PROCES PRZEWIDYWANIA ZALEŻNOŚCI EKONOMICZNYCH

Transkrypt

1 PROCES PRZEWIDYWANIA ZALEŻNOŚCI EKONOMICZNYCH Literatura: Formułowanie modeli ekonometrycznych na potrzeby zarządzania dr inż. Władysław Wornalkiewicz 1

2 Prognozowanie w działalności przedsiębiorstw Wprowadzenie prognozowanie jako dyscyplina nauki prognozowanie gospodarcze - określenie drogi rozwoju cel: określenie kierunku i dynamiki wielkości ekonomicznych statystyczna teoria prognoz: metody ilościowe rachunek prawdopodobieństwa modele ekonometryczne 2

3 kryteria podziału prognoz: horyzont czasowy prognozy: krótkoterminowa - zmiany ilościowe średnioterminowa - zmiany ilościowe, śladowe jakościowe długoterminowe strategiczne - dla podejmowania długofalowych decyzji gospodarczych - wielowariantowość operatywne - wykonanie planu, kształtowanie się zmiennych ekonomicznych 3

4 charakter i struktura prognozy: proste i złożone ilościowe - opisywane zmienną ilościowa (liczba) i jakościowe punktowe i przedziałowe jednorazowe i powtarzalne (periodyczna) 4

5 stopień szczegółowości prognozy: ogólne i szczegółowe zasięg terenowy prognozy: światowe, międzynarodowe, krajowe, regionalne metoda opracowania: modelowe, indukcyjne, dedukcyjne, średnie cel lub funkcja: ostrzegawcze, badawcze, aktywne, pasywne, 5

6 samorealizujące się - np. ogłoszenie wzrostu cen - wykup towarów - wzrost cen unicestwiające się - zapowiedz rekordowego napływu gości - zniechęcenie do wyjazdu Zmiany ilościowe - zgodnie z trendem lub funkcją regresji Zmiany jakościowe - zmiana postaci trendu, charakteru związków, zanik związków 6

7 predykcja: diagnozowanie przeszłości - estymacja i sformułowanie modelu określenie przyszłości - prognozowanie - reguła (metoda) Komleksowość predykcji - wnioskowanie o wektorze zmiennych reprezentujących współzależne zjawiska - wydatki konsumentów Sekwencyjność predykcji - budowa prognoz dla danej zmiennej w następujących po sobie okresach 7

8 Metody prognozowania metody analizy i prognozowania krótkookresowego szeregów czasowych (czas, przeszłe wartości zmiennej prognozowanej) - modele: średnie ruchome wygładzanie wykładnicze autoregresyjne inne 8

9 metody prognozowania przyczynowoskutkowego - modele: ekonometryczne jedno-, wielorównaniowe behawioralne - prawa zachowania się p-stw symptomatyczne - brak teorii do budowy modelu Zastosowanie: znane przyszłe wartości zmiennych objaśniających lub prognozowanie tych zmiennych eksperymentowanie - symulacje 9

10 metody analogowe - bazowanie na zmiennych podobnych - np. rozwój telefonii komórkowej w Polsce na podstawie krajów zachodnich metody heurystyczne np. burza mózgów na temat nowych odkryć naukowych - opinie wielu ekspertów - analiza - reguła największego prawdopodobieństwa 10

11 kombinacje metod: średnia prognoza z modeli z zastosowaniem wag - stopni zaufania ekspertów wybór metody: dostępność danych właściwości metod (ocena jakości modelu,...) 11

12 Miary błędu prognozy RMSE - pierwiastek średniego kwadratu błędu MAE - średni absolutny błąd MAPE - średni procentowy absolutny błąd współczynnik Theila Dekompozycja współczynników Theila: o o o współczynnik średniego błędu, współczynnik błędu wariancji, współczynnik błędu kowariancji. 12

13 U M > 0,2 - błąd systematyczny prognozy U S - wysoka wartość - zmienność zmiennej prognozowanej jest niedostateczna U C - miara błędu niesystematycznego (oprócz U M i U S ) U M + U S + U C = 1 13

14 Liniowy model regresji z jedna zmienna objaśniającą Przykład: DZGD = f(dgd) + DZGD - depozyty złotowe gospodarstw domowych w mln zł, DGD - dochody gospodarstw domowych w mln zł, - składnik losowy. 14

15 N i = Rok t = Kw. X = DGD Y = DZGD ,20 0, ,50 0, ,80 1, ,80 1, ,50 1, ,00 1, ,80 0, ,30 2, ,20 2, ,50 1, ,10 2, ,90 3, ,50 3, ,00 2, ,80 2, ,20 4, ,90 4, ,10 3, ,90 3, ,90 5, ,00 5, ,10 5, ,80 4, ,00 6, ,20 6, :42 2 D:\PREZENTACJE\P- 26,60 6,31 15

16 DZGD Diagram korelacyjny DZGD - DGD 7 6 y = 0,2629x - 0,7937 R² = 0, DGD 16

17 1. Współczynnik korelacji: R DZGD,DGD = 0,95 0, =WSP.KORELACJI(H3:H28;G3:G28) 0,95076^2 = 0, Ocena istotności t obl = R (N - 2)/(1 - R 2 ) = 0,95 (26-2)/(1 0,9039) = 15,01 t 0,05 = 1,71 < I t obl I 17

18 Występuje silna dodatnia zależność liniowa: Y i = c +ax i DZGD = -0,79 + 0,26 DGD Współczynnik regresji - 0,26 3. Skorygowany współczynnik determinacji: R 2 = 1 - [(N - 1) (1 - R 2 )]/(N - k) N = 26, k = 2 R 2 = 0,8999 = 89,99 % 18

19 4. Obliczenie parametrów funkcja REGLINP 0,2629-0,7937 a c =REGLINP(F5:F30;H5:H30;PRAWDA;FAŁSZ) a b 0, , parametry 0, , standardowe wartosci błędów dla parametrów 0, , współczynnik korelacji; standardowy błąd oceny Y 225, statystyka F; stopień swobody 78, , regresyjna suma kwadratów; resztowa suma kwadratów wariancja resztowa 0, resztowa suma kwadratów/stopień swobody (N - m -1) 0, pierwiastek z wariancji resztowej 19

20 5. Odchylenie standardowe składnika resztowego ok. 0,59 mln 6. Ocena różnicy V DZGD,DGD = S (Zn )/DZGD = 0,59/3,14 = 0,18,8 = 18,8% > 10% Średnia dla Y, czyli DZGD równa się 3,14 20

21 7. Badanie statystycznej istotności parametrów: t obl = Ia i /D(a i )I < t 0,05 = 1,71 t b = -0,794/0,286 = -2,78 t a = 0,263/0,017 = 15,47 Oba parametry modelu są statystycznie istotne. 8. Badanie stabilności parametrów modelu - zastosowanie testu CUSUM - skumulowanych kwadratów reszt - nie występowanie zmian strukturalnych (parametrów) 21

22 Resztowa suma kwadratów = ok. 8,32 S n = r r /r r Pierwsza jest sumą skumulowaną (iloraz kwadratu reszt/ sumę reszt (8,32)). Druga = 8,32 22

23 N i = Rok t = Kw. X = DGD Y Y^ Y-Y^ (Y-Y^)8,32 Sn ,20 0,95 1,34-0,39 0,02 0, ,50 0,97 0,64 0,33 0,01 0, ,80 1,22 0,72 0,50 0,03 0, ,80 1,64 1,24 0,40 0,02 0, ,50 1,04 1,94-0,90 0,10 0, ,00 1,30 1,29 0,01 0,00 0, ,80 0,90 0,98-0,08 0,00 0, ,30 2,00 1,63 0,37 0,02 0, ,20 2,20 1,86 0,34 0,01 0, ,50 1,00 1,94-0,94 0,11 0, ,10 2,10 2,10 0,00 0,00 0, ,90 3,00 2,56 0,44 0,02 0, ,50 3,58 2,72 0,86 0,09 0, ,00 2,50 2,85-0,35 0,01 0, ,80 2,30 3,06-0,76 0,07 0, ,20 4,50 3,68 0,82 0,08 0, ,90 4,00 3,86 0,14 0,00 0, ,10 3,20 3,92-0,72 0,06 0, ,90 3,80 4,12-0,32 0,01 0, ,90 5,80 4,64 1,16 0,16 0, ,00 5,00 4,93 0,07 0,00 0, ,10 5,20 5,22-0,02 0,00 0, ,80 4,50 5,40-0,90 0,10 0, ,00 6,50 5,71 0,79 0,08 1, ,20 6,00 6,02-0,02 0,00 1, ,60 6,31 6,126 0,18 0,00 1,01 23

24 Sn Obraz 5% dla testu krytycznego Sn 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0, ,4 kwartały 24

25 Wartości S n nie przekraczają 5% - parametry modelu są stabilne. 9. Test Jargue-Bera - normalność składnika resztowego JBT = (N - k)/6 (S 2 + 0,25 (K - 3) 2 ) S - wartość współczynnika skośności K - wartość współczynnika kurtozy Test oparty na rozkładzie 2 z dwiema stopniami swobody. k = 2 oraz T = N -k) = 26-2 = 24 25

26 10. Test Durbina - Watsona - sprawdzenie autokorelacji pierwszego rzędu reszt k = 1(bez stałej c), N = 26, = 0,05 wartości krytyczne: d d = d L = 1,302 d g = d U = 1,461 (z n - z n-1 ) 2 n = 2 do N d obl = (z n ) 2 n = 1 do N 26

27 Gdy w modelu nie występuje opóźniona zmienna endogeniczna np. Y n = c + a 1 X n + a 2 X n-1 d obl = 19,352/8,367 = 2,31 d obl > d g 27

28 Obliczenia pomocnicze do d obl n z n = Y-Y^ z n-1 z n - z n-1 (z n - z n-1 ) 2 2 z n 1-0,392 0, ,330-0,392 0,722 0,521 0, ,502 0,330 0,172 0,030 0, ,402 0,502-0,100 0,010 0, ,900 0,402-1,302 1,695 0, ,010-0,900 0,910 0,828 0, ,078 0,010-0,088 0,008 0, ,372-0,078 0,450 0,203 0, ,338 0,372-0,034 0,001 0, ,940 0,338-1,278 1,633 0, ,004-0,940 0,944 0,891 0, ,436 0,004 0,432 0,187 0, ,860 0,436 0,424 0,180 0, ,350 0,860-1,210 1,464 0, ,758-0,350-0,408 0,166 0, ,818-0,758 1,576 2,484 0, ,136 0,818-0,682 0,465 0, ,716 0,136-0,852 0,726 0, ,324-0,716 0,392 0,154 0, ,156-0,324 1,480 2,190 1, ,070 1,156-1,086 1,179 0, ,016 0,070-0,086 0,007 0, ,898-0,016-0,882 0,778 0, ,790-0,898 1,688 2,849 0, ,022 0,790-0,812 0,659 0, ,184-0,022 0,206 0,042 0,034 Suma: 19,352 8,367 28

29 Nieliniowe modele regresji z jedną zmienną objaśniającą potęgowy Y = X a [ln Y = a ln X] gdy: X zmieni się o 1% to Y o 0,25% wykładniczy Y = a X [ln Y = X ln a] gdy: X zmieni się o 1 to Y przeciętnie o a% 29

30 liniowo-logarytmiczny Y = a ln X gdy: a przeciętna zmiana Y wywołana 1% zmianą X Ocena dobroci dopasowania modeli - zastosowanie miar i testów jak dla liniowych. 30

31 Liniowe i nieliniowe modele regresji z wieloma zmiennymi objaśniającymi Y = f(x 1, X 2,..., X k, ) Y = c + a 1 X 1, a 2 X 2,..., a k X k + Inna interpretacja: skorygowanego współczynnika determinacji parametrów modelu DZGD = f(dgd, DR3) + DR3 - stopa oprocentowania 3-y miesięczna Oczekiwanie: DZGD - DR3 (dodatnia zależność korelacyjna) 31

32 Dane pomocnicze do określenia diagramu korelacyjnego DZGD - DR3 N i = Rok t = Kw. X = DGD DR3 = X 2 DZGD = Y ,20 0,60 0, ,50 0,50 0, ,80 0,50 1, ,80 0,90 1, ,50 0,60 1, ,00 0,80 1, ,80 0,30 0, ,30 1,50 2, ,20 1,20 2, ,50 0,70 1, ,10 1,60 2, ,90 2,00 3, ,50 2,90 3, ,00 1,90 2, ,80 1,80 2, ,20 3,00 4, ,90 3,00 4, ,10 2,50 3, ,90 2,90 3, ,90 3,00 5, ,00 4,00 5, ,10 4,20 5, ,80 3,50 4, ,00 3,00 6, ,20 5,10 6, ,60 5,00 6,31 WSP.KORELACJI(E3:E28;D3:D28) 0,94 tobl 13,50 =0,94*PIERWIASTEK(24/(1-0,94^2)) 32

33 DZGD 6 Diagram korelacyjny DZGD - DR3 5 y = 1,2172x + 0,4666 R 2 = 0, DGD 33

34 Wg testu T-Studenta t obl > t 0,05 = 1,71 - zależność statystyczna. Parametry modelu oszacowane funkcją REGLIN a 2 a 1 c = b = a 0 0,473 0,168-0,409 parametry 0,236 0,050 0,331 standardowe wartości błędów dla parametrów Model: ZGD = - 0, ,168 DGD + 0,473 DR3 Testy istotności i stabilności parametrów, składnika resztowego, kryteriów Akaike'a i Schwarza- jak w 2-wu wymiarowych. Testy porównywania modeli AK = N ln (z n 2 ) + 2 k 34

35 lub SCHW = N ln (z n 2 ) + k ln (N) Przykład: szeregi z N = 16 danych kwartalnych 3 modele popytu na produkt: A - regresji wielowymiarowej z 3-ma zmiennymi objaśniającymi B - trendu C - Holta-Wintersa bez składowej sezonowej Model Suma kwadratów reszt 2 - z n Liczba parametrów - k A 13,9 4 B 17,2 2 C 22,6 2 k N SCHW A 13, ,2 =$P$50*LN(Q50)+4*LN($P$50) B 17,2 2 51,1 C 22,6 2 55,4 Min(53,2; 51,1; 55,4) to model trendu 35

36 Metoda najmniejszych kwadratów - wiele zmiennych 1. Typowa a = (X T X) -1 X T Y a = b 2. Z równania Y = b 0 +b 1 X 1 + b 2 X b k X k Przykład 1: Y^ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 Y^ = ,090 X 1 + 0,064 X 2 + 0,019 X 3 Y^ - popyt na mięso wołowe i cielęce X 1 - cena wołowiny X 2 - cena wieprzowiny X 3 - dochód wg wskaźnika funduszu płac 36

37 Przykład 2 Y^ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 (y - y^) 2 min Równania normalne: a) Y = b 0 n + b 1 (X 1 ) + b 2 (X 2 ) b) X 1 Y = b 0 (X 1 ) + b 1 (X 1 2 ) + b 2 (X 1 X 2 ) c) X 2 Y = b 0 (X 2 ) + b 1 (X 1 X 2 ) + b 2 (X 2 2 ) 37

38 Zadanie: Badanie skuteczności leku odchudzającego Równanie Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 Prognoza: spadek wagi u osoby, dawka 2 cm 3 okres 18 m-cy Spadek wagi (funty) Dawka (cm 3 ) Okres (m-ce) Y X 1 X 2 9 1, , ,

