Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera do opracowania sesji pomiarów statycznych GPS

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LIX, NR 2, 2010 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera do opracowania sesji poiarów statycznych GPS ROMAN KADAJ Politechnika Rzeszowska, Katedra Geodezji i. K. Weigla, Rzeszów, ul. W. Pola 2 Streszczenie. Praca przedstawia nowe algoryty dla względnego pozycjonowania GPS, oparte na zbiorach różnic fazowych typu Schreibera. Tradycyjne procedury, stosujące podwójne lub potrójne różnicowanie faz i ścisłe odele stochastyczne w estyacji najniejszych kwadratów, wyagają wyznaczenia odwrotności (inwersji) niediagonalnej i zazwyczaj znacznych roziarów acierzy kowariancyjnej. Finalny produkte inwersji jest pełna (niediagonalna) acierz wagowa. Koszt kopletnego rozwiązania staje się bardzo znaczący w przypadku wielopunktowych sesji GPS i przy stosowaniu potrójnego różnicowania faz. Forułując zbiór różnic typu Schreibera, otrzyujey estyację najniejszych kwadratów z diagonalną acierzą wagową. Estyatory są identyczne z zadanie oryginalny. Użyteczne cechy algorytów są teoretycznie dowiedzione. Algoryty zostały zaipleentowane w profesjonalnych prograach dla GPS,.in. w odule autoatycznego post-processingu (APPS) w systeie stacji referencyjnych ASG-EUPOS w Polsce. Słowa kluczowe: względne pozycjonowanie GPS, post-processing, podwójne różnice faz, potrójne różnice faz, diagonalna acierz wagowa, zbiór różnic typu Schreibera, wielopunktowa sesja GPS, wielobazowa sesja GPS, autoatyczny post-processing, ASG-EUPOS Sybole UKD: Wprowadzenie W etodologii względnego pozycjonowania w oparciu o obserwacje fazowe GPS, nieal jako priorytetowe przyjuje się rozwiązanie nueryczne oparte na podwójny różnicowaniu faz. Jak wiadoo, wiąże się to z koniecznością identyfikacji, obok składowych wektora GPS, dodatkowych niewiadoych w postaci pewnych liniowych funkcji nieoznaczoności (ang. abiguities) całkowitych

2 86 R. Kadaj wielokrotności długości fali eitowanego sygnału. Trzeba podkreślić, że skuteczność tej standardowej etody względnego pozycjonowania zależy w dużej ierze od saego algorytu identyfikacji nieoznaczoności, stanowiącego w pewny sensie niezależny od podstawowej etody najniejszych kwadratów jako zasady estyacji, eleent procesu obliczeniowego (ang. post-processing). Poio bogatego już dorobku naukowego i aplikacyjnego w zakresie etod i algorytów identyfikacji nieoznaczoności, praktyka dostarcza przykładów (np. Rzepecka, 2004), w których taka identyfikacja jest co najniej niedostatecznie jednoznaczna ( rozyta ). Dotyczy to różnych sytuacji ekstrealnych wynikających przykładowo z krótkich sesji obserwacyjnych i długich wektorów lub niekorzystnej konstelacji satelitów czy też relatywnie dużej liczby defektów obserwacyjnych, jak np. utraconych cykli fazowych (ang. cycle slips) lub przerwanych rejestracji faz. Skutkie nueryczny jest obniżenie tzw. wskaźnika uwarunkowania układu obserwacyjnego i zwiększenie błędów standardowych szukanych nieoznaczoności. Metoda alternatywna, wykorzystująca potrójne różnice faz, jawi się jako szczególnie atrakcyjna, gdyż w sposób naturalny (w odelu funkcjonalny) eliinuje niewiadoe nieoznaczoności i związane z ty ryzyko ich błędnej identyfikacji. Niestety, z powodu skoplikowanych odeli stochastycznych i stosowanych w ty zakresie koniecznych uproszczeń, etoda jest używana i zalecana głównie do znalezienia dobrego rozwiązania początkowego (przybliżonego). Koplikacja odelu stochastycznego polega na ty, że acierz kowariancyjna dla typowego odelu funkcjonalnego układu potrójnych różnic jest acierzą pełną (niediagonalną) o znacznych roziarach (stopień zależny od liczby epok), a ścisłe zastosowanie etody najniejszych kwadratów wyaga odwracania tej acierzy (czyli wyznaczenia odpowiadającej, niediagonalnej acierzy wagowej). Eliinacja nieoznaczoności, poio określonych korzyści praktycznych, a też swoją stronę negatywną, ponieważ pozbawia układ obserwacyjny ważnej topologicznie inforacji o całkowitoliczbowej naturze tych wielkości, a ty say redukuje z układu dodatkowe warunki na niewiadoe. Efekt ten rekopensuje się statystycznie przez wzrost liczby obserwacji (dla sesji długich). Potrójne różnicowanie faz poiędzy kolejnyi epokai sesji obserwacyjnej służy także do czyszczenia zbioru obserwacyjnego z różnego rodzaju defektów, jak np. utraconych cykli fazowych (ang. cycle slips), przerwanych rejestracji, błędów grubych spowodowanych innyi, niewiadoyi czynnikai. Powyższe stwierdzenia jako pewne dyrektywy ożna znaleźć np. w książkach: Hofann-Wellenhof i in. (2001), Xu (2007), Leick (2004). Tradycyjne ( książkowe ) odele funkcjonalne potrójnych różnic faz stają się jeszcze bardziej skoplikowane dla wielopunktowych (wielowektorowych) sesji obserwacyjnych (ang. ulti-baseline session). Zadanie rozwiązuje się więc zwykle przy różnego rodzaju uproszczeniach, np. poijaniu eleentów niediagonalnych acierzy kowariancyjnej. Proble skorelowania pseudoobserwacji, jakii są różnice bezpośrednich, dyskretnych obserwacji fazowych, także z uwzględnie-

3 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera nie wielopunktowych sesji obserwacyjnych, jest podejowany.in. w pracach: Askenazi a. Yau (1986), Beutler, Gurtner i in. (1986), Beutler, Bauersia i in. (1987), Eren (1987). Można powiedzieć, że skorelowanie jest pewny koszte stosowania różnic oryginalnych obserwacji fazowych, ale różnicowanie spełnia z drugiej strony znaną skądinąd w geodezji funkcję eliinowania pewnych błędów systeatycznych, a w oawiany przypadku także zbędnych dla finalnego celu niewiadoych (ang. nuisance paraeters), jakii są w naszy przypadku: przesunięcia czasu zegarów (satelitów i odbiorników), nieoznaczoności cykli fazowych. W związku z problee skorelowania proponuje się także powrót do oryginalnego układu obserwacji nieróżnicowych, natoiast zbędne niewiadoe eliinuje się drogą algebraiczną tak, by powstały układ zachowywał niezieniony w stosunku do oryginalnego wektor obserwacji i niezienioną diagonalną acierz wagową. Probleatyka zastosowania nieróżnicowych obserwacji GPS jest treścią wielu publikacji,.in.: Lindlohr, Wells (1985), Xu (2007). W niniejszej pracy wykażey, że również dla obserwacji różnicowych proble skorelowania oże być rozwiązany tak, że przy zachowaniu pełnej ścisłości odelu stochastycznego (bez uproszczeń) będziey bazować na diagonalnej acierzy wagowej tych obserwacji. W szczególności oże dotyczyć to układu potrójnych różnic faz i wielopunktowych sesji obserwacyjnych. Istota etody polega na utworzeniu zbioru różnic we wszystkich kobinacjach par obserwacji oryginalnych. Sięgając do klasyki geodezji, ożna powiedzieć, że zbiór taki jest analogią układu kątów ierzonych na stacji obserwacyjnej poiędzy wszystkii parai kierunków (etoda Schreibera: Schreiber, 1878). Zastosowana w tej pracy konstrukcja odelu funkcjonalnego będzie się więc kojarzyć z tworzenie układu obserwacji różnicowych typu Schreibera. Najważniejsza własność takiego układu polega na ty, że jego wyrównanie etodą najniejszych kwadratów sprowadza się do zastosowania pewnej ściśle diagonalnej acierzy wagowej. Powyższe stwierdzenie oże wydawać się paradoksalne, wobec oczywistego skorelowania pojedynczych par obserwacji różnicowych, ale już we wstępny oglądzie probleu ożna zauważyć, że układ Schreibera tworzy równania wzajenie zależne z osobliwą acierzą kowariancyjną, czyli nieposiadającą zwykłej odwrotności. Rozwiązanie takiego układu, przy założeniu równoważności z układe pierwotny (nieróżnicowy), prowadzi jednak ściśle do diagonalnej acierzy wagowej, o czy orzeka podstawowe twierdzenie sforułowane i dowiedzione w p. 2.2 niniejszej pracy. W pierwotnej wersji twierdzenie było przedstawione w referacie Kadaj (2006). Idea etody, oparta na układzie typu Schreibera potrójnych różnic fazowych, jest podstawą aplikacji w algorytach post-processingu GPS Kadaj (2007), a w szczególności tzw. post-processingu autoatycznego w odule systeu ASG- EUPOS Kadaj i Świętoń (2008).

4 88 R. Kadaj 2. Twierdzenia o własności układu obserwacji różnicowych typu Schreibera 2.1. Założenia pierwotne Obserwacje różnicowe tworzy się zwykle w celu wyeliinowania pewnych nieistotnych, z punktu widzenia zastosowania, niewiadoych układu obserwacyjnego lub w analogiczny sensie pewnych błędów systeatycznych. Przykłade klasyczny oże być eliinowanie stałej orientacji pęku kierunków na stacji obserwacyjnej, poprzez obliczanie iar kątów jako różnic obserwacji kierunkowych. W algorytach post-processingu GPS, podwójne różnicowanie faz eliinuje niewiadoe offsety zegarowe satelitów i odbiorników, zaś różnicowanie potrójne niewiadoe liniowe kobinacje nieoznaczoności. Wśród dowolnych układów różnic obserwacji wyróżniy układ zupełny, typu Schreibera, obejujący wszystkie kobinacje par obserwacji, dowodząc sygnalizowanych już własności. Załóży najpierw, że oryginalny (przed różnicowanie) układ obserwacyjny lub w ogólności tylko pewna część większego (zintegrowanego) układu obserwacyjnego a postać: L + ε = A X + J y = A X, (1) A = [ A, J ]; X = [ X T, y ] T, gdzie: L = [L i ] wektor obserwacji o liczbie składowych; X = [X j ] niewiadoy wektor paraetrów o liczbie n składowych; y niewiadoa wielkość skalarna (np. błąd systeatyczny); A = [A ij ] acierz współczynników o roziarze ( n); J koluna jedynek: [1, 1,, 1] T ; ε = [ε i ] wektor błędów obserwacji z następujący odele stochastyczny a priori: E{ε} = 0 (zerowa wartość oczekiwana); C = E{ε ε T 2 } = diag[σ i ] (diagonalna acierz kowariancyjna); σ i odchylenie standardowe (i = 1, 2,, ). Jeśli do układu (1) zastosujey nieobciążoną estyację najniejszych kwadratów, wówczas otrzyay następujący układ równań noralnych (suowany ewentualnie z układe równań noralnych pozostałej części szerszego/zintegrowanego systeu obserwacyjnego): A T P A X^ + A T P J y^ = A T P L,

5 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera J T P A X^ + y^ = J T P L, (2) P = C 1 (acierz wagowa), gdzie X^, y^ oznaczają odpowiednie estyatory niewiadoych X, y. Równolegle z (2) otrzyujey następujące zależności kontrolne: A T P V = 0 oraz J T P V = p i v i = 0, (3) gdzie V = [v i ] (wektor poprawek) oznacza także estyator e^ wektora błędów e; p i wagi obserwacji, które w świetle przyjętych już oznaczeń są wyrażone wzore: p i = 1/σ i 2. Tworzyy następnie układ równań różnicowych typu Schreibera: L i L j + v i v j = n [(A ik A jk ) x k^] (4) k 1 dla i < j oraz i, j = 1, 2,, (rys. 1) lub w odpowiadającej postaci acierzowej: δl + δv = a X^, (4a) gdzie: δl = [δl ij ] = [L i L j ] (u 1) ; δv = [δv ij ] = [v i v j ] (u 1) ; Rys. 1. Syboliczny plan różnic w układzie Schreibera u = ( 1)/2 liczba różnic w układzie Schreibera; a = [(A ik A jk )] (u n) acierz współczynników. Sforułujey teraz kilka twierdzeń opisujących własności układu różnicowego tego typu, a następnie przeprowadziy ich dowody.

6 90 R. Kadaj Niech φ (X^; y^) = V T P V; V = A X^ + J y^ L, (5) znaczy wartość funkcji celu najniejszych kwadratów dla oryginalnego zadania (2), (3) i estyatorów X^, y^ niewiadoych X, y Twierdzenie (A) o równoważności układu różnic Schreibera z układe oryginalny (nieróżnicowy) w warunkach użycia etody najniejszych kwadratów z diagonalną acierzą wagową Teza A1: Istnieje acierz diagonalna W taka, że funkcja spełnia równość: ψ (X) = δv T W δv; δv = a X δl (6) φ (X^; y^) = ψ (X^). (7) Teza A2: Macierz diagonalna W spełniająca tezę A1 jest wyrażona następująco: W = diag [w k ] (u u) acierz diagonalna (8) w k = p i p j c 1 ; c = p i, (8a) gdzie: p i waga oryginalnej obserwacji, k wskaźnik kolejnych eleentów zbioru par wskaźników (i, j) tworzących układ różnicowy Schreibera: Dla kolejnych par (i, j): k = (2 i 2) (i 1)/2 + j i, i = 1, 2,, 1; j = i + 1, i + 2,,. (1, 2), (1, 3),..., (1, ), (2, 3),..., (2, ), , ( 1, ) (8b) wskaźnik k przyjuje wartości: 1, 2, 3,..., 1,, + 1,..., 2 3, , 3 5, u = ( 1)/2.

7 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Teza A3: Estyata X^ jest również punkte ekstrealny funkcji celu zawierającej koponent ψ (X). Dowód twierdzenia Dla dowodu tez A1, A2 zaieniy najpierw równość (7) na postać skalarną z uwzględnienie wag (8a). Sprowadza się to do wykazania, że: c 1-1 (v i v j ) 2 p i p j = v 2 i p i, gdzie c = p i. (9) i 1 j i 1 Uwzględniając oczywiste zależności: (v i v i ) 2 p i 2 = 0 (zerowa różnica tych saych obserwacji), (v i v j ) 2 p i p j = (v j v i ) 2 p j p i (syetria), v i p i = 0 (z warunku iniu najniejszych kwadratów wzór (3)), przekształcay lewą stronę równości (9), dochodząc w efekcie do wykazania tez A1, A2: c 1-1 (v i v j ) 2 p i p j = (1/2) c 1 (v i v j ) 2 p i p j = j i 1 = (1/2) c 1 ( j 1 j 1 v 2 i p i p j + v 2 j p i p j 2 v i v j p i p j ) = j 1 j 1 = (1/2) c 1 ( v 2 i p i p j + v 2 j p j p i 2 v i p i v j p j ) = j 1 j 1 = (1/2) c 1 (2 v 2 i p i c 2 v i p i v j p j ) = = v 2 i p i c 1 ( v i p i ) 2 = v 2 i p i c 1 0 = v 2 i p i. (10) Wykażey teraz końcową tezę A3 orzekającą, że X^ jako wynik rozwiązania oryginalnego jest również rozwiązanie ekstrealny dla układu równań różnicowych typu Schreibera. Dla dowodu wystarczy wykazać, że jest spełnione odpowiadające równanie noralne a T W (a X^ δl) = a T W δv = 0 (ze względu na liniowość układu obserwacyjnego co najwyżej tylko jeden punkt stacjonarny). Wybieray zate dowolne k-te równanie, zapisane w postaci skalarnej N k = 0, rozwijając jego lewą stronę. Uwzględniając dodatkowo oczywiste zależności: (A ik A ik ) p i p i (v i v i ) = 0 j 1 j 1

8 92 R. Kadaj oraz (A ik A jk ) p i p j (v i v j ) = (A jk A ik ) p j p i (v j v i ) (syetria), otrzyay: c N k = (½) = (½) = (½) j 1 (A ik A jk ) p i p j (v i v j ) = j 1 A ik p i p j (v i v j ) (½) A jk p j p i (v i v j ) = j 1 j 1 A ik p i p j (v i v j ) + (½) A jk p j p i (v j v i ) = j 1 A ik p i p j (v i v j ) = A ik p i p j v i A ik p i p j v j = = j 1 j 1 = A ik p i v i p j A ik p i p j v j = j 1 j 1 = A ik p i v i c A ik p i 0. (11) j 1 Zate N k = A ik p i v i = 0, ponieważ A T P V = 0, więc ostatecznie usi być też a T W δv = Twierdzenie (B) o własnościach i forułach acierzy kowariancyjnych dla wektora różnic Schreibera i wektora niewiadoych Niech acierz kowariancyjna układu różnic obserwacji typu Schreibera a ogólną postać C δl = [C g, h ] (u u), (12) gdzie wskaźniki g, h = 1, 2,, u są przyporządkowane paro wskaźników (i1, j1), (i2, j2) w planie różnic Schreibera, według wzoru (8a): g = (2 i1 2) (i1 1)/2 + j1 i1 dla i1 = 1, 2,, 1; j1 = i1 + 1, i1 + 2,,, h = (2 i2 2) (i2 1)/2 + j2 i2 dla i2 = 1, 2,, 1; j2 = i2 + 1, i2 + 2,,.

