CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆNA KOMPUTERZE
|
|
- Bernard Szczepaniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆNA KOMPUTERZE WSTĘP DO ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2
3 Algorytm, algorytmika Algorytm opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-chorezmi IX w. Algorytmika dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami informatyka + 3
4 Algorytmy a informatyka Informatyka jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Donald E. Knuth: Ralf Gomory (IBM): Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego komputera. Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) informatyka + 4
5 Czy wszystko można policzyć na komputerze Plan: Superkomputery, superkomputery a algorytmy Przykłady trudnych problemów szukanie trasy objazdu podnoszenie do potęgi badanie złożoności liczb porządkowanie (?) Problemy, które mają efektywne algorytmy problemy przeszukiwania zbioru problemy wyszukiwania w zbiorach nieuporządkowanych i uporządkowanych schemat Hornera porządkowanie Znaczenie zasady dziel i zwyciężaj Problemy trudne, ponownie informatyka + 5
6 IBM początki dużych komputerów informatyka + 6
7 IBM początki dużych komputerów Nie będą potrzebne duże komputery, najwyżej 5, Thomas J. Watson, IBM, 1948 informatyka + 7
8 Rozwój elektroniki informatyka + 8
9 Rozwój elektroniki informatyka + 9
10 Jednostki szybkości komputerów FLOPS (FLoting point Operations Per Second) liczba operacji zmiennopozycyjnych (+/, *, / na liczbach rzeczywistych) na sekundę KFlops (kilo flops) 10 3 MFlops (mega flops) 10 6 GFlops (giga flops) 10 9 TFlops (tera flops) PFlops (peta flops) EFlops (exa flops) ZFlops (zetta flops) YFlops (yotta flops) Zakładamy, że dysponujemy komputerem o mocy 1 PFlops, op/sek informatyka + 10
11 Superkomputery, 1 początki Superkomputer najszybszy komputer w danej chwili Colossus, kops Z3, OPS (oper/sek.) informatyka + 11
12 Superkomputery, 2 ostatnie lata Seymour Cray ( ) Cray-1 (1976) 250 MFlops Earth Simulator (2002) 35 TFlops IBM Blue Gine/L; TFlops TFlops informatyka + 12
13 Superkomputery, 3 stan z st. Jaguar Cray XT PFlops procesory Opteron AMD macierz procesorów 2 nd. Roadrunner IBM PFlops 136 th. Galera, TASK, Gdańsk 50 TFlops Byłby 1 st. w 2003 roku informatyka + 13
14 Superkomputery, 4 stan z 2010 Najszybszy procesor PC Rozproszone komputery Intel Core i7 980XE GFlops GIMPS (najw. l. pierwsze) 44 TFlops Google 300 TFlops Folding@home (proteiny) 3.8 PFlops Przyszłość (przewidywania): 2010: 1 EFlops (10 18 ) Cray (?) 2019: 1 EFlops (10 18 ) 2030: 1 ZFlops (10 21 ) przewidywanie pogody na 2 tygodnie informatyka + 14
15 Superkomputery i algorytmy Algorytmy o różnej złożoności, dla danych o różnych rozmiarach wykonywane na superkomputerze o mocy 1 PFlops (10 15 ). Algorytmy w dwóch ostatnich wierszach: odpowiadają rzeczywistym problemom zwiększenie mocy komputerów niewiele pomoże cała nadzieja w szybkich algorytmach Algorytmy wielomianowe (5 pierwszych wierszy) i niewielomianowe. informatyka + 15
16 Superkomputery i algorytmy Algorytmy o różnej złożoności, dla danych o różnych rozmiarach wykonywane na superkomputerze o mocy 1 PFlops (10 15 ). Algorytmy w dwóch ostatnich wierszach: odpowiadają rzeczywistym problemom zwiększenie mocy komputerów niewiele pomoże cała nadzieja w szybkich algorytmach Algorytmy wielomianowe (5 pierwszych wierszy) i niewielomianowe. informatyka + 16
17 Problemy trudne, 1 najkrótsza trasa premiera Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie. Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest: 15*14*13*12*11* *2*1 = 15! (15 silnia) W 1990 roku było: 48*47*46* *2*1 = 48! (48 silnia) informatyka + 17
18 Problemy trudne, 1 najkrótsza trasa premiera Wartości funkcji n! Rosną BARDZO SZYBKO Prezydent Stanów Zjednoczonych ma problem ze znalezieniem najkrótszej trasy objazdu Stanów. Na superkomputerze o mocy 1 PFlops ile trwa obliczanie n! 15! = /10 15 sek. = ok sek. 48! = 1, *10 61 /10 15 = 3*10 38 lat 25! = /10 15 sek. = sek. = = dni = 491 lat informatyka + 18
19 Problemy trudne, 1 najkrótsza trasa premiera Trudno sprawdzić, jak dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy. Zły wybór Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań: 1.Metoda zachłanna najbliższy sąsiad mogą być bardzo złe 2.Meta-heurystyki: algorytmy genetyczne krzyżowanie i mutowanie rozwiązań algorytmy mrówkowe modelowanie feromonów informatyka + 19
20 Problemy trudne, 2 liczby pierwsze Problemy dotyczące liczb pierwszych: 1.Dana jest liczba n czy n jest liczbą pierwszą (złożoną)? Istnieją teoretycznie efektywne algorytmy, ale gdy n złożona, to nie dają rozkładu na czynniki Istnieją szybkie algorytmy probabilistyczne odpowiedź jest poprawna z prawdopodobieństwem np. 1 1/ Dana jest liczba n rozłóż n na czynniki Nie jest znana szybka metoda dobrze dla kryptografii: Klucze RSA: (n, e) publiczny, (n, d) prywatny. n jest znane, i wiadomo, że n = p*q, p, q pierwsze informatyka + 20
21 Szyfr RSA Nadawca Alicja Klucz publiczny: n, e Ciekawa Ewa Odbiorca Bogdan Klucz prywatny: n, d Tekst jawny M Algorytm szyfrujący P=M e mod n Tekst zaszyfrowany P Liczby: n = p*q, p, q duże liczby pierwsze e względnie pierwsza z (p 1)(q 1) d. spełnia e*d = 1 mod (p 1)(q 1) Algorytm deszyfrujący M=P d mod n Tekst jawny M Bezpieczeństwo szyfru RSA nawet najmocniejszy komputer nie jest w stanie znaleźć d, znając n i e, gdy nie zna rozkładu n = p*q Działania (przy szyfrowaniu): Podnoszenie dużych liczb do dużych potęg i branie reszty z dzielenia (mod) informatyka + 21
22 Problemy trudne, 2 liczby pierwsze Problemy dotyczące liczb pierwszych: 3.Dana jest liczba n znajdź wszystkie liczby pierwsze mniejsze od n sito Eratosthenesa raczej ciekawostka, mało praktyczna 4.Poszukiwanie największych liczb pierwszych Największa znana liczba pierwsza (liczba Mersenne a): Zawiera: cyfr. Zajmuje 3461 stron. Serwis internetowy: Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) moc 44 TFlops informatyka + 22
23 Problemy trudne, 3 podnoszenie do potęgi Kryptografia: Szyfr RSA bazuje na podnoszeniu do dużej potęgi dużych liczb, np Jak można szybko obliczać takie potęgi? Algorytm szkolny: x n = x*x*x* * x n 1 mnożeń Obliczenie małej potęgi: x trwałoby: 3*10 8 lat informatyka + 23
24 Problemy trudne, 4 porządkowanie Problem porządkowania (sortowania) Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,..., x n Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej Przestrzeń możliwych rozwiązań: n! możliwych permutacji Ale znamy algorytmy wykonujące: n 2 lub n log n porównań informatyka + 24
25 Proste problemy i ich efektywne algorytmy Problemy, które są bardzo często rozwiązywane przez komputery, więc potrzebne są szybkie algorytmy: 1.Poszukiwanie elementów w zbiorze uporządkowanym 2.Znajdowanie najmniejszego/największego elementu 3.Znajdowanie drugiego największego elementu w zbiorze 4.Jednoczesne znajdowanie minimum i maksimum 5.Porządkowanie elementów 6.Obliczanie wartości wielomianu Schemat Hornera informatyka + 25
26 Poszukiwanie elementu w zbiorze Problem poszukiwania elementu w zbiorze specyfikacja Dane: Zbiór elementów w postaci ciągu n liczb x 1, x 2,..., x n. Wyróżniony element y Wynik: Jeśli y należy do tego zbioru, to podaj jego miejsce (indeks) w ciągu, a w przeciwnym razie sygnalizuj brak takiego elementu w zbiorze wstaw y do ciągu Dwa przypadki: Nieuporządkowany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n Uporządkowany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n Nasz cel: Jakie są korzyści z uporządkowania? Jak utrzymywać porządek wśród informacji? informatyka + 26
27 Poszukiwanie elementu w zbiorze przykład Przeszukiwanie książki telefonicznej Poszukiwanie numeru telefonu danej osoby Dane: Nazwiska, adresy, numery telefonów książka telefoniczna. Ciąg danych x 1, x 2,..., x n kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y nazwisko osoby, której numeru szukamy Wynik: Jeśli osoba y ma numer telefony w książce, to podaj na której stronie, a w przeciwnym razie sygnalizuj brak danych o y Poszukiwanie osoby o danym numerze telefonu Dane: Książka telefoniczna. Ciąg danych x 1, x 2,..., x n kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y numer telefonu osoby, której szukamy Wynik: Jeśli istnieje osoba z numerem telefonu y, to podaj jej nazwisko, a w przeciwnym razie sygnalizuj brak takiej osoby informatyka + 27
28 Poszukiwanie elementu w zbiorze przykład Przeszukiwanie książki telefonicznej Poszukiwanie numeru telefonu danej osoby Dane: Nazwiska, adresy, numery telefonów książka telefoniczna. Ciąg danych x 1, x 2,..., x n kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y nazwisko osoby, której numeru szukamy Wynik: Jeśli osoba y ma numer telefony w książce, to podaj na której stronie, a w przeciwnym razie sygnalizuj brak danych o y Poszukiwanie osoby o danym numerze telefonu Książka telefoniczna uporządkowana alfabetycznie nazwiskami Dane: Książka telefoniczna. Ciąg danych x 1, x 2,..., x n kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y numer telefonu osoby, której szukamy Wynik: Jeśli istnieje osoba z numerem telefonu y, to podaj jej nazwisko, a w przeciwnym razie sygnalizuj brak takiej osoby Książka telefoniczna nieuporządkowana alfabetycznie numerami informatyka + 28
29 Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanym Algorytm Poszukiwanie liniowe Krok 1. Dla i = 1, 2,..., n, jeśli x i = y, to przejdź do kroku 3. Krok 2. Komunikat: W ciągu danych nie ma elementu równego y. Zakończ algorytm: wynik: 1 Krok 3. Element równy y znajduje się na miejscu i w ciągu danych. Zakończ algorytm: wynik: i begin i:=1; while (x[i]<>y) and (i<n) do i:=i+1; if x[i]=y then PrzeszukiwanieLiniowe:=i else PrzeszukiwanieLiniowe:=-1 end Przykład: Dane: ciąg: 2, 5, 1, 4, 10, 7. y = 1 Wynik: i = 3 Pewna niedogodność sprawdzanie, czy koniec ciągu. informatyka + 29
30 Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanym z wartownikiem Algorytm Poszukiwanie liniowe z wartownikiem Takie same kroki algorytmu inna implementacja, czyli komputerowa realizacja: na końcu ciągu: begin i:=1; x[n+1]:=y; x 1 x 2 x 3 x 4 x n while x[i]<>y do i:=i+1; if i<=n then PrzeszukiwanieLinioweWartownik:=i else PrzeszukiwanieLinioweWartownik:=-1 end x n+1 wstawiamy wartownika pilnuje końca ciągu Nie ma sprawdzania, czy koniec ciągu informatyka + 30
31 Poszukiwanie w zbiorze uporządkowanym Zabawa w zgadywanie liczby Zgadywana liczba: 17 w przedziale [1 : 20] Metoda: połowienia przedziału Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór; kolor czerwony ciąg do przeszukania: informatyka + 31
32 Poszukiwanie w zbiorze uporządkowanym Zabawa w zgadywanie liczby Zgadywana liczba: 17 w przedziale [1 : 20] Metoda: połowienia przedziału Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór; kolor czerwony ciąg do przeszukania: 5 porównań zamiast 20!!! informatyka + 32
33 Poszukiwanie przez połowienie Złożoność (1) Liczba kroków w algorytmie połowienia: Ile razy należy przepołowić ciąg o danej długości, aby znaleźć element lub miejsce dla niego? Przykład dla n = 1200 Kolejne długości ciągu: 1200, 600, 300, 150, 75, 38, 19, 10, 5, 3, 2, 1 11 razy dzielono ciąg o długości 1200, by pozostał 1 element Liczba porównań w algorytmach poszukiwania dla n = 1200: przez połowienie 11 liniowy 1200 Porównaj, jaka jest potęga uporządkowania!!! informatyka + 33
34 Dla n = 1200 liczba porównań w algorytmie połowienia wyniosła 11 Pytania: Poszukiwanie przez połowienie złożoność (2) Jak liczba porównań zależy od n? Jak dobry jest to algorytm? Liczba porównań dla różnych n: n liczba porównań ok.log 2 n Algorytm poszukiwania przez połowienie jest optymalny, czyli najszybciej przeszukuje zbiory uporządkowane. Funkcja logarytm, bardzo ważna w algorytmice logarytm to anagram od algorytm informatyka + 34
35 Poszukiwanie interpolacyjne function PrzeszukiwanieBinarne(x:tablicax; k,l:integer; y:integer):integer; {Przeszukiwanie binarne ciagu x[k..l] w poszukiwaniu elementu y.} var Lewy,Prawy,Srodek:integer; begin Lewy:=k; Prawy:=l; while Lewy<=Prawy do begin Srodek:=(Lewy+Prawy) div 2; if x[srodek]=y then begin PrzeszukiwanieBinarne:=Srodek; exit end; {element y nalezy do przeszukiwanego ciagu} if x[srodek]<y then Lewy:=Srodek+1 else Prawy:=Srodek-1 end; PrzeszukiwanieBinarne:=-1 end Srodek = lewy + (prawy lewy)/2 Srodek = lewy + (y x[lewy])(prawy lewy)/(x[prawy] x[lewy]) Przeciętny czas interpolacyjnego umieszczania wynosi ok. log log n informatyka + 35
36 Suwaki logarytmiczne Na wyposażeniu każdego inżyniera do 1972 roku Skala 30 cm Skala 150 cm Skala 12 m informatyka + 36
37 Znajdowanie elementu w zbiorze Znajdź w zbiorze element o pewnych własnościach: najwyższego ucznia w swojej klasie metoda spaghetti jak zmieni się Twój algorytm, jeśli chciałbyś znaleźć w klasie najniższego ucznia znajdź w swojej klasie ucznia, któremu droga do szkoły zabiera najwięcej czasu znajdź najstarszego (lub najmłodszego) ucznia w swojej szkole znajdź największą kartę w potasowanej talii kart znajdź najlepszego tenisistę w swojej klasie nie ma remisów znajdź najlepszego gracza w warcaby w swojej klasie możliwe są remisy Podstawowa operacja porównanie: dwóch liczb lub kombinacji liczb (data, karty): czy x < y? dwóch zawodników: rozegranie meczu informatyka + 37
