WYBRANE OBLICZENIA SYMULACYJNE OBCI E KONSTRUKCJI NAWIERZCHNI KOLEJOWEJ WST PNE OKRE LENIE TRWA O CI I RESURSU EKSPLOATACYJNEGO

Transkrypt

1 P R A C E N A U K O W E P O L I T E C H N I K I W A R S Z A W S K I E J z. 101 Transport 2014 Jacek Kukulski Politechnika Warszawska, Wydzia Transportu WYBRANE OBLICZENIA SYMULACYJNE OBCIE KONSTRUKCJI NAWIERZCHNI KOLEJOWEJ WSTPNE OKRELENIE TRWAOCI I RESURSU EKSPLOATACYJNEGO Rkopis dostarczono, kwiecie 2013 Streszczenie: W artykule przedstawiono wybrane obliczenia symulacyjne modeli nawierzchni toru przy rónych obcieniach statycznych i dynamicznych. Obliczenia te maj by materiaem wsadowym na potrzeby okrelania trwaoci i resursu eksploatacyjnego wybranych elementów konstrukcyjnych nawierzchni. Rozwizanie takie moe pozwoli na symulacyjn ocen nowoczesnych rozwiza technologicznych nawierzchni kolejowej, zwizan z ich trwaoci pod obcieniem eksploatacyjnym. Rozwaania w tym artykule s wstpnym etapem w deniu do osignicia zaoonego celu. Obliczenia numeryczne dla rónych obcie nawierzchni dostarczyy cennych informacji do dalszych prac nad proponowan koncepcj ustalania resursu eksploatacyjnego. Uzyskane wyniki oblicze wskazuj na potrzeb kontynuowania bada i dalszego doskonalenia modeli i ich weryfikacji Sowa kluczowe: nawierzchnia kolejowa, MES, analiza numeryczna, Abaqus, kontakt 1. WPROWADZENIE Rozwój infrastruktury kolejowej obserwowany na przeomie XX i XXI wieku, a take zwikszanie prdkoci pocigów w ruchu pasaerskim do Vmax = km/h, a w ruchu towarowym do Vmax= km/h s wynikiem doskonalenia konstrukcji nowoczesnych pojazdów kolejowych, a z drugiej strony prac optymalizacyjnych nad konstrukcj infrastruktury kolejowej. W trakcie eksploatacji poddawana jest ona zoonym oddziaywaniom dynamicznym, których charakter zmienia si wraz ze wzrostem obcienia i prdkoci. Klasyczna konstrukcja nawierzchni kolejowej na przeomie kilkudziesiciu lat nie ulega zasadniczym zmianom; naley zaznaczy, e jest ona przedmiotem cigych bada, udoskonale ukierunkowanych na zwikszenie bezpieczestwa ruchu pocigów, a take ograniczenia kosztów utrzymania nawierzchni kolejowej. Klasyczna konstrukcja nawierzchni, pracujc w zakresie elastoplastycznym, kumuluje

