XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011

Transkrypt

1 XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011 Etap III Klasa IV Z 24 patyczków jednakowej długości ułożono 9 małych kwadratów tworzących jeden duży kwadrat 3 3. Ile patyczków należy usunąć, aby otrzymać figurę złożoną z 8 małych kwadratów? A ile należy usunąć, żeby otrzymać 7 małych kwadratów? Na każdym z 7 pomidorowych krzaków rosło tyle samo pomidorów. Gdy Zosia zerwała z każdego krzaka po 6 dojrzałych czerwonych pomidorów, pozostało na wszystkich krzakach tyle zielonych, ile było początkowo pomidorów na 3 krzakach. Ile pomidorów rosło początkowo na każdym krzaku? Wpisz liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 w kratki diagramu tak, aby sumy liczb na liniach poziomych, pionowych i na obu przekątnych były równe. Dwaj koledzy Maciek i Wojtek urządzili sobie wyścig. Trasę wyścigu podzielono na 3 równe odcinki. Maciek i Wojtek wyruszyli na trasę wyścigu jednocześnie. Wojtek każdy odcinek trasy przebywał z tą samą prędkością. Maciek pokonał pierwszy odcinek z prędkością 2 razy większą niż Wojtek, drugi odcinek z tą samą prędkością co Wojtek, a trzeci z prędkością 2 razy mniejszą. Który z chłopców zwyciężył i jaka była jego przewaga na mecie? Klasa V W stadzie jest 8 owiec. Pierwsza owca zjada snopek siana w ciągu jednego dnia, druga w ciągu dwóch dni, trzecia w ciągu trzech dni, i tak dalej, ósma zjada snopek w ciągu ośmiu dni. Kto szybciej zje snopek siana: dwie pierwsze owce razem czy pozostałe owce razem?

2 Uzupełnij poniższy diagram liczbami tak, aby każda z widniejących już liczb była sumą liczb z nią sąsiadujących Jakie różne liczby naturalne a, b i c spełniają poniższy warunek? 19 (a + b) (b + c) (c + a) = 192 Z czterech typowych sześciennych kostek do gry budujemy prostopadłościan tak, żeby liczba oczek na jego podstawie górnej wynosiła 14. Jaka jest łączna liczba oczek na wszystkich ściankach bocznych zbudowanego prostopadłościanu? Odpowiedź uzasadnij. Klasa VI Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 układamy liczby pięciocyfrowe o niepowtarzających się cyfrach. Wykaż, że suma wszystkich ułożonych w ten sposób liczb jest podzielna przez 90. W wyścigu koni na Służewcu startuje pięciu zawodników: Pierwszy, Drugi, Trzeci, Czwarty oraz Piąty. Gdy zapytano znanych bywalców takich imprez, jaki będzie wynik wyścigu, otrzymano następujące odpowiedzi: Janek: Drugi na pewno wyprzedzi o dwa miejsca Trzeciego. Kasia: Drugi będzie trzeci. Marek: Czwarty będzie pierwszy. Marta: Drugi będzie drugi. Józek: Pierwszy o 3 miejsca wyprzedzi Trzeciego. Po zakończeniu wyścigu okazało się, że tylko jedna z osób miała rację. Która? Odpowiedź uzasadnij. W znanym kurorcie na Śląsku działał Teatr Rozmaitości, który wystawiał przedstawienie znanego autora. Ponieważ bilety na przedstawienie były bardzo drogie widownia ciągle świeciła pustkami. Gdy obniżono cenę biletów, liczba widzów zwiększyła się o 60 %, a wpływy ze sprzedaży biletów wzrosły o 40%. O ile procent obniżono cenę biletów? Kuba podzielił prostokąt ABCD, którego długość boku AD jest równa 64 cm, na różne kwadraty (rys.). Oblicz długość boku AB tego prostokąta.

