XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego R. Jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą nieujemną, gdy podstawa jest liczbą większą od, to przedział ; jest zbiorem wartości funkcji f 4 07 będącej lewą stroną równania zbiorem wartości funkcji sin g jest przedział :. Na podstawie powyższych informacji widać, że aby równanie posiadało rozwiązania musi 4 ono przyjąć postać 07, a więc 4 0, czyli 4 0 Rozwiązując równanie kwadratowe otrzymujemy 0 Sprawdzam, która z wyliczonych wartości spełnia równanie sin równanie sin jest spełnione, gdyż sin, a dla. Dla otrzymujemy równanie sprzeczne, gdyż sin. Ostatecznie rozwiązaniem równania jest jedna liczba. Odpowiedź:
Zadanie. Dla jakich wartości 0, π suma nieskończonego ciągu geometrycznego o wyrazach: jest mniejsza od? sin tg, cos ( cos), cos ( cos), a = sin tg = sincos sin cos = sin = sin + sin = cos + sin = (cos sin ) = cos a = cos a = cos( cos) a = cos ( cos) q = a cos( cos) = = cos a cos Aby nieskończony ciąg geometryczny był zbieżny q <. q = cos cos < R {k π }, gdzie k C π Uwzględniając warunki zadania (0, ) (π, π). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego dla q <, wyraża się wzorem: S = a q. S = cos cos = sin cos = ( cos ) ( cos)( + cos) = = ( + cos) cos cos Stąd ( + cos) <, czyli + cos < i ostatecznie cos < ( π + kπ, 5π + kπ), gdzie k C Odpowiedź. Uwzględniając dziedzinę ( π, π ) (π, π).
Zadanie. W klasie jest 5 uczniów. Podczas klasówki ze statystyki jeden uczeń był nieobecny. Średnia ocen z klasówki wyniosła,5, a odchylenie standardowe 0,8. Po powrocie do szkoły, nieobecny wcześniej uczeń napisał klasówkę i otrzymał czwórkę. Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe ocen z klasówki ze statystyki dla całej klasy. Oznaczmy:,,..., 4 - oceny uczniów z klasówki 5 4 - ocena ucznia nieobecnego na klasówce 0,5 - średnia arytmetyczna ocen uczniów obecnych na klasówce 0 0,8 - odchylenie standardowe ocen uczniów obecnych na klasówce Średnia arytmetyczna ocen uczniów obecnych na klasówce 0, 5 stąd Średnia arytmetyczna ocen całej klasy c c... 4 0,5, 4... 4,5 4 84.... 4 5 5 Odchylenie standardowe ocen uczniów obecnych na klasówce 84 4,5 5... 4... 4 0 ( 0 ),5 0,8 4 4 Ponosząc do kwadratu mamy: 4 Odchylenie standardowe ocen całej klasy... 4,5 0,64... 4 09,6 c... 4 5 09,6 5 ( c ),5 5 5 09,6 6,904,044,904 0,64 0,79 5 Odpowiedź: Średnia arytmetyczna całej klasy wynosi,5, zaś odchylenia standardowe 0,64 0, 79. Zadanie 4.
Wykazać, że w dowolnym trójkącie spełniona jest nierówność p 7r, gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt, a p połowę obwodu tego trójkąta. Niech czyli a b c p. Z twierdzenia o średnich mamy: p a p b p c p a b c p a p b p c p a p b p c p a p b p c p p p. Ponieważ P r p, gdzie P - pole trójkąta, więc z wzoru Herona P otrzymujemy pp a p b p c co daje pp a p b p c P r p p, r p,, skąd p r p 7, czyli p 7r, co kończy dowód. Zadanie 5. W danym trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokość AA oraz zaznaczono środki boków AC punkt P, boku BC punkt P i boku AB punkt P. Wykaż, że punkty A, P, P, P leżą na jednym okręgu. C A P P A P B
Aby wykazać, że punkty A,P, P i P leżą na jednym okręgu, należy udowodnić, że spełniony jest warunek opisania okręgu na czworokącie, czyli sumy przeciwległych kątów są równe. Oznaczenia: kąt CAB =, kąt ABC =, kąt ACB = Skoro AA jest wysokością trójkąta ABC, to trójkąt AAC jest prostokątny, w którym poprowadzono środkową AP z wierzchołka kąta prostego. Z faktu, że środkowa trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, wynika, że AP = PC = PA, więc trójkąt APC jest równoramienny, gdzie kąt CAP = Kąt PAP = 80 0 - Z faktu, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy od niego krótszy, wynika, że kąt PPA = oraz kąt PPB = Kąt PPP = 80 0 ( + ) = Suma kątów PAP i PPP = 80 0 - + =80 0 Skoro suma miar kątów w czworokącie wynosi 60 0 i suma miar jednej pary kątów przeciwległych wynosi 80 0, więc suma dwóch pozostałych kątów przeciwległych jest równa również 80 0, co dowodzie, że na czworokącie można opisać okrąg, czyli wskazane punkty leżą na jednym okręgu. cnd.