2 44 Jacek Kukulski odksztacenia trwae podsypki, co prowadzi w trakcie eksploatacji do zrónicowania cech sprystych i tumienia na dugoci toru, a w konsekwencji stwarza konieczno regulacji pooenia toru i niezbdnych napraw czci skadowych nawierzchni. Potrzeba ograniczenia kosztów utrzymania jest jedn z gównych przyczyn poszukiwania rozwiza konstrukcji pracujcej pod obcieniem w zakresie odksztace sprystych [10]. W celu minimalizacji kosztów utrzymania i wyduenia resursu eksploatacyjnego elementów skadowych nawierzchni jak i caej konstrukcji niektóre zarzdy kolejowe, jak np. koleje niemieckie, stosuj rozwizania niekonwencjonalne na skal eksploatacyjn. Zmniejszenie kosztów utrzymania nawierzchni konwencjonalnych nawet o 15% w stosunku do rozwizania klasycznej nawierzchni podsypkowej niesie za sob znaczne nakady na jej budow (ok. 150%). Majc na uwadze znaczne nakady inwestycyjne, jakie trzeba ponie na nawierzchni niekonwencjonaln, warto zastanowi si nad rozwizaniem wzmocnienia klasycznej nawierzchni, a cilej mówic warstwy podsypki, która jest najsabszym ogniwem toru. 2. OBIEKTY BADA I ANALIZ STUDIUM LITERATURY Na przestrzeni kilkudziesiciu lat powstaa znaczna ilo prac badawczych i pozycji ksikowych, zarówno krajowych i zagranicznych, których przedmiotem bya diagnostyka, utrzymanie, metody utrzymania, oceny zuycia i uszkodze i odksztace nawierzchni oraz jej elementów, przedstawiaj to m.in. prace [2], [3], [4], [6], [7], [8], [9], [12], [14]. Szereg opracowa modeli matematycznych toru kolejowego, jego elementów jak i oddziaywanie pojazdu na tor obszernie opisane zostay m.in. w pracach: [15], [22], [25], [33], [34], [35]. W chwili obecnej metoda elementów skoczonych jest jedn z najszerzej stosowanych metod rozwizywania rónych problemów inynierskich. Jej uniwersalno, polega na atwoci tworzenia rónych obszarów o skomplikowanej geometrii. Metody numeryczne wykorzystywane byy i s w elementach nawierzchni kolejowej ju od kilkudziesiciu lat. Intensywne prace prowadzone byy na Politechnice Warszawskiej, Politechnice Krakowskiej i innych orodkach naukowo badawczych za granic. Prace te obejmoway analiz napre wasnych w elementach stalowych rozjazdów, tj. szynach i ksztatownikach iglicowych. Gównym celem oblicze numerycznych byo wyznaczenie napre wasnych pozostajcych w szynie po odcieniu oraz okrelenie wpywu rónych parametrów na wielko tych napre i ich rozkadu w materiale. Otrzymane wyniki oblicze numerycznych porównywano z wynikami pomiarów napre wykonanych technik ultradwikow. Prace zagranicznych naukowców zwizane byy z modelowaniem zjawisk powstajcych w wyniku walcowania szyn na prostownicach rolkowych itp. W pracach [13] i [21] przedstawione zostay modele szyny, rozkad napre wasnych po symulacji walcowania, okrelony zosta wpyw procesu walcowania na wielko i rozkad napre. Metoda elementów skoczonych, jako podstawowe narzdzie obliczeniowe we wspóczesnej mechanice, znalaza równie zastosowanie w rozwaanym zagadnieniu toru i podtorza kolejowego. Mona to zauway w licznych opracowaniach naukowych,

3 Wybrane obliczenia symulacyjne obcie konstrukcji nawierzchni kolejowej 45 autorzy prac [24], [27], [30], [31], [32], [36] zaprezentowali wyniki oblicze numerycznych na stworzonych modelach, jak te wyniki pomiarów przeprowadzonych na odcinkach dowiadczalnych oraz w warunkach laboratoryjnych na stanowiskach badawczych. Równie autor artykuu w swojej dziaalnoci naukowej wykorzystuje MES do oblicze symulacyjnych obcie statycznych i dynamicznych elementów nawierzchni kolejowej. Klasyczne nawierzchnie kolejowe stanowi ruszt torowy skadajcy si z szyn i podkadów zanurzonych w warstwie podsypki lecej na podtorzu, pracuj pod obcieniem eksploatacyjnym w stadium sprysto plastycznym. ródem odksztace trwaych plastycznych jest podsypka. Wspóczesne osignicia technologiczno materiaowe umoliwiaj pod obcieniem eksploatacyjnym prac podtorza w stanie sprystym[10], [20], [23], [29]. Najsabszym elementem klasycznej konstrukcji drogi kolejowej jest wic mechanicznie zagszczona warstwa tucznia. Wykonanych zostao dziesitki prac badawczych dotyczcych, jakoci i rodzaju oraz skadu ziarnowego tucznia [28]. Równie wykonano dziesitki prac dotyczcych sposobu mechanicznego zagszczania [17], [18]. W rezultacie nie osignito zadowalajcych rezultatów w obnieniu intensywnoci narastania nierównomiernych trwaych odksztace podsypki. W konsekwencji zachodzi potrzeba systematycznych i czstych napraw usuwajcych powstae niedopuszczalne nierównoci geometryczne toru. Styk koa z szyn stanowi generator energii, która transmitowana jest przez szyn i przytwierdzenie szyny do podkadu i dalej poprzez warstw podsypki do podtorza, powstaje pole intensywnej wibracji. Energia kinetyczna wzrasta wraz ze wzrostem prdkoci pocigów, w konsekwencji wzrasta przypieszenie drga szyn, podkadów, podsypki i podtorza. Powoduje to powstawanie w podsypce znacznych napre rozcigajcych, które mog narusza równowag si tarcia wewntrznego w podsypce powodujc jej rozdrobnienie. Nieuniknione jest zatem osiadanie posypki (odksztacenie plastyczne); przy tym ronie ono wraz ze wzrostem napre pod podkadem oraz wraz ze wzrostem przypiesze drga [11]. 3. OBLICZNIE SYMULACYJNE MES 3.1. PRZYJTY MODEL TORU Do oblicze symulacyjnych przyjto schematyczny model toru przedstawiony na rysunku nr 1, w którym uwzgldnione zostay sztywnoci i tumienia poszczególnych elementów nawierzchni kolejowej.

