50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami"

Transkrypt

1 Jan Rusinek 50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi: Obecna data

2 2

3 3 Wstęp Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybrane z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzaminacyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wykonana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice. W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości średnie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to, aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo czasu) obliczenia. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu.

4 4 WZORY I OZNACZENIA µ wartość średnia σ odchylenie standardowe n liczba prób k liczba sukcesów w n próbach x = 1 n n i=1 x i średnia z próby s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2 wariancja z próby s = s 2 odchylenie standardowe z próby s n błąd standardowy u(p) p-ty kwantyl rozkładu normalnego N(0, 1) t(p, j) p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody χ 2 (p, j) p-ty kwantyl rozkładu χ 2 o j stopniach swobody F(p, i, j) p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody D nobl statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa d n(p) p-ty kwantyl statystyki D n Kołmogorowa k(p, i, j) wartość krytyczna rozkładu liczby serii Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b]. { 0 dla x < a, x a F (x) = dla a x b, b a 1 dla x > b.

5 5 A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Model A1. Rozkład normalny, znane σ. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) σ n. Model A2. Rozkład normalny, nieznane σ. P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. Model A3. Rozkład dowolny, nieznane σ, n 30. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) s n.

6 6 B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Model B1. Raczej duża próba (n 30). [ k P = n l; k ] ( ) k n + l, l = u 1 α n 2 ( ) 1 k n. n UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany wzór P = [ u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) l; u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) + l ], l = u u(1 α 2 )2 4 + k(n k) n n + u(1 α 2 )2.

7 7 C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Model C1. Rozkład normalny. [ ] n 1 n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1) ; s χ 2 ( α 2, n 1). Model C2. Rozkład normalny, duża próba (n 30). P = [ ] s 2(n 1) 2n 3 + u(1 α 2 ) ; s 2(n 1) 2n 3 u(1 α 2 ).

8 8 MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY Model M1. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny, znane σ. ( ( ) u 1 α 2 σ n l ) 2. Model M2. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny nieznane σ. gdzie n 0 liczność wstępnej próby, ( ( ) ) n t 1 α 2, n s 2 0 n , l n 0 n 0 x 0 = 1 n 0 i=1 x i, s 2 0 = 1 n 0 1 n 0 (x i x 0 ) 2. Model M3. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [ k n l; k n + l] dla frakcji elementów wyróżnionych. i=1 n u(1 α 2 )2 4l 2.

9 9 TESTY ZGODNOŚCI Test χ 2 (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Hipotezę odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, k 1), k liczba składników w sumie. Test Kołmogorowa Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy próbki w ciąg niemalejący: x 1,... x n. Statystyka testowa gdzie Hipotezę odrzucamy, jeśli D nobl = sup S n(x) F (x), x IR { 0 dla x < x1, i S n(x) = dla x n i x < x i+1, 1 dla x x n. D nobl > d n(1 α). Test serii Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α - poziom istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki ustawiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli K k(α, i, j).

10 10 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Hipoteza µ = µ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model D1. Rozkład normalny o znanym σ. g = u obl = x µ 0 n. σ W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D2. Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba. g = t obl = x µ 0 n. s W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D3. Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba. W jak w modelu D1. g = u obl = x µ 0 n. s

11 11 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI Hipoteza σ = σ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model E1. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n 50. Mając do dyspozycji komputer można ten model stosować i do dużych n. g = χ 2 obl (n 1)s2 = σ0 2. W = (0; χ 2 (α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ 0 ; W = [χ 2 (1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ > σ 0 ; W = (0; χ 2 ( α 2, n 1)] [χ2 (1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ σ 0; Model E2. - Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n 50). g = u obl = 2(n 1)s 2 σ 2 0 2n 3. W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0.

12 12 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Hipoteza p = p 0. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model F1. Próba powinna być raczej duża. g = u obl = k np 0. np 0 (1 p 0 ) W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p < p 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p > p 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p p 0.

