Fizyka wczoraj, dziś, jutro. Z naszych lekcji. Astronomia dla każdego. Diagram H R układ okresowy

Transkrypt

1 Fizyka wczoraj, dziś, jutro Wprowadzenie do magicznego 4 świata metamateriałów Piotr Wróbel Diagram H R układ okresowy 9 gwiazd Krzysztof Rochowicz Niebo Celtów 23 Janusz Rokita Wyznaczanie wysokości wzgórz 35 na powierzchni Księżyca Andrzej Branicki Co w fizyce piszczy? 0 Zbigniew Wiśniewski Rok 205 Międzynarodowym 29 Rokiem Światła Kazimierz Mikulski Żywoty fizyków Nikola Tesla 3 Tadeusz Wibig Astronomia dla każdego Pływy na Ziemi i w Kosmosie Waldemar Reńda Trójkąty sferyczne 4 Piotr Gronkowski, Marcin Wesołowski Z naszych lekcji Modelowanie stanu równowagi 33 Kazimierz Mikulski Fizyka z butelką 39 Juliusz Domański 44 Z cyklu: Przyroda w liceum Fizyka a ekologia Waldemar Reńda

2 Wyznaczanie wysokości wzgórz na powierzchni Księżyca Andrzej Branicki Na Księżycu, tak jak na Ziemi, nierówności terenu oświetlone Słońcem rzucają cienie. To dzięki nim na powierzchni Księżyca oglądanej przez lunetę widzimy różne nierówności terenu. Choć cienie wzniesień mają różne długości, to zasadniczo można stwierdzić, że im bliżej są terminatora, tym są dłuższe. Obserwowana długość cieni zależy również od fazy Księżyca. Najdłuższe cienie widzimy wtedy, gdy jasna część Księżyca ma kształt połowy okręgu gdy Księżyc jest w pierwszej lub ostatniej kwadrze. Obserwując Księżyc w pełni, nie zobaczymy żadnego cienia, jego powierzchnia będzie się wydawała płaska. Obserwacja cieni wzniesień umożliwia wyznaczenie względnej wysokości wzgórz, czyli wysokości wzgórz względem powierzchni, na którą pada ich cień. Można tego dokonać na podstawie obserwacji dokonanych samodzielnie. Można też wykorzystać do tego zdjęcia Księżyca wykonane przez innych. Rozwiązywanie problemu rozpocznijmy od przypomnienia zależności między długością łuku s okręgu o promieniu r a wartością kąta a, pod jakim łuk s jest widoczny ze środka okręgu (rys. a). Jeśli kąt a jest wyrażony w radianach, to: s = r a. Rys.. (lub niemal równoramiennych), w których kąt przy wierzchołku trójkąta jest mały. W takim przypadku długość łuku okręgu s jest bowiem niemal identyczna z długością podstawy trójkąta AB, czyli: AB s = r a. () W dalszej części tekstu często będą rozwiązywane trójkąty równoramienne lub prostokątne, w których kąt a <. W takim wypadku s AB < 0,005 AB, więc będziemy przyjmować, że AB = s = ra. W kolejnych rozważaniach Ziemia, Słońce i Księżyc będą często traktowane jako obiekty punktowe. Błędy wynikające z takiego założenia będą jednak nieporównanie mniejsze od błędów wynikających z niedokładności wykonywanych pomiarów. Tytułowe zadanie jest bardzo łatwe do rozwiązania, gdy widzimy dokładnie połowę Księżyca. W tym Rysunek b sugeruje, że zależności tej można używać do rozwiązywania trójkątów równoramiennych Rys. 2. Wysokość księżycowych wzniesień najłatwiej można wyznaczyć, gdy oświetloną część Księżyca widzimy jako połowę koła. Wszystkie wzniesienia leżące na okręgu, którego płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny terminatora (na rysunku jest to linia przerywana), są oświetlane przez Słońce pod tym samym kątem (h = const) Tak jest nazywana granica między oświetloną a nieoświetloną częścią Księżyca lub planety. Płaszczyzna terminatora jest prostopadła do kierunku Księżyc Słońce. Praktyczne i precyzyjne określenie jej położenia jest jednak trudne, gdyż przy zbliżaniu się do tej płaszczyzny oświetlenie powierzchni Księżyca maleje stopniowo: początkowo na skutek malejącej wysokości Słońca, a dalej jest ona oświetlana coraz to mniejszą częścią tarczy Słońca. Fizyka w Szkole /205 35