4 46 Jacek Kukulski Rys. 1. Model toru podatnego w przekroju poprzecznym 3.2. GEOMETRIA MODELU SIATKA ELEMENTÓW SKOCZONYCH Modele i obliczenia numeryczne toru kolejowego ze wzmocnieniem klasycznej nawierzchni i bez wzmocnienia wykonano w programie Abaqus v [1]. Geometri modelu numerycznego zdefiniowano w postaci siatki wzów okrelajcych pooenie i wielko elementów skoczonych. Na rysunku 2 przedstawiony zostay modele MES nawierzchni kolejowej. a) b) Rys. 2. Modele MES nawierzchni bez wzmocnienia (a) i wzmocnionej geosiatk i sklejonej ywic (b)

5 Wybrane obliczenia symulacyjne obcie konstrukcji nawierzchni kolejowej 47 Zbudowanie siatki caego modelu z tym samym stopniem szczegóu nie jest moliwe do wykonania, dlatego te siatka w poszczególnych elementach nawierzchni ma rón wielko. W celu waciwego przeprowadzenia oblicze symulacyjnych okrelono miejsca kontaktu pomidzy poszczególnymi elementami nawierzchni kolejowej za pomoc geometrycznych interfejsów (rysunek 3). a) b) Rys. 3. Interfejsy pomidzy podkadem i podsypk (a) oraz stopk szyny i podkadem (b) (wizy jednostronne) 3.3. MODEL MATERIAU Podstawowe waciwoci materiaowe skadowych elementów analizowanych modeli toru przedstawiono w tablicy 1. Tablica 1 Materia Modu sprystoci E Wspóczynnik [MPa] Poissona Gsto[kg/m 3 ] szyna 60E podkad podsypka siatka Dla potrzeb oblicze numerycznych okrelone zostay przyblione krzywe zalenoci naprenia od odksztacenia dla szyny. Na podstawie bada dowiadczalnych w tablicy 2 przedstawiono plastyczno materiau (zalenoci dla osiowego rozcigania stali). Wartoci przedstawione w tablicy definiowane s w programie.

6 48 Jacek Kukulski Naprenia MPa] Odksztacenie plastyczne Tablica 2 W badaniach symulacyjnych na zbudowanych modelach wzito pod uwag równie parametry sztywnoci i tumienia elementów wchodzcych w skad konstrukcji toru (tablica 3). Tablica 3 Parametr Sztywno [MN/m] przekadka podszynowa (k ps ) podsypka (k t ) Tumienie [kns/m] przekadka podszynowa (c ps ) podsypka (c t ) OBCIENIE I WARUNKI PODPARCIA MODELU NAWIERZCHNI Sposób podparcia wystpujcy w trakcie eksperymentu, zosta w modelu numerycznym zastpiony przez wyidealizowane warunki brzegowe. Zadana jest sia nacisku statycznego lub dynamicznego walca na szyn jak i prdko obrotowa walca symulujca prdko pojazdu. Obcienie przykadane jest stopniowo (przyrostowo) i na kadym kroku nastpuje rozwizanie ukadu równa w celu wyznaczenia przyrostu napre, odksztace i przemieszcze. Warunki podparcia s w modelu okrelone przez odebranie odpowiednich stopni swobody, uniemoliwiajcych modelowi przemieszczanie w okrelonych kierunkach. W kadym cyklu obcieniowym przykadano si F1=112,5 kn, a w przypadku obcie dynamicznych dodatkowo przyoono si styczn F2=43 kn i zadano prdko obrotow modelu walca (rysunek 4). Rys. 4. Warunki brzegowe i obcienie dla modelu nawierzchni

