Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera do opracowania sesji pomiarów statycznych GPS

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera do opracowania sesji pomiarów statycznych GPS"

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LIX, NR 2, 2010 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera do opracowania sesji poiarów statycznych GPS ROMAN KADAJ Politechnika Rzeszowska, Katedra Geodezji i. K. Weigla, Rzeszów, ul. W. Pola 2 Streszczenie. Praca przedstawia nowe algoryty dla względnego pozycjonowania GPS, oparte na zbiorach różnic fazowych typu Schreibera. Tradycyjne procedury, stosujące podwójne lub potrójne różnicowanie faz i ścisłe odele stochastyczne w estyacji najniejszych kwadratów, wyagają wyznaczenia odwrotności (inwersji) niediagonalnej i zazwyczaj znacznych roziarów acierzy kowariancyjnej. Finalny produkte inwersji jest pełna (niediagonalna) acierz wagowa. Koszt kopletnego rozwiązania staje się bardzo znaczący w przypadku wielopunktowych sesji GPS i przy stosowaniu potrójnego różnicowania faz. Forułując zbiór różnic typu Schreibera, otrzyujey estyację najniejszych kwadratów z diagonalną acierzą wagową. Estyatory są identyczne z zadanie oryginalny. Użyteczne cechy algorytów są teoretycznie dowiedzione. Algoryty zostały zaipleentowane w profesjonalnych prograach dla GPS,.in. w odule autoatycznego post-processingu (APPS) w systeie stacji referencyjnych ASG-EUPOS w Polsce. Słowa kluczowe: względne pozycjonowanie GPS, post-processing, podwójne różnice faz, potrójne różnice faz, diagonalna acierz wagowa, zbiór różnic typu Schreibera, wielopunktowa sesja GPS, wielobazowa sesja GPS, autoatyczny post-processing, ASG-EUPOS Sybole UKD: Wprowadzenie W etodologii względnego pozycjonowania w oparciu o obserwacje fazowe GPS, nieal jako priorytetowe przyjuje się rozwiązanie nueryczne oparte na podwójny różnicowaniu faz. Jak wiadoo, wiąże się to z koniecznością identyfikacji, obok składowych wektora GPS, dodatkowych niewiadoych w postaci pewnych liniowych funkcji nieoznaczoności (ang. abiguities) całkowitych

2 86 R. Kadaj wielokrotności długości fali eitowanego sygnału. Trzeba podkreślić, że skuteczność tej standardowej etody względnego pozycjonowania zależy w dużej ierze od saego algorytu identyfikacji nieoznaczoności, stanowiącego w pewny sensie niezależny od podstawowej etody najniejszych kwadratów jako zasady estyacji, eleent procesu obliczeniowego (ang. post-processing). Poio bogatego już dorobku naukowego i aplikacyjnego w zakresie etod i algorytów identyfikacji nieoznaczoności, praktyka dostarcza przykładów (np. Rzepecka, 2004), w których taka identyfikacja jest co najniej niedostatecznie jednoznaczna ( rozyta ). Dotyczy to różnych sytuacji ekstrealnych wynikających przykładowo z krótkich sesji obserwacyjnych i długich wektorów lub niekorzystnej konstelacji satelitów czy też relatywnie dużej liczby defektów obserwacyjnych, jak np. utraconych cykli fazowych (ang. cycle slips) lub przerwanych rejestracji faz. Skutkie nueryczny jest obniżenie tzw. wskaźnika uwarunkowania układu obserwacyjnego i zwiększenie błędów standardowych szukanych nieoznaczoności. Metoda alternatywna, wykorzystująca potrójne różnice faz, jawi się jako szczególnie atrakcyjna, gdyż w sposób naturalny (w odelu funkcjonalny) eliinuje niewiadoe nieoznaczoności i związane z ty ryzyko ich błędnej identyfikacji. Niestety, z powodu skoplikowanych odeli stochastycznych i stosowanych w ty zakresie koniecznych uproszczeń, etoda jest używana i zalecana głównie do znalezienia dobrego rozwiązania początkowego (przybliżonego). Koplikacja odelu stochastycznego polega na ty, że acierz kowariancyjna dla typowego odelu funkcjonalnego układu potrójnych różnic jest acierzą pełną (niediagonalną) o znacznych roziarach (stopień zależny od liczby epok), a ścisłe zastosowanie etody najniejszych kwadratów wyaga odwracania tej acierzy (czyli wyznaczenia odpowiadającej, niediagonalnej acierzy wagowej). Eliinacja nieoznaczoności, poio określonych korzyści praktycznych, a też swoją stronę negatywną, ponieważ pozbawia układ obserwacyjny ważnej topologicznie inforacji o całkowitoliczbowej naturze tych wielkości, a ty say redukuje z układu dodatkowe warunki na niewiadoe. Efekt ten rekopensuje się statystycznie przez wzrost liczby obserwacji (dla sesji długich). Potrójne różnicowanie faz poiędzy kolejnyi epokai sesji obserwacyjnej służy także do czyszczenia zbioru obserwacyjnego z różnego rodzaju defektów, jak np. utraconych cykli fazowych (ang. cycle slips), przerwanych rejestracji, błędów grubych spowodowanych innyi, niewiadoyi czynnikai. Powyższe stwierdzenia jako pewne dyrektywy ożna znaleźć np. w książkach: Hofann-Wellenhof i in. (2001), Xu (2007), Leick (2004). Tradycyjne ( książkowe ) odele funkcjonalne potrójnych różnic faz stają się jeszcze bardziej skoplikowane dla wielopunktowych (wielowektorowych) sesji obserwacyjnych (ang. ulti-baseline session). Zadanie rozwiązuje się więc zwykle przy różnego rodzaju uproszczeniach, np. poijaniu eleentów niediagonalnych acierzy kowariancyjnej. Proble skorelowania pseudoobserwacji, jakii są różnice bezpośrednich, dyskretnych obserwacji fazowych, także z uwzględnie-

3 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera nie wielopunktowych sesji obserwacyjnych, jest podejowany.in. w pracach: Askenazi a. Yau (1986), Beutler, Gurtner i in. (1986), Beutler, Bauersia i in. (1987), Eren (1987). Można powiedzieć, że skorelowanie jest pewny koszte stosowania różnic oryginalnych obserwacji fazowych, ale różnicowanie spełnia z drugiej strony znaną skądinąd w geodezji funkcję eliinowania pewnych błędów systeatycznych, a w oawiany przypadku także zbędnych dla finalnego celu niewiadoych (ang. nuisance paraeters), jakii są w naszy przypadku: przesunięcia czasu zegarów (satelitów i odbiorników), nieoznaczoności cykli fazowych. W związku z problee skorelowania proponuje się także powrót do oryginalnego układu obserwacji nieróżnicowych, natoiast zbędne niewiadoe eliinuje się drogą algebraiczną tak, by powstały układ zachowywał niezieniony w stosunku do oryginalnego wektor obserwacji i niezienioną diagonalną acierz wagową. Probleatyka zastosowania nieróżnicowych obserwacji GPS jest treścią wielu publikacji,.in.: Lindlohr, Wells (1985), Xu (2007). W niniejszej pracy wykażey, że również dla obserwacji różnicowych proble skorelowania oże być rozwiązany tak, że przy zachowaniu pełnej ścisłości odelu stochastycznego (bez uproszczeń) będziey bazować na diagonalnej acierzy wagowej tych obserwacji. W szczególności oże dotyczyć to układu potrójnych różnic faz i wielopunktowych sesji obserwacyjnych. Istota etody polega na utworzeniu zbioru różnic we wszystkich kobinacjach par obserwacji oryginalnych. Sięgając do klasyki geodezji, ożna powiedzieć, że zbiór taki jest analogią układu kątów ierzonych na stacji obserwacyjnej poiędzy wszystkii parai kierunków (etoda Schreibera: Schreiber, 1878). Zastosowana w tej pracy konstrukcja odelu funkcjonalnego będzie się więc kojarzyć z tworzenie układu obserwacji różnicowych typu Schreibera. Najważniejsza własność takiego układu polega na ty, że jego wyrównanie etodą najniejszych kwadratów sprowadza się do zastosowania pewnej ściśle diagonalnej acierzy wagowej. Powyższe stwierdzenie oże wydawać się paradoksalne, wobec oczywistego skorelowania pojedynczych par obserwacji różnicowych, ale już we wstępny oglądzie probleu ożna zauważyć, że układ Schreibera tworzy równania wzajenie zależne z osobliwą acierzą kowariancyjną, czyli nieposiadającą zwykłej odwrotności. Rozwiązanie takiego układu, przy założeniu równoważności z układe pierwotny (nieróżnicowy), prowadzi jednak ściśle do diagonalnej acierzy wagowej, o czy orzeka podstawowe twierdzenie sforułowane i dowiedzione w p. 2.2 niniejszej pracy. W pierwotnej wersji twierdzenie było przedstawione w referacie Kadaj (2006). Idea etody, oparta na układzie typu Schreibera potrójnych różnic fazowych, jest podstawą aplikacji w algorytach post-processingu GPS Kadaj (2007), a w szczególności tzw. post-processingu autoatycznego w odule systeu ASG- EUPOS Kadaj i Świętoń (2008).

4 88 R. Kadaj 2. Twierdzenia o własności układu obserwacji różnicowych typu Schreibera 2.1. Założenia pierwotne Obserwacje różnicowe tworzy się zwykle w celu wyeliinowania pewnych nieistotnych, z punktu widzenia zastosowania, niewiadoych układu obserwacyjnego lub w analogiczny sensie pewnych błędów systeatycznych. Przykłade klasyczny oże być eliinowanie stałej orientacji pęku kierunków na stacji obserwacyjnej, poprzez obliczanie iar kątów jako różnic obserwacji kierunkowych. W algorytach post-processingu GPS, podwójne różnicowanie faz eliinuje niewiadoe offsety zegarowe satelitów i odbiorników, zaś różnicowanie potrójne niewiadoe liniowe kobinacje nieoznaczoności. Wśród dowolnych układów różnic obserwacji wyróżniy układ zupełny, typu Schreibera, obejujący wszystkie kobinacje par obserwacji, dowodząc sygnalizowanych już własności. Załóży najpierw, że oryginalny (przed różnicowanie) układ obserwacyjny lub w ogólności tylko pewna część większego (zintegrowanego) układu obserwacyjnego a postać: L + ε = A X + J y = A X, (1) A = [ A, J ]; X = [ X T, y ] T, gdzie: L = [L i ] wektor obserwacji o liczbie składowych; X = [X j ] niewiadoy wektor paraetrów o liczbie n składowych; y niewiadoa wielkość skalarna (np. błąd systeatyczny); A = [A ij ] acierz współczynników o roziarze ( n); J koluna jedynek: [1, 1,, 1] T ; ε = [ε i ] wektor błędów obserwacji z następujący odele stochastyczny a priori: E{ε} = 0 (zerowa wartość oczekiwana); C = E{ε ε T 2 } = diag[σ i ] (diagonalna acierz kowariancyjna); σ i odchylenie standardowe (i = 1, 2,, ). Jeśli do układu (1) zastosujey nieobciążoną estyację najniejszych kwadratów, wówczas otrzyay następujący układ równań noralnych (suowany ewentualnie z układe równań noralnych pozostałej części szerszego/zintegrowanego systeu obserwacyjnego): A T P A X^ + A T P J y^ = A T P L,

5 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera J T P A X^ + y^ = J T P L, (2) P = C 1 (acierz wagowa), gdzie X^, y^ oznaczają odpowiednie estyatory niewiadoych X, y. Równolegle z (2) otrzyujey następujące zależności kontrolne: A T P V = 0 oraz J T P V = p i v i = 0, (3) gdzie V = [v i ] (wektor poprawek) oznacza także estyator e^ wektora błędów e; p i wagi obserwacji, które w świetle przyjętych już oznaczeń są wyrażone wzore: p i = 1/σ i 2. Tworzyy następnie układ równań różnicowych typu Schreibera: L i L j + v i v j = n [(A ik A jk ) x k^] (4) k 1 dla i < j oraz i, j = 1, 2,, (rys. 1) lub w odpowiadającej postaci acierzowej: δl + δv = a X^, (4a) gdzie: δl = [δl ij ] = [L i L j ] (u 1) ; δv = [δv ij ] = [v i v j ] (u 1) ; Rys. 1. Syboliczny plan różnic w układzie Schreibera u = ( 1)/2 liczba różnic w układzie Schreibera; a = [(A ik A jk )] (u n) acierz współczynników. Sforułujey teraz kilka twierdzeń opisujących własności układu różnicowego tego typu, a następnie przeprowadziy ich dowody.

6 90 R. Kadaj Niech φ (X^; y^) = V T P V; V = A X^ + J y^ L, (5) znaczy wartość funkcji celu najniejszych kwadratów dla oryginalnego zadania (2), (3) i estyatorów X^, y^ niewiadoych X, y Twierdzenie (A) o równoważności układu różnic Schreibera z układe oryginalny (nieróżnicowy) w warunkach użycia etody najniejszych kwadratów z diagonalną acierzą wagową Teza A1: Istnieje acierz diagonalna W taka, że funkcja spełnia równość: ψ (X) = δv T W δv; δv = a X δl (6) φ (X^; y^) = ψ (X^). (7) Teza A2: Macierz diagonalna W spełniająca tezę A1 jest wyrażona następująco: W = diag [w k ] (u u) acierz diagonalna (8) w k = p i p j c 1 ; c = p i, (8a) gdzie: p i waga oryginalnej obserwacji, k wskaźnik kolejnych eleentów zbioru par wskaźników (i, j) tworzących układ różnicowy Schreibera: Dla kolejnych par (i, j): k = (2 i 2) (i 1)/2 + j i, i = 1, 2,, 1; j = i + 1, i + 2,,. (1, 2), (1, 3),..., (1, ), (2, 3),..., (2, ), , ( 1, ) (8b) wskaźnik k przyjuje wartości: 1, 2, 3,..., 1,, + 1,..., 2 3, , 3 5, u = ( 1)/2.

7 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Teza A3: Estyata X^ jest również punkte ekstrealny funkcji celu zawierającej koponent ψ (X). Dowód twierdzenia Dla dowodu tez A1, A2 zaieniy najpierw równość (7) na postać skalarną z uwzględnienie wag (8a). Sprowadza się to do wykazania, że: c 1-1 (v i v j ) 2 p i p j = v 2 i p i, gdzie c = p i. (9) i 1 j i 1 Uwzględniając oczywiste zależności: (v i v i ) 2 p i 2 = 0 (zerowa różnica tych saych obserwacji), (v i v j ) 2 p i p j = (v j v i ) 2 p j p i (syetria), v i p i = 0 (z warunku iniu najniejszych kwadratów wzór (3)), przekształcay lewą stronę równości (9), dochodząc w efekcie do wykazania tez A1, A2: c 1-1 (v i v j ) 2 p i p j = (1/2) c 1 (v i v j ) 2 p i p j = j i 1 = (1/2) c 1 ( j 1 j 1 v 2 i p i p j + v 2 j p i p j 2 v i v j p i p j ) = j 1 j 1 = (1/2) c 1 ( v 2 i p i p j + v 2 j p j p i 2 v i p i v j p j ) = j 1 j 1 = (1/2) c 1 (2 v 2 i p i c 2 v i p i v j p j ) = = v 2 i p i c 1 ( v i p i ) 2 = v 2 i p i c 1 0 = v 2 i p i. (10) Wykażey teraz końcową tezę A3 orzekającą, że X^ jako wynik rozwiązania oryginalnego jest również rozwiązanie ekstrealny dla układu równań różnicowych typu Schreibera. Dla dowodu wystarczy wykazać, że jest spełnione odpowiadające równanie noralne a T W (a X^ δl) = a T W δv = 0 (ze względu na liniowość układu obserwacyjnego co najwyżej tylko jeden punkt stacjonarny). Wybieray zate dowolne k-te równanie, zapisane w postaci skalarnej N k = 0, rozwijając jego lewą stronę. Uwzględniając dodatkowo oczywiste zależności: (A ik A ik ) p i p i (v i v i ) = 0 j 1 j 1

8 92 R. Kadaj oraz (A ik A jk ) p i p j (v i v j ) = (A jk A ik ) p j p i (v j v i ) (syetria), otrzyay: c N k = (½) = (½) = (½) j 1 (A ik A jk ) p i p j (v i v j ) = j 1 A ik p i p j (v i v j ) (½) A jk p j p i (v i v j ) = j 1 j 1 A ik p i p j (v i v j ) + (½) A jk p j p i (v j v i ) = j 1 A ik p i p j (v i v j ) = A ik p i p j v i A ik p i p j v j = = j 1 j 1 = A ik p i v i p j A ik p i p j v j = j 1 j 1 = A ik p i v i c A ik p i 0. (11) j 1 Zate N k = A ik p i v i = 0, ponieważ A T P V = 0, więc ostatecznie usi być też a T W δv = Twierdzenie (B) o własnościach i forułach acierzy kowariancyjnych dla wektora różnic Schreibera i wektora niewiadoych Niech acierz kowariancyjna układu różnic obserwacji typu Schreibera a ogólną postać C δl = [C g, h ] (u u), (12) gdzie wskaźniki g, h = 1, 2,, u są przyporządkowane paro wskaźników (i1, j1), (i2, j2) w planie różnic Schreibera, według wzoru (8a): g = (2 i1 2) (i1 1)/2 + j1 i1 dla i1 = 1, 2,, 1; j1 = i1 + 1, i1 + 2,,, h = (2 i2 2) (i2 1)/2 + j2 i2 dla i2 = 1, 2,, 1; j2 = i2 + 1, i2 + 2,,.

9 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Teza B1: Eleenty acierzy C δl wyrażają się wzore: C gh = p 1 i1 + p 1 j1 = p 1 1 i2 + p j2 jeśli (i1 = i2) ^ (j1 = j2) (inaczej: g = h) p 1 1 i1 = p i2 jeśli (i1 = i2) ^ (j1 j2) p 1 1 j1 = p j2 jeśli (i1 i2) ^ (j1 = j2) p 1 1 i1 = p j2 jeśli (i1 = j2) ^ (j1 i2) 1 1 p j1 = p i2 jeśli (i1 j2) ^ (j1 = i2) 0 w pozostałych przypadkach. (13) Teza B2: Jeśli układ równań różnicowych (4), (4a) a rozwiązanie najniejszych kwadratów: X^ = (a T W a ) 1 a T W δl (14) (zadanie oże być łatwo uogólnione w sytuacji, gdy równania (5) wyrażają tylko pewien podzbiór szerszego układu obserwacyjnego), to teoretyczna acierz kowariancyjna takiego rozwiązania C X (acierz kofaktorów) spełnia zależność: C X = (a T W a ) 1 a T W C δl W a (a T W a ) 1 = (a T W a ) 1. (15) Oznacza to, że aby wyznaczyć acierz kowariancyjną niewiadoych, wystarczy wykorzystać tę saą diagonalną acierz wagową W, którą zastosowano w funkcji celu najniejszych kwadratów twierdzenie A. Inaczej ówiąc, w żadny przypadku nie trzeba poszukiwać odwrotności (pseudoodwrotności) niediagonalnej acierzy kowariancyjnej C δl. Nawiase ówiąc, acierz C δl jest osobliwa, ponieważ u ( 1) równań różnicowych w układzie Schreibera są liniowyi kobinacjai pierwszych 1 równań. Fakt liniowej zależności równań wykorzystuje się do dowodu, że a T W C δl W a = a T W a, a ty say do dowodu równości (15). Dowód twierdzenia Oznaczy e = [(ε i ε j )] [u 1] wektor błędów odpowiadający wektorowi różnic obserwacji δl. Macierz kowariancyjna C δl = E{e e T } w świetle przyjętych już definicji i oznaczeń a eleenty określone następująco: C (p, q) = E{ (ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )} = E{ε i1 ε i2 ε i1 ε j2 ε j1 ε i2 + ε j1 ε j2 }. (16)

10 94 R. Kadaj Uwzględniając, że: E{ε i 2 } = µ i 2 = p i -1 oraz jeśli i j: E{ε i ε j } = 0, otrzyay eleenty określone zgodnie z tezą B1. Oznaczy poocniczo: F = a T W C δl W a i B = a T W a. Dowodziy, że F = B. Korzystając z ogólnej definicji acierzy kowariancyjnej C δl, przekształciy acierz F do postaci F = E {a T d d T a} = E {z z T }, gdzie d = W e oraz z = a T d są odpowiednio do oznaczenia wektorai losowyi. Biorąc następnie eleenty acierzy wagowej W oraz eleenty acierzy współczynników a, wyraziy wektory d, s w postaci: d = [d k ] (u 1), d k = c 1 p i p j (ε i ε j ), k = (2 i 2) (i 1)/2 + j i, (17) z = [z r ] (n 1), z r = c 1 p i p j (A ir A jr ) (ε i ε j ), (18) i, j c = p i, n liczba niewiadoych, liczba obserwacji przed różnicowanie, u liczba różnic obserwacji w układzie Schreibera. Oznaczy F = [F gh ] (n n), B = [B gh ] (n n). Eleent F gh acierzy F będzie określony następująco: F gh = c 2 E{[ p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (ε i1 ε j1 )] [ p i2 p j2 (A i2, h A j2, h ) i1, j1 i2, j2 (ε i2 ε j2 )]} = c 2 p i1 p j1 p i2 p j2 (A i1, g A j1, g ) (A i2, h A j2, h ) i1, j1 i2, j2 E{(ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )}. (19) Na podstawie tezy B1 wartości oczekiwane E{( ε i1 ε j1 ) (ε i2 ε j2 )} równają się odpowiedni wartościo p 1 i1 + p 1 j1, p 1 i1, p 1 j1, p 1 i1, p 1 j1 albo zero, dla różnych relacji par wskaźników (i1, j1), (i2, j2). Po redukcjach wyrazów podobnych, wiedząc, że zachodzą liniowe zależności: (A i1, g A j1, g ) = (A 1, g A j1, g ) (A 1, g A i1, g ); (A i2, h A j2, h ) = (A 1, h A j2, h ) (A 1, h A i2, h ) wykazujey, że F gh jest identyczne z odpowiadający eleente B gh : F gh = c 2 c p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (A i1, h A j1, h ) = i 1, j 1 = c 1 p i1 p j1 (A i1, g A j1, g ) (A i1, h A j1, h ) = B gh. i1, j1 (19a)

11 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Przykład Zilustrujey twierdzenie dla = 3 obserwacji przed różnicowanie i n = 2 niewiadoych: F gh = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] [ p l p 2 p 1 p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) (1/p 1 + 1/p 2 ) + + p l p 3 p 1 p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) (1/p 1 + 1/p 3 ) + p 2 p 3 p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h ) (1/p 2 + 1/p 3 ) p l p 2 p 1 p 3 (A 1g A 2g ) (A 1h A 3h ) (1/p 1 ) + p l p 2 p 2 p 3 (A 1g A 2g ) (A 2h A 3h ) ( 1/p 2 ) + p l p 3 p 1 p 2 (A 1g A 3g ) (A 1h A 2h ) (1/p 1 ) + p l p 3 p 2 p 3 (A 1g A 3g ) (A 2h A 3h ) (1/p 3 ) + p 2 p 3 p 1 p 2 (A 2g A 3g ) (A 1h A 2h ) ( 1/p 2 ) + p 2 p 3 p 1 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 3h ) (1/p 3 ) ] = = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) (p 1 + p 2 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) (p 1 + p 3 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h ) (p 2 + p 3 ) + p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 3h ) (p 3 ) + p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 2h A 3h ) ( p 3 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 2h ) (p 2 ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 2h A 3h ) (p 2 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 2h ) ( p 1 ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 1h A 3h ) (p 1 )] = = [1/(p l + p 2 + p 3 ) 2 ] (p l + p 2 + p 3 ) [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) + p l p 3 (A 1g A 3g ) (A 1h A 3h ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h )] = = [1/(p l + p 2 + p 3 )] [p l p 2 (A 1g A 2g ) (A 1h A 2h ) + p l p 3 (a 1g a 3g ) (A 1h A 3h ) + p 2 p 3 (A 2g A 3g ) (A 2h A 3h )] = B gh. (19b)

12 96 R. Kadaj 3. Post-processing GPS przy wykorzystaniu układu różnicowego typu Schreibera 3.1. Definicje pojedynczych, podwójnych i potrójnych różnic fazowych Pojedyncze i podwójne różnice obserwacji fazowych są definiowane dla danej epoki obserwacyjnej, identyfikowanej oente czasu t k (rys. 2), natoiast różnice potrójne wynikają z pary różnic podwójnych dla różnych epok obserwacyjnych. W kwestiach szczegółowych ożna polecić bogatą już literaturę przediotu,.in.: Hofann-Wellenhof et al. (2001), Leick (2004), Xu (2007). Tutaj ograniczyy się tylko do koniecznych dla teatu publikacji definicji i oznaczeń. Różnica pojedyncza dwóch obserwacji fazowych oże być definiowana dwojako, albo dla pary satelitów i pojedynczego odbiornika, albo dla pary odbiorników i pojedynczego satelity. Pierwsza eliinuje błąd (offset) zegara odbiornika, druga błąd zegara satelity. Z punktu widzenia tworzenia różnic wyższych rzędów definicja różnicy pojedynczej jest obojętna, gdyż a ten sa skutek. Wybierając w naszy przypadku (ze względu na zastosowanie scheatu Schreibera dla kobinacji par odbiorników stacji nazienych) drugą definicję, otrzyay różnice pojedyncze jako: ΔΦ pq i (t k ) = Φ p i (t k ) Φ q i (t k ), (20) gdzie i oznacza uowny wskaźnik (indeks) satelity; p, q uowne wskaźniki (indeksy) pary odbiorników. Różnice podwójne zdefiniowane są już przez parę satelitów i parę odbiorników (stacji nazienych): ΔΔΦ p,q i, j (t k ) = ΔΦ p,q i (t k ) ΔΦ p,q j (t k ). (21) Różnice potrójne faz otrzyay natoiast, odejując różnice podwójne dla dwóch różnych oentów czasu (epok) t k1, t k2, ale dla tej saej pary satelitów i odbiorników: ΔΔΔΦ p,q i, j (t k1, t k2 ) = ΔΔΦ p,qi,j (t k1 ) ΔΔΦ p,qi,j (t k2 ). (22) Powyższe definicje różnic fazowych różnych rzędów dotyczą jednego rodzaju eitowanej częstotliwości nośnej ( L1 lub L2). Po zastosowaniu tzw. ionosphere free kobinacji L1/L2 (częstotliwość wypadkowa (L3) eliinuje wpływ refrakcji jonosferycznej) różnice fazowe są wyznaczane jako liniowe kobinacje odpowiednich różnic faz Φ1, Φ2:

13 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera ΔΦ.. = ΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΦ2.. (23) ΔΔΦ.. = ΔΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΔΦ2.. (24) ΔΔΔΦ.. = ΔΔΔΦ1.. (λ 1 /λ 2 ) ΔΔΔΦ2.. (25) gdzie λ 1, λ 2 długości fal odpowiednich sygnałów L1, L2. Rys. 2. Ilustracja obserwacji fazowych GPS Należy stwierdzić, że różnicowanie faz określone wzorai (20)-(22) służy przede wszystki eliinacji istotnych czynników systeatycznych charakteryzujących naturę sygnałów fazowych GPS: różnice pojedyncze (według przyjętej definicji) eliinują błędy (przesunięcia czasu) zegara satelity w stosunku do czasu GPS, różnice podwójne eliinują dodatkowo błędy zegarowe odbiorników, natoiast różnice potrójne niewiadoe funkcje liniowe całkowitych nieoznaczoności sygnałów fazowych. Poio pewnej atrakcyjności tej ostatniej cechy, różnice potrójne nie są zasadniczo używane w dokładnych (finalnych) algorytach względnego pozycjonowania GPS. Powody, głównie nueryczne, związane ze skorelowanie pseudoobserwacji, podano już we wstępie tej pracy. Podręczniki i publikacje teoretyczne z tego zakresu skupiają się głównie na optyalizacji algorytów względnego pozycjonowania opartych na podwójny różnicowaniu obserwacji fazowych i związanych z ty probleach identyfikacji całkowitych nieoznaczoności, natoiast jak już wsponiano różnice potrójne są używane głównie do czyszczenia (filtracji) obserwacji fazowych z różnego rodzaju defektów lub do rozwiązań przybliżonych wynikających z uproszczonych odeli stochastycznych. Jest jeszcze inny probleatyczny aspekt algorytów tradycyjnych. Otóż przy tworzeniu różnicowych układów równań obserwacyjnych definiuje się (wyróżnia)

14 98 R. Kadaj tzw. satelitę bazowego (referencyjnego), względe którego powstaje np. układ różnic podwójnych. Taki układ nie będzie równoważny stochastycznie układowi pierwotneu, przy założeniu, że offsety zegarów są wyznaczane jako dodatkowe niewiadoe. Analogią takiego postępowania w klasycznej sieci geodezyjnej byłoby utworzenie ze zbioru obserwacji kierunkowych zbioru kątów odniesionych tylko do jednego wybranego kierunku. Ponadto, w przypadku długich sesji obserwacyjnych (np. 24-godzinnych), każdy z satelitów a tylko kilkugodzinny okres wykorzystania. W ciągły czasie długiej sesji należałoby więc dokonywać faktycznie ziany satelity bazowego definiować tę funkcję dynaicznie. Przy zastosowaniu odelu Schreibera dla obserwacji różnicowych znika ten proble, ponieważ każdy z użytych satelitów pełni analogiczną funkcję jak wybrany satelita referencyjny. Podobnie będzie w przypadku wielostacyjnych (wieloodbiornikowych) sesji obserwacyjnych każda aktywna w sesji stacja pełni analogiczną funkcję jako stacja referencyjna. Wiele probleów nuerycznych i związanych z konstrukcją poprawnego odelu stochastycznego znika po zastosowaniu odelu Schreibera do tworzenia układów pseudoobserwacji różnicowych. Niestety, wiąże się to z dodatkowy koszte wynikający stąd, że układ różnic Schreibera zawiera istotnie większą liczbę eleentów niż klasycznie definiowany układ różnicowy. W zbiorze ( 1)/2 eleentów układu Schreibera tylko ( 1) jest liniowo niezależnych, reszta oże być utworzona na przykład z pierwszych 1 eleentów Tworzenie układów różnicowych według odelu Schreibera Niech r = {p 1, p 2,, p r }, p 1 < p 2 < < p r, oznacza uporządkowany zbiór wskaźników wykorzystanych w danej sesji stacji nazienych, zaś s = {i 1, i 2,, i s }, i 1 < i 2 < < i s, uporządkowany zbiór wskaźników wykorzystanych w danej sesji obserwacyjnej satelitów. W danej epoce t k (k = 0, 1, 2, ) będą wykorzystane tylko pewne podzbiory stacji i satelitów, odpowiadające podzbioro r k r, s k s. Stosując odel Schreibera dla układu podwójnych różnic fazowych, definiujey zbiory R k par (p, q) wskaźników stacji lub odbiorników (zakładając ogólne wielopunktowe zadanie post-processingu) oraz zbiory S k par (i, j) uownych indeksów porządkowych satelitów wykorzystywanych obserwacyjnie w kolejnych epokach obserwacyjnych t k (k = 0, 1, 2,.): k wskaźnik epoki obserwacyjnej. R k = {(p, q): (p < q) (p, q r k )}, (26) S k = {(i, j): (i < j) (i, j s k )}, (27)

15 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Dodatkowo przyjijy oznaczenia: r k liczba odbiorników (stacji) aktywnych w epoce t k (istnieją zarejestrowane obserwacje fazowe w tej epoce) danej sesji obserwacyjnej; s k liczba satelitów wykorzystanych obserwacyjnie w epoce t k. Niech k oznacza zbiór wskaźników wszystkich epok obserwacyjnych w określony interwale czasu obserwacji <a, b>. Faktycznie, dla każdej pary satelitów (i, j) oraz odbiorników (p, q) będzie wykorzystany tylko pewien ograniczony zbiór obserwacji fazowych, któreu odpowiada pewien podzbiór indeksów epok k p,q i, j k. Ograniczenie wynika z wykluczenia (filtracji) obserwacji defektowych (nieusunięte utracone cykle cycle slips, przerwane ciągi faz, eleenty odstające), skutkuje ono poinięcie pewnych epok. Potrójne różnice faz, jak wiadoo, są tworzone z par różnic podwójnych o tej saej konstelacji pary satelitów (i, j) i odbiorników (p, q) dla dwóch określonych epok k1, k2 k i,j pq. Plan Schreibera tworzenia różnic potrójnych dla danej konstelacji (i, j), (p, q) określa następujący zbiór par wskaźników epok: T i,j pq = {(k1, k2): (k1 < k2) (k1, k2 k i,j pq )}. (28) Dla wygody rozważań przyjiey poocniczą funkcję κ(*) oznaczającą liczbę eleentów zbioru (*). W ty znaczeniu κ(r k ) = r k (r k 1)/2, κ(s k ) = s k (s k 1)/2. Przyjiey też, że κ(k i,j pq ) = n i,j pq (liczba efektywnie wykorzystanych epok dla odpowiednich par satelitów i odbiorników). Przyjując przykładowo (rys. 3), że w epoce t k efektywnie wykorzystano s k = 5 satelitów i r k = 3 odbiorniki κ(s k ) = 10, κ(r k ) = 3, natoiast ogólna liczba utworzonych według scheatu Schreibera podwójnych różnic fazowych w tej epoce wyniesie κ(s k ) κ(r k ) = 30. Gdyby podobna konstelacja układu obowiązywała np. przez n = 100 epok, wówczas ogólna liczba różnic podwójnych wynosiłaby Rys. 3. Plan zbioru typu Schreibera dla s = 5 satelitów