9 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Teza B1: Eleenty acierzy C δl wyrażają się wzore: C gh = p 1 i1 + p 1 j1 = p 1 1 i2 + p j2 jeśli (i1 = i2) ^ (j1 = j2) (inaczej: g = h) p 1 1 i1 = p i2 jeśli (i1 = i2) ^ (j1 j2) p 1 1 j1 = p j2 jeśli (i1 i2) ^ (j1 = j2) p 1 1 i1 = p j2 jeśli (i1 = j2) ^ (j1 i2) 1 1 p j1 = p i2 jeśli (i1 j2) ^ (j1 = i2) 0 w pozostałych przypadkach. (13) Teza B2: Jeśli układ równań różnicowych (4), (4a) a rozwiązanie najniejszych kwadratów: X^ = (a T W a ) 1 a T W δl (14) (zadanie oże być łatwo uogólnione w sytuacji, gdy równania (5) wyrażają tylko pewien podzbiór szerszego układu obserwacyjnego), to teoretyczna acierz kowariancyjna takiego rozwiązania C X (acierz kofaktorów) spełnia zależność: C X = (a T W a ) 1 a T W C δl W a (a T W a ) 1 = (a T W a ) 1. (15) Oznacza to, że aby wyznaczyć acierz kowariancyjną niewiadoych, wystarczy wykorzystać tę saą diagonalną acierz wagową W, którą zastosowano w funkcji celu najniejszych kwadratów twierdzenie A. Inaczej ówiąc, w żadny przypadku nie trzeba poszukiwać odwrotności (pseudoodwrotności) niediagonalnej acierzy kowariancyjnej C δl. Nawiase ówiąc, acierz C δl jest osobliwa, ponieważ u ( 1) równań różnicowych w układzie Schreibera są liniowyi kobinacjai pierwszych 1 równań. Fakt liniowej zależności równań wykorzystuje się do dowodu, że a T W C δl W a = a T W a, a ty say do dowodu równości (15). Dowód twierdzenia Oznaczy e = [(ε i ε j )] [u 1] wektor błędów odpowiadający wektorowi różnic obserwacji δl. Macierz kowariancyjna C δl = E{e e T } w świetle przyjętych już definicji i oznaczeń a eleenty określone następująco: C (p, q) = E{ (ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )} = E{ε i1 ε i2 ε i1 ε j2 ε j1 ε i2 + ε j1 ε j2 }. (16)

10 94 R. Kadaj Uwzględniając, że: E{ε i 2 } = µ i 2 = p i -1 oraz jeśli i j: E{ε i ε j } = 0, otrzyay eleenty określone zgodnie z tezą B1. Oznaczy poocniczo: F = a T W C δl W a i B = a T W a. Dowodziy, że F = B. Korzystając z ogólnej definicji acierzy kowariancyjnej C δl, przekształciy acierz F do postaci F = E {a T d d T a} = E {z z T }, gdzie d = W e oraz z = a T d są odpowiednio do oznaczenia wektorai losowyi. Biorąc następnie eleenty acierzy wagowej W oraz eleenty acierzy współczynników a, wyraziy wektory d, s w postaci: d = [d k ] (u 1), d k = c 1 p i p j (ε i ε j ), k = (2 i 2) (i 1)/2 + j i, (17) z = [z r ] (n 1), z r = c 1 p i p j (A ir A jr ) (ε i ε j ), (18) i, j c = p i, n liczba niewiadoych, liczba obserwacji przed różnicowanie, u liczba różnic obserwacji w układzie Schreibera. Oznaczy F = [F gh ] (n n), B = [B gh ] (n n). Eleent F gh acierzy F będzie określony następująco: F gh = c 2 E{[ p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (ε i1 ε j1 )] [ p i2 p j2 (A i2, h A j2, h ) i1, j1 i2, j2 (ε i2 ε j2 )]} = c 2 p i1 p j1 p i2 p j2 (A i1, g A j1, g ) (A i2, h A j2, h ) i1, j1 i2, j2 E{(ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )}. (19) Na podstawie tezy B1 wartości oczekiwane E{( ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )} równają się odpowiedni wartościo p 1 i1 + p 1 j1, p 1 i1, p 1 j1, p 1 i1, p 1 j1 albo zero, dla różnych relacji par wskaźników (i1, j1), (i2, j2). Po redukcjach wyrazów podobnych, wiedząc, że zachodzą liniowe zależności: (A i1, g A j1, g ) = (A 1, g A j1, g ) (A 1, g A i1, g ); (A i2, h A j2, h ) = (A 1, h A j2, h ) (A 1, h A i2, h ) wykazujey, że F gh jest identyczne z odpowiadający eleente B gh : F gh = c 2 c p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (A i1, h A j1, h ) = i 1, j 1 = c 1 p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (A i1, h A j1, h ) = B gh. i1, j1 (19a)

11 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Przykład Zilustrujey twierdzenie dla = 3 obserwacji przed różnicowanie i n = 2 niewiadoych: F gh = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] [ p l p 2 p 1 p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) (1/p 1 + 1/p 2 ) + + p l p 3 p 1 p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) (1/p 1 + 1/p 3 ) + p 2 p 3 p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h ) (1/p 2 + 1/p 3 ) p l p 2 p 1 p 3 (A 1g A 2g ) (A 1h A 3h ) (1/p 1 ) + p l p 2 p 2 p 3 (A 1g A 2g ) (A 2h A 3h ) ( 1/p 2 ) + p l p 3 p 1 p 2 (A 1g A 3g ) (A 1h A 2h ) (1/p 1 ) + p l p 3 p 2 p 3 (A 1g A 3g ) (A 2h A 3h ) (1/p 3 ) + p 2 p 3 p 1 p 2 (A 2g A 3g ) (A 1h A 2h ) ( 1/p 2 ) + p 2 p 3 p 1 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 3h ) (1/p 3 ) ] = = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) (p 1 + p 2 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) (p 1 + p 3 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h ) (p 2 + p 3 ) + p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 3h ) (p 3 ) + p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 2h A 3h ) ( p 3 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 2h ) (p 2 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 2h A 3h ) (p 2 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 2h ) ( p 1 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 3h ) (p 1 )] = = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] (p l + p 2 + p 3 ) [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h )] = = [1/(p l + p 2 + p 3 )] [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) + p l p 3 (a 1g a 3g ) (A 1h A 3h ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h )] = B gh. (19b)

12 96 R. Kadaj 3. Post-processing GPS przy wykorzystaniu układu różnicowego typu Schreibera 3.1. Definicje pojedynczych, podwójnych i potrójnych różnic fazowych Pojedyncze i podwójne różnice obserwacji fazowych są definiowane dla danej epoki obserwacyjnej, identyfikowanej oente czasu t k (rys. 2), natoiast różnice potrójne wynikają z pary różnic podwójnych dla różnych epok obserwacyjnych. W kwestiach szczegółowych ożna polecić bogatą już literaturę przediotu,.in.: Hofann-Wellenhof et al. (2001), Leick (2004), Xu (2007). Tutaj ograniczyy się tylko do koniecznych dla teatu publikacji definicji i oznaczeń. Różnica pojedyncza dwóch obserwacji fazowych oże być definiowana dwojako, albo dla pary satelitów i pojedynczego odbiornika, albo dla pary odbiorników i pojedynczego satelity. Pierwsza eliinuje błąd (offset) zegara odbiornika, druga błąd zegara satelity. Z punktu widzenia tworzenia różnic wyższych rzędów definicja różnicy pojedynczej jest obojętna, gdyż a ten sa skutek. Wybierając w naszy przypadku (ze względu na zastosowanie scheatu Schreibera dla kobinacji par odbiorników stacji nazienych) drugą definicję, otrzyay różnice pojedyncze jako: ΔΦ pq i (t k ) = Φ p i (t k ) Φ q i (t k ), (20) gdzie i oznacza uowny wskaźnik (indeks) satelity; p, q uowne wskaźniki (indeksy) pary odbiorników. Różnice podwójne zdefiniowane są już przez parę satelitów i parę odbiorników (stacji nazienych): ΔΔΦ p,q i, j (t k ) = ΔΦ p,q i (t k ) ΔΦ p,q j (t k ). (21) Różnice potrójne faz otrzyay natoiast, odejując różnice podwójne dla dwóch różnych oentów czasu (epok) t k1, t k2, ale dla tej saej pary satelitów i odbiorników: ΔΔΔΦ p,q i, j (t k1, t k2 ) = ΔΔΦ p,qi,j (t k1 ) ΔΔΦ p,qi,j (t k2 ). (22) Powyższe definicje różnic fazowych różnych rzędów dotyczą jednego rodzaju eitowanej częstotliwości nośnej ( L1 lub L2). Po zastosowaniu tzw. ionosphere free kobinacji L1/L2 (częstotliwość wypadkowa (L3) eliinuje wpływ refrakcji jonosferycznej) różnice fazowe są wyznaczane jako liniowe kobinacje odpowiednich różnic faz Φ1, Φ2:

13 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera ΔΦ.. = ΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΦ2.. (23) ΔΔΦ.. = ΔΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΔΦ2.. (24) ΔΔΔΦ.. = ΔΔΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΔΔΦ2.. (25) gdzie λ 1, λ 2 długości fal odpowiednich sygnałów L1, L2. Rys. 2. Ilustracja obserwacji fazowych GPS Należy stwierdzić, że różnicowanie faz określone wzorai (20)-(22) służy przede wszystki eliinacji istotnych czynników systeatycznych charakteryzujących naturę sygnałów fazowych GPS: różnice pojedyncze (według przyjętej definicji) eliinują błędy (przesunięcia czasu) zegara satelity w stosunku do czasu GPS, różnice podwójne eliinują dodatkowo błędy zegarowe odbiorników, natoiast różnice potrójne niewiadoe funkcje liniowe całkowitych nieoznaczoności sygnałów fazowych. Poio pewnej atrakcyjności tej ostatniej cechy, różnice potrójne nie są zasadniczo używane w dokładnych (finalnych) algorytach względnego pozycjonowania GPS. Powody, głównie nueryczne, związane ze skorelowanie pseudoobserwacji, podano już we wstępie tej pracy. Podręczniki i publikacje teoretyczne z tego zakresu skupiają się głównie na optyalizacji algorytów względnego pozycjonowania opartych na podwójny różnicowaniu obserwacji fazowych i związanych z ty probleach identyfikacji całkowitych nieoznaczoności, natoiast jak już wsponiano różnice potrójne są używane głównie do czyszczenia (filtracji) obserwacji fazowych z różnego rodzaju defektów lub do rozwiązań przybliżonych wynikających z uproszczonych odeli stochastycznych. Jest jeszcze inny probleatyczny aspekt algorytów tradycyjnych. Otóż przy tworzeniu różnicowych układów równań obserwacyjnych definiuje się (wyróżnia)