39 15 1, , ,

40 (y - y^) 2 min Równania normalne: a) Y = b 0 n + b 1 (X 1 ) + b 2 (X 2 ) b) X 1 Y= b 0 (X 1 ) + b 1 (X 12 ) + b 2 (X 1 X 2 ) c) X 2 Y = b 0 (X 2 ) + b 1 (X 1 X 2 ) + b 2 (X 22 ) 40

41 n Y X 1 (X 1 ) 2 X 1 Y X 2 (X 2 ) 2 X 2 Y X 1 X Y X 1 (X 1 ) 2 X 1 Y X 2 (X 2 ) 2 X 2 Y X 1 X 2 41

42 Wzór Cramera - uład równań postaci: A X = B niewiadome X 1, X 2,..., X n X 1 = det A 1 /det A,..., X k = det A k /det A,..., X n = det A n /det A A k - macierz powstała z A po zastąpieniu jej k-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych 42

43 Przykład: X + 2Y - Z = 1 3X + Y + Z = 2 X - 5Z = det A = = det A 1 = =

44 1 1-1 det A 2 = = det A 3 = =

45 X = 15/28, Y = 8/28, Z = 3/28 Rozwinięcie macierzy kwadratowej A stopnia n 2 względem i-tego wiersza det A = a i1 D i1 + a i2 D i a in D in Dij - dopełnienie algebraiczne elementu aij tej macierzy, tj. wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy, pomnożony przez (-1) i+j. Podobnie wzór na rozwinięcie Laplace'a względem j-tej kolumny. 45

46 Sposoby obliczenia parametrów "a" dla dwóch zmiennych Y i X 1. Y = a + bx = a o + a 1 X (Y - Y) 2 min a 1 = [(Y-Y - ) (X - X - )] / (X-X - ) 2 a 0 = Y- a 1 X - 2. Y = na + b (X) XY = a (X) + b (X 2 ) 46

47 Przykład: X Y X 2 XY

48 = 8a + 360b b = a 1 = 0, = 360a b a = a 0 = 45,1 Y^ = 45,1 + 0,6 X 4. a = a 0 = [(Y) (X 2 ) - (X) (XY)] / [n(x 2 ) - (X) 2 ] a 0 = ( ) / ( ) = 45,1 b = a 1 = [n(xy) - (X) (Y)] / [n(x 2 ) - (X) 2 ] = 0,6 48

49 5. Najpierw b = a 1 i podstawić do 577 = 8a a 1 a 0 = (577-0,60 * 360)/8 = 45,1 Prognoza: Ilość środka chemicznego cm 3 wody - X = t = 35 0 Y^ = 45,1 + 0,6 X = 45,1 + 0,6 35 = 66,1 grama 49

50 Ilość środka 6. Graficznie X Y Rozpuszczalność środka y = 0,5988x + 45,179 R 2 = 0, temperatura - t 50

51 Współczynnik Janusowy y t y^ (y t - y^) ,10 65, ,19 96, ,28 59, ,37 31, ,46 41, ,55 73, ,64 31, ,73 7, ,82 23, ,91 171,24 /10 60, ,09 51

52 Y ˆ 266, 01 22, 09 * t J 2 T 3,82 60,18 1 T 2 ( y ) 1 2 t ytp *((507509) (533531,09) 2 n tn n ^ ,18 ( yt yt ) n t1 0,06 ) J 2 < 1 52

53 53

54 Przykład procedury: 0. 0,58 1 0,79 0,26 0,64 0,10 0,86 0,79 1 0,33 0,86 0,59 R 0 = 0,48 R = 0,26 0,33 1 0,17 0,51 0,87 0,64 0,86 0,17 1 0,62 0,83 0,10 0,59 0,51 0, n = 28; m = 5; = 0,01; n = 28 iss = n 2; t = 2,779 r* = 2, / (2, ) = 0,48 54

55 55

56 Częstość Excel - Analiza danych - Histogram Przedział - do Częstość -0,9 1-0,5 4-0,1 3 0,3 8 0,7 6 Więcej 4 Suma: 26 Excel - Wykres - Kolumnowy Histogram reszt- składnika losowego ,9-0,5-0,1 0,3 0,7 Więcej Przedziały - do Excel-Narzedzia-Analiza danych - Statystyka opisowa Y-Y^ Średnia 0,039 Błąd standardowy 0,113 Mediana 0,040 Odchylenie standardowe 0,577 Wariancja próbki 0,333 Kurtoza -0,607 Skośność -0,128 Zakres 2,096 56

57 Prognozowanie szeregów czasowych Modele prostych średnich ruchomych (SMA) Okres Sprzedaż SMA2 SMA4 M-c Y n F n Y n - F n F n Y n - F n ,5 2,5 122,25 2, ,5 4, ,5 2,5 124,5 4, ,5-1,5 126,25 0, ,25 1, ,25-0, ,5 1,5 128,25 1, ,5 3, ,75 57

58 sprzedaż SMA2 i SMA miesiące Yn SMA2 SMA4 58

59 Test: MIN RMSE z modeli o różnych okresach Wybór: SMA2 Zastosowanie: krótkookresowe- bez trendu - wahań sezonowych Sprawdzenie trendu: Y = Y n - Y n-1 Y n Y n-1 Y n - Y n Średnia 1,09 odchylenie 1,88 59

60 X - t obl = S/N - d t obl = 1,09/(1,88/11) = 1,93 t obl < t a=0,025 = 2,179 wg testu t-studenta d = 1 zatem w szeregu występuje trend Większa ilość okresów = bardziej wygładzony szereg 60

61 Modele ważonych średnich ruchomych (WMA) Wagi (0,1; 0,2; 0,3; 0,4) F 05 = 0,1 Y 1 + 0,2 Y 2 + 0,3 Y 3 + 0,4 Y 4 F 05 = 0, , , ,4 123 = 122,6 Okres Sprzedaż SMA4 WMA4 M-c Y n F n Y n - F n F n Y n - F n ,25 2,75 122,6 2, ,5 4,5 123,7 4, ,5 4,5 125,5 3, ,25 0,75 127,3-0, ,25 1,75 127,6 1, ,25-0,25 128,3-0, ,25 1,75 128,2 1, ,5 3,5 128,9 3, ,75 130,3-61

62 sprzedaż SMA4 i WMA miesiące Yn SMA4 WMA4 62

63 Model prostego wyrównywania wykładniczego (SES) F n = a Y n-1 + (1 - a) F n-1 Niech: F 1 = 900 a = 0,3 Y n-1 = 1000 F 2 = 0,3 * (1-0,3) 900 = 930 Czyli ważona średnia ruchoma Y 2 = 980 F 3 = 0,3 * (1-0,3) 930 = 945 Problemy: F(0); a a = 0,1 - silne złagodzenie szeregu prognozy F 3 = 0,1 * (1-0,1) 930 = 935 Zamienność modeli: wykładniczego, prostej średnich ruchomych a = 0,3 w = (2/a -1) = 5,67 okresy Wybór modelu SES - MIN RMSE - różne 63

64 Ważona wykładniczo średnia ruchoma wszystkich wartości rzeczywistych szeregu F n-1 = Y n-2 + (1 - ) F n-2 F n-2 = Y n-3 + (1 - ) F n-3 F n-3 = Y n-4 + (1 - ) F n-4 po wstawieniu do F n F n = Y n-1 + (1 - ) [Y n-2 + (1 - ) F n-2 ] Podstawiając dalej otrzymamy: F n = Y n-1 + (1 - ) 1 Y n-2 + (1 - ) 2 a Y n (1 - ) N-1 F n-n ] czyli ważona średniej ruchomej wszystkich obserwacji i prognozy na pierwszy okres. Wagi mają rozkład wykładniczy: (,(1 - ) 1, (1 - ) 2, (1 - ) 3, (1 - ) N-1 ) Przykład: = 0,7 F 2 = Y 1 64

65 M-c Y n F n Y n - F n ,8-0, ,24 0, ,72 2, ,33 3, ,9 2, ,37-1, ,41 1, ,52-0, ,16 1, ,45 2, ,23 F 3 = 0,7 * (1-0,7) * 120 = 122,8 F 4 = 0,7 * (1-0,7) * 122,8 = 122,24 65

