XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011 Etap I Klasa IV W puste pola poniższej kwadratowej tablicy 5 5 wpisz cyfry 1, 2, 3, 4, 5 tak, aby w każdym rzędzie pionowym, poziomym i wzdłuż obu przekątnych każda z cyfr występowała tylko raz. Michał, Ola, Kuba i Marcin to czwórka rodzeństwa. Wiadomo, że jeden z chłopców chodzi do przedszkola, Michał jest starszy od Oli, suma lat Michała i Kuby jest liczbą podzielną przez 3 oraz, że dzieci są w wieku 5, 8, 13 i 15 lat. Ile lat ma każde z rodzeństwa? Na poniższym rysunku przedstawiono plac z zaznaczonymi na nim kolorem zielonym kwadratowymi skwerami zieleni. Podziel ten plac na 3 części tak, aby każda część zawierała dokładnie jeden z kwadratowych skwerów zieleni oraz: a) części były jednakowe, b) części zajmowały jednakową powierzchnię. Swoje rozwiązania zilustruj na rysunkach. Uwaga! W obu przypadkach podziału należy dokonywać wzdłuż linii kratek siatki. Królewna Pięknisia postanowiła obdarować trzynastu krasnoludków 299 smakowitymi, pachnącymi malinami za ich wspaniałą pracę. W tym celu poprosiła swoich podopiecznych by ustawili się według wzrostu od najniższego do najwyższego. Najniższy Pikuś otrzymał pewną ilość pachnących malin, a każdy następny krasnoludek w szeregu otrzymał o jedną
pachnącą malinę więcej niż poprzednik. Najwyższym w szeregu był Matuś. Ile pachnących malin otrzymał od Pięknisi Matuś? Klasa V W naszym domu dzbanek do kawy ma pojemność 4 razy większą niż dzbanek do mleka. Wszyscy używamy filiżanek tej samej wielkości, ale lubimy kawę o różnej zawartości mleka. Ola lubi kawę pół na pół z mlekiem. Ela, Jacek i Kasia nalewają sobie 4 1 filiżanki mleka, a ja wolę czarną kawę. Napełniłem wszystkie pięć filiżanek zgodnie z naszymi upodobaniami i okazało się, że jeden z dzbanków jest pusty. Ile płynu zostało w drugim dzbanku? Odpowiedź uzasadnij. Przeanalizuj podaną tabelę i podaj brakującą liczbę. 1 2 3 9 10 11 45 60? Masz trzy liczby trzycyfrowe: 2A5, 47B, C36. Wyznacz cyfry A, B i C, jeżeli wiadomo, że ich suma wynosi 15, a każda z liczb trzycyfrowych jest podzielna przez 3. Na stole stoi 24 jednakowych słoików. Wśród nich 5 napełnionych jest sokiem jabłkowym do pełna, 11 napełnionych jest do połowy, a 8 jest pustych. Podziel te słoiki na trzy grupy po 8 słoików każda tak, aby łączna zawartość soku jabłkowego w każdej grupie była jednakowa, przy czym nie wolno przelewać soku z jednego słoika do drugiego. Klasa VI Rozwiąż rebus arytmetyczny, w którym jednakowym literom odpowiadają jednakowe cyfry, a różnym różne cyfry. AB + CD = BC D, A + B + C + D = 21 Pan Stanisław przebywał 14 dni na wczasach w Wiśle. Pogoda była nie najgorsza. Zauważył on, że jeśli rano padał deszcz, to w południe było pogodnie. Jeśli w południe padał deszcz, to wieczór był pogodny. Natomiast jeśli wieczorem padał deszcz, to ranki w takie dni były pogodne. Deszczowych wieczorów było 2 razy więcej niż deszczów w południe, deszcze padały w południe 2 razy częściej niż rano i nigdy nie padało przez cały dzień. Ile dni całkowicie pogodnych miał pan Stanisław na wczasach? Marek narysował kwadrat ABCD a następnie na boku AB zbudował trójkąt równoboczny ABE. Jaką miarę ma kąt DEC? Odpowiedź uzasadnij.
Z sześciu różnych cyfr utworzono trzy dwucyfrowe liczby pierwsze. Jakie to liczby, jeżeli wiadomo, że suma tych liczb wynosi 123. Klasa I Wiek mego pradziadka Wiktora w 1887 roku był równy sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile lat miał pradziadek? Dwa samochody wyjeżdżają jednocześnie naprzeciwko siebie z miejscowości A i B. Mają się spotkać po upływie 6 godzin. O ile później powinien wyjechać jeden z tych samochodów, aby 1 spotkały się w połowie drogi, jeżeli drugi samochód ma prędkość 1 razy większą od 3 pierwszego? Marcin narysował sześciokąt, w którym każde dwa kolejne boki są prostopadłe. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli wiadomo, że długości jego boków wynoszą 3 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm i 16 cm. Poniższy prostokąt 5 4 został ułożony przez Kubusia z 10 kostek domina. Narysuj ich krawędzie. Wiadomo, że Kubuś użył następujących kostek: {0; 0}, {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {1; 1}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 2}, {2; 3}, {3; 3}. 0 0 3 1 3 1 2 0 3 2 0 1 2 1 1 3 3 2 0 2 Klasa II Pewien jegomość przyjeżdża na dworzec kolejowy o godzinie 8.00, gdzie czeka na niego samochód. Pewnego razu przyjechał on o godzinie 7.00 rano i poszedł piechotą w kierunku swojej firmy. Idąc spotkał samochód jadący na dworzec kolejowy i przyjechał o 20 minut wcześniej niż zwykle. O której godzinie nastąpiło spotkanie? Ile razy szybciej jedzie samochód niż idzie ten jegomość? Janek ma wpisać cyfry: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9 w puste pola kwadratowej tablicy 4 4 w taki sposób, aby powstałe liczby czterocyfrowe, czytane pionowo i poziomo, w przód i wspak, były podzielne przez 9. Janek wie, jaki warunek musi być spełniony, aby
liczba była podzielna przez 9. Jak zatem będzie wyglądać uzupełniona powyższymi cyframi tablica Janka? Kwadrat o boku długości a dzielimy na 3 prostokąty A, C, D i mniejszy kwadrat B, jak na rysunku. Czy 3 spośród tych części mogą mieć taki sam obwód? Jeżeli tak, to które to części? Odpowiedź uzasadnij. B A C a D a Grupa znajomych zbiera grzyby. Jeden z nich znalazł 6 prawdziwków, a pozostali po 13. Następnym razem w grzybobraniu wzięła udział inna grupa grzybiarzy. Tym razem jeden znalazł 5 prawdziwków, a pozostali po 10. Ile osób uczestniczyło w pierwszym grzybobraniu, a ile w drugim, jeżeli wiadomo, że zebrano w nich tę samą liczbę prawdziwków większą od 100, ale nie przekraczającą 200. Klasa III Suma dwóch liczb całkowitych jest równa 667, a iloraz z dzielenia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności i największego wspólnego dzielnika wynosi 120. Jakie to liczby? Odpowiedź uzasadnij. Marek ma wpisać cyfry: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9 w puste pola kwadratowej tablicy 4 4 w taki sposób, aby powstałe liczby czterocyfrowe, czytane pionowo i poziomo, w przód i wspak, były podzielne przez 11. Marek wie, że liczba dzieli się przez 11 wtedy, gdy sumując co drugą cyfrę, otrzymujemy w obydwu przypadkach to samo np. dla liczby 6897 mamy 6 + 9 = 8 + 7. Jak zatem będzie wyglądać uzupełniona powyższymi cyframi tablica Marka?
Dany jest ośmiokąt wypukły, w którym sąsiednie boki mają długość 1cm oraz 2 cm, a kąty wewnętrzne są równe. Oblicz pole tego ośmiokąta oraz długości jego przekątnych. Samolot bojowy w bezwietrzną pogodę przelatuje 1000 km w ciągu godziny. Zapas paliwa pozwala na 3 godzinny lot. Na jaką bezpieczną odległość może się oddalić ten samolot od miejsca startu, jeżeli ma do niego powrócić, a w pierwszej fazie lotu napotyka wiatr przeciwny wiejący z prędkością 40 km/h? Zakładamy, że prędkość i kierunek wiatru nie ulegają zmianie. Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak Informacje o przebiegu konkursu można znaleźć w Internecie pod adresem: http://www.ssodelta.edu.pl