16 100 R. Kadaj Oznaczy przez DD = {[(i, j), (p, q), k]: (i, j) S k, (p, q) R k, k k i,j pq } (29) zbiór eleentów, będących układai wskaźników dla podwójnych różnic fazowych według scheatu Schreibera, zaś TD = {[(i, j), (p, q), (k1, k2)]: (i, j) S k1 S k2, (p, q) R k1 R k2, (k1, k2) T i,j pq } (30) układe różnic potrójnych analogicznego typu. W praktycznej realizacji obu etod, ze względu na stosowane dodatkowe filtry eliinujące tzw. eleenty odstające, faktycznie wykorzystane pseudoobserwacje będą określone przez pewne podzbiory DD DD, TD TD. Liczby wszystkich eleentarnych obserwacji w obu przypadkach określają wzory: κ(dd) = κ(k i,j pq ), κ(td) = i, j p, q κ(dd) κ(dd), κ(td) κ(td). κ(t pq i,j ), (31) i, j p, q 3.3. Zastosowanie twierdzenia 1 do tworzenia acierzy wagowych w układzie różnicowy typu Schreibera Niech wariancja apriori dla eleentarnej obserwacji fazowej wynosi σ 2. Na podstawie prawa propagacji wariancji, w przypadku rozpatrywania tylko pojedynczego wektora GPS (single baseline), pojedyncze różnice fazowe określone wzore (20) charakteryzują się wariancją 2 σ 2 (tylko dla jednej bazy), ale dla sesji wielopunktowej, kiedy pojedyncze różnice obejujey plane Schreibera, określay wagi zgodnie z twierdzenie A: waga ΔΦ = [waga Φ] [waga Φ] : [sua_wag Φ w k-tej epoce] = = (1/σ 2 ) (1/σ 2 )/[r k (1/σ 2 )] = 1/(r k σ 2 ), (32) r k liczba odbiorników z użyteczną (nieodrzuconą) obserwacją fazową w epoce t k. Założyliśy w ten sposób typowy odel stochastyczny dla obserwacji fazowych jako obserwacji niezależnych i jednakowo dokładnych (apriori z jednakową wariancją σ 2 ). Założenie jednakowej wariancji służy pewnej prostocie wywodu, ale

17 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera w świetle wykorzystywanego dalej twierdzenia A nie usiy ograniczać ogólności w ty znaczeniu. W szczególności ożna by przyjąć, za niektóryi stosowanyi odelai stochastycznyi, że wariancja pojedynczej obserwacji jest proporcjonalna do wartości 1/sin 2 (β), gdzie β jest kąte elewacji wektora: odbiornik satelita. Zgodnie z twierdzenie 1 acierz wagowa w każdy przypadku zastosowania układu różnicowego typu Schreibera będzie acierzą diagonalną. Dla układu podwójnych różnic określonych plane DD diagonalna acierz wagowa składa się z podacierzy skalarnych W k = w k I (w k skalar, I acierz jednostkowa), odpowiadających kolejny epoko obserwacyjny, przy czy skalar jest określony następująco: waga ΔΔΦ = [waga ΔΦ ] [waga ΔΦ] : [sua wag ΔΦ w k-tej epoce] w k = [1/(r k σ 2 )] [1/(r k σ 2 )]/[s k /(r k σ 2 )] = 1/(σ 2 s k r k ), (33) gdzie: s k liczba satelitów i r k liczba odbiorników wykorzystywanych w epoce k-tej. W szczególności r k > 2 oznacza wielopunktową sesję obserwacyjną. Z kolei określay wagę dla potrójnej różnicy faz, biorąc również pod uwagę układ Schreibera tych różnic w zakresie wyboru par epok: waga ΔΔΔΦ = [waga ΔΔΦ dla epoki k1] [waga ΔΔΦ dla epoki k2] : [sua wag ΔΔΦ dla pojedynczych epok tworzących układ Schreibera przy określonej konstelacji pary satelitów i pary odbiorników] w i,j p,q (t k1, t k2 ) = (s k1 r k1 σ 2 ) 1 (s k2 r k2 σ 2 ) 1 [Σ(s k r k σ 2 ) 1 ] 1 = (1/σ 2 ) [s k1 r k1 s k2 r k2 ] 1 [ (s k r k ) 1 ] 1, (34) k ale suowanie dla wszystkich k k i,j pq. Dla danej potrójnej różnicy faz waga jest zależna od ilości efektywnych epok, wykorzystanych dla określonej pary satelitów i odbiorników. 4. Pełne równania obserwacyjne dla podwójnych i potrójnych różnic faz według scheatu Schreibera Różnice podwójne Układ obserwacyjny podwójnych różnic faz, z uwzględnienie wielopunktowych sesji obserwacyjnych, a następującą postać:

18 102 R. Kadaj λ 1 ΔΔΦ p,q i,j (t k ) + λ 1 ΔΔN p,qi,j + α δ p,q i,j (t k ) + e p,q i,j (t k ) = α ΔΔρ p,q i,j (t k ) (35) dla [(i, j), (p, q), k] DD z diagonalną acierzą wagową, której eleenty w k = 1/(σ 2 s k r k ), k wskaźnik epoki obserwacyjnej, w której s k oznacza liczbę identyfikowanych satelitów, r k liczba użytych odbiorników. Przyjęto w równaniu następujące oznaczenia: ΔΔN p,q i,j podwójna różnica całkowitych nieoznaczoności dla częstotliwości L1: ΔΔN p,qi,j i,j = ΔΔN1 p,q lub przy kobinacji L1/L2 wolnej od wpływu jonosfery (ionosphere free cobination): ΔΔN p,q i,j = ΔΔN1 p,q i,j (λ 1 /λ 2 ) ΔΔN2 p,q i,j, (36) ΔΔN1.., ΔΔN2.. odpowiadające L1, L2 podwójne różnice całkowitych nieoznaczoności; δ p,q i,j (t k ) podwójna różnica korekt systeatycznych: offsety anten, redukcje do centru fazowego, poprawki troposferyczne oraz (alternatywnie) poprawki jonosferyczne; e p,q i,j (t k ) błąd przypadkowy obserwacji, przeskalowany czynnikie ; ΔΔρ p,q i,j (t k ) podwójna różnica odległości od punktów nazienych (p, q) do satelitów (i, j) w oencie czasu t k, definiowana jako funkcja wektora nazienego ΔR pq = (ΔX pq, ΔY pq, ΔZ pq ) w kartezjański układzie geocentryczny. Pozycje satelitów są interpolowane na oent detekcji sygnału fazowego t k τ, gdzie τ to przesunięcie czasowe na linii satelita odbiornik; α stały współczynnik, α = 1 przy wykorzystaniu jedynie częstotliwości L1 albo α = 1 (λ 1 /λ 2 ) 2. (37) dla kobinacji L1/L2 (ionosphere free). Różnice potrójne Układ obserwacyjny potrójnych różnic faz z uwzględnienie wielopunktowych sesji obserwacyjnych będzie postaci: λ 1 ΔΔΔΦ p,q i,j (t k1, t k2 ) + α δ p,qi,j (t k1, t k2 ) + e p,qi,j (t k1, t k2 ) = α ΔΔΔρ p,qi,j (t k1, t k2 ) (38) dla [(p, q), (i, j), (k1, k2)] TD.

19 Zastosowanie różnicowego układu obserwacyjnego typu Schreibera Układowi teu jest przyporządkowana (zgodnie z twierdzenie A) diagonalna acierz wagowa, a pojedynczeu równaniu (38) waga: w i,j p,q (t k1, t k2 ) = (1/σ 2 ) [s k1 r k1 s k2 r k2 ] 1 [ (s k r k ) 1 ] 1, (39) suowanie dla wszystkich k k i,j pq, s k liczba satelitów i r k liczba odbiorników wykorzystywanych epoce k-tej. Rozwiązanie najniejszych kwadratów W obu odelach funkcjonalnych eleenty różnicowe odległości ΔΔρ p,qi,j ( ), ΔΔΔρ p,q i,j ( ) tworzą nieliniowe funkcje składowych niewiadoego wektora GPS ΔR pq = (ΔX pq, ΔY pq, ΔZ pq ), przy czy w cały układzie występuje jedynie r k 1 wektorów niezależnych. Rozwiązanie zadań post-processingu wyaga więc użycia nieliniowych procedur etody najniejszych kwadratów. Klasyczny sposób polega na zastosowaniu iteracyjnego algorytu Gaussa-Newtona. Punkte startowy są w ty przypadku przybliżone wartości niewiadoych wyznaczone w zadaniu pozycjonowania bezwzględnego (procedura SPP single point position). W konkretnych aplikacjach oówionych w p. 5, w raach procesu iteracyjnego (trwającego z reguły od kilkunastu do kilkudziesięciu iteracji), dokonuje się równoległej filtracji obserwacji z tzw. eleentów odstających oraz stosuje się dodatkowy czynnik wagi, zależny od aktualnie identyfikowanych residuów, wynikający z definicji tzw. estyacji ocnej. Wyienione eleenty filtracji i estyacji ocnej, jak potwierdzają dotychczasowe testy nueryczne, optyalizują standardowy odel stochastyczny układu obserwacyjnego. k 5. Zastosowanie algorytów w autoatyczny post-processingu systeu ASG-EUPOS Opisane powyżej algoryty względnego pozycjonowania w oparciu o obserwacje fazowe zostały zaaplikowane po raz pierwszy w odule autoatycznego post-processingu (APPS) serwisu POZGEO systeu ASG-EUPOS, a także (równolegle) w specjalny prograie post-processingu GPS, dołączony do pakietu geodezyjnego GEONET (www.geonet.net.pl). Syste ASG-EUPOS został oddany do dyspozycji użytkowników w czerwcu 2008 i jest już narzędzie wykorzystywany szeroko w pracach geodezyjnych. Należy dodać, że obok serwisu POZGEO, do dyspozycji użytkowników są inne serwisy, zwłaszcza NAWGEO (powierzchniowy RTK) oraz serwis POZGEO-D, uożliwiający bezpośrednie wykorzystanie obserwacji na stacjach referencyjnych lub na zdefiniowanych stacjach wirtualnych (VRS).