7 Wybrane obliczenia symulacyjne obcie konstrukcji nawierzchni kolejowej WYNIKI OBLICZE SYMULACYJNYCH Wybrane wyniki oblicze numerycznych, otrzymane przy wykorzystaniu modeli 3D nawierzchni kolejowej w rónej konfiguracji, przedstawione s na wykresach obrazujcych kontury naprenia zastpczego Hubera Misessa, jak te odksztacenia. Przykadowe wyniki oblicze numerycznych przedstawiono na rysunku 5. a) b) Rys. 5. Kontury naprenia zastpczego HM iodksztacena kocu procesu obcienia nawierzchni bez wzmocnienia (a) i ze wzmocnieniem (b), (widok ogólny)

8 50 Jacek Kukulski Przed przygotowaniem artykuu przeprowadzono kilka wariantów oblicze symulujcych róne przypadki obcienia nawierzchni, zarówno statyczne jak i dynamiczne. Zrealizowano kilkanacie symulacji obcienia, a wybrane wyniki przedstawiono w niniejszym artykule. Miejscem wystpowania ekstremalnych napre w trakcie oblicze symulacyjnych byo miejsce kontaktu koa z szyn. Wraz ze wzrostem cykli obcie mona byo zauway przyrost napre i odksztace, jednak na tym etapie bada s to wartoci bardzo mae, nie majce wpywu na waciwoci wytrzymaociowe wybranych elementów skadowych nawierzchni kolejowej. Najbardziej reprezentatywne wyniki wykorzystano do prezentacji graficznej stanowicej wsad do opracowania resursu eksploatacyjnego 4. RESURS EKSPLOATACYJNY Resurs eksploatacyjny jest graficznym przedstawieniem trwaoci dowolnego elementu nawierzchni kolejowej w funkcji obcienia eksploatacyjnego. W pocztkowej fazie eksploatacji kt nachylenia krzywej narastania odksztace w konstrukcji nawierzchni jest bliski 90 stopni. Wynika to ze stabilizowania si (,,ukadania si ) nawierzchni. Nastpna faza to okres pracy konstrukcji pod obcieniem do stanu, w którym kt narastania odksztace znowu stara si osiga du warto (rysunek 6) [10]. h odksztacenia trwae 90 0 To obcienie Tgr Rys. 6. Teoretyczny model resurs eksploatacyjnego Na podstawie wyników bada symulacyjnych przeprowadzonych przez autora artykuu, jak równie wyników bada dowiadczalnych [10], [11], autor podj prób okrelenia krzywych opisujcych resurs eksploatacyjny wybranego elementu skadowego nawierzchni kolejowej. Najbardziej waciwym elementem umoliwiajcym realizacj tego zadania jest podsypka tuczniowa, bdca najsabszym ogniwem nawierzchni

9 Wybrane obliczenia symulacyjne obcie konstrukcji nawierzchni kolejowej 51 kolejowej. Na rysunku 7 przedstawiono wyniki dowiadczalne oraz otrzymane w wyniku bada symulacyjnych skadajce si na zalenoci odksztace trwaych w funkcji obcienia eksploatacyjnego. 2,00 nawierzchniawzmocnionabadaniadowidczalne odcinekporównawczybadaniadowiadczalne badaniasymulacyjne 1,80 1,60 Odksztaceniatrwae[mm] 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, Obcienietoru[Tg] Rys. 7. Zaleno odksztace trwaych w funkcji obcienia Na wykresie przedstawiono porównanie odksztace trwaych w funkcji obcienia wystpujcych na odcinku dowiadczalnym nie posiadajcym wzmocnienia konstrukcji nawierzchni, jak te ze wzmocnieniem wykorzystujcych geosiatk i ywic. Oprócz obu krzywych zamieszczono krzyw powsta w wyniku oblicze symulacyjnych, jednake ze wzgldu znaczny czas oblicze krzyw symulacyjn przedstawiono (jedynie do obcienia 5 Tg). Okrelenie któw nachylenia krzywych narastania odksztace wymaga dalszych bada i analiz zmierzajcych do zwikszania obcie eksploatacyjnych i kontynuowanie obserwacji. 5. PODSUMOWANIE Prezentowane w artykule wyniki stanowi wstp do dalszych analiz i studiów nad poruszonym problemem trwaoci nawierzchni kolejowej. Na podstawie uzyskanych wyników mona dostrzec pewn zbieno z modelem teoretycznym resursu eksploatacyjnego. Celowe jest zatem kontynuowanie bada symulacyjnych i rozszerzanie zakresu bada rozbudowujc wykres dla kolejnych obcie. Moe stanowi to interesujce rozwizanie okrelania trwaoci elementów skadowych nawierzchni kolejowej z wykorzystaniem narzdzi symulacyjnych, jakim jest MES. Zalet bada symulacyjnych jest niewtpliwie niski koszt w stosunku do bada na poligonie dowiadczalnym. Mona wykona symulacje obcie, których uzyskanie w eksploatacji