66 Sprzedaż Y - F (SES) miesiące Y F 66

67 Modele adaptacyjne wyrównywania wykładniczego (ARRES) - dostosowywane do każdego z okresów F n = F n-1 + (Y n-1 - F n-1 ) - (TST n ) SAD n TST n = MAD n SAD n = (Y n - F n ) + (1 - ) SAD n-1 MAD n = IY n - F n I + (1 - ) MAD n-1 TST n - sygnał adaptacyjny w okresie n, który staje się parametrem w okresie n +1 (0;1) = 0,2 67

68 Przykład: M-c Y n = 0,2 TST n = F n Y n - F n SAD n MAD n , ,8 4 0, ,88 3,44 0, ,8 1, ,083 3,131 0, ,107 1, ,514 3,152 0, ,762 3, ,148 3,458 0, ,317 4, ,273 3,322 0, ,225 2, ,594 2,882 0, ,124-1, ,574 2,605 0, ,502 1, ,178 2,166 0, ,408-0, ,305 2,095 0, ,186 1, ,581 2,213 0, ,316 2, ,232 TST 1 = 0,2 F 2 = Y 1 SAD 1 =0 MAD1 = 4 wg 2-go okresu bo Y 2 - F 2 = = 4 F n = F n-1 + TST n-1 (Y n-1 - F n-1 ) 68

69 SAD 2 = (Y 2 - F 2 ) + (1 - ) SAD 1 = 0,2 * 4 + 0,8 * 0 = 0,8 MAD 2 = IY 2 - F 2 I + (1 - ) MAD 1 = 0,2 * 4 + 0,8 * 4 = 4 TST 2 = I0,8/4I = 0,2 F 3 = F 2 + TST 2 (Y 2 - F 2 ) = ,2 * 4 = 120,8 Y 3 - F 3 ) = ,8 = 1,2 SAD 3 = (Y 3 - F 3 ) + (1 - ) SAD 2 = 0,2 * 1,2 + 0,8 * 0,8 = 0,88 MAD 3 = IY 3 - F 2 I + (1 - ) MAD 2 = 0,2 * 1,2 + 0,8 * 4 = 3,44 TST 3 = I0,88/3,44I = 0,256 69

70 sprzedaż F 13 = F 12 + TST 12 (Y 12 - F 12 ) = 129, ,714 * 2,684 = 131, Y - F (adaptacyjne) miesiące Y F Przeciwskazanie: trend + wahania sezonowe 70

71 Porównanie metod adaptacyjnych (RMSE) SMA2 SMA4 WMA4 SES ARRES n Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^ ,00 16,00 4,00 16,00 3 0,00-0,80 0,64 1,20 1,44 4 0,00 0,76 0,58 1,89 3,58 5 2,50 6,25 2,75 7,56 2,40 5,76 2,23 4,97 3,24 10,48 6 4,00 16,00 4,50 20,25 4,30 18,49 3,67 13,47 4,68 21,93 7 2,50 6,25 4,50 20,25 3,50 12,25 2,10 4,41 2,78 7,70 8-1,50 2,25 0,75 0,56-0,30 0,09-1,37 1,88-1,12 1,26 9 1,00 1,00 1,75 3,06 1,40 1,96 1,59 2,53 1,50 2, ,00 0,00-0,25 0,06-0,30 0,09-0,52 0,27-0,41 0, ,50 2,25 1,75 3,06 1,80 3,24 1,84 3,39 1,81 3, ,00 9,00 3,50 12,25 3,10 9,61 2,55 6,50 2,68 7,20 S 43,00 67,06 51,49 54,63 75,31 S/n 5,38 8,38 6,44 4,97 6,85 Pierw. 2,32 2,90 2,54 2,23 2,62 MIN RMSE - SES - proste wyrównywanie wykładnicze 71

72 Modele podwójnych średnich ruchomych - przykład z trendem Okres Y MA3 Y - (MA3) F n Y - F n Trend MA

73 Błąd systematyczny przesunięcie szeregu o wartość trendu - 3 Błąd = 2 * trend eliminacja: podwójne średnie ruchome MA(M x W) M- okres drugiej średniej ruchomej - 3 W - okres pierwszej średniej ruchomej Okres Y MA3 2-3 MA(3x3) 3-5 F n = 3 + Y - F n 6 + trend

74 F 10 = MA(3) 9 + [MA(3) 9 - MA(3x3) 9 ] + trend F 10 = [ ] + 3 = 127 trend = 2/(W -1) (MA(W) n - MA(MxW) n ) trend = [2/(3-1)] * [(121) 9 - (118) 9 )] = 3 czyli różnica między pojedynczą a podwójną średnią ruchomą Algorytm: Oblicz: S' n = (Y n + Y n Y n- W+1)/W Oblicz: S'' n = (S' n + S' n S n- M+1)/M F n+m = a n + b n * m a n = S' n + (S' n - S'' n ) = 2 S' n - S'' n uśredniona wartość zmiennej b n = [2/(W-1)] (S' n - S'' n ) 74

75 uśredniona wartość trendu m - liczba okresów prognozy F 12+1 = F 13 = a 12 + b 12 * (1) a 12 = ( ) = 2 * =133 b 12 = [2/(3-1)] ( ) = 3 F 13 = * (1) = 136 F 14 = * (2) = 139 F 15 = * (3) = 142 Metoda podwójnych średnich ruchomych - trend; wahania przypadkowe- nie stosowana do wahań sezonowych Przykład rzeczywisty: szereg czasowy o dowolnych przyrostach oraz wyniki jego analiz 75

76 N Y SMA3 SMA(3x3) 2S' n - S" n S' n - S" n F n+1 = a n + b n Y - F n (Y - F n )^2 S' n S'' n m = 1 błąd a n ,3 33,78 40,88 3, , , ,34 3,67 44,43 0,57 0, ,7 41,22 50,12 4,45 48,01-0 0, ,78 51,22 3,22 54,57-3,6 12, ,7 48,11 53,23 2,56 54,44-1,4 2, ,3 50,33 54, ,79-2,8 7, ,3 52,11 54,55 1,22 56,33-2,3 5, ,7 53,78 57,56 1,89 55,77 4,23 17, ,3 55,78 60,88 2,55 59,45 1,55 2, ,3 59,44 69,22 4,89 63,43 8,57 73, ,7 63,44 71,9 4,23 74,11-4,1 16, ,7 67,89 75,45 3,78 76,13-3,1 9, ,78 75,22 2,22 79,23-3,2 10, ,3 73,67 78,99 2,66 77,44 2,56 6, ,3 76,55 84,11 3,78 81,65 3,35 11, ,22 87,78 3,78 87,89-0,9 0, ,3 83,89 90,77 3,44 91,56-1,6 2, ,3 86,89 91,77 2,44 94,21-3,2 10, ,3 89,33 93, ,21-1,2 1,46 25 Prognoza 95,33 240,99 12,68 RMSE 3,56 76 b n

77 wartość Y - F (podwójne średnie ruchome) okresy Y F 77

78 Podwójne wyrównywanie wykładnicze - model Browna - dla dwóch procedur wyrównywania różnice między pojedynczo S' n i podwójnie S'' n wygładzonymi wartościami zmiennej w celu estymacji trendu model Browna w postaci równań: S' n = Y n + (1 - )S' n-1 S" n = S' n + (1 - )S" n-1 a n = S' n + (S' n - S" n ) = 2 S' n - S" n b n = [/(1 - )] (S' n - S' n ) F n+m = a n + b n * m wartości początkowe S' 1 = S" 1 = Y 1 a 1 = Y 1 b 1 = [Y 2 - Y 1 ) + (Y 4 - Y 3 )]/2 S' 1 = S" 1 = Y 1 = 29 a 1 = Y 1 = 29 b 1 = [27-29) + (35-31)]/2 = 1 problem - wybór - metoda prób i błędów - min RMSE = 0,1 78