20 104 R. Kadaj Szczegółowy opis funkcjonalny odułu APPS i w szerszy znaczeniu serwisu POZGEO przedstawiono w dokuentacji eksploatacyjnej systeu, a także w publikacji Kadaj, Świętoń (2008). Pierwszy (wstępny) etap obliczeń obejuje następujące zadania: proces przygotowania, selekcji i filtracji danych źródłowych, pochodzących z plików w foracie RINEX, dla 10 najbliższych stacji referencyjnych, identyfikację ewentualnych orbit precyzyjnych i typów anten (danych kalibracyjnych absolutnych odeli anten), obliczenie orbit satelitów, wyznaczenie ich dyskretnych pozycji dla wszystkich epok oraz wyznaczenie współrzędnych przybliżonych pozycji odbiorników (zadanie SPP single point position), wykonanie redukcji troposferycznych (zastosowano.in. odel GMF global apping function do określenia przestrzennego rozkładu poprawek troposferycznych), i przetworzenie zbiorów obserwacji fazowych do wtórnej postaci wewnętrznej. Kolejne etapy obejują już obliczenia i wyrównania sieci wektorów, a do tego celu użyto równolegle dwóch etod, podwójnych i potrójnych różnic fazowych obie stosują opisane w tej pracy algoryty oparte na układzie różnicowy Schreibera. Metodę opartą na potrójnych różnicach faz w układzie typu Schreibera nazwano w szczególności etodą β. Użycie jej jako alternatywy etody różnic podwójnych pokazuje w praktyce istotne korzyści jakościowe, zwłaszcza w sytuacji wykorzystywania obserwacji fazowych tylko z jednej częstotliwości (L1), gdy istnieją trudności z jednoznaczną identyfikacją niektórych całkowitych kobinacji nieoznaczoności (abiguities). Metoda β eliinuje ten proble, zgodnie z jej odele funkcjonalny. Trzeba jednak dodać, że przy znacznej liczbie epok, zbiór par epok według scheatu Schreibera (30) staje się wielokrotnie większy niż saa liczba epok, stąd dokładnie realizowana etoda β będzie bardziej kosztowna niż etoda podwójnych różnic fazowych. Z tego powodu, w praktycznej realizacji etody β, zwłaszcza dla znacznej liczby epok, stosuje się uproszczenia nueryczne, polegające np. na rozrzedzaniu zbioru obserwacji, zachowując jednak generalnie cechy charakterystyczne scheatu Schreibera dotyczące jednorodności i syetrii wskaźników użytych obserwacji różnicowych. W algorytie autoatycznego post-processingu, ając do dyspozycji wyniki procesu zrealizowanego dwiea etodai, wybiera się zawsze rozwiązanie, które w sensie epiryczny (aposteriori) wykazuje lepszą dokładność wyznaczenia pozycji. W każdy przypadku finalna pozycja punktu jest wyznaczana w oparciu o wektory utworzone do najbliższych stacji referencyjnych (wyrównanie układu wektorów przy założeniu znanych współrzędnych stacji referencyjnych).

Precyzyjne pozycjonowanie w oparciu o GNSS

Precyzyjne pozycjonowanie w oparciu o GNSS Precyzyjne pozycjonowanie w oparciu o GNSS Załącznik nr 2 Rozdział 1 Techniki precyzyjnego pozycjonowania w oparciu o GNSS 1. Podczas wykonywania pomiarów geodezyjnych metodą precyzyjnego pozycjonowania

Bardziej szczegółowo

Moduły ultraszybkiego pozycjonowania GNSS

Moduły ultraszybkiego pozycjonowania GNSS BUDOWA MODUŁÓW WSPOMAGANIA SERWISÓW CZASU RZECZYWISTEGO SYSTEMU ASG-EUPOS Projekt rozwojowy MNiSW nr NR09-0010-10/2010 Moduły ultraszybkiego pozycjonowania GNSS Paweł Wielgosz Jacek Paziewski Katarzyna

Bardziej szczegółowo

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Rozprawa doktorska Warszawa, 15 maja 214 r. Dominik Próchniewicz Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII Departament Geodezji, Kartografii i Systemów Informacji Geograficznej Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF Szymon Wajda główny

Bardziej szczegółowo

Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS

Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS Ultra szybkie pozycjonowanie GNSS z zastosowaniem systemów GPS, GALILEO, EGNOS i WAAS Jacek Paziewski Paweł Wielgosz Katarzyna Stępniak Katedra Astronomii i Geodynamiki Uniwersytet Warmińsko Mazurski w

Bardziej szczegółowo

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII Departament Geodezji, Kartografii i Systemów Informacji Geograficznej Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF Marcin Ryczywolski

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM I OPROGRAMOWANIE MODUŁU AUTOMATYCZNEGO POSTPROCESSINGU (APPS) W POLSKIM SYSTEMIE SATELITARNYCH STACJI REFERENCYJNYCH (ASG-EUPOS)

ALGORYTM I OPROGRAMOWANIE MODUŁU AUTOMATYCZNEGO POSTPROCESSINGU (APPS) W POLSKIM SYSTEMIE SATELITARNYCH STACJI REFERENCYJNYCH (ASG-EUPOS) Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Budownictwo i InŜynieria Środowiska, t.262, z.51, s.37-57, 2009. Roman Kadaj, prof. dr hab. inŝ. - Politechnika Rzeszowska, Katedra Geodezji im K. Weigla Tomasz

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA I STAN AKTUALNY REALIZACJI

ZAŁOŻENIA I STAN AKTUALNY REALIZACJI ZAŁOŻENIA I STAN AKTUALNY REALIZACJI PROJEKTU ASG+ Figurski M., Bosy J., Krankowski A., Bogusz J., Kontny B., Wielgosz P. Realizacja grantu badawczo-rozwojowego własnego pt.: "Budowa modułów wspomagania

Bardziej szczegółowo

Serwisy postprocessingu POZGEO i POZGEO D

Serwisy postprocessingu POZGEO i POZGEO D GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII Departament Geodezji, Kartografii i Systemów Informacji Geograficznej Serwisy postprocessingu POZGEO i POZGEO D Marcin Ryczywolski specjalista Szkolenie Służby Geodezyjnej

Bardziej szczegółowo

ASG-EUPOS wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania i nawigacji w Polsce

ASG-EUPOS wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania i nawigacji w Polsce ASG-EUPOS wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania i nawigacji w Polsce Jarosław Bosy, Marcin Leończyk Główny Urząd Geodezji i Kartografii 1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską Europejski

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

AKTUALNY STAN REALIZACJI PROJEKTU ASG+

AKTUALNY STAN REALIZACJI PROJEKTU ASG+ AKTUALNY STAN REALIZACJI PROJEKTU ASG+ Figurski Mariusz Centrum Geomatyki Stosowanej WAT Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT Realizacja grantu badawczo-rozwojowego własnego pt.: "Budowa modułów wspomagania

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności modeli centrów fazowych anten odbiorników GPS dla potrzeb niwelacji satelitarnej

Analiza dokładności modeli centrów fazowych anten odbiorników GPS dla potrzeb niwelacji satelitarnej Analiza dokładności modeli centrów fazowych anten odbiorników GPS dla potrzeb niwelacji satelitarnej Konferencja Komisji Geodezji Satelitarnej Komitetu Badań Kosmicznych i Satelitarnych PAN Satelitarne

Bardziej szczegółowo

Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Systemy pozycjonowania i nawigacji Nazwa modułu w języku angielskim Navigation

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA

GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA www.geonet.net.pl GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA Roman J. Kadaj Przykład wyrównania fragmentu sieci III klasy w układach 1965, 1992, 2000/18 [ Publikacja internetowa, www.geonet.net.pl, ALGORES-SOFT,