3 momencie obserwator znajduje się w płaszczyźnie terminatora. Taką właśnie sytuację przedstawia rys. 2. Płaszczyznę tego rysunku wyznaczają środki Księżyca i Słońca oraz położenie obserwatora. Przedstawia on Księżyc oraz wzniesienie W i rzucany przez nie cień. Przyjmijmy na początku, że wzniesienie W znajduje się dokładnie w płaszczyźnie rysunku. Z trójkąta, w którym jedną z przyprostokątnych jest wysokość wzgórza H (powiększony szczegół po prawej stronie rys. 2), wynika, że: H = re^ sin(h), gdzie r oznacza odległość Ziemia Księżyc; h kątową wysokość Słońca ponad horyzontem w miejscu, w którym położone jest wzniesienie; e^ obserwowaną kątową długość cienia wzniesienia. Indeks ^ przypomina o tym, że jest to kątowa długość cienia obserwowana z kierunku prostopadłego do jego rozciągłości. Związek ten można zmodyfikować, wykorzystując zależność (). Pozwala ona bowiem określić związek między odległością Księżyca od Ziemi r, promieniem Księżyca R (w dalszych rozważaniach będzie on traktowany jako znany) oraz promieniem kątowym jego tarczy d : r = R/d. Wobec tego zależność (2) można zapisać w następującej postaci: H = R e^ d sin(h). Wysokość Słońca ponad horyzontem h w miejscu, w którym znajduje się wzniesienie, jest łatwa do wyznaczenia. Z rys. 2 wynika, że jest ona równa kątowi między płaszczyzną terminatora a kierunkiem ze środka Księżyca do miejsca położenia wzniesienia. Skoro tak, to: sin(h) = WW R = a^r R = a^ d, gdzie a^ jest kątową odległością wzniesienia W od płaszczyzny terminatora. W rezultacie wysokość wzniesienia można wyrazić następująco: H = R e^ d a^ d. (2) Tak więc w chwili, gdy widzimy z Ziemi połowę tarczy Księżyca, wyznaczenie wysokości księżycowych wzniesień wymaga zmierzenia kątowej średnicy tarczy Księżyca d, kątowej długości cienia wzniesienia e^ oraz kątowej odległości tego wzniesienia od płaszczyzny terminatora a^. Otrzymane rozwiązanie ma dwa mankamenty: dotyczy ono bardzo szczególnej chwili (gdy oświetlona jest dokładnie połowa tarczy Księżyca) i bardzo szczególnego miejsca (wzniesienie powinno znajdować się w płaszczyźnie określonej przez położenia obserwatora oraz środka Słońca i Księżyca). Wystarczy jednak tylko chwila zastanowienia, by usunąć drugie z wymienionych ograniczeń. Zauważmy bowiem, że płaszczyzna horyzontu w każdym miejscu globu jest do niego styczna, czyli jest prostopadła do kierunku ku centrum globu (rys. 2). Skoro tak, to wysokość Słońca (kąt h) ponad horyzontem w dowolnym miejscu globu jest równa kątowi między kierunkiem ku centrum globu i płaszczyzną terminatora. Konsekwencją tego jest fakt, że wysokość Słońca ponad horyzontem ma jednakową wartość we wszystkich miejscach globu, które są jednakowo odległe od płaszczyzny terminatora punkty o jednakowej wartości h tworzą na powierzchni Księżyca koncentryczne okręgi równoległe do płaszczyzny terminatora, których środkiem jest prosta łącząca środek Księżyca ze Słońcem. Największym z tych okręgów jest terminator. W tych miejscach globu, przez które przechodzi terminator h = 0, kątowa wysokość Słońca h wzrasta ze wzrostem odległości od terminatora. W punkcie Z Słońce jest w zenicie. Ostateczny wniosek z tego rozumowania jest taki, że zależność (2) można stosować do wyznaczania wysokości wzniesienia położonego w dowolnym miejscu tarczy, ale tylko wtedy, gdy Księżyc jest bliski I lub III kwadry. Rozwiązanie (2) pozostaje jednak wciąż mało użyteczne ze względu na pierwsze z wymienionych ograniczeń. Chwile, w których możliwe byłoby obserwowanie dokładnie połowy tarczy, są rzadkie i mogą wypadać w dzień lub wtedy, gdy jest pochmurno. Jak się za chwilę okaże, ograniczenie to nie jest duże, a otrzymanie rozwiązania bardziej ogólnego nie jest trudne. Jeśli licznik i mianownik zależności (2) pomnożymy przez r 2, to rozwiązanie przyjmie następującą postać: H = (e^r) (a^r). R Iloczyny e^r, a^r są odcinkami (odległościami) równoległymi do kierunku Księżyc Słońce. Gdy jasną część Księżyca widzimy jako połowę okręgu, na odcinki te patrzymy prostopadle. Gdy kształt jasnej części Księżyca jest inny, patrzymy na te odcinki pod pewnym kątem 2 f. Rysunek 3 przedstawia sytuację, w której Księżyc jest w fazie między I kwadrą a pełnią. Patrząc z Ziemi, widzimy rzuty tych odcinków na kierunek prostopadły do kierunku obserwacji. Z rys. 3 wynika, że zależność między obserwowanymi w tej fazie rozmiarami kątowymi tych odcinków e, a a wartościami tych samych wielkości e^, a^, jakie obserwowalibyśmy z kierunku prostopadłego do ich rozciągłości, jest następująca: (er) (ar) (e^r) = cos( f ), (a^r) = cos( f ). Zależności te pozwalają uogólnić rozwiązanie (2) na przypadek dowolnej fazy Księżyca: 2 Od wartości tego kąta zależy kształt jasnej części Księżyca tzw. faza Księżyca: wartości f = 0 odpowiada faza nazywana I kwadrą, f = 90 pełnią, f = 80 III kwadrą, f = 270 nowiem. 36 Fizyka w Szkole /205

4 cos 2 ( f ). (3) Przede wszystkim należy zauważyć, że zależność obliczonej stąd wysokości wzgórza od kąta f jest słaba. Przyjmijmy dla przykładu, że f» 3, co odpowiada odstępowi około doby od pierwszej lub trzeciej kwadry (f = 0 lub f = 80 ). Kształt jasnej części Księżyca odpowiadający tym chwilom pokazano na rys. 4. Względna różnica wysokości wzgórza obliczana z zależności (3) i (2), czyli stosunek [H(f = 3 ) H(f = 0 )] / H(f = 3 ), wynosi zaledwie 5%. Tymczasem rozmycie granicy cienia i linii terminatora będzie skutkowało dużym błędem pomiaru kątów e i a, czego efektem będzie względny błąd wartości H nie mniejszy niż 0%. Wynika stąd, że do wyznaczania wysokości wzniesień w okresie ± doba od chwili, gdy widoczna jest połowa tarczy Księżyca, można wykorzystać zależność (2). Jeśli kształt jasnej części Księżyca będzie wyraźnie różnił się od połowy okręgu, to na podstawie rys. 5 możemy sformułować zależność umożliwiającą wyznaczenie wartości kąta f i uwzględnienie jej w zależności (3): sin( f ) = br R = b d. Zależność (3), ważna dla dowolnej fazy Księżyca (dla dowolnej wartości kąta f), będzie więc miała następującą postać: ( b/d) 2. Ponieważ w praktyce znacznie łatwiej można zmierzyć kąt g niż kąt b, powyższą zależność, po uwzględnieniu związku g = d + b, możemy zapisać jako funkcję kąta g: ( g/d) (2 g/d). (4) Rys. 3. Obserwowana kątowa długość odcinka WW (kąt a) oraz cienia (kąt e) zależą od kąta f (czyli od fazy Księżyca). Okrąg narysowany linią przerywaną jest śladem przecięcia z globem Księżyca płaszczyzny równoległej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez wzniesienie. Ślad ten dla ziemskiego obserwatora będzie odcinkiem prostopadłym do prostej łączącej punkty kontaktu terminatora z tarczą Księżyca Rys. 4. Rys. 5. Kąt f można wyznaczyć, mierząc kąty b i g bądź g i d Krótkiego komentarza wymaga jeszcze problem pomiaru kąta a. Jak wynika z rys. 3, jest to kąt, pod jakim jest widoczny odcinek WW, przy czym W jest rzutem punku W na płaszczyznę terminatora (punkt W znajduje się pod powierzchnią Księżyca). Dokładny pomiar tego kąta nie jest jednak możliwy poza szczególnym przypadkiem, gdy widoczna jest dokładnie połowa tarczy Księżyca. Wtedy bowiem punkt W będzie położony na linii terminatora i skutkiem tego a = a. Jeżeli czasowa odległość momentu obserwacji od momentu wystąpienia I lub III kwadry nie jest większa (lub jest niewiele większa) niż doba, to punkt W będzie znajdował się bardzo blisko terminatora: w odległości porównywalnej z błędem określenia pozycji terminatora. Dla obserwacji wykonywanych w takim okresie można więc także przyjmować, że a a. Zauważmy jednak, że również dla dowolnej fazy Księżyca problem określenia wartości a rozwiązuje się sam. Faktem jest bowiem, że cienie dostatecznie długie, by można było je mierzyć w miarę dokładnie, widać wyłącznie blisko terminatora, a skoro tak, to niezależnie od fazy Księżyca możemy przyjmować, że a a. Przyglądając się zależnościom (2) i (4) będącym rozwiązaniem tytułowego zadania 3, warto zauważyć, że w zależnościach tych wielkości kątowe występują wyłącznie w postaci ilorazów. Dzięki temu do wyznaczenia wysokości wzniesienia nie jest potrzebna znajomość kątowej skali obrazu Księżyca obserwowanego 3 W książce Obserwacje i pomiary astronomiczne dla studentów, uczniów i miłośników astronomii (WUW, Warszawa 2006) pokazałem jeszcze inne rozwiązanie rozważanego tu problemu, zmniejszające nieco ograniczenia przy wyborze obiektów przewidzianych do pomiaru. Fizyka w Szkole /205 37

5 Rys. 6. Wielkości, które trzeba zmierzyć, by wyznaczyć wysokość wzniesienia. Linia przerywana pokazuje punkty globu Księżyca jednakowo odległe od płaszczyzny wyznaczonej przez położenia obserwatora oraz środek Księżyca i Słońca Rys. 7. Z papieru wykonać papierową rurkę o średnicy pasującej do wewnętrznej średnicy tulejki okularu, o długości nieco większej niż długość tulejki okularu. Na jedną z otwartych podstaw rurki nakleić mniej więcej równolegle kilkanaście cienkich włókien (np. najcieńsze fragmenty włókien z tkanin syntetycznych). Tak wykonaną tulejkę należy wsunąć do rurki okularu na taką głębokość, by włókna były wyraźnie widoczne po spojrzeniu w okular. Po skierowaniu okularu na jasne tło należy wykonać dokładny rysunek widocznych włókien należy narysować je dokładnie tak, jak je widzimy, zachowując skalę odstępów, ich ewentualne nierównoległości i zanieczyszczenia (ważne, by nitki widoczne przez okular i na rysunku można było identyfikować). Na rysunku tym będzie można zaznaczać położenia końców odcinków odpowiadających kątom, które trzeba zmierzyć bezpośrednio ani kątowej skali fotografii Księżyca. Jeśli bowiem s będzie oznaczało skalę obrazu (liczbę jednostek kąta przypadającą na jednostkę używaną do mierzenia obrazu), A i D zaś liczby jednostek obrazu odpowiadające kątom a, d, to a/d = (As)/(Ds) = A/D. Inne, również pocieszające spostrzeżenie jest takie, że otrzymane zależności dotyczą nie tylko cieni wzgórz na powierzchni Księżyca, ale także cieni na dowolnej kuli oświetlonej odległym, niemal punktowym źródłem światła. * Porady praktyczne. Jeśli uznamy, że R jest wielkością znaną 4, to do wyznaczenia wysokości wzniesienia konieczne będzie zmierzenie czterech wielkości: e, a, g, d (rys. 6). Można je zmierzyć podczas bezpośredniej obserwacji albo wykorzystać do tego zdjęcie Księżyca. Choć wiele efektownych zdjęć można znaleźć w różnych publikacjach lub w witrynach internetowych, to niewątpliwie najwięcej satysfakcji i dydaktycznych korzyści przyniosą bezpośrednie pomiary albo korzystanie ze zdjęcia wykonanego samodzielnie, nawet jeśli jego jakość będzie znacznie gorsza od jakości zdjęć publikowanych w sieci. Zrobienie zdjęcia Księżyca, które umożliwiałoby wykonanie niezbędnych pomiarów z rozsądną dokładnością, wymaga obiektywu o ogniskowej f m. Funkcję takiego obiektywu najlepiej spełni obiektyw lunety. Decydujący wpływ na dokładność pomiaru będzie miała wielkość i ostrość obrazu Księżyca. Ze względu na drgania układu fotografującego powodowane powiewami wiatru i turbulencją atmosferyczną czas naświetlania nie powinien przekraczać /30 sekundy. Korzystając ze zdjęcia, wystarczy mierzyć odległości liniowe odpowiadające poszczególnym kątom. Ponieważ jedną z mierzonych wielkości jest promień tarczy Księżyca, a wielkość tę można wyznaczyć najdokładniej, mierząc średnicę tarczy, zdjęcie powinno obejmować całą oświetloną część tarczy. Pomiar kątów e, a, g, d podczas bezpośredniej obserwacji wizualnej będzie wymagał użycia lunety o ogniskowej zbliżonej do tej, jaka była niezbędna do wykonania fotografii. Okular lunety musi mieć taką ogniskową, by tarcza Księżyca wypełniała niemal całe pole widzenia. By zapewnić możliwość oceny wartości poszczególnych parametrów, oglądany obraz musi być widoczny na tle jakiejkolwiek skali. W wielu typach lunet taką skalę można wykonać samodzielnie. Istota takiego zabiegu polega na wprowadzeniu siatki nitek w płaszczyznę ogniskową soczewki okularu. Można to zrobić na przykład tak, jak pokazano na rys. 7. Typując wzniesienia na powierzchni Księżyca przewidziane do pomiarów, należy wybierać takie, których otoczenie wydaje się w miarę płaskie i poziome. Jedyną wskazówką umożliwiającą ocenę stopnia spełnienia tego warunku może być tylko rysunek świateł i cieni w otoczeniu interesującego nas wzgórza. Jeśli zależy nam na zmierzeniu wysokości konkretnego wzniesienia, to należy poczekać na wieczór, w czasie którego jego cień będzie dostatecznie długi, by był możliwy do zmierzenia. Najlepszy będzie więc wieczór, podczas którego w pobliżu tego wzniesienia będzie przechodził terminator. Życzę powodzenia. Andrzej Branicki 4 Możemy oczywiście wykorzystać wartość R wyznaczoną przez innych: R = 738 km. Jednak ci, którzy chcą i lubią samodzielnie poznawać świat, mogą wyznaczyć R na podstawie własnych obserwacji opisanych w Fizyce w Szkole (nr /2006). 38 Fizyka w Szkole /205