38 Znajdowanie elementu w zbiorze Różnica między dwoma problemami: Czy zbiór zawiera y? Dane: Ciąg n liczb x 1, x 2,..., x n Wyróżniony element y Wynik: Czy w ciągu jest element y? Przeszukujemy ciąg aż znajdziemy y, Przeglądamy cały ciąg, by stwierdzić, że nie zawiera y. Znajdź w zbiorze element o pewnych własnościach Dane: Ciąg n liczb x 1, x 2,..., x n Wynik: Najmniejsza wśród liczb x 1, x 2,..., x n Trzeba przejrzeć cały ciąg. Zakładamy, że ciąg nie jest uporządkowany. Uporządkowanie ciągu ułatwia. informatyka + 38
39 Specyfikacja problemu Specyfikacja problemu dokładne opisanie problemu Problem Min Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorze Dane: Liczba naturalna n i zbiór n liczb dany w ciągu x 1, x 2,..., x n Wynik: Najmniejsza wśród liczb x 1, x 2,..., x n oznaczmy ją min Metoda rozwiązania: przeszukiwanie liniowe od lewej do prawej Algorytm Min Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorze Krok 1. Przyjmij za min pierwszy element w zbiorze (w ciągu), czyli przypisz min := x 1. imin := 1 Krok 2. Dla kolejnych elementów x i, gdzie i = 2, 3,..., n, jeśli min > x i, to przypisz min := x i. imin := i Algorytm Max prosta modyfikacja: zamiana > na < Wyznaczanie imin indeksu elementu o wartości min informatyka + 39
40 Pracochłonność algorytmu Min Porównanie podstawowa operacja w algorytmie Min. Pracochłonność (złożoność obliczeniowa) algorytmu liczba podstawowych operacji wykonywanych przez algorytm. Pytanie: Ile porównań wykonuje algorytm Min? Odpowiedź: o jedno mniej niż jest elementów, czyli n 1 Pytania: Czy można szybciej? Czy istnieje szybszy algorytm znajdowania min? A może metoda pucharowa wyłaniania zwycięzcy w turnieju jest szybsza? informatyka + 40
41 Wyłanianie najlepszego zawodnika w turnieju czyli inny sposób znajdowania max (lub min) Porównania mecze Tome k Ośmiu zawodników: 7 meczy n zawodników: n 1 meczy a więc nie jest szybsza Bartek Tomek Jednak jest szybciej. Gdy liczmy równolegle Bartek Witek Tomek Tolek Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek informatyka + 41
42 A może mamy algorytm najlepszy? Podsumowanie: Mamy dwa algorytmy znajdowania min lub max: przeszukiwanie liniowe rozegranie turnieju które na zbiorze n elementów wykonują n 1 porównań Może nie ma szybszego algorytmu? TAK! Hugo Steinhaus tak to uzasadnił: Jeśli Tomek jest zwycięzcą turnieju, w którym startuje n zawodników, to każdy inny spośród n 1 zawodników musiał przegrać przynajmniej raz, a zatem rozegrano przynajmniej n 1 meczy. Zatem każdy algorytm musi wykonać przynajmniej n 1 porównań, czyli nasze algorytmy są najszybsze są optymalne. informatyka + 42
43 A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju? Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z Tomkiem? Tomek Ale Bartek nie grał z drugą połową! Bartek Tomek Tylko dwa dodatkowe mecze! Bartek Witek Tomek Tolek Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek informatyka + 43
44 Jednoczesne znajdowanie min i max Obserwacja: jeśli x y, to x kandydatem na min, a y kandydatem na max Algorytm dziel i zwyciężaj : Krok 1. Podział na kandydatów na min i kandydatów na max Kandydaci na max Porównania parami Kandydaci na min 3 3? ? ? ? ? 5 2 max = 8 min = 1 Krok 2. Znajdź min i max Liczba porównań: algorytm naiwny: n 1 (min) + n 2 (max) = 2n 3 algorytm dziel i zwyciężaj: n/2(podział)+ (n/2 1)(min) + (n/2 1)(max) ok. 3n/2 2 jest to algorytm optymalny informatyka + 44
45 Problem porządkowania (sortowania) Problem porządkowania (sortowania) Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,..., x n Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej Algorytm: porządkowanie przez wybór Selection Sort Idea: najmniejszy wśród nieuporządkowanych daj na początek Krok 1. Dla i = 1, 2,..., n 1 wykonaj kroki 2 i 3, a następnie zakończ algorytm Krok 2. Znajdź k takie, że x k jest najmniejszym elementem w ciągu x i,..., x n Krok 3. Zamień miejscami elementy x i oraz x k informatyka + 45
46 Złożoność porządkowania przez wybór Liczba zamian elementów w kolejnych krokach: = n 1 Liczba porównań w kolejnych krokach: Przykład n = 6 (n 1) + (n 2) + (n 3) =? = n 5 = n 1 Pole prostokąta: 5 x 6 Suma = pole czarnych diamentów: 5 x 6 informatyka Ogólnie suma: (n 1) x n 2 Liczby trójkątne
47 Sortowanie przez scalanie scalanie Scalanie z dwóch uporządkowanych ciągów utwórz jeden uporządkowany Algorytm scalania. Scal. Dane: dwa ciągi uporządkowane Wynik: scalony ciąg uporządkowany Krok: do tworzonego ciągu pobieraj najmniejszy element z czoła scalanych ciągów Scalanie Scalane ciągi Scalony ciąg informatyka + 47
48 Sortowanie przez scalanie scalanie Scalane ciągi Scalone ciągi, w innym miejscu informatyka + 48
