Ekonometria - ćwiczenia 1

Transkrypt

1 Ekonometria - ćwiczenia 1 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 5 października 2012

2 1 Sprawy organizacyjne 2 Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne 3 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej 4 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych

3 Ćwiczenia: grupa piątek, , sala 108G grupa piątek, , sala 108G Informacje o zaliczeniu przedmiotu oraz polecanej literaturze w sylabusie, oraz na stronie Konsultacje: środy, g , sala 217M (inny termin po kontakcie mailowym) Kontakt: mateusz.mysliwski@gmail.com

4 Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne Ekonometria wykorzystuje metody statystyczne do szacowania siły zależności ekonomicznych, testowania teorii ekonomicznych oraz do oceny efektywności polityk publicznych i skutków zmian regulacji, na podstawie zgromadzonych danych. Najbardziej intuicyjnym i prawdopodobnie najczęściej używanym zastosowaniem ekonometrii jest prognozowanie wielkości makroekonomicznych, jednak zakres stosowalności omawianych m.in. podczas tego kursu metod jest znacznie szerszy i obejmuje chociażby ekonomię pracy edukacji, zdrowia, czy ekonomię polityczną.

5 Ekonometria a data mining Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne W odróżnieniu od ekonometrii, gdzie budowa modelu prowadzącego do odkrycia pewnych zależności jest poprzedzona obserwacją rzeczywistości i studiowaniem teorii ekonomicznej, data mining skupia się wyłącznie na mechanicznym wyszukiwaniu wzorców i podobieństw w dużych zbiorach danych. Obserwacja rzeczywistości Ekonometria Data mining Dane Dane Teoria ekonomiczna Teoria ekonomiczna Wnioski Hipotezy badawcze Hipotezy badawcze Modelowanie ekonometryczne Wnioski

6 Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne Podstawowa cecha odróżniająca dane ekonomiczne od danych wykorzystywanych np. w naukach przyrodniczych - dane ekonomiczne nie pochodzą z eksperymentu. Dane nieeksperymentalne bywają nazywane obserwacyjnymi, lub historycznymi (retrospektywnymi). Dane można podzielić według kilku kryteriów, m.in. 1 Ze względu na stopień agregacji: mikrodane - dane o pojedynczych jednostkach, podejmujących decyzje ekonomiczne np. firma, gospodarstwo domowe, makrodane - dane otrzymane w wyniku agregacji danych indywidualnych na poziomie regionu, kraju. 2 Moment pomiaru: zasób - wartość zmiennej mierzona jest w określonym punkcie czasu (np. liczba ludności), strumień - wartość zmiennej mierzona w pewnym przedziale czasu (np. PKB). 3 Możliwość pomiaru ilościowe - wartości zmiennych są wyrażone w jednostkach mierzalnych, jakościowe - zmienne przyjmują wartości niemierzalne.

7 Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne W praktyce najczęściej wykorzystywany jest następujący podział danych: 1 Dane przekrojowe - wyrażają stan zjawiska w ustalonym momencie czasu w odniesieniu do różnych obiektów np. PKB per capita w krajach UE w roku Szereg czasowy - dane przedstawiające zmienność badanego zjawiska w kolejnych jednostkach czasu np. PKB per capita w Polsce w latach Dane panelowe - złożenie szeregu czasowego i danych przekrojowych np. PKB per capita w krajach UE w latach

8 Przykład - dane przekrojowe Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne Źródło: Wooldridge J. (2009): Introductory Econometrics. A Modern Approach, 4e, South-Western CENAGE Learning.

9 Przykład - szereg czasowy Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne Źródło: Wooldridge J. (2009): Introductory Econometrics. A Modern Approach, 4e, South-Western CENAGE Learning.

10 Przykład - dane panelowe Czym jest ekonometria? Dane ekonomiczne Źródło: Wooldridge J. (2009): Introductory Econometrics. A Modern Approach, 4e, South-Western CENAGE Learning.

11 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej to formalny opis stochastycznej zależności wyróżnionej wielkości, zjawiska lub przebiegu procesu ekonomicznego (zjawisk, procesów) od czynników, które je kształtują, wyrażony w formie równania lub układu równań. y i = f (x 1i, x 2i,..., x ki ) +ε i } {{ } Model ekonomiczny ε i jest nazywany składnikiem lub zaburzeniem losowym. Można go postrzegać jako wszystkie pozostałe czynniki, mające potencjalnie wpływ na kształtowanie się zmiennej y.