14 98 R. Kadaj tzw. satelitę bazowego (referencyjnego), względe którego powstaje np. układ różnic podwójnych. Taki układ nie będzie równoważny stochastycznie układowi pierwotneu, przy założeniu, że offsety zegarów są wyznaczane jako dodatkowe niewiadoe. Analogią takiego postępowania w klasycznej sieci geodezyjnej byłoby utworzenie ze zbioru obserwacji kierunkowych zbioru kątów odniesionych tylko do jednego wybranego kierunku. Ponadto, w przypadku długich sesji obserwacyjnych (np. 24-godzinnych), każdy z satelitów a tylko kilkugodzinny okres wykorzystania. W ciągły czasie długiej sesji należałoby więc dokonywać faktycznie ziany satelity bazowego definiować tę funkcję dynaicznie. Przy zastosowaniu odelu Schreibera dla obserwacji różnicowych znika ten proble, ponieważ każdy z użytych satelitów pełni analogiczną funkcję jak wybrany satelita referencyjny. Podobnie będzie w przypadku wielostacyjnych (wieloodbiornikowych) sesji obserwacyjnych każda aktywna w sesji stacja pełni analogiczną funkcję jako stacja referencyjna. Wiele probleów nuerycznych i związanych z konstrukcją poprawnego odelu stochastycznego znika po zastosowaniu odelu Schreibera do tworzenia układów pseudoobserwacji różnicowych. Niestety, wiąże się to z dodatkowy koszte wynikający stąd, że układ różnic Schreibera zawiera istotnie większą liczbę eleentów niż klasycznie definiowany układ różnicowy. W zbiorze ( 1)/2 eleentów układu Schreibera tylko ( 1) jest liniowo niezależnych, reszta oże być utworzona na przykład z pierwszych 1 eleentów Tworzenie układów różnicowych według odelu Schreibera Niech r = {p 1, p 2,, p r }, p 1 < p 2 < < p r, oznacza uporządkowany zbiór wskaźników wykorzystanych w danej sesji stacji nazienych, zaś s = {i 1, i 2,, i s }, i 1 < i 2 < < i s, uporządkowany zbiór wskaźników wykorzystanych w danej sesji obserwacyjnej satelitów. W danej epoce t k (k = 0, 1, 2, ) będą wykorzystane tylko pewne podzbiory stacji i satelitów, odpowiadające podzbioro r k r, s k s. Stosując odel Schreibera dla układu podwójnych różnic fazowych, definiujey zbiory R k par (p, q) wskaźników stacji lub odbiorników (zakładając ogólne wielopunktowe zadanie post-processingu) oraz zbiory S k par (i, j) uownych indeksów porządkowych satelitów wykorzystywanych obserwacyjnie w kolejnych epokach obserwacyjnych t k (k = 0, 1, 2,.): k wskaźnik epoki obserwacyjnej. R k = {(p, q): (p < q) (p, q r k )}, (26) S k = {(i, j): (i < j) (i, j s k )}, (27)

15 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Dodatkowo przyjijy oznaczenia: r k liczba odbiorników (stacji) aktywnych w epoce t k (istnieją zarejestrowane obserwacje fazowe w tej epoce) danej sesji obserwacyjnej; s k liczba satelitów wykorzystanych obserwacyjnie w epoce t k. Niech k oznacza zbiór wskaźników wszystkich epok obserwacyjnych w określony interwale czasu obserwacji <a, b>. Faktycznie, dla każdej pary satelitów (i, j) oraz odbiorników (p, q) będzie wykorzystany tylko pewien ograniczony zbiór obserwacji fazowych, któreu odpowiada pewien podzbiór indeksów epok k p,q i, j k. Ograniczenie wynika z wykluczenia (filtracji) obserwacji defektowych (nieusunięte utracone cykle cycle slips, przerwane ciągi faz, eleenty odstające), skutkuje ono poinięcie pewnych epok. Potrójne różnice faz, jak wiadoo, są tworzone z par różnic podwójnych o tej saej konstelacji pary satelitów (i, j) i odbiorników (p, q) dla dwóch określonych epok k1, k2 k i,j pq. Plan Schreibera tworzenia różnic potrójnych dla danej konstelacji (i, j), (p, q) określa następujący zbiór par wskaźników epok: T i,j pq = {(k1, k2): (k1 < k2) (k1, k2 k i,j pq )}. (28) Dla wygody rozważań przyjiey poocniczą funkcję κ(*) oznaczającą liczbę eleentów zbioru (*). W ty znaczeniu κ(r k ) = r k (r k 1)/2, κ(s k ) = s k (s k 1)/2. Przyjiey też, że κ(k i,j pq ) = n i,j pq (liczba efektywnie wykorzystanych epok dla odpowiednich par satelitów i odbiorników). Przyjując przykładowo (rys. 3), że w epoce t k efektywnie wykorzystano s k = 5 satelitów i r k = 3 odbiorniki κ(s k ) = 10, κ(r k ) = 3, natoiast ogólna liczba utworzonych według scheatu Schreibera podwójnych różnic fazowych w tej epoce wyniesie κ(s k ) κ(r k ) = 30. Gdyby podobna konstelacja układu obowiązywała np. przez n = 100 epok, wówczas ogólna liczba różnic podwójnych wynosiłaby Rys. 3. Plan zbioru typu Schreibera dla s = 5 satelitów

16 100 R. Kadaj Oznaczy przez DD = {[(i, j), (p, q), k]: (i, j) S k, (p, q) R k, k k i,j pq } (29) zbiór eleentów, będących układai wskaźników dla podwójnych różnic fazowych według scheatu Schreibera, zaś TD = {[(i, j), (p, q), (k1, k2)]: (i, j) S k1 S k2, (p, q) R k1 R k2, (k1, k2) T i,j pq } (30) układe różnic potrójnych analogicznego typu. W praktycznej realizacji obu etod, ze względu na stosowane dodatkowe filtry eliinujące tzw. eleenty odstające, faktycznie wykorzystane pseudoobserwacje będą określone przez pewne podzbiory DD DD, TD TD. Liczby wszystkich eleentarnych obserwacji w obu przypadkach określają wzory: κ(dd) = κ(k i,j pq ), κ(td) = i, j p, q κ(dd) κ(dd), κ(td) κ(td). κ(t pq i,j ), (31) i, j p, q 3.3. Zastosowanie twierdzenia 1 do tworzenia acierzy wagowych w układzie różnicowy typu Schreibera Niech wariancja apriori dla eleentarnej obserwacji fazowej wynosi σ 2. Na podstawie prawa propagacji wariancji, w przypadku rozpatrywania tylko pojedynczego wektora GPS (single baseline), pojedyncze różnice fazowe określone wzore (20) charakteryzują się wariancją 2 σ 2 (tylko dla jednej bazy), ale dla sesji wielopunktowej, kiedy pojedyncze różnice obejujey plane Schreibera, określay wagi zgodnie z twierdzenie A: waga ΔΦ = [waga Φ] [waga Φ] : [sua_wag Φ w k-tej epoce] = = (1/σ 2 ) (1/σ 2 )/[r k (1/σ 2 )] = 1/(r k σ 2 ), (32) r k liczba odbiorników z użyteczną (nieodrzuconą) obserwacją fazową w epoce t k. Założyliśy w ten sposób typowy odel stochastyczny dla obserwacji fazowych jako obserwacji niezależnych i jednakowo dokładnych (apriori z jednakową wariancją σ 2 ). Założenie jednakowej wariancji służy pewnej prostocie wywodu, ale

17 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera w świetle wykorzystywanego dalej twierdzenia A nie usiy ograniczać ogólności w ty znaczeniu. W szczególności ożna by przyjąć, za niektóryi stosowanyi odelai stochastycznyi, że wariancja pojedynczej obserwacji jest proporcjonalna do wartości 1/sin 2 (β), gdzie β jest kąte elewacji wektora: odbiornik satelita. Zgodnie z twierdzenie 1 acierz wagowa w każdy przypadku zastosowania układu różnicowego typu Schreibera będzie acierzą diagonalną. Dla układu podwójnych różnic określonych plane DD diagonalna acierz wagowa składa się z podacierzy skalarnych W k = w k I (w k skalar, I acierz jednostkowa), odpowiadających kolejny epoko obserwacyjny, przy czy skalar jest określony następująco: waga ΔΔΦ = [waga ΔΦ ] [waga ΔΦ] : [sua wag ΔΦ w k-tej epoce] w k = [1/(r k σ 2 )] [1/(r k σ 2 )]/[s k /(r k σ 2 )] = 1/(σ 2 s k r k ), (33) gdzie: s k liczba satelitów i r k liczba odbiorników wykorzystywanych w epoce k-tej. W szczególności r k > 2 oznacza wielopunktową sesję obserwacyjną. Z kolei określay wagę dla potrójnej różnicy faz, biorąc również pod uwagę układ Schreibera tych różnic w zakresie wyboru par epok: waga ΔΔΔΦ = [waga ΔΔΦ dla epoki k1] [waga ΔΔΦ dla epoki k2] : [sua wag ΔΔΦ dla pojedynczych epok tworzących układ Schreibera przy określonej konstelacji pary satelitów i pary odbiorników] w i,j p,q (t k1, t k2 ) = (s k1 r k1 σ 2 ) 1 (s k2 r k2 σ 2 ) 1 [Σ(s k r k σ 2 ) 1 ] 1 = (1/σ 2 ) [s k1 r k1 s k2 r k2 ] 1 [ (s k r k ) 1 ] 1, (34) k ale suowanie dla wszystkich k k i,j pq. Dla danej potrójnej różnicy faz waga jest zależna od ilości efektywnych epok, wykorzystanych dla określonej pary satelitów i odbiorników. 4. Pełne równania obserwacyjne dla podwójnych i potrójnych różnic faz według scheatu Schreibera Różnice podwójne Układ obserwacyjny podwójnych różnic faz, z uwzględnienie wielopunktowych sesji obserwacyjnych, a następującą postać:

18 102 R. Kadaj λ 1 ΔΔΦ p,q i,j (t k ) + λ 1 ΔΔN p,qi,j + α δ p,q i,j (t k ) + e p,q i,j (t k ) = α ΔΔρ p,q i,j (t k ) (35) dla [(i, j), (p, q), k] DD z diagonalną acierzą wagową, której eleenty w k = 1/(σ 2 s k r k ), k wskaźnik epoki obserwacyjnej, w której s k oznacza liczbę identyfikowanych satelitów, r k liczba użytych odbiorników. Przyjęto w równaniu następujące oznaczenia: ΔΔN p,q i,j podwójna różnica całkowitych nieoznaczoności dla częstotliwości L1: ΔΔN p,qi,j i,j = ΔΔN1 p,q lub przy kobinacji L1/L2 wolnej od wpływu jonosfery (ionosphere free cobination): ΔΔN p,q i,j = ΔΔN1 p,q i,j (λ 1 /λ 2 ) ΔΔN2 p,q i,j, (36) ΔΔN1.., ΔΔN2.. odpowiadające L1, L2 podwójne różnice całkowitych nieoznaczoności; δ p,q i,j (t k ) podwójna różnica korekt systeatycznych: offsety anten, redukcje do centru fazowego, poprawki troposferyczne oraz (alternatywnie) poprawki jonosferyczne; e p,q i,j (t k ) błąd przypadkowy obserwacji, przeskalowany czynnikie ; ΔΔρ p,q i,j (t k ) podwójna różnica odległości od punktów nazienych (p, q) do satelitów (i, j) w oencie czasu t k, definiowana jako funkcja wektora nazienego ΔR pq = (ΔX pq, ΔY pq, ΔZ pq ) w kartezjański układzie geocentryczny. Pozycje satelitów są interpolowane na oent detekcji sygnału fazowego t k τ, gdzie τ to przesunięcie czasowe na linii satelita odbiornik; α stały współczynnik, α = 1 przy wykorzystaniu jedynie częstotliwości L1 albo α = 1 (λ 1 /λ 2 ) 2. (37) dla kobinacji L1/L2 (ionosphere free). Różnice potrójne Układ obserwacyjny potrójnych różnic faz z uwzględnienie wielopunktowych sesji obserwacyjnych będzie postaci: λ 1 ΔΔΔΦ p,q i,j (t k1, t k2 ) + α δ p,qi,j (t k1, t k2 ) + e p,qi,j (t k1, t k2 ) = α ΔΔΔρ p,qi,j (t k1, t k2 ) (38) dla [(p, q), (i, j), (k1, k2)] TD.

19 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Układowi teu jest przyporządkowana (zgodnie z twierdzenie A) diagonalna acierz wagowa, a pojedynczeu równaniu (38) waga: w i,j p,q (t k1, t k2 ) = (1/σ 2 ) [s k1 r k1 s k2 r k2 ] 1 [ (s k r k ) 1 ] 1, (39) suowanie dla wszystkich k k i,j pq, s k liczba satelitów i r k liczba odbiorników wykorzystywanych epoce k-tej. Rozwiązanie najniejszych kwadratów W obu odelach funkcjonalnych eleenty różnicowe odległości ΔΔρ p,qi,j ( ), ΔΔΔρ p,q i,j ( ) tworzą nieliniowe funkcje składowych niewiadoego wektora GPS ΔR pq = (ΔX pq, ΔY pq, ΔZ pq ), przy czy w cały układzie występuje jedynie r k 1 wektorów niezależnych. Rozwiązanie zadań post-processingu wyaga więc użycia nieliniowych procedur etody najniejszych kwadratów. Klasyczny sposób polega na zastosowaniu iteracyjnego algorytu Gaussa-Newtona. Punkte startowy są w ty przypadku przybliżone wartości niewiadoych wyznaczone w zadaniu pozycjonowania bezwzględnego (procedura SPP single point position). W konkretnych aplikacjach oówionych w p. 5, w raach procesu iteracyjnego (trwającego z reguły od kilkunastu do kilkudziesięciu iteracji), dokonuje się równoległej filtracji obserwacji z tzw. eleentów odstających oraz stosuje się dodatkowy czynnik wagi, zależny od aktualnie identyfikowanych residuów, wynikający z definicji tzw. estyacji ocnej. Wyienione eleenty filtracji i estyacji ocnej, jak potwierdzają dotychczasowe testy nueryczne, optyalizują standardowy odel stochastyczny układu obserwacyjnego. k 5. Zastosowanie algorytów w autoatyczny post-processingu systeu ASG-EUPOS Opisane powyżej algoryty względnego pozycjonowania w oparciu o obserwacje fazowe zostały zaaplikowane po raz pierwszy w odule autoatycznego post-processingu (APPS) serwisu POZGEO systeu ASG-EUPOS, a także (równolegle) w specjalny prograie post-processingu GPS, dołączony do pakietu geodezyjnego GEONET ( Syste ASG-EUPOS został oddany do dyspozycji użytkowników w czerwcu 2008 i jest już narzędzie wykorzystywany szeroko w pracach geodezyjnych. Należy dodać, że obok serwisu POZGEO, do dyspozycji użytkowników są inne serwisy, zwłaszcza NAWGEO (powierzchniowy RTK) oraz serwis POZGEO-D, uożliwiający bezpośrednie wykorzystanie obserwacji na stacjach referencyjnych lub na zdefiniowanych stacjach wirtualnych (VRS).

20 104 R. Kadaj Szczegółowy opis funkcjonalny odułu APPS i w szerszy znaczeniu serwisu POZGEO przedstawiono w dokuentacji eksploatacyjnej systeu, a także w publikacji Kadaj, Świętoń (2008). Pierwszy (wstępny) etap obliczeń obejuje następujące zadania: proces przygotowania, selekcji i filtracji danych źródłowych, pochodzących z plików w foracie RINEX, dla 10 najbliższych stacji referencyjnych, identyfikację ewentualnych orbit precyzyjnych i typów anten (danych kalibracyjnych absolutnych odeli anten), obliczenie orbit satelitów, wyznaczenie ich dyskretnych pozycji dla wszystkich epok oraz wyznaczenie współrzędnych przybliżonych pozycji odbiorników (zadanie SPP single point position), wykonanie redukcji troposferycznych (zastosowano.in. odel GMF global apping function do określenia przestrzennego rozkładu poprawek troposferycznych), i przetworzenie zbiorów obserwacji fazowych do wtórnej postaci wewnętrznej. Kolejne etapy obejują już obliczenia i wyrównania sieci wektorów, a do tego celu użyto równolegle dwóch etod, podwójnych i potrójnych różnic fazowych obie stosują opisane w tej pracy algoryty oparte na układzie różnicowy Schreibera. Metodę opartą na potrójnych różnicach faz w układzie typu Schreibera nazwano w szczególności etodą β. Użycie jej jako alternatywy etody różnic podwójnych pokazuje w praktyce istotne korzyści jakościowe, zwłaszcza w sytuacji wykorzystywania obserwacji fazowych tylko z jednej częstotliwości (L1), gdy istnieją trudności z jednoznaczną identyfikacją niektórych całkowitych kobinacji nieoznaczoności (abiguities). Metoda β eliinuje ten proble, zgodnie z jej odele funkcjonalny. Trzeba jednak dodać, że przy znacznej liczbie epok, zbiór par epok według scheatu Schreibera (30) staje się wielokrotnie większy niż saa liczba epok, stąd dokładnie realizowana etoda β będzie bardziej kosztowna niż etoda podwójnych różnic fazowych. Z tego powodu, w praktycznej realizacji etody β, zwłaszcza dla znacznej liczby epok, stosuje się uproszczenia nueryczne, polegające np. na rozrzedzaniu zbioru obserwacji, zachowując jednak generalnie cechy charakterystyczne scheatu Schreibera dotyczące jednorodności i syetrii wskaźników użytych obserwacji różnicowych. W algorytie autoatycznego post-processingu, ając do dyspozycji wyniki procesu zrealizowanego dwiea etodai, wybiera się zawsze rozwiązanie, które w sensie epiryczny (aposteriori) wykazuje lepszą dokładność wyznaczenia pozycji. W każdy przypadku finalna pozycja punktu jest wyznaczana w oparciu o wektory utworzone do najbliższych stacji referencyjnych (wyrównanie układu wektorów przy założeniu znanych współrzędnych stacji referencyjnych).