koncepcja nauki Materia stanowi składnik wszelkich rzeczy. Stanowi podłoże procesów i rzeczy, lecz sama z siebie nie może być źródłem rzeczy, ich ruchu i przemiany. Istnienie jej stanowi tylko o możliwości rzeczy i procesów. Ta możliwość przekształca się w rzeczywistość dopiero w połączeniu z formą. Forma zaś jako zasada kształtująca jest nie tylko źródłem ruchu, lecz również jego celem. To dzięki niej substancja staje się tym, czym jest konkretną rzeczą. Według Arystotelesa każdy byt zawiera w sobie swój cel wewnętrzny, istniejący w postaci ukrytej, który ukazuje się wówczas, gdy proces się dokonał, a ruch dobiegł kresu. Każdy stan w procesie jest produktem określonych przyczyn i zarazem spełnieniem określonego celu. Otaczający nas świat jest więc jednolitym łańcuchem przyczynowo i celowo powiązanych zdarzeń. Według Arystotelesa całkowite wyjaśnienie każdego zjawiska zakłada możliwość podania jego przyczyny materialnej (causa materialis) rzecz powstaje z materii, formalnej (causa formalis) rzecz powstaje przez ukształtowanie materii przez formy, sprawczej (causa efficiens) powstanie rzeczy musi być określone przez czynnik działający uprzednio i celowej (causa finalis) powstanie rzeczy musi służyć pewnemu celowi. Istnieją wyjątki od tej reguły, jak np. może nie być materialnej przyczyny zaćmienia Słońca lub Księżyca, gdyż przy zaćmieniu nie ma materialnej substancji. Natomiast przyczyną celową jabłoni nie jest wydawanie owoców do spożycia, ale aktualizacja prawdziwej formy tego drzewa. Ponadto każde wyjaśnianie zjawisk musi pozostać niekompletne, jeżeli ignoruje jedną lub więcej z czterech przyczyn. Nie są one wówczas pozbawione przyczyny sprawczej, natomiast nie można im przypisać żadnej przyczyny celowej. Fizyka a matematyka Arystoteles twierdził, że fizyk w swoich poszukiwaniach naukowych nie potrzebuje asysty matematyki. Powodem tego jest fakt, że przyczyny, które sprawiają zmianę i ruch same muszą być przedmiotem zmiany, z wyjątkiem przyczyny ostatecznej. Obrazowo można to ująć w ten sposób, że na końcu procesu, kiedy ruch dobiega końca, tj. w całkowicie stabilnych i niezmiennych bytach nie ma już napędu. Pozostaje pytanie: w jaki sposób zasada ruchu albo natura dobra mogą istnieć w rzeczach nieruchomych? Rzeczy nieruchome oznaczają tutaj matematyczne struktury w platońskim sensie - idealne, oddzielone wielkości, które są nieruchome, ponieważ są doskonałe. Na to Arystoteles tak pisze: 7

