Matematyczne aspekty rozszyfrowania Enigmy

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Kraków, 2003 Matematyczne aspekty rozszyfrowania Enigmy Zbigniew Błocki

2 Marian Rejewski ( )

3 15 VII armia niemiecka wprowadza Enigmy do użytku 1928/29 - kurs kryptologii w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Poznańskiego zorganizowany przez Biuro Szyfrów Oddziału II Sztabu Głównego 1 IX Biuro Szyfrów w Warszawie zatrudnia Mariana Rejewskiego, Jerzego Różyckiego i Henryka Zygalskiego; początek prac nad złamaniem kodu Enigmy

4

5 Grupa permutacji I n = {1, 2,..., n} (n = 26, I n = {a, b,..., x, y, z}) S n = {A : I n I n - bijekcja} - grupa nieprzemienna (z działaniem AB = A B). Każdy element A S n posiada element odwrotny A 1 AA 1 = A 1 A = id, (AB) 1 = B 1 A 1. Jeżeli a 1,..., a k I n, a i a j dla i j, to przez (a 1 a 2... a k ) oznaczamy cykl długości k a 1 a 2... a k a 1. Każdą permutację można przedstawić jako złożenie cykli rozłącznych A = (a 1... a k )(b 1... b l )...

6 Konstrukcja i działanie Enigmy S Klawiatura I II III R = R Lampki 1 S 1 I 1 II 1 III 1 S = (a 1 b 1 )... (a 6 b 6 ) = S 1 - połączenia wtyczkowe Zakładając, że obraca się tylko pierwszy wirnik (25 na 26 razy), mamy I =P α+1 NP α 1, II =P β MP β, III =P γ LP γ, gdzie α, β, γ {1, 2,..., 26} - ustawienie wirników, P = (1, ) - obrót o 1/26 pełnego kąta, N, M, L, R - połączenia wewnętrzne wirników (identyczne we wszystkich Enigmach danej sieci).

7 N, M, L 26! R 26! !213 α, β, γ 3! S 26! 6!14!

8 Sposób szyfrowania depesz (1932 r.) S, α, β, γ - klucz dzienny (wg. księgi szyfrów) α, β, γ - klucz depeszy (wybierany przez szyfranta) Początek każdej depeszy miał postać A 1 (α), A 2 (β), A 3 (γ), A 4 (α), A 5 (β), A 6 (γ), przy czym permutacje A 1,..., A 6 były stałe danego dnia (A 1 i = A i, tzn. A i składają się z transpozycji rozłącznych). Posiadając odp. ilość zaszyfrowanych depesz z danego dnia (ok. 80) można odtworzyć permutacje A i+3 A 1 i = A i+3 A i, i = 1, 2, 3.

9 Odtworzenie kluczy depesz (jesień 1932) Permutacje A i+3 A i miały zawsze następującą własność cykle danej długości występują ( ) w liczbie parzystej Twierdzenie. X S 2m spełnia ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją A, B S 2m takie, że A = A 1, B = B 1 oraz X = AB.

10 Algorytm znajdowania A, B (zakładając, że znamy iloczyn AB spełniający ( )): - Cykle danej długości grupujemy w pary; - Dla danej pary cykli długości k mamy dokł. k możliwości: (a 1... a k )(b 1... b k ) =(a k b l )(a k 1 b l 1 )... (a 1 b l+1 ) (a k b l 1 )(a k 1 b l 2 )... (a 1 b l ) - Do wyboru właściwych permutacji A i z ok. kilku tysięcy możliwych rozwiązań wykorzystywano nawyki szyfrantów (np. wybieranie trzech takich samych liter jako kluczy depesz).

11 Konstrukcja i działanie Enigmy S Klawiatura I II III R = R Lampki 1 S 1 I 1 II 1 III 1 S = (a 1 b 1 )... (a 6 b 6 ) = S 1 - połączenia wtyczkowe Zakładając, że obraca się tylko pierwszy wirnik (25 na 26 razy), mamy I =P α+1 NP α 1, II =P β MP β, III =P γ LP γ, gdzie α, β, γ {1, 2,..., 26} - ustawienie wirników, P = (1, ) - obrót o 1/26 pełnego kąta, N, M, L, R - połączenia wewnętrzne wirników (identyczne we wszystkich Enigmach danej sieci).

12 Odtworzenie połączeń wewnętrznych Zakładając, że obraca się tylko pierwszy wirnik (20 na 26 razy), mamy gdzie A i = S 1 P α+i N 1 P α i QP α+i NP α i S, i = 1,..., 6, Q = P β M 1 P β+γ L 1 P γ RP γ LP γ+β MP β. Mamy zatem układ 6 równań z 4 niewiadomymi S, N, Q, α. Przełom: 9 XII 1932 Rejewski otrzymuje przekazane przez wywiad francuski (Gustave Bertrand) klucze dzienne za wrzesień i październik 1932 r.

13 U i = N 1 P α i QP α+i N, i = 1,..., 6 U i+1 U i+2 = (N 1 P N)U i U i+1 (N 1 P N) 1, i = 1,..., 4. Obserwacja. Jeżeli ( ) A= =(a A(1)... A(26) 1... a k )(b 1... b l )..., to XAX 1 = ( ) X(1)... X(26) X(A(1))... X(A(26)) = (X(a 1 )... X(a k ))(X(b 1 )... X(b l ))...

14 Wniosek. Równanie XAX 1 = B ma rozwiązanie X wtedy i tylko wtedy, gdy permutacje A i B są podobne (tzn. zbiór długości cykli rozłącznych jest taki sam).

15 H Klawiatura S I II III R = R Lampki 1 H 1 S 1 I 1 II 1 III 1 H = H = ( q v e r t z )... a b c d e f... ( a b c d e f )... a b c d e f... (w Enigmie handl.) (w Enigmie wojsk.)!

16 Odczytywanie depesz ( ) - wykonanie replik Enigmy przez warszawską firmę AVA; - metoda rusztu (wykorzystująca fakt, że permutacja S nie zmienia 14 z 26 znaków); - skatalogowanie długości cykli permutacji A i+3 A i w zależności od α, β, γ przy pomocy specjalnie skonstruowanego urządzenia zwanego cyklometrem (permutacje te są postaci S 1... S, zatem długości ich cykli nie zależą od S).

17 styczeń kod Enigmy złamany! liczne zmiany w Enigmach: zwiększenie liczby wirników oraz liczby połączeń wtyczkowych, częstsze zmiany kodów, itd. początek Polacy odczytują 75% depesz niemieckich 15 IX zasadnicza zmiana sposobu szyfrowania konstrukcja bomby kryptologicznej (ang. bombe) oraz płacht Zygalskiego VII spotkanie z Brytyjczykami i Francuzami w Warszawie Amerykanie łamią japoński kod Purple Brytyjczycy konstruują maszynę Colossus książka F.Winterbothama The Ultra Secret??? - Anglicy przyznają, że to nie oni złamali Enigmę

18

19