12 Przykład - przestępczość - Becker (1968) - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej W bardzo znanym artykule, Gary Becker zaproponował teorię, zgodnie z którą decyzja o podjęciu działalności przestępczej jednostki wynika z zasady maksymalizacji indywidualnej użyteczności. Bardzo ogólnie, ten model ekonomiczny można zapisać jako: y = f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ), gdzie: y - liczba godzin poświęcanych na działalność przestępczą, x 1 - wynagrodzenie za godzinę gangsterki, x 2 - wynagrodzenie za godzinę legalnego zatrudnienia, x 3 - pozostały dochód, x 4 - prawdopodobieństwo zostania złapanym, x 5 - prawdopodobieństwo zostania skazanym w przypadku złapania, x 6 - oczekiwana długość wyroku, x 7 - wiek.

13 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej Przykład - przestępczość - Becker (1968) - c.d. y = f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ), Przejście od powyższego modelu ekonomicznego do modelu ekonometrycznego wymaga kilku zabiegów: 1 Określenia lub przyjęcia założeń co do formy funkcyjnej f ( ). 2 Skonfrontowania założeń modelu ekonomicznego z dostępnością danych i obserwowalnością niektórych zmiennych.

14 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej Klasyfikacja modeli ekonometrycznych: 1 Liczba równań w modelu modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać analityczna zależności funkcyjnych modelu modele liniowe modele nieliniowe 3 Rola czynnika czasu w równaniach modelu modele statyczne modele dynamiczne 4 Charakter powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi w modelu wielorównaniowym modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych

15 Podstawy Sprawy organizacyjne - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej Model regresji prostej: Model regresji wielorakiej: y i = β 0 + β 1 x 1i + ε i, i = 1, 2,..., n (1) y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i β k x ki + ε i, i = 1, 2,..., n (2) y - zmienna objaśniana (zależna, regresant), x 1, x 2,..., x k - zmienne objaśniające (niezależne, regresory), β 0, β 1,..., β k - parametry strukturalne modelu, ε - składnik losowy.

16 Przykład powraca - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej Wróćmy do przykładu z przestępczością: y = f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ), gdzie: y - liczba godzin poświęcanych na działalność przestępczą, x 1 - wynagrodzenie za godzinę gangsterki, x 2 - wynagrodzenie za godzinę legalnego zatrudnienia, x 3 - pozostały dochód, x 4 - prawdopodobieństwo zostania złapanym, x 5 - prawdopodobieństwo zostania skazanym w przypadku złapania, x 6 - oczekiwana długość wyroku, x 7 - wiek. Zakładając, że f ( ) jest funkcją liniową, oraz że mamy informacje o wszystkich charakterystykach, model ekonometryczny przestępczości można zapisać jako: przest i = β 0 +β 1 haracz i +β 2 legalne i +β 3 dochod i +β 4 p zlap i +β 5 p skaz i +β 6 wyrok i +β 7 wiek i +ε i

17 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej Zapis modelu w postaci macierzowej: y = Xβ + ε (3) y - wektor obserwacji zmiennej objaśnianej, o wymiarach n 1, x - macierz zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających, o wymiarach n (k + 1), β - wektor parametrów strukturalnych modelu, o wymiarach (k + 1) 1, ε - wektor składników losowych, o wymiarach n 1.

18 - definicja Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny Zapis modelu w postaci macierzowej y = y 1 y 2. y n (n 1) β = 1 x 11 x x 1k 1 x 21 x x X = 2k x n1 x n2... x nk β 0 β 1. β k (k 1) ε = ε 1 ε 2. ε n (n 1) (n (k+1))

19 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Metoda najmniejszych kwadratów (ang. ordinary least squares OLS) jest najprostszym i najpopularniejszym sposobem szacowania parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego, która przy spełnieniu pewnych założeń, daje wyniki dobrej jakości. Model regresji w postaci macierzowej: Wartości teoretyczne: y = Xβ + ε (4) ŷ = X ˆβ (5) ŷ - wektor wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej, ˆβ - wektor ocen (oszacowań) parametrów. Reszty z modelu: e = y ŷ = y X ˆβ (6) MNK polega na znalezieniu wektora parametrów strukturalnych, minimalizującego sumę kwadratów reszt: ˆβ = argmin e T e (7)

20 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Najważniejszy wzór na tym przedmiocie ˆβ = (X T X) 1 X T y

21 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Twierdzenie Gaussa-Markowa Jeżeli spełnione są poniższe założenia: Elementy macierzy X są nielosowe, nieskorelowane ze składnikiem losowym (ε), inaczej E(X T ε) = 0 Macierz zmiennych objaśniających X ma pełny rząd kolumnowy - rz(x) = k + 1 n Wartość oczekiwana składnika losowego wynosi zero - E(ε) = 0 Składnik losowy jest sferyczny - D 2 (ε) = σ 2 I Składnik losowy ma rozkład normlany - ε N(0, σ 2 ), to estymator KMNK jest BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), tj. liniowym, nieobciążonym estymatorem o najmniejszej wariancji w swojej klasie.