9 W przypadku rzeczy niezmieniających się nie może występować ani zasada ruchu, ani dobro samoistne. Dlatego też i w naukach matematycznych niczego się nie dowodzi za pomocą tego rodzaju przyczyn, ani też nie istnieje dowodzenie tego rodzaju, że coś jest lepsze lub gorsze, a nawet żaden matematyk nie wspomina w ogóle o czymś podobnym. Matematyczne obiekty nie są więc ani dobre, ani złe i matematyczne relacje nie pomagają nam w poszukiwaniu Dobra, które jest ostatecznym celem życia. Jednak podczas gdy matematycy nie mają do czynienia z przyczynami celowymi, filozof przyrody powinien znać wszystkie cztery. Według Arystotelesa fizyk studiuje zjawiska zachodzące w świecie materialnym z punktu widzenia ich materialności, matematyk natomiast zajmuje się tylko ich własnościami matematycznymi. Jednakże linia oddzielająca aspekty matematyczne od fizycznych jest bardzo cienka, ponieważ te dziedziny się przenikają. TRADYCJA ARCHIMEDEJSKA Życie i twórczość Archimedesa Żył w latach ok ok. 212 p.n.e.. Urodził się w Syrakuzach. Pochodził z rodziny o tradycjach naukowych. Ojciec jego był astronomem. Początkowe nauki pobierał u swego ojca Fidiasza. Przez pewien czas studiował również w słynnej już wtedy Aleksandrii. Tam zetknął się z wybitnymi uczonymi, z którymi przez całe życie utrzymywał ożywione stosunki. Do nich należał także ówczesny kierownik Biblioteki Aleksandryjskiej, Eratostenes. Przypuszcza się przynajmniej tak uważa kilku historyków nauki - iż Archimedes współdziałał z Eratostenesem przy obliczaniu długości obwodu kuli ziemskiej. Archimedes jest autorem szeregu niezwykle głębokich i oryginalnych prac z dziedziny matematyki i tym różni się od Euklidesa, który zasłynął raczej jako systematyk przed nim stworzonej wiedzy. Prace Archimedesa dotyczą obliczania objętości i pól figur, ograniczonych krzywymi i objętości brył, ograniczonych dowolnymi, powierzchniami, czym wsławił się jako prekursor rachunku całkowego, powstałego w dwa tysiące lat później dzięki takim geniuszom jak Leibniz i Newton. Archimedes uważał za najważniejsze swoje odkrycie podobno dowód, że stosunek objętości kuli do objętości opisanego na niej walca wyraża się stosunkiem liczb 2:3 i prosił przyjaciół o umieszczenie tego na nagrobku. Uzyskał najlepsze z dotychczasowych wyniki związane z tradycyjnym problemem kwadratury koła: Pole powierzchni koła jest równe polu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych obwodowi i promieniowi koła. 8

10 Pole koła ma się do pola opisanego na nim kwadratu jak 11:14. Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest zawarty między liczbami 96-kąta foremnego wpisanego w okrąg) i (dla 70 Wymienione zagadnienia stanowią tylko drobną część twórczości Archimedesa. Na podstawie zachowanych licznych informacji biograficznych, których ścisłość jest jednak wątpliwa, można wyobrazić sobie pogląd o Archimedesie jako o człowieku i uczonym. W ich świetle przypomina on poniekąd przysłowiowego "roztargnionego profesora". Legenda głosi, że znalazł sposób ustalenia zawartości złota w koronie króla Syrakuz Herona w czasie kąpieli, gdy zauważył, że woda zaczęła wyciekać, gdy wszedł do wanny. Wówczas nago pobiegł do domu z okrzykiem: eureka - znalazłem. Przypisywane mu zdanie: "dajcie mi punkt oparcia, a poruszę ziemię" - wiąże się zapewne ze zdarzeniem, gdy na polecenie króla zbudowana została wspaniała łódź, a robotnicy nie mogli jej spuścić na wodę. Pomógł w tym Archimedes i przy pomocy sporządzonego systemu bloków jeden człowiek, mianowicie sam król, uporał się z tą pracą. Jego dziełem było jeszcze wiele innych wynalazków i odkryć. W historii filozofii wielki matematyk z Syrakuz nie odgrywał jednak żadnej głównej roli. Niewątpliwie zawsze uważano go za wielkiego matematyka, lecz jego prace były zbyt techniczne. Jednak w całej historii nauki to właśnie tradycja archimedejska miała olbrzymi wpływ na rozwój poznania natury. Poglądy Archimedesa Jednym z powodów pomijania Archimedesa w historii intelektualnej jest zapewne styl jego dzieł, zarówno z dziedziny matematyki, jak i fizyki. Dzieła jego są nadzwyczaj trudne; o przystępność nie dbał, pisał stylem oszczędnym, opuszczał łatwe w swoim mniemaniu ogniwa, liczył zapewne na naukową dojrzałość czytelnika. Niekiedy Archimedes podawał swoje twierdzenia bez dowodu, pozostawiając matematykom zadowolenie z ich uzasadnienia. Chcąc sprawdzić rzeczywistą wiedzę aleksandryjczyków, Archimedes dodawał czasem kilka fałszywych twierdzeń po to "by tych, którzy twierdzą, że wszystko odkryli i nie podają żadnych dowodów tego, co odkryli, można było na tym przyłapać i zmusić do przyznania, że odkryli rzecz niemożliwą". Ci, którzy jak np. Plutarch wychwalali jasność wykładu Archimedesa, widocznie żadnej jego książki nie mieli w ręku, natomiast dużej miary matematyk francuski Franciszek Viete przyznawał, że nie wszystko rozumiał. Mimo to wywarł Archimedes ogromny wpływ na rozwój matematyki. Nie interesowały go rozważania filozoficzne, jak również czy np. kula jest ideą czy też formą, lecz jaką ma objętość czy powierzchnię. Był dobrym obserwatorem i komentatorem. I nawet, jeżeli niekiedy w jego dziełach wszystkie zadania są sklasyfikowane jako arbitralne definicje, aksjomaty, postulaty oraz pochodzące od nich twierdzenia i brak jest eksperymentalnej lub empirycznej podstawy to często pomimo tego istnieje empiryczna podstawa dla jego teorii, choć została wprowadzona w bardzo dyskretny sposób. 9