Bardziej szczegółowo

TEMATYKA PRAC DYPLOMOWYCH MAGISTERSKICH STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2012/2013

TEMATYKA PRAC DYPLOMOWYCH MAGISTERSKICH STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2012/2013 STUDIA STACJONARNE DRUGIEGO STOPNIA ROK AKADEMICKI 2012/2013 Instytut Geodezji GEODEZJA GOSPODARCZA PROMOTOR Dr hab. Zofia Rzepecka, prof. UWM Dr inż. Dariusz Gościewski Analiza możliwości wyznaczenia

Bardziej szczegółowo

Źródła błędów w pomiarach GNSS (na podstawie Bosy J., 2005) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Źródła błędów w pomiarach GNSS (na podstawie Bosy J., 2005) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Źródła błędów w pomiarach GNSS (na podstawie Bosy J., 2005) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Źródła błędów w pomiarach GNSS: Błędy wyznaczania pozycji w systemach zaliczanych do GNSS

Bardziej szczegółowo

SERWIS INTERAKTYWNEGO MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SIECI ASG-EUPOS

SERWIS INTERAKTYWNEGO MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SIECI ASG-EUPOS II Konferencja Użytkowników ASG-EUPOS Katowice 2012 SERWIS INTERAKTYWNEGO MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SIECI ASG-EUPOS K. Szafranek, A. Araszkiewicz, J. Bogusz, M. Figurski Realizacja grantu badawczo-rozwojowego

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie systemu ASG-EUPOS do wykonania prac geodezyjnych i kartograficznych

Wykorzystanie systemu ASG-EUPOS do wykonania prac geodezyjnych i kartograficznych GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII DEPARTAMENT GEODEZJI KARTOGRAFII I SYSTEMÓW INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ Wykorzystanie systemu ASG-EUPOS do wykonania prac geodezyjnych i kartograficznych Opracowanie: Ryszard

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie podstawowej osnowy geodezyjnej na obszarze Polski

Wyrównanie podstawowej osnowy geodezyjnej na obszarze Polski Centralny Ośrodek Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej Dział Osnów Podstawowych Wyrównanie podstawowej osnowy geodezyjnej na obszarze Polski Ewa Kałun kierownik działu osnów podstawowych CODGiK Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania GNSS-RTK

Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania GNSS-RTK Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania GNSS-RTK Dominik Próchniewicz Wydział Geodezji i Kartografii Politechnika Warszawska d.prochniewicz@gik.pw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

II Konferencja Użytkowników ASG-EUPOS. Algorytmy automatycznego postprocessingu w serwisie POZGEO. Roman Kadaj

II Konferencja Użytkowników ASG-EUPOS. Algorytmy automatycznego postprocessingu w serwisie POZGEO. Roman Kadaj Katedra Geodezji im. K. Weigla II Konferencja Użytkowników ASG-EUPOS Katowice, 20-21 listopad 2012 Algorytmy automatycznego postprocessingu w serwisie POZGEO Roman Kadaj APPS jako moduł automatycznego

Bardziej szczegółowo

WYTYCZNE TECHNICZNE G-1.12

WYTYCZNE TECHNICZNE G-1.12 GŁÓWNY GEODETA KRAJU WYTYCZNE TECHNICZNE G-1.12 Pomiary satelitarne oparte na systemie precyzyjnego pozycjonowania ASG- EUPOS (Projekt z dnia 1.03.2008 r. z poprawkami) Wytyczne opracował zespół w składzie:

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO SPOSTRZEŻENIA JEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżenia jednakowo dokładne to takie, które wykonane są: tym samym przyrządem, tą samą metodą

Bardziej szczegółowo

TECHNOLOGIE. Artykuł recenzowany: Kontrola zasobu geodezyjnego z wykorzystaniem systemu ASG-EUPOS na przykładzie powiatu bolesławieckiego

TECHNOLOGIE. Artykuł recenzowany: Kontrola zasobu geodezyjnego z wykorzystaniem systemu ASG-EUPOS na przykładzie powiatu bolesławieckiego Artykuł recenzowany: Kontrola zasobu geodezyjnego z wykorzystaniem systemu ASG-EUPOS na przykładzie powiatu bolesławieckiego ASG-EUPOS zdaje egzamin Streszczenie: Testowe uruchomienie z początkiem maja

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF

Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF Pomiary statyczne GNSS i serwisy postprocessingu: POZGEO, POZGEO D i POZGEO DF Marcin Ryczywolski marcin.ryczywolski@gugik.gov.pl Główny Urząd Geodezji i Kartografii Olsztyn, 10-11 października 2013 r.

Bardziej szczegółowo

Sieciowe Pozycjonowanie RTK używając Virtual Reference Stations (VRS)

Sieciowe Pozycjonowanie RTK używając Virtual Reference Stations (VRS) Sieciowe Pozycjonowanie RTK używając Virtual Reference Stations (VRS) Mgr inż. Robert Dudek GEOTRONICS KRAKÓW GSI Japan - 21st of June 1999 Wprowadzenie u Dlaczego Sieci stacji referencyjnych GPS? u Pomysł

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki jakości rozwiązania sieciowego Network RTK

Wskaźniki jakości rozwiązania sieciowego Network RTK Wskaźniki jakości rozwiązania sieciowego Network RTK Satelitarne metody wyznaczania pozycji we współczesnej geodezji i nawigacji Olsztyn, 23-25 czerwca 214 r. Dominik Próchniewicz Politechnika Warszawska

Bardziej szczegółowo

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII DEPARTAMENT GEODEZJI KARTOGRAFII I SYSTEMÓW INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS SATELITARNE TECHNIKI POMIAROWE

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ZALECENIA TECHNICZNE

ZALECENIA TECHNICZNE GŁÓWNY GEODETA KRAJU ZALECENIA TECHNICZNE Pomiary satelitarne GNSS oparte na systemie stacji referencyjnych ASG-EUPOS Warszawa, 2011 r. Zalecenia techniczne opracował zespół w składzie: Wiesław Graszka,

Bardziej szczegółowo

SZYBKIE POZYSKIWANIE PRECYZYJNYCH I WIARYGODNYCH INFORMACJI GEODEZYJNYCH W CZASIE RZECZYWISTYM NA POTRZEBY INŻYNIERII ŚRODOWISKA

SZYBKIE POZYSKIWANIE PRECYZYJNYCH I WIARYGODNYCH INFORMACJI GEODEZYJNYCH W CZASIE RZECZYWISTYM NA POTRZEBY INŻYNIERII ŚRODOWISKA DOI: http://dx.doi.org/10.15576/asp.fc/2014.13.3.79 Acta Sci. Pol., Foratio Circuiectus 13 (3) 2014, 79 90 SZYBKIE POZYSKIWANIE PRECYZYJNYCH I WIARYGODNYCH INFORMACJI GEODEZYJNYCH W CZASIE RZECZYWISTYM

Bardziej szczegółowo

Badania dokładności pozycjonowania techniką PPP w zależności od długości sesji obserwacyjnej oraz wykorzystanych systemów pozycjonowania satelitarnego

Badania dokładności pozycjonowania techniką PPP w zależności od długości sesji obserwacyjnej oraz wykorzystanych systemów pozycjonowania satelitarnego Bi u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr 1, 2012 Badania dokładności pozycjonowania techniką PPP w zależności od długości sesji obserwacyjnej oraz wykorzystanych systemów pozycjonowania satelitarnego Katarzyna

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

WSPÓ CZESNE MO LIWOŒCI POMIARU SZCZEGÓ ÓW SYTUACYJNYCH W PRZESTRZENI LEŒNEJ CONTEMPORARY SURVEYING CAPABILITY IN FORESTRY ENVIRONMENT.

WSPÓ CZESNE MO LIWOŒCI POMIARU SZCZEGÓ ÓW SYTUACYJNYCH W PRZESTRZENI LEŒNEJ CONTEMPORARY SURVEYING CAPABILITY IN FORESTRY ENVIRONMENT. Wspó³czesne POLSKIE o liwoœci TOWARZYSTWO poiaru szczegó³ów INFORMACJI sytuacyjnych PRZESTRZENNEJ w przestrzeni leœnej ROCZNIKI GEOMATYKI 2008 TOM VI ZESZYT 8 61 WSPÓ CZESNE MO LIWOŒCI POMIARU SZCZEGÓ

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY INFORMACJI PRZESTRZENNEJ

SYSTEMY INFORMACJI PRZESTRZENNEJ SYSTEMY INFORMACJI PRZESTRZENNEJ 2014-2015 program rozszerzony dr inż. Paweł Strzeliński Katedra Urządzania Lasu Wydział Leśny UP w Poznaniu Wyznaczenie pozycji anteny odbiornika może odbywać się w dwojaki

Bardziej szczegółowo

Wiesław Graszka naczelnik wydziału Szymon Wajda główny specjalista

Wiesław Graszka naczelnik wydziału Szymon Wajda główny specjalista Wiesław Graszka naczelnik wydziału Szymon Wajda główny specjalista Konferencja Satelitarne metody wyznaczania pozycji we współczesnej geodezji i nawigacji Wrocław 02-04. czerwca 2011 r. Wprowadzenie Zakres

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie systemu EGNOS w nawigacji lotniczej w aspekcie uruchomienia serwisu Safety-of-Life

Wykorzystanie systemu EGNOS w nawigacji lotniczej w aspekcie uruchomienia serwisu Safety-of-Life UNIWERSYTET WARMIŃSKO-MAZURSKI w Olsztynie Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej Katedra Geodezji Satelitarnej i Nawigacji Wyższa Szkoła Oficerska Sił Powietrznych w Dęblinie Wykorzystanie systemu

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Eleenty odelowania ateatycznego Systey kolejkowe. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ RZYKŁAD KOLEJKI N(t) długość kolejki w chwili t T i czas obsługi i-tego klienta Do okienka

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie nowoczesnych technologii w zarządzaniu drogami wojewódzkimi na przykładzie systemu zarządzania opartego na technologii GPS-GPRS.