3 D C A B Klasa I W pewnej klasie, liczącej 30 uczniów, ze sprawdzianu z matematyki uzyskano następujące oceny: 2, 3, 4, 5. Suma wszystkich 30 ocen wynosi 93. Trójek było więcej niż piątek i mniej niż czwórek. Liczba czwórek jest podzielna przez 10, a liczba piątek jest parzysta. Ile było poszczególnych ocen? Staszek zaprosił pięciu swoich najlepszych kolegów na przyjęcie urodzinowe. Podczas przyjęcia chłopcy siedzieli wokół okrągłego stołu. Na pytanie, w jakiej kolejności siedzieli, padły następujące odpowiedzi: Staszek: Kamil siedział z mojej prawej strony. Kamil: Jacek siedział po mojej prawej stronie. Jacek: Siedziałem po prawej stronie Staszka. Marcin: Kuba siedział po mojej lewej stronie. Kuba: Po mojej prawej stronie siedział Józek. Józek: Siedziałem po lewej stronie Marcina. Okazało się, że dwóch spośród chłopców kłamało. W jakiej kolejności siedzieli chłopcy na przyjęciu, licząc od Staszka w lewo? Utwórz z cyfr 1, 2, 4, 6, 7, 8 trzy liczby dwucyfrowe takie, że ich suma wynosi 109, a suma ich największych dzielników, mniejszych od utworzonych liczb, wynosi 50. Uwaga! Sformułowanie największych dzielników, mniejszych od utworzonych liczb, oznacza, że jako największy dzielnik np. liczby 30 przyjmujemy liczbę 15. Z 9 kwadratowych kartoników o bokach równych odpowiednio: 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 i 18 cm złóż prostokąt, używając wszystkich kartoników. Odpowiedź uzasadnij oraz przedstaw ją na rysunku. Klasa II

4 Na parkingu przy jednej z ulic w Bytomiu stało pięć samochodów różnych marek i kolorów. Właściciele i jednocześnie kierowcy tych pojazdów są w różnym wieku, mają różne zawody oraz pochodzą z różnych miast. Ekonomista jest z Sosnowca. Samochód informatyka stoi obok nissana. Fiat jest koloru czarnego. Niebieski pojazd należy do pana z Dąbrowy Górniczej. Mechanik ma 42 lata. Właściciel volkswagena pochodzi z Gliwic. Lekarz jeździ toyotą. Obok pojazdu, którego właściciel ma 53 lata, stoi czarny samochód. Do informatyka należy pierwszy pojazd z lewej strony. Aktor ma czerwony samochód. Bezpośrednio obok forda pana z Dąbrowy Górniczej na prawo stoi volkswagen. Zielony pojazd stoi obok pojazdu kierowcy, który ma 29 lat. Kierowca samochodu, który stoi w środku, pochodzi z Będzina. Właściciel srebrnego samochodu ma 31 lat. Wiadomo ponadto, że jeden z kierowców ma 37 lat oraz jeden z nich pochodzi z Katowic. Skąd pochodzą, czym jeżdżą, jakie mają zawody i ile lat kierowcy tych 5 samochodów? Wyznacz wszystkie liczby pierwsze a, b i c takie, że ich iloczyn jest równy jedenastokrotności ich sumy. Na lekcji matematyki uczniowie samodzielnie obliczali objętość prostopadłościanu, którego długości wszystkich jego krawędzi były liczbami całkowitymi centymetrów. Wśród rozwiązań pojawiły się trzy takie, gdzie uczniowie zastosowali wzór V = P p + H, gdzie P p oznacza pole podstawy prostopadłościanu i H jego wysokość. Żeby było ciekawiej, to w tych trzech wspomnianych wyżej rozwiązaniach uzyskano trzy różne wyniki, a mianowicie: 304, 416 i 169 cm 3. Jaka jest zatem prawdziwa objętość tego prostopadłościanu? Działka pana Antoniego ma kształt trapezu o bokach długości 2,1 km, 1,5 km, 613 m i 37 m. Ile hektarów ma ta działka, jeżeli wiadomo, że dwa najdłuższe boki są równoległe? Klasa III Ile liczb całkowitych jest rozwiązaniem poniższej nierówności? x(x 100) < 2011 Podczas tegorocznej zimy trzech gimnazjalistów: Andrzej, Bartek i Czesław wzięło udział w biegu narciarskim. Trasa biegu była podzielona na trzy równe części. Andrzej 3 2 trasy biegł równym tempem, potem osłabł i ostatni odcinek przebiegł w tempie o 5% wolniejszym. Bartek przebiegł pierwszy odcinek w czasie o 10% dłuższym niż Andrzej, na drugim zwiększył prędkość o 10%, a na ostatnim jeszcze bardziej przyspieszył, biegnąc w tempie o 5% większym niż drugi odcinek. Czesław biegł pierwszy odcinek z prędkością o 10% większą niż Andrzej, na drugim osłabł i osiągnął czas o 10% gorszy niż na pierwszym odcinku, a na trzecim jeszcze bardziej osłabł, biegnąc z prędkością o 12,5% mniejszą niż na drugim. Jaka była kolejność na mecie? Bok prostokąta ma długość 24 cm, a jego przekątna ma długość 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z tych trójkątów wpisano koło. Oblicz odległość między środkami tych kół.

5 Iloczyn dwóch różnych ułamków o licznikach i mianownikach dodatnich jest mniejszy od 4 3, a ich suma jest mniejsza od 3 4. Znajdź te ułamki, jeżeli wiadomo ponadto, że licznik każdego z nich jest o 1 mniejszy od mianownika. Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak