Sylabusy kursów kierunek matematyka cykl kształcenia

Transkrypt

1 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Algebra liniowa kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 9 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 45 godz. wykładu i 45 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Halszka Tutaj-Gasińska Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ na nie innym kierunku Wymagania wstępne Efekty kształcenia brak w zakresie wiedzy: znajomość podstawowych pojęć z algebry liniowej (macierz, odwzorowanie liniowe, przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny);znajomość podstawowych struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa)znajomość twierdzeń dotyczących macierzy, przestrzeni wektorowych oraz układów równań; w zakresie umiejętności: umiejętność wykonywania operacji na macierzach; umiejętność liczenia wyznacznika macierzy oraz posługiwania się metodą eliminacji Gaussa; umiejętność rozwiązywania układów równań w oparciu o różne metody (m.in. posługiwanie się twierdzeniem Kroneckera-Capellego); umiejętność badania odwzorowań liniowych (wyznaczanie jądra, obrazu, podprzestrzeni własnych);umiejętność intepretacji układów równań liniowych w języku wektorów i odwzorowań liniowych; umiejętność wyznaczania wartości własnych oraz wektorów własnych macierzy i sprowadzania macierzy do postaci kanonicznej; umiejętność wyznaczania bazy przestrzeni wektorowej; umiejętność wyznaczania macierzy przekształceń w różnych bazach; w zakresie kompetencji społecznych: potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń i potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie obliczeniowym; stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. 1

2 Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Podstawowe wiadomości z zakresu algebry liniowej, jak: macierze, wyznaczniki, układy równań, wartości własne, przestrzenie wektorowe, odwzorowania liniowe, iloczyn skalarny. Treści kształcenia (pełny opis) Literatura podstawowa i uzupełniająca 1. Pojęcie macierzy, działania na macierzach. 2. Wyznacznik macierzy, macierz odwrotna, różne algorytmy numeryczne obliczania wyznacznika i macierzy odwrotnej. 3. Rząd macierzy, związek wyznaczników i rzędów macierzy. 4. Twierdzenie Kroneckera- Capellego, przykłady szukania rozwiązań układów równań. 5. Wektory własne i wartości własne macierzy (wielomian charakterystyczny). Algorytmy numeryczne wyszukiwania wartości własnych. 6. Działania wewnętrzne i zewnętrzne, podstawowe struktury algebraiczne (grupa, pierścień) przegląd podstawowych twierdzeń i przykładów 7. Przestrzeń i podprzestrzeń wektorowa, przestrzeń afiniczna, suma prosta i iloczyn kartezjański przestrzeni wektorowych. 8. Wektory liniowo niezależne i metody/twierdzenia pozwalające sprawdzać niezależność. 9. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej, macierze przejścia między bazami.10.odwzorowanie liniowe definicja i własności, macierz odwzorowania, jądro i obraz oraz ich własności. 11. Przestrzeń odwzorowań liniowych i jej własności. 12. Podprzestrzenie niezmiennicze. 13. Odwzorowania wieloliniowe, (m.in. iloczyn skalarny i jego własności, pojęcie ortogonalności). 14. Przestrzenie euklidesowe. Przestrzenie unitarne i ich własności, przekształcenia ortogonalne. 15. Formy kwadratowe, krzywe algebraiczne i powierzchnie stopnia drugiego. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] A.Białynicki-Birula: Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa, [2] S.Przybyło, A.Szlachtowski : Algebra i Wielowymiarowa Geometria Analityczna w Zadaniach, WNT Warszawa, [3] T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje twierdzenia wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, [4] T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, [5] M.Gewert, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, [6] T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 2. Definicje twierdzenia wzory, Wydawnictwo: GiS Gewert i Skoczylas, [7] T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, [8] T.Jurlewicz, Algebra liniowa 2 Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS,

3 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Wstęp do matematyki kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 10 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 60 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne brak w zakresie wiedzy: znajomość podstawowych pojęć rachunku zdań i algebry zbiorów: spójniki zdaniotwórcze, tautologie, działania na zbiorach, funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, pojęcie pary uporządkowanej, produkt kartezjański; - znajomość uogólnionych działań na zbiorach; znajomość pojęcia relacji, relacji równoważności, klas abstrakcji, dzielenia zbioru przez relację równoważności; znajomość pojęcia funkcji i ich własności takich jak: operacje teoriomnogościowe na funkcjach ( zawężenie, klejenie, zestawienie, składanie), iniekcje, suriekcje, bijekcje, funkcje odwrotne; - znajomość pojęcia obrazu i przeciwobrazu; znajomość podstawowych pojęć i faktów z teorii mocy: równoliczność, twierdzenie o mocy zbioru potęgowego, nierówność dla mocy, pewnik wyboru, twierdzenie Cantora-Bernsteina; -znajomość pojęcia przeliczalności zbioru: przeliczalność zbioru liczb wymiernych, nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych; -wiedza na temat zbiorów mocy kontinuum: równoliczności prostej i płaszczyzny; twierdzenia o istnieniu liczb Efekty kształcenia niealgebraicznych; znajomość podstawowych pojęć i faktów z teorii porządku: - znajomość relacji częściowego porządku, liniowego porządku i dobrego porządku; - znajomość pojęć majoranty, minoranty, elementu największego, najmniejszego, kresów, elementów maksymalne, elementów minimalne; wiedza na temat podobieństw, typów porządkowych, liczb porządkowych, znajomość aksjomatu Kuratowskiego-Zorna i wiedza o jego równoważności z pewnikiem wyboru, twierdzenie Zermelo, twierdzenie o porównywaniu liczb kardynalnych; w zakresie umiejętności: umiejętność operowania formułami algebr zdań i zbiorów i ich przekształcania; w szczególności umiejętność zaprzeczania formuł z kwantyfikatorami, posługiwanie się diagramami Venne'a; stosowanie rachunku zdań i kwantyfikatorów w prowadzeniu rozumowań i dowodzeniu twierdzeń; umiejętność wykonywania działań na zbiorach, posługiwania się produktem zbiorów i zapisywanie konkretnych zbiorów (figur geometrycznych) w formie produktu; sprawne posługiwanie się algebrą zbiorów w wybranych zagadnieniach analizy i geometrii; rozumienie pojęcia funkcji i pojęć 3

4 towarzyszących, umiejętność sprawdzania w prostych sytuacjach takich własności jak iniektywność czy suriektywność, wyznaczanie obrazów i przeciwobrazów, wykonywanie działań na funkcjach; umiejętność wyznaczania klas abstrakcji dla konkretnych relacji równoważności; rozpoznawanie i umiejętność dowodzenia stwierdzeń o mocy konkretnych zbiorów pojawiających się w analizie i geometrii, w tym również z zastosowaniem twierdzenia Cantora-Bernsteina; umiejętność wyznaczania w konkretnych sytuacjach takich obiektów jak elementy najmniejsze (największe), kresy, czy elementy maksymalne; umiejętność rozpoznawania istnienia i rodzaju struktur porządkowych i ich izomorfizmów; w zakresie kompetencji społecznych: potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń; potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie obliczeniowym; stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Algebra zbiorów. Funkcje i relacje. Teoria mocy. Teoria porządku. Treści kształcenia (pełny opis) 1. Zdanie, funktory zdaniotwórcze, tautologie, metoda zerojedynkowa. 2. Algebra zbiorów. Diagramy Venne'a. 3. Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory. Uogólnione sumy i iloczyny. 4. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański zbiorów. Relacje, relacje równoważności. Dzielenie zbioru przez relację równoważności. 5. Funkcje i ich własności. Składanie. Obrazy i przeciwobrazy. Funkcja odwrotna. 6. Definicja równoliczności, twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego. Antynomia Russella. 7. Zbiory przeliczalne, przeliczalność Z, Q. Nieprzeliczalność R. Hipoteza continuum. 8. Moc zbioru potęgowego zbioru liczb naturalnych. 9. Nierówność dla mocy równoważność określeń. 10. Twierdzenie Cantora -Bernsteina i przykłady zastosowań. 11. Aksjomaty teorii porządku i podstawowe pojęcia. 12. Aksjomat indukcji w N. 13. Aksjomat Kuratowskiego-Zorna i jego równoważność z pewnikiem wyboru. 14. Twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu. 15. Twierdzenie o porównywaniu liczb kardynalnych. 4

5 Literatura podstawowa i uzupełniająca Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] Kazimierz Kuratowski; Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN Warszawa 1977 [2] Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady z wstępu do matematyki. PWN, Warszawa [3] Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki. PWN, Warszawa

6 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Geometria i topologia I kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 1 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne brak a) w zakresie wiedzy: znajomość podstawowych pojęć techniki kartezjańskiej tj.: pojęcie współrzędnych, zmiany układu współrzędnych, wektorów, iloczynu skalarnego znajomość: różnych sposobów opisu prostej na płaszczyźnie, formuł na odległość punktu od prostej, na kąt wyznaczony przez proste oraz na odległość prostych równoległych, warunków równoważnych na równoległość i prostopadłość prostych, znajomość równania okręgu oraz podstawowych związków miedzy prostymi i okręgami- znajomość krzywych stożkowych: ich opisu w różnych układach współrzędnych, równań stycznych, asymptot, współrzędnych ognisk i wierzchołków, formuł na mimośród- rozumienie relacji między między algebraicznym a geometrycznym opisem przekształceń oraz zbiorów algebraicznych stopnia 2; b) w zakresie umiejętności: umiejętność stosowania: opisu kartezjańskiego, zmiany układu współrzędnych, iloczyny skalarnego- umiejętność wyznaczania: równania prostej przechodzącej przez parę punktów, odległości punktu od prostej, odległości Efekty kształcenia między prostymi, kąta między prostymi, prostej stycznej do okręgu, okręgu prze-chodzącego przez trójkę punktów,- umiejętność: opisu krzywej stożkowej, wyznaczania kierownic, ognisk, wierzchołków, asymptot, mimośrodu, prostych stycznych- umiejętność rozpoznawania podstawowych własności topologicznych podzbiorów w przestrzeni euklidesowej umiejętność opisywania tworów algebraicznych stopnia 2 w różnych współrzędnych afinicznych- umiejętność opisywania i rozpoznawania tworów algebraicznych stopnia drugiego (rozumienie klasyfikacji afinicznej, metrycznej i topologicznej), umiejętność badania kształtu krzywej gładkiej; c) w zakresie kompetencji społecznych: potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń i konstrukcji, potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie rozumowania; stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych. 6

