Metody Ekonometryczne
|
|
- Ewa Czerwińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody Ekonometryczne Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 1 / 40
2 Outline 1 2 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego 3 Test Durbina-Watsona Testy portmanteau Test Breuscha-Godfreya 4 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Test Goldfelda i Quandta Test Breuscha i Pagana Test White a Odporne estymatory wariancji-kowariancji Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 2 / 40
3 Dla jednorównaniowego modelu liniowego: y = Xβ + ε, (1) estymator MNK (OLS) przyjmuję postać: ˆβ OLS = ( X T X ) 1 X T y. (2) Estymator wariancji-kowariancji można zapisać jako: Var( ˆβ OLS ) = S 2 ε(x T X) 1, (3) gdzie wariancja składnika losowego można oszacować jako S 2 ε: S 2 ɛ = e T e n (k + 1) = SSE( ˆβ OLS ) df (4) gdzie SSE( ˆβ OLS ) to suma kwadratów reszt, a df to liczba stopni swobody. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 3 / 40
4 Twierdzenie Gaussa -Markowa Założenia: 1 rz(x) = k + 1 n 2 E(Xε) = 0 3 E(ε) = 0 4 Var(ε) = E(εε T ) = I σ 2 5 εi N (0, σ 2 ) Twierdzenie Gaussa - Markowa Estymator ˆβ uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora β. nieobciążoność, czyli: E( ˆβ OLS ) = β najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej klasie zgodny, czyli: plim n ˆβOLS n = β. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 4 / 40
5 Outline 1 2 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego 3 Test Durbina-Watsona Testy portmanteau Test Breuscha-Godfreya 4 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Test Goldfelda i Quandta Test Breuscha i Pagana Test White a Odporne estymatory wariancji-kowariancji Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 5 / 40
6 Konsekwencje braku sferyczności macierzy kowariancji składnika losowego Przypomnijmy estymator macierzy wariancji-kowariancji oszacowań ( ˆβ OLS ): Var( ˆβ OLS ) = E [ ( ˆβOLS β ) ( ˆβOLS β ) T ] (5) Korzystając z zapisu macierzowego: [ (X Var( ˆβ ) ( OLS ) = E T 1 (X ) ) ] T X X T ε T 1 X X T ε [ (X ) ( ) ] = E T 1 X X T εε T X X T 1 X = ( X T X ) 1 X T E [ εε T] X ( X T X ) 1 Następnie korzystając z założenie o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego, tj. D 2 (ε) = E(εε T ) = σ 2 I, można uprościć wzór na estymator wariancji kowariancji oszacowań do: Var( ˆβ OLS ) = σ 2 ( X T X ) 1. (6) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 6 / 40
7 Konsekwencje niesferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego Brak sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego prowadzi do obciążenia macierzy wariancji-kowariancji parametrów strukturalnych Var( ˆβ OLS ). Naturalną konsekwencją jest brak wiarygodności błędów standardowych. Obciążene są również wyniki testów statystycznych bazujących na macierzy wariancji-kowariancji wektora parametrów strukturalnych. W szczególności test t-studenta czy test liniowych restrykcji (test Walda). Brak sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego może świadczyć o poważniejszych problemach jak np. problemie pominiętych zmiennych (omitted variable bias). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 7 / 40
8 Szczególne przypadki niesferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego Heteroskedastyczność Efekt ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Zależność przestrzenna Zależność pomiędzy jednostkami panelu (cross-sectional dependence) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 8 / 40
9 Szczególne przypadki niesferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego Heteroskedastyczność Efekt ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Zależność przestrzenna Zależność pomiędzy jednostkami panelu (cross-sectional dependence) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 8 / 40
10 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego co dalej? Zmiana specyfikacji modelu. Odporne estymatory wariancji-kowariancji (robust covariance estimators). Konsekwencją niesferyczności składnika losowego jest obciążoność macierzy wariancji-kowariancji. Dlatego rozwiązaniem estymatora wariancji-kowariancji uwzględniającego (odpornego) tę własność skłanika losowego. Inne metody estymacji parametrów strukturalnych: Uogólniona MNK (GLS - Generalized Least Squares) Ważona MNK w przypadku heteroskedastyczności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 9 / 40