13 13 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH POPULACJACH Model G1. Hipoteza σ 1 = σ 2. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 > σ 2, to g = F obl = s2 1 s 2. 2 W = [F (1 α, n 1 1, n 2 1); ). Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 < σ 2, to zamieniamy kolejność próbek. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 σ 2, to g = F obl = max(s2 1, s2 2 ) min(s 2 1, s2 2 ). W = [F(1 α 2, n l 1, n m 1); ), gdzie n l liczność probki o większej wariancji, a n m o mniejszej.

14 14 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH POPULACJACH Hipoteza µ 1 = µ 2, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model H1 rozkłady normalne znane σ 1 i σ 2. g = u obl = x 1 x 2. σ σ2 2 n 1 n 2 W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H2. rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ 1 i σ 2. g = t obl = x 1 x 2. (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n1+n 2 n 1 +n 2 2 n 1 n 2 W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H3. rozkłady normalne, nieznane σ 1 i σ 2, nieduża próbka. Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa) g = C obl = x 1 x 2. s s2 2 n 1 n 2 Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n 1, n 2 ) znajdujemy z wzoru c(p, n 1, n 2 ) s 2 1 t(p, n n 1 1) + s2 2 t(p, n 1 n 2 1) 2. s s2 2 n 1 n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; c(1 α, n 1, n 2 )] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [c(1 α, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; c(1 α 2, n 1, n 2 )] [c(1 α 2, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2 ; Model H4 rozkłady dowolne, nieznane σ 1 i σ 2 duża próba, n 1, n g = u obl = x 1 x 2. s s2 2 n 1 n 2

15 W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. 15

16 16 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH Model I1 raczej duża próbka (n 1, n 2 50) Stawiamy hipotezę p 1 = p 2. Stosujemy statystykę g = u obl = k 1 k 2 n 1 n 2 k 1 +k 2 ( ). n 1 n 1 k 1 +k 2 2 n 1 +n 2 Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę: u obl = ( 2 arc sin ) k 1 k 2 n1 n 2 2 arc sin. n 1 n 2 n 1 + n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p 1 < p 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 > p 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 p 2 ; gdzie n 1 i n 2 liczności pierwszej i drugiej próbki, k 1 i k 2 liczby sukcesów w pierwszej i drugiej próbce.

17 17 TEST χ 2 NIEZALEŻNOŚCI (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Test odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, (r 1)(s 1)), gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy. Współczynnik Cramera gdzie m = min(r, s) Współczynnik C Pearsona χ 2 obl V = n(m 1), χ 2 obl C = χ 2 obl + n. n liczba wszystkich danych w macierzy r s.

18 18 Jak używać programu calc? Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie. Zakładamy, że mamy dane empiryczne x 1 = 7, x 2 = 1, x 3 = 5, x 4 = 3, x 5 = 5 oraz liczbę µ 0 = 3. Mamy policzyć kolejno x = 1 n s 2 = 1 n 1 a następnie wstawić to do wzoru: n x k, k=1 n (x i x) 2, k=1 s = s 2, x µ 0 n. s Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach A1 A5. Daną µ 0 możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób (5) np. w komórce B2. Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzorze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany wzoru. Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór: =ŚREDNIA(A1:A5) Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2. Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej wzór

19 19 =WARIANCJA(A1:A5) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2. Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór =pierwiastek(c2) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależności od tego jaką dokładność wybierzemy). Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór (patrz rysunek) =(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3 Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i dużymi literami. Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik Program calc zamiast tablic statystycznych Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczonych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy

20 20 programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tablicach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić, aby otrzymać dane zgodne z tablicami. Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie N(0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s(a1) Ib) Kwantyle rozkładu normalnego Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N(0, 1) np. dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s.odw(b1) IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.t(a1;b1;1) Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru P (X < x) = P (X > x) = 1 P (X < x). IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1) IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ 2

21 21 Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie χ 2 z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.chi(a1;b1) Gęstość rozkładu χ 2 (t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dlatego wzór działa tylko dla x 0. IIIb) Kwantyle rozkładu χ 2 Aby wyznaczyć kwantyl χ 2 (p, n) rozkładu χ 2 dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.chi.odw(1-a1;a2) IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.f(a1;b1;c1) IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umieszczonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3) Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też dystrybuant innych rozkładów niż normalny. Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania.

22 22 Zadania

23 23 ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [ 1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3]. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3] jest równa 0 dla x < 1, x+1 F (x) = 4 dla 1 x 3, 1 dla x > 3. Zatem a) P (X < 0) = F (0) = 1 4., b) P (X > 2) = 1 P (X < 2) = 1 F (2) = = 1 4. c) Trzeba rozwiązać równanie P (X < c) = 0.95, czyli c+1 4 = Stąd c = 2.8.

24 24 ZADANIE 2. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie normalnym standardowym N(0, 1) i α = 0.02: a) P (X > 2.3), b) P (X < 1.2), c) u(α), d) u(1 α), e) u(1 α 2 ). a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) = ; b) c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = 2.05, d) u(0.98) = 2.05, e) u(0.99) = 2.33.

25 25 ZADANIE 3. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3), b) P (X < 1.4), c) t(1 α, n), d) t(1 α 2, n), a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) = ; b) Musimy skorzystać z faktu, że t( p, n) = 1 t(p, n). Otrzymamy wynik c) t(0.95, 9) = 1.83, d) t(0.975, 9) = 2.26.

26 26 ZADANIE 4. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie χ 2 z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b) P (X > 10), c) χ 2 (α, n), d) χ 2 (1 α, n) e) χ 2 (1 α 2, n). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a) wartość 0.542, a dla b) = Dla c) - e) można też skorzystać z tablic mamy: c) χ 2 (0.05, 20) = , d) χ 2 (0.95, 20) = 31.41, e) χ 2 (0.975, 20) =

27 27 ZADANIE 5. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3), b) P (X < 4), c) F(1 α, n, k), d) F(1 α 2, n, k). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) wartość , a dla b) wartość = c) F(0.95, 9, 4) = 6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98.

28 28 ZADANIE 6. Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki x 1 = 1.31, x 2 = 2.45, x 3 = 3.45, x 4 = 2.71: a) x, b) s 2, c) s, d) błąd standardowy. a) x = 1.125, b) s 2 = , c) s = 2.702, d) s n =

29 29 ZADANIE 7. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg? a) a = 4, b =. Stąd c = , d =. Zatem P (4 < X) = 1 Φ(c) = b) a =, b = 3, Stąd c =, d = = Zatem P (X > 3) = Φ( 2.31) = 1 Φ(2.31) = =

30 30 ZADANIE 8. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy? Mamy µ = 700, σ = 220, a =, b = 500. Stąd c =, d = = Zatem P (X < 500) = Φ( 0.91) = 1 Φ(0.91) = = 0.18.

31 31 ZADANIE 9. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hektara? Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b =. Stąd c = = 0.36, d =. Zatem Odp. 36%. P (50 < X) = 1 Φ(.36) = = 0.36.

32 32 ZADANIE 10. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym? W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) = = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy = P (X > a) = 1 Φ(c), gdzie c = a Stąd Φ(c) = W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = Stąd mamy równanie skąd a = = a 177, 13 Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.

33 33 ZADANIE 11. Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pakuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ = 2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymując rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności 1 α = a) Oszacowanie punktowe: Mamy x = 98.60, s = Zatem błąd standardowy jest równy s n = Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model A1, gdzie l = u(1 α 2 ) σ n. W naszym przypadku l = 1.24 i P = [97.36; 99.84].

34 34 ZADANIE 12. Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane. Tym razem stosujemy model A2, w którym P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku n = 10, 1 α 2 = 0.975, t(0.975) = Stąd l = 1.72, skąd P = [96.88; ].