7 Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Zaliczenie ćwiczeń na ocenę Przestrzenie metryczne. Układ współrzędnych, zmiana układu współrzędnych, prosta na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, kąt między prostymi, okrąg, proste i okręgi, krzywe stożkowe, własności elipsy, hiperboli i paraboli. Klasyfikacja powierzchni stopnia drugiego. Treści kształcenia (pełny opis) Przestrzenie metryczne: pojęcie metryki, kuli otwartej, wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. 2. Pojęcia metryczne (kontrakcje, izometrie, zupełność) przykłady i podstawowe własności. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie metryczne 3. Pojęcia topologiczne: odwzorowania ciągłe przestrzeni metrycznych, pojęcie homeomorfzmu i izometrii przestrzeni metrycznych 4. Spójność i zwartość jako własności topologiczne przykłady i podstawowe własności. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie topologiczne.5. Układ współrzędnych: współrzędne punktu na prostej, na płaszczyźnie i w przestrzeni, prostokątne i nieprostokątne układy współrzędnych. Wektory: wektory zaczepione i wektory swobodne, operacje na wektorach, iloczyn skalarny i jego własności. 6. Twierdzenie kosinusów i reguła równoległoboku jako przykłady zastosowania rachunku wykorzystującego iloczyn skalarny. Pojęcie wersora i współrzędne punktu jako iloczyn skalarny wektora wodzącego i wersora. 7. Zmiana układu współrzędnych: przesunięcie układu współrzędnych, obrót układu współrzędnych. Wzór na pole trójkąta jako przykład wykorzystania techniki zmiany układu współrzędnych. Iloczyn skalarny we współrzędnych i kąt między wektorami8. Proste na płaszczyźnie: ogólne równanie prostej, równanie kierunkowe, równanie parametryczne i równanie odcinkowe. Kąt miedzy prostymi.9. Odległość punktu od prostej: definicja i formuła na odległość. Analityczne warunki równoważne równoległości pro-stych. Odległość prostych równoległych: definicja i formuła na odległość. Warunek wyznacznikowy na współ-liniowość trójki punktów. 10. Okrąg, okręgi i proste: wyznacznikowa postać równania okręgu przechodzącego przez trójkę punktów. Równanie prostej stycznej do okręgu. 11. Potęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa pary niewspółśrodkowych okręgów. Liczba punktów przecięcia dwóch okręgów jako zastosowanie prostej potęgowej. Własności prostej potęgowej, twierdzenie o trzech prostych potęgowych konstrukcja prostej potęgowej. 12. Krzywe algebraiczne stopnia 2: elipsa, hiperbola, parabola, klasyfikacja krzywych stopnia 2, wzajemne położenie prostej i krzywej 2-go stopnia. 13. Powierzchnie drugiego stopnia: powierzchnie obrotowe; walce i stożki, elipsoida, hiperboloida jedno- i dwupowłokowa, paraboloida eliptyczna i hiperboliczna, klasyfikacja powierzchni stopnia Elementy geometrii różniczkowej: krzywe gładkie w R^2 i R^3, wektory styczne i normalne. 7

8 Literatura podstawowa i uzupełniająca Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] M. Stark, Geometria analityczna [2] B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, [3] B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie. [4] K. Sieklucki, Geometria i topologia, [5] K.Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, [6] K.Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. 8

9 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Geometria i topologia II Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 7 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów drugi Semestr trzeci Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne algebra liniowa, geometria i topologia I Efekty kształcenia Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) a) w zakresie wiedzy: znajomość aksjomatyki Euklidesa- znajomość własności izometrii, własności zachowy-wanych przez izommetrie, twierdzenia o zbiorze punktów stałych izometrii oraz o istnieniu i jednoznaczności izometrii- znajomość faktów dotyczących przystawania (w tym cech przystawania trójkątów i równoległoboków)- znajomość twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności podobieństwa- znajomość twierdzeń Cevy i Menelausa- znajomość definicji (konstrukcji) miary Jordana, wzorów Herona i uogólnionego wzoru Herona; b) w zakresie umiejętności: umiejętność rozkładania izometrii na symetrie osio-we (podobieństwa na izometrię i jednokładność)- umiejętność wyznaczania pól różnych figur- umiejętność dowodzenia prostych faktów geometrycznych- umiejętność rozpoznawania figur przystających i dowodzenia ich przystawania; c) w zakresie kompetencji społecznych: krytyczne spojrzenie na fakty geometryczne i ich uzasadnienia- gotowość do dowodzenia dedukcyjnego w oparciu o prostsze fakty. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę Aksjomatyka Euklidesa, klasyfikacja izometrii płaszczyzny, grupa podobieństw płaszczyzny, przystawanie figur (cechy przystawania), miara Jordana, różne twierdzenia geometrii elementarnej. Pojęcia krzywizny i torsji. 9

10 Treści kształcenia (pełny opis) Literatura podstawowa i uzupełniająca 1. Aksjomatyka Euklidesa (w wersji Hilberta). Informacyjnie o aksjomatyce Birkhoffa. Aksjomaty incydencji i ich konsekwencje.2. Wpółliniowość i niewspółliniowość punktów. Prosta wyznaczona przez parę punktów. Płaszczyzna wyznaczona przez trzy niewspółlinowe punkty i przez parę prostych przecinających.3. Odległość geometryczna i aksjomaty uporządkowania. Pojęcie porządku geometrycznego na prostej. Półprosta, odcinek, półpłaszczyzna, pojęcie kata. Półproste uzupełniające się. 4. Izometrie i aksjomat ciągłości. Pojęcie izometrii. Izometria, a relacja porządku. Współrzędne barycentryczne na prostej (twierdzenie o jednoznaczności punktu na prostej o danych odległościach od dwu ustalonych punktów prostej). 5. Obraz prostej (odcinka, półprostej) przez izometrię. Bijektywność izometrii płaszczyzny. Twierdzenie o zbiorze punktów stałych izometrii. Pojęcie symetrii osiowej (jako izometrii o zadanym zbiorze punktów stałych). Pojęcie osi symetrii, symetralna odcinka, metryczna charakteryzacja symetralnej. Istnienie i jednoznaczność izometrii (płaszczyzny) zadanej przez obrazy trzech niewspółliniowych punktów. 6. Izometria płaszczyzny jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Obraz półpłaszczyzny przez izometrię. Klasyfikacja izometrii płaszczyzny. Izometrie zachowujące i niezachowujące orientację. 7. Równoległość prostych piąty aksjomat Euklidesa. Pojęcie kierunku jako klasy abstrakcji względem relacji równoległości. Równoległość a izometrie. 8. Relacja przystawania. Przystawanie prostych, półprostych odcinków i półpłaszczyzn. Przystawanie kątów i miara kąta. Dwusieczna kąta, kąt półpełny i kąt prosty. Symetria środkowa (jako złożenie dwóch symetrii osiowych). Przystawanie kątów wierzchołkowych i naprzeciwległych. Związki miedzy prostopadłością i równoległością (na płaszczyźnie). 9. Trójkąty i cechy przystawania trójkątów. Łamane i wielokąty. Czworokąty, równoległoboki. Różne charakteryzacje równoległoboków. Równoległoboki, a izometrie. Przystawanie równoległoboków. Rzut równoległy i twierdzenie Talesa. Twierdzenie o środkowych trójkąta. 10. Jednokładność i podobieństwo. Podobieństwo jako złożenie izometrii i jednokładności. Własności zachowywane przez podobieństwo. Istnienie i jednoznaczność podobieństwa zadanego przez obrazy trzech niewspółliniowych punktów. Cechy podobieństwa trójkątów, cechy podobieństwa równoległoboków.11. Rzut prostopadły i twierdzenie Pitagorasa. Odległość punktu od prostej, odległość prostych równoległych. 12. Okregi i proste. Liczba punktów przecięcia okręgu z prostą (z okręgiem). Prosta styczna. Okręgi styczne zewnętrznie i wewnętrznie.13. Okręgi i wielokąty. Kąt w pisany i środkowy. Okrąg wpisany i opisany na trójkącie. Warunki WKW na istnienie kręgu w pisanego i opisanego na czworokącie. 14. Punkty Menelausa, twierdzenie Menelausa, twierdzenie Cevy, odwrotne twierdzenie Cevy. 15. Miara Jordana. Wzory na pola podstawowych wielokatów: trójkątów, czworokątów, wielokątów foremnych. Wzór Herona i uogólniony wzór Herona. 16. Geometrie nieeuklidesowe, informacja o geometrii sferycznej i hiperbolicznej i ich zastosowaniach. 17. Badanie kształtu krzywej gładkiej, krzywizna i torsja, przykłady i zastosowania. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] Z. Krygowska, J. Maroszkowa, Geometria dla klasy I Liceum Ogólnokształcacego, WSiP 1974.[2] Z. Krygowska, Geometria dla klasy II Liceum Ogólnokształcace-go, WSiP 1986.[3] E.S. Wallace, S. F. West, Raods to Geometry, Prentice-Hall Inc [4] K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN Warszawa,

11 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Podstawy informatyki Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 8 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć wykład i laboratorium informatyczne Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. laboratorium informatycznego Koordynator dr Marek Karaś Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, informatyka Zajęcia ogólnouczelniane/ na innym kierunku Wymagania wstępne Efekty kształcenia Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia nie brak a) w zakresie wiedzy: znajomość pozycyjnych systemów liczbowych, w tym binarnego i heksadecymalnego- znajomość kodów: U2, stałoprzecinkowych i zmiennoprzecinkowych, - znajomość problemów arytmetyki zmiennoprzecinkowej - znajomość podstaw graficznej prezentacji algorytmów- znajomość algebr Boole a, funkcji logicznych i ich zastosowań w elektronice cyfrowej,- znajomość bramek logicznych ich symboli graficznych i podstawowych układów elektroniki cyfrowej tj.: multipleksery, demultipleksery, przerzutniki, półsumatory i sumatory. b) w zakresie umiejętności: umiejętność kodowania i dekodowani liczb w kodach U2, stałoprzecinkowych i zmiennoprzecinkowychumiejętność rozpoznania i specyfikacji algorytmicznych problemów matematycznych,- umiejętność czytania i tworzenia algorytmów, (układanie algorytmów zgodnych ze specyfikacją),- umiejętność pisania prostych programów w języku Pascal realizujących zadany algorytm,- umiejętność zapisania funcji logicznej w postaci kanonicznej alternatywno-koniunkcyjnej,- umiejętność realizacji funkcji logicznych przy pomo-cy bramek logicznych; c) w zakresie kompetencji: społecznych: patrzenie na problem pod kątem ewentualnego algorytmu, który mógłby rozwiązywać ten problem - utrwalenie świadomości, że kompilator ma zawsze rację, nawet jeśli nie możemy znaleźć żadnego błędu w programie. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia w laboratorium informatycznym polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach laboratoryjnych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Projekt komputerowy, praca długoterminowa oraz sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Forma i warunki zaliczenia Egzamin oraz zaliczenie laboratorium na ocenę. 11

