Czas na rozwiązanie: 120 min.

Transkrypt

1 Czas na rozwiązanie: 120 min. Przed Tobą 11 zadań testowych, 6 zadań otwartych krótkiej odpowiedzi i 2 zadania dowodowe. Za swoje rozwiązania możesz maksymalnie możesz uzyskać 50 punktów (22 pkt. za zadania testowe, 18 pkt. za zadania otwarte krótkiej odpowiedzi, 10 pkt za zadania dowodowe) W każdym zadaniu zamkniętym (1 11) dokładnie jedna odpowiedź jest poprawna. Odpowiedzi (A, B, C lub D) wpisz tylko do poniższej tabeli w pierwszym wierszu pod numerem odpowiedniego zadania. Jeśli się pomyliłeś, to przekreśl błędną odpowiedź i napisz poprawną odpowiedź w wierszu poniżej. Np. jeśli pomyliłeś się pisząc, to możesz dokonać poprawki, wykorzystując wolne pole. Uwaga. Każdą z odpowiedzi możesz poprawić tylko jeden raz. Punktacja: za zaznaczenie prawidłowej odpowiedzi otrzymasz 2 punkty, brak odpowiedzi oznacza 0 punktów, błędna odpowiedź oznacza odebranie 0,5 punktu. Zadanie otwarte krótkiej odpowiedzi (12 17) odpowiedź wpisz w miejscu na to przeznaczonym. Punktacja: za podanie prawidłowej odpowiedzi otrzymasz 3 punkty, brak odpowiedzi lub błędna odpowiedź oznacza 0 punktów. Każde zadanie dowodowe (18 19) rozwiązuj na osobnej stronie przeznaczonej na to kartki arkusza. Za pełne rozwiązanie każdego z zadań dowodowych otrzymasz 5 punktów. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu tego typu zadania może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów. W czasie trwania zawodów możesz korzystać jedynie z przyborów do pisania i przyrządów do kreślenia. Używanie kalkulatorów jest niedozwolone Życzymy owocnej pracy. Powodzenia! Wypełnia uczestnik XIII PMM Dane uczestnika Nazwisko Imię Szkoła Klasa Karta odpowiedzi zadania zamknięte Wypełnia Szkolny Koordynator XIII Piotrkowskiego Maratonu Matematycznego Zadania zamknięte Ocena odpowiedzi Zadania otwarte suma punktów Suma punktów Suma punktów razem (otwarte+zamknięte) Strona www konkursu: 1

2 Zadania testowe 1. Wynikiem działania ( ) ( ) jest A. 107 B. 117 C. 126 D W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest 7 razy większy od kąta przy podstawie. Zatem kąt przy podstawie tego trójkąta jest równy A. 10 B. 16 C. 20 D Liczbę 240 zwiększono o 25%, a następnie wynik tego działania zmniejszono o 10%. Otrzymana wtedy liczba jest równa A. 252 B. 270 C. 276 D W klasie Grzesia jest mniej niż 30 i więcej niż 20 uczniów, przy czym ich liczba przy dzieleniu przez 7 daje parzystą i niezerową resztę. Wiadomo też, że liczba chłopców tej klasy jest dwa razy mniejsza niż liczba dziewczynek. Liczba wszystkich uczniów klasy Grzesia jest zatem równa A. 23 B. 24 C. 25 D Rozpatrzmy trójkąt o bokach długości 17, 25, 28. Najdłuższa spośród trzech jego wysokości jest 4 12 A. mniejsza niż 16 B. równa 16 C. równa 23 D. większa od Ula uważa rok za szczęśliwy, jeśli liczba którą jest wyrażony dzieli się przez liczbę otrzymaną przez wstawienie znaku + między cyfrę dziesiątek i setek jego zapisu dziesiętnego. Szczęśliwym dla Uli był więc rok 2016, ponieważ 2016 : ( ) = 56. Ile będzie szczęśliwych wśród lat: 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025? A. 0 B. 1 C. 2 D Dane są takie trzy liczby x, y i z, że 1206x y = 6030 oraz 1206z 2412y = Wobec tego średnia arytmetyczna liczb x, y i z A. jest równa 9 B. jest równa 6 C. jest równa 3 D. nie da się jednoznacznie wyznaczyć. x1 + x xn Uwaga. Średnia arytmetyczna n liczb x 1, x 2,, x n jest równa. n 8. W każdy wtorek mama odwozi swojego syna, Marcina, do szkoły, wyjeżdżając zawsze o tej samej porze. Marcin zauważył, że jeśli pokonują wtedy drogę z domu do szkoły ze średnią prędkością 60 km/h, to przyjeżdżają pod szkołę o 5 minut przed dzwonkiem na lekcję, natomiast jeśli jadą ze średnią prędkością 40 km/h, to są pod szkołą 5 minut po dzwonku na lekcję. Z jaką średnią predkością powinna jechać mama Marcina, żeby przywieźć go pod szkołę równo z dzwonkiem na lekcję? A. 45 km/h B. 48 km/h C. 50 km/h D. 54 km/h. 9. Zapisujemy trzy dwucyfrowe liczby pierwsze używając każdej z cyfr ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 9 dokładnie raz. Wówczas suma tak otrzymanych trzech liczb pierwszych jest równa A. 96 B. 123 C. 159 D W kwadracie ABCD o boku 12 punkt E jest środkiem boku BC, a przekątna AC przecina odcinek DE w punkcie F (zobacz rysunek). Oznacza to, że pole czworokąta ABEF jest równe A. 48 B. 60 C. 64 D Wynikiem mnożenia ( 2 6 5) 2017 ( ) 2018 jest liczba należąca do przedziału A. ( 10, 5) B. ( 5, 0) C. (0, 5) D. (5, 10). Strona www konkursu: 2