11 Outline 1 2 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego 3 Test Durbina-Watsona Testy portmanteau Test Breuscha-Godfreya 4 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Test Goldfelda i Quandta Test Breuscha i Pagana Test White a Odporne estymatory wariancji-kowariancji Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 10 / 40
12 jest problemem najczęściej występującym w przypadku szeregów czasowych i polega na zależności (skorelowaniu) bieżących wartości składnika losowego od wartości przeszłych. Autokorelację składnika losowego można wiązać z inercją/persystencją zmiennych/procesów ekonomicznych. Jest to własność polegająca na rozłożonej w czasie absorbcji czynników zewnętrznych. Indeks t będzie oznaczać czas obserwacji. Zgodnie z założenia MNK: σ Var(ε t ) =..... σ σ 2 co jest równoznaczne: t s cov(ε t, ε s) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 11 / 40
13 pierwszego rzędu I Autokorelacja skłanika losowego pierwszego rzędu AR(1): ε t = ρε t 1 + η t (7) gdzie η t N (0, ση 2), E(η) = 0 oraz Var(η)2 = I ση 2. Zakładamy również, że ρ < 1 Wariancja składnika losowego: Korzystając z definicji (7) można podmienić ε t 1 : Iterując powyższą czynność uzsykujemy: η t są niezależne w czasie a więc Var(ε t ) = Var(ρε t 1 + η t ). (8) Var(ε t ) = Var(ρ 2 ε t 2 + ρη t 1 + η t ). (9) Var(ε t ) = Var(η t + ρη t 1 + ρ 2 η t ). (10) a więc wariancja składnika losowego jest równa Var(ε t ) = σ 2 η + ρσ2 η + ρ2 σ 2 η +..., (11) Var(ε t ) = σ2 η 1 ρ. (12) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 12 / 40
14 pierwszego rzędu II W przypadku kowariancji warto iść krok po kroku: cov(ε t, ε t 1 ) = cov(ε t 1 + η t, ε t 1 ) = ρcov(ε t 1, ε t 1 ) = ρvar(ε t 1 ) = ρ σ2 η 1 ρ. Łatwo pokazać ogólną zależność: (13) cov(ε t, ε t k ) = ρ k ση 2 1 ρ. (14) Zatem, w przypadku autokorelacji składnika losowego macierz wariancji-kowariancji składnika losowego nie jest diagonalna: 1 ρ ρ 2... ρ n 1 ρ 1 ρ... ρ n 2 Var(ε t ) = σ2 η ρ 2 ρ 1... ρ n 3 1 ρ ρ n 1 ρ n 2 ρ n Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 13 / 40
15 Przykłady Przykład idiosynkratycznego zaburzenia losowego (L) oraz AR(1) (P) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 14 / 40
16 Przyczyny autokorelacji składnika losowego: Wysoka inercja (persystencja) zjawisk gospodarczych. Psychologia podejmowanych zjawisk. Problem pominięcia ważnej zmiennej. Niepoprawna postać funkcyjna; wadliwa struktura dynamiczna, brak uwzględnienie czynników cyklicznych/sezonowych. Przekształcenia statystyczne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 15 / 40
17 Analiza reszt (e t): wykresy reszt w czasie, scatterploty, tj. wykres reszt e t względem opóźnionych reszt, np.e t 1. test Durbina-Watsona, testy portmanteau, test Breuscha-Godfreya. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 16 / 40
18 Test Durbina-Watsona umożliwia sprawdzenie jedynie autokorelacji pierwszego rzędu. Statystyka testu DW opiera się na oszacowaniu współczynnika korelacji pomiędzy e t a e t 1: n (e t e t 1 ) 2 d = t=2 n (15) t=1 Łatwo zauważyć, że d 2(1 ˆρ). Hipotezą zerową jest brak autokorelacji, tj.: H 0 : ρ = 0 (16) Natomiast hipoteza alternatywna testu DW zależy od wartości statystyki testowej:, tj. H 1 : ρ > 0 gdy d (0, 2) (17) Wartości krytyczne d U i d L są stablicowane. e 2 t 1 H 1 : ρ < 0 gdy d (2, 4) (18) H 1 : ρ > 0 H 1 : ρ < 0 Statystyka d Decyzja Statystyka d Decyzja (0, d L ) są podstawy do odrzucenia H 0 na rzecz H 1 o dodatniej autokorelacji (4 d L, 4) są podstawy do odrzucenia H 0 na rzecz H 1 o ujemnej autokorelacji do odrzucenia (d L, d U ) brak decyzji (4 d L, 4 d U ) brak decyzji (d U, 2) nie ma podstaw do odrzucenia (4 d U, 2) nie ma podstaw H 0 H 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 17 / 40
19 Ograniczenia podstawowego testu Durbina-Watsona Test DW posiada obszary niekonkluzywności. Test Durbina-Watsona umożliwia weryfikację autokorelacji jedynie pierwszego rzędu. W specyfikacji modelu ekonometrycznego nie może zostać uwzględniona część autoregresyjna zmiennej objaśniane (późnione wartości zmiennej objaśnianej), ponieważ wtedy statystyka DW jest obciążona. Test Durbina-Watsona można stostować w przypadku modeli z wyrazem wolnym. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 18 / 40