12 Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Literatura podstawowa i uzupełniająca Pozycyjne systemy liczbowe, reprezentacja maszynowa liczb, algebry Boolea a, funkcje logiczne, elementy elektroniki cyfrowej, pojęcie algorytmu, krótki kurs języka Pascal, budowa komputera. 1. Pozycyjne systemy liczbowe: wartość liczby w dowolnym układzie pozycyjnym, konwersja z systemy o danej podstawie do systemu dziesiętnego i odwrotnie, konwersja między różnymi systemami pozycyjnymi, system heksadecymalny i system binarny. 2. Arytmetyka binarna. Konwersja między systemem binarnym i heksadecymalnym. 3. Reprezentacja maszynowa liczb całkowitych. Pojęcie bajtu i słowa maszynowego. Kodowanie liczb całkowitych bez znaku i ze znakiem, kod uzupełnień dwójkowych. 4. Pojęcie typu zmiennej (integer, longint), zakres przyjmowanych wartości i niebezpieczeństwa arytmetyki w kodzie U2. Konwersja z n-bitowego kodu U2 do m-bitowego kodu U2 i odwrotnie. Algorytm Bootha mnożenia liczb w kodzie U2. Dzielenie z resztą dla liczb bez znaku i ze znakiem. 5. Reprezentacja maszynowa liczb ułamkowych. Kody stałoprzecinkowe. Kodowanie i dekodowanie liczb w kodach stałoprzecinkowych. Zakres i dokładność reprezentacji liczb w kodach stałoprzecinkowych. Arytmetyka liczb stałoprzecinkowych. 6. Zapis wykładniczy: naukowy i inżynierski. Pojęcie mantysy i wykładnika, dokładność mantysy, mantysa znormalizowana. Arytmetyka w zapisie wykładniczym. Kody zmiennoprzecinkowe. 7. Zakres i dokładność reprezentacji liczb rzeczywistych. Pojęcie błędu względnego i elementy rachunku błędów. Wartości specjalne. Typy single, real, double i extended. Dziwne własności arytmetyki liczb zmiennoprzecinkowych. Przygotowanie do analizy poprawności i stabilności algorytmu. 8. Pojęcie algorytmu, problem i jego specyfikacja. Przykłady algorytmów klasycznych. Graficzna prezentacja algorytmu. Przykłady algorytmów i ich analizy, (poprawność i złożoność). Pojęcie pętli, warunek wyjścia z petli. Algorytmy wariantowe. 9. Elementarne struktury danych. Podstawowe typy danych, tabilce, listy ich rodzaje i metody przetwarzania. 10. Krótki kurs języka Pascal. Typy zmiennych i struktur danych. Instrukcja przypisania, instrukcje warunkowe, instrukcje pętli, procedury i funkcje, rekurencja, rekordy i pliki. 11. Algery Boole a. Definicja, przykłady, pojęcie izomorfizmu algebr Boole a, twierdzenie o reprezentacji algebr Boole a, pojęcie dualności w algebrach Boolea. 12. Funkcje logiczne n zmiennych. Twierdzenie o liczbie funkcji logicznych n zmiennych. Postać kanoniczna alternatywnokoniunkcyjna. 13. Elementy elektroniki cyfrowej. Bramki logiczne. Twierdzenie o reprezentowalności dowolnej funkcji logicznej przy pomocy bramek NOT, AND i OR. Twierdzenie o reprezentowalności dowolnej funkcji logicznej przy pomocy bramek NAND. 14. Zastosowanie postaci kanonicznej do konstrukcji układów elektroniki cyfrowej. Multiplekser i demultiplekser. Przerzutniki asynchroniczne i synchroniczne jako przykłady elementów pamięciowych. 15. Arytmetyka binarna w elektronice cyfrowej: konstrukcja półsumatora i sumatora binarnego oraz sumatora wielobitowego. 16. Algorytmy sortowania jako przykłady klasycznych algorytmów o nieco większym stopniu złożoności. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] M.Sysło, Elementy Informatyki, PWN, 1997[2] D.Karpisz, Podstawy Informatyki, PK, 2005[3] N. Wirth, Algorytmy + struktury danych = programy WNT 2002.[4] E. Kącki, Elektroniczna technika obliczeniowa PWN

13 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Repetytorium z matematyki kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć ćwiczenia Liczba godzin 60 godz. ćwiczeń Koordynator dr Beata Milówka pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne brak a) w zakresie wiedzy: znajomość podstawowych własności funkcji elementarnych (funkcja liniowa, kwadratowa, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne) znajomość metod rozwiązywania podstawowych typów równań i nierówności (liniowe, kwadratowe, elementarne wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) oraz układów równań liniowych znajomość definicji podstawowych własności funkcji (dziedzina i zbiór wartości, różnowartościowość, monotoniczność, parzystość i nieparzystość) znajomość opisu analitycznego prostych, okręgów, kół, parabol na płaszczyźnie znajomość podstawowych wzorów skróconego mnożenia (kwadrat oraz sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych znajomość przykładów niektórych typowych rozumowań matematycznych (dowód nie wprost, rozważanie przypadków, wprowadzanie pomocniczych niewiadomych) znajomość podstawowych wzorów opisujących pole i obwód figur płaskich oraz Efekty kształcenia pole powierzchni i objętość najprostszych brył przestrzennych (graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe); b) w zakresie umiejętności: sprawne wykonywanie działań na liczbach rzeczywistych i szacowanie uzyskanych wyników przekształcanie wyrażeń algebraicznych rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz kwadratowych (także z parametrem) a także ich układów stosowanie definicji i własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania prostych równań i nierówności rozwiązywanie elementarnych równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych rozwiązywanie prostych równań bądź nierówności wielomianowych i wymiernych rysowanie prostych, okręgów i parabol o zadanym opisie analitycznym, geometryczne interpretowanie zbiorów rozwiązań nierówności z dwiema niewiadomymi oraz ich układów i alternatyw tworzenie modelu matematycznego opisującego proste zagadnienia praktyczne i wykorzystanie go do rozwiązania zadania z treścią rysowanie wykresów funkcji sklejonych z funkcji elementarnych oraz wykresów 13

14 funkcji typu f(ax), af(x), f(xp)+q, f(x), f( x ), gdy dany jest wykres funkcji f odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu sprawdzanie niektórych własności funkcji (różnowartościowość, monotoniczność, parzystość) z wykorzystaniem definicji wykonywanie działań na wektorach o podanych współrzędnych obliczanie pól i obwodów kół, trójkątów i czworokątów obliczanie objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów i figur obrotowych dowodzenie prostych tożsamości i nierówności; c) w zakresie kompetencji społecznych: krytyczna interpretacja uzyskanych wyników liczbowych badanie zasadności podejmowanych działań sprzeciw wobec przyjmowania wniosków logicznie błędnych podejmowanie nowych form aktywności w oparciu o zdobytą wcześniej wiedzę i doświadczenia. Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Podstawowe własności działań na liczbach i zbiorach. Własności funkcji elementarnych.równania i nierówności oraz ich układy. Własności miarowe podstawowych figur płaskich 1. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych (rozróżnianie liczb wymiernych i niewymiernych, własności działań, wykonywanie działań na liczbach rzeczywistych i oszacowanie otrzymanych wyników). Podstawowe działania na zbiorach (podzbiory, suma, iloczyn, różnica i różnica symetryczna zbiorów). Działania na potęgach, pierwiastkach i logarytmach 2. Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe (rozwiązywanie równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą, interpretacja geometryczna równania i nierówności liniowej dwóch zmiennych, rozwiązywanie układów równań i nierówności Równanie liniowe i układ równań liniowych z parametrem ci liniowych oraz ich interpretacja graficzna). 3. Wartość bezwzględna (definicja, interpretacja geometryczna, własności), równania i nierówności liniowe (jednej i wielu zmiennych) z wartością bezwzględną4. Funkcja kwadratowa (wykres, własności), równania i nierówności kwadratowe (w tym z wartością bezwzględną), równania dwukwadratowe i pierwiastkowe, dyskusja funkcji kwadratowej z parametrem 5. Równania linii stopnia drugiego (okrąg, parabola, hiperbola równoosiowa), układy równań stopnia drugiego 6. Wykorzystanie podstawowych równań i nierówności w rozwiązywaniu zadań (uwzględnienie mieszanin, zmian cen, lokat bankowych) 7. Funkcja i jej własności (definicja funkcji, sposoby określania funkcji, dziedzina, zbiór wartości, wykres; monotoniczność, różnowartościowość, ekstrema, najmniejsza i największa wartość funkcji, istnienie funkcji odwrotnej. Składanie funkcji (definicja, dziedzina złożenia, określanie wzoru złożenia funkcji, rozkład funkcji złożonej na składowe)8. Przekształcanie wykresów funkcji (symetrie względem osi i początku układu współrzędnych, powinowactwo 14

15 Literatura podstawowa i uzupełniająca prostokątne, przesunięcie), wykres funkcji z wartością bezwzględną 9. Funkcje trygonometryczne (kąta ostrego, kąta skierowanego, zmiennej rzeczywistej) i związki między nimi, wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych argumentów, wzory redukcyjne, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumy i różnicy, sumy i różnice funkcji trygonometrycznych. Tożsamości trygonometryczne. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych (nie tylko elementarnych) 10. Wielomiany (działania na wielomianach, pierwiastki wielomianu, rozkład wielomianu na czynniki), równania i nierówności wielomianowe 11. Funkcja wymierna (dziedzina), funkcja homograficzna (wykres i własności), równania i nierówności wymierne12. Funkcja potęgowa (wykres, własności, rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych). Funkcja wykładnicza (wykres, własności, równania i nierówności wykładnicze). Funkcja logarytmiczna (wykres, własności, równania i nierówności logarytmiczne)13. Elementy geometrii płaszczyzny: wzajemne położenie prostych i okręgów (także opis analityczny), działania na wektorach (interpretacja geometryczna, opis analityczny) 14. Twierdzenie Talesa i jego zastosowania. Własności miarowe figur płaskich (pola i obwody figur) 15. Pole powierzchni i objętość brył przestrzennych (wielościany, figury obrotowe). Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki (dla kl. I i II LO, dla kl. III i IV), [2] B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania i testy z matematyki dla ucznów szkół średnich, [3] A. Cewe, H. Nahorska, Matematyka. Matura w nowej formule. 15

16 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Arytmetyka z teorią liczb kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 6 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab.mirosław Baran pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne wstęp do matematyki a) w zakresie wiedzy: znajomość liczb zespolonych i ich modeli (punktów na płaszczyźnie, macierzy, odwzorowań) oraz możliwości zastosowań; znajomość indukcji matematycznej w różnych wersjach; znajomość konstrukcji podstawowych zbiorów liczb w oparciu o struktury ilorazowe (podobne konstrukcje będą wykorzystywane na algebrze); znajomość teorii podzielności liczb całkowitych (kongruencje, działania na resztach); znajomość podstaw systemu kryptograficznego RSA; znajomość pojęcia izomorfizmu struktur (półgrup, grup, pierścieni i ciał) i przykładów jego zastosowań; b) w zakresie umiejętności: umiejętność dowodzenia własności liczb naturalnych przy pomocy indukcji; wyprowadzanie wzorów sumacyjnych, w tym z zastosowaniem liczb zespolonych; umiejętność dowodzenia podzielności w oparciu o własności kongruencji i działań na resztach; znajdowanie rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze i posługiwanie się w tym celu programem Mathematica; umiejętność obliczania NWD i NWW, w tym Efekty kształcenia zastosowanie algorytmu Euklidesa; umiejętność zaszyfrowania i odszyfrowania prostej wiadomości z użyciem systemu RSA; umiejętność działań na liczbach zespolonych, obliczanie pierwiastka kwadratowego; znajdowanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i jej zastosowanie przy obliczaniu potęg; umiejętność rozwijania liczb wymiernej w ułamek łańcuchowy przy użyciu algorytmu Euklidesa; umiejętność rozwijania niewymierności kwadratowych w ułamki łańcuchowe; umiejętność konstruowania działań przy pomocy bijekcji; wyznaczanie klas równoważności i opisywanie ich reprezantantów; c) w zakresie kompetencji społecznych: krytyczna postawa wobec przekonania, że znamy dobrze liczby całkowite i wymierne i rozumiemy w szczególności czym są ułamki i jak nimi operujemy szacunek wobec wielu własności arytmetycznych liczb naturalnych, na nich oparte są np. używane powszechnie systemy kryptograficzne. 16