79 Przykładowe obliczenie - okres 2: S' 2 = Y 2 + (1 - )S' 1 = 0,1 * 27 + (1-0,1) * 29 = 28,8 S" 2 = S' 2 + (1 - )S" 1 = 0,1 * 28,8 + (1-0,1) * 29 = 28,98 a 2 = S' 2 + (S' 2 - S" 2 ) = 2 S' 2 - S" 2 = 2 * 28,8-28,98 = 28,62 b 2 = [/(1 - )] (S' n - S' n ) = 0,1/0,9 * (28,8-28,98) = -0,02 F 2 = a 1 + b 1 * 1 = = 30 Mając dane dla okresu 24 można określić prognozy dla okresów np. 25 oraz 26 F = a 24 + b 24 * 1 = 88,75 + 2,05 = 90,8 F 24+2 = a 24 + b 24 * 2 = 88, * 2,05 = 92,85 Tabele obliczeń opracowano z zastosowaniem funkcji elementarnych Excel-a. 79

80 a = 0,1 $C$154 Okres Y n S' n S'' n a n b n F n+m = a n + b n * m m = 1 Y - F n błąd (Y - F n )^ ,00 29,00 29,00 1, ,80 28,98 28,62-0,02 30,00-3,00 9, ,02 28,98 29,06 0,00 28,60 2,40 5, ,62 29,05 30,19 0,06 29,06 5,94 35, ,96 29,14 30,77 0,09 30,25 2,75 7, ,36 29,36 33,36 0,22 30,87 13,14 172, ,72 29,70 35,75 0,34 33,58 11,42 130, ,25 30,15 38,35 0,46 36,09 11,91 141, ,93 30,73 41,12 0,58 38,81 12,19 148, ,63 31,42 43,85 0,69 41,70 11,30 127, ,17 32,20 46,15 0,78 44,54 8,46 71, ,65 33,04 48,27 0,85 46,92 7,08 50, ,59 34,00 51,18 0,95 49,11 10,89 118, ,43 35,04 53,82 1,04 52,14 8,86 78, ,19 36,25 58,12 1,21 54,86 17,14 293, ,47 37,58 61,36 1,32 59,33 10,67 113, ,82 39,00 64,64 1,42 62,68 10,32 106, ,24 40,52 67,95 1,52 66,07 9,93 98, ,82 42,15 71,48 1,63 69,48 10,52 110, ,63 43,90 75,37 1,75 73,11 11,89 141, ,37 45,75 78,99 1,85 77,11 9,89 97, ,13 47,69 82,58 1,94 80,84 9,16 83, ,72 49,69 85,75 2,00 84,52 6,48 42, ,25 51,75 88,75 2,06 87,75 5,25 27,53 25 Prognoza 90, ,45 26 Prognoza 92,86 96,24 Zastosowane formuły: RMSE 9,81 28,80 =$C$154*C157+(1-$C$154)*D156 28,98 =$C$154*D157+(1-$C$154)*E156 28,62 =D157+(D157-ED157) -0,02 =($C$154/(1-$C$154))*(D157-E157) 30,00 =D156+G156 80

81 Wartość Y - F (a = 0,1) Okresy Y F RMSE - wysokie - należy dobrać - symulacja tabeli w Excelu (0,45 3,4328; 0,47 3,4500) 81

82 Wartość Symulacja parametru a a 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 RMSE 9,81 4,68 3,65 3,44 3,48 a 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 RMSE 3,4333 3,4312 3,4311 3,4328 ##### 3,4412 ##### 3,4600 3,4700 Y - F (a = 0,43) Okresy Y 82 F

83 Model Holta-Wintersa (bez sezonowości) Drugi parametr wygładzania - b - dla trendu - wygładzona jest wartość trendu z poprzedniego okresu w celu usunięcia błędów przypadkowych Model: S n = ay n + (1 - a)(s n-1 + b n-1 ) b n = b(s n - S n-1 ) + (1 - b) * b n-1 F n+m = S n + b n * m S 1 = Y 1 b 1 = [(Y 2 - Y 1 ) + (Y 4 - Y 3 )]/2 symulacja: a, b MIN RMSE 83

84 a = 0,3 b = 0,1 Okres Y n S n b n F n+m = a n + b n * m m Y - F n (Y - F n )^2 = 1 błąd ,00 1, ,10 0,91 30,00-3,00 9, ,31 0,94 30,01 0,99 0, ,37 1,05 31,25 3,75 14, ,30 1,04 33,42-0,42 0, ,24 1,33 34,34 9,66 93, ,50 1,52 38,57 6,43 41, ,81 1,70 42,02 5,98 35, ,16 1,87 45,51 5,49 30, ,22 1,99 49,03 3,97 15, ,44 2,01 52,20 0,80 0, ,32 2,00 54,45-0,45 0, ,42 2,11 56,31 3,69 13, ,97 2,15 59,53 1,47 2, ,08 2,45 62,12 9,88 97, ,27 2,52 67,53 2,47 6, ,45 2,59 70,79 2,21 4, ,63 2,65 74,04 1,96 3, ,09 2,73 77,28 2,72 7, ,07 2,85 80,82 4,18 17, ,55 2,92 84,93 2,07 4, ,93 2,96 88,47 1,53 2, ,62 2,93 91,89-0,89 0, ,09 2,89 94,56-1,56 2, ,98 404, ,87 17,59 RMSE 4,19 84

85 Wartość Przykładowo dla okresu 2.: S 2 = Y 2 + (1 - )(S 1 + b 1 ) = 0,3 * 27 + (1-0,3) * (29 +1) = 29,10 b 2 = (S 2 - S 1 ) + (1 - ) * b 1 = 0,1 * (29,1-29) + (1-0,1) * 1 = 0,91 F 2+1 = S 2 + b 2 * 1 = 29,10 + 0,91 = 30,01 Mając dane z okresu 24. F 24+1 = S 24 + b 24 * 1 = 94,09 + 2,89 = 96, Y - F (a = 0,3; b = 0,1) Okres Y F 85

86 Należy kolejno przeprowadzić symulację - dla optymalnego doboru parametrów i Model ma zastosowanie - prognozowanie szeregów zawierających trend i wahania przypadkowe. 86

87 Modele Holta-Wintersa z sezonowością Model dla sezonowości multiplikatywnej Y n+1 = (S n + b n ) * I n-l+1 + z n+1 I n-l+1 wyrównana wartość indeksu sezonowości na okres n + 1 z n+1 błąd w okresie n + 1 L długość cyklu sezonowości (12 dla danych miesięcznych, 4 dla kwartalnych) S n = (Y n /I n-l ) + (1 - )S n-1 + b n-1 ) b n = (S n - S n-1 ) +(1 - ) * b n-1 I n = * (Y n /S n ) + (1 - ) I n-l F n+m = (S n + b n * m) * I n-l+1 - parametr wyrównywania (gamma) m - horyzont prognozy 87

88 Wartość Przykład: Dane kwartalne popytu na lody 2000: : : : Y - popyt; linia trendu - sezonowość multiplikatywna :3 700 y = 23,19x + 66, : :3 03: :2 00:3 03: :2 02: :4 03:1 00:2 00:4 02:1 00:1 01: kwartały kolejnych lat Y - popyt Liniowy (Y - popyt) 88

89 wartości początkowe 7 obserwacji - ustalenie średniej wartości trendu Y 5 - Y 1 Y 6 - Y 2 Y 7 - Y : : /16 = 18,625 S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =( )/4 = 135 scentrowana na kwartale 2,5 korekta wartości trendu mnożnikiem przykładowo dla kolejnych kwartałów: Kwartał Trend (b n ) 1-1,5 * 18,625 = -27, ,5 * 18,625 = - 9, ,5 * 18,625 = 9, ,5 * 18,625 = 27,937 89