11 Empiryczny punkt wyjścia archimedejskiej fizyki teoretycznej mógłby umiejscawiać uczonego w arystotelowskiej tradycji, gdyby nie fakt, że jego dwa traktaty całkowicie pomijają przyczynowe wyjaśnianie, a w szczególności nie ma w nich żadnych odniesień do przyczyn celowych. Oznacza to tym samym, że nie wypełniają one arystotelesowskich warunków opisu naukowego. Umieszczenie jednak Arystotelesa wśród platoników również byłoby bardzo mylące, wziąwszy pod uwagę jego empiryczny punkt wyjścia i konsekwentne pomijanie numerologicznych spekulacji. Jedynym więc wyjściem z tej sytuacji i pozornego dylematu jest uznanie uczonego za twórcę trzeciej tradycji w starożytnej nauce. Nie może być bowiem wątpliwości, że podejście Archimedesa dawało wiedzę prawdziwą. Można jednak spytać, jakiego rodzaju jest to wiedza? Ignoruje ona przyczynowe relacje i okazuje się niezdolna do wskazania jakiegokolwiek celu w przyrodzie. Wobec tego nie ma ona bezpośrednich konsekwencji etycznych i wydaje się, że nie ma w niej również nic ważnego dla naszego życia. W czasach nowożytnych była coraz szerzej wykorzystywana przez technologię z dobrymi i złymi konsekwencjami, które są powszechnie znane. Problemem pozostaje więc to, czy ta, raczej wąska, perspektywa oddaje sprawiedliwość niepowątpiewalnej wiedzy, która wypływa z archimedejskiej postawy? Archimedes, jak dowodzą jego prace i działalność, wykazał iż istnieje ścisły związek między teorią i praktyką. Wyraża on ponadto nadzieję, że matematycy współcześni i przyszłości znajdą za pomocą podanych przez niego metod twierdzenia, które "nam nawet do głowy nie przyszły". PODSUMOWANIE O TRZECH TRADYCJACH NAUKOWYCH W całej historii nauki możemy spotkać te trzy główne tradycje naukowe powtarzające się nieustannie. Czasem naukowcy czynili aprioryczne wysiłki skonstruowania świata i jego części z idealnych matematycznych struktur stosowanych do zjawisk przyrody. Mamy wtedy do czynienia z platońską tradycją bez względu na to, czy dany naukowiec był bezpośrednio pod wpływem filozofii Platona czy jednej z jego wielu późniejszych kontynuacji. W innych przypadkach naukowy dyskurs o naturze uznaje swe empiryczne podstawy. Tu jednak drogi się rozchodzą. Jeżeli zjawiska przyrody są powiązane metafizycznymi relacjami wyrażanymi przez przyczyny i skutki lub inne koncepcje metaforyczne, jesteśmy bez wątpienia w tradycji arystotelesowskiej z jej zasadą eksperymentu i szukaniem przyczyn. Gdy jednak zjawiska są połączone przez relacje matematyczne o charakterze niemetaforycznym i bez przyczynowych czy teleologicznych (znających najwyższy cel, konieczność celu ostatecznego i nazywających postępowanie dobrym o ile temu celowi odpowiada.) uwarunkowań, wtedy kroczymy po śladach Archimedesa. 10