49 Sortowanie przez scalanie opis Metoda dziel i zwyciężaj Algorytm porządkowania przez scalanie MergeSort(l,p,x) Dane: Ciąg liczb x l, x l+1,, x p Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej. Krok 1. Jeśli l < p, to przyjmij s:=(l+p) div 2 i wykonaj trzy następne kroki. { s w połowie ciągu} Krok 2. MergeSort(l,s,x) sortowanie pierwszej połowy ciągu Krok 3. MergeSort(s+1,p,x) sortowanie drugiej połowy ciągu Krok 4. Zastosuj algorytm Scal do ciągów (x l,, x s ) i (x s+1,, x p ) i wynik umieść w ciągu (x l,, x p ). informatyka + 49
50 Sortowanie przez scalanie opis Metoda dziel i zwyciężaj Rekurencyjne wywołania na podciągach Algorytm porządkowania przez scalanie MergeSort(l,p,x) Dane: Ciąg liczb x l, x l+1,, x p Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej. Krok 1. Jeśli l < p, to przyjmij s:=(l+p) div 2 i wykonaj trzy następne kroki. { s w połowie ciągu} Krok 2. MergeSort(l,s,x) sortowanie pierwszej połowy ciągu Krok 3. MergeSort(s+1,p,x) sortowanie drugiej połowy ciągu Krok 4. Zastosuj algorytm Scal do ciągów (x l,, x s ) i (x s+1,, x p ) i wynik umieść w ciągu (x l,, x p ). informatyka + 50
51 Sortowanie przez scalanie DEMO dziel 2 dziel dziel 0 dziel 2 1 scal 9 dziel scal scal 5 9 scal scal informatyka + 51
52 Sortowanie przez scalanie DEMO Posortowana jest już pierwsza połowa ciągu i w trakcie sortowania drugiej połowy, scalane są dwa podciągi z pierwszej części drugiej połowy, uporządkowane wcześniej rekurencyjnie tą samą metodą Posortowana pierwsza połowa ciągu Scalane ciągi Wynik scalania dodatkowym miejscu informatyka + 52
53 Proste problemy i ich efektywne algorytmy 1. Poszukiwanie elementów w zbiorze: nieuporządkowanym n porównań optymalny uporządkowanym n log n optymalny 2. Znajdowanie najmniejszego/największego elementu n 1 porównań optymalny 3. Znajdowanie pierwszego i drugiego największego elementu w zbiorze n + log 2 n 2 optymalny 4. Jednoczesne znajdowanie minimum i maksimum 3n/2 2 optymalny 5. Porządkowanie elementów n 2 przez wybór; n log n przez scalanie optymalny 6. Schemat Hornera n mnożeń i n dodawań optymalny informatyka + 53
54 Problemy trudne, 2 liczby pierwsze, ponownie Problemy dotyczące liczb pierwszych: 1.Dana jest liczba n czy n jest liczbą pierwszą (złożoną)? 2.Dana jest liczba n rozłóż n na czynniki Algorytm kolejnego dzielenia: i : = 2; while i*i <= n do begin if n mod i = 0 then return 1 {n dzieli się przez i} i := i + 1 end; return 0 {n jest liczbą pierwszą} Złożoność: n 1/2 mnożeń (*) i dzieleń (mod) Szyfr RSA jest bezpieczny! Wniosek: jeśli liczba jest np , to złożoność to trwałoby lata nawet na Cray informatyka + 54
55 Problemy trudne, 3 podnoszenie do potęgi, again Kryptografia: Chcemy obliczać: Algorytm szkolny: x n = x*x*x* * x n 1 mnożeń Obliczenie małej potęgi: x *10 8 lat Algorytm rekurencyjny, korzysta ze spostrzeżenia: jeśli m jest parzyste, to x m = (x m/2 ) 2 jeśli m jest nieparzyste, to x m = (x m 1 )x (m 1 staje się parzyste). Przykład: m = 22 x 22 = (x 11 ) 2 = ((x 10 ) x) 2 = ((x 5 ) 2 x) 2 = (((x 4 )x) 2 x) 2 = (((x 2 ) 2 x) 2 x) 2 = x 22 Kolejne mnożenia: x 2, x 4 = (x 2 ) 2, x 5 = (x 4 )x, x 10 = (x 5 ) 2, x 10 x = x 11, (x 11 ) 2 = x 22 Liczba mnożeń: 6 zamiast 21 informatyka + 55
56 Podnoszenie do potęgi łatwy problem Potega(x,n) { x n } if n=1 then Potega:=x else if n parzyste then Potega:=Potega (x,n/2)^2 {x n = (x n/2 ) 2 } else Potega:=Potega (x,n 1)*x {x n = (x n 1 )x} Złożoność (liczba mnożeń): liczba bitów w rozwinięciu n podnoszenie do kwadratu ok. log 2 n plus liczba jedynek w rozwinięciu n mnożenie przez x nie więcej niż log 2 n Razem: nie więcej niż 2*log 2 n Długość rozwinięcia binarnego liczb: A zatem, obliczenie x algorytmem rekurencyjnym to ok. 200 mnożeń informatyka + 56
57 Konkluzja Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) [Ralf Gomory, IBM] 57
58 Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna): Wprowadzenie do algorytmiki i programowania wyszukiwanie i porządkowanie informacji Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera. Techniki algorytmiczne przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): Czy wszystko można policzyć na komputerze? Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu informacji. Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw informatyka + 58
59 Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Kursy (24 godz.) Wszechnica na Kołach: Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje Kursy (24 godz.) Kuźnia Informatycznych Talentów KIT dla Orłów: Przegląd podstawowych algorytmów Struktury danych i ich wykorzystanie Zaawansowane algorytmy Tendencje Wykłady Algorytmy w Internecie, K. Diks Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło informatyka + 59
60
CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆ NA KOMPUTERZE
CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆ NA KOMPUTERZE WSTĘP DO ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm
Bardziej szczegółowoWYSZUKIWANIE I PORZĄDKOWANIE INFORMACJI
WYSZUKIWANIE I PORZĄDKOWANIE INFORMACJI WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm
Bardziej szczegółowoPORZĄDEK WŚRÓD INFORMACJI
PORZĄDEK WŚRÓD INFORMACJI KLUCZEM DO SZYBKIEGO WYSZUKIWANIA Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm opis rozwiązania
Bardziej szczegółowoALGORYTMY POSZUKIWANIA I PORZĄDKOWANIA ELEMENTY JĘZYKA PROGRAMOWANIA
ALGORYTMY POSZUKIWANIA I PORZĄDKOWANIA ELEMENTY JĘZYKA PROGRAMOWANIA Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm
Bardziej szczegółowoCzy wszystko można policzyć na komputerze
Czy wszystko można policzyć na komputerze Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski, UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl, syslo@mat.uni.torun.pl http://mmsyslo.pl/ < 220 > Informatyka + Wszechnica Popołudniowa
Bardziej szczegółowoPROSTE RACHUNKI WYKONYWANE ZA POMOCĄ KOMPUTERA
PROSTE RACHUNKI WYKONYWANE ZA POMOCĄ KOMPUTERA WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoWszechnica Popołudniowa: Algorytmika i programowanie Czy wszystko można policzyć na komputerze. Maciej M Sysło
Wszechnica Popołudniowa: Algorytmika i programowanie Czy wszystko można policzyć na komputerze Maciej M Sysło Czy wszystko można policzyć na komputerze Rodzaj zajęć: Wszechnica Popołudniowa Tytuł: Czy
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoTECHNIKI ALGORYTMICZNE przybliżone i dokładne
TECHNIKI ALGORYTMICZNE przybliżone i dokładne WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm
Bardziej szczegółowoKomputery, obliczenia, algorytmy Tianhe-2 (MilkyWay-2), system Kylin Linux, 33862.7 Tflops, 17808.00 kw
Komputery, obliczenia, algorytmy Tianhe-2 (MilkyWay-2), system Kylin Linux, 33862.7 Tflops, 17808.00 kw Michał Rad 08.10.2015 Co i po co będziemy robić Cele zajęć informatycznych: Alfabetyzacja komputerowa
Bardziej szczegółowoJeszcze o algorytmach
Jeszcze o algorytmach Przykłady różnych, podstawowych algorytmów 11.01.2018 M. Rad Plan Powtórka Znajdowanie najmniejszego elementu Segregowanie Poszukiwanie przez połowienie Wstawianie Inne algorytmy
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Bardziej szczegółowoInformatyka A. Algorytmy
Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa....................................... 2 2 Rozszerzony algorytm Euklidesa................................ 2 3 Wyszukiwanie min w tablicy..................................
Bardziej szczegółowoWybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej
Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej Spis treści Autor: Marcin Orchel Algorytmika...2 Algorytmika w gimnazjum...2 Algorytmika w liceum...2 Język programowania w
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoSortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania
Sortowanie danych Podstawy programowania 2013-06-06 Sortowanie przez wybieranie 9 9 9 9 9 9 10 7 7 7 7 7 10 9 1 3 3 4 10 7 7 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 Gurbiel et al. 2000
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 9. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 9 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Zasada dziel i zwyciężaj Przykłady znajdowanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 3. Karol Tarnowski A-1 p.
Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni Wykład 3 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Co to jest algorytm? Zapis algorytmów Algorytmy
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoProgramowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4 Tablice nieporządkowane i uporządkowane
Algorytmy i struktury danych Wykład 4 Tablice nieporządkowane i uporządkowane Tablice uporządkowane Szukanie binarne Szukanie interpolacyjne Tablice uporządkowane Szukanie binarne O(log N) Szukanie interpolacyjne
Bardziej szczegółowoDefinicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )
SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,
Bardziej szczegółowoznalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany.