90 S n + b n dla 4-ch pierwszych kwartałów: Kwartał S n + b n ,937 = 107, ,312 = 125, ,312 = 144, ,937 = 162,937 indeksy sezonowości [Y n /(S n + b n )] Kwartał Y n S n + b n I n ,063 0, ,688 0, ,312 1, ,937 0,657 ustalenie S 4 i b 4 S 4 = Y 4 /I 4 = 107/0,657 = 162,861 b n = 18,625 przyjęcie np. = 0,2; = 0,2; = 0,1 90

91 Wartość A1 a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 N Kw. Y n S n b n S n + b n I n F n Y n - F n (Y n - F n )^ ###### 0, ###### 0, ###### 1, ,861 18,625 ###### 0,657 A ,105 16,949 ###### 0,513 94,917-21, , ,151 18,368 ###### 0, ,542 34, , ,104 19,685 ###### 1, ,822 58, , ,920 19,511 ###### 0, ,856-2,856 8, ,241 17,673 ###### 0, ,568-23, , ,934 20,277 ###### 1, ,876 64, , ,858 20,807 ###### 1, ,341 23, , ,978 19,669 ###### 0, ,653-18, , ,268 18,193 ###### 0, ,647-18, , ,512 20,403 ###### 1, ,576 55, , ,917 22,004 ###### 1, ,218 71, , ,743 22,168 ###### 0, ,320 2,680 7, Suma: 19214, ,249 RMSE 40,02 Algorytmy Excel-a: 173,105 =$C$1*(D7/H3)+(1-$C$1)*(E6+F6) 16,949 =$E$1*(E7-E6)+(1-$E$1)*F6 190,053 =E7+F7 0,513 =$G$1*(D7/E7)+(1-$G$1)*H3 184,542 =(E7+F7)*H4 Dalej można przeprowadzić symulacje dla optymalnego doboru parametrów a, b, g 800 Y - F (model Holta-Wintersa z sezonowością)

92 Obliczenia dla okresu 5.: S 5 = (Y 5 /I 5-L ) + (1 - )(S b 5-1 ) = 0,2 * 73/0, ,8 * 181,486 = 173,105 b 5 = (S 5 - S 5-1 ) +(1 - ) * b 5-1 = 0,2 * (173, ,861) + 0,8 * 18,625 = 16,949 I 5 = * (Y 5 /S 5 ) + (1 - ) I 5-L = 0,1 * (73/173,105) + 0,9 * 0,523 = 0,513 F 5+1 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (173, ,949) *0,971 = 184,542 Prognoza na kolejny rok bazując na okresie 16 (S 16, b 16, I 13, I 14, I 15, I 16 ) a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 N Kw. Y n S n b n S n + b n I n , , , ,743 22, ,912 0,652 92

93 Kwartał I F 16+1 = F 17 =(S 16 + b 16 ) * I 13 = (412, ,170) * 0,501 = 217,89 Kwartał II F 18 = (S 18 + b 18 ) * I 14 = (412, ,170) * 1,015 = 441,44 Kwartał III F 19 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (412, ,170) * 1,809 = 470,10 Kwartał IV F 20 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (412, ,170) * 0,652 = 427,20 Model Holta-Wintersa z sezonowością addytywną S n = (Y n - I n-l ) + (1 - )S n-1 + b n-1 ) b n = (S n - S n-1 ) + (1 - ) * b n-1 I n = * (Y n - S n ) + (1 - ) I n-l F n+m = (S n + b n * m) * I n-l+1 Budowa modelu, obliczenia oraz wykres analogicznie do modelu multiplikatywnego. 93

94 Wybór parametrów w modelach adaptacyjnych Zastosowanie pakietu WinQSB do zadań manualnych w celu automatycznego wykonywania: procesu obliczeń, wartości początkowych - średni poziom zmiennej, parametrów wygładzania wykładniczego - min. RMSE SES - proste wyrównywanie wykładnicze Procedura: WinQSB Forecasting File New ProblemTime Series Specification Problem Title (SES- proste wyr. wykl.) Time Unit (miesiąc) Number of Time Units (Periods) (12) OK. Historical Date... File Save Problem AS (SES.lpp) Solve an Analyze Perform Forecasting Single exponential smoothing (SES) Metod Parameters Search the best Search Criterion (MSE), Number of periods to forecast (1) Smoothing constat alpha Initial value F() if known MSE = Enter Search Domain Alpha Start (0) End (1 ) Steps (0.01) 94

95 Forecast Result for SES - proste wyr. wykl Actual Forecast by ForecasCFE MAD MSE MAPETracking R-sqaure Miesiac Data SES Error Signal ,000 4,000 4,000 4,000 16,000 #### 1,000 1, ,640-1,640 2,360 2,820 9,345 #### 0,837 1, ,148 0,852 3,212 2,164 6,472 #### 1,484 1, ,923 2,077 5,289 2,142 5,932 #### 2,469 1, ,813 3,187 8,476 2,351 6,777 #### 3,605 1, ,713 1,287 9,763 2,174 5,924 #### 4,491 1, ,884-1,884 7,879 2,132 5,585 #### 3,695 1, ,170 1,830 9,709 2,095 5,305 #### 4,635 1, ,835-0,835 8,874 1,955 4,793 #### 4,540 1, ,075 1,925 10,799 1,952 4,684 #### 5,533 1, ,827 2,173 12,972 1,972 4,688 #### 6,578 1, ,804 CFE 12,972 MAD 1,972 MSE 4,688 MAPE 1,554 Trk.Signal 6,578 R-sqaure 1,000 The best Alpha=0,91 F(0)=120 RMSE 2,165 2,23 dla a = 0,7 95

96 Model Holta-Wintersa z sezonowością multiplikatywną Dobór optymalnych wartości parametrów a, b, g ze skokiem co 0.01 bez podawania wartości początkowych Forecast Result for Holt-Winters-multi Actual Forecast by Forecast CFE MAD MSE MAPE (%) Tracking R-sqaure Miesiac Data HWM Error Signal ,245 22,756 22,756 22, ,814 31,172 1,000 1, ,558 38,443 61,198 30, ,820 24,363 2,000 0, ,490 12,510 73,708 24, ,383 17,192 3,000 1, ,611-24,611 49,097 24, ,467 16,838 1,997 1, ,352-15,352 33,745 22, ,712 16,262 1,484 0, ,088 15,912 49,657 21, ,127 14,358 2,299 0, ,940-10,940 38,717 20, ,922 12,584 1,929 1, ,285-0,285 38,432 17, ,817 11,029 2,184 1, ,359 15,641 54,073 17, ,241 10,939 3,111 1, ,573-21,573 32,499 17, ,658 10,375 1,826 1, ,578 28,422 60,921 18, ,035 9,774 3,246 0, ,212 11,788 72,710 18, ,613 9,322 3,998 0, ,221 RMSE 20,460 40,020 a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 S - n = 135 CFE 72,710 MAD 18,186 MSE 418,613 MAPE 9,322 Trk.Signal 3,998 R-sqaure 0,989 c=4 Alpha=0,34 Beta=1 Gamma=0,91 F(0)=135 T(0)=0 S(1)=0,3722 S(2)=1,0225 S(3)=1,9131 S(4)=0,

97 HWA w module FC programu WinQSB Forecast Result for Model addytywny Actual Forecast by Forecast MSE MAPE (%) Kwartal Data HW A Error ,60 23,40 547,56 17, ,20-11,20 336,54 10, ,13-18,13 333,95 9, ,04 9,96 275,24 8, ,64 14,36 261,43 8, ,90-6,90 225,80 7, ,09-13,09 218,02 7, ,30 10,70 205,07 7, ,95 23,05 241,34 8, ,73 20,27 258,30 8, ,54 0,46 234,84 7, ,57-5,57 217,85 6, ,24 11,76 211,74 6, ,34 14,66 211,96 6, ,82 25,18 240,09 6, ,33-27,33 271,78 6, ,69 MSE 271,78 MAPE 6,90 c=4 Alpha=1 Beta=0,06 Gamma=0 F(0)=198 T(0)=0 S(1)=-84,4 S(2)=45,4 S(3)=72,8 S(4)=-33,8 97