12 ROLA MATEMATYKI W starożytności filozofia utożsamiana była z wiedzą, której źródłem jest ciekawość, zdziwienie światem oraz wątpienie. Filozofowie starali się odpowiedzieć na pytania dotyczące powstawania świata i jego rozwoju. Otaczający świat próbowali interpretować za pomocą rozumu i logicznego myślenia. Filozofowie antyczni podzielili swą naukę na trzy działy: metafizykę (naukę o bycie), logikę (naukę o sposobach panowania i dowodzenia) i etykę (naukę o wartościach). Filozofowie przyrody (jońscy) wywodzili istnienie świata od żywiołów: wody (Tales z Miletu) oraz powietrza (Anaksymenes). Ich nauka wywodziła się z prostej obserwacji natury i bliższa jest mitom niż rozmyślaniom rozumowym. Równie prostą filozofię, ale opartą na liczbach stworzył Pitagoras. Ten znakomity filozof jak również niepomierny matematyk zajmuje ważne miejsce w historii początków myśli matematycznej starożytnej Grecji. Dziś niestety trudno dokładnie ustalić, co szkoła pitagorejska zawdzięcza swemu mistrzowi, a co jego uczniom. Dlatego też raczej ogólnie mówi się o dokonaniach pitagorejczyków. W zakresie geometrii pitagorejczycy stworzyli teorię równoległych wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wieloboków foremnych oraz uzasadnili, że całą płaszczyznę pokryć można jedynie samymi trójkątami, kwadratami albo sześciokątami. W szkole pitagorejskiej narodziły się również trzy wielkie problemy: podwojenie sześcianu, podział kąta na trzy równe części oraz kwadratura koła, które należało rozwiązać za pomocą cyrkla i linijki (bez podziałki). Pitagorejczycy poza zagadnieniami z zakresu geometrii interesowali się także teorią liczb. Spośród wszystkich liczb naturalnych, a więc całkowitych i dodatnich, wyróżnili pewne nieskończone ciągi liczb zwane ogólnie liczbami wielokątnymi, a więc liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd. Talesowi natomiast przypisuje się autorstwo następujących twierdzeń geometrycznych: Dowód, że średnica dzieli koło na połowy. Odkrycie, że kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe. Twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych i o przystawaniu trójkątów o równym boku i przyległych dwu kątach. Twierdzenie, że kąt wpisany w półokrąg jest prosty. Jego imieniem nazwano również twierdzenie o proporcjonalności odcinków, jakie dwie równoległe odcinają na ramionach kąta. Tymczasem działalność Platona również odcisnęła piętno na koncepcji uprawiania geometrii. Wobec kryzysu pojęciowego wywołanego niewspółmiernością przekątnej i boku kwadratu (pitagorejczycy) Platon wprowadził do matematyki, z powodów estetycznych, ścisły kanon metodologiczny. W myśl jego doktryny dozwolone konstrukcje geometryczne mogły być prowadzone tylko przy użyciu cyrkla i linijki, jak twierdził, matematyka powinna 11

13 zajmować się tylko obiektami doskonałymi, a z krzywych płaskich takimi są jedynie linia prosta i okrąg (ponieważ tylko one ślizgają się same po sobie; w przestrzeni trójwymiarowej własność tą mają jeszcze linie śrubowe). Do dziś taki rodzaj konstrukcji nosi nazwę konstrukcji platońskich. Poza tym przysłużył się rozwojowi matematyki pozostawiając jeszcze jedno pojęcie nazwane jego imieniem: bryły platońskie (wielościany foremne). Platon przewidział, że brył tych powinno być pięć, choć komplet przykładów podali dopiero jego uczniowie. Powyżej wymieniłam co ważniejsze zasługi matematyki starożytnej Grecji ale z całą pewnością można stwierdzić, że rola matematyki w tradycji naukowej i filozoficznej była zasadna i miała zastosowanie w wielu dziedzinach życia. Była również ważnym czynnikiem i aparatem poznawania świata. I tak jest chyba do dziś. 12