10 52 Jacek Kukulski wymagayby kilku lub nawet kilkunastu lat. Jednoczenie wskazana byoby budowa nowych odcinków dowiadczalnych, na których mona by zabudowa rozwizanie konstrukcyjne wzmocnienia nawierzchni kolejowej, a take kontynuowanie bada dowiadczalnych na istniejcym odcinku. Tego typu rozwizania, wykorzystujce nowe technologie (geosiatki, ywice poliuretanowe), mog wydua okres ywotnoci eksploatacyjnej, a z drugiej strony wydua okresy midzynaprawcze ze wzgldu na mniejsze odksztacenia konstrukcji nawierzchni. Skutkowa to moe niszymi nakadami finansowymi na utrzymanie nawierzchni kolejowej. Bibliografia 1. ABAQUS Standard User s Manual, Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., Version Bauch H.: Diagnostyka nawierzchni kolejowej. WK, Warszawa Bauch H.:Systemy eksperckie w diagnostyce nawierzchni kolejowej. Problemy Kolejnictwa 1993, z Bauch H.: Koncepcja systemów doradczych w diagnostyce nawierzchni kolejowej i podtorza. Problemy Kolejnictwa 1996, z Bauch H.: System geometryczno-kinematycznej oceny toru kolejowego. Problemy Kolejnictwa 2002, z Bauch M.: Interpretacja pomiarów i obserwacji nawierzchni kolejowej. Zakad Poligraficzny Politechniki Radomskiej. Monografie, Radom Bauch H.: Trwao i niezawodno eksploatacyjna nawierzchni kolejowej WKi, Warszawa Bauch M.: Durability of the track ballast. Archives of Civil Engineering 2008, Vol Basiewicz T.: Nawierzchnia kolejowa na podou betonowym CBP-74. Konferencja Naukowa Instytutu Budownictwa Ldowego. Politechnika Gdaska Basiewicz T., Towpik K., Goaszewski A., Kukulski J.: Nawierzchnia kolejowa z kompozytem tuczniowym. Problemy Kolejnictwa 2012, z Basiewicz T., Towpik K., Goaszewski A., Kukulski J.: Nawierzchnia kolejowa z kompozytem tuczniowym ocena narastania nierównoci odksztacenia w eksploatacji. Wydawnictwo Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacji PIB. INFRASZYN Bogdaniuk B.: System diagnostyczny w utrzymaniu nawierzchni. Problemy Kolejnictwa 1998, z Bogdaski S., Olzak M., Stupnicki J.: Numerical stress analysis of rail rolling contact fatigue cracks. Optics and Lasers in Engineering 1997, z Czyczua W.: Eksploatacyjna stabilno drogi kolejowej. Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Monografie, Kraków Dynamika ukadu mechanicznego pojazd szynowy tor. Praca zbiorowa pod redakcj Prof. J. Kisilowskiego. PWN, Warszawa D.F.C. Peixoto, L.A.A. Ferreira, P.M.S.T. de Castro: Non Linear analysis of the wheel / rail contact. 17. Esveld C.: Law maintenance ballastless track structures. Rail Engineering International Edition 1997, z Fendrich L:. Feste Fahrbahn Stadtbahn Berlin. Edition ETR, Hestra Verlag, Giannakos K., Loizos A.: Ballast stressing on a railway track and the behavior of limestone ballast. Advances in Transportation Geotechnics Ellis, Yu, McDowell, Dawson & Thom (eds) 2008 Taylor & Francis Group, London. 20. Gisterek I., Kruyski M.: Stabilizacja chemiczna podsypki na liniach kolejowych. Przegld Komunikacyjny 2009, nr Kukulski J.: Rozkad napre wasnych w ksztatownikach szynowych i iglicowych po procesie prostowania. Przegld Komunikacyjny 2011, nr Lamek J. Wstpna analiza dynamiki wybranych elementów nawierzchni kolejowej z zastosowaniem MES. Zeszyty Naukowe Politechniki lskiej, seria Budownictwo 1991, z Leykauf G., Lechner B., Stahl W.: Improved ballasted track for high - speed lines. Materiay Konferencji Railway Engineering, London 2004.