98 Klasyczny model autoregresji Modele autoregresji stosujemy, gdy występują trudności z zebraniem danych dotyczących zmiennych objaśniających. Służą do budowy prognoz krótkoterminowych. Zmiennymi objaśniającymi są opóźnione zmienne objaśniane. Stanowią alternatywę dla złożonych modeli o równaniach współzależnych. Postać klasycznego modelu autoregresji: Y t = f(y t-1, Y t-2, Y t-3,..., Y t-n, e t ) W modelu tym zmienną endogeniczną jest funkcja poprzednich wartości tej zmiennej oraz składnika losowego. Przykład: Wydatki na ochronę zdrowia w bln $. Zbudowanie modelu autoregresji dla zmiennej ZDROWIE. Dane z lat 1970 do 1989 podano poniżej. Dana za rok 1990 stanowi prognozę. 98

99 Dla potrzeb programu WinQSB dane podano z kropką dziesiętną. Rok t ZDROWIE ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-2) ZDROWIE(-3)

100 Dane od obserwacji 4-20 wprowadzono do WinQSB jako Obliczone współczynniki korelacji przez ten program: Zmienna Zmienna Korelacja ZDROWIE ZDROWIE(-1) 0,9994 ZDROWIE ZDROWIE(-2) 0,9978 ZDROWIE ZDROWIE(-3) 0,9959 ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-2) 0,9993 ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-3) 0,9975 ZDROWIE(-2) ZDROWIE(-3) 0,9992 Parametry liniowego modelu autoregresji (wg WinQSB) Zmienna Średnia Odch. st. Parametr a i Błąd D(a i ) t a i /D(a i ) ZDROWIE 307, ,0874 a 0 4,2496 2,4242 1,7530 ZDROWIE(-1) 277, ,4762 2,1612 0,2233 9,6770 ZDROWIE(-2) 249, ,0819-1,7735 0,4249-4,1733 ZDROWIE(-3) 225, ,7497 0,6534 0,2427 2,6921 S e = 3,6561 R 2 = 0,9996 R -2 = 0,9995 S e - odch. stand. reszt Wartość średnia = S(Y-Y^)/17 = - 0,

101 Analiza reszt (Y - Y^) dla modelu: ZDROWIE^ = 4, ,1617 ZDROWIE(-1) - 1,7735 ZDROWIE(-2) + 0,6534 ZDROWIE(-3) n Y Y^ Y - Y^ [(Y - Y^)/Y^] * 100 ZDROWIE ZDROWIE^ % 1 102,5 106,3927-3,8927-3, ,1 115,865 0,235 0, ,9 133,703-0,803-0, ,2 152,5579-0,3579-0, ,3626-1,3626-0, ,7 192,9053 0,7947 0, ,2 217,3012-0,1012-0, ,1 242,5445 7,5555 3, ,2 286,1528 4,0472 1, ,1 329,8277-3,7277-1, ,6 357,7988 0,8012 0, ,6 390,5752-0,9752-0, ,6 423,395-0,795-0, ,8 460,9756-6,1757-1, ,1 492,3002 1,7998 0, ,6954 4,3046 0, ,8 605,2076-2,4076-0,

102 Symulacja jako element pośredni między realizmem a idealizmem Model: zbiór obiektów abstrakcyjnych relacji pomiędzy obiektami homeomorfizm - analogiczne zachowania Badania symulacyjne wymagają odpowiednich metod budowy, weryfikacji, walidacji (ustalenia stopnia trafności) modelu. Sumulacja symulacja komputerowa Eksperymentowanie symulacja modele matematyczne Nowo zaprojektowany samochód jeżdżący po różnych nawierzchniach układy równań różniczkowych zachowania się zawieszenia Etapy budowy: grupowe budowanie modelu konceptualnego przygotowanie danych źródłowych wyodrębnienie elementarnych podsystemów budowa prostych modeli (z reguły nieliniowych) formułowanie "modelu całościowego" dla rozwiązania analitycznego, w którym wprowadza się uproszczenia. 102

103 Zalety: symulacja umożliwia przyspieszenie, spowolnienie czasu dla lepszego poznania zjawiska stosowanie wielu kryteriów jednocześnie, nawet w warunkach ekstremalnych budowa skomplikowanych modeli bez dużej wiedzy matematycznej - pakiet sam formułuje model matematyczny koszt budowy modelu symulacyjnego < koszt budowy obiektu Wady: wyniki badań zasadne do określonych warunków wielokrotność badań dla sformułowania wniosku; długi czas badań ograniczenia w znalezieniu rozwiązań optymalnych łatwość nadużywania (ocena modelu tylko po interfejsie) symulacja systemów społeczno-gospodarczych - metoda niejednorodna - stosowanie różnych technik matematycznych i informatycznych modelowania Przykłady zastosowania symulacji w podejściu branżowym: modelowanie symulacyjne w usprawnieniu obsługi klienta w banku: zdefiniowanie problemu 103

104 poszczególne etapy budowy modelu propozycja zmiany systemu obsługi klienta analiza zyskowności produktów ubezpieczeń majątkowych i osobowych analiza symulacyjna efektywności inwestycji długookresowej Przykłady podejścia hybrydowego (krzyżówkowego) do analizy symulacyjnej: zastosowanie symulacji i optymalizacji dla doboru struktury modelu planowanie eksperymentu w układzie symulacja - wspomaganie decyzji (poszukiwanie optymalnych wartości zmiennych decyzyjnych w modelu przedsiębiorstwa) Trudność w algorytmizacji systemów gospodarczych - odwzorowanie "czynnika ludzkiego" - możliwości poznawczych i emocji decydentów - zastosowanie gier symulacyjnych - obserwacja zachowań. Gra symulacyjna ze zwycięzcą: prowadzący (ilościowa i jakościowa analiza) uczestnicy 104

105 reguły zakodowane w grze Bankructwo wirtualnej firmy nie pozbawia pracy i majątku, ale wyzwala prawdziwe emocje: gniew, wstyd, radość, dumę, współczucie dla przegranych. konkluzja (uczestnik - może być nim student zarządzania) odczuwa potrzebę pogłębienia wiedzy np. z planowania produkcji oraz narzędzi które ten proces ułatwiają tworzy mini system społeczny (długotrwałe przebywanie w rzeczywistości alternatywnej - (wirtualny rynek, wirtualny zarząd) ma wpływ na funkcjonowanie uczestników w ich firmach. Przegląd modeli symulacyjnych przykładowo z zarządzania produkcją Gry symulacyjne kreują cechy menedżerskie - dają poczucie władzy, uczą odpowiedzialności W trakcie gry podejmuje się właściwe zdaniem użytkownika decyzje i ponosi konsekwencje tych decyzji. Ekonomiczne gry symulacyjne pozwalają eksperymentować na modelach wielu zmiennych decyzyjnych. Symulacja pomaga w rozpoznaniu i wykorzystaniu własnych zdolności i predyspozycji. Gry dotyczą głównie poziomu strategicznego, unika się eksperymentowania na żywych organizmach" firm. 105

106 Autor(zy) Churchil (1970) Nazwa modelu/gry Joblot Opis Działanie wydziału produkcyjnego dla zadanego rynku, konkurencji, procesu technologicznego Mize i in. (1971) PROSIM Gra niekonkurencyjna - koncentracja na minimalizacji kosztu. Przedmiotem produkcja wyrobów opisanych wg BOM, proces zakupu surowców, planowania i sprzedaży wyrobów. Wyniki w formie raportów z całego procesu produkcyjnego oraz rozliczeniowego kosztów. Goldratt i Cox (1984) OPT System produkcyjny. Jakość zarządzania produkcja oceniana na podstawie zysku. 106