20 Uogólniony test Durbina-Watsona Statystyka uogólnionego testu Durbina-Watsona nie wykazuje obciążenia w przypadku modeli autoregresyjnych. Hipoteza zerowa odnosi się do braku autokorelacji. Statystyka testowa: d G = ( 1 d ) T 2 1 TVar( ˆβ y) (19) gdzie Var( ˆβ y) to wariancja szacunku parametru autoregresji, a d to statystyka podstawowego testu Durnina-Watsona. Statystyka d G posiada standardowy rozkład normalny, tj. d G N (0, 1). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 19 / 40
21 Testy portmanteau Generalna konstrukcja testów portmanteau polega na weryfikacji statystycznej zależności w czasie (tj. autokorelacji) do rzędu P włącznie. Hipotezy zerowa postuluje brak autokorelacji do rzędu P włącznie. Niech ˆρ k będzię korelacją pomiedzy resztami e t a resztami opóźnionymi o k okresów, tj. e t k. Statystyka Boxa-Pierca: Q BP = T P ˆρ 2 T (20) ma rozkład χ 2 z P stopniami swobody a T oznacza wielkość próby. Statystyka Ljunga-Boxa: i=1 Q LB = T(T + 2) P i=1 ˆρ 2 k T i (21) ma rozkład χ 2 z P stopniami swobody. Statytyka Q LB ma lepsze własności od Q PB bez względu na wielkość próby. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 20 / 40
22 Test mnożnika Lagrange a (LM) zaproponowany przez Breuscha i Godfreya pozwala na testowanie autokorelacji zarówno pierwszego jak i wyższych rzędów. W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu: y t = β 0 + β 1 x 1,t β k x k,t + ε t (22) W drugim kroku szacowane są parametry modelu, w którym wyjąśniany jest składnik resztowy z modelu (22). Dodatkowo, uwzględniane są opóźnienia do rzędu P włącznie: e t = β 0 + β 1 x 1,t + β 2 x 2,t β k x k,t + β k+1 e t β k+p,t e t P +η t (23) }{{}}{{} zmienne objaśniające z modelu (22) opóżnione reszty z modelu (22) Hipoteza zerowa testu LM jest równoznaczna braku autokorelacji do rzędu P włącznie: Statystyka testowa: H 0 : β k+1 =... = β k+p = 0 (24) H 1 : l (1,..,P) β k+l 0 (25) LM = nr 2 (26) posiada rozkład χ 2 z P stopniami swobody (rząd weryfikowanej autokorelacji składnika losowego). Są podstawy do odrzucenia H 0, jeżeli LM jest większa od wartości krytycznej χ 2. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 21 / 40
23 Estymator wariancji-kowariancji wektora β: Var( ˆβ OLS ) = ( X T X ) 1 X T E [ εε T] X ( X T X ) 1. (27) Niech Ω będzie niesferyczną macierzą wariancji kowariancji składnika losowego, tj. Var( ˆβ OLS ) = ( X T X ) 1 X T ΩX ( X T X ) 1. (28) Newey i West (1987) proponują następujący estymator wariancji-kowariancji: L T [ ] X T ˆΩX = X T ˆΩ0 X + w j e t e t j xt xt j T + x t jxt T, (29) j=1 t=j+1 gdzie L to maksymalna liczba opóźniej, x t to wektor obserwacji zmiennych objaśniających w momencie t, w j to wagi dla j-tego opóźnienia, a ˆΩ 0 jest wyznaczana następująco: X T ˆΩ0 X = T T k T et 2 xt t x t. (30) t=1 Newey i West (1987) proponują następujące wagi w j = 1 j/l. (31) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 22 / 40
24 - uwagi ogólne Wybór maksymalnej liczby opóźniej L jest kluczowy. Im mniejsze L tym mniejsza wariancja ale większe obciążenie. metoda Andrewsa (1991) czy Neweya i Westa (1994), metoda prób i błędów, Wybór wag w j. Możliwe wykorzystanie estymatora jądra gęstości spektralnej ( kernel spectral density), np. Barletta czy Parzena. Częstą praktyką mającą na celu ograniczenie obciążenia (wynikającego z persystencji obserwacji empirycznych) jest tzw. prewhitening przy pomocy modelu VAR (wektorowej autoregeresji). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 23 / 40
25 Przykład [Hill, Griffiths i Lim]: krzywa Phillipsa dla Australii. Dane: szeregi czasowe od 1987Q1 do 2009Q3. inf t - inflacja w okresie t. u t - zmiana stopy bezrobocia w okresie t. Model: inf t = inf E t γ u t + ε t (32) Zakładając, że oczekiwania inflacyjne są stałe w czasie: gdzie β 1 = γ. inf t = β 0 + β 1 u t + ε t (33) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 24 / 40
26 Przykład c.d. Rozważany model: inf t = β 0 + β 1 u t + ε t (34) Oszacowanie Błąd stand. t-studenta wartość p β β Czy oszacowanie parametru β 1 jest statystycznie istotne? Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 25 / 40
27 Przykład wykres reszt modelu względem czasu q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 time Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 26 / 40
28 Przykład zależność między resztami a ich pierwszym opóźnieniem e_{t} e_{t-1} Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 27 / 40
29 Przykład zależność między resztami a ich pierwszym opóźnieniem e_{t} e_{t-1} Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 28 / 40
