Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl
OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia... w przyzwoitym znaczeniu terminu wykład. Zawiera natomiast dużymi literami spisane notatki prowadzącego, służące utrzymaniu dyscypliny wypowiedzi. Stąd też proszę nie wyciągać zbyt daleko idących wniosków na podstawie tego, co dalej napisane, tylko posłuchać. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 2 / 14
Czym zajmuje się teoria dowodu? Teoria dowodu jest dyscypliną logiki (i matematyki), której przedmiotem zainteresowania są pojęcia dowodu i dowodliwości. Jej zasadnicze zadania są cztery [Buss, 1998]: 1 badanie teoriodowodowej mocy systemów formalnych; 2 badanie struktury dowodów formalnych; 3 badanie informacji, jakiej dostarczają dowody formalne (nt. prawdziwości, złożoności obliczeniowej itd.); 4 badanie metod optymalizacji konstruowania dowodów formalnych (np. celem ich automatyzacji). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 3 / 14
Skąd się wzięła teoria dowodu? Ze zmiany paradygmatu w matematyce, z euklidesowego na logiczno-teoriomnogościowy 1 [Batóg, 1996] i z towarzyszącego owej zmianie matematycznemu zwrotowi w logice [Gabbay i Woods, 2004]. Niektóre cechy nowego paradygmatu: precyzja języka teorii matematycznych; ścisłe reguły definiowania; wyraźna aksjomatyzacja teorii; wyraźne odróżnienie języka przedmiotowego i metajęzyka; precyzyjne definicje pojęć wynikania i dowodu. 1 Z interesującego nas punktu widzenia nie jest to co prawda nazwa zbyt szczęśliwa. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 4 / 14
Tymczasem, w nieodległej galaktyce... Czy podstawy, na których ufundowana jest matematyka są godne zaufania? Wątpliwości: status obiektów abstrakcyjnych; problemy z aktualną nieskończonością; paradoksy naiwnej teorii mnogości. Próby ich rozwiania: np. poprzez ograniczenie dziedziny przedmiotowej matematyki i logiki oraz dopuszczalnych na ich gruncie metod (vide L. E. J. Brouwer i intuicjonizm). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 5 / 14
Drugi problem Hilberta (spośród 23 zagadnień przedstawionych przez Davida Hilberta jako najistotniejsze problemy współczesnej matematyki, na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku): Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (udowodnić, że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń) (a także udowodnić niezależność aksjomatów arytmetyki). http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 6 / 14
Program Hilberta Program Hilberta (ugruntowania klasycznej matematyki) zmierzał do rozwiązania owego kryzysu w podstawach matematyki za pomocą takich środków, których zastosowanie nie zmusi matematyków do opuszczenia raju, stworzonego przez Cantora. Zadania (m. in.): udowodnić (za pomocą finitystycznych metod) niesprzeczność podstaw matematyki; udowodnić pełność aksjomatycznego systemu tychże podstaw; rozwiązać problem pełności logiki I-go rzędu. Hilbert był przekonany, że każdą finitystyczną prawdę można udowodnić za pomocą finitystycznych metod. Jeśli posługujemy się nieskończonościami, to tylko dlatego, że umożliwia nam to formułowanie dowodów krótszych, prostszych i bardziej eleganckich, które jednak mogą zostać zastąpione dowodami, wykorzystującymi jedynie finitystyczne środki [Murawski, 2003]. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 7 / 14
Ważne pytania O niesprzeczność teorii sformalizowanych Teoria T jest niesprzeczna wtw nie istnieje formuła A języka tej teorii, taka że A oraz A są tezami T. O zupełność teorii sformalizowanych Teoria jest zupełna wtw dla dowolnego zdania A języka tej teorii, A lub A jest tezą T. O rozstrzygalność teorii sformalizowanych Teoria jest rozstrzygalna wtw istnieje dla niej metoda rozstrzygania, czyli gdy dla każdej formuły A języka tej teorii można określić, czy A jest czy nie jest tezą T. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 8 / 14
Nadchodzi Gödel I twierdzenie Gödla Jeśli Arytmetyka Peany PA jest ω-niesprzeczna, to: 1 Istnieje zdanie A języka PA, takie, że: 1 A jest niedowodliwe w PA. 2 A jest niedowodliwe w PA. 2 PA jest nierozstrzygalna. 3 PA jest niezupełna. Z grubsza rzecz ujmując teoria T jest ω-niesprzeczna wtw dla dowolnej formuły ϕ(x) jej języka: jeśli T ϕ(0), T ϕ(1), T ϕ(2)..., T ϕ(n)... (n N) to T x ϕ(x) kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 9 / 14
Nadchodzi Gödel Twierdzenie Rossera Niech T będzie dowolną teorią (pierwszego rzędu) o rekurencyjnym zbiorze aksjomatów zawierającą Arytmetykę Peany PA. Jeśli T jest niesprzeczna, to: 1 Istnieje zdanie A języka teorii T, takie, że: 1 A jest niedowodliwe w T. 2 A jest niedowodliwe w T. 2 T jest nierozstrzygalna. 3 T jest niezupełna. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 10 / 14
Naprawianie Z przykrymi konsekwencjami I twierdzenia Gödla można sobie poradzić, wprowadzając jako nową regułę inferencyjną ω-regułę: Ale cena... T ϕ(0), T ϕ(1), T ϕ(2)..., T ϕ(n)... (n N) xϕ(x) kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 11 / 14
Nadchodzi Gödel, raz jeszcze II twierdzenie Gödla Jeśli Arytmetyka Peany PA jest niesprzeczna, to faktu tego nie można udowodnić w PA. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 14
Konsekwencje Z oboma twierdzeniami Gödla trzeba jakoś żyć. Oba mają zresztą istotne implikacje nie tylko dla teorii dowodu, ale także konsekwencje natury filozoficznej. W dość oczywisty sposób są to wyniki ważne również dla badań nad sztuczną inteligencją. Jednakowoż nie należy popadać w nihilizm. Wedle słów samego Gödla: Na podstawie tego, co zostało udowodnione do tej pory, pozostaje możliwe, iż może istnieć maszyna do dowodzenia twierdzeń (którą może nawet da się odkryć empirycznie), która faktycznie jest równoważna intuicji matematycznej, ale nie da się dowieść tego, że tak jest, ani tego, że dostarcza ona tylko poprawnych [prawdziwych, correct] twierdzeń finitystycznej teorii liczb. (za: [Krajewski, 2003]) Por. także [Wójtowicz, 1996]. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 14
Literatura Batóg, T. [1996]. Dwa paradygmaty matematyki. Poznań: Wyd. Naukowe UAM Buss, S. (red.) [1998]. Handbook of Proof Theory. Amsterdam: Elsevier. Gabbay, D. M., Woods, J. (red.) [2004]. The Rise of Modern Logic: from Leibniz to Frege, tom 3 z serii Handbook of the History of Logic. Elsevier. Krajewski, S. [2003]. Twierdzenie Gödla i jego implikacje filozoficzne. Warszawa: Wyd. IFiS PAN. Murawski, R. [2000]. Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla. Poznań: Wyd. Naukowe UAM (3 wyd). Troelstra, A. S., Schwichtenberg, H. [2000]. Basic Proof Theory. Cambridge: Cambridge University Press (2 wyd.). Wójtowicz, K. [1996]. O nadużywaniu twierdzenia Gödla w sporach filozoficznych Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, XIX, 24 45. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 14 / 14