17 Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Literatura podstawowa i uzupełniająca Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Liczby zespolone. Konstrukcje i własności liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych. Teoria podzielności i jej zastosowania. 1. Działania na liczbach zespolonych. 2. Postać trygonometryczna liczb zespolonych, ich interpretacja geometryczna i zastosowania. 3. Aksjomatyka liczb naturalnych, różne rodzaje indukcji matematycznej. Twierdzenie o dzieleniu z resztą.4. Operator sumowania, wyprowadzanie wzorów sumacyjnych z zastosowaniem liczb zespolonych. 5. Liczby całkowite. Twierdzenie o dzieleniu z resztą w Z. Kongruencje w Z. 6. Struktura zbioru reszt z dzielenia. 7. Ideały w Z. NWD liczb całkowitych i jego własności.8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki i rozkład na czynniki pierwsze. 9. Własności liczb pierwszych. 10. Własności i obliczanie NWD i NWW liczb całkowitych. 11. Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych. 12. Ułamki łańcuchowe. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: 1. Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1969, wydanie II; 2. Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003, wydanie III; 3. Jacek Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000; 4. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006; 5. S.Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006; 6. M. R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, Springer Verlag, Heidelberg, 2009, wydanie V 17

18 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Analiza matematyczna I kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2+10 Rodzaj modułu obowiązowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy i drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin godz. wykładu i godz. ćwiczeń Koordynator prof.l.drużkowski, dr A.Janik, prof.w.zwonek pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne wstęp do matematyki a) w zakresie wiedzy - znajomość:- definicji granicy ciągu i funkcji, ich interpretacji oraz podstawowych twierdzeń o granicach,- definicji przestrzeni metrycznej twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, pojęcia przestrzeni metrycznej zupełnej, twierdzenia o zupełności przestrzeni R, C oraz R^n w metrykach standardowych,- pojęcia ciągłości funkcji, monotoniczności funkcji i twierdzeń o rodzinie funkcji ciągłych,- definicji przestrzeni (ciągowo) zwartej i tw. o zachowaniu zwartości przez odwzorowanie ciągłe,- określenia przestrzeni spójnej, twierdzenia o zachowaniu spójności przez odwzorowanie ciągłe - własność Darboux funkcji i jej zastosowania,- definicji pochodnej, geometryczna interpretacja pochodnej - równanie stycznej do wykresu funkcji, - twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej i jego konsekwencji,- wzoru Taylora z resztą Peano i z resztą Lagrange'a,- definicji ekstremum lokalnego funkcji - warunek (konieczny i dostateczny) jego istnienia,- pojęcia wypukłości funkcji, punktu przegięcia, asymptoty wykresu funkcji, - definicji całki nieoznaczonej, - konstrukcji całki oznaczonej,- Efekty kształcenia zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego i twierdzeń o wartości średniej dla całek,- definicji całki niewłaściwej, twierdzenia o bezwzględnej zbieżności całki niewłaściwej,- definicji całki z parametrem, jej ciągłości i różni- czkowalności, definicja funkcji gamma Eulera. b) w zakresie umiejętności:- rozwiązywanie równań stopnia drugiego, stoso-wanie twierdzenia Bézouta do wyznaczania pierwiastków wymiernych wielomianu,- stosowanie indukcji matematycznej w prowadzeniu rozumowań, - sprawdzanie, czy dana funkcja jest metryką,- umiejętność wyznaczania granic ciągów i funkcji,- obliczanie pochodnych funkcji, w tym funkcji elementarnych,- badanie monotoniczności funkcji i wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej,- badanie funkcji jednej zmiennej i sporządzanie jej wykresu,- stosowanie sporządzonego wykresu, tabeli dla zadanej funkcji w analizie zagadnień praktycznych,- obliczanie całek nieoznaczonych, w tym całek funkcji wymiernych,- umiejętność stosowania całek oznaczonych do obliczania pól ograniczonych wykresami funkcji, długości krzywych oraz pól i objętości figur 18

19 obrotowych,- obliczanie/badanie zbieżności całek niewłaściwych oraz całek z parametrem. c) w zakresie kompetencji społecznych:- gotowość do analizy zagadnień z zakresu badania funkcji jednej zmiennej oraz do stosowania rachunku całkowego do wyznaczania pól i objętości figur, korygowanie błędów merytorycznych i formalnych, korekta wyników obliczeń i błędów rachunkowych Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. zaliczenie ćwiczeń na ocenę po semestrze pierwszym; egzamin i zaliczenie ćwiczeń na ocenę po semestrze drugim; Granica ciągu i funkcji, przestrzeń metryczna - jej zupełność, przestrzenie metryczne zwarte i spójne, ciągłość i różniczkowalność funkcji jednej zmiennej badanie funkcji, całka Riemanna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. 1. Elementy logiki zdań, kwantyfikatory, zbiory, funkcje. 2. Liczby naturalne zasada indukcji matematycznej, liczby całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste R, Zbiór R^n i działania w nim. 3. Iloczyn kartezjański zbiorów, układ kartezjański współrzędnych. Pojęcie funkcji. 4. Liczby zespolone C zasadnicze twierdzenie algebry. 5. Metryka przestrzenie metryczne R i C; zbiory otwarte zadane przez metrykę w R, C i R^n. 6. Pojęcie ciągu i jego granicy. Twierdzenia o zbieżnych ciągach liczbowych. 7. Punkty skupienia ciągu. Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. 8. Zupełność przestrzeni metrycznej, twierdzenie o zupełności R, C oraz przestrzeni R^n w metryce standardowej. 9. Definicja zbieżności szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Funkcja e^x. 10. Funkcja różnowartościowa i wzajemnie jednoznaczna, fun kcja odwrotna. Funkcja exp i funkcje trygonometryczne. 11. Złożenie funkcji, zawężenie funkcji funkcje odwrotne do funkcji potęgowych, wykładniczych i zawężeń funkcji trygonometrycznych. 12. Granica funkcji twierdzenia o granicy funkcji. 13. Ciągłość funkcji, twierdzenia o funkcjach ciągłych rodzina funkcji elementarnych. 14. Ciągłość i spójność, własność Darboux funkcji ciągłej zastosowania. 15. Ciągłość i zwartość twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów. 16. Ciągłość funkcji odwrotnej. 17. Symbole Landaua i ich własności. 18. Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej, pochodne jednostronne. 19. Ciągłość a różniczkowalność. Twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu, złożenia funkcji obliczanie pochodnych. 20. Twierdzenia o wartości średniej. Reguła de L'Hospitala. 21. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora z resztą Lagrange a i z resztą Peano. 19

20 22. Ekstrema lokalne warunek konieczny i dostateczny ich istnienia. 23. Wypukłość funkcji. Badanie funkcji jednej zmiennej. 24. Całka nieoznaczona metody całkowania. 25. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. 26. Zbiory objętości zero, zbiory miary zero całkowalność funkcji ciągłych prawie wszędzie. 27. Związek całki nieoznaczonej z całką oznaczoną. 28. Twierdzenia o wartości średniej dla całek. 29. Całki niewłaściwe. 30. Całki z parametrem, funkcja gamma Eulera. Literatura podstawowa i uzupełniająca Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy. Literatura do wykładu: [1] A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1997[2] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna. Podstawy, Uniwersytet Jagielloński, Kraków 1998[3] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1-3, PWN, Warszawa 1980, [4] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009[5] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, W-wa 2008, [6] W. Rudin, Podstawy Analizy Matematycznej, PWN, Warszawa Literatura do ćwiczeń:[1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 2001[2] B.P. Demidowicz, Zadania z analizy matematycznej. Lublin [3] W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, części I- III, PWN, Warszawa 2006[4] W. Kołodziej, Podstawy analizy matematycznej w zadaniach, Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009[5] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II,, PWN, Warszawa 2008[6] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, cz. A i B, Warszawa

21 Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Analiza matematyczna II kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2+10 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów drugi Semestr trzeci i czwarty Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin godz. wykładu i godz. ćwiczeń Koordynator prof.l.drużkowski, dr A.Janik, prof.w.zwonek pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne Analiza matematyczna I a) w zakresie wiedzy:- znajomość normy i iloczynu skalarnego, nierówność Schwarza dla iloczynu skalarnego, pojęcia przestrzeni unormowanej/banacha i unitarnej/hilberta,- znajomość pojęcia szeregu w przestrzeni unormowanej, jego zbieżności i zbieżności bezwzględnej, kryteriów zbieżności i zbieżności bezwzględnej szeregu liczbowego, - znajomość normy odwzorowania liniowego i jej związku z jego ciągłością, przestrzeń unormowana odwzorowań liniowych i ciągłych między przestrzeniami unormowanymi, twierdzenie o izomorfiźmie topologicznym przestrzeni unormowanych tego samego skończonego wymiaru, - norma odwzorowania wieloliniowego i jej związek z jego ciągłością, przestrzeń unormowana odwzorowań wieloliniowych i ciągłych między przestrzeniami unormowanymi, - znajomość podstawowych pojęć rachunku różniczkowego w przestrzeniach unormowanych: różniczki, pochodnej, różniczek wyższych rzędów- znajomość podstawowych twierdzeń rachunku różniczkowego: o jedyności różniczki, o przyrostach skończonych, o Efekty kształcenia różniczce złożenia funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji, warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji (wielu zmiennych) - tw. Sylvestera o określoności formy kwadratowej, - znajomość lematu Banacha, twierdzenia o funkcji odwrotnej i o funkcji uwikłanej, - zbieżność punktowa i jednostajna szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego,- szeregi potęgowe, twierdzenie o promieniu zbie-żności szeregu potęgowego i o zbieżności lokal-nie jednostajnej szeregu potęgowego w kole zbie-żności, szereg Taylora funkcji, definicja funkcji analitycznej, analityczność ez, sin z, cos z- całka Riemanna funkcji wielu zmiennych: znajomość schematu konstrukcyjnego całki Riemanna, zbiory miary zero własności, całkowalność funkcji ciągłej prawie wszędzie, podstawowe nierówności całkowe - znajomość twierdzenia Fubiniego i twierdzenia o zamianie zmiennych - współrzędne biegunowe i współrzędne sferyczne, - kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego, stała Eulera; b) w zakresie umiejętności:- rozstrzyganie o zbieżności szeregu liczbowego o 21