Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Transkrypt

1 Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem matematycznym. Kardioida czyli krzywa sercowa Rozpocznę od pewnej słynnej matematycznej krzywej, tzw. kardioidy. Definicja jej jest następująca: kardioida (krzywa sercowa) krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Można ją opisać za pomocą równania: (x 2 + y 2 kx) 2 = k 2 (x 2 + y 2 ) gdzie a jest parametrem. Pole powierzchni ograniczone kardioidą wynosi: P = 3 2 πk2, zaś obwód: L = 8k A teraz zobaczcie jak taka kardioida może wyglądać, gdy k=2 (x 2 + y 2 2x) 2 = 2 2 (x 2 + y 2 ) Taki wykres możemy również opisać za pomocą tzw. współrzędnych biegunowych. Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) to układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OP o początku w punkcie O zwaną osią biegunową. Np. opisana wyżej kardioida ma następujące współrzędne biegunowe:

2 r = 2a(1 + cosφ) Można użyć też tzw. równania parametrycznego: Przyjmijmy teraz oznaczenia jak na rysunku oraz r = 2a(1 + cost) Policzmy pole powierzchni i obwód kardioidy. Sięgniemy do matematyki wyższej i użyjemy całki oznaczonej: 2π P = 1 2 r2 dφ =... = 2a 2 (1 + cosφ) 2 dφ =... = 6πa 2 0 2π L = 2 ( dr dφ ) 2 0 2π 0 2π + r 2 dφ =... = 2 2a (1 + cosφ)dφ =... = 16a 0 Jak się to ma do wcześniej podanych wzorów P = 3 2 πk2 oraz L = 8k. W obliczeniach przyjąłem po prostu, że k = 2a. Dzięki temu podstawieniu można łatwo wyobrazić sobie obwód kardioidy jako obwód kwadratu o boku długości 4a. Zgodzicie się na pewno ze mną, że kardioida swoim kształtem przypomina serce. Mówiąc o kardioidzie chcę Wam również przekazać pewną ciekawostkę muzyczną (muzyka to również moja pasja). Wiecie zapewne co to jest i do czego służy mikrofon. Jedną z cech mikrofonu jest jego sposób ściągania dźwięków, czyli tzw. charakterystyka. Wiele mikrofonów ma tzw. charakterystykę kardioidalną, co prezentuje poniższy rysunek.

3 Ciekawe równania serc Wróćmy do naszych równań miłości. Zapewne jesteście przyzwyczajeni do nieco innego kształtu serca niż kardioida. A zatem spróbujmy ukształtować trochę bardziej naszą krzywą serca. To tak jak w życiu, trzeba miłość kształtować. Poniżej przedstawiam kilka równań bardzo ładnych serduszek wraz z ilustracją graficzną w kartezjańskim układzie współrzędnych:

4 Dosyć ciekawym sposobem uzyskania serduszka jest połączenie dwóch elips:

5 Dwie elipsy nałożone na siebie Jeśli teraz dodamy odpowiednie założenia do równań elips, to otrzymamy powyższy rezultat. dla x 0 dla x 0 Przestrzenne serca 3D Równanie serca można przenieść w przestrzeń trójwymiarową. Oto przykład takiego równania wraz z wykresem: Fraktalne serca W matematyce istnieją dość ciekawe i ładne obiekty. Są to tzw. fraktale. Fraktal w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do

6 całości) albo "nieskończenie subtelny" ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu. Zobaczmy jak może wyglądać fraktalne serduszko: Fraktal Medelbrot a i widoczna kardioida

7 Serca geometryczne Oprócz takich równań matematyczne serduszka możecie wykonać w inny sposób. Będą to matematyczno-geometryczne serduszka. Oto kilka przykładów: Serduszko składające się z kwadratu i koła. Koło podzielone na dwie części. Serduszko zbudowane na bazie trójkąta równoramiennego (tutaj użyty jest nawet trójkąt prostokątny równoramienny) oraz koła podzielonego na dwie części. Serduszko zbudowane na połowie koła wraz z dwoma półkolami.

8 Tutaj przykład serduszka składającego się z dwóch trójkątów równoramiennych i dwóch półkoli. Serduszko składające się z dwóch kół oraz poprowadzonych stycznych do okręgów. Serduszko powstałe na bazie czterech okręgów o równych promieniach o środkach w wierzchołkach kwadratu. Potem wybieramy odpowiednie fragmenty i gotowe Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji y = sinx dla x < 0, π 2 > oraz dwóch półkoli. Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji y = sinx dla x < π 2, π 2 > oraz dwóch półkoli. I kolejna propozycje uzyskania serduszka:

9 Taka układanka nazywa się tangram chińska łamigłówka (układanka), znana od ok.3000 lat. Zrób to sam Poniżej instrukcja jak wykonać ładne serduszko: Coś do rozwiązania

10 Matematyczna walentynka od moich uczniów Na koniec chciałbym Wam przedstawić bardzo oryginalny pomysł moich uczniów. Dostałem od nich matematyczną walentynkę, którą musiałem rozwiązać. Oto jej treść: Rozwiąż metodą graficzną, a następnie powstały wyraz przenieś w miejsce kropek w odpowiedzi. 1. y = 1 x dla x > 0 2. x 2 + y 2 = 9 3. y = 2x 4. x = siny dla y < π, π > ODP. We YOU so much! :) A oto rozwiązanie: Z wielką dumą wpisałem LOVE w odpowiedzi do zadania. Przyznacie, że robi wrażenie. Oprócz świetnego pomysłu na zadanie, uczniowie wykazali się wiedzą matematyczną z zakresu szkicowania wykresów funkcji oraz ich przekształcania. A zatem widzimy jak wiele różnych serc można opisać równaniem matematycznym. Jest ich naprawdę nieskończenie wiele. Możecie zmieniać liczby w przedstawionych równaniach uzyskując swoje własne i niepowtarzalne serca. Myślę, że każdy z Was odnalazł już to swoje serce. Tomasz Grębski