35 35 ZADANIE 13. Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9 bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz współczynnik ufności 1 α = a) Oszacowanie punktowe: Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy Błąd standardowy jest równy x = 14.33, s = b) Oszacowanie przedziałowe: s 9 = 1.8. Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane i rozkład jest normalny, stosujemy model A2. l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = Stąd l = = Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49].

36 36 ZADANIE 14. Pewna duża firma komputerowa chce ustalić średnią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 miesięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 α = Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy α = 0.05, skąd 1 α 2 = Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = Stąd l = = Ostatecznie Znajdujemy P = [2723.5; ].

37 37 ZADANIE 15. Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowości zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowiedziało, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 rodziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i komputer stacjonarny i laptop. Stosujemy model B1, czyli wzór [ k P = n l; k ] n + l, gdzie l = u(1 α 2 ) k n(1 k n) n. Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = oraz l = Zatem P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%]. W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = oraz l = Zatem P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%]. W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = Stąd P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%]. W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz l = Zatem P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%].

38 38 ZADANIE 16. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i sprawdzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzymując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, , 4.95, Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 α = Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ 2 znajdujemy χ 2 (1 α 2, n 1) = χ2 (0.995, 8) = 21.96, χ 2 ( α 2, n 1) = χ2 (0.005, 8) = Natępnie mamy s = Stąd [ ] n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1); s n 1 χ 2 ( α 2, n 1) = [0.0396; ]. Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całkowicie przy użyciu pakietu calc Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2 liczbę Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce C1 Wpisujemy w komórce C2 Wpisujemy w komórce C3 Wpisujemy w komórce C4 Wpisujemy w komórce C5 =średnia(a1:a9) =pierwiastek(wariancja(a1:a9)) =rozkład.chi.odw(b1/2;8) =rozkład.chi.odw(1-b1/2;8) =c2*pierwiastek((b3-1)/c3)

39 39 To będzie lewy koniec przedziału. Wpisujemy w komórce D5 =c2*pierwiastek((b3-1)/c4) To będzie prawy koniec przedziału.

40 40 ZADANIE 17. W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym zakupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wyniki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy współczynniku ufności 1 α = Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 α 2 ) = Stąd [ ] 398 P = ; = [0.072; 0.083]

41 41 ZADANIE 18. Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na poziomie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x l; x + l] z l = 0.01 mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać? Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 α 2 ) = A więc ( ) n > = Trzeba wykonać 16 pomiarów.

42 42 ZADANIE 19. Pewien program sortujący dane został przetestowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33, 42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby otrzymać na poziomie ufności 1 α = 0.95 przedział ufności nie dłuższy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny. Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x 0 = 88.86, s 0 = 64.5, l = 80 2 = 40, n 0 = 7, t(0.975, 6) = Wstawiając to wszystko do wzoru M2 otrzymujemy n > ( ) = Trzeba jeszcze dodać 15 7 = 8 dodatkowych pomiarów.

43 43 ZADANIE 20. Pewien informatyk skonstruował program rozpoznający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na poziomie ufności 1 α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%? Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 α ) = 1.96, l = 2 = Zatem n = Trzeba wykonać 385 prób.

44 44 ZADANIE 21. Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności 1 α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%? Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 α 2 ) = l = n = Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów. 1 1 Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przybliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako u(0.95) dokładniejsza liczba i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751.

45 45 ZADANIE 22. Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki otrzymane w tabelce: liczba oczek liczba rzutów Zweryfikuj hipotezę, że kość jest uczciwa, przyjmując α = to 20 6 Zastosujemy test χ 2. Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek = W takim razie wartość statystyki testowej wynosi χ 2 obl = (0 3.33) (5 3.33) (3 3.33) (2 3.33) (3 3.33) (7 3.33) = 8.8. W tablicach kwantyli rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 5) = Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 <

46 46 ZADANIE 23. Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło pole czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że ruletka jest uczciwa przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = Ponownie zastosujemy test χ 2. Przy 100 losowaniach wartości spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole czarne. Zatem statystyka testowa wynosi χ 2 obl = (60 50) (29 25) (11 25)2 25 = W tablicach rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 2) = oraz χ 2 (0.995, 2) = Hipotezę odrzucamy w punkcie a), a punkcie b) nie.

47 47 ZADANIE 24. Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10 cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy (z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10]. Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale [0; 10] ma dystrybuantę 0 dla x < 0, x F (x) = 10 dla 0 x 10, 1 dla x > 10. Tworzymy tabelę x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 9 F (x i) ,1 0 0,1 2 0,2 0,1 0,2 0,1 0,0 3 0,3 0,2 0,3 0,1 0,0 4 0,4 0,3 0,4 0,1 0,0 5 0,5 0,4 0,5 0,1 0,0 6 0,6 0,5 0,6 0,1 0,0 7 0,7 0,6 0,7 0,1 0,0 7 0,7 0,7 0,8 0,0 0,1 8 0,8 0,8 0,9 0,0 0,1 8 0,8 0,9 1,0 0,1 0,2 max 0,1 0,2 Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znajdujemy d 10 (0.95) = Wartość statystyki testowej jest mniejsza. Hipotezy nie odrzucamy.

48 48 ZADANIE 25. Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3, 1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s) 2 i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70. stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N(1.52, 0.70). Stosujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę: x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 9 F (x i) 0.7 0,17 0 0,11 0,17 0, ,22 0,11 0,22 0,11 0, ,22 0,22 0,33 0,00 0, ,28 0,33 0,44 0,05 0, ,41 0,44 0,56 0,04 0, ,46 0,56 0,67 0,09 0, ,52 0,67 0,78 0,14 0, ,94 0,78 0,89 0,16 0, ,96 0,89 1,00 0,07 0,06 max 0,17 0,26 D nobl = Znajdujemy w tablicach d 9 (0.95) = Hipotezy nie odrzucamy. 2 W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane.

49 49 ZADANIE 26. Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6. Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s). Mamy x = 1, s = Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogorowa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N(1, 0.245). x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max D nobl jest równe Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezę odrzucamy.

50 50 ZADANIE 27. Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzucimy hipotezy, że rozkład jest typu N(µ, s). Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa da rezultat x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max D nobl = Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezy nie odrzucamy.

51 51 ZADANIE 28. Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zadania. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istotności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym wyborze a i b. Wybierzmy np. a = 6, b = 8. Wtedy 0 dla x < 6 x+6 F (x) = 14 dla x [ 6; 8] 1 dla x > 8. Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco: x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max Maksimum jest równe Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezy nie odrzucamy.

52 52 ZADANIE 29. Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123, 111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129, 137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić, że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę? Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg rosnący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y. Otrzymamy tabelkę: x y x(y) y(x) x y x(y) y(x) x y x x y y W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach, zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego jak ustawimy próbki o tej samej wartości. Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależnie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4. Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę.

53 53 ZADANIE 30. Producent wag twierdzi, że jego wagi działają z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostarczone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100 losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią kg. Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika zastrzeżenia? Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 przeciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy) u obl = Zbiorem krytycznym jest przedział 10 = 5. ( ; u(0.95)] = ( ; 1.64]. Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wyraźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia.

50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami

50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami Jan Rusinek 50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań z R:

Szkice rozwiązań z R: Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw ZADANIA - ZESTAW Zadanie.1 Badano maksymalną prędkość pewnego typ samochodów osobowych (cecha X poplacji. W 5 pomiarach tej prędkości otrzymano x 195,8

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku

Przykład 2. Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku Przykład 2 Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku Sondaż sieciowy analiza wyników badania sondażowego dotyczącego motywacji w drodze do sukcesu Cel badania: uzyskanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka TesttStudenta Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Zmienne muszą być zmiennymi ilościowym (liczymy i porównujemy średnie!) Są to testy parametryczne Nazwa

Bardziej szczegółowo