Przedstawiamy algorytmy porządkowania dowolnej liczby elementów, którymi mogą być liczby, jak również elementy o bardziej złożonej postaci (takie jak słowa i daty). Porządkowanie, nazywane również często
Bardziej szczegółowoSortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy
Bardziej szczegółowoTechnologie informacyjne Wykład VII-IX
Technologie informacyjne -IX A. Matuszak 19 marca 2013 A. Matuszak Technologie informacyjne -IX Rekurencja A. Matuszak (2) Technologie informacyjne -IX Gotowanie jajek na miękko weż czysty garnek włóż
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sortujące i wyszukujące
Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Bardziej szczegółowoStrategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
Bardziej szczegółowoPorządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania
Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania Maciej M Sysło Uniwersytet Wrocławski, UMK w Toruniu syslo@iiuniwrocpl, syslo@matunitorunpl http://mmsyslopl/ < 188 > Informatyka + Wszechnica
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Potęgi (14 pkt)
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. otęgi (14 pkt) W poniższej tabelce podane są wartości kolejnych potęg liczby 2: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ciąg a=(a 0,
Bardziej szczegółowoPiotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski. Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa
Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa Algorytmika Najważniejsza część informatyki Opisuje jak rozwiązywać problemy algorytmiczne, jakie struktury danych
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 1. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 1 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan wykładów (1) Algorytmy i programy Proste typy danych Rozgałęzienia
Bardziej szczegółowoWszechnica Popołudniowa: Algorytmika i programowanie Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. Maciej M Sysło
Wszechnica Popołudniowa: Algorytmika i programowanie Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania Maciej M Sysło Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania Rodzaj zajęć:
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Bardziej szczegółowoZnajdowanie największego i najmniejszego elementu w zbiorze n liczb całkowitych
1/12 Opracowała Kozłowska Ewa ekozbelferek@poczta.onet.pl nauczyciel przedmiotów informatycznych Zespół Szkół Technicznych Mielec, ul. Jagiellończyka 3 Znajdowanie największego i najmniejszego elementu
Bardziej szczegółowoRozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I Rozkład zgodny
Bardziej szczegółowoPodstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA
Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych
Bardziej szczegółowoKOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO
Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT
Bardziej szczegółowoPoniŜej znajdują się pytania z egzaminów zawodowych teoretycznych. Jest to materiał poglądowy.
PoniŜej znajdują się pytania z egzaminów zawodowych teoretycznych. Jest to materiał poglądowy. 1. Instrukcję case t of... w przedstawionym fragmencie programu moŝna zastąpić: var t : integer; write( Podaj
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoRozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II Rozkład wymagający
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EGZAMINACYJNE Egzamin maturalny z INFORMATYKI
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Egzamin maturalny z INFORMATYKI 1. Cele ogólne Podstawowym celem kształcenia informatycznego jest przekazanie wiadomości i ukształtowanie umiejętności w zakresie analizowania i
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej
Bardziej szczegółowoTeraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres rozszerzony. Część 1.
Teraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres rozszerzony. Część 1. Grażyna Koba MIGRA 2019 Spis treści (propozycja na 2*32 = 64 godziny lekcyjne) Moduł A. Wokół komputera i sieci komputerowych
Bardziej szczegółowoSortowanie. LABORKA Piotr Ciskowski
Sortowanie LABORKA Piotr Ciskowski main Zaimplementuj metody sortowania przedstawione w następnych zadaniach Dla każdej metody osobna funkcja Nagłówek funkcji wg uznania ale wszystkie razem powinny być
Bardziej szczegółowoKlasa 2 INFORMATYKA. dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony. Założone osiągnięcia ucznia wymagania edukacyjne na. poszczególne oceny
Klasa 2 INFORMATYKA dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony Założone osiągnięcia ucznia wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Algorytmy 2 3 4 5 6 Wie, co to jest algorytm. Wymienia przykłady
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 6 Tablice rozproszone cz. 2
Algorytmy i struktury danych Wykład 6 Tablice rozproszone cz. 2 Na poprzednim wykładzie Wiele problemów wymaga dynamicznych zbiorów danych, na których można wykonywać operacje: wstawiania (Insert) szukania
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Joanna Osio asiaosio@poczta.onet.pl Nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Dziel i rządź. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Dziel i rządź Piotr Chrząstowski-Wachtel Divide et impera Starożytni Rzymianie znali tę zasadę Łatwiej się rządzi, jeśli poddani są podzieleni Nie chodziło im jednak bynajmniej o
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski
Algorytmy i złożoność obliczeniowa Wojciech Horzelski 1 Tematyka wykładu Ø Ø Ø Ø Ø Wprowadzenie Poprawność algorytmów (elementy analizy algorytmów) Wyszukiwanie Sortowanie Elementarne i abstrakcyjne struktury
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.
Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne i sposoby sprawdzania edukacyjnych osiągnięć uczniów z informatyki - klasy II zakres rozszerzony
Wymagania edukacyjne i sposoby sprawdzania edukacyjnych osiągnięć uczniów z informatyki - klasy II zakres rozszerzony I. Cele kształcenia wymagania ogólne 1. Bezpieczne posługiwanie się komputerem i jego
Bardziej szczegółowoprowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325
PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA KLUCZ DO ZROZUMIENIA KARIERY DOBROBYTU
INFORMATYKA KLUCZ DO ZROZUMIENIA KARIERY DOBROBYTU Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl http://mmsyslo.pl/ informatyka + 1 Źródło tytułu wykładu W 1971
Bardziej szczegółowoRoman Mocek Zabrze 01.09.2007 Opracowanie zbiorcze ze źródeł Scholaris i CKE
Różnice między podstawą programową z przedmiotu Technologia informacyjna", a standardami wymagań będącymi podstawą przeprowadzania egzaminu maturalnego z przedmiotu Informatyka" I.WIADOMOŚCI I ROZUMIENIE
Bardziej szczegółowoRekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2015-10-09 Spis treści 1 Szybkie potęgowanie 1 2 Liczby Fibonacciego 2 3 Dowód, że n 1 porównań jest potrzebne do znajdowania minimum 2 4 Optymalny algorytm do
Bardziej szczegółowoZbigniew Talaga Konsultacja: Janusz Mazur. Rozkład materiału propozycja
Zbigniew Talaga Konsultacja: Janusz Mazur Rozkład materiału propozycja Warszawa 2019 Lp. Temat Liczba godzin Zapisy podstawy programowej 1 Systemy operacyjne w środowisku sieciowym 2 III.3, V.3 2 Nowe
Bardziej szczegółowoWszechnica Informatyczna: Algorytmika i programowanie Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania.