14 BIBLIOGRAFIA 1. Gogacz Mieczysław "Platonizm i arystotelizm. Dwie drogi do metafizyki.", ATK, Warszawa Leśniak Kazimierz Platon, Wiedza Powszechna, Warszawa1993 r. 3. Pedersen Olaf Konflikt czy symbioza?, Uniwersum 1997 r. 4. Sikora Adam Spotkania z filozofią, Państwowe Wydawnictwo Iskry, Warszawa 1975 r. 5. Tatarkiewicz Władysław Historia filozofii. Historia starożytna i średniowieczna, PWN, Warszawa 1981 r. 6. Zespół autorów Historia filozofii. Historia starożytna i średniowieczna, Książka i Wiedza, Warszawa 1965 r yst.html 8. att.html 9. yka/starozytnosc.php eles#linki_zewn.c4.99trzne :Platon.png /wykl/arystoteles.html /wykl/platon.html ogdanowicz/archimedes.html

Tytuł. Autor. Dział. Innowacyjne cele edukacyjne. Czas. Przebieg. Etap 1 - Wprowadzenie z rysem historycznym i dyskusją

Tytuł. Autor. Dział. Innowacyjne cele edukacyjne. Czas. Przebieg. Etap 1 - Wprowadzenie z rysem historycznym i dyskusją Tytuł Kto nie zna geometrii, niech tu nie wchodzi czyli geometria brył platońskich Autor Dariusz Kulma Dział Bryły Innowacyjne cele edukacyjne Uczeń zapoznaje się z kolejnymi wielościanami foremnymi. Czas

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna 2009-09-04 Plan wykładu 1 Jońska filozofia przyrody - wprowadzenie 2 3 Jońska filozofia przyrody - problematyka Centralna problematyka filozofii

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Podział nauk Arystoteles podzielił wszystkie dyscypliny wiedzy na trzy grupy:

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2011-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Różnice w metodzie uprawiania nauki Krytyka platońskiej teorii idei Podział

Bardziej szczegółowo

Dlaczego matematyka jest wszędzie?

Dlaczego matematyka jest wszędzie? Festiwal Nauki. Wydział MiNI PW. 27 września 2014 Dlaczego matematyka jest wszędzie? Dlaczego świat jest matematyczny? Autor: Paweł Stacewicz (PW) Czy matematyka jest WSZĘDZIE? w życiu praktycznym nie

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna

Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna 2011-10-01 Plan wykładu 1 Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych Metafizyka Ontologia Epistemologia Logika Etyka Estetyka

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych

Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych 2011-10-01 Plan wykładu 1 Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych 2 Podział dyscyplin filozoficznych Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych:

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Metafora jaskini 2 Świat materialny - świat pozoru Świat idei - świat prawdziwy Relacja między światem idei i światem

Bardziej szczegółowo

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 1. Dyscypliny filozoficzne Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Pochodzenie nazwy filozofia Wyraz filozofia pochodzi od dwóch greckich słów:

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU:

SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU: Autorka: Małgorzata Kacprzykowska SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU: Wprowadzenie do filozofii Temat (4): Dlaczego zadajemy pytania? Cele lekcji: poznanie istoty pytań filozoficznych, stawianie pytań filozoficznych,

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

3. Spór o uniwersalia. Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

3. Spór o uniwersalia. Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 3. Spór o uniwersalia Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Nieco semiotyki nazwa napis lub dźwięk pojęcie znaczenie nazwy desygnat nazwy każdy

Bardziej szczegółowo

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Filozofia INFORMATYKA Metodologia Wykład 1. Wprowadzenie. Filozofia, metodologia, informatyka Czym jest FILOZOFIA? (objaśnienie ogólne) Filozofią nazywa się

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE W GEOMETRIĘ GEOMETRIA W SZKOLE PODSTAWOWEJ

WPROWADZENIE W GEOMETRIĘ GEOMETRIA W SZKOLE PODSTAWOWEJ 1 WPROWADZENIE W GEOMETRIĘ GEOMETRIA W SZKOLE PODSTAWOWEJ 2 PIERWSZE KROKI W GEOMETRII Opracowała: Anna Nakoneczny Myślę, że my nigdy do dzisiejszego czasu nie żyliśmy w takim geometrycznym okresie. Wszystko

Bardziej szczegółowo

GSP077 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka. Ekstraklasa 6klasisty matematyka kpracy 6 pak 1.indd 1

GSP077 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka. Ekstraklasa 6klasisty matematyka kpracy 6 pak 1.indd 1 GSP077 klasa Pakiet 6 KArty pracy MateMatyka Ekstraklasa 6klasisty matematyka kpracy 6 pak.indd 9/24/3 2:2 PM Instrukcja matematyka Uważnie czytaj teksty zadań i polecenia. Rozwiązania zapisz długopisem