30 Przykład testowanie autokorelacji składnika losowego Test Durbina-Watsona: Statystyka testowa: Wartości krytyczne (N = 90 i k = 1) przy 5% poziomie istotności: d L : d U : Statystyka testu LM: p Wartość statystyki p-value Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 29 / 40
31 Przykład testowanie autokorelacji składnika losowego Test Durbina-Watsona: Statystyka testowa: Wartości krytyczne (N = 90 i k = 1) przy 5% poziomie istotności: d L : d U : Statystyka testu LM: p Wartość statystyki p-value Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 29 / 40
32 Przykład estymator macierzy wariancji-kowariancji odporny na autokorelację Rozważany model: inf t = β 0 + β 1 u t + ε t (35) Podstawowe oszacowania oszacowania Oszacowanie Błąd stand. t-studenta wartość p β β Odporne błędy standardowe Oszacowanie Błąd stand. t-studenta wartość p β β Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 30 / 40
33 Outline Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji 1 2 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego 3 Test Durbina-Watsona Testy portmanteau Test Breuscha-Godfreya 4 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Test Goldfelda i Quandta Test Breuscha i Pagana Test White a Odporne estymatory wariancji-kowariancji Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 31 / 40
34 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji jest drugą formą niespełnienia założenia o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego. Zjawisko heteroskedastyczności składnika losowego charakteryzuje przede wszystkim modele oparte o dane przekrojowe. Ogólny zapis hetereoskedastyczności składnika losowego: σ gdzie Var(ε) = 0 σ , σn 2 σ 2 1 σ σ 2 k. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 32 / 40
35 Istota heteroskedastyczności składnika losowego Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji można wiązać ze zmiennością roli nieobserowalnej heterogeniczności (różnorodności): σ 2 1 σ σ 2 k. Zasadniczo σi 2 może w tym przypadku zależeć od zmiennych objaśniającyh, tj. X i: σi 2 = f (x 1i, x 2i,..., x ki ), (36) gdzie f ( ) jest pewną funkcją. Kluczowe jest zdiagnozowanie tej zależności oraz próba wytłumaczenia. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 33 / 40
36 Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Analiza reszt (e t): wykresy kwadratów reszt względem zmiennych objaśniających, Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego test Godfleda i Quandta, Test Breuscha i Pagana, test White a. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 34 / 40
37 Test Goldfelda i Quandta Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Test Goldfelda Quandta polega na porównaniu wariancji w dwóch grupach. Kluczowa jest tutaj identyfikacja grup. zmienne binarne, porządkowanie (sortowanie) próby względem pewnej (ciągłej) zmiennej objaśniającej. W pierwszym kroku szacowane są parametry strukturalne modeli dla obu grup osobno, a następnie wyznaczane są reszty. W drugim kroku porównywana jest wariancja składnika losowego przy pomocy statystyki F: SSE1/(N1 K) F = SSE 2/(N 2 K), (37) gdzie SSE i i N i to suma kwadratów reszt i liczebność i-tej podpróby. Wariancja reszt pierwszej podpróby jest większa. Hipoteza zerowa postuluje brak różnic w wariancji pomiędzy grupami. Statystyka F ma rozkład F-Snedecora z N 1 K oraz N 2 K stopniami swobody. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 35 / 40
38 Test Breuscha i Pagana Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji W teście Breuscha i Pagana zakłada się specyficzną zależność: σ 2 i = σ 2 f (α 0 + αx). (38) Pierwszy krok: szacujemy parametry strukturalne i wyznaczamy reszty. Drugi krok: obliczamy kwadrat reszt w relacji do ich wariancji w całej próbie, tj. ê 2 i /ˆσ 2. Trzeci krok: regresja pomocnicza, w której zmienną objaśnianą są ê 2 /ˆσ 2 : ê 2 i /ˆσ 2 = α 0 + α 1x 1i α k x ki + η i, (39) gdzie η i N (0, σ 2 η). Hipoteza zerowa postuluje brak heteroskedastyczności (w rozważanej formie): Statystyka testowa: H : α 1 =... = α k tj. σ 2 i = σ 2. (40) posiada rozkład χ 2 z k stopniami swobody. LM = nr 2 (41) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 36 / 40
39 Test White a I Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Test White a jest najogólniejszym testem pozwalającym zbadać heteroskedastyczność składnika losowego. W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu: y i = β 0 + β 1x 1,i β k x k,i + ε i (42) W drugim kroku, zmienną objaśnianą są kwadraty reszt z oszacowanego modelu (42). Ponadto uwzględniane są kwadraty oraz interacje zmiennych objaśniających z modelu (42), tj.: ê 2 i = α 0 + β 1x 1,i α k x k,i + β k+1 x 2 1,i α k+k x 2 k,i + +α k+k+1 x 1,ix 2,i α k+k+s x k 1,i x k,i + η i Hipotezą zerową jest homoskedastyczność składnika losowego: H 0 : σ 2 i = σ 2 H 1 : σ 2 i σ 2 (43) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 37 / 40
40 Test White a II Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Statystyka testowa: LM = nr 2 (44) posiada rozkład χ 2 z M stopniami swobody (liczba wszystkich wszystkich zmiennych objaśniających w regresji testowej, tj. M = 2k + s). Są podstawy do odrzucenia H 0, jeżeli LM jest większa od wartości krytycznej χ 2. Test White a jest ogólny ponieważ szczegółowa postać heteroskedastyczności jest nieznana. Tym samym, wynik tego testu może świadczyć np. o braku poprawnej specyfikacji (np. brak uwzględnienia nieliniowości). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 38 / 40
41 Macierz projekcji Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Macierz projekcji (projection/hat matrix) P określa zależność pomiędzy obserwacjami empirycznymi a wartościami teoretycznym: Macierz projekcji w przypadku estymatora MNK: Wybrane własność macierzy projekcji: Symetryczność, tj. P = P T. Idempotentność, tj. PP = P. ^y = Py. (45) P = X ( X T X ) 1 X T. (46) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 39 / 40
42 Odporne estymatory wariancji-kowariancji Istota heteroskedastyczności składnika losowego Testowanie heteroskedatyczności składnika losowego Odporne estymatory wariancji-kowariancji Najczęstsze estymatory macierzy wariancji-kowariancji (Ω) uwzględniające heteroskedastyczność HC (heteroskedasticity-consistent): homoskedatyczność: ω i = ˆσ 2 ε(const), HC 0 (White) ω i = ê 2 i, HC 1 ω i = HC 2 ω i = HC 3 ω i = HC 4 ω i = N N k ê2 i, ê 2 i 1 p i, ê 2 i (1 p i ) 2, ê 2 i (1 p i ) δ i. gdzie p i to diagonalny element macierzy projekcji P, a δ i = min (4, p i/ p). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego 40 / 40
Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoEkonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania statystycznego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 2 Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowoHeteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów
Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności 1. Testy
Bardziej szczegółowoEkonometria Ćwiczenia 19/01/05
Oszacowano regresję stopy bezrobocia (unemp) na wzroście realnego PKB (pkb) i stopie inflacji (cpi) oraz na zmiennych zero-jedynkowych związanymi z kwartałami (season). Regresję przeprowadzono na danych
Bardziej szczegółowoCzasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Metoda Najmniejszych Kwadratów Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 1 1 / 45 Outline Literatura Zaliczenie przedmiotu 1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 3. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 3 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.hedonic.dta przygotuj model oszacowujący wartość kosztów zewnętrznych rolnictwa 1. Przeprowadź regresję objaśniającą
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoStanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cihcocki Natalia Nehrebecka 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji w modelu 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego
Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowoTesty własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu
Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 31/01/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,
Bardziej szczegółowoEndogeniczność i Metoda Zmiennych Instrumentalnych (IV)
Endogeniczność i (IV) Endogeniczność i IV Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 5 Endogeniczność i IV 1 / 26 Outline Istota problemu 1 Istota problemu Błąd pomiaru
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele
Bardziej szczegółowoPrzykład 2. Stopa bezrobocia
Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Testowanie autokorelacji 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 3.Problemy z danymi Zmienne pominięte
Bardziej szczegółowoEstymator jest nieobciążony, jeśli jego wartośd oczekiwana pokrywa się z wartością szacowanego parametru.
ZAŁOŻENIA ESYMAORA MNK. E(u) średnia wartośd oczekiwana równa Zakłócenia (składniki losowe, reszty) nie wykazują żadnej tendencji do odchylania wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 07/03/2018
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej: test RESET Testowanie normalności składników losowych: test Jarque-Berra Testowanie stabilności
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 15-16 1 1. Sezonowość 2. Zmienne stacjonarne 3. Zmienne zintegrowane 4. Test Dickey-Fullera 5. Rozszerzony test Dickey-Fullera 6. Test KPSS 7. Regresja pozorna
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Współliniowość 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z12
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 09-01-2017 Test RESET Ramsey a W pierwszym etapie estymujemy współczynniki regresji w modelu:
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoAutokorelacja i heteroskedastyczność
Autokorelacja i heteroskedastyczność Założenie o braku autokorelacji Cov (ε i, ε j ) = E (ε i ε j ) = 0 dla i j Oczekiwana wielkość elementu losowego nie zależy od wielkości elementu losowego dla innych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 2 3 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/01/08
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/0/08. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz
Bardziej szczegółowoĆwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Bardziej szczegółowo2.2 Autokorelacja Wprowadzenie
2.2 Autokorelacja 2.2.1 Wprowadzenie Przy wyprowadzaniu estymatorów Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL) zakładaliśmy, że są spełnione założenia Gaussa-Markowa, tzn. składniki losowe są homoscedastyczne
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
prostej Stosowana Wykład I 5 Października 2011 1 / 29 prostej Przykład Dane trees - wyniki pomiarów objętości (Volume), średnicy (Girth) i wysokości (Height) pni drzew. Interesuje nas zależność (o ile
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 Diagnostyka a) Test RESET b) Test Jarque-Bera c) Testowanie heteroskedastyczności a) groupwise heteroscedasticity b) cross-sectional correlation d) Testowanie autokorelacji
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowo1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowoEkonometria / G. S. Maddala ; red. nauk. przekł. Marek Gruszczyński. wyd. 2, dodr. 1. Warszawa, Spis treści
Ekonometria / G. S. Maddala ; red. nauk. przekł. Marek Gruszczyński. wyd. 2, dodr. 1. Warszawa, 2013 Spis treści Przedsłowie 15 Przedmowa do drugiego wydania 17 Przedmowa do trzeciego wydania 21 Nekrolog
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Neherbecka
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka 13 marca 2010 1 1. Kryteria informacyjne 2. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach (ADL) 3. Analiza
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoEkonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota
Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 06/03/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.
opisują kształtowanie się zjawiska w czasie opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 2. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 2 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński STATA wczytywanie danych 1. Import danych do Staty Copy-paste z Excela do edytora danych Import z różnych formatów (File -> Import -> ) me.sleep.txt,
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań
Bardziej szczegółowo4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej
4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 1. Średnia w próbie uczącej Własności: y = y = 1 N y = y t = 1, 2, T s = s = 1 N 1 y y R = 0 v = s 1 +, 2. Przykład. Miesięczna sprzedaż żelazek (szt.)
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoDefinicja danych panelowych Typy danych panelowych Modele dla danych panelowych. Dane panelowe. Część 1. Dane panelowe
Część 1 to dane, które jednocześnie posiadają cechy danych przekrojowych i szeregów czasowych to dane, które jednocześnie posiadają cechy danych przekrojowych i szeregów czasowych Czyli obserwujemy te
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar egatnar@mail.wz.uw.edu.pl Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe
Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 1 / 47 Outline 1 2 3 4 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. 18 maja 2010
Natalia Nehrebecka 18 maja 2010 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Bardziej szczegółowo