Wszechnica Informatyczna: Algorytmika i programowanie Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania Maciej M Sysło Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania
Bardziej szczegółowoDlaczego możemy czuć się bezpieczni w sieci czyli o szyfrowaniu informacji
Dlaczego możemy czuć się bezpieczni w sieci czyli o szyfrowaniu informacji Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Plan Szyfrowanie (kryptologia):
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z INFORMATYKI dla klasy III gimnazjalnej, Szkoły Podstawowej w Rychtalu
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z INFORMATYKI dla klasy III gimnazjalnej, Szkoły Podstawowej w Rychtalu 1 Algorytmika i programowanie Rozwiązywanie problemów i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera, stosowanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoAtaki na RSA. Andrzej Chmielowiec. Centrum Modelowania Matematycznego Sigma. Ataki na RSA p. 1
Ataki na RSA Andrzej Chmielowiec andrzej.chmielowiec@cmmsigma.eu Centrum Modelowania Matematycznego Sigma Ataki na RSA p. 1 Plan prezentacji Wprowadzenie Ataki algebraiczne Ataki z kanałem pobocznym Podsumowanie
Bardziej szczegółowoRÓŻNORODNE ALGORYTMY OBLICZEŃ I ICH KOMPUTEROWE REALIZACJE
RÓŻNORODNE ALGORYTMY OBLICZEŃ I ICH KOMPUTEROWE REALIZACJE Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka + 2 Algorytm, algorytmika Algorytm opis rozwiązania
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7 Sortowanie
Laboratorium nr 7 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) Materiały Wyróżniamy następujące metody sortowania: 1. Przez prostą zamianę
Bardziej szczegółowoWykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL 1 Część 1 Pojęcie algorytmu 2 I. Pojęcie algorytmu Trochę historii Pierwsze
Bardziej szczegółowoAlgorytmy asymetryczne
Algorytmy asymetryczne Klucze występują w parach jeden do szyfrowania, drugi do deszyfrowania (niekiedy klucze mogą pracować zamiennie ) Opublikowanie jednego z kluczy nie zdradza drugiego, nawet gdy można
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I STYCZEŃ 2014 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania 1 3). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowo1. Algorytmika. WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI Wprowadzenie do algorytmów. Pojęcie algorytmu.
Wymagania edukacyjne z informatyki poziom rozszerzony w klasie 2 Społecznego Liceum Ogólnokształcącego Splot im. Jana Karskiego w Nowym Sączu 1. Algorytmika TREŚCI NAUCZANIA WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI
Bardziej szczegółowoWojna morska algorytmy przeszukiwania
Temat 6 Wojna morska algorytmy przeszukiwania Streszczenie Wyszukiwanie informacji w wielkich zbiorach danych wymagają często użycia komputerów. Wymaga to ciągłego doskonalenia szybkich i efektywnych metod
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA INFORMATYKA.
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA INFORMATYKA. KLASA 3e I. Główne założenia PSO Ocenianie uczniów na lekcjach informatyki: spełnia założenia wewnątrzszkolnego systemu oceniania; powinno być systematyczne;
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI WYBRANE: ... (system operacyjny) ... (program użytkowy) ... (środowisko programistyczne)
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MIN 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I DATA: 10
Bardziej szczegółowoAlgorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursów szkoły programowania Halpress
Szczegółowy program kursów szkoły programowania Halpress Lekcja A - Bezpłatna lekcja pokazowa w LCB Leszno "Godzina kodowania - Hour of Code (11-16 lat) Kurs (B) - Indywidualne przygotowanie do matury
Bardziej szczegółowoZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2014/2015. Drzewa BST c.d., równoważenie drzew, kopce.
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Automatyki i Robotyki ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 204/205 Język programowania: Środowisko programistyczne: C/C++ Qt Wykład 2 : Drzewa BST c.d., równoważenie
Bardziej szczegółowoCzęść I. Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 1.1. (0 3)
Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Część I Zadanie 1.1. (0 3) 3 p. za prawidłową odpowiedź w trzech wierszach. 2 p. za prawidłową odpowiedź
Bardziej szczegółowoAlgorytmika i pseudoprogramowanie
Przedmiotowy system oceniania Zawód: Technik Informatyk Nr programu: 312[ 01] /T,SP/MENiS/ 2004.06.14 Przedmiot: Programowanie Strukturalne i Obiektowe Klasa: druga Dział Dopuszczający Dostateczny Dobry
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Zadanie 1. a) (0 2) Egzamin maturalny z informatyki CZĘŚĆ I Obszar standardów
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne cz. 2
Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy przeszukiwania
Algorytmy przeszukiwania Przeszukiwanie liniowe Algorytm stosowany do poszukiwania elementu w zbiorze, o którym nic nie wiemy. Aby mieć pewność, że nie pominęliśmy żadnego elementu zbioru przeszukujemy
Bardziej szczegółowoRekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!
Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym
Bardziej szczegółowo