Bardziej szczegółowo

ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE. Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych

ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE. Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych O CO CHODZI W TYM ARGUMENCIE Argument ten ma pokazać, że istnieje zewnętrzna przyczyna wszechświata o naturze wyższej niż wszystko, co

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

Cud grecki. Cud grecki. Wrocław, 2 marca 2016

Cud grecki. Cud grecki. Wrocław, 2 marca 2016 Wrocław, 2 marca 2016 Wykształcenie podstawowe Spośród wielu twierdzeń i faktów pochodzących ze starożytnej Grecji w szkole na lekcjach matematyki pojawiają się: Twierdzenie Talesa Wykształcenie podstawowe

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład I - Wprowadzenie.

Filozofia, Germanistyka, Wykład I - Wprowadzenie. 2010-10-01 Plan wykładu 1 Czym jest filozofia Klasyczna definicja filozofii Inne próby zdefiniowania filozofii 2 Filozoficzna geneza nauk szczegółowych - przykłady 3 Metafizyka Ontologia Epistemologia

Bardziej szczegółowo

Koncepcja Opatrzności w Platońskim Timajosie

Koncepcja Opatrzności w Platońskim Timajosie Koncepcja Opatrzności w Platońskim Timajosie Dialog czy monolog? Timajos jest monologiem zawierającym opowiadanie o powstaniu świata człowieka (opowiadanie fantastyczne?) Akcja rozgrywa się pomiędzy fikcyjnym

Bardziej szczegółowo

Trzy tradycje: Platon Arystoteles Archimedes

Trzy tradycje: Platon Arystoteles Archimedes Trzy tradycje: Platon Arystoteles Archimedes Opracowanie: Bartosz Brożek i Mateusz Hohol Na podstawie: Olaf Pedersen, Konflikt czy symbioza, OBI-Biblos, Kraków-Tarnów 1998 1. Tradycja platońska Bez wątpienia

Bardziej szczegółowo

Spór o poznawalność świata

Spór o poznawalność świata ROMAN ROŻDŻEŃSKI FILOZOFIA A RZECZYWISTOŚĆ Spór o poznawalność świata Wydawnictwo WAM Kraków 2012 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział I Myślenie filozoficzne w cieniu zwątpienia 15 1. Wprowadzenie 15 2.

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY NAUCZYCIELA

KARTA PRACY NAUCZYCIELA KARTA PRACY NAUCZYCIELA Przedmiot: Klasa: Temat: Data Uwagi: Matematyka III gimnazjum Objętość brył podobnych Nie wszystkie zadania muszą zostać wykonane. Wszystko zależy od poziomu wiadomości danej klasy.

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine

SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine 1. Autor: Anna Wołoszyn 2. Grupa docelowa: Klasa 2 Gimnazjum 3. Liczba godzin: 2 4. Temat zajęć: Geometria brył

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

O sięganiu głębiej CZWARTY WYMIAR

O sięganiu głębiej CZWARTY WYMIAR O sięganiu głębiej CZWARTY WYMIAR Czym jest wymiar? Flatlandia; czyli kraina płaszczaków Edwin A. Abbott Życie w krainie 2. wymiaru Świat w którym żył Kwadrat jest kształtu kartki papieru, a zaludniają

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta 5 lutego 2012 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 4 Materializm Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej

Bardziej szczegółowo

Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym.

Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym. NR1 LICZBY RZECZYWISTE ZASTOSOWANIE: Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym. Określanie ilości lat, Określanie ilości osób znajdujących się w pokoju i tym podobne, Określanie wzrostu,

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant 2011-10-01 Plan wykładu 1 Immanuel Kant - uwagi biograficzne 2 3 4 5 6 7 Immanuel Kant (1724-1804) Rysunek: Immanuel Kant - niemiecki filozof, całe życie

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Historia Fizyki. dr Ewa Pawelec

Wstęp. Historia Fizyki. dr Ewa Pawelec Wstęp Historia Fizyki dr Ewa Pawelec 1 Co to jest historia, a co fizyka? Po czym odróżnić fizykę od reszty nauk przyrodniczych, nauki przyrodnicze od humanistycznych a to wszystko od magii? Szkolne przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa Imię Nazwisko: Paweł Rogaliński Nr indeksu: 123456 Grupa: wtorek 7:30 Data: 10-10-2012 Twierdzenie Pitagorasa Tekst artykułu jest skrótem artykułu Twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w polskiej edycji

Bardziej szczegółowo

Trochę historii filozofii

Trochę historii filozofii Natura, a jej rozumienie we współczesnej nauce Janusz Mączka Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych Ośrodek Badań Interdyscyplinarnych Wydział Filozoficzny Papieskiej Akademii Teologicznej w Krakowie

Bardziej szczegółowo

GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ

GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ TEMAT NUMERU 9 GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ Marzenna Grochowalska W Matematyce w Szkole wiele miejsca poświęcono geoplanom z siatką kwadratową oraz ich zaletom 1. Równie ciekawą pomocą dydaktyczną jest geoplan

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 O KONSTRUKCJACH GEOMETRYCZNYCH 1. Starożytni matematycy posługiwali się konstrukcjami geometrycznymi. 2. Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

David Hume ( )

David Hume ( ) David Hume (1711-1776) Chciał być Newtonem nauk o człowieku. Uważał, że wszystkie nauki (oprócz matematyki i logiki), również filozofia, powinny kierować się metodą eksperymentalną, opartą na doświadczeniu.

Bardziej szczegółowo

GWSP GIGI. Filozofia z aksjologią. dr Mieczysław Juda

GWSP GIGI. Filozofia z aksjologią. dr Mieczysław Juda GWSP Filozofia z aksjologią dr Mieczysław Juda GIGI Filozofia z aksjologią [5] Systemy nowożytne: empiryzm Locke a i sceptycyzm Hume a Filozofia z aksjologią [5] Systemy nowożytne: empiryzm Locke a i sceptycyzm

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z FILOZOFII POZIOM ROZSZERZONY

Bardziej szczegółowo

Mity na temat średniowiecza i renesansu

Mity na temat średniowiecza i renesansu Filozofia renesansu Mity na temat średniowiecza i renesansu średniowiecze było epoką zabobonu a renesans epoką rozumu średniowiecze nie znało starożytności i dopiero renesans zaczął się do niej odwoływać

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z FILOZOFII POZIOM ROZSZERZONY

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Argument z celowości 1. W świecie obserwujemy celowe działanie rzeczy, które nie są obdarzone poznaniem (np. działanie zgodnie z prawami

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 2 3 KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VI LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien: - znać algorytm czterech

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Ocena dopuszczająca: - nazwy działań - algorytm mnożenia i dzielenia

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2.

Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2. Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2. Artur Machlarz 2011-10-01 Plan wykładu 1 Czym według Platona jest wiedza prawdziwa i jak ją osiągnąć? 2 3 Protagoras - człowiek jest miarą wszechrzeczy...

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna.

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia średniowieczna a starożytna 2 3 Ogólna charakterystyka filozofii średniowiecznej Ogólna charakterystyka filozofii

Bardziej szczegółowo

Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997

Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997 Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997 ks. XI 1. Wyznania nie informują Boga, o czym i tak wie, lecz są wyrazem miłości Augustyna do Boga jako Ojca. 2. Augustyn pragnie poznać Prawo

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład VIII - Wprowadzenie do filozofii nowożytnej

Filozofia, Historia, Wykład VIII - Wprowadzenie do filozofii nowożytnej Filozofia, Historia, Wykład VIII - Wprowadzenie do filozofii nowożytnej 2010-10-01 Plan wykładu Epistemologia centralną dyscypliną filozoficzną W filozofii starożytnej i średniowiecznej dominującą rolę

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 FILOZOFIA

EGZAMIN MATURALNY 2012 FILOZOFIA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 FILOZOFIA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Egzamin maturalny z filozofii Część I (20 punktów) Zadanie 1. (0 2) Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Twierdzenie Pitagorasa, potrzebne do rozwiązywania trójkątów, na ogół jest wprowadzane przez nauczyciela i rzadko bywa na lekcjach

Bardziej szczegółowo

Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)

Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie) Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1 Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny,

Bardziej szczegółowo

Czy świat istnieje w umyśle?

Czy świat istnieje w umyśle? Czy świat istnieje w umyśle? W XVIII wieku żył pewien anglikański biskup irlandzkiego pochodzenia, nazwiskiem George Berkeley (1685-1753). Ten erudyta, który za cel postawił sobie zwalczanie ateizmu, studiował

Bardziej szczegółowo

Wielościany gwiaździste

Wielościany gwiaździste ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 Wielościany gwiaździste Arkadiusz Biel Julia Strumińska Historia odkrywania wielościanów. Wielościany foremne były znane już w antyku;

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów.

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie spełnia poniższych wymagań edukacyjnych

Bardziej szczegółowo

BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH

BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (Warszawa) Uniwersytet Warmińsko-Mazurski (Olsztyn) SPOTKANIA Z MATEMATYK A Olsztyn,

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 3.

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

O argumentach sceptyckich w filozofii

O argumentach sceptyckich w filozofii O argumentach sceptyckich w filozofii - Czy cokolwiek można wiedzieć na pewno? - Czy cokolwiek można stwierdzić na pewno? Co myśli i czyni prawdziwy SCEPTYK? poddaje w wątpliwość wszelkie metody zdobywania

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Logika i Teoria Mnogości Cytaty 1

Logika i Teoria Mnogości Cytaty 1 Logika i Teoria Mnogości Cytaty 1 Gdyby Biblię pisał Platon, to niewątpliwie rozpocząłby w ten sposób: Na początku Bóg stworzył matematykę, a następnie niebo i ziemię, zgodnie z prawami matematyki (Morris

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja odcinków niewymiernych z wykorzystaniem. Twierdzenia Pitagorasa.

Konstrukcja odcinków niewymiernych z wykorzystaniem. Twierdzenia Pitagorasa. 1 Konstrukcja odcinków niewymiernych z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa. Czas trwania zajęć: ok. 40 minut + 5 minut na wykład Kontekst w jakim wprowadzono doświadczenie: Doświadczenie warto zrealizować

Bardziej szczegółowo

WSZECHŚWIAT = KOSMOS

WSZECHŚWIAT = KOSMOS Wszechświat czyli po łacinie Uniwersum jest tym samym co Kosmos w języku i rozumieniu Greków. WSZECHŚWIAT = KOSMOS Grecy i my dziś definiujemy: KOSMOS to WSZYSTKO Nie wolno wskazywać lub wyobrażać sobie

Bardziej szczegółowo

Czy świat istnieje w umyśle?

Czy świat istnieje w umyśle? Czy świat istnieje w umyśle? W XVIII wieku żył pewien anglikański biskup irlandzkiego pochodzenia, nazwiskiem George Berkeley (1685-1753). Ten erudyta, który za cel postawił sobie zwalczanie ateizmu, studiował

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 Dział Na ocenę dopuszczającą Na ocenę dostateczną Na ocenę dobrą POTĘGI PIERWIASTKI Uczeń: zna i rozumie pojęcie o

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017 NAUCZYCIEL: edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017 mgr Dorota Maj PODRĘCZNIK: Liczy się matematyka WYD. WSiP Na lekcjach matematyki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej. Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Kilka słów o mierzeniu Otóż jak sama nazwa Geometria (z gr geo-ziemia, metria-miara) ma ona coś wspólnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej

Bardziej szczegółowo

MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017

MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 Nr z wniosku ID: 3313 Tytuł projektu edukacyjnego: Jakie bryły przestrzenne spotykamy na

Bardziej szczegółowo

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V OCENA ŚRÓDROCZNA: DOPUSZCZAJĄCY uczeń potrafi: zapisywać i odczytywać liczby w dziesiątkowym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I:

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: DZIAŁ 1. POTĘGI zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 FILOZOFIA

EGZAMIN MATURALNY 2011 FILOZOFIA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2011 FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 2011 2 Egzamin maturalny z filozofii poziom rozszerzony Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów B. Opis wymagań

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania

Bardziej szczegółowo

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga?

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? Przymioty Boga Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? dowody na istnienie Boga ustaliły, że On jest, ale czy poza wiedzą o Jego istnieniu możemy coś wiedzieć o Jego istocie? Św. Tomasz twierdzi, że

Bardziej szczegółowo