3 Zadania otwarte, krótkiej odpowiedzi 12. (0-3) Na wiosnę rodzice Andrzeja zagospodarowali przydomową działkę, gdzie posadzili rododendrony. Zakupili w tym celu 20 krzewów, wśród których były tylko białe, różowe lub żółte, przy czym białych było 4 razy więcej niż żółtych i o 7 więcej niż różowych. Biały krzew kosztował 35 zł za sztukę, różowy 38 zł za sztukę, a żółty 40 zł za sztukę. Oblicz, ile złotych wydali rodzice Andrzeja na zakup wszystkich 20 krzewów. 13. (0-3) Łuk wycięty z pierwszego okręgu przez kąt środkowy 60 jest równy łukowi wyciętemu z drugiego okręgu przez kąt środkowy 45. Suma promieni tych okręgów jest równa 882. Oblicz promień mniejszego z tych okręgów. 14. (0 3) Z 27 takich samych sześciennych kostek do gry układamy sześcian o wymiarach Następnie obliczamy sumę wszystkich liczb oczek na każdej widocznej w ten sposób ściance każdej z kostek (uwzględniamy wszystkie sześć ścian sześcianu). Jaka jest największa możliwa do uzyskania w ten sposób suma? Uwaga. Na sześciennej kostce do gry suma oczek na każdych dwóch przeciwległych ściankach jest równa (0-3) Symbolem x (czytamy podłoga z x ) oznaczamy największą liczbę całkowitą, która nie jest większa =, = od x. Zgodnie z tą umową mamy np = 2018,,06 12 Oblicz wartość sumy (0-3) Rysunek obok przedstawia tarczę z wydzielonymi trzema polami. Trafienie lotką w środkowy dysk jest warte 19 punktów, trafienie w pierścień pośredni jest warte 16 punktów, a trafienie w pierścień zewnętrzny jest warte 7 punktów. Wykonujemy dowolnie dużą liczbę rzutów lotką do tej tarczy. Jaka jest największa niemożliwa do uzyskania w ten sposób liczba punktów? 17. (0-3) W równoległoboku ABCD kąt ostry przy wierzchołku A ma miarę 45. Wewnątrz tego równoległoboku znajduje się punkt P, którego odległości od boków AB i AD wynoszą odpowiednio 34 2 i 28 (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka AP. Strona www konkursu: 3

4 Zadania dowodowe 18. (0-5) Czterocyfrowa liczba n ma tę własność, że jej suma cyfr jest taka sama, jak suma cyfr liczby 5n. Wykaż, że liczba n dzieli się przez 9. Strona www konkursu: 4

5 19. (0-5) W sześciokącie ABCDEF: AB = BC, CD = DE, EF = FA oraz FAB = BCD = 90 (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta FD jest prostopadła do prostej BE. Strona www konkursu: 5