11 Wybrane obliczenia symulacyjne obcie konstrukcji nawierzchni kolejowej Mahmood M. Shokrieh, Meysam Rahmat: On the reinforcement of concrete sleepers by composite materials. Composite Structures 2006, Volume Mazurkiewicz R.: Wpyw parametrów konstrukcyjnych nawierzchni kolejowej na wielko oddziaywa dynamicznych midzy pojazdem i torem. Materiay Konferencyjne,,Drogi Kolejowe Mostafa A. El Sawwaf: Behavior of strip footing on geogrid-reinforced sand over a soft clay slope. Geotextiles and Geomembranes Volume 25, Issue 1, February Plasek, O. ; Hruzikova, M.: Design of under sleeper pads for Turnout. Archiwum Instytutu Inynierii Ldowej. Politechnika Poznaska 2007, Volume Prace Komitetu D 182 ERRI : Ujednolicone kryteria, jakoci podsypki oraz metody oceny jej stanu w torze. Utrecht Prace Komitetu D 71 ORE: Beanspruchung des Gleises, der Bettung und des Unterbaus durch Verkehrslasten. Beanspruchung der Bettung und des Unterbaus, Utrecht Sakdirat Kaewunruen, Alex M.: Remennikov Dynamic flexural influence on a railway concrete sleeper in track system due to a single wheel impact. Engineering Failure Analysis Sakdirat Kaewunruen, Alex M. Remennikov: Nonlinear Finite Element Modelling Of Railway Prestressed Concrete Sleeper. The tenth East Asia Pacific Conference on Structural Engineering and Construction, August 3-5, 2005, Bankok, Thailand. 32. Sakdirat Kaewunruen, Alex M. Remennikov: Impact Capacity of Railway Prestressed Concrete Sleepers. Engineering Failure Analysis Sokowski. J.: Wpyw parametrów mechanicznych nawierzchni kolejowej na ugicia szyny w strefach przejciowych. Zeszyty Naukowo-Techniczne Stowarzyszenia Inynierów i Techników Komunikacji w Krakowie. Seria: Materiay Konferencyjne 2009, z Sowiski B.: Zagadnienia aproksymacji i dyskretyzacji w badaniach symulacyjnych dynamiki toru i pojazdu szynowego. Prace Naukowe PW seria Transport 2007, z Szczeniak W.: Wybrane zagadnienia kolejowe Wzajemne oddziaywania w ukadzie pojazd tor kolejowy podtorze podoe gruntowe. Prace Naukowe Budownictwo 1995, z Yan-Li Dong, Jie Han, Xiao-Hong Bai: Numerical analysis of tensile behavior of geogrids with rectangular and triangular apertures. Geotextiles and Geomembranes, Volume 29, Issue 2, April SELECTED NUMERICAL CALCULATIONS FOR TRACK SUBSTRUCTURE PRELIMINARY DETERMINATION OF DURABILITY OF SERVICE LIFE Summary: The paper presents a selected simulation of the process static and dynamic loading for the track surface.these calculations are to be feedstock for determining the durability of selected components track substructure. This allow a the simulation evaluation of modern technological superstructure of their durability under service loading. The considerations in this article is a preliminary step in the quest to achieve the objective. Numerical calculations for various load conditions provided valuable information for further work on the proposed concept of determining the operational service life. The results of calculations indicate the need for further studies and further improve the models and their verification. Keywords: track structure, finite-element method, numerical calculation, Abaqus, contact

12