107 Southern (1986) CAMP Praca fabryki - harmonogramowanie procesu produkcyjnego Biggs (1987) DECIDE-P/OM Niekonkurencyjna gra kierownicza. Wyniki mają postać rachunku wyników produkcji i rozliczeń finansowych Smith (1990) SIMAN-CINEMA Animacja przemieszczania się części i formowania kolejek w strukturze technologicznej i przedmiotowej produkcji. Henshaw i Jackson (1990) The Executive Game Gra dla menedżerów. Zmienne to wielkość produkcji, zakup materiałów, wydatki na badania Wiendahl i in. (1995) TRAIN-F Gra - dobór parametrów planowania i sterowania produkcją Garetti i Taisch (1995) FMS Design Game Gra do nauczenia projektowania elastycznych systemów produkcyjnych ESP Skrzypek i Szubra (1996) TEES-2 Symulacyjna gra decyzyjna zarządzania produkcją Basnet (1999) MRP-SIM Gra oparta na arkuszu kalkulacyjnym dla zrozumienia planowania i sterowania produkcją 107

108 TEES-2 Symulacja TEES-2 jest narzędziem do doskonalenia umiejętności w zakresie zarządzania firmą. Uczestnicy przygotowują: biznes plan realizację w warunkach zmieniającego się rynku i ostrej konkurencji. TESS-2 posiada moduł w zakresie zarządzania finansami i kontroli wyników na podstawie wskaźników finansowych. Gra opiera się na kompleksowej symulacji decyzyjnej w obszarze zarządzania przedsiębiorstwem. Każda z grup prowadzi fikcyjną firmę - oferującą jeden produkt i działającą na jednym rynku. Symulacja obejmuje od 12 do 20 kwartalnych okresów rozliczeniowych. Konkurencja jest bezpośrednia i ostra - wynik jednego zespołu wpływa bezpośrednio na wynik pozostałych. Po zakończeniu gry ranking poszczególnych zespołów - a wyniki gry ocenia się na podstawie parametrów finansowych - takich jak np. zysk, udział w rynku, wartość likwidacyjna firmy, wysokość wypłaconych dywidend. 108

109 Zarządzanie kapitałem - model uniwersalnego banku komercyjnego Uczestnicy gry działają w zespołach tworzących mini-zarządy banków komercyjnych. Zespoły konkurują ze sobą na rynkach finansowych przeprowadzające operacje finansowe: depozytowo-kredytowe, giełdowe, walutowe i inne. Zadaniem każdego zespołu jest najefektywniejsze prowadzenie instytucji finansowej w okresie 3-4 lat. Gra jest: - przewodnikiem po rynkach finansowych (rynek depozytowy, rynek kredytowy, rynek papierów wartościowych, rynek walutowy, rynek międzybankowy, rynek finansowy ochrony środowiska) i ich mechanizmach; - kształceniem umiejętności oceny zdolności kredytowej firmy i osoby fizycznej oraz oceny ryzyka - instrumentem rozwijania umiejętności współdziałania w grupie i zespołowego podejmowania decyzji. 109

110 Pytania na zaliczenie wykładów 1.Wymień metody, a w ramach nich modele stosowane w prognozowaniu. 2. Nazwij i objaśnij następujące miary błędów wygasłych prognoz: 110

111 111 *100 ˆ 1 1 ˆ 1 1 ˆ h s s n n n n h s s n n n h s s n n n Y Y Y h MAPE Y Y h MAE Y Y h RMSE

112 3. Podaj procedurę obliczania poniższego współczynnika Janusowego i jakie kryterium powinien spełniać, aby mógł być nadal stosowany do prognozowania: J 2 T 1 n T tn1 y t y tp 2 1 n y yˆ t t 2 112

113 4. Napisz wzór modelu regresji liniowej jednowymiarowej i przedstaw wzory na obliczanie parametrów a o i a 1 klasyczną metodą najmniejszych kwadratów? 5. Objaśnij elementy równania macierzowego do wyznaczania parametrów modelu liniowego wielowymiarowego: 113

114 114

115 9. Objaśnij sposób obliczania kryterium porównawczego Schwarza na podstawie wzoru: z 2 k N SCHW N ln ln n 115

116 9. Opisz prognozowanie bazujące na modelu prostego wyrównywania wykładniczego i objaśnij stosowany do niego wzór. 10. Podaj procedurę obliczania prognoz wygasłych i przyszłej na podstawie modelu ważonych średnich ruchomych czterookresowych na przykładzie poniższego szeregu czasowego: t y Opisz w jaki sposób dobrać najlepszą wartość parametru a przy minimum RMSE, bazując na danych z pytania 11 i dysponując arkuszem kalkulacyjnym Excel? 116

117 12. Objaśnij następujące równania modelu Browna: S n = a Y n + (1 - a) S n-1 S n = a Y n + (1 - a) S n-1 a n = S n + (S n S n ) b n = [a/(1 - a)] (S n S n ) F n+m = a n + b n m 117

118 Opisz podany model Holta-Wintersa bez sezonowości: m b S F b S S b b S Y S n n m n n n n n n n n n

119 14. Podaj różnicę między sezonowością multiplikatywną a addytywną. 15. Napisz model autoregresyjny trzeciego rzędu i objaśnij jego elementy 16. Wymień zalety edukacji komputerowej na ekonomicznej symulacyjnej grze edukacyjnej 119

120 Zaliczenie ćwiczeń 1.Na podstawie 10 obserwacji zmiennej objaśnianej Y oraz objaśniającej X 1 wyznacz parametry a 1 i a 2 modelu liniowego jednowymiarowego, a następnie oblicz prognozę na okres 11 jeżeli wartość obserwacji na okres 11 wynosiła

121 1 Y X 1 1 0,8 5,0 2 0,9 5,5 3 1,0 5,8 4 1,2 6,0 5 1,1 7,0 6 1,3 8,0 7 1,5 8,5 8 1,8 9,0 9 2,0 10,2 10 2,20 11,

122 Skorzystaj ze wzorów: y yx x a 1 1 ; a y a x x x Sprawdź z modelem uzyskanym funkcją REGLINP Excela: Ŷ 0, 34 0, 23* X

123 1. Na podstawie danych oblicz elementy równań normalnych do określenia parametrów a 0, a 1, a 2 modelu regresji liniowej dwuwymiarowej. 1 Y X 1 X 2 1 0,8 5,0 0,6 2 0,9 5,5 0,7 3 1,0 5,8 0,9 4 1,2 6,0 0,9 5 1,1 7,0 1,0 6 1,3 8,0 1,2 7 1,5 8,5 1,3 8 1,8 9,0 1,5 9 2,0 10,2 1,8 10 2,20 11,0 2,0 11 Skorzystaj ze wzorów: Y a X Y X 1 2 Y 0 n a a 0 a 0 1 X X X a a a 1 X 1 2 X X a X 2 2 X a 2 1 X X

124 3. Sprawdź współczynnikiem Janusowym aktualność podanego modelu trendu liniowego mając dane rzeczywiste z okresów prognozowanych 11,12, 13 podane w poniższej tabeli: Ŷ 47, 531, 98* t t Y Skorzystaj ze wzoru: J 2 1 T n 1 n T t n1 y t y t ŷ y t tp Określ prognozę F na okresy 11 stosując model prostego wyrównywania wykładniczego według wzoru: Ŷ n 1 Y n F 1 1 dla = 0,3 i poniższego szeregu czasowego 10 obserwacji zmiennej Y: t y

125 5. Dane jest 10 obserwacji zmiennej objaśnianej Y: 1 Y 1 0,8 2 0,9 3 1,0 4 1,2 5 1,1 6 1,3 7 1,5 8 1,8 9 2,0 10 2,2 Zbuduj model danych autoregresji drugiego rzędu: Ŷ a a Y 2 0 a1y 1 2 Mając uzyskane z funkcji REGLINP Excela równanie modelu postaci: 1 0, 40Y 2 Y 0, 01 0, 78Y oblicz prognozę na okres

126 Dziękuję za uwagę 126