22 Własności estymatorów Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych 1 Nieobciążenie wartość oczekiwana estymatora jest równa prawdziwej wartości parametru w populacji, tj. E( ˆβ) = β. 2 Efektywność najmniejsza wariancja w danej klasie estymatorów (np. w klasie estymatorów liniowych i nieobciążonych). 3 Zgodność stochastyczna zbieżność do prawdziwej wartości, gdy n, tj. lim n P( ˆβ n β < δ) = 1 δ > 0. Dodatkowo estymator jest liniowy, jeśli każda składowa wektora β jest liniową funkcją składowych wektora zmiennej losowej y.

23 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Macierz kowariancji: Estymator wariancji składnika losowego: D 2 ( ˆβ) = σ 2 (X T X) 1 (8) S 2 = e T e n (k + 1) = (y X ˆβ) T )(y X ˆβ) = yt y ˆβ T X T y n (k + 1) n (k + 1) (9) Estymator macierzy kowariancji: ˆD 2 ( ˆβ) = S 2 (X T X) 1 (10)

24 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Średni błąd szacunku: S j = d jj, j = 0, 1,..., k (11) Średni względny błąd szacunku: S w j = S j ˆβ 100, j = 0, 1,..., k (12) j

25 Estymator KMNK Założenia i własności Estymator wariancji składnika losowego Testy istotności zmiennych Test istotności t-studenta Hipotezy Statystyka testowa Obszar odrzucenia hipotezy zerowej H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0 (13) t = ˆβ j S j t n (k+1) (14) (, t n (k+1) > < t n (k+1), ) (15)

26 Operacje macierzowe w Excelu =TRANSPONUJ(zakres) transpozycja, =MACIERZ.ODW(zakres) odwracanie macierzy, =MACIERZ.ILOCZYN(macierz1;macierz2) mnożenie macierzy. Po wykonaniu formuły, wynik pojawia się tylko w 1 komórce. Należy zaznaczyć tę komórkę wraz z całym zakresem wyniku (np. jeśli transponujemy macierz 5x3 to zaznaczyć obszar 3x5), wcisnąć F2, a następnie Ctrl+Shift+Enter.

27 Zadanie M. Grossman i F. Chaloupka opublikowali w 1998 r. wyniki badań nad pytaniem, czy można na gruncie ekonomicznym znaleźć potwierdzenie uzależniających własności kokainy. Skonstruowali w tym celu jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą była konsumpcja kokainy. Zgromadzone przez autorów dane miały charakter przekrojowo-czasowy i obejmowały zarówno indywidualne cechy młodych Amerykanów (płeć, rasę, dochody, miejsce zamieszkania), jak i ceny narkotyków w poszczególnych stanach Stanów Zjednoczonych. 1 Zaproponuj sposób weryfikacji hipotezy, że kokaina ma własności uzależniające. 2 Grossman i Chaloupka stwierdzili, że znak oszacowania parametru przy opóźnionej zmiennej objaśnianej jest dodatni. Zinterpretuj ten wynik. 3 Autorzy stwierdzili zależność konsumpcji kokainy od jej ceny. Dla zmiennych objaśniających przyjmujących wartości równe ich medianom, długookresowa cenowa elastyczność konsumpcji kokainy jest równa -1,35, natomiast natychmiastowy efekt jednorazowej zmiany ceny wynosi -0,50. Czy te wyniki są sprzeczne z wnioskami z punktu 2? 4 Oszacowanie parametru przy zmiennej zero-jedynkowej przyjmującej wartość 1 dla obszarów, na których marihuana nie jest zdelegalizowana i 0 w przeciwnym przypadku, przyjęło wartość dodatnią. Czy kokaina i marihuana są dobrami substytucyjnymi czy komplementarnymi? 5 Oszacowanie parametru przy zmiennej objaśniającej, opisującej wiek, od którego w danym stanie można legalnie pić alkohol, przyjęło wartość dodatnią. Czy kokaina i alkohol są dobrami substytucyjnymi czy komplementarnymi?