Wykorzystanie nowoczesnych technologii w zarządzaniu drogami wojewódzkimi na przykładzie systemu zarządzania opartego na technologii GPS-GPRS. Planowanie inwestycji drogowych w Małopolsce w latach 2007-2013 Wykorzystanie nowoczesnych technologii w zarządzaniu drogami wojewódzkimi na przykładzie systemu zarządzania opartego na technologii GPS-GPRS.

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA BUDOWY MODUŁÓW OPRACOWANIA SIECI ASG-EUPOS I MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SYSTEMU W CZASIE PRAWIE-RZECZYWISTYM

ZAŁOŻENIA BUDOWY MODUŁÓW OPRACOWANIA SIECI ASG-EUPOS I MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SYSTEMU W CZASIE PRAWIE-RZECZYWISTYM ZAŁOŻENIA BUDOWY MODUŁÓW OPRACOWANIA SIECI ASG-EUPOS I MONITOROWANIA WSPÓŁRZĘDNYCH STACJI SYSTEMU W CZASIE PRAWIE-RZECZYWISTYM Figurski M., Szafranek K., Araszkiewicz A., Szołucha M. Realizacja grantu

Bardziej szczegółowo

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych

Bardziej szczegółowo

GPSz 2 WYKŁAD 4 OSNOWY SZCZEGÓŁOWE ZAKŁADANE TECHNOLOGIĄ GNSS ORAZ OSNOWY ZINTEGROWANE - ZASADY OGÓLNE

GPSz 2 WYKŁAD 4 OSNOWY SZCZEGÓŁOWE ZAKŁADANE TECHNOLOGIĄ GNSS ORAZ OSNOWY ZINTEGROWANE - ZASADY OGÓLNE GPSz 2 WYKŁAD 4 OSNOWY SZCZEGÓŁOWE ZAKŁADANE TECHNOLOGIĄ GNSS ORAZ OSNOWY ZINTEGROWANE - ZASADY OGÓLNE NIEKTÓRE ZMIANY I NOWOŚCI WYNIKAJĄCE Z NOWEGO ROZPORZĄDZENIA W SPRAWIE OSNÓW wprowadzenie do obiegu

Bardziej szczegółowo

CZY TWÓJ GPS JEST LEGALNY Z AKTAMI PRAWNYMI ORAZ WYMOGAMI GUGIK? PORADNIK APOGEO

CZY TWÓJ GPS JEST LEGALNY Z AKTAMI PRAWNYMI ORAZ WYMOGAMI GUGIK? PORADNIK APOGEO CZY TWÓJ GPS JEST LEGALNY Z AKTAMI PRAWNYMI ORAZ WYMOGAMI GUGIK? PORADNIK APOGEO CZY TWÓJ GPS JEST LEGALNY Z AKTAMI PRAWNYMI ORAZ WYMOGAMI GUGIK? Inwestując w profesjonalne rozwiązania pomiarowe GPS/GNSS

Bardziej szczegółowo

Mobilne pozycjonowanie GNSS z użyciem obserwacji fazowych

Mobilne pozycjonowanie GNSS z użyciem obserwacji fazowych Mobilne pozycjonowanie GNSS z użyciem obserwacji fazowych Jerzy Saczuk 1) 1) Centrum Geomatyki Stosowanej, Wydz. Inż. Lądowej i Geodezji, Wojskowa Akademia Techniczna 1/40 : Badania prowadzone w ramach

Bardziej szczegółowo

Przegląd metod zwiększania precyzji danych GPS. Mariusz Kacprzak

Przegląd metod zwiększania precyzji danych GPS. Mariusz Kacprzak Przegląd metod zwiększania precyzji danych GPS Mariusz Kacprzak Plan prezentacji: 1) Omówienie podstaw funkcjonowania GPS 2) Zasada wyznaczenie pozycji w GPS 3) Błędy wyznaczania pozycji 4) Sposoby korekcji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII DEPARTAMENT GEODEZJI KARTOGRAFII I SYSTEMÓW INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS TYTUŁ WYKŁADU Wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH

ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka. Cel ćwiczenia: WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIECZY ZA POMOCĄ WAGI HYDROSTATYCZNEJ Wyznaczenie gęstości cieczy za poocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), koplet odważników, obciążnik,

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18

1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18 : Przedmowa...... 11 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ Z historii geodezji... 13 1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18 1.2.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

TECHNOLOGIE. a jedynie w celach kontrolnych dla metody

TECHNOLOGIE. a jedynie w celach kontrolnych dla metody Obliczenia dla pomiarów statycznych GPS z wykorzystaniem systemu EPN AktyWNIE i wirtualnie z EUREF Po wydaniu milionów na system ASG-EUPOS z GUGiK wychodzą zalecenia kupowania wyłącznie drogich odbiorników

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

FastStatic czyli jak wykonać pomiar statyczny

FastStatic czyli jak wykonać pomiar statyczny FastStatic czyli jak wykonać pomiar statyczny POMIAR W TERENIE Aby wykonać pomiar statyczny nie ma potrzeby uprzedniego nawiązywania połączenia internetowego, ani rozpoczynania procedury podłączenia do

Bardziej szczegółowo

O technologii pomiarów GPS RTK (Real Time Kinematic)

O technologii pomiarów GPS RTK (Real Time Kinematic) 1. Wstęp O technologii pomiarów GPS RTK (Real Time Kinematic) Pomiar RTK to na dzień dzisiejszy najnowocześniejsza na świecie technologia dokładnych pomiarów uzyskiwanych w czasie rzeczywistym bez wykonywania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania

Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania Rozdział 5 Wpływ charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na rozwiązanie modelu pozycjonowania W rozdziale tym scharakteryzowane zostały błędy residualne obserwacji w pozycjonowaniu Network RTK

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław

Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław XX JUBILEUSZOWA JESIENNA SZKOŁA GEODEZJI im. Jacka Rejmana WSPÓŁCZESNE METODY POZYSKIWANIA I MODELOWANIA GEODANYCH Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania satelitarnego ASG-EUPOS

Wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania satelitarnego ASG-EUPOS Wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania satelitarnego ASG-EUPOS STACJE REFERENCYJNE SYSTEMU ASG-EUPOS WSTĘP Istnienie nowoczesnych, wielofunkcyjnych systemów precyzyjnego pozycjonowania satelitarnego,

Bardziej szczegółowo

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości.

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Cross-correlations of financial crisis analysed by power law classification scheme. Evolving

Bardziej szczegółowo

TECHNOLOGIA REALIZACJI PAŃSTWOWEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH 2000 NA OBSZARZE POWIATU

TECHNOLOGIA REALIZACJI PAŃSTWOWEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH 2000 NA OBSZARZE POWIATU XX JUBILEUSZOWA JESIENNA SZKOŁA GEODEZJI im. Jacka Rejmana WSPÓŁCZESNE METODY POZYSKIWANIA I MODELOWANIA GEODANYCH Polanica Zdrój, 16-18 września 2007 r. TECHNOLOGIA REALIZACJI PAŃSTWOWEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

GNSS ROZWÓJ SATELITARNYCH METOD OBSERWACJI W GEODEZJI

GNSS ROZWÓJ SATELITARNYCH METOD OBSERWACJI W GEODEZJI GNSS ROZWÓJ SATELITARNYCH METOD OBSERWACJI W GEODEZJI Dr inż. Marcin Szołucha Historia nawigacji satelitarnej 1940 W USA rozpoczęto prace nad systemem nawigacji dalekiego zasięgu- LORAN (Long Range Navigation);

Bardziej szczegółowo

Parametry statystyczne

Parametry statystyczne I. MIARY POŁOŻENIA charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół nich skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy. I.1. Średnia arytmetyczna x = x 1 + x + + x n n = 1 n

Bardziej szczegółowo

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy 1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo